( ) = ke r/a όπου k και α θετικές σταθερές

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "( ) = ke r/a όπου k και α θετικές σταθερές"

Transcript

1 Παράδειγµα 1 ΦΥΣ 11 - Διαλ.15 1 Θεωρήστε την κίνηση ενός σώματος,μάζας m σε ελκτικό δυναμικό: V r ke r/a όπου k και α θετικές σταθερές (α) Σχεδιάστε το για μικρές και μεγάλες τιμές της στροφορμής,, και περιγράψτε τα είδη των κινήσεων που μπορούν να συμβούν q Κεντρικό δυναμικό: σταθ. E 1 m!r + και mr ke r a 1 m!r + Ø Εξέταση της συμπεριφοράς του για οριακές περιπτώσεις: r 0 mr ke r a ενώ ke r a 0 mr r 0 ελαττώνεται πιο αργά από τον όρο mr Ø Έλεγχος της συμπεριφοράς του ανάμεσα στα αυτά όρια d dr 0 mr 3 + k a e r a 0 r 3 e r a a mk r 3 e r a C ke r a ( r) C( ) a όπου: mk

2 Παράδειγµα 1(α) r 3 e r a C όπου: C a mk Ø Εξέταση της συμπεριφοράς της C() για διάφορες τιμές του h( r) h( r) r 3 e r a ΦΥΣ 11 - Διαλ.15 Έστω: C( 1 ) C Θεωρούμε διάφορες τιμές για διάφορα C() ( ) C dh ( 3 ) ( r) e r a 3r e r a r 3 3 r r 0 dr a a r e a r 0 r 0 r 3a r r 0 r + r d dr Για: 1 > > 3 0 r δεν υπάρχει ακρότατο Για: υπάρχει ένα σημείο τομής ( r 3a) 0 Για: 3 υπάρχουν δυο σημεία τομής 0 r r +,r r παρουσιάζει ελάχιστο για r - και μέγιστο για r + r r r r +

3 Παράδειγµα 1(α) ΦΥΣ 11 - Διαλ.15 3 Ø Ανάλογα με την ενέργεια και πιθανόν τις αρχικές συνθήκες έχουμε διαφοροποιήσεις στο είδος κίνησης μεγάλο r 0 Ε r > r 0 μή φραγμένη r < r 0 απαγορευμένη E < 0 απαγορευμένη r r 0 r A r 1 μικρό r r r B r + r C Ε 1 Ε Ε 3 r (i) (ii) E E 1 > 0 > μή φραγμένη για r > r 0 0 < E E < μή φραγμένη για r > r C φραγμένη για r A < r < r B απαγορευμένη για και r Β < r < r C r < r Α (iii) < E E 3 < 0 φραγμένη για r 1 < r < r (iv) (v) απαγορευμένη για E r < r 1 r > r r σταθερή κυκλική E r + ασταθής κυκλική

4 Παράδειγµα 1(β) ΦΥΣ 11 - Διαλ.15 4 (β) Βρείτε τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούν τα a, k, m, για να υπάρχει σταθερή κυκλική τροχιά Ø Για κυκλική τροχιά ακτίνας r dv * eff r * θα πρέπει: 0 και E r * dr d r * Ø Για να είναι ευσταθής η κυκλική τροχιά θα πρέπει επιπλέον: dr d r * d r d r * 3 4 k a e r m r * Ø Θα πρέπει: 0 * a 0 r * m r * 3 + k a e r > 0 3 d d r * > 0 dr dr m r * * a 3 r * 3 k a e r m r * 3 e r* a a 4 k a e r * a (1) 3 mk * a > 0 k a e r* a m r * d r ( r * ) k a k a 3 a e r* a e r* r 1 * a 3 r 1 k * * a a e r a > 0 αλλά k, a >0 οπότε: k a > 0 a e r* Άρα : 3 r * 1 a > 0 3 r * > 1 a r* < 3a 3 (1) > 0 k * a e r a

5 Παράδειγµα 1(γ) ΦΥΣ 11 - Διαλ.15 5 (γ) Ποια η συχνότητα των μικρών ταλαντώσεων για την κυκλική τροχιά ακτίνας R και πως συγκρίνεται με την περίοδο της κυκλικής τροχιάς; Η διαταραγμένη κυκλική τροχιά είναι κλειστή; Ø Η περιόδος περιστροφής για την κυκλική τροχιά είναι: mr!θ! θ mr π T Ø Αν αυτή η τροχιά διαταραχθεί τότε: mr T πmr περ r t Ø H Lagrangian για την τροχιά αυτή θα γίνει: ( R + δ r) ( R) + ( R)δ r + 1 V eff R + δ r( t) Ø Αναπτύσουμε κατά Tayor το δυναμικό γύρω από το R ( R)δ r + 0( δ r 3 ) L 1 mδ!r ( R) σταθερός όρος και δεν παίξει ρόλο στην δυναμική ( R) 0 συνθήκη για κυκλική τροχιά Επομένως: ( R + δ r) 1 V eff ( R)δ r ( R + δ r)

6 Παράδειγµα 1(γ) Ø H Lagrangian για την διαταραγμένη κυκλική τροχιά γίνεται: L 1 mδ!r 1 V eff Ø Η εξίσωση κίνησης δίνεται από την εξίσωση Euer Lagrange: d dr L δ!r L δ r ( R)δ r ΦΥΣ 11 - Διαλ.15 6 mδ!! r ( R)δ r δ!! r V eff R m δ r Eξίσωση αρμονικού ταλαντωτή Ø Η περίοδος ταλάντωσης της διαταραγμένης τροχιάς είναι: ω π T R m T π m R Ø Βρήκαμε στο (β) ερώτημα ότι: ( R) 0 R 3 e R a a mk e R a a ( R) mr 4 Αλλά T περ πmr 3 R a (A) ( R) 3 mr k 4 a e R a mkr 3 Αντικατάσταση στην (Α): T πmr επομένως: T ταλ. T περ. 1 3 R a ( R) m ( R) 3 mr k a 4 a mkr R a

7 Παράδειγµα 1(γ) ΦΥΣ 11 - Διαλ.15 7 Ø Η διαταραγμένη κυκλική τροχιά είναι κλειστή αν για ακεραίους n 1, n n 1 T ταλ. n T περ. n 1 T περ. 1 3 R a n T περ. n R a n n 1 n 3 R a n 1 n 3 R a Για παράδειγμα αν n 1 1 και n τότε: R a 3 1 R a 11 4 Ø Εν γένει για να είναι κλειστή η τροχιά θα πρέπει ο λόγος των δυο περιόδων να είναι ρητός αριθμός

8 Παράδειγµα ΦΥΣ 11 - Διαλ.15 8 Ένας πλανήτης μάζας m, περιστρέφεται σε κυκλική τροχιά γύρω από αστέρα μάζας M (M>>m). Λόγω μιας έκρηξης supernova, ο αστέρας χάνει το 0% της αρχικής του μάζας. Η έκρηξη είναι σφαιρικά συμμετρική, και το δυναμικό εξακολουθεί να είναι Keperian. Η έκρηξη και η απώλεια μάζας του αστέρα είναι στιγμιαία (α) Ποια η ενέργεια και στροφορμή του συστήματος πριν/μετά την έκρηξη Ø Σφαιρικά συμμετρική έκρηξη, το δυναμικό εξακολουθεί να είναι Keperian V GMm r Πριν την έκρηξη V GMm Μετά την έκρηξη V n k r G M m V n 4 r 5 GMm r k r r Ø H ποσότητα που διατηρείται είναι η στροφορμή Κεντρικά δυναμικά και μή ύπαρξη εξωτερικών δυνάμεων V n 4 5 V n const Ø H ενέργεια του συστήματος δεν διατηρείται (υπάρχει απώλεια μάζας) M >> m µ Mm M + m m CM συμπίπτει με τον αστέρα έστω ακίνητος

