2 η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ

η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 00 1. Σφαίρα µάζας m=k προσκρούει µε κατακόρυφη ταχύτητα u 1 =10m/s σε οριζόντιο δάπεδο και αναπηδά µε ταχύτητα u =6m/s. Η διάρκεια επαφής της σφαίρας µε το δάπεδο είναι t=0.1s. Να υπολογιστεί α) η µεταβολή της ορµής της σφαίρας και β) η µέση δύναµη, που δέχεται η σφαίρα από το δάπεδο. ( ίνεται =10m/s ). Λύση α) Λόγω του νόµου της διατήρησης της ορµής θα έχουµε Ρ=Ρ 1 Ρ. Σχεδιάζουµε τα διανύσµατα Ρ 1 και Ρ και η σχέση γράφεται Ρ= Ρ (+Ρ 1 )= mu mu 1 = 3Km/s. Το αρνητικό πρόσηµο δηλώνει ότι η Ρ είναι αντίθετη της φοράς του Ρ 1 (την οποία θεωρήσαµε θετική). β) Στη διάρκεια επαφής της µε το δάπεδο, η σφαίρα δέχεται µια µέση δύναµη από το δάπεδο T (F =m είναι η δύναµη βαρύτητας), οπότε F = F + T F = F T. dp 3Km/s Ισχύει ότι F = F= = 3 dt 0.1s T = F F = 10 ( 30) = 30 N. 0N. Εποµένως, η µέση δύναµη. Με ποιο τρόπο θα µπορέσει να κινηθεί ένας άνθρωπος, που βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο; Θα πρέπει να ρίξει ένα σώµα που κρατά, σε κατεύθυνση αντίθετη από εκείνη που θέλει να κινηθεί. Τοτε, για το µονωµένο σύστηµα άνθρωπος σώµα θα ισχύει η αρχή διατήρηση της ορµής Ρ αρχ Ρ τελ =0 mτελuτελ m αρχ u αρχ m τελ u τελ =0 uαρχ =. m αρχ 3. Σώµα εκτοξεύεται ως προς την κλίση κεκλιµένου επιπέδου γωνίας φ=5 ο και µε ταχύτητα u 0 =15m/s. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης είναι µ=0.8, να υπολογισθεί α) το διάστηµα s, που θα διανύσει το σώµα ανεβαίνοντας και β) το µέτρο της ταχύτητας u µε την οποία θα διέλθει το σώµα από το σηµείο βολής. ( ίνονται =10m/s, ο συντελεστής στατικής τριβής είναι µ στ =0.9). α) Αρχικά το σώµα βρίσκεται στη θέση Α. Υποθέτουµε ότι µετά την εκτόξευση, το σώµα θα φθάσει στην ανώτερη θέση Γ. Από το θεώρηµα της µεταβολής της κινητικής ενέργειας έχουµε ότι: Κ(Γ) Κ(Α)=W F +W T +W N, (1) όπου W F(//) = ms sinφ και W F( ) = 0, W T = Τ s= µn s= µmcosφ s και W N =0 επειδή N s. 1 Κ(Γ) =0 και K( A) = mu 0 (). Αν αντικαταστήσω τη σχέση () στην (1) προκύπτει

1 mu0 ms sin ms cos = φ µ φ u0 5 s = = = 8.8m. (sinφ + µ cos φ) 0(0.707 + 0.8 0.707) β) Κατεβαίνοντας το σώµα από το σηµείο Γ προς το Α θα ισχύει αναλογικά Κ (Α) Κ (Γ)=W F +W T+W N, (3) 1 mu 0 ms sin ms cos = φ µ φ u = s(sinφ µ cos φ) = 0 8.8(0.707 0.8 0.707) = 5m/s. Παρατήρηση: για να µπορέσει να κατέβει το σώµα θα πρέπει F (//) >T max όπου ή T max είναι η δύναµη τριβής