יחידה 7: זוויות חיצוניות שיעור 1. זווית חיצונית למצולע מה המשותף לכל הזוויות המסומנות ב-? נכיר זווית חיצונית למצולע, ונמצא תכונה של זווית חיצונית למשולש. זווית חיצונית למצולע 1 כל 1. הזוויות המסומנות במשימת הפתיחה הן זוויות חיצוניות למצולע קמור. בכל סעיף צ יינו אילו מהזוויות המסומנות אינן זוויות חיצוניות למצולע. ה סבירו. γ ג. ד. δ γ γ זווית צמודה לאחת מהזוויות של מצולע קמור נקראת זווית חיצונית למצולע. 2. ש רטטו משולש ואת כל הזוויות החיצוניות שלו. כמה זוויות חיצוניות יש למשולש? כמה זוויות חיצוניות יש למרובע? ה סבירו. ג. כמה זוויות חיצוניות קיימות ליד כל קדקוד במצולע? 3. ש רטטו משולש חד-זוויות ואת הזוויות החיצוניות שלו )אחת ליד כל קדקוד(. ש רטטו משולש ישר-זווית וזווית חיצונית הצמודה לאחת הזוויות החדות שלו. ג. ש רטטו משולש קהה-זוויות וזווית חיצונית הצמודה לזווית הקהה שלו. יחידה - 7 זוויות חיצוניות שילובים במתמטיקה 145
שימו לב מכאן ואילך, נתייחס לזווית חיצונית אחת ליד כל קדקוד. 4. בכל שרטוט, זוויות שוות מסומנות באותו צבע. ח שבו את זוויות המצולע. 96 54 113 זווית חיצונית למשולש 5. בכל סעיף, ח שבו את גודל זווית. ג. 90 43 30 39 93 35 חושבים על... 6. בּ טאו את גודל הזווית δ באמצעות γ. בּ טאו את גודל הזווית δ באמצעות ו-. ג. גילי אמרה: גודל הזווית החיצונית δ שווה ל-. + האם גילי צודקת? ה סבירו. δ γ משפט זווית חיצונית למשולש שווה בגודלה לסכום הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה. 146 שילובים במתמטיקה יחידה - 7 זוויות חיצוניות
7. בכל סעיף, ח שבו את הגדלים של זוויות המשולש )ש רטטו שרטוט מדגים(. גודל אחת הזוויות במשולש הוא 42, וגודל אחת הזוויות החיצוניות 80. גודל אחת הזוויות החיצוניות במשולש הוא 130, וגודל זווית חיצונית אחרת הוא 70. אוסף משימות 1. באילו סעיפים הזווית היא זווית חיצונית? ג. ד. ה. 2. ש רטטו משולש בעל זווית חיצונית ישרה. איזה משולש קיבלתם? ש רטטו משולש בעל זווית חיצונית חדה. איזה משולש קיבלתם? ג. ש רטטו משולש שכל זוויותיו החיצוניות קהות. איזה משולש קיבלתם? ה סבירו. 30 3. בכל סעיף ר שמו שלוש אפשרויות לגדלים של הזוויות ו-. 130 4. ק בעו אם הטענות הבאות נכונות. אם כן, ה סבירו. אם לא, ש רטטו דוגמה נגדית. אם במשולש יש זווית חיצונית חדה, אז המשולש קהה-זווית. אם במשולש יש זווית חיצונית קהה, אז המשולש חד-זוויות. ג. אם במשולש יש שתי זוויות חיצוניות קהות, אז המשולש חד-זוויות. ד. אם במשולש יש שלוש זוויות חיצוניות קהות, אז המשולש חד-זוויות. יחידה - 7 זוויות חיצוניות שילובים במתמטיקה 147
5. היעזרו בשרטוטים מדגימים וב דקו: האם ייתכן משולש שבו כל הזוויות החיצוניות חדות? ה סבירו. האם ייתכן משולש שבו כל הזוויות החיצוניות קהות? ה סבירו. ג. האם ייתכן משולש שבו שתי זוויות חיצוניות חדות וזווית חיצונית אחת קהה? ה סבירו. ד. האם ייתכן משולש שבו שתי זוויות חיצוניות קהות וזווית חיצונית אחת חדה? ה סבירו. ה. האם ייתכן משולש שבו שתי זוויות חיצוניות קהות וזווית חיצונית אחת ישרה? ה סבירו. 6. בכל סעיף, ח שבו את הגדלים של זוויות המשולש )ש רטטו שרטוט מדגים.( גודל אחת הזוויות במשולש הוא 102, וגודל אחת הזוויות החיצוניות 125. גודל כל אחת משתי זוויות חיצוניות במשולש הוא 135. מהו סוג המשולש? 