חשבון אינפיניטסימלי 1

חשבון אינפיניטסימלי 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ צליל סלע בקורס "חשבון אינפיניטסימלי 1" (80131) באוניברסיטה העברית, 7 2006.

תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו. סודר באמצעות L A TEX 2ε ב- 15 בפברואר 2008. עדכונים ותיקונים יופיעו ב-/ http://www.limsoup.net. לתגובות, לתיקונים ובכל עניין אחר, אנא כתבו ל- yuvak@gmx.net. סיכומים נוספים בסדרה: אלגברה לינארית 1 חשבון אינפיניטסימלי 1 7 2006 אלגברה לינארית 2 חשבון אינפיניטסימלי 2 תורת הקבוצות תורת ההסתברות 1 מבנים אלגבריים 1 8 2007

תוכן עניינים 5.......................... R המספרים הממשיים 1 5............................... שדות 1.1 8....................... קבוצות אינדוקטיביות 1.2 10..................... עקרון ההוכחה באינדוקציה 1.3 11 תכונת השלמות........................... 1.4 14.......................... שורשים וחזקות 1.5 16................................... סדרות 2 19 אריתמטיקה של גבולות....................... 2.1 21....................... התכנסות במובן הרחב 2.2 22......................... סדרות מונוטוניות 2.3 23 המספר. e............................. 2.4 24............................. תת-סדרות 2.5 27...................... גבולות עליונים ותחתונים 2.6 28............................ סדרות קושי 2.7 29....................... חזקות עם מעריך ממשי 2.8 32................................... טורים 3 32.......................... טורים מתכנסים 3.1 34........................... טורים חיוביים 3.2 36 טורים עם סימנים מתחלפים..................... 3.3 39........................... קיבוץ איברים 3.4 40......................... שינוי סדר הסכימה 3.5 41........................... מכפלת טורים 3.6 43.......................... שברים עשרוניים 3.7 44 פונקציות, גבולות ורציפות.......................... 4 44 פונקציות.............................. 4.1 44............................... גבולות 4.2 46 רציפות............................... 4.3 47 תנאים לקיום גבול ולרציפות..................... 4.4 48.............................. חסימות 4.5 49 אריתמטיקה של גבולות....................... 4.6 50.......................... הרכבת פונקציות 4.7 51......................... משפט ערך הביניים 4.8 53........................ פונקציות מונוטוניות 4.9 3

תוכן עניינים תוכן עניינים 55 פונקציות אלמנטריות........................ 4.10 56 גבולות במובן הרחב......................... 4.11 57........................ רציפות במידה שווה 4.12 59............................. חשבון דיפרנציאלי 5 59 הנגזרת............................... 5.1 60....................... הנגזרת כשיפוע המשיק 5.2 61....................... אריתמטיקה של נגזרות 5.3 62...................... נגזרת הפונקציה ההפוכה 5.4 63......................... משפטי ערך ממוצע 5.5 66................. נגזרות הפונקציות הטריגונומטריות 5.6 4

R 1 המספרים הממשיים R 1 המספרים הממשיים 1.1 שדות 1.1.1 אקסיומות השדה 23.10.2006 הגדרה. (,+,F) 1 תיקרא שדה אם מתקיימות התכונות הבאות: שדה x, y F x y = y x, x + y = y + x.1 (חילוף קומוטטיביות) x, y, z F (x y) z = x (x y), (x + y) + z = x + (y + z).2 (קיבוץ אסוציאטיביות) x, y, z F x (y + z) = xy + xz.3 (פילוג דיסטריבוטיביות ( 2 0 F : x F x + 0 = 0 + x = x.4 1 F : x F 1 x = x 1 = x (קיום איברים נייטרליים) x F y F : x + y = y + x = 0.5 (קיום איברים נגדיים; האיבר הנגדי יחיד, לכן נוכל לסמנו y) = x 0 x F y F : x y = y x = 1.6 (קיום איברים הפכיים; האיבר ההפכי יחיד, לכן נוכל לסמנו 1 x y) = 1.1.2 תכונות שדה 24.10.2006 מסקנות מהאקסיומות: x, y, a F x + a = y + a = x = y.1 הוכחה. נחבר את האיבר הנגדי: x + a = y + a = (x + a) + ( a) = (y + a) + ( a) על-פי חוק הקיבוץ ותכונת הנגדי, נקבל = x + (a + ( a)) = y + (a + ( a)) = x = y.2 (א) = 0 0 x x הוכחה. 0 x = x 0 = x (0 + 0) = x 0 + 0 = 0 + 0 נחבר 0 x, ועל-פי תכונת הנגדי, נקבל x 0 + ( x 0) = x 0 + x 0 + ( x 0) 0 = x 0 1 קבוצה שמוגדרות בה הפעולות הבינאריות : F F F + ("חיבור") ו- F : F F ("כפל"). 2 במערכות שאינן שדה, לעתים תתקיים תכונה זו רק מימין או משמאל; כאן אין זה משנה, בגלל חוק החילוף. 5

R 1 המספרים הממשיים 1.1 שדות x ax + b = c = a 1 (ax + b) = a 1 c (ב) x ( 1) = x a 0, b, c F!x F : ax + b = c.3 הוכחה. נניח כי x קיים ונוכיח כי הוא יחיד. = x + a 1 b = a 1 c = x + a 1 b + ( a 1 b) = a 1 c + ( a 1 b) = x = a 1 c a 1 b = a 1 (c b) יחידות x נובעת מהמוגדרות-היטב של הכפל. כדי להוכיח קיום, נציב במשוואה או נטען שניתן להפוך את הגרירות..4 (א) = 0 0 (ב) = 1 1 1 (x + y) = ( x) + ( y).5 ( x) = x.6 x, y F x 0 y 0 = x y 0, (x y) 1 = x 1 y 1.7 x 0 (x 1 ) 1 = x.8 (x y) = ( x) y = x ( y).9 x 0 ( x) 1 = (x 1 ).10 1.1.3 תכונת הסדר שדה סדור הגדרה. שדה (,+,F) ייקרא שדה סדור אם על (,+,F) ניתן להגדיר יחס סדר המקיים את התכונות הבאות:.1 לכל,x, y F אחת משלוש האפשרויות x = y,y < x,x < y מתקיימת;.2 תורשתיות (טרנזיטיביות): x, y, z F x > y y > z = x > z 3.3 תאימות לפעולות + ו- : x, y, z F x < y = x + a < y + a x, y F a > 0 x < y = a x < a y דוגמה. R הוא שדה סדור. מתקיימות התכונות: x < y, u < v = x + u < y + v.1 x < y = x + u < y + u u < v = y + u < y + v הוכחה. לכן, מטרנזיטיביות,.x + u < y + v x < y y < x.2 3 תכונה דומה עבור שוויון קיימת אף בשדה לא-סדור, כמובן. 6

