Περίληψη

Ανάλυση αριθµών και κατασκευή λεκτικών προβληµάτων πρόσθεσης και αφαίρεσης από παιδιά προσχολικής ηλικίας Σόνια Καφούση & Χρυσάνθη Σκουµπουρδή Πανεπιστήµιο Αιγαίου kafoussi@rhodes.aegean.gr; kara@rhodes.aegean.gr Περίληψη ύο θέµατα που προτείνονται στα σύγχρονα προγράµµατα σπουδών των µαθηµατικών της προσχολικής ηλικίας είναι η ανάλυση αριθµού σε άθροισµα δύο προσθετέων µε χρήση αντικειµένων (µέχρι το 10) και η κατασκευή και λύση λεκτικών προβληµάτων πρόσθεσης και αφαίρεσης. Στην εργασία αυτή παρουσιάζονται και αναλύονται µαθησιακές δραστηριότητες που πραγµατοποιήθηκαν σε ένα νηπιαγωγείο σε σχέση µε τα συγκεκριµένα θέµατα. Θεωρητικό πλαίσιο Τα τελευταία χρόνια αυξάνεται συνεχώς το ενδιαφέρον για τη µαθηµατική εκπαίδευση των παιδιών της προσχολικής ηλικίας. H προσχολική αγωγή έχει αναγνωριστεί διεθνώς ως στόχος υψηλής προτεραιότητας για την αντιµετώπιση του αναλφαβητισµού και την πρόληψη της σχολικής αποτυχίας των πολιτών στην κοινωνία της γνώσης. Τα µαθηµατικά και οι εφαρµογές τους αποτελούν βασική γνώση επιβίωσης στη σύγχρονη κοινωνία της πληροφορίας και της τεχνολογίας και ο µαθηµατικός αλφαβητισµός θεωρείται σήµερα εξίσου σηµαντικός µε τον γλωσσικό. Στο πλαίσιο αυτό, από το 2007 και στην Ελλάδα αρχίζει η πιλοτική εφαρµογή ένταξης ενός χρόνου της προσχολικής αγωγής στην υποχρεωτική εκπαίδευση. Πρόσφατα έχουν αναπτυχθεί από διάφορους ερευνητές της ιδακτικής των Μαθηµατικών προγράµµατα σπουδών για τα µαθηµατικά της προσχολικής ηλικίας (Baroody, 2004; Clements, 2004; Fuson, 2004). Παρά τις όποιες διαφοροποιήσεις που παρουσιάζονται σε αυτά, όλοι συµφωνούν ότι η διδασκαλία των µαθηµατικών στο νηπιαγωγείο µπορεί να περιλαµβάνει την ενασχόληση των παιδιών µε τους αριθµούς µέσα από δραστηριότητες που συνδέονται µε τις ικανότητές τους για αρίθµηση, καθώς και θέµατα γεωµετρίας και µέτρησης. Ιδιαίτερα σε ό,τι αφορά τους αριθµούς, δύο θέµατα που αναφέρονται σε όλα τα προτεινόµενα σύγχρονα προγράµµατα σπουδών είναι η ανάλυση αριθµού σε άθροισµα δύο προσθετέων µε χρήση αντικειµένων (µέχρι το 10) και η κατασκευή και λύση λεκτικών προβληµάτων πρόσθεσης και αφαίρεσης από τα νήπια. Η ανάλυση και σύνθεση αριθµών θεωρείται µια σηµαντική πράξη για τα νήπια, καθώς τους εξασφαλίζει εµπειρίες για την οικοδόµηση της σχέσης

