Η αναγέννηση του Αρχιμήδη

Η αναγέννηση του Αρχιμήδη

ΝΕΦΕΛΗ / ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ & ΙΣΤΟΡΙΑ Διεύθυνση σειράς: Δημήτρης Διαλέτης, Γιάννης Χριστιανίδης Τίτλοι πρωτοτύπων: Reviel Netz, Ken Saito, Natalie Tchernetska, «A new reading of Method proposition 14: Preliminary evidence from the Archimedes Palimpsest (Part 1)», Sciamus 2 (2001), 9-29. Sciamus. Reviel Netz, Ken Saito, Natalie Tchernetska, «A new reading of Method proposition 14: Preliminary evidence from the Archimedes Palimpsest (Part 2)», Sciamus 3 (2002), 109-125. Sciamus. Reviel Netz, Fabio Acerbi, Nigel Wilson, «Towards a reconstruction of Archimedes Stomachion», Sciamus 5 (2004), 67-99. Sciamus. ISBN: 978-960-211-997-6 2011 Εκδόσεις ΝΕΦΕΛΗ και Γιάννης Χριστιανίδης Ασκληπιού 6, Αθήνα 106 80 τηλ.: 210 3639962 fax: 210 3623093 e-mail: info@nnet.gr www.nnet.gr

Η ΑΝΑΓΕΝΝΗΣΗ ΤΟΥ ΑΡΧΙΜΗΔΗ Πώς ένα μεσαιωνικό βιβλίο του 10ου αιώνα ανατρέπει παγιωμένες απόψεις για τα αρχαία ελληνικά μαθηματικά Κείμενα των REVIEL NETZ, KEN SAITO, NATALIE TCHERNETSKA, FABIO ACERBI, NIGEL WILSON, ΓΙΑΝΝΗ ΧΡΙΣΤΙΑΝΙΔΗ, ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΔΕΜΗ Επιμέλεια ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΙΣΤΙΑΝΙΔΗΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΝΕΦΕΛΗ ΑΘΗΝΑ 2011

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΙΣΤΙΑΝΙΔΗΣ Εισαγωγή... 9 REVIEL NETZ, KEN SAITO, NATALIE TCHERNETSKA Μια νέα ανάγνωση της Πρότασης 14 της «Μεθόδου». Πρώτα στοιχεία που προέκυψαν από το παλίμψηστο του Αρχιμήδη (Α Μέρος)... 23 REVIEL NETZ, KEN SAITO, NATALIE TCHERNETSKA Μια νέα ανάγνωση της Πρότασης 14 της «Μεθόδου». Πρώτα στοιχεία που προέκυψαν από το παλίμψηστο του Αρχιμήδη (Β Μέρος)... 61 REVIEL NETZ, FABIO ACERBI, NIGEL WILSON Μια απόπειρα ανασύνθεσης της πραγματείας Στομάχιον του Αρχιμήδη... 93 ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΙΣΤΙΑΝΙΔΗΣ, ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ ΔΕΜΗΣ Οι μέθοδοι τετραγωνισμού του Αρχιμήδη... 155 ΕΠΙΜΕΤΡΟ Η Πρόταση 14 της Μεθόδου Αρχαίο κείμενο και μετάφραση... 195 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ... 207

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι θεαματικές εξελίξεις που ακολούθησαν τη δημοπράτηση του Παλίμψηστου Κώδικα του Αρχιμήδη από τον οίκο δημοπρασιών Christie s της Νέας Υόρκης, στις 29 Οκτωβρίου 1998, δεν είναι σημαντικές επειδή διαψεύδουν τη διαδεδομένη κατά τις προηγούμενες δεκαετίες στην κοινότητα των ιστορικών της επιστήμης άποψη ότι η ιστορία των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών αποτελεί ένα πεδίο έρευνας εξαιρετικά κορεσμένο. 