תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות.

תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות. A = 1,4,7,17,20 B = 1, a, b, c 2 נאמר ש x שייך ל A ונסמן x A אם x הוא איבר בקבוצה A. אם b לא איבר ב A אז נאמר ש b לא שייך ל A ונסמן: x A הקבוצה הריקה הקבוצה הריקה היא קבוצה ללא איברים )או קבוצה עם 0 איברים(. סימון: {}, לא קבוצה ריקה: שיווין בין קבוצות נאמר שקבוצות,A B שוות ונסמן A = B אם ל A ול B אותם איברים. A = B אם לכל איבר x מתקיים: x A x B גודל של קבוצה )לא פורמאלי( נאמר שקבוצה A היא סופית אם מספר האיברים בה הוא n עבור מספר טבעי n כלשהו. עבור קבוצה A סופית נסמן ב A את הגודל של A מספר האיברים ב A. תתי קבוצות נאמר שקבוצה A היא תת קבוצה של קבוצה B אם כל איבר ב A הוא איבר ב B. מתמטית: x A x B במילים: A תת קבוצה של A B. חלקית של A B. מוכלת ב B B. מכילה את A. סימון: A B ההבדל בין שייכות להכלה x A {x} A דוגמאות: B = 1, 1, 1,2 1 שייך ל B. {1} שייך ל B )הקבוצה נמצאת( ומוכלת ב B )האיבר 1 נמצא!( {1,2} שייך ל B ולא מוכל ב B. תכונות של הכלה 1. לכל קבוצה A הקבוצה הריקה מוכלת ב A.

בקבוצה הריקה אין איברים ולכן אנחנו יכולים לטעון שכל איברי הקבוצה הריקה מקיימים כל טענה ובפרט מקיימים את הדרישה שהם שייכים ל A. לכל קבוצה A A: מוכלת ב A )רפלקסיביות של ההכלה(. טרנזיטיביות של ההכלה: אם A מוכלת ב B וגם B מוכלת ב C אז A מוכלת ב C..A מוכלת ב B וגם B מוכלת ב A אמ"מ A = B.2.3.4 הוכחת טענה 3 דיאגרמת ון: מתארים קבוצות בתור תחום סגור במישור. B מוכלת ב A A B A הנ"ל לא הוכחה! הוכחה: צריך להראות: לכל איבר x אם x שייך ל A אז x שייך ל C. יהיה x איבר ב A. מהנתון A מוכל ב B יודעים כי לכל איבר השייך ל A מתקיים שהוא גם שייך ל B. שייך ל x ולכן B כעת x שייך ל B ומהנתון כי B מוכל ב C לכל איבר השייך ל B מתקיים שהוא שייך גם ל C ולכן x שיך ל C. הכלה ממש נאמר ש A מוכלת ממש ב B ונסמן: A B אם A מוכל ב B וגם A שונה מ B. פעולות על קבוצות איחוד בין קבוצות: בהינתן שתת קבוצות A ו B האיחוד של A וB מסומן על ידי: A B והוא הקבוצה המוגדרת על ידי: A B = x x A or x B המשמעות של או. תכונות האיחוד 1. אם A מוכל ב B אז האיחוד שלהם הוא B..2 קומוטטיביות: A איחוד B = B איחוד.A.3 אסוציאטיביות: A B C = A B C.A = A איחוד A.4.A = איחוד )קבוצה ריקה( A.5.)B איחוד A( מוכל ב A.6 פעולות על קבוצות חיתוך: החיתוך של A ו B מסומן ע"י A B והוא הקבוצה המוגדרת ע"י: A B = x x A and x B} נאמר ש A ו B זרות אם החיתוך שלהם הוא הקבוצה הריקה.

.)C חיתוך B( תכונות חיתוך אם A מוכלת ב B אז החיתוך הוא A. 1. קומוטטיביות: A חיתוך B = B חיתוך.A.2 אסוציאטיביות: A) חיתוך )B חיתוך A = C חיתוך.3.A = A חיתוך A.4 A חיתוך קבוצה ריקה = קבוצה ריקה. 5..A מוכל בתוך B חיתוך A.6 הפרש קבוצות ההפרש בין A ו B מסומן A.,B A\B והיא הקבוצה המוגדרת ע"י: A\B = {x x A and x B} מורידים מ A את כל האיברים ששייכים ל B. מתקיים: A B = A A B = וגם: A B = A B הפרש סימטרי ההפרש הסימטרי בין A ל B מסומן: A B ומוגדר על לידי: A B = A\B (B\A) תכונות ההפרש הסימטרי: 1. ההפרש הסימטרי הוא האיחוד פחות החיתוך. 2. קומוטטיביות. 3. אסוציאטיביות. 4. A הפרש A הוא קבוצה ריקה. A. הפרש קבוצה ריקה הוא A 5. חוקי דה-מורגן.1 אם A מוכלת ב B אז B (B A) = A 2. אם A מוכלת ב B ו B מוכלת ב C אז C\B מוכלת ב.C\A.3 C(A B) = C\A C\B משלים: A B = A B.4 C(A B) = C\A (C\B) הוכחת 1: מהו הקבוצה A) B (B איבר x שייך ל (A B B) אם ורק אם x שייך ל B וגם x לא שייך ל B. A וזה קורה אם ורק אם x שייך ל B וגם x שייך ל B ולא שייך A. וזה קורה אם ורק אם x שייך ל B וגם )x לא שייך ל B או x שייך ל A(. וזה קורה אם ורק אם x שייך גם ל B וגם ל A ולכן x שייך לחיתוך. B B A = A B רוצים להראות שאם A מוכל ב B אז.B (B A) = A לפי תכונות החיתוך מתקיים שאם A מוכלת ב B אז: A B = A ומכאן מש"ל.

קבוצת החזקה בהינתן קבוצה A, קבוצת החזקה של A מסומנת P(A) והיא קבוצת כל תתי הקבוצות של P A = S S A באופן כללי ניתן להראות עבור קבוצה סופית A שמספר האיברים ב P(A) הוא: ולכן מסמנים את P(A) בתור 2 A.A 2 A טענה: לכל A, B P A B = P A P(B) נראה כי עבור קבוצה S S P A B S P(A) P(B) ומכאן: S P A B לפי הגדרה S מוכלת ב A חיתוך B. לכל x מתקיים x שייך ל S אז x שייך לחיתוך A עם B. לכל איבר x השייך ל S אז x שיך גם ל A וגם ל B. מכאן S מוכל ב A וגם S מוכל ב B. ולכן S שייכת ל P(A) וגם ל.P(B) מש"ל. שאלה: האם מתקיים: לא. נראה שהטענה לא נכונה. 8 לכל היותר. מש"ל. P A B = P(A) P(B) P A =, 1 P B =, 2 P A B =, 1, 2, 1,2 P A P B P A B ניתן להראות שהטענה לא נכונה משיקולי סדרי גודל. יהיו A ו B קבוצות זרות בגודל 2. הגודל של A איחוד B הוא 4. ולכן הגודל של קבוצת החזקה הוא 16. הגודל של קבוצת החזקה של A הוא 4 וגם של B. לכן האיחוד שלהם הוא בניה פורמאלית של תורת הקבוצות: )אבן הלגו הבסיסית( 1. הנחה קיימת קבוצה ריקה. אבחנה הקבוצה הריקה יחידה. 2. הנחה )קבוצות של שני אלמנטים( בהינתן קבוצות,A B קיימת קבוצה C ש A ו B הם איבריה היחידים. C = A, B B. ושל A נקראת זוג לא סדור של C מה מקבלים עכשיו? ϕ, ϕ = ϕ ϕ, ϕ = ϕ לא ניתן עדיין לקבל את ϕ, ϕ ϕ, ϕ, ϕ

הנחה )איחודים( בהינתן קבוצות A ו B קיימת קבוצה C שאבריה הם כל אברי A וכל אברי B. C = A B עכשיו ניתן לקבל את,ϕ ϕ, ϕ באופן כללי בהינתן A 1, A 2,, A n קבוצות, קיימת הקבוצה )אפשר לבנות(: A 1, A 2,, A n עקרון החלוקה )ההפרדה( הרעיון בהינתן קבוצה A כל תת קבוצה B של A קיימת. תכונה Q של אברי קבוצה A תכונה שהאברים יכולים לקיים או לא. תכונה של הטבעיים זוגיות. הנחה בהינתן קבוצה A ותכונה A של אברי A, קיימת קבוצה B המכילה את כל אברי A המקיימים Q ורק אותם. טבעיים -< זוגיים. טבעיים -< מתחלקים ב 3. טבעיים >-.{17} עבור התכונה x C נקבל.B = A C עבור התכונה x C נקבל.B = A\C הנחה בהינתן קבוצה A, קיימת הקבוצה P(A) כך ש P A = S S A טבעיים -< כל תתי הקבוצות בגודל 2 של הטבעיים. דוגמא לשאלה: בהינתן קבוצה A הראו כי קיימת הקבוצה B = S S A, and S has more than 3 elements.3.4.5 נגדיר תכונה בקבוצה יותר מ 3 אברים. ע"י כלל החלוקה נגזור מ P(A) את B. האם קיימת קבוצה אוניברסאלית? A? U מתקיים A קבוצה אוניברסאלית אם לכל קבוצה U טענה: לא קיימת קבוצה אוניברסאלית. הפרדוקס של ראסל נניח בשלילה שקיימת קבוצה אוניברסאלית U. נגזור מ U u 0 = {x x x} )תכונה עבור.)x x :x נשאל האם?u 0 u 0 - אם >- u 0 u 0 לפי ההגדרה )התכונה(.u 0 u 0 סתירה. - אם >- u 0 u 0 לפי ההגדרה.u 0 u 0 סתירה. לכן הנחת השלילה לא נכונה. הגדרה יחידון )סינגלטון( היא קבוצה עם אבר אחד. נשאל: האם קיימת קבוצה אוניברסאלית של סינגלטונים. האם קיימת קבוצה V כך שלכל קבוצה A מתקיים? A V נניח בשלילה שקיימת V קבוצה אוניברסאלית של סינגלטונים. נגדיר תכונה. x x נגזור מ V את הקבוצה V 0 = x x x השאלה שנשאל האם? V 0 V 0... זוג סדור הגדרה: זוג סדור הוא זוג אברים שאחד ראשון והאחר שני. נסמן: a, b or a, b ההבדל בין b) (a, ל b} :{a,

