تخمین موجک و واهمامیخت دادههای لرزهای با استفاده از روش بازیابی فاز

مقاله تحت چاپ 10.044/JRAG.017.856 (DOI): شناسه دیجیتال تخمین موجک و واهمامیخت دادههای لرزهای با استفاده از روش بازیابی فاز *1 سپیده وفائی شوشتری و علی غالمی 1- کارشناسی ارشد مؤسسه ژئوفیزیک دانشگاه تهران - دانشیار مؤسسه ژئوفیزیک دانشگاه تهران دریافت مقاله: 1931/11/11 پذیرش مقاله: 1931/11/10 * نویسنده مسئول مکاتبات: s.vafaei@ut.ac.ir واژگان کلیدی بازیابی فاز واهمامیخت کور موجک لرزهای فاز آمیخته طیف دامنه فوریه پاسخ ضربه زمین تخمین موجک چکیده داده حاصل از عملیات لرزهنگاری در مقایسه با سایر روشهای ژئوفیزیکی میتواند اطالعات بیشتری از زیر سطح زمین ارائه کند و به همین دلیل لرزهنگاری در اکتشافات نفت و گاز از اهمیت باالیی برخوردار است. واهمامیخت موجک و یا چشمه یکی از با اهمیتترین مراحل در پردازش داده لرزهای است که برای افزایش قدرت تفکیک زمانی مقاطع لرزهای به یک موجک با ساختار صحیح نیازمند است اما تخمین درست یک موجک لرزهای به شدت تحت تأثیر پیچیدگیهای فازی موجک است. خصوصیات آماری سری بازتاب زمین باعث میشود اطالعات طیف دامنه فوریه موجک چشمه را بتوان از دادههای ثبت شده محاسبه نمود و در نتیجه اطالعات فازی موجک در حالتهای خیلی ساده نظیر بیشینه یا کمینه فاز بودن را قابل محاسبه مینماید. این امر موجب شده که فرض کمینه فاز بودن موجک چشمه در لرزهنگاری بسیار مرسوم شود. در حالی که این فرض در بیشتر اوقات درست نیست. در این مقاله با تخمین یک طیف دامنه هموار برای موجک لرزهای اقدام به انجام فرآیند واهمامیخت دادهها بر اساس الگوریتم بازیابی فاز به منظور تخمینی از پاسخ ضربه زمین خواهیم نمود. در واقع بر خالف روشهای واهمامیخت مرسوم تنها از وارونسازی طیف دامنه فوریه دادهها بهره گرفته میشود. در گام بعدی با واهمامیخت پاسخ ضربه محاسبه شده از دادهها تخمین صحیحتری از موجک با فاز دلخواه را خواهیم داشت. نتایج حاصل از شبیهسازیهای عددی با دادههای شبیهسازی شده و میدانی نشان میدهد که روش پیشنهادی قادر است موجکهای با فاز آمیخته را با دقت باالیی استخراج نماید. از دیگر خصوصیات بارز این روش تخمین همزمان پاسخ ضربه زمین یا سری بازتابی زمین است. لذا الگوریتم ارائه شده در اینجا نوعی واهمامیخت کور محسوب میشود به طوری که سری بازتاب و موجک چشمه به طور همزمان تخمین زده میشوند.

( ( وفائی شوشتری و غالمی تخمین موجک و واهمامیخت دادههای لرزهای با استفاده از روش بازیابی فاز مقاله تحت چاپ. 1- مقدمه در لرزهنگاری بازتابی یک موج آکوستیک با طول کوتاه به داخل زمین فرستاده شده و انرژی بازتاب شده در نتیجهی تغییرات امپدانس الیههای زمین اندازهگیری میشود. با استفاده از تعداد زیادی چشمه و گیرنده قرار داده شده در نقاط مختلف سطح یک مقطع دو یا سه بعدی از زیر سطح زمین به صورت یک تصویر حاصل خواهد شد. پس از یک سری مراحل پردازشی مشخص و فرضهای سادهسازی مربوط به مسئله لرزهنگاشت ثبت شده در گیرندهها میتواند به عنوان همامیخت )convolution( چشمه یک بعدی موجک که به طور معمول نامتغیر با زمان و مکان در نظر گرفته میشود و ناشناخته است با تابع بازتاب که پاسخ ضربه زمین را تعریف میکند در نظر گرفته شود. باید توجه داشت که لرزهنگاشتها آلوده به نوفه تصادفی هم میباشند )1980 Treitel,.)Robinson and یک چشمه لرزهای معمول موجک با طول محدودی را تولید میکند که به عنوان یک فیلتر میانگذر عمل کرده و قدرت تفکیک داده ثبت شده را کاهش میدهد. برای افزایش تفکیکپذیری و تشخیص بازتابهای بسیار به هم نزدیک به طور معمول از عمل واهمامیخت )deconvolution( استفاده میشود که بتوان تا حد زیادی اثرات موجک مذکور را از روی داده ثبت شده از بین برد. بنا بر دالیل متعددی مانند جذب فرکانسهای باال پدیده شبه در گیرندهها و عوامل دیگر موجک مؤثر به طور عمده ناشناخته است و الزم است که همراه با سری بازتاب تخمین زده شود. با مجهول بودن هم موجک چشمه لرزهای و هم سری ضرایب بازتاب زمین با واهمامیخت نوع کور deconvolution( )blind مواجهایم که هر دو مجهول باید در طی مراحل حل مسئله به دست آیند. این نوع از فرآیند واهمامیخت در مقایسه با فرآیند واهمامیختی که در آن موجک چشمه به عنوان یکی از اطالعات معلوم اولیه مشخص است به مراتب مشکلتر خواهد بود بنابراین مسئله مطرح شده در اینجا به شدت بد وضع )ill-osed( بوده و برای به دست آوردن پاسخ یکتای آن باید از یک سری اطالعات از پیش تعیین شده بهره گرفت. روشهای مرسوم واهمامیخت اغلب بر پایهی فرض توزیع گوسی برای هر دوی سری ضرایب بازتاب و نوفه موجود در دادهها میباشند. این امر باعث میشود که مسئله با محاسبات سادهتر و از طریق روشهای خطی مانند