ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Βασικές Γεωμετρικές Έννοιες ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Μια τεντωμένη κλωστή με άκρα δύο σημεία Α και Β μας δίνει μια εικόνα της έννοιας του.. Τα σημεία Α και Β λέγονται.. 2. Τι ονομάζεται ευθεία;.. Πόσες ευθείες διέρχονται από ένα σημείο;. Πόσες ευθείες διέρχονται από δύο σημεία;. Όταν τρία ή περισσότερα σημεία βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία λέγονται.. 3. Τι ονομάζεται ημιευθεία;.. Πότε δύο ημιευθείες λέγονται αντικείμενες; 4. Τι ονομάζεται επίπεδο; Ένα επίπεδο επεκτείνεται Από τρία μη συνευθειακά σημεία διέρχεται επίπεδο. Από ένα ή δύο σημεία διέρχονται.επίπεδα. 5. Κάθε επίπεδο χωρίζει το χώρο σε.αν θελήσουμε να περάσουμε από το ένα μέρος στο άλλο πρέπει να το επίπεδο. 6. Κάθε ευθεία του επιπέδου το χωρίζει σε. 7. Τι ονομάζεται γωνία; Πότε μια γωνία λέγεται κυρτή και πότε μη κυρτή; Στην γωνία xoy ˆ το σημείο Ο λέγεται.και οι ημιευθείες Ox και Ο y.. 8. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ οι γωνίες ˆ ˆ Β και Γ λέγονται.στην πλευρά ΒΓ 9. Τι ονομάζεται τεθλασμένη γραμμή; 10. Τι ονομάζεται ευθύγραμμο σχήμα;.. 11. Πότε μια τεθλασμένη γραμμή λέγεται κυρτή και πότε μη κυρτή;. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 1

12. Πότε δύο ευθύγραμμα σχήματα λέγονται ίσα;. Πως λέγονται στα ίσα σχήματα τα στοιχεία που συμπίπτουν;. Οι αντίστοιχες πλευρές και οι γωνίες ίσων σχημάτων είναι 13. Όργανα μέτρησης αποστάσεων (μηκών) Για να μετρήσουμε σχετικά μικρά μήκη χρησιμοποιούμε το. Για να μετρήσουμε μεγαλύτερα μήκη πχ ένα οικόπεδο χρησιμοποιούμε τη. Για πολύ μικρά μήκη πχ τη διάμετρο μιας βίδας χρησιμοποιούμε το ή το... 14. Τι ονομάζεται απόσταση δύο σημείων Α και Β και πώς συμβολίζεται;..... 15. Τι ονομάζεται μέσο ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ;. 16. Πως προσθέτουμε ευθύγραμμα τμήματα;.. 17. Πως αφαιρούμε δύο ευθύγραμμα τμήματα;. 18. Τι ονομάζεται μήκος μιας τεθλασμένης γραμμής;.. 19. Το μήκος ενός ευθύγραμμου σχήματος είναι πάντα..από το μήκος μιας τεθλασμένης γραμμής με τα ίδια άκρα. 20. Τι ονομάζεται περίμετρος ενός ευθύγραμμου σχήματος; 21. Τι ονομάζεται διχοτόμος γωνίας; ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 2

22. Πως λέγεται το όργανο μέτρησης γωνιών; Ο αριθμός που προκύπτει από τη μέτρηση λέγεται.. Μονάδα μέτρησης γωνιών είναι Υποδιαιρέσεις της 1 0 :.. 23. Κάθε γωνία έχει μοναδικό μέτρο που είναι Αν δύο γωνίες έχουν το ίδιο μέτρο είναι. 24. Ποια γωνία λέγεται ορθή ;. Οι πλευρές μιας ορθής γωνίας είναι. ημιευθείες. 25. Ποια γωνία λέγεται οξεία ;.. 26. Ποια γωνία λέγεται αμβλεία ;... 27. Ποια γωνία λέγεται ευθεία ; Οι πλευρές μιας ευθείας γωνίας είναι. ημιευθείες. 28. Ποια γωνία λέγεται μη κυρτή ; 29. Ποια γωνία λέγεται μηδενική ; Η ημιευθεία της τελικής πλευράς μιας μηδενικής γωνίας. με την ημιευθεία της αρχικής της πλευράς. 30. Ποια γωνία λέγεται πλήρης ;.. Η ημιευθεία της τελικής πλευράς μιας πλήρους γωνίας. με την ημιευθεία της αρχικής της πλευράς. 31. Δύο ευθείες είναι κάθετες όταν οι γωνίες που σχηματίζουν τεμνόμενες είναι 32. Δύο ευθύγραμμα τμήματα (ή δύο ημιευθείες) που βρίσκονται πάνω σε δύο κάθετες ευθείες λέγονται.. 33. Πότε δύο γωνίες λέγονται εφεξής;.. (σχήμα) 34. Πότε δύο γωνίες λέγονται διαδοχικές;...(σχήμα) 35. Πότε δύο γωνίες λέγονται παραπληρωματικές; (σχήμα) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 3