7. בכל סעיף ק בעו אם ייתכן משולש המקיים את הנתונים, וה סבירו. גודל אחת הזוויות במשולש הוא 102, וגודל אחת הזוויות החיצוניות 102. גודל אחת הזוויות החיצוניות של המשולש 95, וגודל זווית חיצונית אחרת 112. ג. גודל אחת הזוויות במשולש הוא 130, וגודל אחת הזוויות החיצוניות 70. ד. גודל אחת הזוויות במשולש הוא 130, וגודל אחת הזוויות החיצוניות 50. δ γ 8. בשרטוט מסומנות ארבע זוויות. ה ראו כי + γ = + δ )רמז: ש רטטו את ). γ.9 נתון: = a + g מהו סוג המשולש? ה סבירו. 148 שילובים במתמטיקה יחידה - 7 זוויות חיצוניות
שיעור 2. זווית חיצונית וחפיפת משולשים האם המשולשים שבשרטוט חופפים? ה סבירו. )קטעים שווים באורכם, וזוויות שוות בגודלן מסומנים באותו סימון.( נשתמש בתכונה של זווית חיצוניות למשולש כדי לחפוף משולשים. חושבים על... 1. בכל סעיף, ק בעו לפי הנתונים בשרטוט, אם אפשר להסיק שהמשולשים חופפים. אם כן, ר שמו שלושה תנאים ואת משפט החפיפה המתאים. אם לא, ש רטטו דוגמה נגדית. ג. ד. תזכורת זוויות מתחלפות בין מקבילים שוות בגודלן. זוויות מתאימות בין מקבילים שוות בגודלן. יחידה - 7 זוויות חיצוניות שילובים במתמטיקה 149
2. בכל סעיף, ק בעו לפי הנתונים בשרטוט, אם אפשר להסיק שהמשולשים חופפים. אם כן, ר שמו שלושה תנאים ואת משפט החפיפה המתאים. אם לא, ש רטטו דוגמה נגדית. ג. נתון: קוטר במעגל M חוצה את M M חוצה את M א. נתון: קוטר במעגל M חוצה את M M M ב. נתון: קוטר במעגל ד. נתון: קוטר במעגל M = M M 3. משולש הוא משולש שווה-שוקיים שבו. = דרך קדקוד זווית הראש העבירו מקביל לבסיס:. ה עתיקו את השרטוט וס מנו זוויות שוות בגודלן. ה סבירו מדוע חוצה את הזווית החיצונית הצמודה לזווית הראש של המשולש. 150 שילובים במתמטיקה יחידה - 7 זוויות חיצוניות
אוסף משימות 1. נתון: שווה-שוקיים, קדקוד זווית הראש. ] = 42 ח שבו את הגדלים של זוויות המשולש. 42.2 נתון: שווה-שוקיים ).( = ] וחוצה את הזווית החיצונית הצמודה ל-, מקביל לשוק = ח שבו את הגדלים של זוויות המשולש..3 נת ון: שווה-שוקיים ) ( = חוצה את ר שמו את הנתונים בכתיב מתמטי. ח שבו את גודל הזווית אם = 50 ג. בּ טאו את גודל הזווית באמצעות..4 נת ון: שווה-שוקיים ) ( = a חוצה את זווית מקביל לחוצה הזווית. ר שמו את הנתונים בכתיב מתמטי. ח שבו את גודל הזווית a אם = 55 ג. בּ טאו את גודל הזווית a באמצעות. יחידה - 7 זוויות חיצוניות שילובים במתמטיקה 151
5. בכל סעיף, ק בעו לפי הנתונים בשרטוט, אם אפשר להסיק שהמשולשים חופפים. אם כן, ה עתיקו וס מנו גדלים שווים נוספים, וצ יינו את משפט החפיפה המתאים. אם לא, ה סבירו, או ש רטטו דוגמה נגדית. ג. ה. ד. ו. M M נתון:.6 = a = am ה עתיקו את השרטוט וס מנו בו את הנתונים. ר שמו שלושה תנאים שלפיהם ניתן להסיק שהמשולשים חופפים, ואת משפט החפיפה המתאים. 152 שילובים במתמטיקה יחידה - 7 זוויות חיצוניות
7. בכל סעיף, ה עתיקו את השרטוט, וס מנו זוויות שוות וקטעים שווים. בּ דקו אם אפשר להסיק שיש בשרטוט משולשים חופפים. אם כן, ה סבירו וצ יינו משפט חפיפה מתאים. ג. נתון: א. נתון: G אמצע G ד. נתון: ב. נתון: G אמצע אמצע G.8 נתון: = a = a M ר שמו שלושה תנאים שמהם ניתן להסיק ש:, וצ יינו את משפט החפיפה המתאים. האם M חופף ל-? M אם כן, ר שמו שלושה תנאים שלפיהם ניתן להסיק את החפיפה, ונ מקו. אם לא, ה סבירו. יחידה - 7 זוויות חיצוניות שילובים במתמטיקה 153