1 Ούτε επειδή 1. Όταν τη νύχτα της 28ης προς 29η Σεπτεμβρίου 1998 συνέτασσα το πρώτο σχέδιο ενός κειμένου προς τον τότε υπουργό πολιτισμού για τη σημασία του Κώδικα του Αρχιμήδη και την ανάγκη διεκδίκησής του ένα κείμενο το οποίο λίγες μέρες αργότερα, στις 5.10.1998, έλαβε τη μορφή επίσημου εγγράφου, συνυπογεγραμμένου από επτά ακόμη συναδέλφους μου του Τμήματος ΜΙΘΕ του Πανεπιστημίου Αθηνών (βλ. Παράρτημα 1 στο τέλος της ανά χείρας συλλογής), δεν ήταν δυνατόν να γνωρίζω πόσο θα αναζωογονούσε την ιστοριογραφία των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών η μελέτη αυτού του χειρογράφου. Έγραφα ωστόσο σε κείμενό μου εκείνων των ημερών στην Καθημερινή (δημοσιεύθηκε στις 9.10.1998): «Όμως το χειρόγραφο δεν έχει μελετηθεί ως σήμερα από κανέναν άλλο επιστήμονα εκτός από τον Heiberg. Η αυθεντία, η εγκυρότητα και η επιστημοσύνη του κορυφαίου αυτού φιλολόγου είναι πέραν πάσης αμφισβήτησης. Αλλά θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι ο Heiberg μελέτησε το χειρόγραφο με τα τεχνικά μέσα της εποχής του που δεν ήταν άλλα από την ανάγνωση με γυμνό μάτι, με τη βοήθεια το πολύ-πολύ ενός μεγεθυντικού φακού και σε συνθήκες φυσικού φωτός. Εξάλλου ο Heiberg ήταν σε μεγάλη ηλικία όταν καταπιάστηκε με τη μελέτη του χειρογράφου και όπως ο

10 Η ΑΝΑΓΕΝΝΗΣΗ ΤΟΥ ΑΡΧΙΜΗΔΗ αποκαλύπτουν τις όποιες παραφωνίες διατυπώθηκαν εκείνη την περίοδο στο πλαίσιο του δημόσιου διαλόγου στη χώρα μας, με αφορμή την αποτυχημένη, τελικά, διεκδίκηση του χειρογράφου από το ελληνικό κράτος. 2 Ο Κώδικας του Αρχιμήδη αποδεικνύεται σημαντικός για δεύτερη φορά, εκατό χρόνια μετά την πρώτη ανάγνωσή του από τον Johann Ludwig Heiberg, αφενός διότι από τη μελέτη του αποκαλύφθηκαν πρόσφατα νέες, άγνωστες πτυχές για τον μαθηματικό Αρχιμήδη και αφετέρου διότι αποτέλεσε ένα ερέθισμα που συνέβαλε, σε συνδυασμό φυσικά ίδιος γράφει στον πρόλογο του δευτέρου τόμου των Απάντων του Αρχιμήδη που επιμελήθηκε το 1913 (Λειψία, Teubner), οι οφθαλμοί μου πλέον δεν επαρκούν για περισσότερες έρευνες. Αν στα παραπάνω συνυπολογίσουμε και το γεγονός ότι το εν λόγω χειρόγραφο δεν είναι ένα απλό χειρόγραφο αλλά ένα παλίμψηστο, τότε γίνεται φανερό ότι είναι επιτακτική ανάγκη η εκ νέου μελέτη του με σύγχρονα τεχνικά μέσα. Η φωτογράφηση του χειρογράφου σε διαφορετικά μήκη κύματος και η ψηφιακή επεξεργασία του θα δώσουν τη δυνατότητα να αποκαλυφθούν για πρώτη φορά τμήματα του κειμένου του Αρχιμήδη τα οποία ο Heiberg δεν ήταν σε θέση να διαβάσει και τα οποία στην έκδοσή του έχει αφήσει κενά.» Οι εξελίξεις στα χρόνια που ακολούθησαν δεν επιβεβαίωσαν απλώς τις εκτιμήσεις μου όπως θα διαπιστώσει ο αναγνώστης διατρέχοντας τις σελίδες του παρόντος βιβλίου απέδειξαν ότι αυτές ήσαν πολύ μετριοπαθείς. 2. Για ένα σύντομο χρονικό όσων διαδραματίστηκαν στην Ελλάδα σχετικά με το παλίμψηστο τις είκοσι πέντε μέρες του Οκτωβρίου 1998, από τη δημοσιοποίηση του εγγράφου των καθηγητών του ΜΙΘΕ μέχρι την ημέρα της δημοπρασίας, βλ. το κείμενο «Κωδικός Εύρηκα: πώς η Ελλάδα έχασε το Παλίμψηστο» του δημοσιογράφου Παναγιώτη Λιάκου, στο ένθετο έντυπο «Λύσεις στα αινίγματα του Αρχιμήδη» του περιοδικό GEO, τ. 8, Ιανουάριος 2007, σ. 4 13. Βλ. επίσης το άρθρο «ΥΠΠΟ: μη μου τους κύκλους τάραττε» της εφημερίδας Αυγή της 13.8.2006 (υπογράφεται από τους Κ. Γαβρόγλου, Δ. Διαλέτη, Γ. Χριστιανίδη). Για τη διεθνή δραστηριότητα σχετικά με το παλίμψηστο και τη δημοπρασία βλ. (Netz & Noel 2007). Για την πληρότητα της ενημέρωσης δημοσιεύεται επίσης στο Παράρτημα 2 ένα έγγραφο εκείνης της εποχής.