9 Παράδειγµα (α) Έστω R η ακτίνα της αρχικής κυκλικής τροχιάς: E T + V 1 µυ GMm E 1 r mυ GMm R E n T n + V n 1 µυ n 4 GMm E n 1 5 r mυ n 4 GMm 5 R ΦΥΣ 11 - Διαλ.15 9 (1) (Ε πριν την έκρηξη) () (Ε μετά την έκρηξη) (πλανήτης στην ίδια θέση) Ø Η ταχύτητα, υ, του πλανήτη λόγω της περιστροφής του, άρα λόγω µυr n µυ n R n µυr µυ n R υ υ n µr υ υ n mr Ø Λόγω της αρχικής κυκλικής τροχιάς: d dr rr 0 d dr (3) µr + GmM r mr + GmM 0 3 R mr GmM Gm RM m GRM (4) 3 R * Θα μπορούσαμε να πάρουμε το ίδιο από: F κεντρ. F g mυ Από (3) και (4): υ υ n m GMR mr υ υ n GM R (5) R G Mm R 0

10 Παράδειγµα (α-β) Αντικαθιστούμε στις (1) και (): E mgm R GMm R E GMm R E n mgm R 4GMm 5R E 3mGM n 10R (β) Να βρεθεί η εκκεντρότητα της νέας τροχιάς του πλανήτη Ø Εξίσωση εκκεντρότητας: E k R E n 3k 10R e 1+ E n n 1+ E n n µk n mk n ΦΥΣ 11 - Διαλ Αρνητική ενέργεια φραγμένη νέα τροχιά Αντικατάσταση της E n, n, k από το ερώτημα (α) δίνει: 3k e 10R 3 k 1+ m 4 e 1 5 R 5 k m 16 e k 16mkR e 1 15m GMR 16mkR e 1 15m GM 16mGMm e e 1 16 e 1 4 έλλειψη

11 Παράδειγµα (γ) ΦΥΣ 11 - Διαλ (γ) Να βρεθούν τα σημεία καμπής της νέας τροχιάς συναρτήσει του R Ø Πρέπει να βρούμε το περιήλιο (πιο κοντινό σημείο) και το αφήλιο (πιο απομακρυνσμένο σημείο) της ελλειπτικής τροχιάς. Δηλαδή r min και r max r a k max a( 1+ e) r min a 1 e και ενώ ο μεγάλος ημιάξονας E Αντικαθιστούμε για τις τιμές της e, Ε και k της νέας τροχιάς 4 a k n a 5 k E n 3 a 4R k 3 r min a( 1 e) r max a 1+ e 10 R r min 4R r 4R max r R min r 5R max 3 Ο μικρός ημιάξονας της έλλειψης δίνεται από την σχέση: b a ( 1 e ) b 16R b 15R 9 b 15R 3

12 Παράδειγµα (δ) ΦΥΣ 11 - Διαλ.15 1 (δ) Να γίνει το σχήμα της παλιάς και νέας τροχιάς του πλανήτη με όλα τα χαρακτηριστικά που περιγράφουν την τροχιά αφήλιο σημείο έκρηξης b 15R 3 a 4R 3 R αστέρας περιήλιο ae R 3

13 Παράδειγµα 3 ΦΥΣ 11 - Διαλ Δυο σώματα μάζας m 1 και m έλκονται μεταξύ του βάση ενός λογαριθμικού δυναμικού της μορφής: U ( r) U 0 n( r a) (α) Να βρεθεί και να σχεδιαστεί το ενεργό δυναμικό U ( r) U 0 n( r a) και εφόσον τα σώματα έλκονται τότε U 0 > 0 Η ενέργεια του συστήματος είναι: E 1 µ!r + µr +U n r 0 a Όλες οι ποσότητες είναι θετικές - r 0 τότε U eff r τότε U µr 0 ενώ U U 0 n r a Επομένως r

14 Παράδειγµα 3(β-γ) (β) Να βρεθεί η ακτίνα και η περίοδος της κυκλικής τροχιάς Για να έχουμε κυκλική τροχιά θα πρέπει: U eff µr +U n r 0 a du eff dr!θ π T µr T π µr 0 0 T π µ du eff ( r) dr 0 µr U 0 r 0 0 r 0 U 0 µ ΦΥΣ 11 - Διαλ U 0 µ T π U 0 R κυκλικής τροχιάς Τ κυκλικής τροχιάς (γ) Για μικρές αποκλίσεις από την κυκλική τροχιά να γραφεί: r(t)r 0 +η(t) Να γραφεί η εξίσωση κίνησης υποθέτοντας ότι η(t) μικρή ποσότητα L T U 1 µ!r + µ Η εξίσωση κίνησης θα είναι: 1 r 0 r η r η + 0 η 3 0 U 0 n r 0 a + 1 n 1 r 0 r η + 0 η 3 0 d L dt!r L µ!! η + η U 0 r r µr 0 µ!! η + ηω 0 ω U 0 0 r + 3 * Οι όροι γραμμικοί ως προς η απαλείφονται αφού du 0 eff ( r) 0 dr µr 0 4

15 Παράδειγµα 3(δ) Η λύση της εξίσωσης: µ!! η + ηω 0 είναι: η t Acos ω 0 t (δ) Να βρεθεί η γεωμετρική εξίσωση της διαταραχής [η(φ)], και αν η τροχιά είναι κλειστή η t Acos ω 0 t + δ ΦΥΣ 11 - Διαλ δ Η λύση της εξίσωσης είναι: και για ευκολία θέτουμε δ0 Μπορούμε να γράψουμε: t θ!θ οπότε η λύση γίνεται: η t Για να δούμε αν η τροχιά είναι κλειστή, εξετάζουμε αν: το οποίο είναι ισοδύναμο με την συνθήκη: η t 0 Για t 0: η( t 0) A Για t T 0 : η( T 0 ) Acos U 0 r µr 0 4 π U 0 θ Acos ω 0!θ η( θ 0) η( θ π ) η( t T 0 ) N U 0 U 0 r µr 0 4 Πρέπει να ισούται με π N για να είναι περιοδική Το δεξί μέλος δεν είναι ακέραιος αριθμός και άρα η τροχιά δεν είναι κλειστή

16 Παράδειγµα 4 ΦΥΣ 11 - Διαλ Δορυφόρος κινείται σε ελειπτική τροχιά με περίοδο T, εκκεντρότητα, e, και μεγάλο ημιάξονα α. Να δειχθεί ότι η μέγιστη ακτινική ταχύτητα του δορυφόρου είναι!r max πae T 0 1 e Ø Η ενέργεια του δορυφόρου είναι: E 1 m!r + ( r) όπου Ø Η ενέργεια διατηρείται, και επομένως:!r!r max όταν: r min dv Ø Αλλά eff ( r) όταν 0 dr d 0 dr µr + GMm 0 3 r µr GMm r Ø Αντικαθιστούμε στην εξίσωση του : G M m 4 m 4 G M m 3 m GMm Ø Αντικατάσταση στην εξίσωση του ενέργειας:!r max E m min GMm (1)!r max m E + G M m 3!r GMm max µr GMm r min m GMm G M m 3 1+ E G M m 3

17 Παράδειγµα 4!r max GMm 1+ E G M m 3 Ø Από τον ορισμό της εμβαδικής ταχύτητας: da dt m ΦΥΣ 11 - Διαλ T 0 Σε μια περίδο, Τ 0, το εμβαδό που καλύπτεται είναι: A πab T 0 πab ( m) T πmab (Α) 0 Η εκκεντρότητα της έλειψης δίνεται από την σχέση: e 1+ E αλλά k GMm οπότε: e 1+ E G M m 3 Ø Χρησιμοποιώντας τις (Α) και (Β) έχουμε: (Β) mk A da dt!r max GMm 1+ E G M m 3!r max GMm e!r max egmt 0 πmab T 0 πab Ø Ο μικρός ημιάξονας της έλειψης δίνεται από b a 1 e Ø Ο 3 ος νόμος του Keper: T 0 4π a 3 GM GM 4π a 3 T 0 πae Ø Αντικατάσταση των (Δ) και (Ε) στην (Γ):!r max T 0 1 e (Γ) (Δ) (E)