בקבוצה אין חשיבות לסדר ואין חזרות. a, b = b, a, a, b b, a a b,a) (a זוג בעוד ש {a,a} קבוצה עם אבר אחד. הדרישות: I) A B A, B B, A II) A, B = A, B A = A and B = B הצעה ראשונה לייצוג לזוג סדור: A, B = A, B. A, B A = 1, B = 2 A, B = 1, 2 = 2, 1 A = 2, B = 1 A, B = A, A, B דוגמא: הצעה שנייה: נראה שבהינתן A ו B קיימת הקבוצה המייצגת את הזוג הסדור A A A, B A, B A and A, B A, B נראה שהייצוג A,,A B עונה על הדרישות. צ"ל: A, A, B = A, A, B A = A and B = B ימין לשמאל כיוון מידיי. נוכיח כיוון הפוך: נבחין בין שני מקרים: מקרה ראשון: A = A A = A ומכאן: B = B A, B = A, B נסיק מקרה שני: A = A, B A = B = A כי בקבוצה { B, A} יש איבר אחד. בצד ימין: A, A, B = A ולכן גם בצד שמאל יש גם אבר אחד ולכן A, B = A A = B ובסה"כ קיבלנו: A = B = A = B מש"ל תכונות של הייצוג שבחרנו לזוג סדור: יש לכל היותר שני איברים. ב,A B 1. יש איבר אחד. אם A = B אז ב,A B 2.. A, B = A, A, B כיוון ש A, B A, B.3 A, B, C = A, B C A, B, C = A, A, B, C = A, A, B, A, A, B, C A 1,, A n = A 1,, A n 1, A n שלשה סדורה: כיוון ש: יש לכל היותר שני אברים. n -יה סדורה:

מכפלה קרטזית הגדרה: בהינתן קבוצות A ו B המכפלה הקרטזית של A ו B מסומנת ב A B ומוגדרת על ידי: A B = {< a, b > a B and b B) B. והאיבר השני מ A אוסף כל הזוגות הסדורים שהאיבר הראשון בהם מ A B A = 1,2 B = x, y A B = 1, x, 1, y, 2, x, 2, y, 3, x, 3, y B A = x, 1, x, 2, x, 3, y, 1, y, 2, y, 3 לא קומו' )לא בהכרח קומו', אם אחת ריקה או A = B אז כן(. A B = A B סופיות אז B ו A אם A B C A (B C) אין אסוציאטיביות מכפלה של קבוצה עם עצמה A = 0,1 A A = 0,0, 0,1, 1,0, (1,1) A A = A 2 A 0 = ϕ A 1 = A A n = A A A A) האם נתן לקבל A B בהינתן A ו B בכללים שיש לנו? טענה: בהינתן A ו B קיימת הקבוצה A. B ראינו שעבור a, b קיים הזוג. a, b a, b = a, a, b מחפשים איך לבנות את קבוצת כל הקבוצות מהצורה a,,a b a P A x = a A B A P A B y = a, b A B a, b P(A B) מחפשים זוגות x, y x, y P A B x, y P A B x, y P P A B מחפשים בעצם תת קבוצה של עבור.a A and b B P P A B שמכילה את כל הקבוצות שהם זוגות סדורים..P P A B הוכחה: מ A ו B נקבל.A B ע"י כלל החזקה (B P(A ושוב נגזור מ P P A B את כל האברים שהם זוגות סדורים בהם האבר הראשון מ A והשני מ B. תכונות של מכפלה קרטזית: A ϕ = ϕ A = ϕ )I A B = ϕ B = ϕ or A = ϕ or both )II A B C A C B C )III A B C = A C B C )IV A B C = A C (B C) )V A\B C = A C \(B C) )VI

A B C = A C (B C) A B C A C (B C) x A B y C 1 x A or 2 x B הוכחת סעיף :IV צ"ל: נראה צד ראשון: יהי x, y A B C מההגדרה יש שתי אפשרויות: אם x A אז x, y A C מהגדרת האיחוד )1( )2( אם x B באופן דומה. ראינו שאם (x, y) A B C אז כיוון שני לבד בבית... רלציות רלציה בינארית )רלציה דו מקומית, יחס דו מקומי( בין A ל B היא תת קבוצה כלשהי ש A B מה מס' הרלציות הבינאריות בין A ל B )עבור A ו B סופיות(? שקול לשאול כמה תתי קבוצות שונות יש ל A? B הגדרות : B 2 A B = 2 A 1. תחום וטווח של רלציה: R A B Domain R = x A y B: x, y R Range R = y B x A: x, y R 2. רלציה הופכית: R A B זוהי רלציה מ B ל R 1 B A :A הגרף של R מתקבל מהגרף של R על ידי היפוך החצים. R מייצגת את M T,R מייצגת את M רלציה משלימה:. 3 R C = A B R במטריצה הופכים 0 -ים ל 1 -ים ו 1 -ים לאפסים. הרכבת רלציות: 4. R A B, S B C נגדיר: R S = x, z y B: z C, x A, x, y R, y, z S R S מכילה את כל זוגות האברים שבהם הראשון מ A, השני מ C וקיים מסלול באורך 2 ביניהם.

תכונות: )I R 1 R 2 R 3 A B C D R 2 R 3 R 1 R 2 R 3 = R 1 R 2 R 3 R 1 R 2 1 = R 2 1 R 1 1 M N T = N T M T האם בהכרח R S = S R לא, לא בהכרח S R מוגדרת! )II )III רלציות מעל קבוצה A רלציה מעל R A A :A לדוגמה: רלצית הזהות )פונקצית הזהות(: IA = x, x x A R 2 = R R R n = R R R R m+n = R m R n חזקות של R מעל A בגלל האסוציאטיביות. רלציות בעלות תכונות מיוחדות רפלקסיביות: I( רלציה רפלקסיבית. 1. נאמר ש R רלציה מעל A רפלקסיבית אם לכל x A מתקיים: x, x R בגרף לכל צומת לולאה עצמית. במטריצה אלכסון 1 ו 0. רלציה לא רפלקסיבית. 2. אם קיים x A כך ש. x, x R אי רפלקסיבית. 3. רלציה R מעל A היא אי רפלקסיבית אם לכל x A מתקיים. x, x R סימטריות: )II אז: סימטריות נאמר ש R רלציה סימטרית אם לכל x, y A אם x, y R.1 y, x R בגרף קשתות אנטי מקבילות.

מטריצה T M = M. 2 לא סימטרית R רלציה לא סימטרית אם קיים,x y A כך ש: x, y R and y, x R 3. אסימטרית נאמר שרלציה R היא אסימטרית אם לכל,x: y A אם x, y R אז. y, x R בגרף אין קשתות אנטי מקבילות ואין לולאות עצמיות. 4. אנטי סימטריות: נאמר שרלציה R היא אנטי סימטרית אם לכל,x: y A אם x, y R וגם y, x R אז x = y מותרות בגרף לולאות עצמיות. דוגמאות: - רפלקסיבי, לא סימטרי, אנטי סימטרי. < - אסימטרי, לא רפלקסיבי, אי רפלקסיבי. - רפלקסיבי, אנטי סימטרי. = - רפלקסיבי, סימטרי. טרנזיטיביות: נאמר ש R רלציה טרנזיטיבית אם לכל,x:,y z A אם x, y R וגם y, z R אז. x, y R )III יחסי שקילות )כמו שוויון( הגדרה: רלציה E מעל A נקראת יחס שקילות אם E רפלקסיבית, סימטרית וטרזטיבית. הגדרה: יהי E יחס שקילות מעל A ויהא x. A מחלקת השקילות של x מעל E מוגדרת על ידי: x = y x, y E} בדוגמה של :mod3 0 =, 3,0,3, = {3k k Z} 0 1 = ϕ 1 2 = ϕ 0 2 = ϕ זרות הדדית. 0 = 3 = 3 0 1 2 = Z נראה שהתכונות לא מקריות: הגדרה: חלוקה של קבוצה A היא קבוצת תתי קבוצות לא ריקות של A, זרות זו לזו, שאיחודן הוא A. A = 1,,5 Π 1 = 1,3,5, 2,4 Π 2 = 1, 2, 3, 4, 5 Π 3 = 1,2,3,4,5 } 2 { 0, 1, מהווה חלוקה של.Z הגדרה: בהינתן יחס שקילות E מעל A, קבוצת המנה של E A/E = {[x] x A} אוסף מחלקות השקילות של היחס E. Z/E 3 = 0, 1, 2 משפט: תהי E רלצית שקילות מעל A קבוצת המנה A/E מהווה חלוקה של A. בגרף אוסף של גרפים מלאים זרים אחד לשני.

אפשר לייצג על ידי מטריצת בלוקים. למה :1 יהי E יחס שקילות מעל.A לכל x A מתקיים x ϕ הוכחה:. x, x E רלציה רפלקסיבית, ולכן הזוג E לפי ההגדרה [x] x ולכן. x ϕ רלצית שקילות מעל A. אזי לכל,x y A מתקיים: x, y E x = y למה 2: תהי E הוכחה: כיוון אחד: x = y ראינו לפי רפלקסיביות [y] y. מאחר ו [y] x = מתקיים y x ולפי הגדרה x, y E כיוון שני: נתון כי x, y E צ"ל [y] x = נראה כי a x a y סימטריות. y, a E a y ע"י טרנזיטיביות: הופכים לאם ורק אם )עובד(.. x = y x y יחס שקילות מעל A, אזי לכל,x y A מתקיים: x y x y = ϕ למה 3: יהי E אזי לפי למה 2 כיוון אחד: אם x y = ϕ מאחר ולפי למה :1 ϕ x ϕ, y כיוון שני: צ"ל אם x y אזי x y = ϕ נניח בשלילה שקיים a x y ונראה ש x = y.a y וגם a [x] גורר ש a x y x, a E גורר ש a x y, a E גורר ש a y לפי הסימטריות. a, y E לפי הטרנזיטיביות יש לנו x, a, a, y ולכן x, y E מסקנה: x, y E.1 x, y E.2 אז [y] x = אז x y = ϕ x A [x] = A למה 4: יהי E יחס שקילות מעל A אזי

הוכחה: : x A[x] A לכל x A מתקיים ש [x] היא אוסף אברי A שנמצאים ביחס עם x. x A לכן גם האיחוד של כל מחלקות השקילות מוכל ב A A:. [x] x A. y [x] x A : A x A[x] יהי y A נראה כי x A[x]. y E רפלקסיבית ולכן [y] y ולכן הוכחת המשפט צ"ל קבוצת המנה מהווה חלוקה של A. קבוצת המנה קבוצת תתי קבוצות של A, לא ריקות, זרות הדדית, שאיחודן הוא כל A. כל מחלקת שקילות היא תת קבוצה של A, לא ריקה לפי למה 1. לפי למה 3 מחלקות השקילות זרות הדדית. לפי למה 4 איחודן הוא כל A. מש"ל! פונקציות הגדרה: פונקציה מ A ל B היא רלציה R מ A ל B שבה לכל x A קיים y B יחיד כך ש. x, y R פונקציה f: f A B f: A B x, y f f x = y בתיאור פונקציה ע"י גרף דו צדדי מכל צומת יוצאת קשת אחת בדיוק. ניתן להגדיר פונקציות k מקומיות: f: A k B f x A 0 סגירות תחת פונקציות: תהי A קבוצה f: A A ותהי.A 0 A נאמר ש A 0 סגורה תחת f אם לכל x A 0 מתקיים ניתן להרחיב את ההגדרה למשפחה של פונקציות F = {f 0, f 1, } כאשר f i פונקציה k i מקומית מעל :A f i : A k i A נאמר ש A 0 A סגורה תחת משפחה של פונקציות F אם לכל i מתקיים ש A 0 סגורה תחת f. i כלומר, לכל i מתקיים: לכל a 1,, a ki A 0 מתקיים.f i a 1,, a ki A 0 אם הפונקציות ב F מוגדרות מעל A, אזי בהכרח A סגורה תחת F. טענה: תהי פונקציה f: A A ותהינה A 1, A 2 A סגורות תחת.f אזי A 1 A 2 סגורה תחת.f הוכחה: צ"ל אם x A 1 A 2 אז.f x A 1 A 2 x A 1 A 2 x A 1 and x A 2 f x אזי A 1,f סגורה תחת A1 f x אזי A 2,f סגורה תחת A2 ולכן.f x A 1 A 2

