جلسه 12 به صورت دنباله اي از,0 1 نمایش داده شده اند در حین محاسبه ممکن است با خطا مواجه شده و یکی از بیت هاي آن. p 1

Σχετικά έγγραφα
جلسه 3 ابتدا نکته اي در مورد عمل توابع بر روي ماتریس ها گفته می شود و در ادامه ي این جلسه اصول مکانیک کوانتمی بیان. d 1. i=0. i=0. λ 2 i v i v i.

جلسه 9 1 مدل جعبه-سیاه یا جستاري. 2 الگوریتم جستجوي Grover 1.2 مسا له 2.2 مقدمات محاسبات کوانتمی (22671) ترم بهار

محاسبه ی برآیند بردارها به روش تحلیلی

جلسه 2 1 فضاي برداري محاسبات کوانتمی (22671) ترم بهار

جلسه 16 نظریه اطلاعات کوانتمی 1 ترم پاییز

جلسه 15 1 اثر و اثر جزي ی نظریه ي اطلاعات کوانتومی 1 ترم پاي یز جدایی پذیر باشد یعنی:

جلسه 14 را نیز تعریف کرد. عملگري که به دنبال آن هستیم باید ماتریس چگالی مربوط به یک توزیع را به ماتریس چگالی مربوط به توزیع حاشیه اي آن ببرد.

جلسه 22 1 نامساویهایی در مورد اثر ماتریس ها تي وري اطلاعات کوانتومی ترم پاییز

روش محاسبه ی توان منابع جریان و منابع ولتاژ

جلسه 28. فرض کنید که m نسخه مستقل یک حالت محض دلخواه

محاسبات کوانتمی 1 علم ساخت و استفاده از کامپیوتري است که بر پایه ي اصول مکانیک کوانتم قرار گرفته است.

جلسه 2 جهت تعریف یک فضاي برداري نیازمند یک میدان 2 هستیم. یک میدان مجموعه اي از اعداد یا اسکالر ها به همراه اعمال

مثال( مساله الپالس در ناحیه داده شده را حل کنید. u(x,0)=f(x) f(x) حل: به کمک جداسازی متغیرها: ثابت = k. u(x,y)=x(x)y(y) X"Y=-XY" X" X" kx = 0

جلسه ی ۱۰: الگوریتم مرتب سازی سریع

تحلیل مدار به روش جریان حلقه

آزمایش 8: تقویت کننده عملیاتی 2

مفاهیم ولتاژ افت ولتاژ و اختالف پتانسیل

1) { } 6) {, } {{, }} 2) {{ }} 7 ) { } 3) { } { } 8) { } 4) {{, }} 9) { } { }

هو الحق دانشکده ي مهندسی کامپیوتر جلسه هفتم

جلسه ی ۵: حل روابط بازگشتی

جلسه دوم سوم چهارم: مقدمه اي بر نظریه میدان

قاعده زنجیره ای برای مشتقات جزي ی (حالت اول) :

مدار معادل تونن و نورتن

جلسه 23 1 تابع آنتروپی و خاصیت مقعر بودن نظریه اطلاعات کوانتمی 1 ترم پاییز

آزمون مقایسه میانگین های دو جامعه )نمونه های بزرگ(

تخمین با معیار مربع خطا: حالت صفر: X: مکان هواپیما بدون مشاهده X را تخمین بزنیم. بهترین تخمین مقداری است که متوسط مربع خطا مینیمم باشد:

جلسه ی ۲۴: ماشین تورینگ

دانشکده ی علوم ریاضی جلسه ی ۵: چند مثال

سايت ويژه رياضيات درسنامه ها و جزوه هاي دروس رياضيات

ویرایشسال 95 شیمیمعدنی تقارن رضافالحتی

تحلیل الگوریتم پیدا کردن ماکزیمم

هندسه تحلیلی بردارها در فضای R

جلسه ی ۳: نزدیک ترین زوج نقاط

عنوان: رمزگذاري جستجوپذیر متقارن پویا

فصل پنجم زبان های فارغ از متن

تصاویر استریوگرافی.