שיעור 3. סכום זוויות חיצוניות במצולע במצולע שבשרטוט 7 צלעות. האם אפשר למצוא ללא מדידה, את סכום הזוויות החיצוניות המסומנות ב-? נבדוק מהו סכום הזוויות החיצוניות במצולעים שונים. תזכורת סכום הזוויות הפנימיות במצולע בעל n צלעות )במעלות( שווה (2 n)180 > 2,n מספר שלם. מצולע שכל צלעותיו שוות באורכן וכל זוויותיו שוות בגודלן נקרא מצולע משוכלל. 1. ח שבו את סכום הזוויות במצולע בעל 5 צלעות? מה גודל כל זווית במצולע משוכלל בעל 5 צלעות? מה סכום הזוויות במצולע בעל 15 צלעות? מה גודל כל זווית במצולע משוכלל בעל 15 צלעות? 2. בשרטוטים שלפניכם מצולעים קמורים. זוויות חיצוניות מסומנות בנקודה. מרובע מחומש משושה מצולע בעל n צלעות ש ערו: כיצד משתנה סכום הזוויות החיצוניות במצולע קמור, כשמספר הצלעות של המצולע גד ל? 154 שילובים במתמטיקה יחידה - 7 זוויות חיצוניות
חושבים על... 3. המורה ביקשה למצוא את סכום הזוויות החיצוניות במחומש. ציפי אמרה: במלבן סכום הזוויות הפנימיות הוא 360, וגם סכום הזוויות החיצוניות הוא 360. לכן, גם במחומש, סכום הזוויות החיצוניות שווה לסכום הזוויות הפנימיות - כלומר 540. חני אמרה: מצאנו שסכום הזוויות הפנימיות במחומש 540 ושגודל כל זווית. לכן, גודל כל אחת מהחיצוניות הצמודות לפנימיות 540 פנימית במחומש משוכלל הוא 108 = 5 הוא 72, והסכום של כל הזוויות החיצוניות יהיה = 360 5 72 מי צודקת? 4. מ צאו את סכום הזוויות במשושה. מ צאו גודל של כל זווית במשושה משוכלל. ג. מ צאו גודל של כל זווית חיצונית במשושה משוכלל. ד. מה סכום שש הזוויות החיצוניות במשושה משוכלל? 85 5. מ צאו את הגודל של כל זווית חיצונית במשולש המשורטט. מהו סכום הזוויות החיצוניות במשולש הנתון? 55 40 יחידה - 7 זוויות חיצוניות שילובים במתמטיקה 155
6. ש ערו: האם ייתכן שסכום הזוויות החיצוניות בכל מצולע קבוע, ושווה תמיד 360? החצים בשרטוטים מצביעים על "תנועה" סביב המצולע. היעזרו בשרטוט וה סבירו מדוע סכום הזוויות החיצוניות בכל מצולע קבוע, ושווה תמיד 360 חושבים על... 7. נתון מצולע בעל n צלעות )2 > n, מספר שלם(. מ צאו ביטויים או גדלים מתאימים: סכום של זווית חיצונית וזווית פנימית שליד קדקוד אחד. - סכום של הזוויות החיצונית והזוויות הפנימיות שליד כל הקדקודים של המצולע. - סכום כל הזוויות הפנימיות של המצולע. - סכום כל הזוויות החיצוניות של המצולע. - ראינו כי, בכל מצולע קמור סכום הזוויות החיצוניות שווה 360 ואינו תלוי במספר הצלעות של המצולע. 156 שילובים במתמטיקה יחידה - 7 זוויות חיצוניות
זווית פנייה בכביש עיקולים בכבישים בנויים בשיפוע, הצד הפנימי של העיקול נמוך יותר מצדו החיצוני. במהלך פנייה של כלי רכב, הכוח הצנטריפוגלי המופעל על גופים הנמצאים בתנועה מעגלית "דוחף" את הרכב "החוצה" אל החלק החיצוני של העיקול ומחוץ למסלול הנסיעה. על-מנת שכלי הרכב יוכל להשלים בבטחה את הפנייה, צריך לפעול עליו כוח הפונה אל מרכז העיקול )"כוח מרכזי"(. החיכוך בין צמיגי הרכב למשטח הכביש ושיפוע הכביש נועדו לספק את הכוח הזה. הגורמים המקטינים את הכוח