1.2 קבוצות אינדוקטיביות R 1 המספרים הממשיים הוכחה. אם x < y אזי y)),x + ( (x + y)) < y + ( (x + ולכן. y < x x 0 = x > 0 x > 0.3 a < 0 = (x < y ax > ay).4 x < 0, y < 0 = 0 < x y.5 4 x 0 = x x > 0.6 x > 0 = x 1 > 0 x < 0 = x 1 < 0.7.8 אם x > y שווי סימן, 1 x y 1 > טענה 1 (צפיפות הסדר): יהי <), +, (F, שדה סדור, ויהיו.x < y F אזי קיים איבר z F המקיים.x < z < y הוכחה. ידוע כי ל- F 1 = 1 + 2 יש איבר הפוך. נגדיר y).z = 2 1 (x + למה :1.1 y x < z < x < y = x + x < x + y = 2 2 1 (x + y) < y + y = x < 2 1 (x + y) < y הוכחה. x x 0. x = הגדרה. יהי x. F הערך המוחלט של x מוגדר על-ידי x x < 0 26.10.2006 ערך מוחלט אי-שוויון המשולש x, y F טענה 2 (אי-שוויון המשולש): y x + y x + הוכחה. אם = 0 x או = 0 y או x ו- y שווי סימן, הטענה טריוויאלית (ויתקבל שוויון). כעת נניח כי x ו- y שוני סימן. בלי הגבלת הכלליות, נניח y. < 0 < x נניח בנוסף 0 y x. + אזי y. x + y = x + y = x + ( y ) < x + איבר מקסימלי איבר מינימלי הגדרה. יהי <), +, (F, שדה סדור. תהי.A F איבר a 0 A ייקרא האיבר המקסימלי ב- A אם. a A a a 0 איבר a 1 A ייקרא האיבר המינימלי ב- A אם. a A a a 1 הגדרה. יהי <), +, (F, שדה סדור. יהיו.a 1 < a 2 F תת-הקבוצה I F המוגדרת על-ידי קטעים } 2 I = {f F a 1 < f < a נקראת קטע פתוח ב- F. אילו a 1 ו- a 2 היו נכללים בקטע (אי-שוויון חלש במקום חריף בהגדרת הקבוצה), הקטע היה נקרא קטע סגור. (קטע יכול, כמובן, להיות חצי פתוח וחצי סגור.) אם גבולות הקטע בשדה, הקטע נקרא קטע חסום. (קטע לא-חסום יהיה, למשל, מהצורה (.I = {f F a 1 > f} 4 זהו מקרה פרטי של תכונה 5. 7

R 1 המספרים הממשיים 1.2 קבוצות אינדוקטיביות 1.2 קבוצות אינדוקטיביות קבוצה אינדוקטיבית הגדרה. תת-קבוצה I R נקראת קבוצה אינדוקטיבית אם I 1 ומתקיים לכל x כי.x I = x + 1 I הטבעיים הגדרה. הקבוצה N R קבוצת המספרים הטבעיים היא הקבוצה בין כל הקבוצות האינדוקטיביות: I I אינד =.N טענה 3: N היא קבוצה אינדוקטיבית. הוכחה. I R אינדוקטיבית = I.1 מכאן, I I = N אינד.1 כעת, יהי.x N אז לכל I אינדוקטיבית,.x I לפי התנאי השני,.x + 1 I מכאן x + 1 I ולכן.x + 1 N הראינו N 1 וכן ; x N x + 1 N לכן N אינדוקטיבית. 30.10.2006 טענה :4 אם I N קבוצה אינדוקטיבית,.I = N משפט 5: ב- N מתקיימות הטענות הבאות: m, n N א. m + n N m, n N ב. m n N m, n N ג. N) (n > m = n m n N ד. + 1 n ^n N : n < ^n < א. יהי.n N נגדיר.I n = {m N n + m N} N הוכחה. I n היא קבוצה אינדוקטיבית. למה 1.5: הוכחה. אם n N אז,n + 1 N ולכן I n.1 כעת, יהי ;m I n נראה כי.m + 1 I n מכך ש-,m I n מתקיים N ;n + m N אינדוקטיבית ולכן.n + (m + 1) N אז.m + 1 I n הראינו כי I n N קבוצה אינדוקטיבית, ולכן.I n = N ב. יהי.n N נגדיר N}.J n = {m N n m J n היא קבוצה אינדוקטיבית. למה 2.5: הוכחה. n = n N,1 לכן J n.1 כעת, יהי.m J n אז,n m N ולפי 5 א גם.m + 1 J n כלומר,.n m + n = n(m + 1) N ג. נגדיר N)}.K = {n N m N (n > m = n m n N למה 1 :3.5 n הוכחה. נגדיר.I = {n N n 1} N מתקיים 1,1 לכן I.1 עבור 1,n מתקיים 1 1 +,n ולכן גם.n + 1 I אז I N אינדוקטיבית, ומכאן.n 1,n N כלומר, לכל.I = N 8

1.2 קבוצות אינדוקטיביות R 1 המספרים הממשיים לפי הלמה, 1} < m {m N = כלומר, התנאי מתקיים באופן ריק לגבי = 1,n ולכן K.1 כעת, נניח כי n K ונראה כי.n + 1 K מכך ש- K. m < n n m N,n נתבונן ב- 1 +,n ויהי + 1 n.s < נראה כי n + 1 s N וינבע ש- K :n + 1 אם.s > 1 אחרת, ;n + 1 1 = n N מתקיים,s = 1 למה :4.5 לכל.n 1 N,1 < n N הוכחה. נניח כי קיים ^n < 1 שעבורו.^n 1 N אזי {^n} J = N \ קבוצה אינדוקטיבית: 1 ^n ולכן J ;1 עבור {^n}.n + 1 N \ {^n + 1},n N \ 5 אז J אינדוקטיבית = N J = סתירה, והלמה מתקיימת. לפי הלמה,.s 1 N בנוסף, + 1 n s < ולכן ;s 1 < n אז על-פי ההנחה,.n (s 1) = n + 1 s N ד. נניח כי קיים N x כך ש- 1 + n.n < x < אז בפרט + 1 n ;x < לכן מתקיים = 1 n.x n < n + 1 אבל + 1 n n < ולכן, מהטענה הקודמת, x n טבעי וקטן מ- 1 סתירה ללמה 3.5. הגדרה. הקבוצה Z קבוצת המספרים השלמים היא הקבוצה השלמים Z = {n N} {0} { n N} טענה :6 מספר ממשי x R הוא מספר שלם m x = n עבור.n, m N הוכחה. (= ) ראשית, נראה כי לכל n m,n m, n שלם. אם,n > m על-פי טענה 5 ד.n m N אם.n m = 0 Z,n = m אם,m n = (n m) N,n < m ואז.n m Z ( =) יהי.x Z נראה כי קיימים n, m N כך ש- m.x = n אם > 0,x 1 1) + (n x = n = טבעי. אם = 0,x.x = 1 1 אם < 0,x x = n N ונוכל לכתוב.x = 1 (n + 1) טענה 7: המספרים השלמים סגורים לכפל ולחיבור. הוכחה. כתרגיל. הגדרה. הקבוצה Q קבוצת המספרים הרציונאליים היא הקבוצה { m, n Z Q = x R x = m } n = m n 1 הרציונאליים n 0 טענה 8: קבוצת המספרים הרציונאליים עם פעולות הכפל והחיבור ויחס הסדר של המספרים הממשיים מהווה שדה סדור: <), +, (R,.(Q, +,, <) 5 יש לשים לב שאנו לא מניחים ש- 1 n קיים ב- J ; אם,n J ודאי n + 1 J קיים, והרי אם נניח n + 1 = ^n מראש n, / N לפי ההנחה. 9