του µέρους µε το όλο. Η βασική ιδέα που πρέπει να κατανοήσουν τα παιδιά είναι ότι µία ποσότητα µπορεί να αποτελείται από µέρη και µπορεί να αναλυθεί σε αυτά και ότι τα µέρη µπορούν πάλι να συνδυαστούν για να φτιάξουν το όλο. Η κατανόηση αυτής της σχέσης θεωρείται ιδιαίτερα σηµαντική για την επίλυση προβληµάτων πρόσθεσης και αφαίρεσης µε άγνωστο προσθετέο ή µειωτέο (π.χ. ; + 2 = 6 ή ; - 3 = 8) (Baroody, 2004). Η πράξη της ανάλυσης και σύνθεσης αριθµών απαιτεί από τα παιδιά να «βλέπουν» µικρότερους αριθµούς µέσα σε µεγαλύτερους και να αριθµούν. Παιδιά ηλικίας 3-4 ετών µπορούν να «δουν» ότι 2 αντικείµενα και 1 αντικείµενο µας κάνουν 3 αντικείµενα, δηλαδή ότι οι αριθµοί 2 και 1 είναι «κρυµµένοι» µέσα στο 3. Σε µεγαλύτερες ηλικίες, τα παιδιά µπορούν να χωρίσουν µια οµάδα αντικειµένων µε διάφορους τρόπους σε υποοµάδες, για παράδειγµα, να χωρίσουν 5 αντικείµενα σε δύο οµάδες (2 και 3, 4 και 1, κλπ.). Τα σύγχρονα ερευνητικά αποτελέσµατα στο θέµα αυτό έρχονται σε αντιπαράθεση µε τα αποτελέσµατα των δραστηριοτήτων του Piaget που αφορούν στην κατανόηση της σχέσης µέρους-όλου σε αυτή την ηλικία (βλ. Kamii & De Clark, 1994, σχετικά µε τις δραστηριότητες εγκλεισµού των τάξεων). Αρκετοί ερευνητές έχουν βρει ότι παιδιά ηλικίας 5-6 ετών ανταποκρίνονται θετικά σε ερωτήµατα που αφορούν στη συµπερίληψη σε οµάδα και αναγνωρίζουν ότι σε προβλήµατα πρόσθεσης µε άγνωστο τον αρχικό προσθετέο, ο αριθµός που λείπει θα είναι µικρότερος από το άθροισµα των δύο άλλων αριθµών (Sophian & McCorgray, 1994). Σύµφωνα µε τον Resnick (1992), η κατανόηση της σχέσης του µέρους µε το όλο µπορεί να ελεγχθεί µέσα από τη σχέση: Αν α + β = γ, τότε (α + χ) + (β-χ) = γ (Irwin,1996α). Ακολουθώντας αυτή την υπόθεση, η Irwin (1996α, 1996β) στη Νέα Ζηλανδία µελέτησε την κατανόηση της σχέσης µέρους-όλου σε παιδιά ηλικίας 4-7 ετών, όταν γίνονταν αλλαγές σε ένα ή και στα δύο µέρη ενός όλου. Μέσα από κατάλληλα προβλήµατα διερευνήθηκε αν τα παιδιά αντιλαµβάνονταν ότι µία αύξηση ή µείωση ενός µέρους επηρεάζει το όλο και αν µία αύξηση ενός µέρους και ανάλογη µείωση του άλλου µέρους οδηγεί στο ίδιο όλο. Για παράδειγµα ένα πρόβληµα που τέθηκε ήταν το ακόλουθο (Irwin, 1996β): ζητήθηκε από τα παιδιά να µοιράσουν δίκαια καραµέλες σε δύο κούκλες (την «κόκκινη» και την «κίτρινη»). Στη συνέχεια, οι καραµέλες της κάθε κούκλας τοποθετήθηκαν σε δύο κουτιά, χωρίς να δίνεται σηµασία στον αριθµό των καραµελών σε κάθε κουτί. Αφού τα παιδιά είπαν ότι η µοιρασιά εξακολουθεί να είναι δίκαια, η ερευνήτρια πήρε µία καραµέλα από το ένα κουτί της µία κούκλας και την τοποθέτησε στο άλλο κουτί της ίδιας κούκλας. Τα παιδιά ρωτήθηκαν αν η µοιρασιά εξακολουθεί να είναι δίκαιη. 72% των παιδιών ηλικίας 4 ετών, 81% των παιδιών ηλικίας 5 ετών και 92% των παιδιών ηλικίας 6 ετών απάντησαν σωστά. Τα παιδιά έδειξαν να έχουν µεγαλύτερη δυσκολία σε παρόµοια προβλήµατα, όταν εµπλεκόταν και η