טענה: תהי F משפחת פונקציות מעל A ותהיינה A 1, A 2 A סגורות תחת,F אז:.F סגורה תחת A 1 A 2 טענה: תהי F משפחת פונקציות מעל A. ותהי B קבוצת תתי-קבוצות של A שסגורות תחת F. אזי B סגורה תחת F. הגדרת קבוצות באינדוקציה שיטת ההגדרה נקראת הגדרה באינדוקציה בהינתן קבוצת גרעין B )או קבוצת אטומים( וקבוצת פעולות יצירה F. מגדירים באינדוקציה את הקבוצה.X B,F a 1,, a k X B,F אז y X B,F )סגירות 1 ו.2 X B,F היא הקבוצה המקיימת:.B X B,F.1 אם y מתקבל מ a 1,, a k ע"י אחת הפעולות ב F ו.2 תחת F(. נמצאים רק אברים הכרחיים לקיום דרישות ב 3. X B,F דוגמא: B = 0, F = +1 - x 1 = Z מכילה אברים מיותרים )שליליים(. - x 2 = N מקיים באינטואיציה. } {0,2, = 3 - x לא מכיל את 1 לדוגמה, ולכן לא מקיים. דוגמא: שפת ה.ABA עולם: מילים ב.,a b בסיס: {ab} B = פעולות: F = f 1, f 2, f 3 - f 1 w = waba הוספת aba מימין. = f 2 w מחליפים רצף ראשון מימין של aa המופיע במילה w באות b )אם קיים כזה(. w. קיים( ב )אם bbb מוחקים רצף ראשון מימין של = f 3 w מילים בשפה: ab ababa ababaaba ababaabaaba ababbba נרצה להוכיח שההגדרה טובה. בהינתן קבוצת בסיס )גרעין( B וקבוצת פעולות F, קיימת קבוצה העונה על דרישות 1-3 )קיום( והיא יחידה )יחידות(. )ההגדרה חד משמעית(. הוכחת קיום מגדירים A = עונה על דרישות {x 1,2 x} = x B x and X closed in F A לא ריקה מאחר וקבוצת העולם מעליה מוגדרת X B,F מקיימת את דרישות 1 ו 2. נגדיר X = A X הוא החיתוך של כל הקבוצות המקיימות דרישות 1 ו 2. נראה כי X עונה על דרישות 1-3: )I

צ"ל X.B לכל קבוצה x A מתקיים ש x מקיימת דרישה 1 ולכן B X ומכאן:.1 צ"ל X סגורה תחת F. הוכחה: לכל x A מתקיים x סגורה תחת F. לפי משפט מתקיים ש X A = סגורה תחת F. צ"ל ב X אין אברים לא הכרחיים לקיום דרישות 1 ו 2. נניח בשלילה שקיים X y שהוא לא הכרחי לקיום דרישות 1 ו 2. כלומר, קיימת קבוצה x כך ש y x ו x מקיימת דרישות 1 ו 2. x A מאחר ו x מקיימת דרישות 1 ו.2 y A )מהגדרת החיתוך( ולכן X y בסתירה להנחה..2.3 ראינו שבהינתן B ו F קיימת קבוצה X העונה על דרישות 1-3. הוכחת יחידות נראה ש X היא היחידה העונה על דרישות 1-3. נניח בשלילה שקיימת X X המקיימת דרישות 1-3..)A החיתוך של כל הקבוצות ב X ( X X מההגדרה, ולכן X A X בסתירה לכך ש.y X ו y X כלומר קיים X X ולכן X X וגם X X מקיימת דרישה 3. )II מסקנה מההוכחה תהי y קבוצה המקיימת את דרישות 1 ו 2 עבור B ו F, אזי X. B,F y כלומר, כדי להוכיח שקבוצה X B,F y מספיק שנוכיח ש y מקיימת דרישות 1 ו 2. X 0, +2 6 X 0, +2?.B Y F. סגורה תחת Y.1.2 איך מראים?a X B,F 0 +2 2 +2 4 +2 6 הגדרה: סדרת יצירה עבור a מעל X B,F היא סדרה סופית a 1,, a n המקיימת:.a n = a.1.2 לכל i n 1 מתקיים a i B או ש a i התקבל מאברים קודמים בסדרה ע"י אחת הפעולות מ F. סדרת יציאה היא תמיד סופית. טענה: תהי B קבוצת גרעין ו F קבוצת פעולות. אזי לכל a מתקיים:.X B,F סדרת יצירה מעל a ל a X B,F בתרגול סדרה לא יחידה ולא מינימאלית. איך נראה?a X B,F על מנת להראות ש a X B,F נמצא תכונה T המקיימת:.1 כל אברי X B,F מקיימים.T.T לא מקיים a.2 בד"כ הוכחת 2 מיידי. איך נוכיח דרישה מס' 1? שקול להראות שעבור y קבוצת האיברים שמקיימים.X B,F y :T לצורך כך ראינו שמספיק להראות:.)T מקיימים את התכונה B אברי )כל B y.1

T(. משמרות את התכונה F הפעולות ב )כל F סגורה תחת y 2. זו נקראת הוכחה באינדוקציית מבנה. דוגמא: נראה ש aba לא נמצאת בשפת ה.ABA תכונה: מס' ה a במילה אי זוגי. נסמן #a(w) מס' ה a -ים ב w. המילה aba לא מקיימת את התוכנה כי = 2 #a(aba) זוגי. נראה שכל אברי X B,F מקיימים את התוכנה. נוכיח באינדוקציה על המבנה של שפת ה.ABA תכונה #a(w) אי זוגי. בסיס: = 1 #a(ab) אי זוגי סגור: f: 1 הנחת האינדוקציה #a(w) אי זוגי. צ"ל #a f 1 w אי זוגי. #a(f 1 w ) = #a waba = #a w + 2 על פי הנחת האינדוקציה אי זוגי. f: 2 הנחת האינדוקציה #a(w) אי זוגי. צ"ל #a f 2 w אי זוגי. b. ב aa על ידי החלפת w מתקבלת מ f 2 w אם #a(f 2 w ) = w = f 2 w = #a w אחרת 2 w #a(f 2 w ) = #a על פי הנחת האינדוקציה אי-זוגי. f 3 בבית )טריוויאלי(. ראינו שכל המילים בשפת ה ABA מקיימות את התכונה #a(w) אי זוגי ו aba לא. מכאן aba אינה מילה בשפת ה.ABA דוגמא נוספת בבית: בבנייה של תורת הקבוצות כל הקבוצות סופיות. בניה פורמאלית נרצה להראות שבהינתן א"ב Σ, קיימת קבוצת כל המילים הסופיות באותיות מ Σ, נקרא Σ. נראה שקיימות קבוצות המוגדרות באינדוקציה. A P A A A A A A A A, B עקרונות בוני קבוצות Set Contractors עקרון בונה קבוצות F הוא F(A) A. עבור B מסוימת: טענה: יהי F עקרון בונה קבוצות שעבור כל קבוצה A בונה קבוצה שונה. אזי לא קיימת קבוצה אוניברסאלית v המקיימת לכל.F A v :A הוכחה: בבית משתמשים v 0 = F x F x x מחלקות ועקרון ההחלפה ראינו שלכל עקרון בונה קבוצות )שבונה לכל A תמונה שונה( לא קיימת Set}. F A A is a נתייחס כמחלקה או אוסף )אם ידוע שלא קיים, או לא ידוע אם קיים(. A P A הנחה: לכל עקרון בונה קבוצות F ותכונה P, של קבוצות. אם קיימת הקבוצה הקבוצה. F A P A אז קיימת

A 1, A 2, A 3 A P A P A 1, P A 2, P A 3 ϕ, ϕ A A ϕ, ϕ עקרון ההחלפה לדוגמא:.)X B,F עקרון הסגירות יהי C אוסף של עקרונות בוני קבוצות. לכל אוסף סופי C ולכל קבוצה B, קיימת קבוצה A המקיימת:.B A.1.C סגורה תחת A.2 ורסיה של אקסיומת האינסוף. ההנחה נותנת קיום קבוצות אינסופיות במקרה של עקרונות בוני קבוצות חסרי מעגלים. מודול מילים רוצים לקחת א"ב Σ ולבנות את Σ אוסף כל המילים הסופיות ב Σ. נזכר בבניית b a, - ϵ סימון למילה הריקה )עם 0 אותיות(. B = ϵ F = f a, f b f a = wa f b = wb לכל אות בא"ב α Σ מגדירים עקרון בונה קבוצות S α כך ש.S α x = x, α נפעיל עקרון הסגירות: B = ϕ C = S α α Σ} במקרה וקבוצה A סגורה תחת C, נאמר ש ΣA סגורה. בניה פורמאלית הגדרנו עקרונות בוני קבוצות מעין פונקציות על קבוצות. ניסחנו עקרון שמאפשר לקחת בסיס ולסגור תחת פעולות. עקרון הסגירות בהינתן קבוצת בסיס B וקבוצת עקרונות בוני קבוצות F, קיימת קבוצה A המקיימת:.B A.1.F סגורה תחת A.2 ניתן לגזור ממנה )ע"י תכונה( את אלא קבוצה המכילה את )לא שקיבלנו את.X B,F זו ורסיה של אקסיומת האינסוף. אם יש ב F פעולה שהיא חסרת מעגלים בהכרח A אינסופית. X B,F הגדרנו Σ - אוסף כל המילים הסופיות מעל א"ב Σ. הדגמנו עבור Σ. =,a b B = ϵ F = f a, f b f a w = wa f b w = wb נבנה בבניה פורמאלית: B = ϕ F = S a, S b

S a = w, a S b = w, b B = ϕ F = S α α Σ S α w = w, α B A המקיימת A באופן כללי בניה של Σ: נשתמש בעיקרון הסגירות ונקבל קבוצה )כלומר )Σ A )את Σ נקבל ע"י גזירת תכונה מ A(. נגדיר קבוצה: ו A סגורה תחת F. Σ = X X. נמצאת ב A לא ריקה מאחר ו X במקרה של הגדרת Σ, נאמר ש A היא Σ סגורה )במקום לומר סגורה תחת F(. הגדרת הטבעיים בד"כ נהוג להגדיר את הטבעיים ע"י 1 1 - אוסף המילים האונריות מייצג.N ϵ מייצג.0 1 מייצג.1 11 מייצג.2 - אקסיומות.Peano 1 התכונות של Σ )בתרגילי בית( נקראות במקרה של עוצמות קבוצות סופיות עוצמת הקבוצה = גודל הקבוצה = מס' האברים בקבוצה. סימנו A. משפט תהיינה A ו B קבוצות סופיות. אזי: A = B f: A B where f is 1: 1 and onto. הוכחה: כיוון,1 B : A = A = a 1,, a n B = b 1, b n ולכן נגדיר: כיוון 2: A = a 1, a n B = {b 1, b k } נתון שקיימת f: A B חח"ע ועל. צ"ל: n = k מאחר ו f חח"ע, כל אבר ב A ממופה לאבר אחר ב B, ולכן: k. n מאחר ו f על, ולכן לכל אבר ב B נכנס לפחות חץ אחד, ולכן: n. k מכאן.n = k הגדרה נאמר שקבוצה A ו B הן שוות עוצמה ונסמן A~B אם קיימת :f A B חח"ע ועל. דוגמאות: B = m n N, n 2 = m.1 B קבוצת הריבועים השלמים.