µε φορά αντίθετη προς την κίνηση του σώµατος. Προκύπτει η ανισότητα msinφ>µ σ mcosφ ή tanφ>µ σ, η οποία πράγµατι ισχύει επειδή tanφ=tan5=1 και µ σ =0.9.. Σφαιρίδιο που αιωρείται από λεπτό και αβαρές νήµα ηρεµεί αρχικά στη θέση Α. Φέρεται στη θέση Γ και αφήνεται ελεύθερο. Να υπολογιστεί η ταχύτητα του σφαιριδίου και η τάση του νήµατος τη στιγµή που διέρχεται για πρώτη φορά από τη θέση Α. ( ίνονται m=1k, =10m/s, L=1m, φ=5 ο ). Θεωρούµε το επίπεδο που βρίσκεται το σηµείο Α ως επίπεδο µηδενικής δυναµικής ενέργειας. Λόγω της διατήρησης της µηχανικής ενέργειας θα πρέπει Ε(Γ)=Ε(Α) Κ(Γ)+U(Γ)=Κ(Α)+U(Α) ή 1 0+ mh = mu + 0 u = h. Επειδή h=l Lcosφ προκύπτει τελικά ότι u = L(1 cos φ) = u = 101(1 cos5) =.m/s. Όταν το σφαιρίδιο εκτελεί προσεγγιστικά κυκλική κίνηση, εποµένως η συνισταµένη ακτινικών δυνάµεων θα είναι η κεντροµόλος δύναµη. Στο σηµείο Α θα ισχύει ότι mu mu mu F = T F = T = m+ L L L 15.86 T = 110 + = 15.86N. 1 5. Βόµβα είναι ακίνητη σε λείο οριζόντιο επίπεδο και κάποια στιγµή εκρήγνυται σε τρία κοµµάτια. Τα δυο κοµµάτια µε µάζες m 1 =K και m =3K κινούνται σε κάθετες µεταξύ τους διευθύνσεις µε ταχύτητες µέτρων u 1 =0m/s και u =0m/s αντίστοιχα. Αν το τρίτο κοµµάτι έχει µάζα m 3 =5K, να υπολογιστεί το µέτρο και η κατεύθυνση της ταχύτητάς του. Από την αρχή της διατήρησης της ορµής προκύπτει ότι J ολ =σταθ. J πριν =J µετα. Αλλά J πριν =0, ενώ για το σύστηµα των τριών σωµάτων ισχύει J µετα =J 1 +J +J 3 =0, όπου J 1 =m 1 u 1 = 0=80Km/s και J =m u =3 0=60Km/s. Για το σύστηµα των δυο σωµάτων m 1 και m ισχύει J1, = J1 + J = 600 + 3600 = 100Km/s

J1 80 και tanφ = = = 1.33 ή φ=53 ο 8. Για το σύστηµα δυο σώµατα τρίτο σώµα ισχύει J 3 +J 1, =0, άρα J 60 J3 100 J 3 =100Km/s J3 = m3u3 u3 = = = 0m/s. m 5 3 6. ύο τροχοί µε ακτίνες R 1 = 0.5m και R = 0.5m συνδέονται µε ιµάντα. Αν ο µικρός τροχός συνδεθεί µε κινητήρα που τον περιστρέφει µε συχνότητα 10 στροφές το λεπτό, να βρεθεί η συχνότητα περιστροφής του µεγάλου τροχού. στρ στρ στρ Κατ αρχήν, έχουµε: f 1 = 10 = 10 = = Hz. Αφού οι δύο τροχοί συνδέονται µε ιµάντα, τα σηµεία της περιφέρειάς τους θα κινούνται µε κοινή γραµµική ταχύτητα. min 60s s Έτσι, R 0.5 υ1 = υ πrf = = = Hz = 1Hz (60 στροφές το λεπτό). 