διαδικασία της αρίθµησης. Για παράδειγµα, σ ένα άλλο πρόβληµα η ίδια ερευνήτρια ζήτησε από τα παιδιά να µετρήσουν ένα πλήθος κουµπιών και στη συνέχεια έκρυψε τα κουµπιά αυτά στα δύο χέρια της (Irwin,1996α). Ζητήθηκε από τα παιδιά να προσθέσουν ένα κουµπί ή να αφαιρέσουν ένα κουµπί σε κάποιο χέρι και να απαντήσουν εάν άλλαξε ο συνολικός αριθµός των κουµπιών. Επίσης τους ζητήθηκε να πάρουν ένα κουµπί από το ένα χέρι και να το τοποθετήσουν στο δεύτερο και να απαντήσουν πάλι εάν άλλαξε ο συνολικός αριθµός των κουµπιών Οι δυσκολίες τους οφείλονταν κυρίως στο γεγονός ότι δεν µπορούσαν να αριθµήσουν σωστά για να βρουν το συνολικό αριθµό των κουµπιών µετά από τις διάφορες αλλαγές που γίνονταν. Η κατασκευή προβληµάτων καθώς και ο τρόπος αναπαράστασης των λύσεών τους αποτελεί βασικό θέµα στα σύγχρονα προγράµµατα σπουδών των µαθηµατικών. Η κατασκευή προβληµάτων δίνει την ευκαιρία στους µαθητές αφενός να κατανοήσουν καλύτερα τις µαθηµατικές έννοιες που προσεγγίζουν, εφαρµόζοντας τις γνώσεις τους σε ποικίλα και διαφορετικά πλαίσια και αφετέρου να κατανοήσουν τη δοµή του προβλήµατος ώστε να µπορούν να κατασκευάσουν ανάλογα δικά τους (English, 1997). Συνήθως τα προβλήµατα που θέτουν τα µικρά παιδιά συνδέονται µε οικεία πλαίσια τα οποία τους είναι γνώριµα και µέσω αυτών µπορούν να δηµιουργήσουν προβλήµατα που έχουν νόηµα γι αυτά (Outhred & Sardelich, 2005). Εκτός από την κατασκευή προβλήµατος µεγάλη σηµασία έχει και ο τρόπος που αναπαριστούν τα παιδιά τις αριθµητικές ποσότητες του προβλήµατος και τις σχέσεις µεταξύ αυτών των ποσοτήτων. Η αναπαράσταση, µέσα από την οποία τα παιδιά οικοδοµούν τη γνώση τους, µπορεί να συνδέεται µε χειρισµό αντικειµένων, µε σχεδιασµό του συλλογισµού τους στο χαρτί ή µε αριθµητική πρόταση. Η αναπαράσταση ενός προβλήµατος µε αριθµητική πρόταση µε τα συµβατικά σύµβολα των πράξεων είναι κυρίως αποτέλεσµα εκµάθησης και είναι σηµαντικό να συνδέεται µε τη λύση των προβληµάτων, προτείνοντας στα παιδιά να κάνουν µεταφράσεις από τη µία γλώσσα στην άλλη (van de Walle, 2001). Σε αυτή την εργασία περιγράφονται οι δραστηριότητες που σχεδιάστηκαν και πραγµατοποιήθηκαν κατά τη διάρκεια ενός πειραµατικού προγράµµατος διδασκαλίας των µαθηµατικών σ ένα νηπιαγωγείο της Ρόδου κατά το σχολικό έτος 2005-2006 στα συγκεκριµένα θέµατα. Το πειραµατικό πρόγραµµα διδασκαλίας είχε διάρκεια ένα χρόνο και σκοπός του ήταν η µελέτη της ανάπτυξης των γνώσεων των νηπίων σε θέµατα που αφορούν στα µαθηµατικά µε βάση τα ευρήµατα που υπάρχουν σήµερα στο χώρο της ιδακτικής των Μαθηµατικών µέσα από την ανάλυση διδακτικών καταστάσεων. Η µελέτη αυτή επιτρέπει στον ερευνητή να διαπιστώσει τα όρια της ελευθερίας του για τις επιλογές της γνώσης που µπορεί να αποτελέσει αντικείµενο συζήτησης στην τάξη και την οργάνωση της µάθησης των παιδιών (Laborde & Perrin-Glorian, 2005).