فیلتر وینر filtering( )Wiener و یا واهمامیخت واریانس کمینه حل شود ( Mendel, Wiener, ;1949 1983 اما این نکته قابل ذکر است که فرض گوسی بودن سری ضرایب بازتاب فرض صحیحی برای ت ن کی )Sarsity( که به واقعیت الیهبندی زمین نزدیک است نیست و بر اساس این فرض میزان تفکیکپذیری میزان قابل بهبودی نخواهد بود. عالوه بر این یک توزیع گوسی برای سری ضرایب بازتاب اجازه نخواهد داد که فاز موجک تخمین زده شود و بنابراین فرض کمینه فاز بودن که در اغلب موارد فرض نادرستی است به طور رایج مورد استفاده قرار میگیرد. روش همومورفیک )Homomorhic( میتواند فاز موجک را به دست آورد اما حساسیت آن نسبت به نوفه موجود در داده بسیار باال است )1979.)Tribolet, روشهایی که بر پایهی آمار مرتبه باال statistics( )Higher order هستند قادر خواهند بود که موجک را زیر نظر فرضیاتی مانند پایایی سفید بودن و توزیع تصادفی گوسی غیر برای سری ضرایب بازتاب تخمین بزنند )000 Ulrych,.)Sacchi and این گونه روشها از نظر تئوری خصوصیات صحیحی را وارد مراحل حل مسئله میکنند اما اغلب از نظر محاسباتی پیچیده هستند و به حجم داده زیادی احتیاج دارند تا تخمینهای مورد قبولی را ارائه دهند. در یک بررسی جامعتر میتوان روشهای تعبیه شده برای انجام فرآیند واهمامیخت کور را به دو دسته روشهای ترتیبی و همزمان طبقهبندی کرد. در روش واهمامیخت ترتیبی ابتدا موجک چشمه از طریق یکی از روشهای تخمین موجک به دست آورده میشود و سپس در ترکیب با روشهای مرسوم واهمامیخت از موجک تخمین زده شده استفاده میشود تا سری ضرایب بازتاب زمین بازیابی شود )1979 al.,.)taylor et هرچند باید به این نکته توجه داشت که بیشتر روشهای تخمین موجک بر پایه روشهای آماری میباشند 1995( al. )Sacchi and Ulrych, 000; Ulrych et و در مورد تخمین فاز موجک مورد نظر دارای محدودیت هستند. روشهایی که تاکنون برای تخمین موجک صورت گرفته را میتوان در سه گروه روشهای آماری استفاده از دادههای چاهنگاری 011( Baan, )Edgar and Van der و اندازهگیری موجک چشمه لرزهای همزمان با انفجار و گسترش در زمین قرار داد. از میان این روشها روش سوم برای چشمههای لرزهای مانند ویبراتورهای خشکی و چشمههای لرزهای دریایی میسر بوده است و برای اندازهگیری موجک که چشمه لرزهای آن دینامیت است حتما باید فاز کمینه فرض بودن موجک در آن لحاظ شود )1991.)Ziolkowski, در روشهای آماری نیز با سه فرض اساسی برای حل این مسئله سروکار داریم که شامل سفید بودن طیف پاسخ زمین تصادفی بودن سری بازتاب زمین و کمینه فاز بودن موجک لرزهای میباشند )1991.)Ziolkowski, عالوه بر این پیادهسازی این روشها در موارد داده واقعی که با نوفه و اطالعات ناکافی همراه هستند با مشکل روبرو خواهند بود. در روشهای همزمان واهمامیخت کور نیز هر دو مجهول موجک و سری بازتاب به طور همزمان و به صورت روشهای تکرارپذیر تا حد یک خطای معین و با توجه به نوع الگوریتم مورد استفاده و فرضهای اولیه در نظر گرفته شده برای مجهوالت مسئله تخمین زده میشوند ( and Gholami Sacchi, 013; Heimer and Cohen, 009; Kaaresen and Taxt, 1998 بنابراین ژئوفیزیکدانان همواره با موانع فرضها و

محدودیتهایی در روشهای واهمامیخت کور و تخمین صحیح سری بازتاب زمین و موجک چشمه لرزهای روبرو بودهاند. در این مقاله الگوریتم پیشنهاد شده تحت عنوان بازیابی فاز تنها از طریق وارونسازی طیف دامنه داده لرزهای ثبت شده به حل مسئله واهمامیخت پرداخته میشود )014.)Gholami, در یک گام با استفاده از الگوریتم انقباض و آستانهگذاری سریع به روش تکرار Algorithm( )Fast Iterative Shrinkage سری ضرایب بازتاب به دست میآید و در گامی دیگر با استفاده از سری حاصل موجک چشمه لرزهای دارای اطالعات ساختاری صحیح تخمین زده خواهد شد. بنابر روش مذکور هیچگونه محدودیتی برای فاز موجک تخمینی در نظر گرفته نمیشود و تمامی موجکها با فازهای صفر کمینه بیشینه و آمیخته با دقت باالیی قابل بازیابی میباشند. در نتیجه فرآیند واهمامیخت و در نظر گرفتن مدل الیهای برای زمین مورد مطالعه قدرت تفکیک زمانی مقاطع لرزهای مورد پردازش افزایش خواهد یافت. در نهایت کارایی مؤثر روش تعبیه شده در دادههای شبیهسازی شده و میدانی مورد بحث قرار میگیرد. - تئوری مسئله مسئله واهمامیخت موجک و یا چشمه یکی از با اهمیتترین مسائل در کاربردهای لرزهشناسی است. فرآیند واهمامیخت در درجه اول برای افزایش قدرت تفکیک زمانی کاربرد داشته است که یکی از ملزومات اعمال آن بر روی مقاطع لرزهای داشتن یک موجک با ساختار صحیح است. در روشهای آماری واهمامیخت لرزهای موجک از خود داده لرزهای تخمین زده میشود هرچند آسانتر است که طیف دامنه آن را محاسبه نمود )001 )Yilmaz, و فاز موجک به طور معمول از دست داده میشود و یا به صورت نادرستی وارد مسئله میشود. این موضوع واهمامیخت موجکهای دارای ساختار و فاز آمیخته را مشکلسازتر میکند. تاکنون تحقیقات زیادی در مورد استخراج یک موجک لرزهای قابل اعتماد و صحیح از داده برداشت شده صورت گرفته است تا بتوان مسئله واهمامیخت لرزهای را پیادهسازی کرد ( Baan Gholami and Sacchi, 013; Van der.)and Pham, 008 در این بخش با بیان تئوری روش بازیابی فاز زیر نظر فرضیاتی که یکی از آنها پایایی )stationarity( موجک چشمه است واهمامیخت موجکهای دارای ساختار پیچیده مورد آزمایش و بررسی قرار میگیرد. 