دبیرستان غیر دولتی موحد

آزمایش 1: پاسخ فرکانسی تقویتکننده امیتر مشترك

ﯽﺳﻮﻃ ﺮﯿﺼﻧ ﻪﺟاﻮﺧ ﯽﺘﻌﻨﺻ هﺎﮕﺸﻧاد

تمرینات درس ریاض عموم ٢. r(t) = (a cos t, b sin t), ٠ t ٢π. cos ٢ t sin tdt = ka۴. x = ١ ka ۴. m ٣ = ٢a. κds باشد. حاصل x٢

تئوری جامع ماشین بخش سوم جهت سادگی بحث یک ماشین سنکرون دو قطبی از نوع قطب برجسته مطالعه میشود.

جلسه ی ۴: تحلیل مجانبی الگوریتم ها

تمرین اول درس کامپایلر

همبستگی و رگرسیون در این مبحث هدف بررسی وجود یک رابطه بین دو یا چند متغیر می باشد لذا هدف اصلی این است که آیا بین

Angle Resolved Photoemission Spectroscopy (ARPES)

معادلهی مشخصه(کمکی) آن است. در اینجا سه وضعیت متفاوت برای ریشههای معادله مشخصه رخ میدهد:

فعالیت = ) ( )10 6 ( 8 = )-4( 3 * )-5( 3 = ) ( ) ( )-36( = m n m+ m n. m m m. m n mn

جلسه ی ۱۸: درهم سازی سرتاسری - درخت جست و جوی دودویی

فصل چهارم : مولتی ویبراتورهای ترانزیستوری مقدمه: فیدبک مثبت

سلسله مزاتب سبان مقدمه فصل : زبان های فارغ از متن زبان های منظم

تلفات خط انتقال ابررسی یک شبکة قدرت با 2 به شبکة شکل زیر توجه کنید. ژنراتور فرضیات شبکه: میباشد. تلفات خط انتقال با مربع توان انتقالی متناسب

هدف از این آزمایش آشنایی با رفتار فرکانسی مدارهاي مرتبه اول نحوه تأثیر مقادیر عناصر در این رفتار مشاهده پاسخ دامنه

فهرست جزوه ی فصل دوم مدارهای الکتریکی ( بردارها(

به نام خدا. الف( توضیح دهید چرا از این تکنیک استفاده میشود چرا تحلیل را روی کل سیگنال x[n] انجام نمیدهیم

فهرست مطالب جزوه ی فصل اول مدارهای الکتریکی مفاهیم ولتاژ افت ولتاژ و اختالف پتانسیل تحلیل مدار به روش جریان حلقه... 22

Ali Karimpour Associate Professor Ferdowsi University of Mashhad. Reference: Chi-Tsong Chen, Linear System Theory and Design, 1999.

مود لصف یسدنه یاه لیدبت

بسم اهلل الرحمن الرحیم آزمایشگاه فیزیک )2( shimiomd

نظریه زبان ها و ماشین ها

دانشکده علوم ریاضی دانشگاه گیلان آزمون پایان ترم درس: هندسه منیفلد 1 باشد. دهید.f (gx) = (gof 1 )f X شده باشند سوالات بخش میان ترم

1 دایره فصل او ل کاربردهای بسیاری داشته است. یک قضیۀ بنیادی در هندسه موسوم با محیط ثابت دایره دارای بیشترین مساحت است. این موضوع در طراحی

فصل 5 :اصل گسترش و اعداد فازی

خالصه درس: نویسنده:مینا سلیمان گندمی و هاجر کشاورز امید ریاضی شرطی. استقالل متغیر های تصادفی پیوسته x و y استقالل و امید ریاضی

:موس لصف یسدنه یاه لکش رد یلوط طباور

Top Down Parsing LL(1) Narges S. Bathaeian

CD = AB, BC = ٢DA, BCD = ٣٠ الاضلاع است.