Ο σχεδιασµός των δραστηριοτήτων Το πρόγραµµα πραγµατοποιήθηκε στο πειραµατικό νηπιαγωγείο της Ρόδου, στο οποίο φοιτούσαν τη συγκεκριµένη χρονιά 24 παιδιά (19 νήπια και 5 προνήπια, 11 αγόρια, 13 κορίτσια, 1 παιδί δε γνώριζε ελληνικά). Τα παιδιά προέρχονταν από οικογένειες µε διαφορετικά κοινωνικο-πολιτισµικά και οικονοµικά χαρακτηριστικά. Οι µαθησιακές δραστηριότητες του προγράµµατος αφορούσαν µόνο στα µαθηµατικά. Τα µαθήµατα γίνονταν δύο φορές κάθε εβδοµάδα στην τάξη (20 λεπτά το κάθε µάθηµα). Όλα τα µαθήµατα βιντεοσκοπήθηκαν. Πριν από τις δραστηριότητες ανάλυσης αριθµών και κατασκευής λεκτικών προβληµάτων πρόσθεσης και αφαίρεσης είχαν προηγηθεί δραστηριότητες σχετικές µε την αρίθµηση, τη λύση προβληµάτων πρόσθεσης και αφαίρεσης και τη γραφή των αριθµών από το 1 έως το 10. Οι δραστηριότητες που χρησιµοποιήθηκαν για την ανάλυση των αριθµών 3-10 σε άθροισµα δύο προσθετέων θα µπορούσαν να διακριθούν σε τρεις κατηγορίες: 1. ραστηριότητες µε δάχτυλα: Τα παιδιά κλήθηκαν να φτιάξουν αριθµούς από το 3 µέχρι το 8 σηκώνοντας τα δάχτυλα και των δύο χεριών τους. 2. ραστηριότητες µε χρήση διατακτικών όρων: Για παράδειγµα, σε µία δραστηριότητα µε τίτλο «Μια βόλτα στην πόλη µε το τρενάκι», το πρόβληµα που τέθηκε ήταν το ακόλουθο: «Η Υπατία και ο Ευκλείδης αποφάσισαν να πάνε µία βόλτα µε το τρενάκι που υπάρχει στη πόλη τους. Στο σταθµό περιµένουν 3 επιβάτες, η Υπατία, ο Ευκλείδης και ένας ακόµα κύριος. Φανταστείτε πώς θα µπορούσαν να µπουν στα βαγόνια οι 3 αυτοί επιβάτες. Πόσοι µπορεί να µπουν στο πρώτο βαγόνι και πόσοι στο δεύτερο;». Η ίδια δραστηριότητα επαναλήφθηκε και για τον αριθµό 6. 3. ραστηριότητες χωρίς τη χρήση διατακτικών όρων: Για παράδειγµα στην ίδια δραστηριότητα που προαναφέρθηκε, τα παιδιά κλήθηκαν να αντιµετωπίσουν το ακόλουθο πρόβληµα: «Τα παιδιά ξεκίνησαν τη βόλτα τους. Από το παράθυρο του τρένου είδαν 4 σπουργίτια. Τα σπουργιτάκια πήγαν να καθίσουν σε δύο δεντράκια που ήταν κοντά τους για να ξεκουραστούν. Φανταστείτε πώς θα µπορούσαν να καθίσουν τα σπουργιτάκια στα 2 δέντρα. Πόσα µπορεί να καθίσουν στο ένα δέντρο και πόσα στο άλλο;». Ανάλογα προβλήµατα δόθηκαν για τους αριθµούς 5 (σε οµάδες εργασίας) και 7. Επίσης, στην ίδια κατηγορία σχεδιάστηκαν δραστηριότητες µε αφορµή το παραµύθι: «Φουφήχτρα, η µάγισσα µε την ηλεκτρική σκούπα». Για παράδειγµα, προκειµένου να γλιτώσουν από τη µάγισσα Φουφήχτρα, η οποία ρουφούσε µε την ηλεκτρική της σκούπα τα ζωάκια και τα παιδάκια του κόσµου, οι πάπιες βούτηξαν µέσα στις δύο λίµνες και γλίτωσαν, οι γλάροι

κρύφτηκαν µέσα στις ψαρόβαρκες και σώθηκαν. Το πρόβληµα που τέθηκε ήταν: «Φανταστείτε πώς θα µπορούσαν να βουτήξουν οι πάπιες στις δύο λίµνες. Πόσες µπορούν να κρυφτούν στη µία λίµνη και πόσες στην άλλη;». Σε όλες τις δραστηριότητες τα παιδιά έπρεπε να γράφουν σ ένα φύλλο χαρτί τις διαφορετικές αναλύσεις του αριθµού που πρότειναν. Για παράδειγµα, στα προβλήµατα µε τα βαγόνια υπήρχε ένα φύλλο χαρτί που είχε την εικόνα µε τα δύο βαγόνια, και τα παιδιά έπρεπε να