ΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 5-Μάρτη-2016

Σχετικά έγγραφα
ΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 7-Μάρτη-2015

ΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 8-Μάρτη-2014

ΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 8-Μάρτη-2014

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 11-Μάη-2015

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014

ΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 2-Απρίλη-2016

ΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 2-Απρίλη-2016

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2019

ΦΥΣ. 111 Τελική Εξέταση: 17-Δεκεµβρίου-2017

Γ ΤΑΞΗ ΤΜΗΜΑ ΟΝΟΜΑ. ΘΕΜΑ 1ο. 7 mr 5. 1 mr. Μονάδες 5. α. 50 W β. 100 W γ. 200 W δ. 400 W

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013

Κίνηση πλανητών Νόµοι του Kepler

( ) = ke r/a όπου k και α θετικές σταθερές

ΦΥΣ Πριν αρχίσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο και αριθµό ταυτότητας).

ΦΥΣ Πριν αρχίσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο και αριθµό ταυτότητας).

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση ( Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 :

ΦΥΣ. 131 Τελική εξέταση: 10-Δεκεμβρίου-2005

[1kgm 2, 5m/s, 3,2cm, 8rad/s][1kgm 2, 5m/s, 3,2cm, 8rad/s]

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 :

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΑΞΗ : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2016 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ : 6

ΦΥΣ η Πρόοδος: 14-Οκτωβρίου-2017

ΦΥΣ η Πρόοδος: 14-Οκτωβρίου-2017

Μηχανική Στερεού Ασκήσεις Εμπέδωσης

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 20-Μάη-2016

Σφαιρικά σώµατα και βαρύτητα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ» 5 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 2017: ΘΕΜΑΤΑ

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Τζιόλας Χρήστος. και Α 2

ΦΥΣ Τελική Εξέταση: 10-Δεκεµβρίου Πριν αρχίσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο και αριθµό ταυτότητας).

ΦΥΣ Τελική Εξέταση: 10-Δεκεµβρίου Πριν αρχίσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο και αριθµό ταυτότητας).

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Απρίλιος 2015

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 (ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ) ΚΥΡΙΑΚΗ 15 ΜΑΡΤΙΟΥ 2015 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ 5

ΦΥΣ. 131 ΕΡΓΑΣΙΑ # 10

ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π. ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΦΥΣ Τελική Εξέταση: 11-Δεκεµβρίου Πριν αρχίσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο και αριθµό ταυτότητας).

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Κεντρικές υνάµεις. 1. α) Αποδείξτε ότι η στροφορµή διατηρείται σε ένα πεδίο κεντρικών δυνάµεων και δείξτε ότι η κίνηση είναι επίπεδη.

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 14/4/2019

ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ε. Στυλιάρης

Διαγώνισμα Μηχανική Στερεού Σώματος

1. Για το σύστηµα που παριστάνεται στο σχήµα θεωρώντας ότι τα νήµατα είναι αβαρή και µη εκτατά, τις τροχαλίες αµελητέας µάζας και. = (x σε μέτρα).

Διαγώνισμα Φυσικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

το άκρο Β έχει γραμμική ταχύτητα μέτρου.

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. = 2r, τότε:

ΜΟΝΑΔΕΣ 5. A4. Σώμα περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα έχοντας στροφορμή μέτρου L. Τη χρονική στιγμή t=0 ασκούμε στο σώμα ροπή δύναμης μέτρου τ

Β. Συµπληρώστε τα κενά των παρακάτω προτάσεων

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 17/4/2016 ΘΕΜΑ Α

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2018 Β ΦΑΣΗ

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΑΠΟΦΟΙΤΟΙ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 28/02/16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 20-Μάη-2016

ΣΕΙΡΑ: 3 Κύματα: αρμονικό έως στάσιμο, Στερεό: κινηματική έως διατήρηση στροφορμής

γ) το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του δίσκου τη στιγμή κατά την οποία έχει ξετυλιχθεί όλο το σχοινί.

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΜΑΤΑ-ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΝΙΚΟΣ ΣΑΜΑΡΑΣ ΝΙΚΟΣ ΚΟΥΝΕΛΗΣ ΘΕΜΑ Α

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΑΞΗ : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2019 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ : 8

ΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 5-Απρίλη-2014

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΑΞΗ : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2017 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ : 6

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΙΟΥΝΙΟΣ 2013 ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΑΕΜ: (ΠΤΥΧΙΟ)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ [Υποκεφάλαιο 4.2 Οι κινήσεις των στερεών σωμάτων του σχολικού βιβλίου]

β. F = 2ρΑυ 2 γ. F = 1 2 ραυ 2 δ. F = 1 3 ραυ 2

Κεφάλαιο 8. Βαρυτικη Δυναμικη Ενεργεια { Εκφραση του Βαρυτικού Δυναμικού, Ταχύτητα Διαφυγής, Τροχιές και Ενέργεια Δορυφόρου}

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΑΞΗ : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ : 6