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ 11 με πολλά άλλα, ώστε να παρατηρείται τα τελευταία χρόνια διεθνώς μια άνθιση των ερευνών για την ιστορία των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών. Ξεκινώντας από αυτό το δεύτερο σημείο, και προς επίρρωσιν του ισχυρισμού, αρκεί να επικαλεστεί κανείς δύο πολύ σημαντικά εκδοτικά εγχειρήματα, που αφορούν στα έργα δύο εκ των κορυφαίων μαθηματικών της Ελληνιστικής περιόδου, του Αρχιμήδη και του Απολλωνίου, το ένα από τα οποία βρίσκεται αυτόν τον καιρό σε εξέλιξη ενώ το άλλο μόλις ολοκληρώθηκε. Όσον αφορά στον Αρχιμήδη βρίσκεται σε εξέλιξη ένα διττό εγχείρημα: η έκδοση του ελληνικού κειμένου των πραγματειών που περιέχονται στον παλίμψηστο κώδικα, που τουλάχιστον για μερικές από αυτές φιλοδοξεί να αντικαταστήσει την κλασική έκδοση του Heiberg (Archimedes 1910 15) και η πρώτη πλήρης αγγλική μετάφραση των Απάντων του Αρχιμήδη και των σχολίων του Ευτοκίου σε αυτά. Μέχρι σήμερα που γράφονται αυτές οι γραμμές έχει κυκλοφορήσει ο πρώτος τόμος του δεύτερου σκέλους του εγχειρήματος, με την αγγλική μετάφραση και τον σχολιασμό των δύο βιβλίων του Περί σφαίρας και κυλίνδρου, καθώς και των σχολίων του Ευτοκίου στα βιβλία αυτά. (Archimedes 2004) Τη μετάφραση και τον σχολιασμό επιμελείται ο Reviel Netz, ο οποίος έχει επίσης την ευθύνη της έκδοσης του ελληνικού κειμένου του παλιμψήστου. Όσον αφορά στον Απολλώνιο μόλις πρόσφατα ολοκληρώθηκε ένα μεγάλο εκδοτικό πρόγραμμα το οποίο περιλαμβάνει αφενός την έκδοση, τη γαλλική μετάφραση και τον σχολιασμό του «Apollonius Arabicus», δηλαδή του συνόλου επτά βιβλίων των Κωνικών του Απολλωνίου που σώζονται σε αραβική μετάφραση, 3 και αφετέρου μια νέα έκδοση, που συνοδεύεται και αυτή 3. Το όγδοο και τελευταίο βιβλίο των Κωνικών δεν σώζεται ούτε στα Ελληνικά ούτε σε κάποια μεσαιωνική μετάφραση (αραβική, λατινική

12 Η ΑΝΑΓΕΝΝΗΣΗ ΤΟΥ ΑΡΧΙΜΗΔΗ από γαλλική μετάφραση και σχολιασμό, των τεσσάρων πρώτων βιβλίων των Κωνικών τα οποία σώζονται στην ελληνική γλώσσα. (Apollonius 2008 10) Την ευθύνη του όλου προγράμματος είχε ο Roshdi Rashed και συνεργάστηκαν σε αυτό η Micheline Descorps-Foulquier και ο Michel Federspiel. Το έργο περιλαμβάνει επτά τόμους και εκδόθηκε στο πλαίσιο της σειράς «Scientia Greco-Arabica» του Οίκου Walter de Gruyter, την οποία διευθύνει ο Marwan Rashed. 4 Όπως είναι αντιληπτό τα τέσσερα πρώτα βιβλία των Κωνικών του Απολλωνίου απολαμβάνουν στο έργο αυτό την τιμή να εκδίδονται δύο φορές, μία στο πρωτότυπο ελληνικό κείμενο και μία δεύτερη στην αραβική τους μετάφραση αμφότερες δε οι εκδόσεις συνοδεύονται από ισάριθμες γαλλικές μεταφράσεις. Εξ όσων γνωρίζω είναι η πρώτη φορά που επιχειρείται η έκδοση της αραβικής μετάφρασης ενός μαθηματικού κειμένου, του οποίου σώζεται το ελληνικό κείμενο. 