ˆ ˆ ˆ. r A. Axyz ( ) ( Axyz. r r r ( )

فصل چهارم تعیین موقعیت و امتدادهای مبنا

راهنمای کاربری موتور بنزینی )سیکل اتو(

آموزش SPSS مقدماتی و پیشرفته مدیریت آمار و فناوری اطالعات -

جلسه ی ۱۱: درخت دودویی هرم

2/13/2015 حمیدرضا پوررضا H.R. POURREZA 2 آخرین گام در ساخت یک سیستم ارزیابی آن است

نویسنده: محمدرضا تیموری محمد نصری مدرس: دکتر پرورش خالصۀ موضوع درس سیستم های مینیمم فاز: به نام خدا

فصل چهارم : مولتی ویبراتورهای ترانزیستوری مقدمه: فیدبک مثبت

یدنب هشوخ یاه متیروگلا

فصل دهم: همبستگی و رگرسیون

جریان نامی...

تبدیل ها هندسه سوم دبیرستان ( D با یک و تنها یک عضو از مجموعه Rست که در آن هر عضو مجموعه نگاشت از Dبه R تناظری بین مجموعه های D و Rمتناظر باشد.

مثلث بندی دلونی فصل 9 مژگان صالحی- دی 92 استاد راهنما: جناب آقای دکتر محمد فرشی

ارزیابی بهره وری متقاطع DEA بر پایه بهبود پارتو

شاخصهای پراکندگی دامنهی تغییرات:

ثابت. Clausius - Clapeyran 1

فیلتر کالمن Kalman Filter

هد ف های هفته ششم: 1- اجسام متحرک و ساکن را از هم تشخیص دهد. 2- اندازه مسافت و جا به جایی اجسام متحرک را محاسبه و آن ها را مقایسه کند 3- تندی متوسط

مسائل. 2 = (20)2 (1.96) 2 (5) 2 = 61.5 بنابراین اندازه ی نمونه الزم باید حداقل 62=n باشد.

هدف از انجام این آزمایش بررسی رفتار انواع حالتهاي گذراي مدارهاي مرتبه دومRLC اندازهگيري پارامترهاي مختلف معادله

سینماتیک مستقیم و وارون

باشند و c عددی ثابت باشد آنگاه تابع های زیر نیز در a پیوسته اند. به شرطی که g(a) 0 f g

ﻞﻜﺷ V لﺎﺼﺗا ﺎﻳ زﺎﺑ ﺚﻠﺜﻣ لﺎﺼﺗا هﺎﮕﺸﻧاد نﺎﺷﺎﻛ / دﻮﺷ

به نام ستاره آفرین قضیه ویریال جنبشی کل ذرات یک سیستم پایدار مقید به نیرو های پایستار را به متوسط انرژی پتانسیل کل شان


هر عملگرجبر رابطه ای روی يک يا دو رابطه به عنوان ورودی عمل کرده و يک رابطه جديد را به عنوان نتيجه توليد می کنند.

پروژه یازدهم: ماشین هاي بردار پشتیبان

Delaunay Triangulations محیا بهلولی پاییز 93

حفاظت مقایسه فاز خطوط انتقال جبرانشده سري.

فصل اول پیچیدگی زمانی و مرتبه اجرایی

به نام حضرت دوست. Downloaded from: درسنامه

فصل سوم جریان های الکتریکی و مدارهای جریان مستقیم جریان الکتریکی

مینامند یا میگویند α یک صفر تابع

نحوه سیم بندي استاتورآلترناتور

Transcript:

محاسبات کوانتمی (67) ترم بهار 390-39 مدرس: سلمان ابوالفتح بیگی نویسنده: سلمان ابوالفتح بیگی جلسه ذخیره پردازش و انتقال اطلاعات در دنیاي واقعی همواره در حضور خطا انجام می شود. مثلا اطلاعات کلاسیکی که به صورت دنباله اي از,0 نمایش داده شده اند در حین محاسبه ممکن است با خطا مواجه شده و یکی از بیت هاي آن تغییر کند. اگر احتمال تغییر هر بیت را p در نظر بگیریم خطا با «کانال» زیر نمایش داده می شود: 0 p p p p 0 در نتیجه اگر اطلاعات ذخیره شده 0 باشد با احتمال (p )p به 00 تبدیل و با احتمال (p 3 ) هیچ تغییري نمی کند. حال فرض کنید که براي ذخیره ي اطلاعات از «کد تکرار «استفاده کرده و بیت 0 را با 000 و بیت را با ذخیره کنیم 0 000 به هر یک از 000 و یک کلمه کد 3 گویند. در این مثال اطلاعات 0 به صورت 000 ذخیره می شود. حال فرض کنید که مثلا روي بیت اول خطا ایجاد شده و به 00 تبدیل شود. در این صورت با نگاه کردن به سه بیت اول متوجه می شویم که آنها یکسان نیستند و لذا روي حداقل یکی از آنها خطا به وجود آمده. همچنین با فرض اینکه خطا فقط روي یک بیت ایجاد شده نتیجه می گیریم که بیت اول تغییر کرده و می توانیم آن را تصحیح کنیم. در این مثال سه مرحله را در نظر گرفتیم. ابتدا «کد گذاري» که مشخص کردیم هر بیت 0 یا چگونه ذخیره می شود. قدم دوم مدل کردن نوع خطایی (کانالی) است که روي اطلاعات ذخیره شده ایجاد می شود. در انتها مرحله ي «کد برداري «4 است که روشی است براي تصحیح خطا. Noise Repetition code 3 Codeword 4 Decoding

در بالا مثالی از نحوه ي کدگذاري و کانال را معرفی کردیم. در این مثال الگوریتم ما براي کدبرداري به این صورت خواهد بود که سه بیت متناظر با هر بیت از اطلاعات را درنظر می گیریم. از این سه بیت حداقل دو بیت یکسان هستند و بیت سوم را (در صورت تفاوت) تصحیح کرده و برابر با آن دو بیت قرار می دهیم. مثلا با مشاهده ي 00 آن را به 000 تغییر می دهیم. در این مثال احتمال خطا روي هر بیت از اطلاعات قبل از کد گذاري p بود. بعد از کد گذاري الگوریتم کد برداري ما دچار اشتباه می شود اگر یا 3 خطا ایجاد شود. پس احتمال اشتباه در کدبرداري برابر است با )3p (p + p 3 که اکیدا کوچکتر از p است (اگر < / p). در حالت کلی تر اگر هر بیت را با + m n = بیت یکسان کد کنیم و l m+ کدبرداري مشابهی را در نظر بگیریم احتمال خطا برابر خواهد بود با ( ) n p l ( p) n l l که به 0 میل می کند وقتی n یعنی طول کد به سمت بینهایت برود. بهینه بودن یک کد با سه پارامتر مشخص می شود. یکی k تعداد بیت هایی است که کد می شود. در مثال بالا = k بود چون فقط یک بیت را کد می کنیم. دوم n طول کد است و برابر با طول هر یک از کلمه کد ها. در آخر d فاصله ي کد 5 است. در کد تکرار d = n زیرا تعداد بیت هاي متفاوت دو کلمه کد. 0.. 00 و... برابر n است. یک کد کلاسیک با [d,n],k نشان داده می شود. کدهاي کوانتمی بعد از الگوریتم تجزیه ي شور عده اي اعتقاد داشتند که این الگوریتم هیچ گاه قابل پیاده سازي نیست. آنها استدلال می کردند که کد کوانتمی وجود ندارد پس خطاهایی که در دنیاي واقعی در حین پیاده سازي الگوریتم ایجاد می شوند را نمی توان تصحیح کرد. استدلال آنها براي انکار وجود کد کوانتمی سه محور اصلی داشت. نخست اینکه طبق قضیه ي no cloning اطلاعات کوانتمی را نمی توان کپی کرد. براي مثال در کد کلاسیک تکرار هر بیت را n بار کپی می کنیم ولی کپی کردن کیوبیت ها امکان پذیر نیست. دوم اینکه خطاهاي کوانتمی پیوسته هستند. در دنیاي کلاسیک خطاهایی که روي یک (یا چند بیت) ایجاد می شود مجموعه اي گسسته و متناهی تشکیل می دهند ولی در دنیاي کوانتمی دینامیک هاي کوانتمی (که مجموعه اي پیوسته و نامتناهی تشکیل می دهند) را می توان به عنوان یک خطا در نظر گرفت. سوم اینکه براي تصحیح خطا (کد برداري) یک سیستم کوانتمی ابتدا باید اندازه گیري انجام داد ولی این اندازه گیري باعث تغییر حالت 6 سیستم می شود و اطلاعات را از بین می برد. با وجود این استدلال ها اولین کد کوانتمی در سال 995 کشف شد. بررسی کد هاي کوانتمی را با مثال هایی ساده شروع می کنیم. خطاي کوانتمی در واقع یک دینامیک کوانتمی است پس با یک نگاشت کاملا مثبت و حافظ اثر مشخص می شود. X را ماتریس پاولی بگیرید 5 Code distance 6 Collapse X = ( ) 0 0

