ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ε. Στυλιάρης

Transcript

1 (Με ιδέες και υλικό από ΦΥΣΙΚΗ Ι ΤΜΗΜΑ Α Ε. Στυλιάρης από παλαιότερες διαφάνειες του κ. Καραμπαρμπούνη) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, ΒΑΡΥΤΗΤΑ Νόμος της Βαρύτητας Βαρύτητα στο Εσωτερικό και Πάνω από την Επιφάνεια της ης Πλανήτες σε Ελλειπτικές Τροχιές Νόμοι του Keple Βαρυτική Δυναμική Ενέργεια Τροχιές και Ενέργεια Stathis STILIAIS, UoA 05-06

2 (Με ιδέες και υλικό από ΦΥΣΙΚΗ Ι ΤΜΗΜΑ Α Ε. Στυλιάρης από παλαιότερες διαφάνειες του κ. Καραμπαρμπούνη) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΩΝ Νόμος της Βαρύτητας ALONSO FINN HALLIDAY ESNICK WALKE.,.. έως.5.,. Νόμοι του Keple.5.7,5 YOUNG FEEDAN Βαρυτική Δυναμική Ενέργεια Δορυφόροι.4,.6.6,.8.,.4 Stathis STILIAIS, UoA 05-06

3 ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ (NEWTON) Νόμος της Βαρύτητας του Newton σε διανυσματική μορφή m m mm G F G F F G ˆ m m G N m Kg Βαρύτητα στην επιφάνεια της ης mg G g G Stathis STILIAIS, UoA 05-06

4 ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ (NEWTON) Εκτίμηση της μάζας Μ της ης g G g G 6 (6.4 0 ) Kg Kg Εκτίμηση της μέσης πυκνότητας ρ της ης ρ V g G 4 π 4π g G ρ Kg/ m Stathis STILIAIS, UoA

5 ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ (NEWTON) Βαρύτητα στο εσωτερικό της ης Ένα ομογενές σφαιρικό κέλυφος δεν ασκεί συνισταμένη βαρυτική δύναμη σε σωματίδιο τοποθετημένο στο εσωτερικό του. F G 4 π ρ m F 4π G m ρ Το σώμα εκτελεί ταλάντωση με περίοδο: F k m m T π π k 4π Gmρ π Gρ Stathis STILIAIS, UoA

6 ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ (NEWTON) Βαρύτητα πάνω από την επιφάνεια της ης mg h G ( + h) + h + h) g h G < ( g Παρατηρήσεις Εάν η απόσταση από την επιφάνεια της ης γίνει όσο και η ακτίνα της (h ) τότε το g h υποτετραπλασιάζεται. Το διαστημικό λεωφορείο για το οποίο το h 400 km δέχεται βαρυτική επιτάχυνση g h 8.70 m/s. Stathis STILIAIS, UoA

7 ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ (NEWTON) Βαρύτητα σε διαφορετικούς Πλανήτες Σε δύο διαφορετικούς σφαιρικούς πλανήτες με ακτίνες A και B, των οποίων οι πυκνότητες είναι αντίστοιχα ρ A και ρ B, η βαρύτητα στην επιφάνεια καθενός είναι: 4 π g G G ρ 4π Gρ ΠΛΑΝΗΤΗΣ Α ΠΛΑΝΗΤΗΣ Β g A g B 4π 4π G G A B ρ ρ A B g g A B A B ρ ρ A B Στην επιφάνεια της Σελήνης το g είναι περίπου το /6 (.6m/s ) της τιμής στην η. Δεδομένου ότι ο λόγος των ακτίνων των δύο αυτών ουρανίων σωμάτων είναι 0.7 συνάγεται πως η μέση πυκνότητα της Σελήνης είναι μικρότερη (0.6 φορές) της μέσης πυκνότητας της ης. Stathis STILIAIS, UoA

8 ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ KEPLE Όταν ένα σώμα κινείται υπό την επίδραση κεντρικής δύναμης η στροφορμή του L είναι διατηρήσιμη ποσότητα. Μια κεντρική δύναμη (όπως είναι η βαρυτική δύναμη) μπορεί να γραφεί στην παρακάτω μορφή: F() F() ˆ F() Οπότε η ροπή της δύναμης αυτής τ ως προς την αρχή των αξόνων είναι: και δεδομένου ότι 0 F() F() τ F dl τ dt L ( ) 0 m dθ dt const Η κίνηση ενός δορυφόρου γύρω από έναν πλανήτη αποτελεί χαρακτηριστικό παράδειγμα. Stathis STILIAIS, UoA

9 ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ KEPLE ος Νόμος Keple Κίνηση Πλανητών σε Ελλειπτικές Τροχιές e Εκκεντρότητα a Απόσταση Αφηλίου p Απόσταση Περιηλίου Ο Ήλιος βρίσκεται σε μια από τις εστίες της έλλειψης και σε απόσταση e a (εστιακή απόσταση) από το κέντρο της. Stathis STILIAIS, UoA