γράφουν τον αριθµό των επιβατών κάτω από κάθε βαγόνι. Εκτός από την πρώτη ηµέρα, όπου τα παιδιά συζήτησαν τους αριθµούς 3 και 4, τις επόµενες ηµέρες στο χαρτί που είχε δοθεί στα παιδιά για να το συµπληρώσουν είχε τόσα κουτάκια όσα και οι δυνατές αναλύσεις του προτεινόµενου αριθµού. Στο τέλος των µαθηµάτων δόθηκε ένα ατοµικό φύλλο εργασίας στα παιδιά για τον αριθµό 6. Οι δραστηριότητες για την κατασκευή λεκτικών προβληµάτων πρόσθεσης και αφαίρεσης πραγµατοποιήθηκαν µετά από τις δραστηριότητες ανάλυσης των αριθµών και εντάχθηκαν σ ένα πλαίσιο σχετικό µε τις προετοιµασίες για το Πάσχα. Η νηπιαγωγός είχε θέσει αρχικά στα παιδιά δύο προβλήµατα: -«Για το Πάσχα, η Υπατία και ο Ευκλείδης αγόρασαν αυγά και πασχαλίτσες για να στολίσουν το σπίτι τους. Η Υπατία θέλει να τη βοηθήσετε σ ένα πρόβληµα που την απασχολεί: Στην αρχή αγόρασε 3 αυγά και µετά αγόρασε 2 αυγά ακόµα. Πόσα είναι όλα µαζί τα αυγά που αγόρασε;» -«Ο Ευκλείδης θέλει κι αυτός να σας ρωτήσει για ένα πρόβληµα που τον απασχολεί: Αγόρασε 4 αυγά, αλλά στο δρόµο για το σπίτι του έσπασε το 1. Πόσα αυγά του έµειναν τώρα;» Όταν τα παιδιά έλυσαν το κάθε πρόβληµα, η νηπιαγωγός έγραφε στον πίνακα την αντίστοιχη πράξη (δηλαδή 3+2=5 και 4-1=3). Στη συνέχεια ζητήθηκε από τα παιδιά να διατυπώσουν προβλήµατα σαν αυτά του Ευκλείδη και της Υπατίας µε αυγά και πασχαλίτσες, να τα λύσουν και να γράψουν στον πίνακα, µε αριθµούς, τη λύση του προβλήµατος. Όλες οι παραπάνω δραστηριότητες πραγµατοποιήθηκαν σε διάρκεια 3 εβδοµάδων. Ανάλυση των διδακτικών καταστάσεων Η πρώτη κατηγορία δραστηριοτήτων επέτρεψε αρχικά στα παιδιά να αναλύσουν ένα αριθµό σε δύο άλλους χωρίς να κάνουν αλλαγή της σειράς των όρων ενός αθροίσµατος και χωρίς αθροίσµατα µε το µηδέν για τους αριθµούς από το 6 έως το 8. Για παράδειγµα, την πρώτη ηµέρα τα παιδιά σήκωσαν για τον αριθµό 3, 2 δάχτυλα στο ένα χέρι και 1 στο άλλο και για τον αριθµό 4, 2 δάχτυλα στο ένα χέρι και 2 στο άλλο ή 3 δάχτυλα στο ένα χέρι και

1 στο άλλο. Αρχικά, όταν σήκωναν 3 ή 4 δάχτυλα στο ένα χέρι, σήκωναν κάποιο ή κάποια δάχτυλα και στο άλλο χέρι µε αποτέλεσµα το άθροισµα να ξεπερνά το ζητούµενο αριθµό. Αυτή η δυσκολία αντιµετωπίστηκε µε την παρέµβαση της νηπιαγωγού. Η προσπάθεια της νηπιαγωγού να οδηγήσει τα νήπια στην αναγνώριση της αλλαγής της σειράς των όρων ενός αθροίσµατος χρησιµοποιώντας τις εκφράσεις «αριστερό χέρι», «δεξί χέρι» δεν ήταν αποτελεσµατική για τα παιδιά. Η δεύτερη κατηγορία δραστηριοτήτων επέτρεψε στα παιδιά να βρουν όλους τους συνδυασµούς του 3 (2 και 1, 3 και 0, 1 και 2, 0 και 3) και του 6. Τα παιδιά διευκολύνθηκαν από τα διαφορετικά χρώµατα των βαγονιών. Ακόµα και όταν οι επιβάτες ήταν 6, προέκυψαν όλοι οι δυνατοί συνδυασµοί χωρίς να υπάρξουν ιδιαίτερες δυσκολίες. Τα λάθη των παιδιών αφορούσαν σε προτεινόµενους αριθµούς που το άθροισµά τους δεν αντιστοιχούσε στο ζητούµενο αριθµό. Τα λάθη αυτά αντιµετωπίστηκαν ως προβλήµατα που έπρεπε να λυθούν από τα ίδια τα παιδιά. ηλαδή, όταν ένα παιδί πρότεινε αριθµούς που δεν