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004


Διαγώνισμα: Μηχανική Στερεού Σώματος

Διαγώνισμα Γ Λυκείου Θετικού προσανατολισμού. Διαγώνισμα Μηχανική Στερεού Σώματος. Σάββατο 24 Φεβρουαρίου Θέμα 1ο

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3/2/2016 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

2. Κατά την ανελαστική κρούση δύο σωμάτων διατηρείται:

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος ΙΙ

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ 1. ΘΕΜΑ Α Στις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α.5 να σημειώσετε την σωστή απάντηση

Η Διεύθυνση και οι καθηγητές του Σχολείου σάς εύχονται καλή επιτυχία στις εξετάσεις

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέμβριος 2012

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ. ΘΕΜΑ 1 ο Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

3. Μια ακτίνα φωτός προσπίπτει στην επίπεδη διαχωριστική επιφάνεια δύο μέσων. Όταν η

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ - ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

1 η ΟΜΑΔΑ. ΦΥΣ η Πρόοδος: 21-Νοεµβρίου-2009


Ενότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ ÅÐÉËÏÃÇ

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ενέργεια ταλάντωσης ενός κυλιόμενου κυλίνδρου

6ο Πρόχειρο Τεστ Γ Τάξης Λυκείου Θεµελιώδης Νόµος Στροφικής Κίνησης Σύνολο Σελίδων: πέντε (5) - ιάρκεια Εξέτασης: 90 min Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο:

ΑΣΚΗΣΗ 5.1 Το διάνυσμα θέσης ενός σώματος μάζας m=0,5kgr δίνεται από τη σχέση: 3 j οπότε το μέτρο της ταχύτητας θα είναι:

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΕΡΕΟ. ΘΕΜΑ Α (μοναδες 25)

% ] Βαγγέλης Δημητριάδης 4 ο ΓΕΛ Ζωγράφου

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ ΣΑΣ ΚΙ 2014

υ υ Μονάδες 5 Α 2. Δύο σφαίρες (1) και (2) που έχουν ορμές, αντίστοιχα, συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά. Κατά την κρούση ισχύει: p p και 1

1 η ΟΜΑΔΑ. ΦΥΣ η Πρόοδος: 10-Οκτωβρίου-2009

Θέµα Β. µάζας m = M και ασκήσουµε την ίδια οριζόντια δύναµη F, όπως ϕαίνεται στο σχήµα (2) ο δίσκος αποκτά γωνιακή επιτάχυνση µέτρου α γων(2).

1) Πάνω σε ευθύγραµµο οριζόντιο δρόµο ένας τροχός κυλάει χωρίς να ολισθαίνει. Ποιες από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστές ;

Transcript:

ΦΥΣ. 11 1 η ΠΡΟΟΔΟΣ 5-Μάρτη-016 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε µόνο τις σελίδες που σας δίνονται. Μην κόψετε καµιά από τις σελίδες που σας δίνονται. Προσπαθήστε να δείξετε τη σκέψη σας και να γράψετε καθαρές εξισώσεις. Για πλήρη ή µερική βαθµολόγηση θα πρέπει να φαίνεται καθαρά το τι προσπαθείτε να δείξετε. Σας δίνονται 6 ασκήσεις και πρέπει να απαντήσετε σε όλες. Σύνολο µονάδων 100. Διαβάστε πρώτα όλες τις ασκήσεις και προσπαθήστε να σκεφτείτε τι περίπου χρειάζεται να κάνετε. Η σειρά των προβληµάτων δεν είναι ενδεικτική της δυσκολία τους. Η διάρκεια της εξέτασης είναι 180 λεπτά. Καλή επιτυχία.

Ενεργό δυναµικό U eff ( r) =U ( r)+u cf ( r) =U ( r)+ l µr Μετασχηµατισµένη ακτινική Δ.Ε. τροχιάς: d u µ 1 1 + u + F = 0, όπου u = dφ l u u r Ενέργεια τροχιάς: 1 1 l E = µ! r + + U µ r ( r) Τροχιές Kepler: m1m γ F = G = λύση ακτινικής εξίσωσης είναι: r θ r r γ µ Εκκεντρότητα (e): E = ( e 1) όπου Ε = Ενέργεια l Εκκεντρότητα Ενέργεια Είδος Τροχιάς 0 < e < 1 E < 0 ελλειπτική e = 1 E = 0 παραβολική e > 1 E > 0 υπερβολική ( ) = c 1+ ecosθ, µε c = l γµ c c Περιήλιο: rmin = Αφήλιο: rmax = 1 + e 1 e c c Μεγάλος ηµιάξονας: a = Μικρός ηµιάξονας: b = 1 e 1 e Νόµοι Kepler: 1 ος νόµος: τροχιές πλανητών είναι ελλείψεις µε τον ήλιο σε µια από τις εστίες της έλλειψης ος da l νόµος: = 3 ος νόµος: T = 4π a 3 dt µ GM H

1. Ένα στεφάνι ακτίνας R και µάζας Μ κυλά χωρίς να ολισθαίνει προς την βάση ενός κεκλιµένου επιπέδου. Να βρεθεί η δύναµη της τριβής χάρη στην οποία το στεφάνι εκτελεί κύλιση χωρίς ολίσθηση. [10µ]