1-- مدل همامیختی زمین مدل همامیختی Model( )Convolutional یک لرزهنگاشت بازتابی تنها برای یک چشمه نقطهای ظاهر میشود و فرض اساسی در این مدل»خطی بودن«است. این مدل حاصل همامیخت موجک چشمه با پاسخ ضربه زمین است که پاسخ ضربه زمین خود در نتیجه تابع گرین )Green function( لرزهنگاشت ثبت شده نشریه پژوهشهای ژئوفیزیک کاربردی مقاله تحت چاپ. است. در اندازهگیریهای فیزیکی y(t) پاسخ زمین به یک موجک با باند فرکانسی محدود که توسط یک چشمه لرزهای تولید شده است است. یک چشمه ایده پهنای صفر ایجاد کند. آل نمیتواند تولید شود. به لحاظ ریاضی موجک واقع w(t) با سری بازتاب زمین چشمهای است که موجک اسپایکی با هرچند در عمل چنین تابع چشمهای x(t) )Imedance( تضاد امپدانس x(t) زمینشناسی را مشخص میکند و افزودنی )شکل 1(. e(t) سرانجام y(t) به عنوان همامیخت مدلسازی میشود که در بین الیههای مختلف مدل حاصل به نوفه که لزوما دارای توزیع گوسی نیست آغشته میشود شکل 1: مدل همامیختی. لرزهنگاشت نوفه گوسی است که با موجک چشمه شامل پاسخ ضربه زمین همامیخت شده و به مقداری آلوده شده است 01( Sacchi,.)Gholami and در عمل لرزهنگاشت برداشت شده یک بردار ستونی گسسته y با طول محدود است که T) y y(n برای n 0,1,..., N 1 n و بازه نمونهبرداری t تعریف میشود. در صورتیکه محور زمان بر اساس بازه نمونهبرداری یکسان t همامیختی به صورت رابطه )1( بیان میگردد: )1( گسستهسازی شود مدل N 1 y w x e n n m m n m 0 در معادله فوق حد باالی انتگرال بر اساس طول زمانی برداشت شده جایگذاری میشود. فرض اساسی که برای نوع توزیع نوفه موجود در مسئله در نظر گرفته شده است توزیع گوسی است. در صورتی که شکل ماتریسی مدل همامیختی را مورد بررسی قرار دهیم آنگاه معادله )( را در حوزه زمان خواهیم داشت. y = G x + e )( که در آن ماتریس G به صورت 1 G= F W F یک ماتریس چرخشی )circulant( برای موجک w به شمار میآید و W diag ŵ یک ماتریس قطری است که طیف دامنه موجک w بر روی قطر اصلی آن قرار میگیرد. قابل ذکر است که ŵ طیف فوریه موجک لرزهای و عملگرهای عملگرهای گسسته F و 1 F.)Gholami and Sacchi, 01( نیز به ترتیب ماتریس فوریه و وارون فوریه میباشند در واقع ماتریس G به نوعی

وفائی شوشتری و غالمی تخمین موجک و واهمامیخت دادههای لرزهای با استفاده از روش بازیابی فاز مقاله تحت چاپ. ارائهای گسسته از انتگرال همامیخت برای سیگنالهای نمونهبرداری شده است که در اینجا به عنوان عملگر همامیختی متشکل از موجک لرزهای پایا که در همهی زمانها دارای ساختار و دامنهی یکسانی است خواهد بود. -- بازیابی سری بازتاب زمین میتوان بیان کرد که واهمامیخت یکی از روشهای معمول در پردازش دادههای لرزهای است. در واقع سیگنالها و تصاویر متعددی میتوانند در نتیجه همامیخت یک سیگنال دلخواه مجهول با کرنل ماتکننده kernel( )Blurring باشند. به طوری که عمل پردازشی که این امکان را فراهم میسازد تا تأثیرات این کرنل از روی سیگنال یا تصویر مشاهده شده برداشته شود به عمل واهمامیخت معروف است. واهمامیخت پایا بر پایه مدل همامیختی که در رابطه )( توضیح داده شد خواهد بود. از آنجایی که این مدل همامیختی تنها یک متغیر معلوم و مشخص دارد که همان لرزهنگاشت ثبت شده است پس دارای دو مجهول است که شامل موجک و سری بازتاب زمین خواهند بود. و بسیاری از روشهای واهمامیخت ارائه شده برای بازیابی سری ضرایب بازتاب زمین و با فرض یک توزیع گوسی تعمیم یافته برای e جواب تقریبی زیر تعریف میکنند: x x )3( را به عنوان کمینه کننده تابع هزینه به شکل x x arg min y Gx x q q در تابع هزینه مطرح شده بخش y Gx بخش تطابق با داده یا همان بخش خطا را بیان میکند که با توجه به اطالعات اولیهای در مورد خصوصیات نوفهی موجود در دادهها تعیین میشود. x بخش q q به طور معمول ناهمواریهای جواب به دست آمده از مسئله را اندازهگیری کرده و به عنوان یک بخش منظمسازی ایفای نقش میکند. از نقطه نظر منظم سازی x جواب یکتای معادله )( است که بخش منظمساز رابطه )3( را برآورده میکند و پارامتر ضریب متناظر با بخش منظمساز است که به عنوان پارامتر منظمسازی