B~N f: N B f n = n 2 a, b = x x R, a < x < b} נגדיר מקטע ממשי: נראה ~R 0,1. tan π, π R חח"ע ועל. 2 2 איך? נשתמש ב tan ב.f: 0,1 R f 1 : 0,1 1,1 f 1 x = 2x 1.2 f 2 : 1,1 π 2, π 2 f 2 x = π 2 x f x = tan( π 2 2x 1 ) להשתכנע בבית f חח"ע ועל. משפט היחס ~ הוא יחס שקילות. A~B( הוא יחס שקילות( הוכחה: בבית. רפלקסיביות פונקצית הזהות. סימטריות: צ"ל: קיימת f: A B חח"ע ועל. קיימת g: B A חח"ע ועל. נראה ש 1 f עונה על הדרישה. טרנזיטיביות: הרכבת פונקציות. מחלקות השקילות של היחס נקראות "המספרים הקרדינאליים". מהי קבוצה אינסופית? הגדרה 1: נאמר ש A קבוצה סופית אם המספר הקרדינאלי של הוא מס' טבעי. קיים n N כך ש A שוות עוצמה )=שקולה( ל, n 1,. נאמר ש A אינסופית אם A לא סופית. טענה: N קבוצה אינסופית. הוכחה: יהי n N נראה ש - N 1,, n לא שוות עוצמה. תהי f: 1,, n N נראה ש f לא על. נגדיר m.m = max f 1,, f n מוגדר היטב מאחר ומדובר במקסימום על מספר סופי של אברים. לא קיים k 1,, n כך ש + 1 m f k = ומכאן ש f לא על. הגדרה שנובעת מהגדרה 1: A קבוצה אינסופית אם קיימת :f N A חח"ע. סימון: f: A B f A = y x A, f x = y} f A B הגדרה 2: נאמר ש A קבוצה אינסופית אם קיימת :f A A חח"ע ולא על. )כלומר.)f A A טענה: N קבוצה אינסופית. הוכחה: נגדיר f: N N כך ש + 1 n.f n = 2n, בבית: ההגדרות שקולות.

הערה ומסקנה: I( עבור,A B סופיות. אם B A = אזי כל פונקציה :f A B חח"ע היא גם על, וכל פונקציה על היא גם חח"ע. f: A B חח"ע ולא על, קיימת f: A B קיימת A = B בקבוצות אינסופיות, אם )II ולא חח"ע. )III על מנת להראות A~B מספיק להראות קיום :f A B חח"ע ועל. תכונות של קבוצות סופיות: I( אין קבוצה סופית ואינסופית. A )II ו B סופיות, אז: A B, A B, A B, A\B סופיות. )III איחוד סופי של קבוצות סופיות הוא סופי. )IV מכפלה קרטזית סופית של סופיות היא סופית. תכונות של קבוצות אינסופיות: תהי A קבוצה אינסופית. כל קבוצה B המקיימת ש A B היא אינסופית. I( הוכחה: ע"פ ההגדרה שנובעת מ 1 קיימת :f N A חח"ע. A B ולכן אותה f מקיימת f: N B חח"ע ומכאן B אינסופית. אם קיימת f: A B חח"ע אזי B אינסופית. )II אם קיימת g: B A על אזי B אינסופית. )III P(A) אינסופית. )IV הוכחה: ע"פ II מספיק שנראה פונקציה חח"ע מ A ל.P(A) f: A P A f x = {x} בבית חח"ע. לכל קבוצה B, הקבוצה A B אינסופית. לפי I מאחר ו A B מכילה את A אזי V( A B אינסופית. לכל B ϕ הקבוצה A B היא אינסופית. )VI נגדיר פונקציה f: A A B חח"ע. נבחר y B ונגדיר f x = x, y חח"ע )בבית(..)A ל B קבוצת הפונקציות מ A B ( אינסופית A B הקבוצה B ϕ לכל )VII.f a = g g a A לכל f: A A B נתאים a : B A כך ש a נראה פונקציה על N R N R נגדיר g 0 להיות הפונקציה הקבועה a. לכל g a y = a :y B צ"ל f חח"ע. כלומר אם a 1 a 2 אז.f a 1 f a 2

f a 1 = g a1 a 1 f a 2 = g a2 a 2 ומאחר ו a 1 a 2 אז.f a 1 f a 2 f 0 = ϵ f n + 1 = f n a משפט אם Σ ϕ אז Σ אינסופית. הוכחה: יהי a Σ כלשהם. נגדיר Σ.f: N בבית f חח"ע. קבוצות בנות מניה נסמן. N = ℵ 0 הגדרה: קבוצה A היא בת מניה אם קיימת :f A N חח"ע. הגדרה שקולה: קבוצה היא בת מניה אם היא סופית או שעוצמתה ℵ. 0 נאמר ש A בת מניה אינסופית אם A בת מניה ולא סופית. כיצד נראה שקבוצה בת מניה אינסופית? )למעשה יעניין אותנו להראות שקבוצה אינסופית היא בת מניה(. מחפשים N f: A חח"ע. )צריך להראות אינסופית(. )כדי להראות בת מניה אינסופית נראה :f N A חח"ע ועל(. N, Aodd f: Aodd N f n = n 1 2 דרך א' בניה מפורשת פונקציה חח"ע ועל. דרך ב' נציג סדר ספירה נציג סדר ספירה על אברי A שבו מופיעים על אברי A וכל איבר מופיע שלפני מס' סופי של אברים. נראה ש Z בת מניה. הפונקציה שנבנית f: N Z היא f n = n לא על כן חח"ע. 0,1, 1,2, 2, בסדר בספירה בשלה ה i סופרים את i ואחריו את. i כל אבר k ב Z יופיע בשלב ה k. לפני כל אבר בספירה יופיעו לכל היותר k 2 אברים. נתאים לכל איבר ב Z את המקום שלו בסדר בספירה. למה מציאת סדר ספירה עוזרת לנו נבנה פונקציה מ A ל N המתאימה לכל אבר את מיקומו בספירה. מה אם יש חזרות? 0,1,-1,0,1,2,-1,-2, מסדר ספירה עם חזרות ניתן לקבל סדר ללא חזרות נספור כל אבר בפעם הראשונה שנתקלים בו. הרעיון של המניה בשלמים פועל עבור כל שתי קבוצות בנות מניה.

י- עידו שמיר טענה: תהיינה A 1, A k קבוצות בנות מניה. k i=1 A i בת מניה. A 1 = a 11, a 12, A k = a k1, a k2, אם כולן סופיות אז האיחוד סופי, בן מניה. אם לפחות אחת מהן אינסופית נציג סדר ספירה. הספירה תהיה בשלבים: בשלב ה i נספור את האברים a i,1, a k,i )אם קיימים(. כל אבר נספר בשלב ה j. ומאחר וכל שלב סופי, גודלו לכל היותר k. כל אבר נספר כשלפניו i j Q + = ℵ 0 a i,j לכל היותר kj אברים. משפט מסקנה: Q = ℵ 0 Q = Q + Q {0} הוכחה: נציג סדר ספירה עבור + Q )סדר הוצאה מהטבלה(: 1 1 1 1 2 3 2 2 2 1 2 3 3 3 3 1 2 3 לא ניתן להוציא בשורות או בעמודות. נוציא מהטבלה באלכסון. i j בשלב ה k נספר את כל האברים האיבר כך ש + 1 k.i + j = נספר בשלב ה 1 j i. + מאחר וכל שלב סופי, גודלו k. מספר האברים שלפני הוא i j סופי. דוגמא: k A 1,, A k קבוצות בנות מניה, אזי: i=1 A i A 1 = a 1,1 a 1,2 a 1,3 A 2 = a 2,1 a 2,2 a 2,3 A k = a k,1 a k,2 a k,3 גם כן בת מניה. הוכחה: סדר ספירה רוצים דרך לסדר את האיברים בסדרה, כך שכל איבר יופיע, ולפני כל איבר יהיו מס' סופי של איברים. אכן, בדוגמה שלנו האיבר a i,n יהיה האיבר ה n 1 k + i בסדרה. באופן אחר, בכל שלה נמנה k איברים )העמודה המתאימה( וברור ש יספר בשלב ה. n a i,n Q = a b b N\{0}, a N דוגמא:

Q = A k k=1 A k = a k a Z טענה: Q~N הוכחה 1 )סדר ספירה( בשלב ה k נמנה את האיברים a 1,k, a 1,k 1,, a k,1 = a i,j האיבר a n,m ימנה בשלב ה i+j=k+1 n + m נמנים בדיוק 1 n + m לפני שלב זה נמנו איברים. ובשלב ה 1 n + m 1 i=1 A i n+m z i=1 i איברים. אותה הוכחה מראה כי אם 2, A A 1, קבוצות בנות מניה אז חזקות של ראשוניים: קבוצה בת מניה. 2 1, 2 2, 2 3, 3 1, 3 2, 3 3, 5 1, 5 2, 5 3, 7 1, 7 2, 7 3, וכעת נגדיר העתקה. f: A k N k=1 f a n,m = P n m נסמן ב P k את המס' הראשוני ה k A. n בקבוצה הוא האיבר ה m -י a n,m 0,1 N ~ 0,1 טענה: אם,A B קבוצות בנות מניה אז A B גם קבוצה בת מניה. הוכחה: מאחר ו,A B בנות מניה ניתן לכתוב A = a 1, a 2, a 3, B = b 1, b 2, b 3, נסמן: C k = a, b k a A k=1 C k = A B כל C k בת מניה כי ברור ש C. k A~ לפי הטענה הקודמת בת מניה. C k