5 Ενδεικτικά της άνθισης των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών, εκτός από τα παραπάνω δύο εγχειρήματα, είναι: η πρόσφατη ιταλική μετάφραση των Απάντων του Ευκλείδη από τον ή άλλη). Τα βιβλία 5, 6 και 7 σώζονται μόνο στην αραβική τους μετάφραση, καθώς το πρωτότυπο ελληνικό κείμενο έχει χαθεί. Τέλος, των βιβλίων 1, 2, 3 και 4 σώζονται και το ελληνικό κείμενο και η αραβική τους μετάφραση. 4. Ο Marwan Rashed είναι γιoς του Roshdi Rashed και ιστορικός, ο ίδιος, της φιλοσοφίας της ύστερης αρχαιότητας και του μεσαιωνικού Ισλαμικού Κόσμου. 5. Στο πρόσφατο παρελθόν έχει γίνει κάτι ανάλογο μόνο για τις τρεις λατινικές μεταφράσεις των Στοιχείων του Ευκλείδη από τους Αδελάρδο του Μπαθ, Hermann της Carinthia, Γεράρδο της Κρεμόνα, καθώς και για τις επιτομές του έργου που έκαναν οι Ροβέρτος του Chester και Campanus της Novara. Όλες αυτές οι λατινικές εκδοχές των Στοιχείων, άλλες από τις οποίες έγιναν με βάση την αραβική μετάφραση του έργου και άλλες βασιζόμενες απευθείας στο ελληνικό κείμενο, κυκλοφορούν σήμερα σε νέες κριτικές εκδόσεις χάρις στις προσπάθειες του Hubert L.L. Busard.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ 13 Fabio Acerbi ένα μνημειώδες έργο τριών χιλιάδων σελίδων που περιλαμβάνει, εκτός από τη μετάφραση, το ελληνικό κείμενο της οκτάτομης έκδοσης Heiberg-Menge και μία εξαντλητική εισαγωγή επτακοσίων σελίδων (Euclide 2007) η έκδοση και αγγλική μετάφραση του αραβικού κειμένου της πραγματείας του Πτολεμαίου που είναι γνωστή με τον μεταγενέστερο λατινικό τίτλο Planisphaerium δια του οποίου αποδίδεται ο αυθεντικός τίτλος «Ἅπλωσις ἐπιφανείας σφαίρας» που έφερε το χαμένο ελληνικό πρωτότυπο του έργου (Sidoli & Berggren 2007) η έκδοση, γαλλική μετάφραση και ενδελεχής μελέτη των ανώνυμων Προλεγομένων στη Μεγίστη του Πτολεμαίου από τους Fabio Acerbi, Nicolas Vinel και Bernard Vitrac μια προγραμματισμένη τετραλογία με ενιαίο τίτλο «Les Prolégomènes à l Almageste. Une édition à partir les manuscrits les plus anciens», από την οποία έχει εκδοθεί μέχρι αυτή τη στιγμή το πρώτο μέρος (Acerbi, Vinel, Vitrac 1010). Τα παραπάνω έργα αφορούν μόνο σε νέες εκδόσεις και μεταφράσεις κειμένων μερικών από τους μεγαλύτερους αρχαίους έλληνες μαθηματικούς σε μερικές περιπτώσεις μάλιστα δεν πρόκειται για μεμονωμένα κείμενα αλλά για το σύνολο των σωζόμενων έργων, όπως στην περίπτωση της αγγλικής μετάφρασης του Αρχιμήδη και της ιταλικής μετάφρασης του Ευκλείδη. Οι εκδόσεις και μεταφράσεις αποτελούν ωστόσο ένα μικρό μέρος της εν εξελίξει επιστημονικής εργογραφίας για τα αρχαία ελληνικά μαθηματικά. Αν συνυπολογίσουμε τις μελέτες, αλλά και τα ποικίλα δημοσιεύματα που απευθύνονται όχι μόνο στους ειδικούς αλλά σε ευρύτερο ακροατήριο, αντιλαμβάνεται κανείς πόσο παρωχημένη είναι σήμερα η άποψη περί κορεσμού του πεδίου των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών. Τα αρχαία ελληνικά μαθηματικά και γενικότερα η αρχαία ελληνική επιστήμη αποτελούν και πάλι ένα ελκυστικό πεδίο έρευνας, το οποίο προσελκύει τα τελευταία χρόνια όλο και περισσότερους νέους ερευνητές.