18 Παράδειγµα 5 ΦΥΣ 11 - Διαλ Σώμα μάζας m κινείται στην επιφάνεια ενός παραβολοειδούς, η εξίσωση του οποίου σε κυλινδρικές συντεταγμένες είναι r 4az. Αν το σώμα είναι κάτω από μια βαρυτητική δύναμη, να δειχθεί ότι η συχνότητα των μικρών ταλαντώσεων ως προς μια κυκλική τροχιά ακτίνας είναι Ø Η Lagrangian του συστήματος είναι: L T V m (!r + r!θ +!z ) mgz Ø Οι εξισώσεις κίνησης: ω g a + z 0 ρ 4az 0 Ø Από την εξίσωση του δεσμού: r 4az r!r 4a!z!z r!r a H Lagrangian γίνεται: L m!r + r!θ + r!r a mg r 4a d dt d dt L θ! L θ d dt L!r m!! r + m 4a L r d dt m!! r + m 4a ( r!r ) mr ( mr!θ ) 0 mr!θ const d dt m r 4 + m r!r! θ ( r!r ) mr!θ + m r!r 4a mgr a 4a mgr a (A) mr (A) m r + r!r 3 4a gr a!! r 1 4a d dt ( r!r ) 0

19 Παράδειγµα 5 m r + r!r 3 4a gr a!! r 1 4a d dt ( r!r ) 0 (A) αλλά ρ 4az 0 ρ 4az 0 const!ρ!! ρ 0 Επομένως γυρνώντας και πάλι στην εξίσωση κίνησης (A): m gρ 4 am r + r!r 3 4a gr a!! r 1 4a d dt ( r!r ) 0 ΦΥΣ 11 - Διαλ m ρ 3 gρ a 0 ρ 4 a m g m gρ 4 gρ 4 ar + r!r 3 4a gr a!! r 1 4a a d dt ( r!r ) 0 gρ 4 ar + r!r 3 4a gr a!! r r!! r 4a r!r a 0 gρ 4 ar + r!r 3 4a gr a!! r 1+ r 4a r!r a 0 gρ 4 ar r!r 3 4a gr a!! r 1+ r 4a 0 (Β)

20 gρ Παράδειγµα 5 4 ar r!r 3 4a gr a!! r 1+ r 4a 0 Για μικρές αποκλίσεις από την κυκλική τροχιά ρ: r t Από ανάπτυγμα Tayor r ρ + η Ισχύει επίσης ότι!r!η και!! r!! η Αντικατάσταση στην διαφορική εξίσωση δίνει: gρ 4 a ( ρ 3η ) ρ 4 ω g a ( ρ + η )!η 4a Προσεγγιστικά, ο όρος g( ρ 3η ) a g ( ρ + η ) a 1+ ρ 4a ω g ω a 1+ 4az 0 4a ΦΥΣ 11 - Διαλ.15 0 ρ + η( t) με η<<ρ ρ + ηρ και r 3 ( ρ 3η ) ρ 3 g ( ρ + η ) a!! η 1+ ρ + ηρ 4a 0 ( ρ + η)!η 0 όπως και ο όρος ( ηρ )!! η 0!! η 1+ ρ 4a 0 4gρη a!! η 1+ ρ 4a 0!! η 1+ ρ 4a + η g a 0 Εξίσωση ταλαντωτή g ( a + z 0 ) ω g a + z 0

21 Παράδειγµα 6 Ø Η στροφορμή του σώματος είναι:! r! p ΦΥΣ 11 - Διαλ.15 1 Δ! p p 0 ˆr Σώμα κινούμενο σε ελειπτική τροχιά δέχεται ώθηση, καθώς βρίσκεται στο περιήλιο της τροχιάς. Ποια η τελική τροχιά του σώματος Ø Η ώθηση που δέχεται είναι ακτινική: Δ! p p 0 ˆr const Ø Η ενέργεια του συστήματος αλλάζει: ΔE Δp m ΔE p 0 m Ø Η εκκεντρότητα της τροχιάς δίνεται από: e 1+ E e f 1+ E f 4mk e f 1+ ( E i + ΔE) 4mk e f 1+ E i e i 4mk 4mk + p 0 e 4m k f e i + Ø O μεγάλος ημιάξονας της ελειπτικής τροχιάς δίνεται από: a mk 1 e a i mk 1 e i a f a f 1 e i mk a i 1 e a 1 e f a i i f 1 e a 1 e f a i i f 1 e i ( p 0 mk) 1 e f ( 1 e i )a i ( 1 e i )a i a f 1 e i p 0 mk 1 e i p ( 0 mk)a i 1 e i ( mk) a f p 0 mk

22 Παράδειγµα 6 ΦΥΣ 11 - Διαλ.15 a f ( 1 e i )a i 1 e i p ( 0 mk)a i 1 e i a f a f ( 1 e i )a i ( 1 e i ) 1 ( p 0 mk)a i Ø H νέα έλειψη θα περιγράφεται από την εξίσωση: r f ( θ ) 1 mk 1 e f cos θ + δ a i 1 ( p 0 mk)a i p 0 ˆr p f p i δ r i ( θ ) r f ( θ ) Ø H διαφορά φάσης, δ, προσδιορίζεται με το να θέσουμε: r i ( π ) r f ( π ) εφόσον ξέρουμε ότι στο περιήλιο οι τροχιές συμπίπτουν r f ( π ) r i ( π ) 1 mk 1+ e f cos δ 1 mk 1+ e i [ ] cos δ e i e f

( ) ( r) V r. ( ) + l 2. Τι είδαμε: m!! r = l 2. 2mr 2. 2mr 2 + V r. q Ξεκινήσαμε την συζήτηση για το θέμα κεντρικής δύναμης

( ) ( r) V r. ( ) + l 2. Τι είδαμε: m!! r = l 2. 2mr 2. 2mr 2 + V r. q Ξεκινήσαμε την συζήτηση για το θέμα κεντρικής δύναμης ΦΥΣ 2 - Διαλ.4 Τι είδαμε: q Ξεκινήσαμε την συζήτηση για το θέμα κεντρικής δύναμης ü Ανάγαμε το πρόβλημα 2 σωμάτων σε πρόβλημα κεντρικής δύναμης ü διατήρηση ορμής CM μετατρέπει το πρόβλημα από 6 DoF σε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 5-Μάρτη-2016

ΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 5-Μάρτη-2016 ΦΥΣ. 11 1 η ΠΡΟΟΔΟΣ 5-Μάρτη-016 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 8-Μάρτη-2014

ΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 8-Μάρτη-2014 ΦΥΣ. 11 1 η ΠΡΟΟΔΟΣ 8-Μάρτη-014 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Κεντρικές υνάµεις. 1. α) Αποδείξτε ότι η στροφορµή διατηρείται σε ένα πεδίο κεντρικών δυνάµεων και δείξτε ότι η κίνηση είναι επίπεδη.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Κεντρικές υνάµεις. 1. α) Αποδείξτε ότι η στροφορµή διατηρείται σε ένα πεδίο κεντρικών δυνάµεων και δείξτε ότι η κίνηση είναι επίπεδη. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Κεντρικές υνάµεις 1. α) Αποδείξτε ότι η στροφορµή διατηρείται σε ένα πεδίο κεντρικών δυνάµεων και δείξτε ότι η κίνηση είναι επίπεδη. 1 β) Σε ένα πεδίο κεντρικών δυνάµεων F =, ένα σώµα, µε µάζα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 8-Μάρτη-2014

ΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 8-Μάρτη-2014 ΦΥΣ. 11 1 η ΠΡΟΟΔΟΣ 8-Μάρτη-014 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση πλανητών Νόµοι του Kepler

Κίνηση πλανητών Νόµοι του Kepler ΦΥΣ 111 - Διαλ.29 1 Κίνηση πλανητών Νόµοι του Keple! Θα υποθέσουµε ότι ο ήλιος είναι ακίνητος (σχεδόν σωστό αφού έχει τόσο µεγάλη µάζα και η γη δεν τον κινεί).! Οι τροχιές των πλανητών µοιάζουν κάπως σα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 7-Μάρτη-2015

ΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 7-Μάρτη-2015 ΦΥΣ. 11 1 η ΠΡΟΟΔΟΣ 7-Μάρτη-015 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Βαρυτικη Δυναμικη Ενεργεια { Εκφραση του Βαρυτικού Δυναμικού, Ταχύτητα Διαφυγής, Τροχιές και Ενέργεια Δορυφόρου}

Κεφάλαιο 8. Βαρυτικη Δυναμικη Ενεργεια { Εκφραση του Βαρυτικού Δυναμικού, Ταχύτητα Διαφυγής, Τροχιές και Ενέργεια Δορυφόρου} Κεφάλαιο 8 ΒΑΡΥΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Νομος της Βαρυτητας {Διανυσματική Εκφραση, Βαρύτητα στη Γη και σε Πλανήτες} Νομοι του Kepler {Πεδίο Κεντρικών Δυνάμεων, Αρχή Διατήρησης Στροφορμής, Κίνηση Πλανητών και Νόμοι του