ע) עידו שמיר A = k=1 A k טענה: תהי A קבוצה בת מניה. נגדיר: כאשר A 1 = A, A 2 = A A וכו'... אזי A בת מניה. הוכחה 1: ראינו כי A A בת מניה. באינדוקציה A k = A k 1 A לכן A k בת מניה. לכן A היא איחוד בן מניה של קבוצות בנות מניה. הוכחה 2 "י סדר ספירה(: נכתוב, 2 A = a 1, a הדרך בה נתקדם היא שבשלב ה k נמנה את ה n -יות. בשלב ה k נמנה את כל ה n -יות כך ש א. n k ב. אבריהן באים מהקבוצה } k.{a 1,, a צריך להראות שבסדר הנ"ל כל איבר של A אכן נספר, ושלפני כל איבר נספרו מספר סופי של איברים. נשים לב כי בשלב ה k ספרנו לכל היותר k n=1 k n = k + k 2 + + k k < a i1, a i2,, a im max i 1, i 2,, i m, m נביט באיבר כלשהו של A האיבר הזה יספר בשלב ה )הראנו שכל איבר נספר באיזשהו שלב ושכל שלב הוא סופי( דוגמא: השלב השלישי n 3 a 1, a 2, a 3 a 1, a 2, a 3 a 1, a 1,, a 3, a 3 a 1, a 1, a 1,, a 3, a 3, a 3 קבוצות שאינן בנות מניה נגדיר יחס בין עוצמות/קבוצות - נאמר כי A B אם יש f: A B חח"ע נאמר כי A B אם יש f: A B חח"ע אבל אין g: A B על. אנחנו נראה שתי טענות א. A P A לכל A )מראה שיש אינסוף עוצמות( ב. יחס סדר חלקי. - משפט קנטור לכל A מתקיים P(A).A הוכחה: תהי P(A) f: A מוגדרת על ידי {x}.f x = שיטת הלכסון לכל P(A) g: A נמצא קבוצה P(A) B g כך ש B g לא בתמונת.g

A A b 1 0 = g(b) 1 1 בכניסה b) (a, במטריצה נכתוב 1 אם g(b) a ו 0 אם g(b).a b, a A g b, g a P A g a, g b A נגדיר B g = a A a g(a)} נראה כעת כי B g לא בתמונת g. נניח בשלילה שיש a כך ש.g a = B g נשאל את עצמנו האם g(a) a? אם כן: אז,a B g אבל אז g(a) B g סתירה. אם g(a) :a אז a B g ושוב g(a) B g סתירה. מסקנה P N לא בת מניה..P N =. 01101010 ולכן: R 0,1 לא בת מניה. רוצים להראות כי יחס סדר חלקי. רפלקסיבי כי A A טרנזיטיבי אם A f B g C אז A g f C g B = C B~g B = C A~f A ~g f A = D D C A A~D A~C D C A משפט קנטור ברנשטיין אם A B ו B A אז.A B הוכחה נתון f: A B חח"ע ונתון g: B A חח"ע צריך למצוא :h A B חח"ע ועל. - - מצבנו: )φ = g f חח"ע ועל )בסימונים הקודמים φ: A D רוצים לבנות :ψ A C חח"ע ועל. ניסיון 1 נגדיר α: A C α a = a a C φ a a C לא עובד כי α לא חח"ע )יש התנגשויות בתוך D(. כי נשים לב שאם α A\C אז α a = α φ a ומתקיים C a φ a C

X 0 = A\C X 1 = φ X 0 X 2 = φ(x 1 ) X n+1 = φ(x n ) X = n=0 X n ניסוין 2 נגדיר ובאופן כללי נגדיר: וכעת נגדיר ψ: A C ע"י ψ a = φ(a) a X a a X טענה: ψ חח"ע ועל חח"ע: נניח ψ(b) ψ a = אם a, b X אז a = ψ a = ψ b = b אם a, b X אז φ a = ψ a = ψ b = φ(b) אם a X וגם b X אז φ a = ψ a = ψ b = b אם a X אז יש n כך ש,a X n ולכן n+1 b X זאת אומרת b X בסתירה. נראה כי ψ על: יהי y C נראה שקיים a A כך ש.ψ a = y.h y = y ע"פ ההגדרה y A ולכן y C אז y n X n אם )I.y X k כך ש k לכן קיים 1.y A\C כי y ו X 0 y n X n אחרת )II אבל k 1.X k = φ X מאחר ו k 1 y φ X קיים k 1 a X כך ש φ(a).y = היות ש a n X n מתקיים כי.ψ a = φ a = y בזה הראינו ש ψ היא על ולכן.A~C משפט: תהי A קבוצה בת מניה אינסופית. אזי.A~N הוכחה: A בת מנייה קיימת f: A N חח"ע. A אינסופית ולכן לפי ההגדרה קיימת :g N A חח"ע. קיבלנו A N וגם N A ולכן.A~N בתרגול נראה כי 2. N R~

תחשיב הפסוקים סינטקס צורה מערכת הכללים. - ו - או - אם-אז - לא הגדרה פורמאלית של הסינטקס אותיות השפה:, F,, T,,,, ביטוי/מילה סדרה סופית של אותיות בשפה. וכן },,1 p p i i N} = {p 0, נגדיר באינדוקציה את אוסף המילים החוקיות בשפה. בסיס: p i i N} {T, F} נקרא לאיברי הבסיס פסוקים אטומיים. פעולות: F = F, F, F, F עבור,α β מתקיים לדוגמה: F α, β = α β קבוצת הפסוקים היא הקבוצה המוגדרת באינדוקציה ע"י B ו F שהגדרנו. מגירים קבוצת פסוקים,F WFF פסוקים מצומצמים ל F ו. בסיס p i i N} F F סגור. משמעות לתחשיב הפסוקים נגדיר קבוצה של ערכי אמת. 0,1 נרצה להתאים לכל פסוק ערך אמת. T 2 T 1 הגדרה עץ יצירה. עץ שבו כל צומת מסומן בפסוק. אם הצומת עלה מסומן בפסוק אטומי. 1. אם הצומת הוא צומת פנימי, מסומן באחד הקשרים ויש לו שני בנים או אחד. 2. אם לצומת יש שני בנים, מסומן ב,, ο. 3. אם לצומת יש בן אחד מסומן ב. 4. נרשום את הבניה של תחשיב הפסוקים כבניה של עצים: בסיס עצים עם צומת אחד p 1, T, F עצי יצירה,, ο ו סגור אם רעיון חישוב ערך אמת: משרטטים לפסוק עץ יצירה ומחשבים ערך אמת במעלה העץ. שני שלבים בחישוב: I( שלב העלים. )II שלב הטיפוס בעץ.

שלב ראשון: מגדירים השמה פונקציה שמתאימה לכל אחד מה } N p i i ערך אמת. z: p i i N} 0,1 T מקבל.1 F מקבל.0 שלב שני: מטרה להרחיב את ההשמה כך שתתאים לכל פסוק ערך אמת. סימון: מסמנים ב ) i z(p את הערך ש z מתאימה ל p. i אם α הוא פסוק, אז - z α הערך שההשמה z מתאימה ל - α ההרחבה של ההשמה. נניח ש δ הצומת הראשון בעץ שלא מוגדר. יש צורך להגדיר איך מבצעים פעולות δ = α β or α β לצורך ביצוע הפעולות משתמשים בטבלאות האמת. TT α β α β 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 TT α β α β 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 TT α β α β 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 TT α α 0 1 1 0 הגדרה פורמאלית תהי z השמה 0,1 N} z = p i i נגדיר באינדוקציה על מבנה הפסוק את הערך.z(α) בסיס: α פסוק אטומי. z α = z p i, α = p i z α = 1, α = T z α = 0, α = F צעד: בהינתן ערכי האמת z(β) z α, עבור,,.o z αoβ = TT o z α, z β p 0 p 1 p 2 p 3 1 1 1 0 z α = TT z α ( p 2 p 3 ) דוגמא: ההשמה z p 2 p 3 = TT z p 2, z p 3 = TT (TT z p 2, z p 3 = TT TT z p 2, z p 3 = TT TT 1, 0 = TT 0,0 = 1 בהינתן השמה z ופסוק.α אם = 1 α z נאמר ש z מספקת.α ונסמן.z α האם ההגדרה טובה )=קיום ויחידות(? קיום אין בעיה. יש צורך להוכיח יחידות. הבעיה עצים שונים. המשפט שמבטיח שלא יתכנו עצים שונים משפט הקריאה היחידה. משפט הקריאה היחידה )I לכל פסוק α אם קיימים β 1, β 2 וקשר דו-מקומי a כך ש ) 2,α = (β 1 aβ אזי לא קיימים.a b או γ 2 או β 2 γ 1 ו β 1 α = γ 1 כך ש bγ 2 b וקשר דו-מקומי γ 1, γ 2 )משמעות אין בלבול בין שני קשרים דו מקומיים(.

)II לכל פסוק α, אם קיים פסוק β כך ש α, = β אז לכל פסוק β 1 אם α = β 1 אז.α = γ 1 כך ש bγ 2 b וקשר דו-מקומי γ 1, לא קיימים γ 2 β = β 1 )אין בלבול בין חד-מקומיים ואין בלבול בין דו-מקומי לחד-מקומי(. המשפט משפט סינטקטי בכל שלב בבניית העץ ישנה אפשרות לבחירת הקשר המרכזי קיים עץ יצירה יחיד. משפט הגדרת ערך האמת: בהינתן השמה z, לכל פסוק α ערך האמת z(α) יחיד. תהי z השמה. נוכיח באינדוקציה על מבנה הפסוק את התכונה: z α יחיד. בסיס: α פסוק אטומי. α = T, z α = 1 α = F, z α = 0 z p i מוגדר באופן יחיד. סגור: נניח ש z β 1 ו z β 2 מוגדרים באופן יחיד. נראה ש ) 2 z(β 1 oβ כש,, o מוגדר באופן יחיד. z β 1 oβ 2 = TT o z β 1, z β 2 מאחר ובכל כניסה בטבלת האמת מופיע ערך יחיד, אזי ערך האמת של ) 2 β) 1 oβ מוגדר באופן יחיד. מוכיחים ) 2 α = β) 1 oβ על פי משפט הקריאה היחידה זו הדרך היחידה לקרוא את α. ולכן בהכרח הערך יחיד. מגדירים סדר קדימויות לקשרים.1,.2.3 נשמיט סוגריים במקרה וניתן ולא משתנה המשמעות. כלומר, נשאיר סוגריים במקרים שבהם מעוניינים לחשב קשרים לא לפי סדר הקדימויות. או קשרים מאותה עדיפות לא משמאל לימין. שני מישורים מישור סינטקטי הגדרת הפסוקים, תכונות פסוק חוק, משפט הקריאה היחידה. מישור סמנטי חישוב ערך האמת, משפט הגדרת ערך האמת. שלמות מערכות קשרים הרבה קשרים בין טענות ניתן לבטא בטבלה. רוב # α, β, γ α β γ # α, β, γ 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 מעניין אותנו כוח ההבעה של תחשיב הפסוקים. דוגמא לקשר בין טענות שניתן להבעה בטבלת אמת רוב. השאלה: האם כל קשר שניתן לביטוי בטבלת אמת ניתן לקבע בתחשוב הפסוקים? בהינתן פסוק α ניתן לבנות ל α טבלת אמת.α = p 0 p 1