14 Η ΑΝΑΓΕΝΝΗΣΗ ΤΟΥ ΑΡΧΙΜΗΔΗ Τα τέσσερα κείμενα που δημοσιεύονται σε αυτήν τη συλλογή εμπίπτουν και στα δύο είδη εργογραφίας που αναφέρθηκαν προηγουμένως δηλαδή είναι μελέτες για το έργο του Αρχιμήδη, τα τρία πρώτα, όμως, συμπληρώνουν συγχρόνως σημεία του κειμένου δύο πραγματειών που περιέχονται στον παλίμψηστο κώδικα, της Μεθόδου και του Στομαχίου, τα οποία ο Heiberg δεν είχε μπορέσει να διαβάσει. Το γεγονός ότι τα εν λόγω τρία κείμενα δημοσιεύθηκαν σε τεύχη του περιοδικού Sciamus δεν είναι άσχετο προς τη φύση των κειμένων. Το περιοδικό Sciamus είναι ένα διεθνές περιοδικό της ιστορίας των θετικών επιστημών, το οποίο δημοσιεύει αποκλειστικά νέες πηγές και νέες ερμηνείες για πηγές που είναι ήδη γνωστές. Ενδεικτικά, ο πλήρης τίτλος του είναι Sciamus: Sources and Commentaries in Exact Sciences. Υπό μία έννοια το περιοδικό Sciamus αποτελεί συνέχεια του περίφημου προπολεμικού περιοδικού Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik (συντ. QS), που ίδρυσε το 1929 στη Γερμανία ο Otto Neugebauer, σε συνεργασία με τους J. Stenzel και ο Ο. Toepitz, και διατηρήθηκε εν ζωή μέχρι το 1938 (όταν λόγω της ανόδου των Ναζί ο Neugebauer μετανάστευσε στις Ηνωμένες Πολιτείες). Το QS αποτελούνταν από δύο μέρη, το ένα από τα οποία (Abt. A) δημοσίευε μόνο πηγές (Quellen) και το άλλο (Abt. Β) μόνο μελέτες (Studien). Το περιοδικό Sciamus αποτελεί, θα μπορούσαμε να πούμε, τη σύγχρονη ενσάρκωση του QS, και ήταν από κάθε άποψη ο ενδεδειγμένος χώρος για να φιλοξενήσει τα τρία άρθρα που αναδημοσιεύουμε εδώ σε ελληνική μετάφραση. Τα δύο πρώτα κείμενα που δημοσιεύονται στην παρούσα συλλογή ουσιαστικά αποτελούν ένα ενιαίο άρθρο, δημοσιευμένο σε δύο συνέχειες. Το άρθρο αφορά στην «Πρόταση 14» της πραγματείας Περί των μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος (εφεξής θα αποκαλείται Μέθοδος). Η «Πρόταση 14» αποτελεί μαζί με τις «Προτάσεις 12 13» που προηγούνται και την «Πρόταση 15»

ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 που έπεται 6 μία ενότητα του έργου, στην οποία ο Αρχιμήδης πραγματεύεται ένα και το αυτό πρόβλημα: τον κυβισμό 7 μιας μορφής κυλινδρικού τμήματος που στη σύγχρονη βιβλιογραφία αναφέρεται μερικές φορές με την ονομασία «το νύχι (ή η οπλή) του αλόγου». Η συνεισφορά του άρθρου, όσον αφορά αυτό καθαυτό το κείμενο του Αρχιμήδη, έγκειται στο ότι παρουσιάζεται εδώ για πρώτη φορά ένα τμήμα του κειμένου, το οποίο ο Heiberg δεν είχε μπορέσει να διαβάσει, και στην έκδοσή του το είχε αντικαταστήσει με αποσιωπητικά. (Archimedes 1910 15, ii, σ. 498) Μάλιστα έγραφε σε υποσημείωση: «Δεν μπορώ να φανταστώ τι ήταν γραμμένο σε ένα τόσο μεγάλο κενό» (Archimedes 1910 15, ii, σ. 499, υποσ. 1). Τώρα, αυτό το τμήμα του κειμένου έχει διαβαστεί, και επομένως γνωρίζουμε την «Πρόταση 14» στην ολότητά της. Από την ανάγνωση του φθαρμένου κειμένου προέκυψε ένα μάλλον αναπάντεχο αποτέλεσμα: ο Αρχιμήδης αποφαίνεται σε αυτό ότι τέσσερα άπειρα σύνολα είναι «πλήθει ἴσα» μεταξύ τους. Οι συγγραφείς του άρθρου σημειώνουν ότι σε κανένα άλλο κείμενο της αρχαίας ελληνικής μαθηματικής γραμματείας δεν υπάρχει η διατύπωση ότι άπειρα το πλήθος αντικείμενα είναι κατά το πλήθος ίσα με άλλα άπει- ρα το πλήθος αντικείμενα, και αποφαίνονται ότι από το εν λόγω κείμενο τεκμαίρεται ότι ο Αρχιμήδης ήταν ως έναν βαθμό εξοικειωμένος με την έννοια του ενεστωτικού απείρου. Όπως γράφουν: Η αντίληψή μας για τον τρόπο με τον οποίο οι Έλληνες χειρίζονται το άπειρο διαμορφώθηκε σε μεγάλο βαθμό 6. Τα εισαγωγικά στις ενδείξεις των προτάσεων και της αρίθμησής τους οφείλονται στο ότι το κείμενο που παραδίδει το χειρόγραφο δεν είναι χωρισμένο σε προτάσεις (είτε αριθμημένες είτε όχι). Ο χωρισμός σε προτάσεις και η αρίθμησή τους έγινε από τον πρώτο εκδότη του κειμένου, τον J.L. Heiberg. 7. Δηλαδή την εύρεση ενός κύβου με ίσο όγκο.

16 Η ΑΝΑΓΕΝΝΗΣΗ ΤΟΥ ΑΡΧΙΜΗΔΗ υπό την επιρροή του Αριστοτέλη, και προκαλεί συχνά μεγάλη εντύπωση η φροντίδα του να αποφεύγει τα ενεστωτικά άπειρα. Όπως πάντα, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι δεν πρέπει κανείς να γενικεύει για όλους τους αρχαίους συγγραφείς, και ότι, τουλάχιστον σε αυτή την περίπτωση, ο Αρχιμήδης αντιμετωπίζει τα ενεστωτικά άπειρα σχεδόν σαν κοινούς αριθμούς γεγονός το οποίο θέτει βέβαια το καθήκον της περαιτέρω μελέτης του απείρου στον Αρχιμήδη, και ευρύτερα στην ελληνική σκέψη. 8 Η εξοικείωση, σύμφωνα πάντοτε με τη γνώμη των συγγραφέων, του Αρχιμήδη με το ενεστωτικό άπειρο είναι το πιο εντυπωσιακό αποτέλεσμα που προέκυψε από την ανάγνωση του μέχρι προ τινος αθέατου κειμένου της «Πρότασης 14» της Μεθόδου. Όμως η ιστορική έρευνα που παρακινήθηκε από την ανάγνωση του εν λόγω κειμένου δεν εξαντλείται εδώ. Η μελέτη των τριών συγγραφέων υπεισέρχεται σε ένα ερώτημα που σχετίζεται με το modus operandi του Αρχιμήδη, συγκεκριμένα στο ερώτημα γιατί ο Αρχιμήδης πραγματεύεται το πρόβλημα του κυβισμού του κυλινδρικού τμήματος με τρεις διαφορετικούς τρόπους, και ποια αποδεικτική αξία απέδιδε στον καθένα από τους τρόπους αυτούς. Το ερώτημα αυτό αποτελεί μέρος ενός γενικότερου ερωτήματος σχετικά με τις μεθόδους τετραγωνισμού και κυβισμού που χρησιμοποιούσε ο Αρχιμήδης και το πώς αντιλαμβανόταν τον ρόλο και τη σημασία της κάθε μεθόδου. Πιο συγκεκριμένα, από τη μελέτη των τετραγωνισμών / κυβισμών που περιέχονται στα έργα του Αρχιμήδη προκύπτει ότι για να τους επιτύχει ο Αρχιμήδης χρησιμοποιούσε τριών ειδών επιχειρήματα: γεωμετρικά, μηχανικά, και επιχειρήματα δια των «αδιαιρέτων». Κατά συνέπεια, οι μέθοδοι μπορούν να ταξινομηθούν ανάλογα με τα εμπλεκόμενα σε αυτές επιχειρήματα ως γεωμετρικές, 8. Βλ. στην παρούσα έκδοση, σ. 56.