و خطا را برابر E(ρ) = ) p)ρ + pxρx قرار دهید. این نگاشت را می توان به این صورت تعبیر کرد که روي ورودي ρ با احتمال p خطاي X رخ می دهد و با احتمال (p ) هیچ خطایی ایجاد نمی شود. توجه کنید که = 0 X و 0 = X پس این خطا معادل کوانتمی خطاي کلاسیکی است که در بالا در نظر گرفتیم. حال با مشخص کردن خطا قدم بعد مشخص کردن نحوه ي کدگذاري و کدبرداري است. براي کدگذاري معادل کوانتمی کد تکرار را در نظر می گیریم: 0 000,. () با این کدگذاري فضاي دو بعدي یک کیوبیت به زیر فضایی دو بعدي از فضاي هشت بعدي متناظر با سه کیوبیت نگاشته می شود. در واقع حالت β 0 α + به حالت β 000 α + کد می شود. مدار زیر نحوه ي کدگذاري را مشخص می کند. α 0 + β } 0 0 α 000 + β حال باید کدبرداري را معرفی کنیم. در کدبرداري ابتدا باید «اندازه گیري» انجام دهیم. این اندازه گیري مشخص می کند که آیا روي اطلاعات ما خطا رخ داده یا نه. بعد اگر خطا رخ داده بود باید آن را تصحیح کرد. به این اندازه گیري اصطلاحا syndrome measurement گویند. در این مثال خاص اندازه گیري متناظر همانند همان اندازه گیري کد کلاسیک تکرار است: P 0 = 000 000 +, P = 00 00 + 0 0, P = 00 00 + 0 0, P 3 = 00 00 + 0 0. توجه کنید که P. 0 + P + P + P 3 = I اگر حاصل اندازه گیري P 0 باشد فرض می کنیم که هیچ خطایی رخ نداده و اگر حاصل اندازه گیري P i باشد (3 i ) فرض می کنیم که خطاي X روي کیوبیت i -ام رخ داده که با اعمال عملگر X روي آن کیوبیت خطا را تصحیح می کنیم. نگاشت کوانتمی متناظر با این کدبرداري برابر است با R(σ) = P 0 σp 0 + X P σp X + X P σp X + X 3 P 3 σp 3 X 3, که در آن منظور از X i عملگر X است که روي کیوبیت i -ام اثر می کند (براي مثال X). = I X I 3