R 1 המספרים הממשיים 1.3 עקרון ההוכחה באינדוקציה הוכחה. מספיק להוכיח סגירות (ביחס לכפל, חילוק, לקיחת נגדי ולקיחת הופכי) כל השאר נורש מ- R. קיום 1 0, נובע מיידית מההגדרה. 1.3 עקרון ההוכחה באינדוקציה 1.3.1 אינדוקציה פשוטה אינדוקציה משפט 9 (אינדוקציה פשוטה): תהי (n) P סדרת טענות (N n). אם (1) P טענה נכונה ולכל 31.10.2006.n נכונה לכל P (n) נכונה), P (n + 1) = נכונה P (n)) מתקיים n N הוכחה. נגדיר (n)} P טענה נכונה N.I = {n על-פי הנתון, I 1 ו- I.n I = n+1 אז I אינדוקטיבית. בנוסף,,I N ולכן.I = N 1.3.2 אינדוקציה מלאה משפט 10: תהי A N. אזי ב- A קיים איבר מינימלי. הוכחה. נניח בשלילה כי לקבוצה A אין מינימום. אם A = N אזי = 1 A,min לכן נניח בנוסף.B = {b N a A a b} תהי.A N למה 1.10: B קבוצה אינדוקטיבית. הוכחה. B,1 כי 1 n n N ובפרט 1 a. a A N כעת נניח כי.n B אזי. a A a n אך אם n,n A איבר מינימלי ב- A סתירה; לכן.n / A (כלומר, אי-השוויון הופך לחריף.) למה + 1 :2.10 n a A a (כלומר, (n + 1 B הוכחה. לפי טענה 5 ד, + 1 n. x N x > n = x מכאן נקבל כי מתקיים.n + 1 B ולכן, a A a > n = a n + 1 כעת, B N אינדוקטיבית = N.B = לכן =,A 6 בסתירה להנחה. 7 טענה 11: לכל קבוצה סופית לא-ריקה של מספרים טבעיים יש מקסימום. הוכחה. נוכיח באינדוקציה על מספר איברי הקבוצה. עבור = 1 n, הטענה טריוויאלית. נניח כי הטענה נכונה עבור.n תהי B קבוצה בת + 1 n איברים: } n+1.b = {b 1,..., b נגדיר } n.a = {b 1,..., b על-פי הנחת האינדוקציה, ל- A קיים מקסימום.max A = a נפריד לשני b n+1 a < b n+1 max B = a a b n+1 מקרים: 6 כפי שהוסבר בהוכחת למה,1.10 A.n B = n / 7 כלומר, לא קיימת A כך של- A אין איבר מינימלי. 10

1.4 תכונת השלמות R 1 המספרים הממשיים משפט 12 (אינדוקציה מלאה): תהי (n) P סדרת טענות (N n). אם לכל n N מתקיים אינדוקציה מלאה 8.n נכונה לכל P (n),( k < n נכונה P (k) = נכונה P (n)) הוכחה. תהי (b)} P איננה נכונה N.B = {b נניח בשלילה.B מכאן, ל- B קיים איבר מינימלי.b 0 אז לכל P (k) b 0 > k נכונה, ולכן ) 0 P (b נכונה סתירה לכך ש- B b 0 (כלומר, ) 0 P (b איננה נכונה). 1.4 תכונת השלמות 1.4.1 שלמות R טענה :13 לא קיים r Q כך ש- 2 = 2.r הוכחה. נניח בשלילה שקיים.( 9 p, q N) r = p q.r2 = 2,r Q בלי הגבלת הכלליות, נוכל r 2 =. a A, b B אזי להניח כי p או q אי-זוגי. אז ( ) 2 p = 2 = p 2 = 2q 2 = זוגי p אי-זוגי q q מכיוון ש- p זוגי, ניתן לכתוב p, = 2m ואז (2m) 2 = 2q 2 = 2m 2 = q 2 = זוגי q סתירה. משפט 14 (אקסיומת השלמות): תהיינה A, B R כך ש- b a קיים R r כך ש- r. b B b r, a A a (כלומר, קיים איבר ממשי שמפריד, במובן החלש, בין A לבין B.) דוגמה. ברציונאליים האקסיומה לא מתקיימת: נבחר, למשל, } 2 > q A = { q Q ו- } 2 < q.b = { q Q 1.4.2 חסמים. a A איבר R c חסמים הגדרה. תהי.A R איבר R b נקרא חסם מלעיל של A אם a b. a A נקרא חסם מלרע של A אם a c הגדרה. תהי A. R איבר R r נקרא חסם עליון של (sup (A A אם r הוא חסם מלעיל של A ולכל חסם מלעיל b של.b r,a 10 איבר R r נקרא חסם תחתון של (inf A) A אם r הוא חסם מלרע של A ולכל חסם מלרע b של b. r A, דוגמה. אם 1} < x A = {x R 0 < אז = 1 A.sup אם } 2 < q B = { q Q אז 2 = B.sup אם N} C = { 1 1 n n אז = 1 C.sup 8 באופן מובלע מוכח ש-( 1 ) P נכונה מכיוון שאין טבעי קטן מ- 1, באופן ריק מתקיים שלכל < 1 k P (k) נכונה. 9 אפשר להניח זאת, כי r חיובי. 10 כלומר, r הוא החסם-מלעיל הקטן ביותר. 11