arameter( )Regularization شناخته میشود. متفاوت مقادیر و q تابع هزینه مطرح شده )3( یک مسئله تشکیل شده از نرمهای (, q 0) و q است که کمینهسازی آن به شدت به بستگی دارد. برای یک بردار مشخص N R نرم i i بردار به صورت V محاسبه میشود. اکنون ما در مسئله خود به عنوان واهمامیخت به روش بازیابی فاز به دنبال یافتن الگوریتم مؤثری هستیم که ت ن کترین سری بازتاب زمین را تنها با استفاده از طیف دامنه داده مشاهده شده به دست آورده )014 )Gholami, و سپس در گام بعدی با استفاده از سری بازتاب حاصل موجک چشمه لرزهای تخمین زده میشود. دلیل اصلی بازیابی سری بازتاب زمین بر اساس واهمامیخت ت ن ک این است که مدل صحیح بازتابهای زمین میتواند بر طبق برهم نهی مجموعهای از اسپایکها در نظر گرفته شود که با واقعیت مدل زمین سازگاری بیشتری دارد. به بیان دیگر عالقهمند به مدل زمینی هستیم که شامل حداقل تعداد الیههای زمینشناسی باشد بنابراین با فرض ت ن ک بودن سری بازتاب بودن توزیع نوفه q 1 و همچنین با فرض گوسی در نظر گرفته میشوند و بر اساس مسئله بازیابی فاز تابع هزینه برای مسئله واهمامیخت به صورت رابطه )4( تغییر پیدا میکند. x x arg min yˆ FGx Reg(x) )4( در تابع هزینه فوق که بر اساس آن x مدل سری بازتاب زمین تنها از روی طیف دامنه مشاهدات تخمین زده میشود طیف دامنه داده مشاهده شده F پارامتر منظمسازی و عملگر فوریه ŷ بیانگر G عملگر همامیخت Reg تابع منظمسازی است که وظیفه آن فراهم کردن قیدهای ساختاری الزم برای مسئله بنابراین است هیچگونه اطالعات فازی در مورد موجک چشمه را وارد مسئله نکردهایم 014(.)Gholami, قیدی که برای منظمسازی مسئله سری بازتاب در نظر گرفته میشود بر پایه ت ن کی خواهد بود. در واقع برای انجام فرآیند واهمامیخت تککاناله deconvolution( )single-channel تابع منظمسازی را به صورت 1 Reg(x) x تعریف کرده که تابع منظمساز نرم- 1 است. تابع roximity مربوط به این مسئله هم از طریق رابطه )5( قابل محاسبه است: rox λ x sgn xmax x λ, 0 )5( در واقع فاز یک سیگنال اطالعات ساختاری آن را دربردارد و به این ترتیب خطاهای فازی به طور معناداری تأثیرات الگوریتمهای پردازشی را با محدودیت مواجه میکند. مسئله واهمامیخت موجک نیز که در آن سعی بر افزایش قدرت تفکیک قائم داده است از جمله مسائلی است که با از دست دادن اطالعات فاز همراه خواهد بود. بازیابی فاز اصلیترین و پیچیدهترین گام در این مسئله است به دلیل اینکه یک سیگنال بر اساس طیف دامنه و طیف فاز آن تعریف میشود که این دو مستقل از هم هستند و نمیتوان یکی را از روی دیگری بازیابی کرد بنابراین مسئله اصلی که در اینجا مطرح است معکوسسازی تنها طیف دامنه است که به آن مسئله بازیابی فاز retrieval( )hase گفته میشود. بازیابی فاز یک مسئله غیر محدب است و برای حل این مسئله تابع هزینه را به صورت رابطه )4( تعریف میکنیم که وظیفه بخش منظمساز محدودیتهای ساختاری است که برای حل مسئله ضروری است تا جواب به دست آمده به مدل واقعی نزدیک باشد. برای حل این مسئله بهینهسازی از روش انقباض و آستانهگذاری سریع به روش تکرار )FISTA( که مراحل تکرار آن

در جدول 1 آورده شده است استفاده میشود تا عالوه بر سهولت محاسبات همگرایی به جواب با سرعت بیشتری صورت گیرد نشریه پژوهشهای ژئوفیزیک کاربردی مقاله تحت چاپ..)Beck and Teboulle, 009( جدول 1: الگوریتم FISTA برای مسئله بازیابی فاز. A FISTA for hase retrieval roblem 1) Initialize: given, set and ) for to maximum iteration do 3) 4 - ( 5) 6) 7) end ) الزم به ذکر است که در عمل با لرزهنگاشتهای متعددی سروکار داریم که نمونههای گسسته از یک میدان موج دو یا سه بعدی هستند. همچنین مدل بازتاب دلخواه نیز یک تابع دو یا سه بعدی است بنابراین واهمامیخت رد لرزه به رد لرزه به مدل بازتابی نتیجه میشود که جواب مطلوبی نیست به دلیل اینکه ارتباط مکانی اطالعات موجود در داده را در نظر نمیگیرد. بدین منظور برای پیادهسازی واهمامیخت چندکاناله )multi-channel deconvolution( تابع منظمساز جدیدی را به صورت رابطه )6( تعریف میکنیم و آن را با بخش منظمساز تابع هزینه )4( جایگزین خواهیم نمود. β β Reg x 1 x TV x 1 )6( که در رابطه فوق بخش دوم است. پارامتر TV تابع تغییرات کلی مرتبه x 0 β 1 دومین پارامتر منظمسازی است که وظیفه آن برقراری تعادل میان دو بخش منظمسازی که همان ت ن کی در راستای زمانی و پیوستگی در راستای جانبی است خواهد بود. هرچه مقدار β بزرگتر باشد پیوستگی موجود در الیهها بیشتر ولی میزان ت ن کی الیه کمتر خواهد بود و برای مقدار β کوچکتر ت ن کی الیهها افزایش و میزان پیوستگی کاهش خواهد یافت. مقدار مناسب برای پارامتر β به روش آزمایش و خطا به دست میآید. تغییرات کلی یکی