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις

Ενότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις Ενότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις Έστω F=f κεντρικό πεδίο δυνάμεων. Είναι εύκολο να δείξουμε ότι F=0, δηλ. είναι διατηρητικό: F= V. Σε σφαιρικές συντεταγμένες, γενικά: V ma = F =, V maθ = Fθ =,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ε. Στυλιάρης

ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ε. Στυλιάρης (Με ιδέες και υλικό από ΦΥΣΙΚΗ Ι ΤΜΗΜΑ Α Ε. Στυλιάρης από παλαιότερες διαφάνειες του κ. Καραμπαρμπούνη) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, 05 06 06 ΒΑΡΥΤΗΤΑ Νόμος της Βαρύτητας Βαρύτητα στο Εσωτερικό και Πάνω από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική I 2 Σεπτεμβρίου 2010

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική I 2 Σεπτεμβρίου 2010 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική I Σεπτεμβρίου 00 Απαντήστε και στα 0 ερωτήματα με σαφήνεια και απλότητα. Οι ολοκληρωμένες απαντήσεις εκτιμώνται ιδιαιτέρως. Καλή σας επιτυχία.. Ένας

Διαβάστε περισσότερα

Σφαιρικά σώµατα και βαρύτητα

Σφαιρικά σώµατα και βαρύτητα ΦΥΣ 131 - Διαλ.28 1 Σφαιρικά σώµατα και βαρύτητα q Χρησιµοποιήσαµε τις εκφράσεις F() =! GMm που ισχύουν για σηµειακές µάζες Μ και m. 2 και V () =! GMm q Ένα χαρακτηριστικό γεγονός, που κάνει τους υπολογισµούς

Διαβάστε περισσότερα

Τί είδαµε και τι θα δούµε σήµερα

Τί είδαµε και τι θα δούµε σήµερα Τί είδαµε και τι θα δούµε σήµερα q Κίνηση σωμάτων σε κεντρικό δυναμικό Ø Το πρόβλημα ανάγεται σε κίνηση με 1 DoF: µ r = l µr + F( r) 3 q Είδαμε ποιοτική συμπεριφορά Ø Μη φραγμένες, φραγμένες και κυκλικές

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε κεντρικό δυναμικό

Κίνηση σε κεντρικό δυναμικό Κίνηση σε κεντρικό δυναμικό ΦΥΣ 211 - Διαλ.13 1 q Έστω ένα σωματίδιο κάτω από την επίδραση μιας κεντρικής δύναμης Ø Δύναμη παράλληλη στο 0 F q Υποθέτουμε ότι η δύναμη είναι συντηρητική: F = V( ) m Ø V

Διαβάστε περισσότερα

της µορφής:! F = -mk! r

της µορφής:! F = -mk! r Ένα µικρό σώµα µάζας m, κινείται επί κυκλικής τροχιάς ακτίνας α µέσα σε δυναµικό πεδίο, ελκόµενο από σταθερό ση µείο Ο που αποτελεί το κέντρο της τροχιάς, µε δύναµη F της µορφής: F -mk όπου το διάνυσµα

Διαβάστε περισσότερα

Βαρύτητα Βαρύτητα Κεφ. 12

Βαρύτητα Βαρύτητα Κεφ. 12 Κεφάλαιο 1 Βαρύτητα 6-1-011 Βαρύτητα Κεφ. 1 1 Νόμος βαρύτητας του Νεύτωνα υο ή περισσότερες μάζες έλκονται Βαρυτική δύναμη F G m1m ˆ Βαρυτική σταθερά G =667*10 6.67 11 N*m Nm /kg παγκόσμια σταθερά 6-1-011

Διαβάστε περισσότερα

Hamiltonian Δυναμική - Παράδειγμα

Hamiltonian Δυναμική - Παράδειγμα Hamiltonian Δυναμική - Παράδειγμα ΦΥΣ 211 - Διαλ.12 1 Μάζα m κινείται στο εσωτερικό επιφάνειας κατακόρυφου κώνου ρ=cz. Το σώμα κινείται μέσα σε ομοιόμορφο βαρυτικό πεδίο με g προς τα κάτω. Χρησιμοποιήστε

Διαβάστε περισσότερα

O y. (t) x = 2 cos t. ax2 + bx + c b 2ax b + arcsin. a 2( a) mk.

O y. (t) x = 2 cos t. ax2 + bx + c b 2ax b + arcsin. a 2( a) mk. Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Μηχανική Ι, Τμήμα Κ Τσίγκανου & Ν Βλαχάκη, 3 Ιανουαρίου 018 Διάρκεια εξέτασης 3 ώρες, Καλή επιτυχία ( = bonus ερωτήματα) Ονοματεπώνυμο:,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 11-Μάη-2015

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 11-Μάη-2015 ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 11-Μάη-2015 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

GMm. 1 2GM ) 2 + L2 2 + R L=4.5 L=4 L=3.7 L= 1 2 =3.46 L= V (r) = L 2 /2r 2 - L 2 /r 3-1/r

GMm. 1 2GM ) 2 + L2 2 + R L=4.5 L=4 L=3.7 L= 1 2 =3.46 L= V (r) = L 2 /2r 2 - L 2 /r 3-1/r Ονοματεπώνυμο: Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Μηχανική Ι, Τμήμα Κ Τσίγκανου & Ν Βλαχάκη, Σεπτεμβρίου 05 Διάρκεια εξέτασης 3 ώρες, Καλή επιτυχία = bonus ερωτήματα),

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέμβριος 2012

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέμβριος 2012 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέμβριος ΘΕΜΑ α) Υλικό σημείο μάζας κινείται στον άξονα Ο υπό την επίδραση του δυναμικού V=V() Αν για t=t βρίσκεται στη θέση = με ενέργεια Ε δείξτε ότι η κίνησή του δίνεται από

Διαβάστε περισσότερα

L 2 z. 2mR 2 sin 2 mgr cos θ. 0 π/3 π/2 π L z =0.1 L z = L z =3/ 8 L z = 3-1. V eff (θ) =L z. 2 θ)-cosθ. 2 /(2sin.

L 2 z. 2mR 2 sin 2 mgr cos θ. 0 π/3 π/2 π L z =0.1 L z = L z =3/ 8 L z = 3-1. V eff (θ) =L z. 2 θ)-cosθ. 2 /(2sin. Μηχανική Ι Εργασία #5 Χειμερινό εξάμηνο 15-16 Ν. Βλαχάκης 1. Σημειακό σώμα μάζας m είναι δεμένο σε αβαρές και μη εκτατό νήμα ακτίνας R και κινείται κάτω από την επίδραση του βάρους του mgẑ και της τάσης

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονικοί ταλαντωτές

Αρµονικοί ταλαντωτές Αρµονικοί ταλαντωτές ΦΥΣ 111 - Διαλ. 38 Εκκρεµή - Απλό εκκρεµές θ T mg r F τ = r F = mgsinθ τ = I M d θ α, Ι = M dt = Mgsinθ d θ dt = g sinθ θ = g sinθ Διαφορική εξίσωση Αυτή η εξίσωση είναι δύσκολο να

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική Ι 20 Οκτωβρίου 2011

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική Ι 20 Οκτωβρίου 2011 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική Ι 20 Οκτωβρίου 20 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Θέμα Α: (α) Να υπολογίσετε το βαρυτικό δυναμικό σε απόσταση r από το κέντρο ευθύγραμμης ράβδου

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση πλανητών Νόµοι του Kepler

Κίνηση πλανητών Νόµοι του Kepler ΦΥΣ 111 - Διαλ.29 1 Κίνηση πλανητών Νόµοι του Kepler q Τρεις οι νόµοι του Kepler: Ø Oι πλανήτες κινούνται σε ελλειπτικές τροχιές µε τον ήλιο σε µια εστία τους. Ø Η επιβατική ακτίνα ενός πλανήτη διαγράφει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ 2013 ΘΕΜΑΤΑ και ΛΥΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ 2013 ΘΕΜΑΤΑ και ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ 13 ΘΕΜΑΤΑ και ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α1 Έστω ότι η κίνηση δύο ατόµων ενός µορίου µπορεί να περιγραφεί προσεγγιστικά από ένα δυναµικό της µορφής V a a 4 8 = +, a >, όπου > η σχετική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2003