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ 17 μηχανικές, μέθοδοι που χρησιμοποιούν «αδιαίρετα», ή ως μέθοδοι που χρησιμοποιούν συνδυασμούς των παραπάνω. Εκτός από αυτήν την ταξινόμηση, όμως, οι μέθοδοι μπορούν επίσης να ταξινομηθούν με βάση το δίπολο ευρετική / αποδεικτική. Το ιστοριογραφικό ερώτημα, λοιπόν, είναι σε τελευταία ανάλυση ένα ερώτημα who is who της κάθε μεθόδου, δηλαδή ποια μέθοδο θεωρούσε ο Αρχιμήδης αποδεικτική και ποια ευρετική, και γιατί. Οι προβληματισμοί αυτοί απασχολούν τους ιστορικούς των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών τουλάχιστον από τα μέσα του 20ού αιώνα. 9 Η μελέτη των τριών ιστορικών ξαναφέρνει τους προβληματισμούς στο προσκήνιο και δίνει το έναυσμα για νέες έρευνες γύρω από αυτό το τόσο ενδιαφέρον ζήτημα της ιστορίας των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών. Μια νέα, πρωτότυπη έρευνα για αυτό το θέμα παρουσιάζεται στο τέταρτο κείμενο που δημοσιεύεται στην παρούσα έκδοση. Το προτελευταίο άρθρο το τρίτο κατά σειρά που δημοσιεύεται στην παρούσα συλλογή αφορά στο Στομάχιον, το πιο περιφρονημένο από τα έργα του Αρχιμήδη. Από την πραγματεία αυτή σώζονται μόνο δύο μικρά αποσπάσματα, ένα στα Ελληνικά και ένα άλλο σε αραβική μετάφραση. Η συνεισφορά του άρθρου όσον αφορά στο κείμενο αυτό καθαυτό περιορίζεται ουσιαστικά στην ανάγνωση μιας μόνο λέξης: της λέξης «πλῆθος». Η ανάγνωση αυτής της λέξης έδωσε τη δυνατότητα να αποκατασταθεί η πρόταση, Ἔστι μὲν οὖν ἐξ αὐτῶν οὐκ ὀλίγων σχημάτων...ο.. διὰ τὸ...ν..τον εἶναι εἰς ἕτερον τόπον τοῦ ἴσου καὶ ἰσογωνίου σχάματος μετατιθεμε... καὶ ἑτέ... λαμβάνοντας της έκδοσης Heiberg (Archimedes 1910 15, ii, σ. 416.15 18) στην πλήρη μορφή της, ως εξής: 9. Βλ. ενδεικτικά τις εργασίες (Dijksterhuis 1956/1987), (Becker 1957), (Knorr 1996) και (Saito 2006) που αναφέρονται στη βιβλιογραφία.

18 Η ΑΝΑΓΕΝΝΗΣΗ ΤΟΥ ΑΡΧΙΜΗΔΗ Ἔστι μὲν οὖν ἐξ αὐτῶν οὐκ ὀλίγων σχαμάτων πλῆθος, διὰ τὸ εἷλεν αὐτὸς εἶναι εἰς ἕτερον τόπου τοῦ ἴσου καὶ ἰσογωνίου σχάματος μετατιθεμένου καὶ ἑτέραν θέσιν λαμβάνοντος. Αυτή η τόσο μικρή συμπλήρωση, ωστόσο, επέτρεψε στους συγγραφείς του άρθρου να διατυπώσουν μία ολόκληρη νέα ερμηνεία για το περιεχόμενο και τη σημασία του Στομαχίου, το οποίο έτσι έγινε για πρώτη φορά δυνατόν να τοποθετηθεί σε ένα αρμόζον εννοιολογικό και ευρύτερα πολιτισμικό και διανοητικό πλαίσιο. Σύμφωνα με τους συγγραφείς, λοιπόν, το θέμα που πραγματεύεται ο Αρχιμήδης στο Στομάχιον είναι το πλήθος των τρόπων με τους οποί- ους δεκατέσσερα ευθύγραμμα επίπεδα σχήματα, στα οποία διαιρείται ένα τετράγωνο με βάση ένα προκαθορισμένο μοτίβο, μπορούν να συνενωθούν ώστε να σχηματιστεί και πάλι ένα ίσο