άθροιζαν, για παράδειγµα, στον αριθµό 6, η νηπιαγωγός τους ζητούσε να υπολογίσουν το συγκεκριµένο άθροισµα. Η τρίτη κατηγορία δραστηριοτήτων έφερε αρχικά στην επιφάνεια τις δυσκολίες των παιδιών, οι οποίες αφορούσαν στην ερµηνεία του όρου «διαφορετικός τρόπος» και στην αλλαγή της σειράς των όρων του αθροίσµατος. Το παρακάτω επεισόδιο είναι αντιπροσωπευτικό της συζήτησης που έγινε στην τάξη µε αφορµή την ανάλυση του αριθµού 4: Νηπ.: Πόσα πουλιά θα καθίσουν στο ένα δέντρο και πόσα στο άλλο; Π1: Τα δύο εδώ και τα δύο εδώ (χρησιµοποιεί αντικείµενα και γράφει την απάντηση). Νηπ.: Πώς θα µπορούσαν να καθίσουν µε διαφορετικό τρόπο από αυτόν που τα έβαλε η Αγγελική; Π2: (Βάζει πάλι 2 και 2 πουλιά σε διαφορετικά κλαδιά σε σχέση µε την Αγγελική). Νηπ.: εν εννοώ πώς θα καθίσουν διαφορετικά πάνω στα κλαδιά. Εννοώ πόσα στο ένα δέντρο και πόσα στο άλλο. Αυτό εννοώ όταν λέω διαφορετικό τρόπο. Π3: (Βάζει 3 και 1 και γράφει την απάντηση). Νηπ.: Σάββα, για βρες µου ένα δικό σου τρόπο. Π4: (Ο Σάββας βάζει 4 πουλιά στο ένα δέντρο). Νηπ.: Πόσα κάθισαν στο ένα δέντρο; Π4: Όλα. Νηπ.: Πόσα είναι αυτά τα όλα;

Π4: 4. Νηπ.: Και εδώ; ( είχνει το άλλο δέντρο.) Π4: Κανένα. Νηπ.: Μπορείς να µου το γράψεις; Π4: (Γράφει 4 και 0). Νηπ.: Ποιος άλλος θέλει να έρθει; Ο Ιωσήφ. Π5: (Βάζει πάλι 3 και 1 µε αντικείµενα). Νηπ.: Το έχουµε γράψει. Π5: 2 και 2. Νηπ.: Το έχουµε γράψει και αυτό. εν υπάρχει άλλος τρόπος να καθίσουν; Π5: Όχι. Π6: Να µπουν εδώ 1 και εδώ 3. Π7: Το είχε γράψει η Μαρία. Νηπ.: Είναι το ίδιο; Εδώ έχει 3 και 1. Εδώ τι προτείνει ο Μάριος; 1 και 3. Είναι το ίδιο; Παιδιά : Ναι. Νηπ.: Αυτά είναι στο ένα δέντρο και αυτά στο άλλο. (Σηκώνει το Μάριο και γράφει την απάντηση). Π8: Κυρία, 0 και 4. Τα παιδιά αναφέροντας τους διαφορετικούς συνδυασµούς των αθροισµάτων δεν ανέπτυξαν κάποια συστηµατική στρατηγική στην πορεία της πραγµατοποίησης των δραστηριοτήτων. Ωστόσο, µπορούµε να επισηµάνουµε ότι συνήθως πρώτα έβρισκαν τα διαφορετικά αθροίσµατα και µετά προχωρούσαν στην αλλαγή της σειράς των όρων ενός αθροίσµατος. Για παράδειγµα, στον αριθµό 7, πρώτα βρήκαν τα 6 και 1, 5 και 2, 7 και 0, 4 και 3 και µετά προχώρησαν στα 2 και 5, 3 και 4, 0 και 7 και 1 και 6. Επίσης, στο 8 πρώτα βρήκαν τα 1 και 7, 4 και 4, 8 και 0, 6 και 2, 3 και 5 και µετά έγραψαν τους όρους αυτών των αθροισµάτων µε διαφορετική σειρά. Οι µεγαλύτεροι αριθµοί 8, 9 και 10 αντιµετωπίστηκαν µε αρκετές δυσκολίες λόγω του µεγέθους τους. Στους αριθµούς αυτούς τα παιδιά φάνηκε ότι είχαν ανάγκη να χρησιµοποιήσουν πρώτα τα αντικείµενα για να απαντήσουν και µετά να γράψουν. Ακόµα, στους µεγάλους αριθµούς η εύρεση των αθροισµάτων µε αλλαγή της σειράς των όρων τους ήταν πιο δύσκολη, λόγω της έλλειψης µιας συστηµατικής στρατηγικής καταγραφής των αθροισµάτων. Ιδιαίτερα στον αριθµό 9 άρχισε για πρώτη φορά να γίνεται χρήση από τα παιδιά της έκφρασης «ανάποδα», αφού είχαν βρει τα