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2003 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 3 Θέµα 1 (5 µονάδες) Απαντήστε στις ακόλουθες ερωτήσεις µε συντοµία και σαφήνεια Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου (α) Η ταχύτητα ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Διδάσκοντες: Βαρσάμης Χρήστος, Φωτόπουλος Παναγιώτης

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Διδάσκοντες: Βαρσάμης Χρήστος, Φωτόπουλος Παναγιώτης ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 218-219 ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Διδάσκοντες: Βαρσάμης Χρήστος, Φωτόπουλος Παναγιώτης ΘΕΜΑ 1 Διάρκεια εξέτασης 2 ώρες Υλικό σημείο κινείται ευθύγραμμα πάνω στον άξονα x με ταχύτητα,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 19//013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 υ (m/s) Σώμα μάζας m = 1Kg κινείται σε ευθύγραμμη τροχιά

Διαβάστε περισσότερα

GMR L = m. dx a + bx + cx. arcsin 2cx b b2 4ac. r 3. cos φ = eg. 2 = 1 c

GMR L = m. dx a + bx + cx. arcsin 2cx b b2 4ac. r 3. cos φ = eg. 2 = 1 c Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Μηχανική Ι, Τμήμα Κ. Τσίγκανου & Ν. Βλαχάκη, 9 Μαΐου 01 Διάρκεια εξέτασης 3 ώρες, Καλή επιτυχία bonus ερωτήματα Ονοματεπώνυμο:,

Διαβάστε περισσότερα

F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται

F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται 6-04-011 1. Όχημα μάζας m ξεκινά από την αρχή του άξονα x χωρίς αρχική ταχύτητα και κινείται στον άξονα x υπό την επίδραση της δυνάμεως t F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται επίσης αντίσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3/2/2016 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3/2/2016 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3/2/2016 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ 2 ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας m 0.25 Kg κινείται στο επίπεδο xy, με τις εξισώσεις κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1 ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : (α) Ταχύτητα ΚΜ: u KM = mu + mu m = u + u Εποµένως u = u u + u = u u, u = u u + u = u u (β) Διατήρηση ορµής στο ΚΜ: mu + mu = mv + mv u + u = V + V = 0 V = V

Διαβάστε περισσότερα

) z ) r 3. sin cos θ,

) z ) r 3. sin cos θ, Μηχανική Ι Εργασία #5 Χειμερινό εξάμηνο 4-5 Ν. Βλαχάκης. Σώμα μάζας m κινείται στο πεδίο δύναμης της πρώτης άσκησης της τέταρτης εργασίας με λ, αλλά επιπλέον είναι υποχρεωμένο να κινείται μόνο στην ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ, 8 Μαρτίου 2019 Διδάσκοντες: Βαρσάμης Χρήστος, Φωτόπουλος Παναγιώτης

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ, 8 Μαρτίου 2019 Διδάσκοντες: Βαρσάμης Χρήστος, Φωτόπουλος Παναγιώτης ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 218-219 ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ, 8 Μαρτίου 219 Διδάσκοντες: Βαρσάμης Χρήστος, Φωτόπουλος Παναγιώτης ΘΕΜΑ 1 Διάρκεια εξέτασης 2 ώρες Υλικό σημείο κινείται ευθύγραμμα πάνω στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι. Οκτώβριος 2002 Τμήμα Πέτρου Ιωάννου και Θεοχάρη Αποστολάτου

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι. Οκτώβριος 2002 Τμήμα Πέτρου Ιωάννου και Θεοχάρη Αποστολάτου ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Οκτώβριος 2002 Τμήμα Πέτρου Ιωάννου και Θεοχάρη Αποστολάτου Απαντήστε και στα 4 θέματα. Καλή σας επιτυχία. Θέμα (20 μονάδες) α) Διατυπώστε με σαφήνεια

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονικοί ταλαντωτές

Αρµονικοί ταλαντωτές Αρµονικοί ταλαντωτές ΦΥΣ 131 - Διαλ. 31 Εκκρεµή - Απλό εκκρεµές θ l T mg r F Αυτή η εξίσωση είναι δύσκολο να λυθεί. Δεν µοιάζει µε τη γνωστή εξίσωση Για µικρές γωνίες θ µπορούµε όµως να γράψουµε Εποµένως

Διαβάστε περισσότερα

mv V (x) = E με V (x) = mb3 ω 2

mv V (x) = E με V (x) = mb3 ω 2 Ονοματεπώνυμο: Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Μηχανική Ι, Τμήμα Κ Τσίγκανου & Ν Βλαχάκη, 6 Σεπτεμβρίου 6 Διάρκεια εξέτασης ώρες, Καλή επιτυχία ( = bonus ερωτήματα),

Διαβάστε περισσότερα

Reynolds. du 1 ξ2 sin 2 u. (2n)!! ( (http://www.natgeotv.com/uk/street-genius/ videos/bulletproof-balloons) n=0

Reynolds. du 1 ξ2 sin 2 u. (2n)!! ( (http://www.natgeotv.com/uk/street-genius/ videos/bulletproof-balloons) n=0 Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Μηχανική Ι, Τμήμα Κ. Τσίγκανου & Ν. Βλαχάκη, Μαΐου 7 Διάρκεια εξέτασης 3 ώρες, Καλή επιτυχία ( = bonus ερωτήματα) Ονοματεπώνυμο:,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 17 Φεβρουαρίου 2015

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 17 Φεβρουαρίου 2015 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 17 Φεβρουαρίου 2015 Τμήμα Θ. Αποστολάτου & Π. Ιωάννου Απαντήστε και στα 4 προβλήματα με σαφήνεια και απλότητα. Οι ολοκληρωμένες απαντήσεις στα ερωτήματα εκτιμώνται

Διαβάστε περισσότερα

( ) ) V(x, y, z) Παραδείγματα. dt + "z ˆk + z d ˆk. v 2 =!x 2 +!y 2 +!z 2. F =! "p. T = 1 2 m (!x2 +!y 2 +!z 2

( ) ) V(x, y, z) Παραδείγματα. dt + z ˆk + z d ˆk. v 2 =!x 2 +!y 2 +!z 2. F =! p. T = 1 2 m (!x2 +!y 2 +!z 2 ΦΥΣ 211 - Διαλ.04 1 Παραδείγματα Κίνηση ενός και μόνο σωματιδίου, χρησιμοποιώντας Καρτεσιανές συντεταγμένες και συντηρητικές δυνάμεις. Οι εξισώσεις Lagrange θα πρέπει να επιστρέφουν τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( )! r a. Στροφορμή στερεού. ω i. ω j. ω l. ε ijk. ω! e i. ω j ek = I il. ! ω. l = m a. = m a. r i a r j. ra 2 δ ij. I ij. ! l. l i.

( ) ( ) ( )! r a. Στροφορμή στερεού. ω i. ω j. ω l. ε ijk. ω! e i. ω j ek = I il. ! ω. l = m a. = m a. r i a r j. ra 2 δ ij. I ij. ! l. l i. Στροφορμή στερεού q Η στροφορµή του στερεού γράφεται σαν: q Αλλά ο τανυστής αδράνειας έχει οριστεί σαν: q H γωνιακή ταχύτητα δίνεται από: ω = 2 l = m a ra ω ω ra ω e a ΦΥΣ 211 - Διαλ.31 1 r a I j = m a

Διαβάστε περισσότερα

Ταλαντώσεις. q Μια διαφορετική εφαρμογή του φορμαλισμού Lagrange

Ταλαντώσεις. q Μια διαφορετική εφαρμογή του φορμαλισμού Lagrange ΦΥΣ 211 - Διαλ.19 1 q Μια διαφορετική εφαρμογή του φορμαλισμού Lagrange q Ταλαντωτής αποτελεί ένα σύστημα του οποίου μπορούμε να λύσουμε τις εξισώσεις κίνησης Ø σε κάποιο γενικό σύστημα οι εξισώσεις κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διαλ Κινηµατική και Δυναµική Κυκλικής κίνησης