R 1 המספרים הממשיים 1.4 תכונת השלמות משפט 15: לכל קבוצה חסומה מלעיל A R קיים חסם עליון יחיד. הוכחה. תהי A R קבוצה חסומה מלעיל. נגדיר B להיות קבוצת החסמים-מלעיל של A: a}.b = {b R a R b אז B.A, לפי אקסיומת השלמות, קיים r R כך ש- r a A a ו- r. b B b למה 1.15: r הוא חסם עליון של A. הוכחה. (נובעת משני האי-שוויונים המגדירים את r.) למה 2.15: חסם עליון של קבוצה חסומה מלעיל A R הוא יחיד. הוכחה. יהיו r 1 r, 2 חסמים עליונים של r 2 r, 1 A. הם בפרט חסמים מלעיל של A. עליון מלעיל 1 r r 2 מלעיל עליון r 1 r 2 = r 1 = r 2 6.11.2006 טענה 16: תהי A קבוצה חסומה מלעיל. איבר r R הוא החסם העליון של A אם ורק אם א. r חסם מלעיל של A; ב. לכל < ε 0 קיים a A כך ש- a.r ε < הוכחה. (= ) נניח כי r R הוא חסם עליון של A. ראשית, על-פי הגדרה, r חסם מלעיל של A. נניח בשלילה כי קיים < ε 0 כך שלכל.a r ε a A במקרה זה, r ε חסם מלעיל; אך r, ε < r בסתירה לכך ש- r חסם עליון. ( =) נניח כי r R מקיים את התנאים א +ב. ראשית, r חסם מלעיל על-פי תנאי א. נניח בשלילה שקיים u R שהוא חסם מלעיל של.u < r,a נגדיר.ε 0 = r u לכל a u,a A ולכן,r ε 0 a בסתירה לתנאי ב. הגדרה. תהיינה.A, B R אזי A + B = {a + b a A b B} A B = {a b a A b B} A = { a a A} A 0 a A a 0 טענה 17: תהיינה,A B R קבוצות חסומות מלעיל. אז א. ;sup(a + B) = sup A + sup B ב. ;inf( A) = sup A ג. אם 0 B A, אזי.sup(A B) = sup A sup B הוכחה. כתרגיל. 12

1.4 תכונת השלמות R 1 המספרים הממשיים x R 1.4.3 ארכימדיות הממשיים משפט 18 (ארכימדיות של המספרים הממשיים): n N : x < n 2.11.2006 ארכימדיות הממשיים הוכחה. נניח בשלילה כי N חסומה מלעיל; לכל קבוצה חסומה מלעיל קיים חסם עליון. יהי a R החסם העליון של N..a 1 2 למה :1.18 קיים n N כך ש- a < n הוכחה. ראשית, a חסם עליון של N ולכן. n N n a אם לא קיים n N שעבורו a 1 2 < n אז 1 2 a חסם מלעיל של,N בסתירה לכך ש- a (a 1 2 <) חסם עליון. 1 2 a n N : ולכן,a < a + 1 2 n + 1 N 11 בסתירה באמצעות הלמה, בפרט < n לכך ש- a חסם עליון של N..0 < 1 n מסקנה :19 לכל < ε R 0 קיים n N כך ש- ε <.ε 1 n אזי לכל.n 1 ε,n N קיבלנו הוכחה. נניח בשלילה כי קיים < ε 0 כך שלכל n, N שמספר ממשי גדול מכל טבעי, בסתירה לארכימדיות הממשיים. 1.4.4 צפיפות טענה :20 יהיו R a, b כך ש- b.a < a + 1 < אזי קיים מספר שלם z Z כך ש-( b.z (a, הוכחה. ראשית, מספיק להוכיח את הטענה עבור 0 b :a, אם (a, b),a < 0 < b,0 ואם 0 b,a < נחליף את האינטרוול b) (a, ב-( a.( b, כעת, a < a + 1 < b.0 נתבונן ב-{ a L = {s Z s קבוצת השלמים שחסומים מלעיל על-ידי.a למה :1.20 יהי u חסם עליון של.L אזי.a 1 u הוכחה. נניח 1 a.u < אם נחליף כל s L ב- 1 + s,t = עדיין יתקיים,t a בסתירה לכך ש- u חסם עליון. 12 לכן.a 1 u למה :2.20 u.a 1 < קיים s L כך ש- a.a 1 < s u אחרת, 1 a חסם מלעיל סתירה. לכן.s + 1 (a, b) ולכן,s + 1 Z בנוסף,.a < s + 1 a + 1 < b. b, c R הגדרה. תת-קבוצה A R נקראת צפופה אם c) c > b = A (b, 6.11.2006 תת-קבוצה צפופה טענה 21: R Q היא קבוצה צפופה. 11 חיברנו 1 לשני האגפים. 12 החסם העליון על + 1 L גדול ב- 1 מזה של L למעשה, "הזזנו" כל איבר ב- L קדימה ב- 1. 13

R 1 המספרים הממשיים 1.5 שורשים וחזקות < 1.0 קיים n N כך הוכחה. יהיו R b, c כך ש- b.c > אז > 0 b ;c נתבונן ב- c b.c b נקבל > 1,b = nb,c = nc ואם נסמן,nc nb לפי הארכימדיות. אז > 1,n > 1 ש- c b. ^z n ( b n, c לכן, מהטענה הקודמת, קיים מספר שלם Z ^z כך ש-( c.^z (b, אז c) n ) = (b,.(b, c) קיים באינטרוול, ^z n כלומר, לפחות מספר רציונאלי אחד, טענה :22 יהיו.b, c R אם,c > b אזי c) (b, מכיל אינסוף מספרים רציונאליים. הוכחה. נניח בשלילה שקיים אינטרוול (c,b) שמכיל מספר סופי של מספרים רציונאליים. יהיו a 1,..., a n כל המספרים הרציונאליים באינטרוול c).(b, לכל קבוצה סופית של מספרים ממשיים קיים מקסימום; יהי.q = max a i אז b < q < c ו-( c (q, c) (b, לא מכיל נקודות רציונאליות, בסתירה לצפיפות Q. 1.5 שורשים וחזקות טענה :23 קיים r R כך ש- 2 = 2.r 13 הוכחה. נגדיר } 2 2 U 14.U = { x R x חסומה מלעיל (למשל, על-ידי,(2 לכן קיים ל- U חסם עליון. יהי r R החסם העליון של U. למה = 2 :1.23 2 r הוכחה. נניח בשלילה כי > 2 2.r עבור < ε,0 נתבונן ב- ε) 2 :(r (r ε) 2 = r 2 2εr + ε 2 r 2 2εr ε < r2 2 2r עבור ε מספיק קטן, גם > 2 2εr :r 2 אם ניקח,2εr < r 2 2 נקבל ו- (r ε) 2 < r 2 <.2 לכן r ε הוא חסם מלעיל של,U בסתירה לכך ש- r.sup U = כעת נניח בשלילה כי < 2 2.r נתבונן ב- ε) 2,(r + עבור < ε < r :0 (r + ε) 2 = r 2 + 2εr + ε 2 = r 2 + ε(2r + ε) r 2 + 3εr (r+ε) 2 U אז.(r+ε) 2 r 2 +3εr ולכן < 2 3εr < מתקיים 2 r 2 ε < 2 r2 3r אם ו- r איננו חסם מלעיל סתירה.,a 0 = 1,a בנוסף, נגדיר עבור 0.a n = a }. {{.. a } הגדרה. יהי.n N,a R נסמן n פעמים.a n = 1 a = (a n ) 1 n חזקה a n+m = m a n a טענה :24 m a kn = (a n ) k 13 עד כה, הראינו ש- 2 אינו רציונאלי, אך לא הוכחנו ממשיות. על-מנת להוכיח זאת, נשתמש בתכונה היחידה שהממשיים מקיימים אך לא הרציונאליים שלמות (או, באופן שקול, קיום סופרמום). 14 אפשר גם לקחת רק את החיוביים; זה לא משנה. 14