از روشهای معمول منظمسازی است که برای حفظ کردن ناپیوستگیهای شدید در جواب منظم یافته استفاده x میشود. علت اصلی استفاده از TV برای بازیابی سری بازتاب در این است که با نرم اقلیدسی مشتق دوم جهتدار مدل بر اساس رابطه )7( نسبت دارد و برای هموار کردن مدل در راستای بازتابها از کارایی باالیی برخوردار است. که در رابطه باال در راستاهای D ij و i ها عملگرهای مشتقگیری مرتبه دوم j میباشند. برای حل تابع هزینه مربوطه به واهمامیخت چندکاناله که در این بخش مطرح شد از الگوریتم تکرارپذیر شکافت برگمن Bregman( )slit استفاده میشود که قادر است مؤلفههای نرم- 1 و نرم- تابع هزینه مورد نظر را از هم جدا کرده و به صورت سادهتری به حل مسئله بپردازد ( Gholami.)and Sacchi, 013 9-- تخمین موجک لرزهای در این بخش با استفاده از سری بازتاب حاصل از واهمامیخت به روش بازیابی فاز به تخمین موجک لرزهای که اطالعات صحیح فازی را دربردارد پرداخته میشود. برای به دست آوردن یک موجک هموار از تابع هزینه )8( که از خانواده توابع منظمساز تیخونف w )Tikhonov( محسوب میشود استفاده خواهد شد. w arg min y Gw Lw 1 )8( و که w موجک تخمینی y داده مشاهده شده تنک مشتقگیری متشکل از مرتبههای متفاوت و L G ماتریس عملگر همامیخت ساخته شده از سری بازتاب تخمین زده شده به روش بازیابی فاز میباشند. گویی موجک در حوزه مشتقات تعریف شده ت ن ک در نظر گرفته شده است. برای حل تابع هزینه )8( از روش تکرار کمترین مربعات وزندهی شده )IRLS( که در جدول آورده شده است استفاده میشود. در این الگوریتم I Q N داللت میکند بر ماتریس همانی N ماتریس وزندهی به صورت قطری است که ورودیهای قطر آن به صورت رابطه )9( تعریف میشوند: j 1 Q, i i 1 j L w i ε )9( پس از بازیابی موجک دارای ساختار صحیح میتوان از موجک حاصل استفاده کرده و با بهرهگیری از روشهای مرسوم واهمامیخت ت ن ک در حوزه زمان سری بازتاب را با دقت باالتری به دست آورد. جدول : الگوریتم IRLS برای بازیابی موجک. IRLS algorithm for recovering the wavelet 1) Initialize: set and ) for to maximum iteration do 3) Solve 4) Comute according to equation (9) 5) end 9- مثالهای عددی 1-9- دادههای شبیهسازی شده فلا- در شکل تابع چشمه به صورت یک موجک ریکر بیشینه فاز در نظر گرفته شده که با استفاده از معادل کمینهی آنکه در شکل i xx i xy i yy i TV x D x D x D x )7(

ب- ب- ب- د- وفائی شوشتری و غالمی تخمین موجک و واهمامیخت دادههای لرزهای با استفاده از روش بازیابی فاز مقاله تحت چاپ. آورده شده است عمل واهمامیخت پیادهسازی میشود. نتایج حاصل از این واهمامیخت به دو روش مرسوم در حوزه زمان و بازیابی فاز به ترتیب در ستونهای الف و ب شکل 3 نشان داده شده است. در هر دو ستون شکلهای مربوط به سطر اول سری بازتاب حاصل از فرآیند واهمامیخت شکلهای مربوط به سطر دوم تطابق اطالعات فازی سیگنال اولیه و بازسازی شده و شکلهای مربوط به سطر سوم تطابق اطالعات دامنه سیگنال اولیه و بازسازی شده را نشان میدهند. همانطور که از روی نتایج مشهود است واهمامیخت مرسوم که بر اساس وارونسازی اطالعات هم طیف فاز و هم طیف دامنه سیگنال و با اعمال قید منظمساز نرم- 1 صورت میگیرد از فشردهسازی موجک تا حد یک اسپایک بازمانده است به دلیل اینکه به سری بازتاب نیاز دارد تا وقتی از فیلتر کمینه فاز عبور میکند ساختار چشمه را منطبق سازد به عبارت دیگر این نوع واهمامیخت سری بازتاب ت ن ک را در ازای پیشبینی و تطابق هر دوی طیف دامنه و طیف فاز به دست خواهد آورد. در حالیکه روش بازیابی فاز آورده شده در جدول 1 موجک را به خوبی تا حد یک اسپایک فشرده میسازد بدون اینکه به اطالعات ساختاری آن نیاز داشته باشد و تنها طیف دامنه را منطبق میکند. در شکل 4 -الف یک سری بازتاب تنک دارای 51 نمونه زمانی شامل 11 اسپایک با دامنههای متفاوت با یک موجک برلگ دارای فرکانس 51 هرتز و بازه نمونهبرداری میلیثانیه نشان داده شده در شکل 4 به رنگ آبی که از خصوصیات آن داشتن فاز آمیخته است همامیخت شده و سپس 5 درصد نوفه تصادفی به آن افزوده شده است تا لرزهنگاشت شبیهسازی شده آورده شده در شکل 4 تولید کند. با فرض اینکه فاز موجک مذکور در دسترس را نیست الگوریتم بازیابی فاز پیادهسازی شده است. با توجه به شکل 4 -ه و وارونسازی تنها طیف دامنه داده با منطبق کردن طیف دامنه داده بازسازی شده بر طیف دامنه داده اولیه فاز آمیخته موجک با دقت باالیی تخمین زده شده است و موجک تخمینی نیز در شکل 4 رنگ قرمز مشاهده میشود. به شکل : الف: موجک ریکر بیشینه فاز. ب: موجک ریکر کمینه فاز. شکل 9: نتیجه واهمامیخت موجکهای شکل باهم. ستون چپ: واهمامیخت به روش مرسوم در حوزه زمان. ستون راست: واهمامیخت به روش بازیابی فاز.