به راحتی می توان دید که این کد کوانتمی همانند کد کلاسیک تکرار عمل می کند. به این معنا که قبل از کدگذاري احتمال خطا p بود و بعد از آن برابر )3p (p + p 3 می شود. این کد کوانتمی خاص قابلیت تصحیح خطاي X روي یک کیوبیت را دارد. ولی خطاي Z ( ) 0 Z = 0 را نیز می توان به عنوان یک خطا کوانتمی در نظر گرفت. مثلا فرض کنید که روي کیوبیت اول خطاي Z رخ دهد. اگر حالت سیستم بعد از کدگذاري β 000 α + باشد پس از ایجاد خطا حالت β 000 α خواهد شد. این حالت متناظر با کد شده ي حالت β 0 α نیز هست. حال با مشاهده ي (اندازه گیري) این حالت ما نمی توانیم تشخیص دهیم که حالت سیستم قبل از کدگذاري β 0 α + بوده که روي آن خطا ایجاد شده و یا β 0 α بوده و خطایی رخ نداده. پس این کد خطاي Z را تصحیح نمی کند. گرچه کد بالا خطاي Z را تصحیح نمی کند اگر کانال متناظر با خطا برابر E(ρ) = ) p)ρ + pzρz بود می توانستیم از کد α 0 + β α + ++ + β () = ±. به راحتی می توان کدبرداري متناظر را نیز تعریف و بررسی کرد که این استفاده کنیم که در آن ( ± 0 ) کد خطاي Z که روي یک کیوبیت رخ داده را تصحیح می کند. کد شور سو الی که در اینجا پیش می آید این است که آیا کدي وجود دارد که هم خطاي X را تصحیح کند و هم خطاي Z را. کد شور 7 کدي است 9 کیوبیتی که «هر» خطایی (شامل خطاي X و Z) که روي یک کیوبیت رخ دهد را تصحیح می کند. نحوه ي کدگذاري کد شور به صورت زیر است: 0 (( 000 + ) ( 000 + ) ( 000 + )), (( 000 ) ( 000 ) ( 000 )). توجه کنید که این کد به این صورت بدست می آید که ابتدا یک کیوبیت را با کد () کد می کنیم و یک حالت سه-کیوبیتی بدست می آوریم. سپس هر یک از سه کیوبیت را با کد () کد می کنیم. از آنجا که هر یک از کدهاي () و () می تواند به ترتیب خطاي X یا Z را تصحیح کند می توان نتیجه کرد که کد شور خطاي X و Z هر دو را تصحیح می کند. نکته ي نابدیهی این است که این کد نه تنها این دو خطا بلکه هر خطاي دیگري که روي یک کیوبیت رخ دهد را نیز تصحیح می کند. این ادعا را در جلسات آینده ثابت می کنیم. 7 Shor s code 4

3 قضیه ي کنیل-لافلامه فرض کنید بخواهیم k کیوبیت را در n کیوبیت کد کنیم. فضاي هیلبرت متناظر با k کیوبیت یک فضاي برداري k بعدي است با پایه ي متعامد یکه ي } k x }. : x,0} { براي کدگذاري باید متناظر با هر یک از حالات x یک حالت n -کیوبیتی x ψ نسبت دهیم. از آنجا که حالات x متعامد یکه هستند انتظار داریم x ψ ها نیز متعامد یکه باشند. اگر W را زیر فضاي برداري پوشیده شده با بردارهاي x ψ بگیریم W را زیر فضاي کد گویند و P = ψ x ψ x x {0,} k عملگر تصویر عمود روي این زیرفضاست و داریم.dim W = trp = k خطاي کوانتمی در حالت کلی متناظر با یک نگاشت کاملا مثبت و حافظ اثر است: E(ρ) = i E i ρe i که در آن i E i E i = I. همچنین عمل کدبرداي و تصحیح خطا نیز در حالت کلی متناظر با یک نگاشت کوانتمی است: R(ρ) = l R l ρr l که l R l R l = I. تعریف: کد P خطاي E را تصحیح می کند اگر R وجود داشته باشد به طوري که براي هر ψ W R E( ψ ψ ) = ψ ψ. به طور معادل خطاي E توسط R قابل تصحیح است اگر براي هر ρ داشته باشیم:. R E(P ρp ) = P ρp قضیه: کد P تحت خطاي E قابل تصحیح است اگر و فقط اگر براي هر,i j وجود داشته باشد α ij C به طوري که P E i E jp = α ij P. (3) در مثال کد () W برابر زیرفضاي تولید شده توسط {, 000 } است و + 000 000 = P. همچنین E(ρ) = q X ρx + q X ρx + q 3 X 3 ρx 3 که در آن > 0 i q و = i i q. یعنی با احتمال q i خطاي X روي کیوبیت i -ام رخ می دهد. پس E i X i و داریم. P X i X jp = δ ij P درنتیجه شرط قضیه برقرار 5