1.5 שורשים וחזקות R 1 המספרים הממשיים הגדרה. יהי r = a 1 n = n a.n N,0 < a הוא המספר הממשי החיובי המקיים.r n = a שורש טענה :25 יהי < x, y R,n N,0 < a.0 אז.x n = y n = a = x = y 15 הוכחה. נניח בשלילה כי < y < x.0 מכאן,,y n < x n בסתירה להנחה.x n = y n משפט :26 לכל < n N 0 קיים < r R 0 כך ש- a.(r = a 1 n = n a) r n = הוכחה. ניתן להכליל את טענה 23 לקיום שורש ריבועי לכל ממשי חיובי. למה :1.26 לכל < u 1 ולכל n N קיים < x R 1 כך ש- u < x n <.1 הוכחה. 1,n לכן 2 n > n ומכאן לכל > 1,x.x n < x 2n אז מספיק להוכיח כי קיים x = 1+u ומתקיים 2 R u כך ש- u.x 2n < נוכיח באינדוקציה על.n אם = 1,n נבחר. u > 1 1 < x 2 < u כעת נניח כי ל- N n נתון, לכל < u 0 קיים < x 1 כך ש- u < x 2n < 1 ונמצא x כך ש- u :x 2n+1 < לפי הנחת האינדוקציה, קיים < x R 1 כך ש- u,x 2n < 16 ולכן.x 2n+1 = (x 2n ) 2 < u 7.11.2006 יהי < a 1 ויהי.n N נגדיר a}.l = {x > 0 x n זו קבוצה חסומה מלעיל, לכן קיים.r = sup L למה :2.26 a r n =. a לפי למה,1.26 קיים < λ 1 כך הוכחה. נניח בשלילה כי.r n < a אזי > 1 n r בסתירה לכך ש- r,λr L אז.(λr) n = r n λ n < ו- a λ n < a r n ובפרט,1 < λ n < a ש- r n הוא חסם מלעיל.. a לפי למה,1.26 קיים < δ 1 כך כעת נניח בשלילה כי.r n > a אזי < 1 n r a, < rn בסתירה לכך ש- r חסם עליון. 17 ש- < δn < rn a,1 ובפרט δ n < rn a ו- δ n = ( r δ )n לכן.r n = a.( 1 r )n = ו- a r n = 1 a אז ; r : r = n 1 עבור < 1 a <,0 מתקיים a 1 < 1 ו- a m n טענה :27 א. a = mn a a m n ב. m ab = m a m b n a < ג. n b a < b ד. m a < n a m < n,1 < a הוכחה. כתרגיל. def הגדרה. (a 1 n ) m = ( n a) m = (k, m, n N,a < 0) a km טענה :28 n kn = a m הוכחה. כתרגיל. 15 טענה זו מוכיחה את יחידות השורש. 16 נשים לב כי ) 2 2n.x 2n+1 = x 2n 2 = (x 17 מתקיים < δ = r δ < r 1 ץ 15

2 סדרות 2 סדרות סדרה איברי הסדרה ;a i R מסמנים n=1 (a n ) 18. ניתן להגדיר סדרה כהעתקה.f : N R דוגמה (סדרה קבועה). n a n = c R a n = 1 n דוגמה (סדרה הרמונית). דוגמה (סדרה חשבונית). n > 1 a n a n 1 = t a 1, q 0 an+1 a n דוגמה (סדרה גיאומטרית). = q הגדרה. יהי a R ויהי > 0.ε הקטע הפתוח ε) (a ε, a + נקרא סביבה (סביבת (ε של הנקודה.a הגדרה. תהי n=1 (a n ) סדרה. איבר b R הוא גבול של הסדרה n=1 (a n ) אם 0 ε > 0 n.n n > n 0 a n b < ε סביבה של נקודה גבול של סדרה הגדרה. תהי P טענה. נאמר שסדרה 1=n a) n ) מקיימת את הטענה P כמעט לכל n אם קיים n 0 טבעי כך שלכל n > n 0 הטענה מתקיימת עבור a. n הגדרה. תהי n=1 (a n ) סדרה. איבר b R הוא גבול של הסדרה ) n (a אם לכל < ε 0 איברי הסדרה שייכים לסביבת ε של b כמעט לכל n. הגדרה. סדרה 1=n a) n ) נקראת סדרה מתכנסת אם קיים לה גבול. סדרה 1=n a) n ) שאין לה גבול נקראת סדרה מתבדרת. גבול של סדרה: הגדרה שקולה סדרה מתכנסת סדרה מתבדרת דוגמה. 0 היא נקודת גבול של הסדרה ההרמונית, n=1.(a n = 1 n ) הוכחה. צ"ל כי לכל > 0 ε קיים n 0 N כך שלכל.a n 0 < ε n > n 0 n 0 < n <.0 לכל 1 n 0 יהי נתון > 0 ε. הראינו (מסקנה 19) כי קיים n 0 כך ש- ε < (. ( 1)n n, 1 n < 1 n 0 כנדרש. מתקיים < ε (a n = ( 1)n מתכנסת ל- 0. דוגמה. n=1 n ) 0 = 1 n הוכחה. (אותה הוכחה, כי דוגמה. סדרה גיאומטרית מתבדרת אם > 1 q ומתכנסת ל- 0 אם < 1 q. למה :1.28 1) > (.q לכל x R קיים n N כך ש- x.q n > הוכחה. > 1 q.(c > 0) q = 1 + c = כעת, על-פי אי-שוויון ברנולי, 19 = n q (1 + c) n > n > כך שלכל n 0 אזי קיים n 0.x R יהי.(1 + c) n 1 + nc.n 0 > x c נבחר.(1 + c)n0 1 + n 0 c > x 18 או n=1.{a n} 19 אי-שוויון ברנולי:.(x 1) n N (1 + x) n 1 + nx ניתן להוכחה באינדוקציה. 16