נאמר ש α מממש את טבלת האמת שמתאימה לו. p 0 p 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 האם לכל טבלה יש פסוק שמממש אותה? התשובה תלויה במערכת הקשרים. נאמר שמערכת קשרים שלמה אם לכל טבלת אמת קיים פסוק בקשרים האלו שמממש אותה. α j טענה: מערכת הקשרים של תחשיב הפסוקים שלמה. הוכחה: תני TT טבלת אמת, נבנה עבורה פסוק αtt שמממש אותה. נבנה α# שמממש את γ).#(α, β, שלב ראשון לכל שורה i בטבלה שמקבלת 1 נבנה פסוק - α i "אני בשורה ה i"(. α 4, α 6, α 7, α 8 α 4 = p 0 p 1 p 2 α 6 = p 0 p 1 p 2 α 7 = p 0 p 1 p 2 α 8 = p 0 p 1 p 2 נרשום את שלילות כל האטומים שמקבלים 0 בשורה ה i ואת כל האטומים שמקבלים 1 כמו שהם, ונחבר ב. שלב שני נבנה פסוק αtt שיאמר עבור השורות, 2 i 1, i שמקבלות 1 בטבלה: "או שאני ב i 1 או שאני ב i" 2 αtt = α i1 α i2 α ik α# = α 4 α 6 α 7 α 8 אם הטבלה כולה 0 אז או F או.p 0 p 0 הוכחה: נראה ש αtt מקבל 1 יש 1 בטבלה.TT יש 1 בטבלה TT ההשמה מתאימה לאחת משורות ה 1 -ים בטבלה נניח שורה j ההשמה מספקת את עבור 1 משורות ה 1 םי- αtt קבל 1. למעשה ראינו ש,, מערכת קשרים שלמה. מסיקים מזה שם,,, למעשה ניתן לממש על ידי,, or. שלמה אבל מונחי יסוד סמנטיים הגדרה נאמר שפסוק α הוא טאוטולוגיה ונסמן α אם לכל השמה z מתקיים = 1 α z. דוגמאות: T, p 0 p 0 איך נראה α טאוטולוגיה? שיטה ראשון: טבלת אמת. רוצים לבנות טבלה המכילה את כל ההשמות ועבור כל השמה לחשב את ערך האמת שלה. הבעיה יש אינסוף השמות. במערכת הקשרים שלנו, ערך האמת של הפסוק נקבע על פי הערכים שמקבלים האטומים המופיעים בפסוק. לכן אם בפסוק מופיעים n אטומים, מספיק לבנות טבלה עם 2 n שורות.

השיטה: בונים טבלת אמת עבור כל ההשמות האפשריות לאטומים בפסוק, מוודאים שכל השורות קבלו 1. דוגמא: p 1 p 2 p 3 p 2 p 1 p 3 p 1 p 2 p 3 p 2 p 3 α 1 p 1 p 3 α 2 α 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 שיטה שנייה: הוכחה מילולית מחפשים מה צריכה השמה לקיים כדי שערך האמת יהיה 0 ומוכיחים כי לא קיימת השמה כזו. נניח בשלילה שקיימת השמה z כך ש = 0 α z. z p 0 p 1 p 2 = 1.1 z p 0 p 2 p 1 p 2 = 0 מ 2 ע"פ :TT z p 0 p 2 = 1.3 z p 1 p 2 = 0.4 מ 4 ומ :TT z p 1 = 1.5 z p 2 = 0.6 מ 5 ומ :TT z p 0 p 1 = 1.7 מ 6+7 ע"פ TT נובע = 0 2 z p 0 p 1 p סתירה ל 1..2 p 0 p 0, (p p p 0 ) טאוטולוגיות לדוגמא: p 0 p 1 p 2 p 0 p 1 p 0 p 2 p 0 p 1 p 0 p 1 ודה-מורגן הופך את וגם. 1. p 1 p 2 p 1 2. ( p 1 p 2 p 3 p 1 p 2 p 1 p 3 3. p 1 F F p 1 הגדרה נאמר שפסוק α נובע לוגית מפסוק β )או β גורר לוגית את α( ונסמן β α אם כל השמה שמספקת β, מספקת את α. דוגמא: p 0 p 1 p 0 p 0 p 1 p 0 p 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

טענה: β α אמ"מ. β α הוכחה: כיוון ראשון, נניח β α נניח בשלילה שקיימת השמה z כך ש = 0 α.z β לפי TT נובע כי = 1 β z ו = 0 α.z בסתירה להנחה ש β. α כיוון שני, נניח α) (β נניח בשלילה ש β α ולכן קיימת השמה z כך ש = 1 β z וגם = 0 α.z לפי TT נובע כי = 0 α z β בסתירה לכך ש α) (β טאוטולוגיה. הגדרה נאמר שפסוק α הוא סתירה ונסמן α אם לכל השמה z מתקיים = 0 α z. F, T, p 0 p 0 α טאוטולוגיה α סתירה. הגדרה נאמר שפסוק α ספיק אם קיימת השמה z כך ש = 1 α z. איך נראה על פסוק מהו? להראות כן להראות לא טאוטולוגיה סתירה ספיק טבלת אמת או הנחה מילולית טבלת אמת או הנחה מילולית השמה מספקת מראים השמה לא השמה מספקת טבלת אמת או הנחה מספקת מילולית הגדרה נאמר שהשמה z מספקת קבוצת פסוקים X ונסמן z X אם לכל פסוק α X מתקיים כי = 1 α.z הגדרה נאמר שפסוק α נובע לוגית מקבוצת הפסוקים X ונסמן X α אם לכל השמה z שמספקת את X מספקת את α. דוגמא: p 0 p 1, p 1 p 0 p 0 p 1 p 0 p 1 p 0 p 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 מוגדר גם עבור אינסופיות, אבל ההוכחה שונה. הגדרה קבוצת פסוקים X תקרא ספיקה, אם קיימת השמה z שמספקת אותה. שקילות לוגית p 0 p 0 with p 0 p 0 הגדרה נאמר שפסוק α שקול לוגית לפסוק β ונסמן α β אם כל השמה שמספקת α מספקת β ולהיפך. כמו לדרוש α β וגם.β α α β α β טענה: בבית. איך נראה שמערכת קשרים שלמה? דרך ראשונה באופן ישיר. נבנה לכל טבלה פסוק. דרך שנייה להתבסס על מערכת הידועה כשלמה, ולהראות שניתן להביע כל קשר במערכת הישנה באמצעות פסוק במערכת החדשה.

ועל השקילות.α β α β שלמה. נתבסס על,, לדוגמא: נראה, בהינתן טבלת אמת נבנה עבורה פסוק במערכת הישנה ובאמצעות השקיפויות נתרגם למערכת החדשה. שימושים בנביעה לוגית:.X β אז X α β וגם X α β )I הוכחה: נניח ש X α β ו X α β נראה ש.X β תהי z השמה. נראה שאם z X אז z. β נבחין בין שני מקרים:.z β מתקיים X α β לפי ההנחה z α אם o נובע כי = 1 α z לפי ההנחה אחרת z α כלומר = 0 α z לפי TT o z β/ מתקיים X α β אז.γ α בבית. ו γ, α β אם γ, α β )II.β = α עבור II מקרה פרטי של.γ α אז γ, α α אם )III Σ α, α β β )כאשר Σ קבוצת פסוקים(. )IV.Σ 2 α אז Σ 1 α אם,α אזי לכל פסוק Σ 1 קבוצות פסוקים. אם Σ 2 Σ 1, תהיינה Σ 2 )V הוכחה: נראה שאם Σ 1 α אז.Σ 2 α תהי z השמה. נראה שאם z Σ 2 אז.z α אם z Σ 2 אז z מספקת את כל הפסוקים ב.Σ 2 מאחר ו,Σ 1 Σ 2 אז z מספקת את כל הפסוקים ב.Σ 1 לפי ההנחה Σ 1 α ולכן.z α NNF Negation Normal Form p i i N p i i N} T, F F, F צורות נורמאליות הקבוצה מוגדרת באינדוקציה. בסיס: סגור: דוגמאות: p 0 p 5 p 3 p 0 p 5 נראה שלכל פסוק ניתן למצוא פסוק שקול בצורת.NNF CNF הגדרה בשני שלבים. שלב ראשון, מגדירים: :Disj בסיס: p i i N} p i i N} T, F סגור: F מתקיים: p 0 p 5 F p 8 p 0 p 5 נגדיר את הקבוצה CNF באינדוקציה: בסיס: Disj סגור: F דוגמאות: p 1 p 5 p 3 F p 3 p 5 p 8 p 4 משפט ה :CNF לכל פסוק α קיים פסוק α מצורת CNF כך ש α α וב α וב α אותם אטומים.

p i i N} p i i N} T, F F p 0 p 1 p 2 p 0 p 1 p 2 p 0 p 1 p 2 α וב α α כך ש DNF מצורת α :DNF ההגדרה בשני שלבים. בשלב הראשון :Conj סגור: שלב שני נגדיר :DNF בסיס: Conj F סגור:. משפט ה :DNF לכל פסוק α קיים פסוק וב α אותם אטומים. פסוקים מסוג DNF ראינו בהוכחת השלמות של מערכת הקשרים של תחשיב הפסוקים. ראינו בעצם שלכל טבלת אמת קיים פסוק מצורת DNF שמממש אותה. למעשה הוכחנו את משפט ה.DNF בהינתן פסוק נבנה עבורו טבלת אמת, ועבור טבלת האמת נבנה פסוק DNF שמממש אותה. p i i N} p i i N} T, F צורות נורמאליות הגדרנו NNF בסיס: סגור: F, F משפט ה :NNF לכל פסוק α קיים פסוק α כך ש α מצורת NNF ו.α α השיטה מציירים עץ ודוחפים למטה לכיוון העלים. נשתמש בשקיפויות: ρ ξ ρ ξ F T T F ρ = ρ ρ 1 ρ 2 ρ 1 ρ 2 דוגמא: p 0 p 1 p 2 p 1 p 5 p 0 p 1 p 2 p 1 p 5 דה מורגן: p 0 p 1 p 2 p 1 p 5 DNF בסיס Conf סגור F משפט ה DNF לכל פסוק α קיים פסוק שקול לוגית α כך ש α מצורת DNF ול α ו α יש אותם אטומים. ראינו שלכל טבלת אמת ניתן לבנות פסוק מצורת DNF הממש אותה. בהינתן פסוק -< α נבנה ל α טבלת אמת ואז נממש אותה בפסוק.DNF

