ΣΤΑΤΙΚΟΣ ΗΛΕΚΤΡΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΗ Δύο πολύ μικρά ηλεκτρικά φορτισμένα σφαιρίδια, με ηλεκτρικά φορτία Q = + μc και Q αντίστοιχα, είναι ακίνητα πάνω σε μονωτικό οριζόντιο δάπεδο, στα σημεία Α και Β όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Τα φορτισμένα σφαιρίδια απέχουν μεταξύ τους r = 90 m To δυναμικό του συνολικού ηλεκτρικού πεδίου που δημιουργούν τα δύο φορτία είναι μηδέν σε σημείο, το οποίο βρίσκεται στο εσωτερικό του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ Δίνεται η απόσταση Α = r = 30 m (Θεωρούμε τα ηλεκτρικά φορτισμένα σφαιρίδια σαν σημειακά Να προσδιορίσετε το ηλεκτρικό φορτίο Q (τιμή και πρόσημο Δ Να υπολογίσετε την ένταση Ε, του ηλεκτρικού πεδίου στο σημείο Στο σημείο τοποθετούμε ένα σημειακό ηλεκτρικό φορτίο q = μc, ενώ τα Q, Q διατηρούνται ακίνητα Να υπολογίσετε τη δύναμη το φορτίο από το συνολικό ηλεκτρικό πεδίο που δημιουργούν τα φορτία Q και Q Να βρείτε το έργο της δύναμης του ηλεκτρικού πεδίου κατά την μετακίνηση του φορτίου q από το σημείο στο μέσο Μ του ευθύγραμμου τμήματος (ΑΒ Δίνεται η ηλεκτρική σταθερά k = 9 0 9 N m / C Το δυναμικό στο σημείο είναι σύμφωνα με την εκφώνηση μηδέν: V,A + V,B [k Q / r ] + [k Q / (r r ] [k Q / (r r ] = [k Q / r ] Q = Q [(r r / r ] Q = 0-6 [(90 0 30 0 - / (30 0 - ] Δ To μέτρο της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου στο σημείο : Ε = Ε + Ε = [k Q / r ²] + [k Q / (r r ²] = [9 0 9 0-6 / (30 0 - ²] + [9 0 9 4 0-6 / (90 0-30 0 - ²] = 3 0 7 N / C Q = 4 0-6 C Η διεύθυνση της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου είναι η ευθεία που πάνω της βρίσκονται τα φορτία και η φορά της έντασης είναι προς τα δεξιά Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στο ορίζεται: Ε = F / q = q Ε = 0-6 3 07 F = 60 N Η διεύθυνση της δύναμης είναι η ευθεία που πάνω της βρίσκονται τα φορτία και η φορά της δύναμης είναι αντίθετη από την φορά της έντασης στο, γιατί το φορτίο q είναι αρνητικό Το μέσο Μ του ευθύγραμμου τμήματος (ΑΒ, άρα (ΜΑ = (ΜΒΤο δυναμικό του μέσου Μ: V = V,A + V,B = k Q / (A + k Q / (B = [k / (A] (Q + Q V = [9 0 9 / (45 0 - ] [( 0-6 + (- 4 0-6 ] =( / 5 0 (- 0-6 = 4 0 4 Volt Tο έργο της δύναμης του ηλεκτρικού πεδίου κατά την μετακίνηση του φορτίου q από το σημείο στο μέσο Μ του ευθύγραμμου τμήματος (ΑΒ:
W q, Μ = q (V V Μ q, Μ = (- 0-6 (0 4 0 4 q, Μ = + 8 0 - J ΑΣΚΗΣΗ Δύο ακίνητα σημειακά φορτία Q = 0-6 C και Q = 4 0-6 C βρίσκονται στα σημεία Α και Β ενός ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ με μήκος ΑΒ = 4 m Μεταξύ των φορτίων παρεμβάλλεται αέρας Να βρείτε το μέτρο της ηλεκτρικής δύναμης που ασκείται μεταξύ των φορτίων Q και Q Δ Να υπολογίσετε τη τιμή του δυναμικού του ηλεκτρικού πεδίου στο σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ αν (Α = 3 (Β Να υπολογίσετε την ένταση του πεδίου των δύο φορτίων στο σημείο Να υπολογίσετε το έργο της δύναμης του πεδίου για την μεταφορά ενός δοκιμαστικού φορτίου q = μc από το σημείο στο άπειρο Δίνεται η τιμή της ηλεκτρικής σταθεράς k = 9 0 9 N m² / C² Το μέτρο της ηλεκτρικής δύναμης που ασκείται μεταξύ των φορτίων Q και Q :F = k Q Q / (AB² = 9 0 9 (- 0-6 (- 4 0-6 / 4² = 7 0-3 NΤο ζητούμενο μέτρο, τιμή και μονάδα μέτρησης, άρα δεν χρειάζεται ο προσδιορισμό της διεύθυνσης (της ευθείας του σχήματος και της φοράς (που φαίνεται στο σχήμα Δ Ισχύει(ΑΒ = (A + (Β (ΑΒ = (Α + [(Α / 3] (ΑΒ = 4 (Α / 3 (Α = 3 (ΑΒ / 4 (Α = 3 4 / 4 (Α = 3 mάρα (Β = mτο δυναμικό στο σημείο :V = V,Α + V,Β = k Q / (A + k Q / (Β = k [Q / (A + Q / (B] V = 9 0 9 {[(- 0-6 / 3] + (- 4 0-6 / ] H ένταση του πεδίου των δύο φορτίων στο σημείο : Ε = Ε Ε = [k Q / (Β²] [k Q / (Α²] Ε = [9 0 9-4 0-6 / ² [9 0 9-0 -6 / 3²] = = 7 0 3 VoltΤο δυναμικό, ένα μονόμετρο μέγεθος 4 0 3 N / CΤο μέτρο της έντασης στο σημείο, η διεύθυνση της έντασης είναι η ευθεία του σχήματος και η φορά της έντασης Ε είναι ίδια με την φορά της Ε, δηλαδή προς τα δεξιά Η διαφορά δυναμικού από το σημείο στο άπειρο:v = W F, / q Tο έργο της δύναμης του πεδίου για την μεταφορά ενός δοκιμαστικού φορτίου q από το σημείο στο άπειρο: W F, = q V F, = q (V V F, = 0-6 (- 7 0 3 0 F, = 44 0-3 J To έργο της δύναμης Coulomb είναι αρνητικό, κάτι που σημαίνει ότι πρέπει ένας εξωτερικός παράγοντας να δώσει το ποσό του έργου που υπολογίσαμε για μεταφερθεί το δοκιμαστικό φορτίο από το σημείο έως το άπειρο ΑΣΚΗΣΗ 3 Δύο ακίνητα σημειακά ηλεκτρικά φορτία q μc και q = 80 μc βρίσκονται στις θέσεις Α και Β αντίστοιχα Τα φορτία απέχουν μεταξύ τους απόσταση r Το σύστημα των δύο φορτίων εξαιτίας της μεταξύ τους ηλεκτρικής αλληλεπίδρασης, έχει δυναμική ενέργεια 4 J Να υπολογίσετε την απόσταση r
Δ Να υπολογίσετε το δυναμικό του ηλεκτρικού πεδίου που δημιουργούν τα δύο φορτία, στο μέσον Μ του τμήματος ΑΒ Σε περιοχή που υπάρχει το ηλεκτρικό πεδίο που δημιουργείται από τα φορτία q και q, να υπολογίσετε τις θέσεις δύο σημείων Κ και Λ, πάνω στην ευθεία που ενώνει τα δύο φορτία, στις οποίες το δυναμικό είναι μηδέν Σε μία από αυτές τις δύο θέσεις (στο σημείο Κ ή Λ που βρίσκεται πιο μακριά από το q τοποθετούμε αρνητικό δοκιμαστικό φορτίο q Να αιτιολογήσετε αν το φορτίο q θα παραμείνει ακίνητο ή αν θα κινηθεί και προς ποια κατεύθυνση Η δυναμική ενέργεια του συστήματος των δύο φορτίων q και q :U = k (q q / r r = k (q q / U r = 9 0 9 [0 0-6 (- 80 0-6 ] / (- 4 r = 6 0- m Δ To δυναμικό του ηλεκτρικού πεδίου που δημιουργούν τα δύο φορτία στο μέσο Μ του τμήματος ΑΒ είναι: V = V,A + V,B = k q / (r / + k q / (r / ] (0 0-6 80 0-6 = 8 0 5 Volt Το δυναμικό στο σημείο Κ (σημείο εκτός του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ είναι μηδέν:v K K,A + V K,B (k q / x + [k q / (r + x ] (9 0 9 0 0-6 / x +[9 0 9 (- 80 0-6 / (0,6 + x ] 8 04 / x = 7 0 4 / (0,6 + x (0,6 + x / x = 4 0,6 + x = 4 x 3 x,6 x, m Το δυναμικό στο σημείο Λ (σημείο εντός του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ είναι μηδέν: V Λ Λ,A + V Λ,B (k q / x + [k q / (r x ] = 0 (9 0 9 0 0-6 / x + [9 0 9 (- 80 0-6 / (0,6 x ] = = ( k / r (q + q 0 8 04 / x = 7 0 4 / (0,6 x (0,6 x / x = 4 0,6 x = 4 x 5 x,6 x, m Το αρνητικό δοκιμαστικό φορτίο q τοποθετείται στο σημείο Κ, ισχύει x > x άρα το σημείο Κ είναι το ζητούμενο σημείοη ένταση στο σημείο Κ:Ε Κ = Ε Κ,Α + Ε Κ,Β = [ 9 0 9 / (6 0 - Ε Κ = Ε Ε Κ = [(k q / x ²] [(k q / (r + x ²] Κ = [(9 0 9 0 0-6 / ( 0 - ²] [(9 0 9 80 0-6 / (6 0 - + 0 - ²] Κ = 3,375 0 6 N / CH Ε Κ έχει τηνφορά της Ε (φορά προς τα αριστεράορισμός της έντασης Ε Κ :Ε Κ = F / q = q Ε Κ Η δύναμη Coulomb F, θα έχει αντίθετη φορά (το φορτίο q < 0 από την φορά της έντασης Ε Κ, φορά προς τα δεξιάto φορτίο q θα κινηθεί με την φορά της δύναμης F που το επιταχύνει, άρα το φορτίο q θα κινηθεί προς τα δεξιά ΑΣΚΗΣΗ 4 Δύο σημειακά φορτία τα Q = + 4 μc και Q = 6 μc βρίσκονται στις θέσεις Α και αντίστοιχα, όπου Α = d m Να προσδιορίσετε την θέση του σημείου Δ, όπου η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου που δημιουργούν τα φορτία Q και Q θα είναι μηδέν Δ Να προσδιορίσετε την θέση του σημείου Ζ που βρίσκεται ανάμεσα στα Α και, όπου το δυναμικό που δημιουργούν τα φορτία Q και Q του θα είναι μηδέν Τοποθετούμε το σημειακό φορτίο q = + μc στο σημείο Ζ Να υπολογίσετε την δύναμη Coulomb που ασκείται στο φορτίο q από τα φορτία Q και Q Το φορτίο q μεταφέρεται από το σημείο Ζ στο σημείο Δ 3
Να υπολογίσετε το έργο της ηλεκτρικής δύναμης που ασκείται στο q κατά την μετάβαση του από το σημείο Ζ στο σημείο Δ Δίνεται k = 9 0 9 N m² / C² Τα φορτία Q και Q είναι ετερόσημα (Q Q < 0, άρα η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου που δημιουργούν τα φορτία Q και Q θα είναι μηδέν εκτός του ευθύγραμμου τμήματος Α στο σημείο Δ και κοντά στο μικρότερο από τα φορτία Q και Q (το φορτίο Q Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στο σημείο Δ είναι μηδέν:ε Δ Ε k Q / x ² = k Q / (d + x ² Q / Q = [(d + x / x ]² [(6 0-6 / (4 0-6 ] = [(d + x / x ] [(d + x / x ] = ± Θεωρούμε δεκτή την θετική τιμή(d + x = x x = d m Δ Στο σημείο Ζ, το δυναμικό που δημιουργούν τα φορτία Q και Q θα είναι μηδέν:v Ζ Ζ, + V Ζ, k Q / x = k Q / (d x Q / Q = [(d x / x ] (- 6 0-6 / (4 0-6 = [(d x / x ] 4 = [(d x / x ] 4 x = (d x x = d / 5 x = (0 0 - / 5 x = 0 m Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στο σημείο Ζ, υπολογίζεται: E Ζ = E + E E Ζ = [k Q / (x ²] + [k Q / (d x ² E Ζ = [9 0 9 + 4 0-6 / ( 0 - ²] + [9 0 9-6 0-6 / (0 0-0 - ²] E Ζ =,5 0 7 N / CΗ διεύθυνση της έντασης είναι η ευθεία που πάνω της βρίσκονται τα Α, και η φορά της έντασης είναι προς τα δεξιάη ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στο σημείο Ζ, ορίζεται:ε Ζ = F / q = q Ε Ζ = 0-6,5 07 = 5 N Αφού το q >0 η φορά της έντασης και η φορά της δύναμης είναι ίδιες Στο σημείο Δ, το δυναμικό που δημιουργούν τα φορτία Q και Q θα είναι:v Δ = V Δ, + V Δ, k Q / (d + x Δ = k Q / x + Δ = [9 0 9 (+ 4 0-6 / ( 0 - ] + [9 0 9 (- 6 0-6 / (0 0 - + 0 - ] Δ = 6 0 5 VoltΗ διαφορά δυναμικού V ΖΔ, ορίζεται:v ΖΔ = W F, Ζ Δ / q 6 0 5 W F, Ζ Δ =, J F, Ζ Δ = q (V Ζ V Δ F, Ζ Δ = + 0-6 (0 Tο ζητούμενο έργο της ηλεκτρικής δύναμης που ασκείται στο q κατά την μετάβαση του από το σημείο Ζ στο σημείο Δ ΑΣΚΗΣΗ 5 Στα σημεία Α και Β ενός ευθύγραμμου τμήματος που απέχουν απόσταση r = 6 m τοποθετούμε δύο σημειακά ετερώνυμα φορτία q και q = 8 μc αντίστοιχα Τα δύο φορτία αλληλεπιδρούν με δύναμη Coulomb μέτρου F Αν αντικαταστήσουμε το φορτίο q με φορτίο q 3 = q τα δύο φορτία αλληλεπιδρούν με δύναμη Coulomb μέτρου F / 4 Να βρεθεί το είδος και η τιμή του φορτίου q Δ Να υπολογιστεί το μέτρο της δύναμης Coulomb μεταξύ των q και q 4
Να βρεθούν τα σημεία Κ και Λ που βρίσκονται πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και αριστερά του φορτίου q στα οποία μηδενίζονται το δυναμικό και η ένταση αντίστοιχα, που οφείλονται στα φορτία q και q Να υπολογιστεί το έργο της δύναμης του πεδίου κατά την μεταφορά ηλεκτρικού φορτίου q = μc από το σημείο Λ στο σημείο Κ Δίνεται k = 9 0 9 N m² / C² Υπολογισμός του φορτίου q το οποίο είναι αρνητικό Η δύναμη αλληλεπίδρασης έχει μέτρο : F = F = k q q / r² ( Aν αντικαταστήσουμε το q με το q 3 = q, η δύναμη αλληλεπίδρασης έχει μέτρο :F = k q q 3 / r² ισχύει F = F / 4,F / 4 = k q q / r² = 4 k q q / r² k q q / r² = 4 k q ² / r² q = q / 4 q = μc Δ Η δύναμη Coulomb έχει μέτρο :F = k q q / r² Προσδιορισμός της θέσης του σημείου Κ που βρίσκεται αριστερά του q και πάνω στην ευθεία που ορίζει το ΑΒ ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο το δυναμικό του ηλεκτρικού πεδίου εξαιτίας των q και q είναι μηδέν Έστω V κ με ΑΚ = x V κ V κ, + V κ, F = 9 0 9 0-6 8 0-6 / (6 0 - ² F = 40 Ν k q / x + k q / (r + x k 0-6 / x + k 8 0-6 / (r + x k 0-6 / x = k 8 0-6 / (r + x / x = 8 / (r + x r + x = 4 x 3 x = r x = r / 3 x = 6 0 - / 3 x = 0 - x = m Προσδιορισμός της θέσης του σημείου Λ που βρίσκεται αριστερά του q και πάνω στην ευθεία που ορίζει το ΑΒ ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο μηδενίζεται η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου που οφείλεται στα q και q Στο σημείο Λ όπου ΑΛ = x οι εντάσεις Ε και Ε είναι αντίθετες (έχουν ίδιο μέτρο και αντίθετη φορά ια τα μέτρα των εντάσεων έχουμε :Ε = Ε k q / x ² = k q / (r + x ² 0-6 / x ² = 8 0-6 / (r + x ² (r + x ² / x ² = 4 (r + x / x = ±, άρα(r + x / x = r + x = x x = r = 6 m, δεκτή και (r + x / x = r + x = x 3 x = r x = r / 3 x = m, σημείο ανάμεσα στα Α και Β που απορρίπτεται γιατί στο σημείο αυτό η ένταση δεν μπορεί να μηδενιστεί (τα διανύσματα απλά έχουν το ίδιο μέτρο, αλλά έχουν και ίδια φορά, η συνισταμένη τους δεν είναι μηδέν Το έργο της δύναμης Coulomb για το φορτίο q από το Λ στο Κ :W F, Λ Κ = q V ΛK F, Λ Κ = q (V Λ V K, το V K Υπολογίζουμε το δυναμικό στο σημείο Λ V Λ = V Λ, + V Λ, Λ = k q / x + k q / (r + x 3 0 5 + 6 0 5 V Λ = 3 0 5 Volt Λ = 9 0 9 (- 0-6 / (6 0 - + 9 0 9 8 0-6 / ( 0 - Λ = Επομένως :W F, Λ Κ = q V Λ W F, Λ Κ -6 3 05 F, Λ Κ = 3 0 - W F, Λ Κ,3 joule 5
ΑΣΚΗΣΗ 6 Σε ένα σημείο Α, που απέχει απόσταση r από ακίνητο θετικό σημειακό φορτίο Q, η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου που δημιουργεί το φορτίο Q έχει τιμή E A = 36 0 5 Ν / C Να σχεδιάσετε τις δυναμικές γραμμές του ηλεκτρικού πεδίου του φορτίου Q και να υπολογίσετε τη δύναμη που θα δεχτεί σημειακό φορτίο q -6 C, αν το τοποθετήσουμε στο σημείο Α Δ Να υπολογίσετε τη τιμή του φορτίου Q το οποίο δημιουργεί το πεδίο, αν γνωρίζετε ότι το δυναμικό στο σημείο Α είναι V A = 36 0 4 V Το φορτίο q μετακινείται από τη θέση Α στη θέση Β, η οποία απέχει κατά r = r από το Q Να υπολογίσετε τη τιμή της δύναμης που δέχεται το q στη νέα θέση Β από το ηλεκτρικό πεδίο Να υπολογίσετε το έργο της δύναμης του ηλεκτρικού πεδίου κατά τη μεταφορά του q από το Α στο Β Δίνεται η τιμή της σταθεράς k = 9 0 9 N m / C Οι δυναμικές γραμμές έχουν την μορφή του σχήματος γιατί το Q είναι θετικό (αφού το δυναμικό είναι θετικό κάτι που όμως δίνεται στο επόμενο ερώτημα H ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στο σημείο Α, ορίζεται : Ε Α = F / q F = q Ε Α F -6 36 0 5 F = 36 0 - N Δ H ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στο σημείο Α : Ε Α = k Q / r Α ² To δυναμικό στο σημείο Α : V Α = k Q / r Α Διαιρούμε τις παραπάνω σχέσεις κατά μέλη : V Α = (k Q / r Α / (k Q / r Α ² V Α = r Α r Α = 36 0 4 / (36 0 5 r Α - m Άρα :V Α = k Q / r Α Q = V Α r Α / k Q = 36 0 4 0 - / (9 0 9 Q = 4 0-6 C To φορτίο Q είναι θετικό, αφού το δυναμικό έχει θετική τιμή Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στη νέα θέση Β με r Β = r Α Ε Β = k Q / r Β ² Ε Β = k Q / ( r Α ² Άρα το πηλίκο Ε Β :Ε Β = [k Q / ( r Α ²] / [k Q / r Α ²] Ε Β = / 4 Ε Β = Ε Α / 4 4 Ε Β = 9 0 5 Ν / C Β = 36 0 5 / Η δύναμη Coulomb σε σχέση με την ένταση :Ε Β = F / q F = q Ε Β F -6 9 0 5 F = 9 0 - N Το δυναμικό στη θέση Β :V Β = k Q / r Β V Β = k Q / ( r Α V Β = ½ k Q / r Α V Β = ½ V Α V Β = ½ 36 0 4 Β = 8 0 4 Volt Tο έργο της δύναμης του ηλεκτρικού πεδίου κατά τη μεταφορά του q από το Α στο Β : W F, A B = q (V A V B W F, A B -6 (36 04 8 0 4 F, A B = 8 0 - J 6