0.5 1 1 1 πrf f f1 R 7. Ένα σώµα βάλλεται από το έδαφος µε γωνία φ ως προς τον ορίζοντα και αρχική ταχύτητα υ 0. Το Α είναι το υψηλότερο σηµείο της τροχιάς του, ενώ τα σηµεία Β και Γ βρίσκονται στο ίδιο ύ- ψος (χαµηλότερα του Α). Το σώµα προσκρούει στο έδαφος στο σηµείο. Ποιές από τις ακόλουθες προτάσεις είναι σωστές: (α) Η ταχύτητα στο Α είναι µηδέν. (β) Η κεντροµόλος επιτάχυνση στο Α είναι. (γ) Η ταχύτητα στο σηµείο Β είναι ίση µε αυτή στο σηµείο Γ. (δ) Η οριζόντια συνιστώσα της ταχύτητας στο σηµείο Β είναι ίση µε την αντίστοιχη συνιστώσα της ταχύτητας στο σηµείο. (ε) Οι κατακόρυφες συνιστώσες της ταχύτητας στα σηµεία Β και Γ είναι ίσες. (στ) Η ολική ενέργεια του σώµατος στο σηµείο Α είναι ίση µε την κινητική ενέργεια του σώµατος στο σηµείο. (α) Λάθος: Η ταχύτητα στο Α δεν είναι µηδέν αλλά ίση µε τη σταθερή οριζόντια συνιστώσα της αρχικής ταχύτητας. (β) Σωστό: Η κεντροµόλος επιτάχυνση είναι κάθετη στη διεύθυνση της ταχύτητας και επειδή στο Α η ταχύτητα έχει µόνο οριζόντια συνιστώσα, η κεντροµόλος επιτάχυνση ισούται µε. (γ) Λάθος: Το µέτρο της ταχύτητας στα σηµεία Β και Γ είναι το ίδιο, αλλά η διεύθυνση της ταχύτητας είναι διαφορετική. (δ) Σωστό: Η οριζόντια συνιστώσα της ταχύτητας δε µεταβάλλεται. (ε) Λάθος: Το µέτρο της κατακόρυφης συνιστώσας της ταχύτητας στα σηµεία Β και Γ είναι το ίδιο, αλλά η διεύθυνση του διανύσµατος είναι διαφορετική. (στ) Σωστό: Η ολική ενέργεια στο σηµείο Α είναι ίση µε την ολική ενέργεια στο σηµείο, όπου η δυναµική ενέργεια του σώµατος είναι µηδέν. 3 8. Υλικό σηµείο κινείται στον άξονα Ox υπό την επίδραση δύναµης F= kx όπου x η συντεταγ- µένη του σηµείου. α) Πόσο είναι το έργο της δύναµης µεταξύ των θέσεων x=α και x=β; β) Το έργο τούτο είναι ίσο µε το έργο που παράγεται µεταξύ των θέσεων x=α+λ και x=β+λ; γ) Πόση είναι η δυναµική ενέργεια του σώµατος αν δια x=0 ισχύει U =0;

b b b 3 kx 1 1 α) W 1 = F dx = kx dx = = kb + ka. a a a b+ λ b+ λ b+ λ 3 kx 1 1 β) W = F dx = kx d x = = k( b+ λ) + k( a+ λ) άρα W1 W. a+ λ a+ λ a+ λ x 3 γ) U kx 0 U = F dx = kx dx =. Για x=0, U=0 και U 0 =0 και εποµένως 1 U =+ k x. 0 0 x 9. Πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο βρίσκεται ακίνητη η µάζα =K στην οποία είναι δεµένη η µια άκρη του ελατηρίου σταθεράς k=3n/m. Η µάζα m 1 =K κινείται µε ταχύτητα µέτρου u 1 =30m/s στη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου. Να µελετήσετε την κίνηση των δυο µαζών και να υπολογίσετε τη µέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις Ε (ελ)=f(t), F ελ =f(l) και Ε (ελ)=f(l). Λύση α) Η µάζα m 1 φθάνει στο ελεύθερο άκρο του ελατηρίου µε ταχύτητα u 1 και αρχίζει να το συµπιέζει. Συµπιεσµένο το ελατήριο ασκεί δυνάµεις