המרכזי ובכך מגדילים את הסיכוי לסטייה לא רצויה הם: צמיגים משופשפים, כביש רטוב ממים או משמן ושיפוע לא מספק של העיקול. סטייה מסוכנת מנתיב התנועה עלולה להתרחש גם כאשר מהירות הרכב הפונה גבוהה מדי. אוסף משימות 1. בכל סעיף, ח שבו את גודל הזווית δ. ה סבירו את שלבי החישו ג. ד. 100 δ 100 δ 110 70 δ 30 75 125 100 δ 50 2. בכל שרטוט, זוויות שוות בגודלן מסומנות באותו סימון. ח שבו את הגדלים של זוויות המצולע. ג. 55 62 82 88 100 יחידה - 7 זוויות חיצוניות שילובים במתמטיקה 157
5x x 3. בכל שרטוט, הגדלים של הזוויות החיצוניות מבוטאים באמצעות x )הגדלים של הזוויות במעלות, > 0 x(. ח שבו את הגדלים של הזוויות החיצוניות ושל הזוויות הפנימיות בכל מצולע. x + 40 x + 30 2x x + 20 3x x x + 50 x + 10 4x 2x 3x x 4. הגדלים של הזוויות החיצוניות במרובע, מבוטאים במעלות באמצעות x). > (0 x ח שבו את הגדלים של הזוויות החיצוניות. ה עתיקו את השרטוט, ר שמו את הגדלים שמצאתם, וח שבו את הגדלים של הזוויות הפנימיות. אם לא טעיתם, לכל זווית חיצונית, יש זווית פנימית במרובע שגודלה שווה. 4x 5. שלוש זוויות חיצוניות במשושה שוות זו לזו בגודלן. שלוש הזוויות החיצוניות האחרות גם הן שוות זו לזו בגודלן. גודל אחת הזוויות החיצוניות 75. ח שבו את הגדלים של כל הזוויות החיצוניות של המשושה. ח שבו את הגדלים של כל הזוויות הפנימיות של המשושה. 6. שלוש זוויות חיצוניות במחומש שוות בגודלן. שתי הזוויות החיצוניות האחרות גם כן שוות זו לזו בגודלן. גודל אחת הזוויות החיצוניות 60. ח שבו את הגדלים של כל הזוויות החיצוניות של המחומש. מ צאו תשובה שונה מזו שמצאתם, המקיימת את הנתונים. גודל אחת הזוויות החיצוניות במחומש 72. ח שבו את הגדלים של כל הזוויות החיצוניות של המחומש. האם קיימת תשובה שונה המקיימת את הנתונים? ה סבירו. 158 שילובים במתמטיקה יחידה - 7 זוויות חיצוניות
7. בכל סעיף, בּ דקו אם אפשר לשרטט מצולע קמור המקיים את הדרישות. אם כן, ר שמו את הגדלים של הזוויות החיצוניות ושל הזוויות הפנימיות. אם לא, ה סבירו. מרובע שבו 3 זוויות חיצוניות ישרות. מחומש שבו 3 זוויות חיצוניות ישרות. ג. משושה שבו 4 זוויות חיצוניות ישרות.. הצמודה לזווית זווית חיצונית ל- 8. בכל סעיף, ק בעו אם הטענה נכונה. אם כן, נ מקו. אם לא, תּ נו דוגמה נגדית. א. 180 = ג +. גדולה מ- a ב. a ד = a +. a = + 9. נת ון: חוצה את ak an חוצה את a = 50 ח שבו את גודל הזווית.a K N יחידה - 7 זוויות חיצוניות שילובים במתמטיקה 159
שומרים על כושר שטח משולש במשימות הבאות השרטוטים הם להדגמה, ומידות האורך נתונות בס"מ. 1. בכל סעיף, ח שבו את שטח המשולש. ג. ד. 2 3 16 3 3 5 4 7 4 4 20 2. לפניכם מלבן ובתוכו משולש. ח שבו את שטח המשולש. 4 7 3 3. שטח המשולש בשרטוט 30 סמ"ר. ח שבו את אורך הניצב השני. 4. שני המשולשים בשרטוט שווים בשטחם. 10 12 אורך הגובה במשולש אחד גדול ב- 1 ס"מ מאורך הגובה במשולש השני. מ צאו את אורכי הגבהים ואת שטחי המשולשים. 30 5. אורכי שתיים מצלעות המשולש שבשרטוט הם: 25 ס"מ ו- 30 ס"מ. אורכי הגבהים לצלעות האלה הם: 24 ס"מ ו- 20 ס"מ. ה תאימו לכל צלע את אורך הגובה שלה. ח שבו את שטח המשולש בשתי דרכים שונות. 25 160 שילובים במתמטיקה יחידה - 7 זוויות חיצוניות