ج- نشریه پژوهشهای ژئوفیزیک کاربردی مقاله تحت چاپ. )د( )ج( )ه( شکل 4: تخمین موجک به روش بازیابی فاز. الف( سری بازتاب. ب( موجک صحیح و موجک تخمین زده شده به روش بازیابی فاز. ج( لرزهنگاشت حاصل از همامیخت سری بازتاب با موجک. د( لرزهنگاشت آغشته شده به 1 درصد نوفه تصادفی. ه( انطباق سازی طیف دامنه داده اولیه با طیف دامنه داده بازسازی شده به روش بازیابی فاز. سری بازتاب ارائه شده در شکل 5 -الف نتیجه وارونسازی فقط طیف دامنه با اجرای پارامتر منظمسازی 511 0.09 تکرار از الگوریتم بازیابی فاز و مقدار است و در همین شکل مکان دقیق ضرایب بازتاب مدل اصلی با دایرههای آبی رنگ مشخص شدهاند. در شکل 5 -ب طیف دامنه داده اولیه به رنگ آبی و طیف دامنه سری بازتاب تخمین زده شده به رنگ قرمز آورده شده است که به طور واضحی گویای حذف اثر کرنل مات کننده و افزایش پهنای باند فرکانسی داده پس از واهمامیخت است. در شکل 5 -ج لرزهنگاشت بازسازی شده حاصل از سری بازتاب و موجک تخمین زده شده به رنگ قرمز و برای مقایسه با داده اولیه که به رنگ آبی است آورده شده است. همانطوری که انتظار میرود داده بازسازی شده به جز در موارد خطا انطباق خوبی را با داده اولیه نشان میدهد. شکل 6 -الف یک مدل بازتاب شبیهسازی شده را نشان میدهد 51 51 x که ابعاد این مدل به صورت R است و برای تخمین موجک و واهمامیخت لرزهای از داده دوبعدی مورد ارزیابی قرار گرفته است. در این مدل شبیهسازی شده فاصله نمونهبرداری زمانی = dt میلیثانیه و فاصله نمونهبرداری مکانی = 0 dx متر در نظر گرفته شدهاند. مقطع حاصل از همامیخت مدل بازتاب مذکور با موجک برلگ )Berlage( که از جمله موجکهای دارای ساختار و فاز پیچیده است با فرکانس 51 هرتز و بازه نمونهبرداری میلیثانیه نشان داده شده در شکل 6 -ه در شکل 6 -ب آمده است. در نهایت شکل 6 مقطع لرزهای اصلی را نشان میدهد که با افزودن نوفه دارای توزیع گوسی با نسبت SNR=5(dB) )signal to noise ratio( به مقطع شکل 6 -ب به دست آمده است. با تقریب زدن یک طیف دامنه هموار از روی طیف دامنه داده مشاهدهای الگوریتم بازیابی فاز آورده شده در جدول 1 پیادهسازی شده است. شکل 6 -د طیف دامنه بر حسب فرکانس را نشان میدهد که طیف آبی رنگ طیف دامنه میانگین داده لرزهای شبیهسازی شده و طیف قرمز رنگ از هموار کردن طیف آبی رنگ حاصل شده و به عنوان طیف دامنه موجک اولیه مورد استفاده قرار گرفته است. در نتیجه انجام فرآیند واهمامیخت کور موجک تخمین زده شده که با تعداد 1 تکرار از الگوریتم IRLS آورده شده در جدول و پارامتر منظمسازی حاصل شده است و همچنین مقطع بازتاب نوسازی شده که بر اساس فاز صحیح موجک تخمینی شکل 6 -ی و تحت قید ت ن کی بازسازی شده است به ترتیب در شکلهای 6 -ی و 6 -و نمایش داده شدهاند. جهت بررسی پایداری روش تعبیه شده در حضور نوفه برای تخمین موجک لرزهای از مدل بازتاب شکل 6 -الف و موجک برلگ

وفائی شوشتری و غالمی تخمین موجک و واهمامیخت دادههای لرزهای با استفاده از روش بازیابی فاز مقاله تحت چاپ. دارای فاز آمیخته شکل 6 -ه به همراه سطوح انرژی متفاوتی از مقدار نوفه افزوده شده به مقطع لرزهای استفاده شده است تا نسبت SNR برای مدل موجک به دست آمده مورد ارزیابی قرار گیرد. کیفیت موجک تخمین زده شده بر حسب نسبت SNR )به دسی بل( به صورت زیر تعریف میشود: SNR 0log 10 w w w )11( که در رابطه )11( w موجک تخمین زده شده به روش الگوریتم تعبیه شده و موجک صحیح اولیه w است که مقطع لرزهای مات را تولید کرده است. نمودار کیفیت موجک تخمین زده شده بر حسب نسبت سیگنال به نوفه داده لرزهای برای موجک برلگ مذکور در شکل 7 آمده است که تا نسبت SNR=0(dB) از سطح انرژی نوفه موجود در داده موجک تخمینی از کیفیت قابل قبولی در مقایسه با مدل اصلی برخوردار است و از این نسبت پایینتر میزان کیفیت موجک تخمینی کاهش پیدا میکند. )ج( شکل 1: الف( سری بازتاب حاصل از واهمامیخت رد لرزه شکل 4 -د. ب( طیف فرکانس رد لرزه قبل و بعد از واهمامیخت. ج( رد لرزه اصلی و بازسازی شده. رنگ آبی در همه شکلها پارامتر اصلی را نشان میدهد. )ج( )و( )ی( )ه( )د( شکل 6: الف( مقطع بازتاب شبیهسازی شده. ب( مقطع لرزهای. ج( مقطع لرزهای نوفهدار با نسبت سیگنال به نوفه 1 دسی بل. د( طیف دامنه داده و طیف دامنه موجک تخمینی. ه( موجک صحیح. ی( موجک تخمین زده شده. و( مقطع بازتاب تخمین زده شده نهایی.

ب- نشریه پژوهشهای ژئوفیزیک کاربردی مقاله تحت چاپ. شکل 0: نمودار بررسی پایداری روش پیشنهادی تخمین موجک در حضور میزان متفاوت نوفه. -9- داده میدانی در این بخش الگوریتم ارائه شده مورد استفاده قرار گرفته است تا فرآیند واهمامیخت کور بر روی یک ورداشت دریایی نقطه میانی y پیادهسازی شود. هر R 600 180 مشترک )CMP( با ابعاد لرزهنگاشت شامل 611 نمونه زمانی است که فاصله نمونهبرداری آنها 4 میلیثانیه است. مختصات عمودی مربوط به زمان بر حسب ثانیه و مختصات افقی مربوط به دورافت بر حسب متر میباشند. در بحث لرزهنگاری اکتشافی منظور از زمان اشاره شده در اینجا زمانی است که یک موج طولی در زمین سیر میکند تا با یک سطح بازتاب برخورد کرده و پس از آن به سطح زمین بازگردد برای حالتی که چشمه و گیرنده لرزهای از نقاط شبکهای یکسانی بر روی سطح عملیاتی بهره میگیرند. ورداشت نقطه میانی مشترک قبل از فرآیند واهمامیخت در شکل 8 -الف ورداشت حاصل از واهمامیخت بر اساس الگوریتم بازیابی فاز در شکل 7 -ب و ورداشت حاصل از واهمامیخت به روش مرسوم در حوزه زمان و با بهرهگیری از موجک تخمین زده شده در شکل 8 -ج آمده است که میتوان به وضوح افزایش قدرت تفکیک زمانی و بهبود تصویرسازی الیههای نازک را در ورداشت CMP پس از فرآیند واهمامیخت مشاهده کرد. موجک اولیهای که برای ساختن عملگر واهمامیخت در الگوریتم بازیابی فاز از آن بهره گرفته شده است دارای فاز صفر و طیف دامنه نشان داده شده در شکل 9 فلا- است. طیف دامنه موجک اولیه در واقع با هموارسازی طیف دامنه میانگین داده مشاهدهای که همان ورداشت نقطه میانی مشترک قبل از واهمامیخت است تقریب زده شده است. در بخش مقدمه به این موضوع پرداخته شد که در روش بازیابی فاز بازیابی دادههای لرزهای