2 סדרות בהינתן,x R על-פי הלמה,. n 0 n > n 0 q n > x לכן הסדרה מתבדרת. למה :2.28 1) < q < (.0 לכל < ε 0 קיים n 0 N כך שלכל.q n < ε n > n 0 1 n > n 0 ε < <.1 כעת, לפי הלמה הקודמת, מתקיים 1 q הוכחה. < 1 q < 0 =.q n < ε = ( 1 q )n משפט :29 תהי n=1 (a n ) סדרה מתכנסת. אם a ו- b הן נקודות גבול של n=1 (a n ) אזי.a = b.ε = b a אזי 3 הוכחה. נניח בשלילה כי a. b בה"כ, a. < b יהי a ε < a < a + ε < b ε < b < b + ε = (a ε, a + ε) (b ε, b + ε) = a נקודת גבול, לכן קיים n 0 כך שלכל b.a n (a ε, a + ε) n > n 0 נקודת גבול, לכן קיים n 1 כך שלכל.a n (b ε, b + ε) n > n 1 לכן אם ניקח ) 1,n > max(n 0, n ε),a n (a ε, a + ε) (b ε, b + בסתירה לכך שהחיתוך ריק. טענה :30 תהיינה n=1 (b n ) n=1,(a n ) סדרות. אם a n = b n כמעט לכל,n אזי n=1 (a n ) מתכנסת 1=n b) n ) מתכנסת. אם הן מתכנסות, יש להן אותו גבול. הוכחה. נסמן ב- n ^ את האינדקס שהחל ממנו שתי הסדרות משתוות. אם ) n (a מתכנסת, אזי. ε > 0 n 0 n > n 0 a n a < ε כעת: ε > 0 n 1 = max(n 0, ^n) n > n 1 b n a = a n a < ε 9.11.2006 סדרה חסומה מלעיל סדרה חסומה מלרע הגדרה. סדרה n=1 (a n ) נקראת חסומה מלעיל אם קיים M R כך שלכל.a n M n N סדרה n=1 (b n ) נקראת חסומה מלרע אם קיים C R כך שלכל.b n C n N סדרה 1=n d) n ) נקראת חסומה אם היא חסומה מלעיל ומלרע. סדרה חסומה טענה :31 תהי n=1 (a n ) סדרה מתכנסת. אזי n=1 (a n ) סדרה חסומה. הוכחה. תהי 1=n a) n ) סדרה מתכנסת. אזי יש לה גבול. נסמנו ב- a. נבחר = 1 ε. מהתכנסות. a n a < 1 n > כך שלכל n 0 נובע שקיים n 0 (a n ) נגדיר } n0.c = min {a 1, a 1,..., a n0 },M = max {a + 1, a 1,..., a טענה :32 תהיינה n=1 (a n ) ו- n=1 (b n ) סדרות מתכנסות. אם קיים ^n כך שלכל ^n < n מתקיים.lim b n lim a n אז,b n a n הוכחה. נסמן.b = lim b n,a = lim a n נניח בשלילה כי.a < b מהתכנסות הסדרות נקבל.ε = b a 3 שקיים 0) n 1 = max(n a 0, n b כך שלכל a n a < ε n 1 < n ו- ε. b n b < נבחר.b n a n n בסתירה לכך שכמעט לכל,n כמעט לכל a n < a + b a 3 < b b a 3 כלומר, < b n 17

2 סדרות 13.11.2006 משפט 33 (משפט הסנדוויץ ): תהיינה n=1 (c n ) n=1,(b n ) n=1,(a n ) סדרות כך ש-( (a n ו-( (c n מתכנסות לאותו גבול.L נניח כי. M n > M a n b n c n אזי.lim b n = L הוכחה. צ"ל. ε > 0 n 0 n > n 0 b n L < ε יהי נתון (a n ).ε ו-( (c n מתכנסות ל- L, לכן קיימים n 2,n 1 כך שמתקיים < L n > n 1 a n n > n 0 L ε < a n אזי.n 0 = max(n 1, n 2, M) נגדיר. n > n 2 c n L < ε,ε n.b n L = bn L < ε = b n c n < L + ε.lim 1 n דוגמה. יהי < α Q.1 אזי = 0 α.lim 1 n 1 )0 (0 N. n לפי למת הסנדוויץ, = 0 α n 1 α n הוכחה. 0) ( דוגמה. יהי < 1 α <.0 אזי = 1 a.lim n הוכחה. ראשית, < 1 a.a a n = n נרצה להראות כי = 1 a.lim n נניח בשלילה שהסדרה אינה מתכנסת ל- 1. אזי קיים > 0 ε כך שקיימים אינסוף אינדקסים n שעבורם = n k a < 1 כך ש- ε nk כלומר, קיימים אינסוף אינדקסים 20. n a < 1 ε k 0 < k כך שלכל קיים k 0 (0 < δ < a (ובפרט, לכל 0 < δ אולם לכל.a < (1 ε) n k 0 (ε n k 1), בסתירה להנחת השלילה. לכן הסדרה מתכנסת ל- 1. < δ < a דוגמה. = 1 n.lim n הוכחה. נניח כי הסדרה אינה מתכנסת ל- 1. אזי קיים > 0 ε וסדרה אינסופית של אינדקסים. n k nk > 1 + כך ש- ε n 1, n 2,... (1 + ε) n k = 1 + n k ε + k n k(n k 1) 2 k 1 + ε < n k nk (1 + ε) n k < n k ( ) nk ε 2 +... > 2 ( ) nk 2 על-פי נוסחת הבינום: ε 2 = n k(n k 1) ε 2 2 ε 2 < (1 + ε) n k < n k = n k 1 ε 2 < 1 0 < ε 2 < 2 2 n k 1 בסתירה לכך שהסדרה אינה מתכנסת ל- 1 לא יכול להיות שכל איברי סדרה ששואפת ל- 0.(ε 2 ) יהיו גדולים ממספר חיובי ( n k 1 2 ) למה 34: תהי 1=n a) n ) סדרה. הטענות הבאות שקולות: א. lim a n = a שהוא). 20 יש לשים לב שמדובר כאן על אי-התכנסות הסדרה למספר מסויים, לא על התבדרותה (אי-התכנסותה לכל מספר 18

2.1 אריתמטיקה של גבולות 2 סדרות ב. = 0 a) lim(a n ג. = 0 a lim a n הוכחה. השקילות נובעת מיידית מההגדרה: א. ε > 0 n 0 n > n 0 a n a < ε = lim a n = a ב. = 0 a) ε > 0 n 0 n > n 0 (a n a) 0 < ε = lim(a n ג. = 0 a ε > 0 n 0 n > n 0 a n a 0 < ε = lim a n טענה :35 תהי n=1 (a n ) סדרה. a.lim a n = a = lim a n = הוכחה. ε > 0 n 0 n > n 0 a n a < ε = lim a n = a צ"ל כי. ε > 0 n 0 n > n 0 a n a < ε על-פי אי-שוויון המשולש, a a n. a n a < ε = a n a < ε לכן. a n a 2.1 אריתמטיקה של גבולות משפט :36 תהיינה n=1 (b n ) n=1,(a n ) סדרות מתכנסות. אזי lim(a n + b n ) = lim a n + lim b n הוכחה. צ"ל. ε > 0 n 0 n > n 0 (a n + b n ) (a + b) < ε n 1 n > n 1 a n a < ε 2 וכן. n 2 n > n 2 b n a < ε 2 נגדיר על-פי הנתון,.n 0 = max(n 1, n 2 ) n > n 0 (a n +b n ) (a+b) = (a n a)+(b n b) a n a + b n n < ε 2 + ε 2 = ε משפט :37 תהיינה n=1 (b n ) n=1,(a n ) סדרות מתכנסות. אזי lim(a n b n ) = lim a n lim b n הוכחה. צ"ל. ε > 0 n 0 n > n 0 (a n b n ) ab < ε נגדיר 1 1) + b.c = max( a + 1, (מכאן, a < c ועל-פי אי-שוויון המשולש, (. b n b < min( ε 2c, 1) 1 = b n < b + 1 c n 2 n > וכן n 1 n > n 1 a n a < min( ε 2c, 1)( ε 2c על-פי הנתון, מתקיים ).n 0 = max(n 1, n 2 ) נגדיר.n 2 b n a < min( ε 2c, 1) 19