מערכת הוכחה פורמאלית הוכחה מושג סינטקטי. איך מגדירים מערכת הוכחה? I( בוחרים אקסיומות. קל לוודא מי אקסיומה. )II כללי הסק כללים שבאמצעותם נתקדם בהוכחה. )III קבוצת המשפטים הפורמאליים: כללי הסק אקסיומות X הוכחה פורמאלית היא סדרת יצירה במבנה. סדרת הוכחה עבור פסוק α היא סדרה סופית a 1, α n כך ש: α n = α.1 2. כל פסוק i n α i 1 הוא אקסיומה או שהתקבל מפסוקים קודמים בסדרה על ידי אחד מכללי ההסק. נאמר ש α יכיח אם לכל α יש סדרת הוכחה, נסמן. α δ הוא מאחת מהצורות הבאות: 1. α β α 2. α β γ α β α γ מערכת הוכחה לתחשיב הפסוקים: נגדיר קבוצת אקסיומות )למעשה 3 תבניות(. δ הוא אקסיומה אם קיימים פסוקים,α,β γ כך ש 3. α F F α לדוגמה: A1: p 0 p 1 p 0 p 0 F F F p 0 F MP α, α β β X,אקס MP כלל ההסק: קבוצת המשפטים הפורמאליים: משתמשים ב, F מערכת פעולות שלמה. מסמנים. α דוגמה, נראה לכל פסוק α כי: α α נסמן ב β את α).(α 1. α β α α β α α A2 2. α β α A1 3. α β α α MP 1,2 α α α α α 4. α α α A1 5. α α MP 3,4 הוכחה מתוך הנחות הבסיס: אקס' + הנחות בהינתן קבוצת פסוקים Σ, קבוצת המסקנות של Σ )מסומת )Ded Σ Ded Σ = X Σ,אקס MP נסמן ב Σ α את הטענה.α Ded Σ סדרת הוכחה עבור α מתוך קבוצת הנחות Σ. היא סדרה סופית α 1,, α n כך ש: α n = α.1

כל פסוק בסדרה i n α i 1 הוא אקסיומה או הנחה או התקבל מפסוקים קודמים על ידי.MP 1. β γ α β γ A1 2. הנחה β γ 3. α β γ MP 1,2 Σ = α β, β γ 4. α β γ α β α γ A2 5. α β α γ MP 6. הנחה α β 7. α γ MP 1. הנחה α F 2. הנחה α 3. F MP 4. F β F F A1 5. β F F MP 6. β F F β A3 7. β MP הנחה 1. α Σ = α, α F Σ β Σ α γ.2 דוגמא צ"ל דוגמא נראה כי לכל פסוק β מתקיים: תכונות של הוכחה מתוך הנחות: X,Y קבוצות פסוקים,,α β פסוקים. טענה 1 אם α X אז X α טענה 2 מונוטוניות של מערכת ההוכחה )מוסיפים הנחות, מוסיפים מסקנות( אם X Y אזי לכל פסוק α אם X α אז.Y α סדרת ההוכחה של α מתוך X היא גם סדרת הוכחה מתוך Y. טענה 3 אם לכל פסוק α X מתקיים Y α אזי לכל פסוק β אם X β אז.Y β טענה 4 אם x α β γ ו X α β אז.X α γ אם הגרף G קשיר, אזי מתקיים... נניח ש G קשיר, ונראה... Σ α β Σ α β משפט הדדוקציה: לכל קבוצת פסוקים X ולכל זוג פסוקים,α β Σ α β Σ α β כיוון ראשון מיידי )ימין לשמאל(.X α α β ולכן על סמך המונוטוניות X α β X α α ע"י.X α β MP

X α β.x α β מתקיים X α X Induction X α,אקס MP כיוון שני: צ"ל: אם X α β אז X α β צ"ל: לכל פסוק β כך ש X α β מתקיים לכל פסוק β ששייך לקבוצות המסקנות של קבוצת המסקנות באינדוקציה. בסיס X α אקס סגור.MP לכל פסוק β בקבוצה מתקיים.X α β נוכיח באינדוקציה על המבנה X Induction (X α,אקס MP) את התכונה )עבור פסוק.X α β )β בסיס: נפריד למקרים: 1. β היא אקסיומה. נראה X α β I) (β α β A1 אקסיומה II) β III) (α β).β X.X היא הנחה מ β.2 I) (β α β A1 הנחה II) β III) (α β) MP β = α.3 צ"ל X α α ראינו ש α α לפי המונוטוניות.X α α סגור: MP אם γ מקיימת את התכונה γ β מקיימת את התכונה, אז β מקיימת את התכונה. MP γ, γ β β עבור X α γ :γ עבור X α γ β :γ β צ"ל: X α β לפי טענה 4 מקודם X α β ראינו שלכל β שיכיח מ X α מתקיים.X α β מסקנה מתכונת המונוטוניות: אם α אז לכל קבוצה.X α :X הנחה I) α דוגמאות לשימושים בדדוקציה:. α α.1 לפי משפט הדדוקציה מספיק שנראה. α α לפי טענה 1. 2. לכל פסוק α: α α F F לפי משפט הדדוקציה מספיק שנראה α, α F F

II) הנחה α F III) F MP I) הנחה α II) הנחה α β III) b MP IV) הנחה β F V) F MP α β β F α F לפי משפט הדדוקציה מספיק שנוכיח α β, β F α F שוב לפי משפט הדדוקציה מספיק שנראה α β, β F, α F.3 משפט הדיכוטומיה אם Σ\U α β ו Σ α F β אז.Σ β עקביות של קבוצת הנחות: הגדרה קבוצת פסוקים X היא עקבית אם X. F משפט תהי X קבוצת פסוקים. X קבוצה עקבית אמ"מ כל תת קבוצה סופית של X עקבית. שקול להוכיח: X לא עקבית אמ"מ קיימת ל X תת קבוצה סופית לא עקבית. כיוון ראשון נניח שקיימת ל X תת קבוצה סופית לא עקבית. קיימת D X סופית D. F לפי המונוטוניות X F ולכן לא עקבית כיוון שני נניח ש X לא עקבית ונראה כי קיימת ל X תת-קבוצה סופית לא עקבית..X F לא עקבית ולכן X כלומר קיימת ל F סדרת הוכחה סופית מתוך X. נגדיר את D להיות אוסף כל ההנחות בהן השתמשנו בהוכחת F מתוך X. D קבוצה סופית מאחר וסדרת היצירה סופית. X. כי מכילה רק הנחות מ D X - D F ע"י אותה סדרת הוכחה. לכן מצאנו תת קבוצה סופית של X שאינה עקבית. העקביות של האקסיומות של תחשיב הפסוקים למה חשוב לשאול? אם קבוצת האקסיומות לא עקבית אין טעם בדיון על מה יכיח ומה לא? שכן הכל יכיח. יעניין אותנו לשאול האם יש בכלל קבוצה עקבית? שתי השאלות שקולות. קבוצת האקסיומות עקבית שקול לשאול "האם ϕ עקבית". אם ϕ עקבית קיימת קבוצה עקבית. אם ϕ לא עקבית אז כל קבוצה לא עקבית. נרצה להראות שקבוצות האקסיומות עקבית, כלומר. F כלומר נרצה להראות ש.F X,אקס MP נראה תכונה שכל הפסוקים היכיחים מקיימים ו F לא מקיים.

טענה: הקבוצה הריקה עקבית. כלומר F תכונה: כל פסוק יכיח הוא טאוטולוגיה. משפט הנאותות הצר: לכל פסוק α אם α אז. α משפט הנאותות הרחב: לכל קבוצת הנחות Σ ולכל פסוק,α אם Σ α אז.Σ α המשפט הצר מתקבל עבור Σ. = ϕ מסקנה: קיימת קבוצה עקבית. הוכחת משפט הנאותות הרחב: תהי Σ קבוצת פסוקים. נוכיח כי לכל פסוק α אם Σ α אז Σ. α תהי Σ קבוצת פסוקים. נוכיח כי לכל פסוק α כך ש Σ α מתקיים Σ. α צ"ל: לכל פסוק α בקבוצת הפסוקים היכיחים Σ מתקיים כי Σ. α נוכיח באינדוקציה על קבוצת המסקנות של Σ את התכונה: Σ. α הוכחה: בסיס:.Σ α אקסיומה. צ"ל α.1 ראינו בבית שכל האקסיומות טאוטולוגיות ולכן הן נובעות לוגית מכל קבוצה. כל השמה מספקת את α ובפרט כל השמה שמספקת את Σ מספקת את α(..σ α הנחה. צ"ל α Σ.2 כל השמה שמספקת את Σ, מספקת על פי ההגדרה את כל פסוקי Σ ובפרט את α. צעד: נניח ש,β β α מקיימים את התכונה ונראה ש α מקיימת את התכונה. הנחת האינדוקציה: Σ β Σ β α צ"ל: Σ α תהי z השמה שמספקת את Σ. לפי הנחת האינדוקציה z β ו.z β α לפי TT נקבל.z α משפט שקול לנאותות: לכל קבוצת פסוקים Σ אם Σ ספיקה אז Σ עקבית. הוכחה: תהי Σ קבוצה ספיקה, נוכיח ש Σ עקבית. נניח בשלילה ש Σ לא עקבית. זאת אומרת Σ. F לפי משפט הנאותות Σ. F F סתירה לכן אף השמה לא מספקת את F ומכאן שלא תיתכן השמה שמספקת את בסתירה לכך ש Σ ספיקה..Σ עד כאן יש: סינטקס α צר רחב סמנטיקה α משפט שקול Σ α Σ α ספיקה Σ עקבית Σ המטרה בהמשך להראות את החיצים בכיוון השני.

הגדרה קבוצת פסוקים Σ תקרא עקבית מקסימאלית אם Σ עקבית ולכל פסוק α:.σ α F או Σ α טענה תהי X קבוצה עקבית. קיימת קבוצה עקבית מקסימאלית Y כך ש X. Y הרעיון: נעשה רשימה של כל הפסוקים. ועבור כל פסוק אם לקבוצה אין דעה עליו, נוסיף את α או α. F הבעיה צריך להיזהר לא לפגוע בעיקביות. הוכחה: נכין רשימה של קבוצת הפסוקים, 2.α 0, α 1, α )ניתן להכין בת מניה(. נגדיר סדרת הרחבות עבור X. X 0 = X בשלב ה n דואגים לפסוק 1 n α ומגדירים X. n X 0 = X X 1 X 2 X 3 בהינתן n 1,X נבדוק אם n 1 X n 1 α עקבית, נגדיר X n = X n 1 α n 1 אחרת נגדיר X n = X n 1 a n 1 F לדוגמה אם X 0 α 0 עקבית אז X 1 = X 0 α 0 אחרת.X 1 = X 0 a 0 F וכך הלאה. Y = n=0 X n נגדיר נראה ש Y עונה על הדרישות. נראה: Y עקבית מקסימאלית ו X. Y נראה :X Y.1.X = X 0 Y ולפי ההגדרה Y = n=0 X n X n היא עקבית. נראה כי לכל n הקבוצה 2. הוכחה באינדוקציה על הטבעיים. בסיס: = 0 n X 0 = X עקבית על פי ההנחה. X n עקבית ונוכיח 1+n X עקבית. צעד: נניח אם X n+1 = X n α n לפי ההגדרה X n α n עקבית..X n α n F לא עקבית. כלומר X n α n לפי ההגדרה X n+1 = X n α n F אחרת נניח בשלילה ש X n α n F לא עקבית. כלומר.X n α n F F לפי משפט הדיכוטומיה X, n F בסתירה להנחת האינדוקציה. נראה כי Y קבוצה עקבית. 3. X n עקבית. הראינו ב 2 כי לכל n מתקיים כי ראינו שמספיק להראות שכל תת-קבוצה סופית של Y עקבית. תהי D תת-קבוצה D Y סופית. Y = D = B 1,, B k.)b i Y )אחרת B i X m i לכל i קיים m כך ש.max = max m i, B i D, B i X m i נגדיר max האינדקס המקסימאלי בין הקבוצות מאחר והקבוצות מכילות זו את זו אזי D. X max n=0 X n