10 ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ KEPLE ος Νόμος Keple Η επιβατική ακτίνα διαγράφει ίσα εμβαδά σε ίσους χρόνους da vdt mvdt Ldt da L const m m dt m Εναλλακτικά da dt dθ dt ω αλλά L p ( mv ) ( mω) m ω άρα da dt L m Stathis STILIAIS, UoA

11 ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ KEPLE ος Νόμος Keple Το τετράγωνο της περιόδου είναι ανάλογο του κύβου του μεγάλου ημιάξονα Κεντρομόλος Δύναμη Βαρυτική Δύναμη mv G mω ω G ω π Τ 4π G T T 4π G Στην ελλειπτική κίνηση το της σχέσης αυτής ταυτίζεται με τον μεγάλο ημιάξονα a της έλλειψης. Στις τέσσερες ελλειπτικές τροχιές με τον ίδιο μεγάλο ημιάξονα που απεικονίζονται στο διπλανό σχήμα, παρόλο που η εκκεντρότητα έχει διαφορετική τιμή, η συνολική ενέργεια είναι η ίδια. Stathis STILIAIS, UoA 05-06

12 ΒΑΡΥΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΕΙΑ Υπολογισμός του έργου που απαιτείται για να μετακινηθεί σώμα μάζας m εντός βαρυτικού πεδίου (προκαλούμενου από τη μάζα Μ) από το σημείο στο άπειρο. W F()d ια τη βαρυτική δύναμη F() ισχύει: ()d F d cos(80 ) Fd G d o F W G d G d G 0 G G Αλλά W U U U 0 U οπότε: W U U G U() G Stathis STILIAIS, UoA 05-06

13 ΒΑΡΥΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΕΙΑ Το βαρυτικό πεδίο είναι συντηρητικό. U() G F - gad U - U ˆ F - G ˆ Δηλαδή το έργο της βαρυτικής δύναμης είναι ανεξάρτητο από τη διαδρομή που επιλέγεται και εξαρτάται μόνο από τη διαφορά του δυναμικού στο αρχικό και τελικό σημείο: W A G U A U G Είναι εύκολα κατανοητό ότι το έργο κατά μήκος των τόξων BC και DE είναι μηδενικό, δεδομένου ότι κατά μήκος των τόξων αυτών η βαρυτική δύναμη είναι κάθετη σε οποιαδήποτε στοιχειώδη μετατόπιση. Stathis STILIAIS, UoA 05-06

14 ΒΑΡΥΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΕΙΑ Ταχύτητα Διαφυγής Η απαιτούμενη ελάχιστη αρχική ταχύτητα βλήματος για να μπορέσει να διαφύγει της επίδρασης του βαρυτικού πεδίου της ης. E K U E E + K + U K + U 0 E K U 0 mv G + 0 v G G v 0. km/s Η εξίσωση αυτή ισχύει για κάθε ουράνιο σώμα. ια τον Ήλιο ( 0 0 Kg, m) η ταχύτητα διαφυγής είναι 68 km/s ενώ για αστέρα νετρονίων αυτή γίνεται 0 5 km/s. Stathis STILIAIS, UoA

15 ΤΡΟΧΙΕΣ ΚΑΙ ΕΝΕΡΕΙΑ Κίνηση δορυφόρου σε κυκλική τροχιά γύρω από πλανήτη Συνολική Ενέργεια: E K + U ια κυκλική τροχιά ισχύει: G mv & K mv Κινητική Ενέργεια: Θετική Συνεπώς: K G E K + U U K K U Δυναμική & Ολική Ενέργεια Αρνητική Stathis STILIAIS, UoA

16 όπου ΤΡΟΧΙΕΣ ΚΑΙ ΕΝΕΡΕΙΑ Υπολογισμός της συνολικής ενέργειας δορυφόρου κινούμενου σε ελλειπτική τροχιά γύρω από πλανήτη m: Μάζα δορυφόρου Μ: Μάζα πλανήτη L: Στροφορμή δορυφόρου d dθ v, v dt dt E K + U mv G m v + v G ( ) ω οπότε v v v v E mv + m G Επειδή όμως η δύναμη είναι κεντρική, η στροφορμή L του συστήματος διατηρείται και ισχύει: ω v dθ dt L m m ω ω L m mv L + m E G Στις ακραίες θέσεις της έλλειψης ό δορυφόρος δεν έχει ακτινική ταχύτητα (v 0) και η παραπάνω εξίσωση γίνεται: L m E Stathis STILIAIS, UoA G

17 ΤΡΟΧΙΕΣ ΚΑΙ ΕΝΕΡΕΙΑ Υπολογισμός της συνολικής ενέργειας δορυφόρου κινούμενου σε ελλειπτική τροχιά γύρω από πλανήτη E L m G me + Gm L 0 Οι λύσεις της δευτεροβάθμιας αυτής εξίσωσης ταυτίζονται με τα και, το άθροισμα των οποίων είναι ο άξονας της έλλειψης (a a): Gm + a a me E G a Το αποτέλεσμα αυτό είναι ταυτόσημο με την ενέργεια δορυφόρου κινούμενου σε κυκλική τροχιά, όπου ο ημιάξονας a ταυτίζεται με την ακτίνα της κυκλικής τροχιάς. Stathis STILIAIS, UoA