ίσου µέτρου F ελ =k l. Η µάζα m 1 επιβραδύνεται, όχι οµαλά επειδή η δύναµη F ελ έχει αντίθετη φορά της ταχύτητάς της και είναι µεταβλητή. Η µάζα m επιταχύνεται (όχι οµαλά). Εφόσον u 1 > u, τα δυο σώµατα πλησιάζουν µεταξύ τους και το ελατήριο θα συµπιέζεται. Αφού η u 1 θα ελαττώνεται και η u θα αυξάνει, σε κάποια στιγµή θα γίνουν ίσες. Στη θέση αυτή θα έχουµε τη µέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου. Στην επόµενη ακριβώς στιγµή τα σώµατα αποµακρύνονται µεταξύ τους και το ελατήριο τείνει να αποκτήσει το φυσικό του µήκος. Καθ όλη τη διάρκεια, το σύστηµα µαζών ελατηρίου είναι µονωµένο και ισχύει ο νόµος της διατήρησης της ορµής και της µηχανικής ενέργειας (εφόσον τριβές δεν υπάρχουν). Από τα διαγράµµατα (I) και (II) έχουµε J (I) =J (II) mu + 0 = mu+ m u ή mu 1 1 u = m + m u 1 30 = = 10 m/s. Επίσης έχουµε + (I) Eµ ηχ 1 1 1 = E (II) µ ηχ (I) (I) (I) (I I) (II) (I I) κιν 1 κιν δυν ελ κιν 1 κιν δυν E ( m ) + E ( m ) + E ( ) = E ( m ) + E ( m ) + E ( ελ ) ή

1 mu 1 1 + 0 + 0 = mu 1 + m u + k lmax 1 1 1 1 900 = 100 + 100 + 300 lmax 9 1 lmax = 1.50 = lmax = m. β) Αν τη στιγµή t 1 η µάζα m 1 έρχεται σε επαφή µε το ελατήριο και τη στιγµή t στο ελατήριο έχουµε τη µέγιστη συµπίεση, τότε οι γραφικές παραστάσεις φαίνονται ως εξής. 10. Σε κιβώτιο µάζας m=10k, που ηρεµεί σε οριζόντιο επίπεδο, ασκείται µεταβλητή δύναµη F που έχει σταθερή διεύθυνση και σχηµατίζει µε το επίπεδο γωνία φ=30 ο. Η δύναµη έχει µέτρο που εκφράζεται από τη σχέση F=0+0x από την αρχική θέση του κιβωτίου και x είναι ο οριζόντιος άξονας του επιπέδου. Αν ο συντελεστής τριβής µ=0.1, να υπολογιστεί το έργο W F της δύναµης F και το έργο της δύναµης τριβής W T από την αρχική θέση µέχρι τη θέση που το κιβώτιο χάνει την επαφή του µε το οριζόντιο επίπεδο. ( ίνεται =10m/s ). Το κιβώτιο αρχικά ηρεµεί στη θέση Α. Με την εφαρµογή της δύναµης F και σε µια τυχαία θέση B η δύναµη F αναλύεται σε δυο συνιστώσες F x, F y όπου Fx = F cos φ = (10 + 10 x) 3 και F = F sin φ = (10 + 10 x) [Προσοχή, ο αριθµός 10 δεν είναι αδιάστατο µέγεθος]! Το κιβώτιο θα y χάσει την επαφή του µε το επίπεδο στη θέση C ό- που F y =F (επειδή Ν=0) ή 10+10x=100 x=9m. [Υπόδειξη: οι µονάδες στην προηγούµενη σχέση είναι F y (Ν)=10(N)+10(N/m) x(m)=100(n)]. Για όσο διάστηµα, το κιβώτιο βρίσκεται σε επαφή µε το επίπεδο θα ισχύει: T=µN=µ(F F y ) ή T=0.1(100 10 10x)=9 x. Όταν το κιβώτιο χάσει την επαφή µε το επίπεδο, τότε θα ισχύει T=0 επειδή N=0.