2 סדרות 2.1 אריתמטיקה של גבולות n > n 0 (a n b n ) ab = (a n a)b n + (b n b)a (a n a)b n + (b n n)a < ε 2c b n + ε 2c a < 2 ε 2c = ε משפט :38 תהיינה ) n )(b n,(a סדרות מתכנסות כך ש- 0 n lim b ולכל.b n 0 n אזי lim a n b n = lim a n lim b n.( ε > 0 n 0 n > n 0 1 b n 1 1 b < ε) lim b n = 1 limb n הוכחה. מספיק להוכיח כי n כמו-כן, עבור. b b n < min(ε b b 2, b מהתכנסות,b n קיים n 1 כך שלכל ) n > n 1 2 b, b b n < ε b ומכאן, 2 < ε b b n לכן. b מספיק גדול, n b < 2 1 b n 1 b = b b n b b n = b b n 1 b 1 b n < ε 14.11.2006 טענה :39 תהי ) n (a מתכנסת, > 0 n,lim a n 0, n a ויהי. 21 r Q אזי lim a r n = (lim a n ) r הוכחה. א. נניח כי r. N lim a r n = lim a n... a }{{ n = (lim a } n )... (lim a n ) = (lim a n ) r r פעמים ב. נניח כי.r Z אם = 0,r.lim a 0 n = lim 1 = 1 = (lim a n ) 0 = n a 0 n = 1 lim a r n = lim 1 a n... a n }{{} r פעמים = (lim 1 a n )... (lim 1 a n ) אם < 0,r 1 1 = lim a n... lim a n = (lim a n ) r m a n נניח בשלילה כי הסדרה.lim m a n = m lim a n נטען כי.(m N) r = 1 m ג. נניח כי אינה מתכנסת ל-. m lim a n אזי קיים < ε 0 כך שלסדרה אינסופית של אינדקסים n k. m a nk m lim a n > ε נניח כי לכל m a nk m lim a n > ε k (האפשרות השנייה כתרגיל). אזי לכל m a nk > m lim a n + ε k ומכאן > m a nk > ( m lim a n + ε). a n lim a n < ε m n > כך שלכל n 0 לא קיים n 0,a n בסתירה להתכנסות,lim a n +ε m 21 עדיין לא הגדרנו חזקות ממשיות. 20

2.2 התכנסות במובן הרחב 2 סדרות p lim a q n = אזי על-פי הסעיפים הקודמים,.(0 < q N) r = p q ד. נניח כי Q ( ) 1 p,(lim a כנדרש. q n ) p = (lim a n ) 1 q = (lim an ) p q b k = 1 k (סדרת הממוצעים). אזי טענה :40 א. תהי ) n (a סדרה מתכנסת. נגדיר k n=1 a n lim b k = lim a n (התכנסות צזארו). 22 ב. תהי ) n (a סדרה מתכנסת, > 0 n. n a נגדיר c k = k a 1... a k (סדרת הממוצעים הגיאומטריים). אזי.lim c k = lim a n lim n a n = מתכנסת. אזי q n = an+1 a n ג. תהי ) n (a סדרה, > 0 n. n a נניח כי הסדרה.lim an+1 a n הוכחה. כתרגיל. 2.2 התכנסות במובן הרחב סדרה מתכנסת ל- + סדרה מתכנסת ל- סדרה מתכנסת במובן הרחב הגדרה. סדרה n=1 (a n ) נקראת סדרה מתכנסת (במובן הרחב) ל- + אם > n M R n 0 C נקראת סדרה מתכנסת (במובן הרחב) ל- אם (a n ) סדרה n=1.n 0 a n > M.R n 0 n > n 0 a n < C סדרה 1=n a) n ) נקראת מתכנסת במובן הרחב אם היא מתכנסת או מתכנסת במובן הרחב ל- ±. דוגמה. a n = log n,a n = 2 n,a n = n מתכנסות במובן הרחב (ל- +). b n = ( 1) n מתבדרת, גם במובן הרחב. טענה 41: אם סדרה מתכנסת במובן הרחב אזי הגבול (במובן הרחב) יחיד. הוכחה. ראשית, נניח כי הסדרה ) n a) מתכנסת ל- R L. הוכחנו כי סדרה מתכנסת היא חסומה. לכן קיים < M R 0 כך ש- M, n N M < a n < ולכן הסדרה איננה מתכנסת במובן הרחב ל- ±. נניח כי ) n (a מתכנסת במובן הרחב ל- + (עבור כתרגיל). אזי > n M R n 0 n. 0 a n > M סדרה כזאת איננה חסומה, ולכן אין לה גבול ממשי. עם זאת, הסדרה ) n a) חסומה מלרע, ולכן איננה מתכנסת ל-. טענה 42: תהי ) n a) סדרה המתכנסת במובן הרחב ל- + ותהי ) n b) סדרה חסומה מלרע. אזי.lim(a n + b n ) = הוכחה. קיים C R כך ש- C. n N b n > צ"ל. M R n 0 n > n 0 a n + b n > a n + C > M מהתכנסות ) n (a (במובן הרחב) ל- + נובע כי n 0 n > n 0 a n > M C =. n > n 0 a n + b n > M 22 ההיפך אני בהכרח נכון: למשל, סדרת הממוצעים של הסדרה (המתבדרת) a n = (1 ) n היא. 1, 0, 1 3, 0, 1 5,... 0 21