ΦΥΣ Διαλ Κινηµατική και Δυναµική Κυκλικής κίνησης ΦΥΣ - Διαλ.4 Κινηµατική και Δυναµική Κυκλικής κίνησης Κυκλική κίνηση ΦΥΣ - Διαλ.4 Ορίζουµε τα ακόλουθα µοναδιαία διανύσµατα: ˆ βρίσκεται κατά µήκος του διανύσµατος της ακτίνας θˆ είναι εφαπτόµενο του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας. Γιώργος Νικολιδάκης

Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας. Γιώργος Νικολιδάκης Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας Γιώργος Νικολιδάκης 9/18/2013 1 Κωνικές Τομές Είναι καμπύλες που σχηματίζονται καθώς επίπεδα τέμνουν με διάφορες γωνίες επιφάνειες κώνων. Παραβολή Έλλειψη -κύκλος Υπερβολή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2019

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2019 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 019 Κινηματική ΑΣΚΗΣΗ Κ.1 Η επιτάχυνση ενός σώματος που κινείται ευθύγραμμα δίνεται από τη σχέση a = (4 t ) m s. Υπολογίστε την ταχύτητα και το διάστημα που διανύει το σώμα

Διαβάστε περισσότερα

Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς

Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς 1. Εξισώσεις Euler -Lagrange x 0 φ θ z F l 0 y r m B Το ελαστικό κωνικό εκκρεμές αποτελείται από ένα ελατήριο με σταθερά επαναφοράς k, το οποίο αναρτάται από ένα σταθερό σημείο,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 1 Άλγεβρα a 1 a a ( ± y) a a ± y log a a 10 log a ± logb log( ab ± 1 ) log( a n ) n log( a) ln a a e ln a ± ln b ln( ab ± 1 ) ln( a n ) nln( a) Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα

Διαβάστε περισσότερα

Διαταραχές Τροχιάς (2)

Διαταραχές Τροχιάς (2) Διαταραχές Τροχιάς (2) Μάθημα 6 ο Βαρυτικές διαταραχές δυναμικό πεπλατυσμένου σώματος Επίδραση τρίτου σώματος (α) γραμμική αέναη κίνηση (β) κίνηση σε συντονισμό Μη βαρυτικές διαταραχές Μεταβολές του μεγάλου

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015 ΘΕΜΑ Α Α. α Α.2 β Α.3 α Α.4 δ Α.5 α Λ β Σ γ Σ δ Λ ε Σ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 205 ΘΕΜΑ Β Β. Σωστή η απάντηση ( iii ) Αιτιολόγηση: Από το θεμελιώδη νόμο

Διαβάστε περισσότερα

E = 1 2 k. V (x) = Kx e αx, dv dx = K (1 αx) e αx, dv dx = 0 (1 αx) = 0 x = 1 α,

E = 1 2 k. V (x) = Kx e αx, dv dx = K (1 αx) e αx, dv dx = 0 (1 αx) = 0 x = 1 α, Μαθηματική Μοντελοποίηση Ι 1. Φυλλάδιο ασκήσεων Ι - Λύσεις ορισμένων ασκήσεων 1.1. Άσκηση. Ενα σωμάτιο μάζας m βρίσκεται σε παραβολικό δυναμικό V (x) = 1/2x 2. Γράψτε την θέση του σαν συνάρτηση του χρόνου,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 20 Σεπτεμβρίου 2007

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 20 Σεπτεμβρίου 2007 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 0 Σεπτεμβρίου 007 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε στα ερωτήματα που ακολουθούν με σαφήνεια, ακρίβεια και απλότητα. Όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

Κύληση. ΦΥΣ Διαλ.33 1

Κύληση. ΦΥΣ Διαλ.33 1 Κύληση ΦΥΣ 111 - Διαλ.33 1 Κύλιση χωρίς ολίσθηση ΦΥΣ 111 - Διαλ.33 H συνθήκη για να έχουµε κύλιση χωρίς ολίσθηση είναι: s = Rθ = d ή a εφ. = αr V = d d ( Rθ ) = R dθ d = Rω για σταθερό R To σηµείο επαφής

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ η Πρόοδος: 18-Νοεµβρίου-2017

ΦΥΣ η Πρόοδος: 18-Νοεµβρίου-2017 ΦΥΣ. 111 2 η Πρόοδος: 18-Νοεµβρίου-2017 Πριν αρχίσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο και αριθµό ταυτότητας). Ονοµατεπώνυµο Αριθµός Ταυτότητας Απενεργοποιήστε τα κινητά σας. Η εξέταση αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ η Πρόοδος: 18-Νοεµβρίου-2017

ΦΥΣ η Πρόοδος: 18-Νοεµβρίου-2017 ΦΥΣ. 111 2 η Πρόοδος: 18-Νοεµβρίου-2017 Πριν αρχίσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο και αριθµό ταυτότητας). Ονοµατεπώνυµο Αριθµός Ταυτότητας Απενεργοποιήστε τα κινητά σας. Η εξέταση αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2: ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ, ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ, ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ, ΟΡΜΗ) ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2: ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ, ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ, ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ, ΟΡΜΗ) ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ, ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ, ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ, ΟΡΜΗ) ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Ερώτηση Ένα σώμα εκτελεί απλή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας m=0.1 Kg κινείται σε οριζόντιο δάπεδο ευθύγραμμα με την

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Τζιόλας Χρήστος. και Α 2

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Τζιόλας Χρήστος. και Α 2 ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Τζιόλας Χρήστος 1. Ένα σύστημα ελατηρίου σταθεράς = 0 π N/ και μάζας = 0, g τίθεται σε εξαναγκασμένη ταλάντωση. Αν είναι Α 1 και Α τα πλάτη της ταλάντωσης

Διαβάστε περισσότερα

) A a r a. Κίνηση σωματιδίου κάτω από επίδραση δύναμης. T = 1 2 m (!r 2 + r 2!θ 2. A a r a + C. = Ar a 1 dr V = F = V r V = Fdr

) A a r a. Κίνηση σωματιδίου κάτω από επίδραση δύναμης. T = 1 2 m (!r 2 + r 2!θ 2. A a r a + C. = Ar a 1 dr V = F = V r V = Fdr Κίνηση σωματιδίου κάτω από επίδραση δύναμης ΦΥΣ 211 - Διαλ.05 1 Έστω ένα σωματίδιο κινείται κάτω από την επίδραση μιας δύναμης F = Ar α 1 που έχει διεύθυνση προς την αρχή των αξόνων. Τα Α και α είναι σταθερές.

Διαβάστε περισσότερα

όπου Μ η µάζα της Γης την οποία θεωρούµε σφαίρα οµογενή, G η παγκόσµια σταθερά της βαρύτητας και L!

όπου Μ η µάζα της Γης την οποία θεωρούµε σφαίρα οµογενή, G η παγκόσµια σταθερά της βαρύτητας και L! Είναι γνωστό ότι, όταν ένα σώµα κινείται µέσα στο βαρυτικό πεδίο της Γης υπό την επίδραση µόνο της Νευτώνειας έλξεως, η τροχιά που διαγράφει το κέντρο µάζας του είναι επίπεδη και µάλιστα το επίπεδό της

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε μία διάσταση

Κίνηση σε μία διάσταση Κίνηση σε μία διάσταση ΦΥΣ 131 - Διαλ.5 1 q Ανακεφαλαιώνοντας θέσης τροχιάς μετατόπισης Δx = x f - x i, χρονικού διαστήματος Δ = f i, μέση ταχύτητα v = x x στιγμιαία ταχύτητα x v = lim " = d x d παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

Ανακεφαλαίωση. q Εισήγαμε την έννοια των δεσμών. Ø Ολόνομους και μή ολόνομους δεσμούς. Ø Γενικευμένες συντεταγμένες

Ανακεφαλαίωση. q Εισήγαμε την έννοια των δεσμών. Ø Ολόνομους και μή ολόνομους δεσμούς. Ø Γενικευμένες συντεταγμένες ΦΥΣ 211 - Διαλ.06 1 Ανακεφαλαίωση Τι είδαμε μέχρι τώρα: q Συζητήσαμε συστήματα πολλών σωμάτων Ø Εσωτερικές και εξωτερικές δυνάμεις Ø Νόμους δράσης-αντίδρασης Ø Ορμές, νόμους διατήρησης (γραμμική ορμή,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ. Α5. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό

ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ. Α5. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ 5 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. γ. Α. δ. Α3. γ. Α4. γ. Α5. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό ΘΕΜΑ B B1. Σωστή απάντηση είναι η

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέματα και Λύσεις. Ox υπό την επίδραση του δυναμικού. x 01

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέματα και Λύσεις. Ox υπό την επίδραση του δυναμικού. x 01 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ 1 Θέματα και Λύσεις ΘΕΜΑ 1 Υλικό σημείο κινείται στον άξονα x' Ox υπό την επίδραση του δυναμικού 3 ax x V ( x) a x, a 3 α) Βρείτε τα σημεία ισορροπίας και την ευστάθειά τους

Διαβάστε περισσότερα

k 3/5 P 3/5 ρ = cp 3/5 (1) dp dr = ρg (2) P 3/5 = cgdz (3) cgz + P0 cg(z h)

k 3/5 P 3/5 ρ = cp 3/5 (1) dp dr = ρg (2) P 3/5 = cgdz (3) cgz + P0 cg(z h) Αριστοτελειο Πανεπιστημιο Θεσσαλονικης ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ 3ο Σετ Ασκήσεων Αστρονομίας Author: Σταμάτης Βρετινάρης Supervisor: Νικόλαος Στεργιούλας Λουκάς Βλάχος December 5, 215 1 Άσκηση Σφαιρικός αστέρας με

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) = d ( ) Ταλαντωτές. !!q + ω 2 q = 0. !!q + ω 2 q + ω Q!q = F t. + q ειδ. Q! = δ t t. G!! + ω 2 G + ω G. q t.

( ) ( ) ( ) = d ( ) Ταλαντωτές. !!q + ω 2 q = 0. !!q + ω 2 q + ω Q!q = F t. + q ειδ. Q! = δ t t. G!! + ω 2 G + ω G. q t. Ταλαντωτές ΦΥΣ 211 - Διαλ.21 1 q Εξετάσαμε τον απλό αρμονικό ταλαντωτή!!q + ω 2 q = 0 q Εξετάσαμε δυο διαφοροποιήσεις: ταλαντωτή με απόσβεση και διεγείρουσα δύναμη!!q + ω 2 q + ω Q!q = F t q = q οµογ.

Διαβάστε περισσότερα

Hamiltonian φορμαλισμός

Hamiltonian φορμαλισμός ΦΥΣ - Διαλ.0 Hamltonan φορμαλισμός q = H H Οι εξισώσεις Hamlton είναι:, p = p q Ø (p,q) ονομάζονται κανονικές μεταβλητές Ø Η είναι συνάρτηση που ονομάζεται Hamltonan Ø Κανονικές μεταβλητές ~ θέση και ορμή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2: ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ, ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ, ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ, ΟΡΜΗ) 2ο set - μέρος Α - Απαντήσεις ΘΕΜΑ Β

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2: ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ, ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ, ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ, ΟΡΜΗ) 2ο set - μέρος Α - Απαντήσεις ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ.: ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ, ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ, ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ, ΟΡΜΗ) ο set - μέρος Α - Απαντήσεις ΘΕΜΑ Β Ερώτηση. Ένα σώμα εκτελεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε αρχικά µε ένα µεµονωµένο σύστηµα δύο σωµάτων στα οποία ασκούνται µόνο οι µεταξύ τους κεντρικές δυνάµεις, επιτρέποντας ωστόσο και την

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Τελική Εξέταση: 10-Δεκεµβρίου Πριν αρχίσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο και αριθµό ταυτότητας).

ΦΥΣ Τελική Εξέταση: 10-Δεκεµβρίου Πριν αρχίσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο και αριθµό ταυτότητας). ΦΥΣ. 131 Τελική Εξέταση: 10-Δεκεµβρίου-2012 Πριν αρχίσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο και αριθµό ταυτότητας). Ονοµατεπώνυµο Αριθµός ταυτότητας Απενεργοποιήστε τα κινητά σας. Σας δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Τελική Εξέταση: 10-Δεκεµβρίου Πριν αρχίσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο και αριθµό ταυτότητας).

ΦΥΣ Τελική Εξέταση: 10-Δεκεµβρίου Πριν αρχίσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο και αριθµό ταυτότητας). ΦΥΣ. 131 Τελική Εξέταση: 10-Δεκεµβρίου-2012 Πριν αρχίσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο και αριθµό ταυτότητας). Ονοµατεπώνυµο Αριθµός ταυτότητας Απενεργοποιήστε τα κινητά σας. Σας δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

L = T V = 1 2 (ṙ2 + r 2 φ2 + ż 2 ) U (3)

L = T V = 1 2 (ṙ2 + r 2 φ2 + ż 2 ) U (3) ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΑΣΤΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗ 3): Κινήσεις αστέρων σε αστρικά συστήματα Βασικές έννοιες Θεωρούμε αστρικό σύστημα π.χ. γαλαξία ή αστρικό σμήνος) αποτελούμενο από μεγάλο αριθμό αστέρων της τάξης των 10 8 10

Διαβάστε περισσότερα

( ) = Ae + ω t + Be ω t ασταθές σημείο ισορροπίας ( ) = Asin( ωt) + Bcos( ωt) ευσταθής ισορροπία

( ) = Ae + ω t + Be ω t ασταθές σημείο ισορροπίας ( ) = Asin( ωt) + Bcos( ωt) ευσταθής ισορροπία Ταλαντώσεις ΦΥΣ 211 - Διαλ.20 1 q Για μονοδιάστατο σύστημα το οποίο βρίσκεται σε ισορροπία στο q 0 : V ( q) dv dq q=q0 = 0 B A C q q Αναπτύσοντας γύρω από το q 0, η δυναμική του συστήματος είναι αυτή του

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Πριν αρχίσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο και αριθµό ταυτότητας).

ΦΥΣ Πριν αρχίσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο και αριθµό ταυτότητας). ΦΥΣ. 111 2 η Πρόοδος: 24-Νοεµβρίου-2018 Πριν αρχίσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο και αριθµό ταυτότητας). Ονοµατεπώνυµο Αριθµός Ταυτότητας Απενεργοποιήστε τα κινητά σας. Σας δίνονται 9 προβλήµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ

ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ Οι δακτύλιοι του Κρόνου είναι ένα σύστημα πλανητικών δακτυλίων γύρω από αυτόν. Αποτελούνται από αμέτρητα σωματίδια των οποίων το μέγεθος κυμαίνεται από μm μέχρι m, με

Διαβάστε περισσότερα

Κινητική ενέργεια κύλισης

Κινητική ενέργεια κύλισης ΦΥΣ 111 - Διαλ.34 1 Κινητική ενέργεια κύλισης H ολική κινητική ενέργεια ενός σώµατος που κυλίεται χωρίς ολίσθηση είναι το άθροισµα της κινητικής ενέργειας του κέντρου µάζας του λόγω µεταφοράς και της κινητικής

Διαβάστε περισσότερα

1 f. d F D x m a D x m D x dt. 2 t. Όλες οι αποδείξεις στην Φυσική Κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Αποδείξεις. d t dt dt dt. 1. Απόδειξη της σχέσης.

1 f. d F D x m a D x m D x dt. 2 t. Όλες οι αποδείξεις στην Φυσική Κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Αποδείξεις. d t dt dt dt. 1. Απόδειξη της σχέσης. Αποδείξεις. Απόδειξη της σχέσης N t T N t T. Απόδειξη της σχέσης t t T T 3. Απόδειξη της σχέσης t Ικανή και αναγκαία συνθήκη για την Α.Α.Τ. είναι : d F D ma D m D Η εξίσωση αυτή είναι μια Ομογενής Διαφορική

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ» 5 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2017: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ» 5 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2017: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 5 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 017: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ 5 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. γ. Α. δ. Α3. γ. Α4. γ. Α5. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 24 Σεπτεμβρίου 2018

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 24 Σεπτεμβρίου 2018 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 24 Σεπτεμβρίου 2018 Καλή σας επιτυχία. Σύνολο πόντων 130. Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Πρόβλημα Α 1. Να γραφεί το διάνυσμα της έντασης του βαρυτικού πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

(http://www.redbullstratos.com). Barbero 2013, European Journal of Physics, 34, df (z) dz

(http://www.redbullstratos.com). Barbero 2013, European Journal of Physics, 34, df (z) dz Ονοματεπώνυμο: Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Μηχανική Ι, Τμήμα Κ. Τσίγκανου & Ν. Βλαχάκη, 7 Φεβρουαρίου 5 Διάρκεια εξέτασης ώρες, Καλή επιτυχία, ΑΜ: Να ληφθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Συστήµατα Υλικών Σηµείων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Συστήµατα Υλικών Σηµείων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Συστήµατα Υλικών Σηµείων 1. Να βρεθεί το δυναµικό που οφείλεται σε δύο ακίνητα ελκτικά κέντρα µε µάζες 1 και. Γράψτε την εξίσωση της κίνησης ενός υλικού σηµείου µάζας στο παραπάνω δυναµικό.