αθροίσµατα 9 και 0, 4 και 5, 6 και 3, 7 και 2. ηλαδή, αν επαναλάµβαναν κάποιο άθροισµα και διαπίστωναν ότι υπήρχε, έλεγαν να το «βάλουµε ανάποδα». Η συµπεριφορά αυτή θα µπορούσε ίσως να ερµηνευθεί ως µια πρώτη διαισθητική κατανόηση της αντιµεταθετικής ιδιότητας της πρόσθεσης. Στο ατοµικό φύλλο εργασίας για τον αριθµό 6, που δόθηκε µετά το τέλος των διδασκαλιών, 5 παιδιά έγραψαν πρώτα τα διαφορετικά αθροίσµατα και µετά έκαναν αλλαγή της σειράς των όρων τους, 2 παιδιά έγραψαν τα αθροίσµατα µε ταυτόχρονη αλλαγή της σειράς των όρων τους, 5 παιδιά δεν φάνηκε να ακολουθούν κάποια συστηµατική στρατηγική, ενώ 6 παιδιά έκαναν λάθη στους όρους του αθροίσµατος. Στις δραστηριότητες που αφορούσαν στην κατασκευή λεκτικών προβληµάτων πρόσθεσης και αφαίρεσης τα παιδιά ανταποκρίθηκαν θετικά. Ικανοποιητική ήταν και η χρήση των συµβόλων της πρόσθεσης (+), της αφαίρεσης (-) και της ισότητας (=) από τα παιδιά, τα οποία δηµιουργούσαν απλές αριθµητικές προτάσεις ως αναπαραστάσεις του προβλήµατος που έθεταν. Τα ακόλουθα επεισόδια είναι αντιπροσωπευτικά για την περιγραφή των προβληµάτων που κατασκευάστηκαν από τα παιδιά: Επεισόδιο 1 Π1: Ήµουνα στο σπίτι της νονάς µου και ρωτάει η νονά µου: «ηµήτρη µπορείς να µου φέρεις 5 αυγά;» και της έφερα 5 αυγά, αλλά όταν άνοιξα την τσάντα έσπασαν 2. Νηπ.: Μπορείς να το γράψεις αυτό; Π1: (Γράφει 3). Νηπ.: Μου είπες ότι έφερες 5 αυγά, τι θα γράψεις; Π1: 5 Νηπ.: Και µετά τι συνέβη; Π1: Έσπασαν τα 2 (Γράφει 5-2=). Νηπ.: Για να µας πουν τα άλλα παιδιά, πόσα του έµειναν τώρα του ηµήτρη; Παιδιά : 3 Π1: (Γράφει 5-2=3). Επεισόδιο 2 Π2: Η γιαγιά µου είπε να πάω να αγοράσω αυγά. Νηπ.: Πόσα αυγά σου είπε να αγοράσεις; Π2: 5 και της τα έδωσα και αγόρασε και άλλα 2. Νηπ.: Χρειαζόταν ακόµα 2; Π2: Ναι.

Νηπ.: Έλα να µας το γράψεις. Π2: (Γράφει 5+27). Νηπ.: Το ίσον πού είναι; Π2: (Γράφει 5+2=7). Είναι φανερό ότι τα παιδιά επηρεάστηκαν από το σενάριο της δραστηριότητας που τους θέσαµε και τα περισσότερα αναφέρθηκαν στα ίδια αντικείµενα (αυγά). Επίσης, όλα τα προβλήµατα που πρότειναν ήταν άµεσα δεµένα µε αγαπηµένα τους πρόσωπα και πάντα σε αυτά περιέγραφαν τις δικές τους ενέργειες (π.χ. της τα έφερα, της τα έδωσα κλπ). Κάποια παιδιά διατύπωσαν προβλήµατα µε δύο πράξεις ανάλογα µε τις επιθυµίες τους. Για παράδειγµα, ένα παιδί είπε: «Αγόρασα 3 σοκολάτες και µετά µου έλιωσε η µία και η µαµά µου πήρε άλλες 3» και έγραψε 3-1=2+3=5. Σε σχέση µε τη αναπαράσταση των προβληµάτων µε τα σύµβολα των πράξεων, κάποια παιδιά είχαν δυσκολία, κάνοντας χρήση των συµβόλων της ισότητας, της πρόσθεσης ή της αφαίρεσης σε λάθος θέσεις, καθώς και του συµβόλου της πρόσθεσης στη θέση του συµβόλου της αφαίρεσης και το αντίθετο, γεγονός που έδειχνε έλλειψη κατανόησης της σηµασίας και της χρήσης αυτών των συµβόλων. Συζήτηση Τα αποτελέσµατα της έρευνας έδειξαν ότι τόσο η ανάλυση αριθµών σε άθροισµα δύο προσθετέων όσο και η κατασκευή λεκτικών προβληµάτων πρόσθεσης και αφαίρεσης είναι δύο θέµατα που µπορούν να αντιµετωπίσουν τα παιδιά της προσχολικής ηλικίας. Η ανάλυση των διδακτικών καταστάσεων για την ανάλυση των αριθµών και την κατασκευή λεκτικών προβληµάτων