ראינו ב 2 ש X max עקבית ומאחר ו D תת-קבוצה של קבוצה עקבית D עקבית. ראינו שלכל D Y סופית, D עקבית ולכן Y עקבית. נראה ש Y עקבית מקסימאלית. ראינו ב 3 ש Y עקבית. צ"ל: לכל פסוק α מתקיים Y α או.Y α F יהי α פסוק. α הופיע ברשימת הפסוקים.α = α n לפי ההגדרה: - או X n+1 = X n α ואז.X n+1 α - או X n+1 = X n α F ואז.X n+1 α F כלומר X n+1 α או X n+1 α F לפי המונוטוניות, מאחר ו X n+1 Y אז Y α או.Y α F ראינו Y עקבית מקסימאלית שמכילה X..4 טענה: תהי Y קבוצה עקבית מקסימאלית, אזי לכל,β γ מתקיים: Y β F or Y γ Y β γ האם נכון לכל קבוצה Y? ראינו. p 0 p 0 היה צריך להיות p 0 או. p 0 F יודעים ש p 0 ו p 0 F ולכן על פי הנאותות p 0 ו. p 0 F בבית תהי Y קבוצה עקבית אם: לכל,β γ מתקיים: Y β F or Y γ Y β γ אז Y עקבית מקסימאלית. הוכחה כיוון ראשון: נניח Y β γ ונראה Y γ או.Y β F נניח בשלילה ש Y β F and Y γ היות ש Y עקבית מקסימאלית נובע כי: Y β and Y γ F Y β γ.1 Y β.2 Y γ F.3 ע"י MP על 1 ו 2 נקבל.Y γ ע"י MP עם 3 נקבל Y F בסתירה לעקביות. כיוון שני: נניח Y β F או Y γ ונראה.Y β γ.1 אם Y β F ראינו. β, β F γ על פי הדדוקציה β F β γ שוב על פי הדדוקציה β F (β γ) לפי המונוטוניות Y β F β γ על ידי MP Y β F ולכן Y β γ

Y γ β γ Y β γ אם Y γ נראה.Y β γ אקסיומה 1 ע"י MP נקבל.2 ספיקות של קבוצות עקביות מקסימאליות למה: Y קבוצה עקבית מקסימאלית, אז Y קבוצה ספיקה. הוכחה: נגדיר השמה z באופן הבא: לכל i Y p i z p i = 1 צ"ל: z Y כלומר לכל α אם α Y אז.z α נוכיח טענה חזקה יותר: לכל פסוק α: Y α z α למה זה מספיק? לכל פסוק α Y מתקיים Y α ולכן לפי הטענה החזקה.z α טענת העזר עוסקת במערכת ההוכחה ולכן יש להוכיח אותה רק עבור פסוקים,. F הוכחה באינדוקציה על מבנה הפסוקים ב,. F תכונה:.Y α z α בסיס: α = F.1 Y - Y F עקבית. F - z F סתירה..2 i - α = p פסוק אטומי. לפי ההגדרה z p i = 1 Y p i וצד שמאל שקול ל.z p i צעד: הנחת האינדוקציה: נניח נכונות עבור,β γ ונוכיח עבור α. = β γ כיוון ראשון: נניח Y β z β וגם Y γ z γ נוכיח Y α z α z γ או z β מתקיים TT אז לפי (z β γ) לכן לפי הנחת האינדוקציה T β או.T γ לכן Y עקבית מקסימאלית Y β F או.Y γ לכן לפי טענת העזר.Y β γ כיוון שני: לפי טענת העזר Y β F או.Y γ היות ש Y עקבית נובע כי Y β או.Y γ לפי הנחת האינדוקציה z β או.z γ לפי TT נובע כי.z β γ כלומר, בהינתן עקבית מקסימלית Y בנינו השמה z והראינו ש z. Y משפט אם X קבוצה עקבית אז X קבוצה ספיקה. הוכחה תהי X קבוצה עקבית. ראינו שקיימת קבוצה עקבית מקסימאלית כך ש X. Y ראינו ש Y ספיקה, קיימת השמה z שלכל α Y מתקיים כי z. α בפרט, z מספקת את כל פסוקי X. לכן z X ולכן X ספיקה.

הגענו למצב הבא: סינטקס α Σ α עקבית Σ סמנטיקה α Σ α ספיקה Σ שני החיצים העליונים מושלמים על ידי: משפט השלמות: תהי Σ קבוצת פסוקים, אזי לכל פסוק α אם Σ α אז Σ. α הוכחה Σ α לכן Σ α לא ספיקה. לכן Σ α F לא ספיקה. ראינו שכל עקבית היא ספיקה ולכן Σ α F לא עקבית. לכן Σ {α F} F לפי הגדרה. לפי הדדוקציה: Σ α F F לפי אקסיומה 3 Σ α F F α לפי MP נקבל Σ α מסקנה: משפט הקומפקטיות תהי X קבוצת פסוקים. X ספיקה כל תת קבוצה סופית של X ספיקה. נובע מ: X עקבית כל תת קבוצה של X עקבית. דוגמא לשימוש צביעה של גרפים נתון E) G = (V, E V V הקשתות - V לא בהכרח סופית. נאמר ש G ניתן לצביעה חוקית בשני צבעים, אם ניתן לצבוע את צמתי הגרף בשני צבעים כך שלא תהיה קשת מונוכרומאטית )שני הקצוות באותו צבע(. נקרא 2 -צביע. טענה: יהי G = V, E גרף. G ניתן לצביעה חוקית בשני צבעים כל תת גרף סופי של G ניתן לצביעה חוקית בשני צבעים. u, v שיאמר ש α u,v רוצים לתרגם את הבעיה לפסוקים. למצוא קבוצה X G )שתלויה בגרף G( G הוא גרף 2 -צביע G X ספיקה. הבניה: צמתי הגרף הפסוקים האטומים הצביעה ערכי האמת של ההשמה לכל קשת בגרף,u v נרשום פסוק אינה קשת מונוכרומאטית. טענה: G הוא 2 -צביע G X ספיקה. α u,v = p i p v p u p v p v p u X G = α u,v u, v E

סקיצה של ההוכחה 2 -צביע G ולכן קיימת צביעה. נגדיר השמה לפסוקים האטומים F צומת כחול T צומת אדום השמה z לפי הבניה z X G X G ספיקה ולכן קיימת השמה מספקת. מההשמה נבנה צביעה. כחול צמתים שקיבלו F אדום צמתים שקבלו T נפנה להוכיח: 2 -צביע G כל תת-גרף סופי של G הוא 2 -צביע הוכחה כיוון ראשון אם 2 -צביע G אז אותה צביעה מהווה גם צביעה חוקית של כל תת-גרף סופי של G כיוון שני יודעים שכל תת-גרף סופי של G הוא 2 -צביע ורוצים להראות ש 2 -צביע G ראינו שמספיק שנראה ש X G ספיקה. לפי הקומפקטיות מספיק שנוכיח שכל תת-קבוצה סופית D X G היא ספיקה. תהי D תת-קבוצה סופית של X. G נסמן ב V D את קבוצת הצמתים המופיעים ב D. V. D שצמתיו הם G את תת-הגרף של G D קבוצה סופית. נסמן ב V D G D הוא תת-גרף סופי ולכן הוא 2 -צביע. לכן X GD קבוצה ספיקה. D X GD ולכן ספיקה. ולכן לפי הקומפקטיות X G ספיקה. באופן כללי: צ"ל: X מקיים α כל חלק סופי של X מקיים α. 1. מתרגמים את הבעיה לפסוקים. בונים Σ X α מקיים X ספיקה Σ X 2. משתמשים בקומפקטיות בזהירות! גדירות: השאלה מה ניתן להביע בתחשיב הפסוקים? נאמר שקבוצת פסוקים Σ מגדירה את אוסף ההשמות שמספקות אותה. מסמנים: ASS Σ = z z Σ Σ. נקרא קבוצת המודלים של Mod(Σ).ASS Σ מגדירה Σ בבית אם Σ 1 Σ 2 אז.ASS Σ 2 ASS Σ 1

מעניין הכיוון ההפוך. בהינתן קבוצת השמות K האם קיימת קבוצת פסוקים Σ שמגדירה את K. כלומר.K = Mod Σ אם קיימת קבוצת פסוקים Σ שמגדירה את K נאמר ש K גדירה. האם קיימות קבוצות השמות לא גדירות? Σ ASS Σ נראה משיקולי סתירה שיש קבוצות השמות לא גדירות. פסוקים 0 ℵ קבוצות פסוקים 0 2 ℵ השמות 0 2 ℵ קבוצות השמות לכן בהכרח קיימות קבוצות השמות שאינן גדירות. הגדרה נאמר שקבוצת השמות K היא גדירה באופן סופי אם K גדירה ע"י קבוצה סופית של פסוקים. דוגמאות K 1 = ϕ.1 נראה ש K 1 גדירה. צריך למצוא Σ 1 כך ש.Mod Σ 1 = ϕ F, p 0 p 0, F, p 0 כל קבוצה לא ספיקה. K 2.2 כל ההשמות. נראה ש K 2 גדירה. Σ 2 = ϕ גם כל קבוצה של טאוטולוגיות. K 3 = z T.3 בבית צ"ל שהיא גדירה ע"י.Σ 3 = p i i N K 4 4. קבוצת כל ההשמות הנותנות T לאטום אחד לכל היותר. נראה ש K 4 גדירה. השמה נותנת T לאטום אחד לכל היותר, ולכן אין שני אטומים שמקבלים T. לכן בין כל שני אטומים לפחות אחד מהם מקבל F. עבור p i, p j לפחות אחד קבל.F 2 2ℵ 0 p i p j Σ 4 = p i p j i j נגדיר נראה ש Mod Σ 4 = K 4 z Σ 4 z K 4 z Σ 4 z K 4 אם z K 4 אז z נותנת T לפחות לשני אטומים שונים. נניח.p k, p l מכאן.z p k p l מאחר ו p k p l Σ 4 נקבל.z Σ 4 אם z Σ 4 אז קיים פסוק α Σ 4 כך ש.z α = F מהגדרת Σ 4 נקבל כי α מהצורה. p k p l z p k p l מטבלאות האמת נקבל כי.z p k = z p l = T לכן.z K 4 5. נגדיר K fin קבוצת כל ההשמות שנותנות T למספר סופי של אטומים.