محاسبات کوانتمی (22671) ترم بهار 1390-1391 مدرس: سلمان ابوالفتح بیگی نویسنده: نادر قاسمی جلسه 2 در این درسنامه به مروري کلی از جبر خطی می پردازیم که هدف اصلی آن آشنایی با نماد گذاري دیراك 1 و مباحثی از جبر خطی است که در مکانیک کوانتمی مورد استفاده قرار می گیرند. 1 فضاي برداري مجموعه V را یک فضاي برداري روي میدان اعداد مختلط C می گوییم هرگاه دو عمل جمع بردارها و ضرب اسکالر بر روي آن تعریف شده باشد: + : V V و : V V (1) بعد فضایی که در آن کار می کنیم را < d dim V = در نظر می گیریم. دیراك بردارهاي V را به صورت υ نشان می دهد. در یک فضاي برداري یک پایه مشخص می کنیم به طوري که هر بردار را بتوان به صورت یکتا بر حسب ترکیبی خطی از اعضاي پایه نوشت: { υ 0, υ 1, υ 2,, υ d 1 }. (2) υ V, υ = α i υ i, و لذا به هر بردار می توان یک بردار ستونی نسبت داد υ α 0 α 1. α d 1. گاهی براي سادگی اعضاي پایه i υ را با i نشان می دهیم. 1 Dirac s notation 1
2 ضرب داخلی عمل دوتایی : V V C (.,.) را یک ضرب داخلی می گوییم هرگاه در شرایط زیر صدق کند: 1. نسبت به مولفه دوم خطی باشد: 2. وقتی جاي بردارها را عوض می کنیم مزدوج شود: 3. حاصلضرب داخلی هر بردار با خودش مثبت باشد: از خاصیت هاي 1 و 2 نتیجه می شود که : ( υ, α ω + ω ) = ( υ, ω ) + α( υ, ω ) ( v, ω ) = ( ω, v ) ( υ, υ ) 0 ( υ, υ ) = 0 υ = 0 (α υ, ω ) = α ( υ, ω ) حال می توان براي فضاي V پایه ي متعامد یکه ي { 1 d,..., 2, 1, 0 } را در نظر گرفت. به این معنی که : ( i, j ) = δ ij که در آن δ ij «دلتاي کرونکر» به صورت زیر تعریف می شود { 1 i = j, δ ij = 0 i j. در این صورت هر بردار در فضاي V را می توان به صورت زیر نوشت 1.2 اندازه روي فضاي V υ = ( i, υ ) i. در یک فضاي ضرب داخلی نرم 2 روي V را به صورت زیر تعریف می کنیم: فاصله بین دو بردار را نیز به شکل زیر تعریف می شود: υ = ( υ, υ ) 1 2. d( υ, ω ) = υ ω. بنابراین (, )d یک متر است چون نامساوي مثلث براي آن برقرار است و = 0 ( ω d( υ, است اگر و فقط اگر 2 Norm. ω = υ 2
2.2 فضاي دوگان براي فضاي برداري V فضاي دوگان 3 آن به صورت زیر تعریف می شود: V = {f : V C خطی باشد f} حال اگر فضاي برداري ضرب داخلی باشد و ب عد فضا متناهی باشد یک تناظر یک به یک بین فضاي برداري و فضاي دوگان آن وجود خواهد داشت. T : V V T ( υ ) = f υ f υ ( ω ) = ( υ, ω ) از آنجا که ضرب داخلی نسبت به مو لفه ي دوم خطی است در رابطه بالا υ f خطی است و V f. υ یک به یک و f υ ( ω ) = ( υ, ω ) = (α0, α1,, αd 1 ) پوشا بودن T به راحتی قابل بررسی است.. β d 1 υ := f υ = (α0, α1,, αd 1 ), ω =., β d 1 d 1 = αi β i که در آن بردارهاي متناظر در پایه ي متعامد یکه ي } d 1 { υ 0,..., υ هستند. بنابراین به ازاي هر بردار υ یک بردار متناظر در فضاي دوگان وجود دارد که با υ نمایش داده می شود و یک «ب را» 3 Dual space ( υ, ω ) = f υ ( ω ) = υ ω υ ω. نامیده می شود و داریم: 3 عملگرهاي خطی مجموعه ي عملگرهاي خطی از یک فضاي V به فضاي W را با L(V, W ) = {M : V W خطی باشد M} 3