πρόσθεσης και αφαίρεσης έδειξε ότι : -Η ανάλυση των αριθµών 3 έως και 7 δεν παρουσίασε δυσκολίες για τα παιδιά της προσχολικής ηλικίας σε αντίθεση µε την ανάλυση των αριθµών 8, 9 και 10. -Η έκφραση «διαφορετικός τρόπος» δεν οδηγεί από µόνη της σε αναφορά σε ποσότητες. -Οι δραστηριότητες µε χρήση διατακτικών όρων αντιµετωπίστηκαν µε µεγαλύτερη ευκολία από τα παιδιά, καθώς οι λέξεις αυτές ίσως τα απεγκλωβίζουν από την εικόνα του αντικειµένου. -Η ύπαρξη του αριθµού των δυνατών συνδυασµών στο χαρτί και η γραφή τους από τα παιδιά βοηθά στην εύρεση όλων των αθροισµάτων. Ωστόσο, τα νήπια δεν αναπτύσσουν συστηµατικές καταγραφές αυτών των αθροισµάτων.

-Η κατασκευή λεκτικών προβληµάτων από τα παιδιά αυτής της ηλικίας είναι άµεσα συνυφασµένη µε τις εµπειρίες τους και τα αγαπηµένα τους πρόσωπα, ενώ η αναπαράσταση των προβληµάτων µε τα συµβατικά σύµβολα των πράξεων της πρόσθεσης και της αφαίρεσης παρουσιάζει δυσκολίες. Αναφορές Baroody, A. (2004). The developmental bases for early childhood number and operations standards. In D. Η. Clements & J. Sarama (Eds.), Enganging Young Children in Mathematics: Standards for Early Childhood Mathematics Education (pp. 173-219). Lawrence Erlbaum Associates, Publishers Clements, D. H. (2004). Major themes and recommendations. In D. Η. Clements & J. Sarama (Eds.), Enganging Young Children in Mathematics: Standards for Early Childhood Mathematics Education (pp. 7-72). Lawrence Erlbaum Associates, Publishers English, D. (1997). Promoting a Problem-Posing Classroom. Teaching Children Mathematics, 4, 172-179. Fuson, K.C. (2004). Pre-K to Grade 2 goals and standards : Achieving 21stcentury mastery for all. In D. Η. Clements & J. Sarama (Eds.), Enganging Young Children in Mathematics: Standards for Early Childhood Mathematics Education (pp. 105-148). Lawrence Erlbaum Associates, Publishers Irwin, K.C. (1996a). Children s understanding of the principles of covariation and compensation in part-whole relationships. Journal for Research in Mathematics Education, 27(1), 25-40. Irwin, K.C. (1996b). Young children s formation of numerical concepts or 8=9+7. In H. Mansfield, N. A. Pateman & N. Bednarz (Eds.), Mathematics for Tomorrow s Young Children, (pp.137-150). Kluwer Academic Publishers. Kamii, C. & De Clark, G. (1995). Τα παιδιά ξαναεφευρίσκουν την Αριθµητική. Επιµ. Φ.Καλαβάσης. Εκδόσεις Πατάκη. Laborde, C. & Perrin- Glorian, M.-J. (2005). Teaching situations as object of research: Empirical studies within theoretical perspectives. Educational Studies in Mathematics,59, 1-12. Outhred, L. & Sardelich, S. (2005). A Problem Is Something You Don t Want to Have : Problem Solving by Kindergartners. Teaching Children Mathematics, 12(3), 146-154 Sophian, C., & McCorgray, P. (1994). Part-whole knowledge and early arithmetic problem-solving. Cognition and Instruction, 13, 253-268. van de Walle, J. (2005). Μαθηµατικά για το ηµοτικό και το Γυµνάσιο: Μια Εξελικτική ιδασκαλία. Τυπωθήτω-Γιώργος αρδάνος.