. Ένα δυναµικό σύστηµα µε γενικευµένες συντεταγµένες r και θ περιγράφεται από την συνάντηση Lagrange L = 1 m! θ +!r ( ) cosθ. (α) Βρείτε την Hamiltonian του συστήµατος. [5µ] (β) Βρείτε τις εξισώσεις Hamilton. [3µ] (γ) Εξηγήστε αναλυτικά αν η Hamiltonian διατηρείται ή όχι. [µ]

3. Στη θεωρία των χορδών της σωµατιδιακής φυσικής, έχει προταθεί πως κάποιες από τις χορδές έχουν µακροσκοπικές διαστάσεις και έχουν µεγάλη µάζα. Στο πρόβληµα αυτό θα θεωρήσετε µια τέτοια βαρυτική χορδή η οποία είναι ευθύγραµµη και άπειρου µήκους. Η χορδή έχει γραµµική πυκνότητα µάζας ίση µε λ. Θεωρήστε ότι γύρω από την χορδή αυτή περιστρέφεται σε σταθερή κυκλική τροχιά ένας αστέρας µάζας M. Ο αστέρας έχει στροφορµή l. (α) Ποιό είναι το ενεργό δυναµικό στο οποίο κινείται ο αστέρας; (Υπόδειξη: την ίδια διαδικασία θα µπορούσατε να ακολουθήσετε αν είχατε αγωγό και φορτίο) [8µ] (β) Ποιά είναι η ακτίνα της σταθερής κυκλικής τροχιάς; [6µ] (γ) Αν διαταραχθεί η κυκλική τροχιά, ποια θα είναι η συχνότητα των µικρών ταλαντώσεων γύρω από την κλειστή κυλική τροχιά; [6µ]

4. Ένας σκιέρ κατεβαίνει µια πλαγιά που µπορεί να προσεγγιστεί µε µια εξίσωση της µορφής y = f ( x). Η κίνηση του σκιέρ µπορεί να θε ωρηθεί ότι δεν υπόκειται σε τριβές και προκαλείται από την δύναµη της βαρύτητας. (α) Γράψτε την Lagrangian του προβλήµατος και τον δεσµό. [5µ] (β) Γράψτε τις εξισώσεις κίνησης. [5µ] (γ) Βρείτε τη δύναµη που περιορίζει την κίνηση του σκιέρ. [5µ] (δ) Ο σκιέρ σε κάποιο σηµείο απογειώνεται από την πλαγιά όταν η κάθετη δύναµη του δεσµού, F y, γίνεται µηδέν ή αρνητική, γιατί η καµπύλη της πλαγιάς µπορεί να δώσει µόνο θετική κάθετη δύναµη. Υποθέτoντας ότι ο σκιέρ ξεκινά από την ηρεµία και ύψος y 0, προσδιορίστε το σηµείο x, στο οποίο αποχωρίζεται από την καµπύλη. Υπόδειξη: από την στιγµή που η συνάρτηση της καµπύλης της πλαγιάς δεν δίνεται, θα πρέπει το αποτέλεσµά σας να το εκφράσετε συναρτήσει της f x ( ) και παραγώγων της. [5µ]

5. Δύο λεπτές ξύλινες ράβδοι µάζας m και µήκους l η κάθε µια συνδέονται µε ένα λείο µεντεσέ και µια µη εκτατή και αβαρή κλωστή. Το σύστηµα είναι ακίνητο πάνω σε λεία οριζόντια επιφάνεια όπως φαίνεται στο σχήµα. Την χρονική στιγµή t=0, το νήµα κόβεται. Υπόδειξη: Ίσως φανεί χρήσιµο ότι η ροπή αδράνειας µιας ράβδου ως προς άξονα που περνά από το κέντρο µάζας της και είναι κάθετος σε αυτή δίνεται από την σχέση I ρ CM = ML 1. (α) Βρείτε τη συνάρτηση Lagrange του συστήµατος. [7µ] (β) Βρείτε τις εξισώσεις κίνησης. [3µ] (γ) Βρείτε την ταχύτητα των ραβδών όταν χτυπούν στο έδαφος. [5µ] (δ) Βρείτε το χρόνο που χρειάζεται οι ράβδοι να φθάσουν στο έδαφος. Τον χρόνο αυτό θα πρέπει να τον βρείτε µε βάση ενός σωστά διατυπωµένου ολοκληρώµατος, το οποίο ωστόσο δεν χρειάζεται να λύσετε. [5µ]

6. Ένα σώµα µάζας m κινείται στο πεδίο ενός δυσδιάστατου αρµονικού ταλαντωτή: V ( r) = 1 kr. (α) Δείξτε ότι οι τροχιές του σώµατος είναι ελλείψεις µε το κέντρο τους στο r = 0, αντίθετα µε τις Keplerian ελλείψεις που το κέντρο τους δεν είναι στο 0. [10µ] (β) Γράψτε τις παραµέτρους που καθορίζουν την έλλειψη συναρτήσει ποσοτήτηων που διατηρούνται, δηλαδή ενέργειας Ε, και στροφορµής, l. [10µ]