نمایش می دهیم. اگر یک پایه ي متعامد یکه ي } d 1 { υ 0, υ 1, υ 2,, υ را براي V و یک پایه ي متعامد یکه 1 } d { ω 0, ω 1, ω 2,, ω را براي W در نظر بگیریم به هر عملگر خطی M می توان یک ماتریس نسبت داد. مثال: براي هر 1 d i 0 و 1 d j 0 تعریف کنید: E ij : V W E ij υ = υ i υ ω j. از آنجا که υ υ i یک عدد است می توان آنرا سمت راست j ω برد E ij υ = ω j υ i υ E ij = ω j υ i j ω یک بردار ستونی و i υ یک بردار سطري است پس حاصل ضرب آنها یک ماتریس است. در این جا به وضوح سادگی نمادگذاري دیراك را می بینیم. υ = ( υ i, υ ) υ i = υ i υ υ i = υ i υ i υ. d 1 I = عملگر همانی است. یعنی براي هر پایه ي متعامد یکه ي } d 1 { υ 0,..., υ می توان در نتیجه i υ i υ I = υ i υ i. مثال: عملگر I را به صورت زیر نوشت حال براي عملگر خطی دلخواه M : V W داریم ( d 1 d 1 ) M = I W MI V = ω j ω j M υ i υ i j=0 = ω j ω j M υ i υ i j=0 = ω j M υ j ω j υ i. j=0 توجه کنید که در اینجا منظور از ω M υ این است که ابتدا M باید روي υ اثر می کند: = ω M υ M υ ) ( ω,. بنابراین M = ij ω j M υ i E ij = ij γ ij E ij که در آن i. γ ij = ω j M υ این همان نمایش ماتریسی عملگر M در پایه هاي مشخص شده براي V و W است. 4
L(V ) مجموعه عملگرهاي خطی از یک فضاي به خودش را با ) V L(V ) = L(V, نشان می دهیم. ) L(V N به صورت N = λ i υ i υ i را عملگري قطري در پایه ي متعامد یکه ي 1 } d { υ 0, υ 1, υ 2,, υ می گوییم. j υ بردار ویژه ي N با مقدار ویژه ي λ j است: N υ j = λ i υ i υ i. υ j = λ j υ j. 4 الحاقی براي عملگر M : V W الحاقی 4 آن عملگري است M : W V که ( ω, M υ ) = (M ω, υ ). به راحتی قابل بررسی است که j.e ij = ( ω j υ i ) = υ i ω همچنین اثبات خواص زیر ساده است: (M + αn) = M + α N.1 (MN) = N M.2 (M ) = M.3 در نتیجه براي i M = i,j γ ij ω j υ خواهیم داشت M = i,j γ ij υ i ω j. یعنی الحاقی یک عملگر در پایه هاي } d 1 { υ 0, υ 1, υ 2,, υ و 1 } d { ω 0, ω 1, ω 2,, ω از مزدوج و سپس ترانهاده کردن ماتریس متناظر آن بدست می آید. 4 Adjoint 5 Hermitian 6 Unitary 7 Normal تعریف: ) L(V M را هرمیتی 5 (خود الحاق ( می گوییم اگر. M = M. UU = U U = I را یکانی 6 می گوییم اگر U L(V ). T T = T T : را بهنجار 7 می گوییم اگر با الحاقی خود جابجا شود T L(V ) 5
عملگرهاي هرمیتی و یکانی بهنجار هستند. قضیه: M در یک پایه ي متعامد یکه قطري شدنی است اگر و فقط اگر M بهنجار باشد. قضیه: مقادیر ویژه عملگر نرمال M همگی حقیقی اند اگر و فقط اگر M هرمیتی باشد. مقادیر ویژه عملگر نرمال M همگی فازند اگر و فقط اگر M یکانی باشد. مقدار ویژه ي λ فاز است اگر = 1 λ. قضیه: U ضرب داخلی را حفظ می کند اگر و فقط اگر U یکانی باشد (U ω, U υ ) = ( ω, υ ) UU = U U = I. قضیه: دو عملگر نرمال T و S در یک پایه ي متعامد یکه همزمان قطري شدنی هستند اگر و فقط اگر جابجا شوند یعنی [T, S] = T S ST = 0. 1.4 مثبت نیمه معین عملگر ) L(V M را مثبت نیمه معین 8 گویند هرگاه υ V : υ M υ 0. در این صورت می نویسم 0 M. همچنین ) L(V M را مثبت معین 9 گویند هرگاه υ : υ M υ > 0, و می نویسیم > 0.M قضیه: M مثبت نیمه معین است اگر و فقط اگر مثال: Mهرمیتی باشد: M = M و همه مقادیر ویژه M نامنفی باشند 8 Positive semidefinite 9 Positive definite به ازاي هر ) L(V AA A مثبت نیمه معین است 6
اگر M یک عملگر مثبت نیمه معین باشد آنگاه A : A MA 0. به ازاي 0 M و α R که > 0 α داریم 0 αm. به ازاي هر 0 N M, داریم 0 N. M + تمرین: براي هر 0 N M, که = 0 N] [M, نشان دهید 0 MN. Singular value decomposition 5 قضیه ي زیر قوي تر از قضیه اي است که در کتاب آورده شده ولی اثبات آن به همان شیوه است. قضیه: براي هر ماتریس A m n ماتریس هاي D l l U m l و V l n وجود دارند که D قطري است و > 0 D (یعنی همه اعضاي روي قطر آن حقیقی و مثبت هستند) و V U U = I l = V و A = UDV. 6 ضرب تانسوري نوشتاري جداگانه براي این بخش در نظر گرفته شده است. 7