است و خطاي E قابل تصحیح است. اثبات: داریم ( ) اگر R وجود داشته باشد به طوري که براي هر ψ W داشته باشیم ψ ψ R E( ψ ψ ) = ) ψ ψ = l R l ( i E i ψ ψ E i R l = i,l R l E i ψ ψ E i R l. در نتیجه براي هر,i l داریم ψ R l E i ضریبی از ψ است. (سمت چپ یک عملگر با رتبه ي یک است پس سمت راست نیز باید رتبه ي یک داشته باشد.) در واقع از آنجا که این رابطه براي هر ψ W برقرار است و ψ P ψ = می توان نتیجه گرفت که براي هر i, l وجود دارد c il به طوري که.R l E i P = c il P حال داریم P E i E jp = l = l P E i R l R le j P (R l E i P ) (R l E j P ) = (c il P ) (c jl P ) l ( ) = c il c jl P, l که در اینجا از رابطه ي l R l R l = I استفاده کردیم. ( ) فرض کنید α ij وجود داشته باشد به طوري که P E i E jp = α ij P و α را ماتریسی بگیرید که درایه ي (j,i) آن برابر α ij باشد. به راحتی می توان بررسی کرد که α هرمیتی و مثبت نیمه معین است. در نتیجه ماتریس یکانی ) ik u = u) وجود دارد به طوري که d = u αu قطري باشد با درایه هاي 0 ii d روي قطر. توجه کنید که P = P = i P E i E ip = i α ii P. F k = i u ik E i. بنابراین =.trα تعریف کنید k F kρf k = i E iρe i. همچنین داریم با توجه به یکانی بودن u می توان بررسی کرد که E(ρ) = P F k F lp = i,j u ik u jlp E i E jp = i,j u ik u jlα ij P = d kl P = δ k,l d kk P. 6

در نتیجه (F k P ) (F k P ) = d kk P و با در نظر گرفتن singular value decomposition عملگر F k P نتیجه می گیریم F k P = d kk U k P. که عملگر یکانی U k وجود دارد به طوري که = k.p k := U k P U داریم dkk F k P U k قرار دهید P k P l = P k P l = U k P F k dkk d F lp U l = δ d k,l kk U k P U l ll dkk d = δ k,lp k. ll پس Pها k عملگر هاي تصویر دو به دو عمود بر هم هستند. لذا Pها k به همراه P 0 = I k P k یک اندازه گیري تصویري تشکیل می دهند. در کدبرداري می خواهیم این اندازه گیري را به عنوان syndrome measurement در نظر بگیریم. در واقع ابتدا این اندازه گیري را انجام می دهیم اگر حاصل اندازه گیري P k شد براي تصحیح خطا عملگر U k را اعمال می کنیم (در اینجا قرار می دهیم U). 0 = I در نتیجه نگاشت کوانتمی متناظر برابر است با R(ρ) = k U k P kρp k U k. واضح است که R یک نگاشت کاملا مثبت و حافظ اثر است. R E(P ρp ) = k U k P ke(p ρp )P k U k = k,l U k P kf l P ρp F l P ku k = k,l d ll U k P kp l U l ρu l P lp k U k = k = k d kk U k P ku k ρu k P ku k d kk P ρp = tr(α)p ρp = P ρp. 7