Το έργο που θα έχει καταναλωθεί από τη δύναµη F θα είναι W F =W Fx =εµβαδόνf x (x)= 1 110 3 = 90 3 (9 0) + 10 3(9 0) = (9 0) = 95 3 Joule = 857. Joule (βλέπε Σχήµα a). Το έργο που θα έχει καταναλωθεί από τη δύναµη τριβής Τ θα είναι W Τ = εµβαδόντ(x)= 1 = 9 9 = 0.5Joule (βλέπε Σχήµα b). 11. Σώµα βάλλεται προς τα πάνω κατά µήκος κεκλιµένου επιπέδου γωνίας κλίσης φ=5 ο και µε ταχύτητα u 0 =15m/s. Αν ο συντελεστής ολίσθησης είναι µ=0.8, να υπολογίσετε α) το διάστηµα s που θα διανύσει το σώµα ανεβαίνοντας, β) το µέτρο της ταχύτητας u µε την οποία θα επιστρέψει το σώµα στο σηµείο βολής. ( ίνεται =10m/s ). α) Το σώµα ξεκινά από τη θέση Α και φθάνει στη θέση Γ. Από το θεώρηµα ιατήρησης της Μηχανικής Ενέργειας (Θ ΜΕ) έχουµε (A) (Γ ) ( Γ) ( Α ) M M K K E = E E E = W + W + W, F T N ( ) όπου E Γ (A) 1 K = 0, E K = mu0, W F = W Fx + W Fy = mssin φ + 0, W Fy = 0 επειδή Fy s, W T = T s = µ ms cosφ. Εποµένως, 1 0 mu0 mssin mscos = φ µ φ u 0 5 5 s = = = ( µ cosφ + sin φ ) 10(0.8 cos 5 + sin 5) = 8.8 m. β) Για να µπορέσει το όχηµα να κατέβει θα πρέπει η F x >T ή mssinφ > µ mscosφ tanφ > µ. Κατεβαίνοντας το σώµα θα φθάσει στο σηµείο Α µε ταχύτητα u. Λόγω του (Θ ΜΕ: Γ Α) ( Α ) ( Γ ) K K E E = W + W + W, όπου F T N ( ) E Γ K = 0, (A) 1 E K = mu, W F = W Fx + W Fy = mssinφ + 0, W Fy = 0 επειδή Fy 1 W T = T s = µ ms cosφ. Εποµένως, mu 0 mssin m cos = φ µ s φ u = s(sinφ µ cos φ ) u = s(sinφ µ cos φ ) = u = 10 8.8(sin 5 0.8 cos 5) = 5 m /s. s, 1. Να αποδειχθεί ότι το θεώρηµα ιατήρησης της Μηχανικής Ενέργειας (Θ ΜΕ) ισχύει για κάθε σύστηµα αναφοράς, που κινείται µε σταθερά ταχύτητα. (Υπόδειξη: Το θεώρηµα αυτό µπορεί να εκφρασθεί µε το εξής παράδειγµα. Μάζα m ηρεµεί σε τραίνο που κινείται µε σταθερή ταχύτητα u 1 ως προς το έδαφος. Στο σώµα ασκείται σταθερή δύναµη F για χρόνο t µε την ίδια κατεύθυνση του τραίνου. Να εξετασθεί η περίπτωση ενός παρατηρητή κινούµενου µαζί µε το τρένο και ενός άλλου παρατηρητή που βρίσκεται στο έδαφος).

Παρατηρητής στο τραίνο: Σε χρόνο t το σηµείο εφαρµογής της δύναµης F έχει µετατοπιστεί όσο µετατοπίστηκε το σώµα πάνω 1 1 F F στο τρένο. Ισχύει W F = F s = F at F t = m = t (1). m τελ αρχ 1 EK = EK EK = mu 0, επειδή u F = at = t προκύπτει m F t E K = (). m Από τις σχέσεις (1) και () προκύπτει ότι E K = W F. Παρατηρητής στο έδαφος: Σε χρόνο t το σηµείο εφαρµογής της δύναµης F έχει µετατοπιστεί κατά διάστηµα s ολ = s1 + s = 1 = ut 1 + at ή s ολ 1 Ft = u t +. Το έργο που προκαλείται από τη δύναµη F είναι m F t W F = F sολ = Fu1t + (3). m Στην αρχική θέση, το σώµα έχει την ταχύτητα του τρένου, δηλαδή u 0 =u 1 και στην τελική θέση u τελ =u 1 +u. τελ αρχ 1 1 E K = EK EK = m( u1 + u) mu 1 ή Από τις σχέσεις (3) και () προκύπτει ότι E K = W F. F t EK = Fu1t + (). m 13. Κιβώτιο µάζας m=10k κινείται µε σταθερή ταχύτητα πάνω σε οριζόντιο επίπεδο υπό την ε- πίδραση δύναµης F. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης µεταξύ του σώµατος και του επιπέδου είναι µ=0., υα υπολογιστούν α) η ελάχιστη δύναµη που απαιτείται για τη µετακίνηση και β) το ελάχιστο έργο που δαπανάται για να µετακινηθεί το σώµα κατά απόσταση s=10m. ( ίνεται =10m/s ). α) Η δύναµη F επιδρά στο κιβώτιο υπό γωνία φ, όπου 90 ο <φ<90 ο. Επειδή u=σταθερό Fx = 0 F1 T = 0 Fcosφ = T (1). Επειδή T = µ N = µ ( F F) = µ ( F F sinφ ) (). Από τις σχέσεις (1) και () προκύπτει ότι F(cosφ + µ sin φ ) = µ m ή µ m F =. Επειδή µ είναι πραγµατικός αριθµός, θα υπάρχει (cosφ + µ sin φ) κάποια γωνία θ για την οποία θα ισχύει tanθ=µ, οπότε sinθ cosφ + µ sinφ = cosφ + tanθsinφ = cosφ + sin φ cosθ cosθ µ m 1 F = µ m = φ θ 1+ µ φ θ cos( ) cos( ) cos( φ θ ) cosφ + µ sinφ =. Εποµένως, cosθ 1 1 (3) επειδή cosθ = =. 1+ tan θ 1+ µ Η σχέση (3) παρουσιάζει ελάχιστο όταν ο παρονοµαστής γίνει µέγιστος, δηλαδή 0. 10 10 cos( φ θ) = 1 φ =θ και Fmin = = 37.1 N. Σε αυτή την περίπτωση φ=1.8 ο επειδή φ=θ 1+ 0.16 και tanθ=µ=0.. β) Το έργο υπολογίζεται από τη σχέση W = F cos φ s = 37.1 0.93 10 35Joule. min min

1. Σώµα µάζας m εκτοξεύεται από το έδαφος κατακόρυφα προς τα πάνω µε αρχική ταχύτητα u 0. Να παραστήσετε γραφικά σε συνάρτηση µε το χρόνο και στο ίδιο σύστηµα αξόνων την κινητική και τη δυναµική ενέργεια του σώµατος. u0 Ισχύει η σχέση u = u0 t και στο µέγιστο ύψος u=0 t =.Όταν το σώµα επιστρέψει στο σηµείο u0 u0 βολής, τότε u= u 0 και t=t ολ, οπότε u0 = u0 tολ tολ =. Άρα, 0 t. 1 1 κιν ( E = mu = m u0 t) (1). Η σχέση αυτή είναι µια δευτεροβάθµια εξίσωση ως προς το χρόνο t. Στο σώµα ασκείται µόνο το βάρος του, οπότε ισχύει η αρχή διατήρησης της µηχανικής ενέργειας, δηλαδή 1 1 1 Eκιν + Eδυν = mu0 Eδυν = mu0 mu ή 1 Eδυν = mu0t m t (). Οι σχέσεις (1) και () απεικονίζονται στη γραφική παράσταση. 15. Αβαρές νήµα, σταθερού µήκους τυλίγεται αρκετές φορές γύρω από ένα συµπαγή, οµογενή κύλινδρο µάζας Μ=5k και διαµέτρου R=0.1m, ο οποίος µπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από έναν ακλόνητο άξονα. Το ελεύθερο άκρο του νήµατος έλκεται µε σταθερή δύναµη µέτρου F=10Ν για µια απόσταση d=m. Αν ο κύλινδρος ήταν αρχικά ακίνητος να υ- πολογιστούν: (α) Η τελική γωνιακή ταχύτητα του κυλίνδρου. (β) Η τελική ταχύτητα του νή- µατος. α) Η µεταβολή της κινητικής ενέργειας του κυλίνδρου είναι ίση µε το παραγόµενο έργο από τη µετατόπιση του νήµατος Fd 10 ω = = = 80rad/s. MR 5(0.05) 1 EK = Iω 0 = W = Fd µε I = 1 MR, απ όπου προκύπτει β) Από τη σχέση που συνδέει τη γραµµική µε τη γωνιακή ταχύτητα προκύπτει Fd υ = ωr = = m/s. M