تنها بر اساس وارونسازی طیف دامنه داده صورت میگیرد و بنابراین برای مسئله مورد نظر به دنبال یافتن جوابی هستیم که طیف دامنه پیشبینی شده از داده بازسازی شده با طیف دامنه داده مشاهدهای با اختالف بسیار جزئی مطابقت کند. در مثال ورداشت نقطه میانی مشترک آورده شده انطباق طیف دامنه داده بازسازیشده و طیف دامنه داده مشاهدهای در شکل 9 نشان داده شده است که طیف آبی رنگ طیف دامنه مربوط به یک رد لرزه از ورداشت نقطه میانی مشترک و نقطهچینهای قرمز رنگ مربوط به طیف دامنه رد لرزه بازسازی شده از سری بازتاب تخمین زده شده با موجک اولیه است. همانطور که مشهود است دو طیف تطابق بسیار باالیی را نشان میدهند. موجک لرزهای استخراج شده از ورداشت نقطه میانی مشترک شکل 8 شده که دارای فاز و ساختار صحیح است. دامنه فلا- در شکل 9 -ج نشان داده عالوه بر این در شکلهای 11 -الف و 11 -ب به تحلیل طیف مربوط به لرزهنگاشتی از بخش میانی ورداشت CMP و میانگین طیف دامنه تمامی لرزهنگاشتهای ورداشت قبل و بعد از انجام فرآیند واهمامیخت پرداخته شده است. در این دو شکل رنگ آبی مربوط به طیف دامنههای داده قبل از واهمامیخت و رنگ قرمز مربوط به طیف دامنههای داده پس از واهمامیخت میباشند. همانطور که از روی شکل طیفها مشخص است گسترش پهنای باند فرکانسی محسوسی را در نتیجه پیادهسازی واهمامیخت خواهیم داشت. برای اعتبارسنجی و اطمینان کامل از صحت نتایج به دست آمده از داده میدانی میتوان از دادههای چاهنگاری استفاده کرد اما چون دادههای چاه مربوط به منطقه مورد بررسی در دسترس نیست میتوان با استناد به دقت و صحت نتایج عددی حاصل شده از دادههای شبیهسازی شده تککاناله و چندکاناله و تخمین دقیق موجک و سری بازتاب به روش تعبیه شده در آنها گفت که نتایج مربوط به داده میدانی نیز مورد قبول خواهد بود. همچنین بررسی و تحلیل طیف دامنه داده قبل و بعد از واهمامیخت توسط موجک تخمین زده شده میتواند دلیل دیگری برای افزایش اعتبار و صحت روش پیشنهادی در مقاله باشد. برای جلوگیری از وارد شدن نوفه و اثرات مصنوعی بر روی داده لرزهای در حین اعمال فرآیند واهمامیخت از پارامتر منظمسازی مناسب و بهینه در مسئله استفاده میشود که نقش آن در برقراری تعادل میان بخش خطا و بخش منظمساز است. در واقع در صورتیکه

وفائی شوشتری و غالمی تخمین موجک و واهمامیخت دادههای لرزهای با استفاده از روش بازیابی فاز مقاله تحت چاپ. مقدار این پارامتر به طور متناسب برای فرآیند واهمامیخت مطرح شده در این مقاله انتخاب شود اثرات ناشی از نوفه بر روی داده به حداقل خواهد رسید و نتایج حاصل صحیح و معتبر خواهند بود. میتوان در طرحهای بعدی برای تخمین پارامتر دقیق از روشهای معقول و مناسب با مسئله مطرح شده بهره گرفت. )ج( شکل 8: الف( یک ورداشت نقطه میانی مشترک )CMP( دریایی قبل از فرآیند واهمامیخت. ب( ورداشت پس از واهمامیخت حاصل از تنها طیف دامنه موجک. ج( ورداشت پس از واهمامیخت نهایی حاصل از موجک تخمینی با فاز. )ج( شکل 3: الف( طیف دامنه موجک اولیه استفاده شده در الگوریتم بازیابی فاز ب( تطابق طیف دامنه داده اولیه و داده بازسازی شده ج( موجک استخراج شده از ورداشت.CMP

چاپ. تحت مقاله کاربردی ژئوفیزیک پژوهشهای نشریه بعد و قبل CMP ورداشت دامنه طیف میانگین ب( واهمامیخت. فرآیند از بعد و قبل CMP ورداشت میانی لرزهنگاشت دامنه طیف الف( 11: شکل است. مشهود خوبی به واهمامیخت از بعد فرکانسی باند پهنای گسترش واهمامیخت. فرآیند از roblems, SIAM Journal on Imaging Sciences,, 183-0. Edgar, J.A. and Van der Baan, M., 011, How reliable is statistical wavelet estimation?, Geohysics, 76 (4), V59-V68. Gholami, A. and Sacchi, M.D., 01, A fast and automatic sarse deconvolution in the resence of outliers, IEEE Trans. Geosci. Remote Sens., 50, 4105-4116. Gholami, A. and Sacchi, M.D., 013, Fast 3D blind seismic deconvolution via constrained total variation and GCV, SIAM Journal on Imaging Sciences, 6, 350-369. Gholami, A., 014, Phase retrieval through regularization for seismic roblems, Geohysics, 79 (5), V153-V164. Heimer, A. and Cohen, I., 009, Multichannel seismic deconvolution using Markov-Bernoulli random-field modeling, IEEE Trans. Geosci. Remote Sens., 47, 047-058. Kaaresen, K.F. and Taxt, T., 1998, Multichannel blind deconvolution of seismic signals, Geohysics, 63, 093-107. Mendel, J.M., 1983, Otimal Seismic Deconvolution: An Estimation-Based Aroach, New York, Academic Press. Robinson, E.A. and Treitel S., 1980, Geohysical Signal Analysis, Englewood Cliffs, NJ, Prentice-Hall. نتیجهگیری 4- با بازسازی داده دامنه طیف تنها دادن تطابق با فاز بازیابی الگوریتم با مقایسه در مشاهدهای داده دامنه طیف به شده برای را فاز و دامنه طیف دو هر زمان حوزه در که الگوریتمهایی به مربوط مسائل در را معتبرتری نتایج میسازند منطبق وارونسازی میدهد. ارائه واهمامیخت فرآیند جمله از فازی تطابق عدم محدودیتی هیچگونه مقاله این در شده مطرح فاز بازیابی روش دقت با میتواند و نمیگیرد نظر در استخراجی موجک فاز برای را همواره که دهد دست به را پیچیده فاز با موجکهای ساختار باالیی است. بوده لرزهای داده پردازش مراحل در عمده چالشهای از یکی سطوح با نوفه حضور در پیشنهادی روش پایداری بررسی موجک برای شده زده تخمین مدل که شد مشاهده انرژی از متفاوتی بنابراین و است برخوردار خوبی دقت و کیفیت از الگوریتم از حاصل تعبیه روش مطلوب عملکرد نهایت در است. پایدار پیشنهادی روش و چندکاناله و تککاناله شده شبیهسازی عددی نتایج روی بر شده زمانی تفکیک قدرت افزایش در را آن کارایی میدانی داده همچنین موجک صحیح فاز بازیابی همچنین و لرزهای مقاطع در بازتابها داده دامنه طیف از استفاده با تنها زمین بازتاب مدل و لرزهای مینماید. تأیید مشاهدهای منابع 1- Beck, A. and Teboulle, M., 009, A fast iterative shrinkage-thresholding algorithm for linear inverse