τετράγωνο. Αυτή η ερμηνεία καθιστά το Στομάχιον ένα έργο συνδυα- στικής. Η συνδυαστική θεωρούνταν μέχρι πρόσφατα ένα μαθηματικό πεδίο το οποίο εμφανίστηκε όψιμα στην ιστορία των μαθηματικών. Η άποψη αυτή, ωστόσο, ανατράπηκε τα τελευταία χρόνια, όταν μια σειρά δημοσιεύσεις κατέδειξαν ότι οι αρχαίοι Έλληνες είχαν επιτύχει στο πεδίο αυτό αποτελέσματα, τα οποία μάλιστα κάθε άλλο παρά ως τετριμμένα θα μπορούσαν να χαρακτηριστούν. 10 Έτσι, η συνδυαστική ήταν ένα υπαρκτό πεδίο έρευνας για τους αρχαίους έλληνες μαθηματικούς και επομένως η ερμηνεία του Στομαχίου μέσα στο εννοιολογικό και διανοητικό πλαίσιο αυτής της δραστηριότητας είναι όχι μόνο πιθανή αλλά και πειστική. Η ιδέα για τη δημιουργία αυτού του βιβλίου σχηματίστηκε όταν, στο εαρινό εξάμηνο του ακαδημαϊκού έτους 2006 07, οργανώσαμε μαζί με τον συνάδελφο καθηγητή Δ. Διαλέτη ένα μεταπτυχιακό σεμινάριο με θέμα «Όψεις της ιστορίας των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών: το μαθηματικό έργο του Αρχιμή- 10. Βλ. π.χ. (Stanley 1997), (Acerbi 2003).

ΕΙΣΑΓΩΓΗ 19 δη». Ο σκοπός του σεμιναρίου, γράφαμε τότε στην ανακοίνωσή μας, ήταν διπλός: «Αφενός θα μελετήσουμε επιλεγμένα τμήματα διαφόρων συγγραμμάτων του Αρχιμήδη, προκειμένου να σχηματίσουμε μια εικόνα για το μαθηματικό έργο του, και αφετέρου θα εξετάσουμε τα νέα ευρήματα που έφερε στο φως η ανάγνωση του παλίμψηστου κώδικα των Ιεροσολύμων και θα συζητήσουμε τον ρόλο και τη σημασία τους για την ιστορία των μαθηματικών.» Το βιβλίο αυτό χρωστά, λοιπόν, πολλά στους συμμετέχοντες σε εκείνο το σεμινάριο μεταπτυχιακούς φοιτητές, υποψήφιους διδάκτορες, και διδάκτορες της ιστορίας των μαθηματικών, με τους οποίους συνεργάζομαι τα τελευταία χρόνια. Με ευγνωμοσύνη πρέπει ιδίως να μνημονεύσω τα ονόματα των υποψηφίων διδακτόρων του Πανεπιστημίου Αθηνών Ιωάννας Σκούρα και Θεοδώρας Τουλιάτου, οι οποίες έφεραν σε πέρας το δύσκολο έργο της απόδοσης στη Νέα Ελληνική των τριών εξαιρετικά απαιτητικών κειμένων, καθώς και της πτυχιούχου του Τμήματος ΜΙΘΕ κας Χρυσούλας Κόρκου, η οποία συνέβαλε στη μετάφραση του πρώτου κειμένου. Επίσης, οφείλω να εκφράσω τις ευχαριστίες μου στους συναδέλφους μου καθηγητές Μιχάλη Κοπιδάκη και Παύλο Καλλιγά, για τη βοήθειά τους στην απόδοση των αρχαίων κειμένων (ελληνικών και λατινικών). Ευχαριστώ ακόμα τον συνάδελφο και φίλο Ken Saito, καθηγητή της ιστορίας των μαθηματικών στο Osaka Prefecture University της Ιαπωνίας και μέλος της Συντακτικής Επιτροπής του περιοδικού Sciamus, ο οποίος μας παραχώρησε ευγενικά τα δικαιώματα της μετάφρασης και της έκδοσης των τριών κειμένων. Τέλος ευχαριστώ τον κ. Περικλή Δουβίτσα και τις Εκδόσεις Νεφέλη για την υποστήριξη που παρείχαν στην έκδοση αυτού του βιβλίου. Μώλος Φθιώτιδας Αύγουστος 2010 Γιάννης Χριστιανίδης