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος Hohmann αλλαγής τροχιάς δορυφόρου και σχεδιασμός διαπλανητικών τροχιών

Μέθοδος Hohmann αλλαγής τροχιάς δορυφόρου και σχεδιασμός διαπλανητικών τροχιών Μέθοδος Hohmann αλλαγής τροχιάς δορυφόρου και σχεδιασμός διαπλανητικών τροχιών Διονύσης Στεφανάτος Ειδικός Επιστήμονας, Στρατιωτική Σχολή Ευελπίδων 1. Εισαγωγή Σε αυτήν την ενότητα παρουσιάζουμε μια απλή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΑΞΗ : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2019 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ : 8

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΑΞΗ : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2019 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ : 8 ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ 1 Ο : ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΑΞΗ : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 019 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ : 8 Στις παρακάτω ερωτήσεις 1 έως 4 να γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ14-5 η Εργασία Παράδοση

ΦΥΕ14-5 η Εργασία Παράδοση ΦΥΕ4-5 η Εργασία Παράδοση.5.9 Πρόβληµα. Συµπαγής οµογενής κύλινδρος µάζας τυλιγµένος µε λεπτό νήµα αφήνεται να κυλίσει από την κορυφή κεκλιµένου επιπέδου µήκους l και γωνίας φ (ϐλέπε σχήµα). Το ένα άκρο

Διαβάστε περισσότερα

Υλικό σηµείο µάζας m, κινείται εντός δυναµικού πεδίου δεχόµενο ελκτική κεντρική δύναµη F!

Υλικό σηµείο µάζας m, κινείται εντός δυναµικού πεδίου δεχόµενο ελκτική κεντρική δύναµη F! Υλικό σηµείο µάζας, κινείται εντός δυναµικού πεδίου δεχόµενο ελκτική κεντρική δύναµη F (), η οποία ακολουθεί τον νόµο του αντιστρόφου τετραγώνου της απόστασης από το ελκτι κό κέντρο Ο, δηλαδή περιγράφεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 7 η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Α ΦΑΣΗ) ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 7 η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Πρώτη Φάση) Κυριακή, 16 Δεκεμβρίου, 01 Προτεινόμενες Λύσεις Πρόβλημα-1 (15 μονάδες) Μια

Διαβάστε περισσότερα

( ) Παράδειγµα. Τροχαλία. + ΔE δυν. = E κιν. + E δυν

( ) Παράδειγµα. Τροχαλία. + ΔE δυν. = E κιν. + E δυν ΦΥΣ 111 - Διαλ.33 1 Παράδειγµα Θεωρήστε δυο σώµατα τα οποία συνδέονται µέσω µιας αβαρούς τροχαλίας όπως στο σχήµα. Από διατήρηση ενέργειας υπολογίστε την ταχύτητα των δυο σωµάτων όταν η µάζα m 2 έχει κατέβει

Διαβάστε περισσότερα

1. Κίνηση Υλικού Σημείου

1. Κίνηση Υλικού Σημείου 1. Κίνηση Υλικού Σημείου Εισαγωγή στην Φυσική της Γ λυκείου Τροχιά: Ονομάζεται η γραμμή που συνδέει τις διαδοχικές θέσεις του κινητού. Οι κινήσεις ανάλογα με το είδος της τροχιάς διακρίνονται σε: 1. Ευθύγραμμες

Διαβάστε περισσότερα

Για τη συνέχεια σήμερα...

Για τη συνέχεια σήμερα... ΦΥΣ 211 - Διαλ.10 1 Για τη συνέχεια σήμερα... q Συζήτηση ξανά των νόμων διατήρησης q Χρησιμοποιώντας τον φορμαλισμό Lagrange q Γραμμική ορμή και στροφορμή q Σύνδεση μεταξύ συμμετρίας, αναλλοίωτο της Lagrangan,

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Απλή Αρμονική Ταλάντωση Εικόνα: Σταγόνες νερού που πέφτουν από ύψος επάνω σε μια επιφάνεια νερού προκαλούν την ταλάντωση της επιφάνειας. Αυτές οι ταλαντώσεις σχετίζονται με κυκλικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 5 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Πρώτη Φάση) Κυριακή, 6 Ιανουαρίου, Προτεινόμενες Λύσεις Πρόβλημα - ( μονάδες) Ένα όχημα, μαζί με ένα κανόνι που είναι ακλόνητο πάνω σε αυτό,

Διαβάστε περισσότερα

( ) Ολική στροφορμή L = p! i. L =! R M! v + ri m i vi. r i. q Ορίζουμε την θέση ενός σημείου I από το κέντρο μάζας: r! i

( ) Ολική στροφορμή L = p! i. L =! R M! v + ri m i vi. r i. q Ορίζουμε την θέση ενός σημείου I από το κέντρο μάζας: r! i ΦΥΣ - Διαλ.03 Ολική στροφορμή q Ορίζουμε την θέση ενός σημείου I από το κέντρο μάζας: r = r R q Ορίζουμε επίσης τις ταχύτητες: v = " r v = και R " Ø Υπολογίζουμε την ολική στροφορμή L = r p = L = R M v

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική I 16 Φεβρουαρίου, 2011

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική I 16 Φεβρουαρίου, 2011 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική I 16 Φεβρουαρίου, 11 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε και στα 4 προβλήματα με σαφήνεια και απλότητα. Οι ολοκληρωμένες απαντήσεις εκτιμώνται

Διαβάστε περισσότερα

3 + O. 1 + r r 0. 0r 3 cos 2 θ 1. r r0 M 0 R 4

3 + O. 1 + r r 0. 0r 3 cos 2 θ 1. r r0 M 0 R 4 Μηχανική Ι Εργασία #7 Χειμερινό εξάμηνο 8-9 Ν. Βλαχάκης. (α) Ποια είναι η ένταση και το δυναμικό του βαρυτικού πεδίου που δημιουργεί μια ομογενής σφαίρα πυκνότητας ρ και ακτίνας σε όλο το χώρο; Σχεδιάστε

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονικοί ταλαντωτές

Αρµονικοί ταλαντωτές Αρµονικοί ταλαντωτές ΦΥΣ 131 - Διαλ.30 2 Αρµονικοί ταλαντωτές q Μερικά από τα θέµατα που θα καλύψουµε: q Μάζες σε ελατήρια, εκκρεµή q Διαφορικές εξισώσεις: d 2 x dt 2 + K m x = 0 Ø Mε λύση της µορφής:

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση 2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση Ένας τροχός εκκινεί από την ηρεμία και επιταχύνει με γωνιακή ταχύτητα που δίνεται από την,

Διαβάστε περισσότερα

: ΣFy=0 Mg + F - KΔ. = 0 (1). Η ταλάντωση αυτή είναι απλή αρμονική και έχει σταθερά επαναφοράς D= K =10N / m ( δείξτε 0,5 0,3 0,1 0,1 0,3 0,5

: ΣFy=0 Mg + F - KΔ. = 0 (1). Η ταλάντωση αυτή είναι απλή αρμονική και έχει σταθερά επαναφοράς D= K =10N / m ( δείξτε 0,5 0,3 0,1 0,1 0,3 0,5 6 3.4 άντηση α) Η αρχική ταλάντωση γίνεται γύρω ό την θέση ισορροπίας που είναι κάτω ό το φυσικό μήκος κατά Δ : Σy= Mg - Δ = Δ =,m ( όπως φαίνεται στο ο σχήμα). Η δεύτερη ταλάντωση που αρχίζει μετά την

Διαβάστε περισσότερα