36. Πότε δύο γωνίες λέγονται συμπληρωματικές;.. (σχήμα) 37. Πότε δύο γωνίες λέγονται κατακορυφήν;. (σχήμα) 38. Πότε δύο ευθείες λέγονται παράλληλες;. 39. Πότε δύο ευθείες λέγονται τεμνόμενες;. 40. Δύο ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο ή θα είναι.... ή θα είναι.. 41. Πότε δύο ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ λέγονται παράλληλα και πώς συμβολίζονται.. 42. Δύο ευθείες που είναι κάθετες στην ίδια ευθεία είναι μεταξύ τους. 43. Από ένα σημείο Α εκτός ευθείας (ε) διέρχεται...ευθεία (δ) παράλληλη στην (ε). 44. Τι ονομάζεται απόσταση ενός σημείου Α από μια ευθεία (ε);.. 45. Τι ονομάζεται απόσταση δύο παράλληλων ευθειών;. 46. Ποια γραμμή ονομάζεται κύκλος;... Τι ονομάζεται ακτίνα και τι κέντρο του κύκλου;... Δύο κύκλοι με ίσες ακτίνες είναι 47. Τι ονομάζεται χορδή ενός κύκλου; Τι ονομάζεται διάμετρος του κύκλου;... Η διάμετρος είναι η χορδή του κύκλου και χωρίζει τον κύκλο σε δύο.μέρη που λέγονται Δύο σημεία Α και Β του κύκλου τον χωρίζουν σε δύο μέρη, καθένα από τα οποία λέγεται 48. Τι ονομάζεται κυκλικός δίσκος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ; 49. Όλα τα σημεία του κυκλικού δίσκου απέχουν από το κέντρο Ο απόσταση. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 4

50. Πότε μια ευθεία λέγεται εξωτερική ενός κύκλου;... Όταν η απόσταση του κέντρου ενός κύκλου από μια ευθεία είναι μεγαλύτερη από την ακτίνα του κύκλου τότε η ευθεία είναι 51. Πότε μια ευθεία λέγεται εφαπτόμενη ενός κύκλου;. Όταν η απόσταση του κέντρου ενός κύκλου από μια ευθεία είναι ίση με την ακτίνα του κύκλου τότε η ευθεία είναι.. 52. Πότε μια ευθεία λέγεται τέμνουσα ενός κύκλου;.. Όταν η απόσταση του κέντρου ενός κύκλου από μια ευθεία είναι μικρότερη από την ακτίνα του κύκλου τότε η ευθεία είναι 53. Αν είναι Μ το σημείο που τέμνονται δύο εφαπτόμενες ενός κύκλου τότε τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΜ και ΒΜ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Πόσες ευθείες, πόσες ημιευθείες και πόσα ευθύγραμμα τμήματα ορίζουν τρία διαφορετικά σημεία; ΛΥΣΗ ΕΥΘΕΙΕΣ ΗΜΙΕΥΘΕΙΕΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΑ ΤΜΗΜΑΤΑ 1 η περίπτωση 2 η περίπτωση ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 5

2. Πόσες ευθείες ορίζονται από τις 6 κορυφές ενός εξαγώνου; ΛΥΣΗ Έστω ΑΒΓΔΕΖ ένα τυχαίο εξάγωνο. Από την κορυφή Α μπορούμε να φέρουμε..ευθείες προς τις άλλες 5 κορυφές Από την κορυφή Β μπορούμε να φέρουμε..ευθείες προς τις άλλες 5 κορυφές Από την κορυφή Γ μπορούμε να φέρουμε..ευθείες προς τις άλλες 5 κορυφές Από την κορυφή Δ μπορούμε να φέρουμε..ευθείες προς τις άλλες 5 κορυφές Από την κορυφή Ε μπορούμε να φέρουμε..ευθείες προς τις άλλες 5 κορυφές Από την κορυφή Ζ μπορούμε να φέρουμε..ευθείες προς τις άλλες 5 κορυφές Συνολικά μπορούμε να φέρουμε.ευθείες, οι οποίες όμως είναι μετρημένες η κάθε μια. Άρα το πραγματικό πλήθος των ευθειών που μπορούμε να φέρουμε είναι:. 3. Πόσες ευθείες ορίζονται από 10 σημεία ενός κύκλου; ΛΥΣΗ Από κάθε σημείο του κύκλου μπορούμε να φέρουμε.προς τα υπόλοιπα σημεία. Αρα συνολικά μπορούμε να φέρουμε.. ευθείες που όλες όμως είναι..άρα το πραγματικό πλήθος των ευθειών που ορίζουν 10 σημεία ενός κύκλου είναι : όμοια σκεφτόμαστε και στο πρόβλημα: αν σε ένα τραπέζι κάθονται 10 άτομα και τσουγκρίζουν τα ποτήρια του ς όλοι με όλους, πόσα τσουγκρίσματα θα ακουστούν;. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 6

ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΜΗΚΟΥΣ ΛΥΣΗ 2,542 m =. 0,305 m =. 3,24 dm = 24,52 cm =. 4. Να υπολογιστεί η περίμετρος του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ αν είναι : ΑΒ = 2 m και 35 cm ΒΓ = 3 m και 12 dm, ΓΔ = 7 dm και 45 cm, ΔΑ = 1 m και 12 dm και 25 cm. Πρέπει τα μήκη όλων των ευθύγραμμων τμημάτων να εκφραστούν στην ίδια μονάδα μέτρησης. ΑΒ =. ΒΓ =. ΓΔ =. ΔΑ = Περίμετρος : Π= ΑΒ+ ΒΓ+ ΓΔ+ ΔΑ=. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 7

5. Να γραφούν όλες οι γωνίες και όλα τα ευθύγραμμα σχήματα που ορίζονται από τις ευθείες στο παρακάτω σχήματος. ΛΥΣΗ ΓΩΝΙΕΣ:..... ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΑ ΣΧΗΜΑΤΑ... 6. Να υπολογιστούν οι γωνίες του παρακάτω σχήματος. Έπειτα να υπολογιστεί η γωνία που σχηματίζουν οι διχοτόμοι των γωνιών φˆ και ω ˆ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 8

7. Να υπολογιστούν οι γωνίες του παρακάτω σχήματος. Έπειτα να υπολογιστεί η κυρτή γωνία που σχηματίζουν οι διχοτόμοι των γωνιών o φˆ και ω. ˆ Δίνεται ότι xoy ˆ = 90. ΛΥΣΗ 8. Να σχεδιάσετε δύο παράλληλες ευθείες που η απόστασή τους να είναι 4 cm. Έπειτα να σχεδιαστεί η μεσοπαράλληλη ευθεία τους ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 9

9. Να σχεδιάσετε δύο ευθείες (ε1) και (ε2), παράλληλες στην (ε) που να απέχουν 2 cm από την (ε) 10. Να βρεθούν οι αποστάσεις των σημείων Α, Β, Γ από την ευθεία (ε). Η απόσταση του σημείου Α από την (ε) είναι : Η απόσταση του σημείου Β από την (ε) είναι : Η απόσταση του σημείου Γ από την (ε) είναι : Να βρεθεί το πλησιέστερο σημείο της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και Β από το σημείο Γ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 10

11. Να κατασκευαστεί τρίγωνο ΑΒΓ με μήκη πλευρών : ΑΒ = 4, ΑΓ = 5, ΒΓ = 6. 12. Να κατασκευαστεί τρίγωνο ΑΒΓ με ΒΓ = 5cm, ˆ ˆ Ο O B= 50 και Γ= 60 13. Να κατασκευαστεί τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = 6cm, ΑΓ = 5 και O ˆΑ= 75 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 11

14. Να σχεδιάσετε τις εφαπτόμενες του κύκλου στα άκρα της χορδής ΑΒ......... 15. Να βρεθούν όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν από το σημείο Α απόσταση μεγαλύτερη από 2cm και μικρότερη από 3 cm. 16. Έστω δύο σημεία Α και Β με ΑΒ = 5 cm. Να βρεθούν όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν συγχρόνως από τα σημεία Α και Β απόσταση μικρότερη από 3cm. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 12