چاپ. تحت مقاله فاز بازیابی روش از استفاده با لرزهای دادههای واهمامیخت و موجک تخمین غالمی و شوشتری وفائی Van der Baan, M. and Pham, D.T., 008, Robust Sacchi, M.D. and Ulrych, T.J., 000, Non-minimum wavelet estimation and blind deconvolution of hase wavelet estimation using higher order noisy surface seismic, Geohysics, 73( 5), V37- statistics, The Leading Edge, 19, 80-83. V46. Wiener, N., 1949, Extraolation, Interolation, and Smoothing of Stationary Time Series, New York, Wiley. Yilmaz, O., 001, Seismic data analysis: Processing, inversion, and interretation of seismic data, Society of Exloration Geohysicists, Vol. 1. Ziolkowski, A., 1991, Why don t we measure seismic signatures?, Geohysics, 56, 190-01. Taylor, H.L., Banks, S.C. and McCoy, J.F., 1979, Deconvolution with the l-norm, Geohysics, 44, 39-5. Tribolet, J.M., 1979, Seismic Alications of Homomorhic Signal Processing, Englewood Cliffs, NJ, Prentice-Hall. Ulrych, T.J., Velis, D.R. and Sacchi, M. D., 1995, Wavelet estimation revisited, The Leading Edge, 10, 1139-1143.

JOURNAL OF RESEARCH ON APPLIED GEOPHYSICS Shahrood University of Technology (JRAG) ARTICLE IN PRESS (DOI): 10.044/JRAG.017.856 Wavelet estimation and deconvolution of seismic data through hase retrieval method Keywords Phase Retrieval Blind Deconvolution Seismic Wavelet Comlex Phase Fourier Amlitude Sectrum Imulse Resonse Wavelet Estimation Seideh Vafaei Shoushtari 1* and Ali Gholami 1- M.Sc. Graduated, Institute of Geohysics, University of Tehran, Tehran, Iran - Associate Professor, Institute of Geohysics, University of Tehran, Tehran, Iran Received: 4 January 017; Acceted: 6 January 017 Corresonding author: s.vafaei@ut.ac.ir Extended Abstract Summary Seismic data can resent a remarkably good image of the subsurface, and therefore, seismic methods have found considerable attention in oil and gas exloration industry. Wavelet or source deconvolution is one of the most imortant rocedures in seismic rocessing used to increase the time resolution of the seismic sections while requires a reliable wavelet. The accuracy of the wavelet deends severely on the comlexity of the wavelet hase. In this aer, through a smooth estimation of the wavelet amlitude sectrum, we go for obtaining the imulse resonse of the earth via a hase retrieval algorithm. Desite the conventional deconvolution methods, here just the Fourier amlitude sectrum information of the data is inverted as a hase retrieval roblem. In the next ste, deconvolution of the recorded imulse resonse from the data leads to a better estimation of the wavelet with any desired hase sectrum. Therefore, the resented algorithm is considered as a ''blind deconvolution'' method. Introduction In statistical seismic deconvolution, the wavelet is estimated from the data; however, it is easier to estimate its amlitude sectrum, and the hase is usually missed or is very inaccurate. This makes deconvolution of mixed-hase wavelets more roblematic. It has still remained a challenge among geohysicists to estimate a reasonable seismic wavelet from the data to erform deconvolution efficiently. In this aer, as it is going to be illustrated, the roosed hase retrieval algorithm can be used for deconvolution of mixed-hase wavelets. Methodology and Aroaches A reflection seismogram, after some secified rocessing stes, can be regarded as a convolution of the source wavelet with the reflectivity series and some additive noise. For obtaining the reflectivity series describing the earth, an aroriate wavelet is needed for deconvolution. The reflectivity model is obtained only by the amlitude sectrum of the observed data, looking for a solution whose redicted amlitude sectrum matches the observations of amlitude sectrum, u to a constant considered for errors in the data. Actually, it refers to an amlitude-only inversion roblem, which reconstructs the Fourier hase of a signal from the Fourier amlitude. Obtaining the reflectivity model through the hase retrieval algorithm is an ill-osed inverse roblem and has to be solved through regularization method. The roblem is solved for a reflectivity series based on the fast iterative shrinkage/thresholding algorithm (FISTA) allowing extra constraints while reserving the comutational simlicity. In multichannel deconvolution for imroving temoral sarsity while reserving the lateral continuity of the estimation, we define a combined regularization function based on sarsity and second-order total variation. Slit Bregman algorithm is used to solve the corresonding roximity function. Then, a wavelet with any desired hase sectrum is estimated using the obtained reflectivity. Results and Conclusions In this aer, we roosed a deconvolution algorithm which just needed a smooth aroximation of the source wavelet amlitude sectrum. The desired erformance of the roosed hase retrieval method on the numerical and field seismic examles confirmed its efficiency by enhancing the resolution of the seismic section and obtaining the accurate reflectivity model. The aroach for solving deconvolution discussed here had no limitations for the hase of the extracted wavelet and could obtain wavelets having comlex structures with an accetable accuracy.