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 1. Έστω μια ευθεία x x και τα σημεία της Α, Β, Γ. Να γράψετε όλα τα ευθύγραμμα τμήματα που ορίζονται από τα σημεία αυτά.. Να γράψετε όλες τις ημιευθείες που ορίζονται με αρχή τα σημεία αυτά. Ποια τα ζεύγη των αντικείμενων ημιευθειών που ορίζονται; Αν είναι ΑΒ = 6cm, ΒΓ =4cm και Μ το μέσο της ΑΒ και Ν το μέσο της ΑΓ, να βρεθεί το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΜΝ... 2. Να γραφούν όλα τα τρίγωνα που ορίζονται στο παρακάτω σχήμα.. 3. Θεωρούμε ημιευθεία Οx και τα σημεία της Α και Β έτσι ώστε ΟΑ = 6 cm, ΟΒ = 9 cm. Αν είναι Μ το μέσο του ΑΒ να βρεθεί το μήκος του τμήματος ΟΜ. 4. Θεωρούμε ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ = 21 cm και εσωτερικό σημείο Γ τέτοιο ώστε 2 ΑΓ= ΒΓ. Να βρεθούν τα μήκη των τμημάτων ΑΓ και ΒΓ. 5 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 13

5. Αν μια γωνία είναι τα 2 9 της ευθείας γωνίας πόσες μοίρες είναι η παραπληρωματική της και πόσες μοίρες είναι η συμπληρωματική της; 5 6. Αν μια γωνία είναι τα της ορθής γωνίας πόσες μοίρες είναι η παραπληρωματική 18 της και πόσες μοίρες είναι η συμπληρωματική της; 7. Αν μια γωνία είναι ίση με τα 4 5 της παραπληρωματικής της να βρεθεί η γωνία καθώς και η συμπληρωματική της. 4 8. Αν μια γωνία είναι ίση με τα της συμπληρωματικής της, να βρεθεί η γωνία καθώς 11 και η παραπληρωματική της. 9. Να υπολογιστούν οι γωνίες αˆ, βˆ, γ ˆ του παρακάτω σχήματος. 10. Nα υπολογιστούν οι γωνίες του παρακάτω σχήματος. Δίνεται ότι o xoy ˆ = 90 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 14

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 1. Μια ευθεία επεκτείνεται απεριόριστα. 2. Από ένα σημείο διέρχονται άπειρες ευθείες. 3. Από τρία μη συνευθειακά σημεία διέρχονται τρείς ευθείες. 4. Από τέσσερα σημεία μη συνευθειακά ανά τρία διέρχονται τέσσερις ευθείες. 5. Δύο ημιευθείες με κοινή αρχή λέγονται αντικείμενες. 6. Ένα επίπεδο επεκτείνεται απεριόριστα. 7. Δύο παράλληλες ευθείες ορίζουν πάντα ένα μοναδικό επίπεδο. 8. Δύο τεμνόμενες ευθείες ορίζουν πάντα ένα μοναδικό επίπεδο. 9. Κατακορυφήν λέγονται δύο γωνίες με κοινή κορυφή. 10. Οποιοδήποτε ευθύγραμμο τμήμα έχει πάντα ένα μέσο που είναι και μοναδικό. 11. Οι προσκείμενες στη βάση γωνίες ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες. 12. Οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες. 13. Οι κατακορυφήν γωνίες έχουν μόνο ένα κοινό σημείο. 14. Οι συμπληρωματικές γωνίες έχουν άθροισμα 90 0. 15. Δύο γωνίες με κοινή κορυφή και κοινή πλευρά λέγονται εφεξής. 16. Απόσταση δύο παράλληλων ευθειών λέγεται το μήκος κάθε ευθύγραμμου τμήματος που έχει τα άκρα του σε αυτές. 17. Αν μια ευθεία είναι κάθετη σε δύο άλλες τότε αυτές είναι μεταξύ τους κάθετες. 18. Αν είναι Μ το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ τότε ισχύει ΑΜ = ΒΜ. 19. Όλα τα σημεία ενός κύκλου ισαπέχουν από τα άκρα του. 20. Η διάμετρος ενός κύκλου είναι τριπλάσια από την ακτίνα του. 21. Ο κύκλος έχει άπειρες διαμέτρους. 22. Δύο κύκλοι με ίσες διαμέτρους είναι ίσοι. 23. Το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει δύο σημεία ενός κύκλου λέγεται τόξο. 24. Όταν η απόσταση του κέντρου ενός κύκλου από μια ευθεία είναι μικρότερη από την ακτίνα του κύκλου τότε η ευθεία και ο κύκλος έχουν δύο κοινά σημεία. 25. Ο κύκλος έχει άπειρες ακτίνες. 26. Η διάμετρος είναι η μεγαλύτερη χορδή ενός κύκλου. 27. Το ημικύκλιο είναι το μεγαλύτερο τόξο ενός κύκλου. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 15