2 סדרות 2.3 סדרות מונוטוניות משפט 43: תהי ) n a) סדרה מתכנסת במובן הרחב ל- + ותהי ) n b) סדרה שעבורה > K.lim(a n b n ) = אזי.0 n b n > K הוכחה.. M R n 0 n > n 0 a n b n > M מהתכנסות ) n (a במובן הרחב, > n n 0. n > n 0 a n b n > a n K > max(m, 0) M = n 0 a n > max(m,0) K טענה :44 תהיינה ) n (b n ),(a סדרות כך שלכל.b n a n n אזי א. = n lim a n = = lim b ב. = n lim b n = = lim a הוכחה. א. M) M R n 0 n > n 0 (b n > M = a n b n > ב. כתרגיל. טענה :45 תהי ) n (a סדרה, 0 n. n a lim 1 a n א. ± = n = lim a 0 = 23 lim 1 ב. = 0 n a = = lim a n 1 a n < ε. ε > 1 0 n0 n > n 0 a n הוכחה. א. נניח ש- + = an.lim צ"ל < ε, n 0 n > n 0 a n > M = 1 ε מתקיים M = 1 ε עבור,lim a n = + לפי. a n > 1 ε כנדרש. ב. כתרגיל. 16.11.2006 2.3 סדרות מונוטוניות סדרה מונוטונית הגדרה. סדרה ) n a) נקראת מונוטונית עולה אם 1+n n ; a n a מונוטונית עולה ממש אם ; n a n < a n+q מונוטונית יורדת אם n+1 ; n a n a מונוטונית יורדת ממש אם. n a n > a n+1 משפט :46 תהי n=1 (a n ) סדרה מונוטונית חסומה. אזי n=1 (a n ) מתכנסת. הוכחה. נניח כי 1=n a) n ) היא סדרה מונוטונית עולה (עבור מונוטונית יורדת כתרגיל); אזי יש לה חסם עליון.sup{a 1, a 2,...} = L נראה כי.lim a n = L צ"ל L. ε > 0 n 0 n > n 0 a n L < ε הוא חסם עליון של ) n,(a לכן > ε. a n L < ε = ε > 0 n > n 0 L ε < a n0 a n L כעת,.0 n 0 L ε < a n0 לכן הסדרה מתכנסת. משפט 47: כל סדרה מונוטונית מתכנסת במובן הרחב. ( 1 יכולה להתבדר. a n 23 הסדרה ) 22

2.4 המספר e 2 סדרות הוכחה. נניח כי 1=n a) n ) היא סדרה מונוטונית עולה. אם ) n a) חסומה, לפי המשפט הקודם היא מתכנסת במובן הצר ולכן גם במובן הרחב. כעת נניח כי n=1 (a n ) אינה חסומה (מלעיל). אזי לכל M R קיים n 0 כך ש-.M < a n0 ממונוטוניות ) n, n > n 0 M < a n0 a n,(a כנדרש. דוגמה. יהי < 1 q <.0 אזי n=1 (a n = q n ) מתכנסת ל- 0. הוכחה. ראשית, הסדרה a n = q n היא מונוטונית יורדת ממש וגדולה מ- 0. לכן, על-פי המשפט הקודם, הסדרה מתכנסת. נותר לחשב את הגבול. יהי L. = lim a n = lim q n נקבל lim q n = lim q q n 1 = lim q lim q n 1 = q L = L = ql ומכיוון ש- 1 < q <,0 בהכרח = 0.L למה 48 (הלמה של קנטור): תהי n=1 (I n = [a n, b n ]) סדרת קטעים סגורים כך שלכל n N n כך שלכל c R אזי קיימת נקודה יחידה.lim I n = lim(b n a n ) = ו- 0 I n+1 I n.c I n הוכחה. ] n.a n a n+1 b n+1 b n = [a n+1, b n+1 ] = I n+1 I n = [a n, b כלומר,,a 1 ו- חסומות (על-ידי b 1 (b n ו-( (a n ) מונוטונית יורדת. הסדרות (b n מונוטונית עולה ו-( (a n ) בהתאמה). נוכל לסמן.c 2 = lim b n,c 1 = lim a n c 1 = c 2 למה 1.48: הוכחה. לכל < ε 0 קיים n 0 כך שלכל a n c 1 < ε n 0 < n ו- ε ; b n c 2 < עבור n מספיק גדול,. a n b n < ε כעת: ε > 0 c 1 c 2 c 1 a n + a n b n + b n c 2 < 3ε לכן.c 1 = c 2 לכל n מתקיים.a n c 1 = c 2 b n לכן ] n. n c 1 = c 2 [a n, b נותר להוכיח יחידות. 20.11.2006 נניח בשלילה כי, בה"כ,.c 1 < c 2 n=1i n אזי לכל n N a n :c 1, c 2 I n n N < c 2 c 1 b n a n = c 1 < c 2 b n.0 לפי משפט הסנדוויץ, 0 n b n a ו- 0 0.0 < c 2 c 1 בסתירה לכך ש-<,c 2 c 1 0 = 2.4 המספר e נתבונן בסדרה.a n = (1 + 1 n )n טענה :49 הסדרה n=1 (a n = (n + 1 n )) מתכנסת. הוכחה. נראה כי הסדרה 1) + 1 n n( מונוטונית עולה (ממש) וחסומה. 23

2 סדרות 2.5 תת-סדרות ( 1 + 1 n n ( n) = n ( 1 ) k k=0 k) n 1 n k = n k=0 = n k=0 n! (n k)!k! 1 n k (n k+1)... n 1 n k k! = n k=0 C n,k 1 k!.c n,k = n k+1 n n k+2 n... n n כאשר C למה :1.49 א. 1 n,k ב. C n+1,k C n,k הוכחה. א. כל גורם קטן או שווה ל- 1, לכן גם המכפלה. n i (הוכחה כתרגיל). לכן כל אחד מגורמי n C n+1,k גדול או שווה לגורם המקביל (n+1) i n+1 ב. באופן כללי, אם i < n אז = (n+1) k+1 n+1 (n+1) k+2 n+1... n+1 n+1 n k+1,c n,k = לכן גם המכפלה. n n k+2 n... n ב- n n (n + 1 n )n n k=0 1 k! למה 2.49: א. n n (הסדרה חסומה) ב. < 3 k! k=0 1 (1 + 1 n (הסדרה מונוטונית) ג. n+1 )n+1 > (1 + 1 n )n 1.49 א n (1 + 1 n )n = n k=0 C n,k 1 k! n k=0 1 k! = 1 + n k=1 1 k! = 1 + 1 + n k=2 1 k! n k=0 1 k! הוכחה. א. 1 + 1 + n 1 k=2 (k 1)k = 1 + 1 + n k=2 ( 1 k 1 1 k ) = 1 + 1 + (1 1 n ) < 3 ב. (1 + 1 n+1 )n+1 > (1 + 1 n )n n+1 k=0 C n+1,k 1 k! > n k=0 C n,k 1 k! 1 (n+1)! + n 1.49 ב 1 n+1,k k=0 C k! > n k=0 C n,k 1 k! ג. e).e def איננו רציונאלי; e איננו אלגברי (. 24 המספר e הגדרה. = lim (1 + 1 n )n 2.5 תת-סדרות תת-סדרה הגדרה. תהי n=1 (a n ) סדרה, ותהי נתונה סדרה עולה ממש של אינדקסים < 2 n 1 < n 1.(a n ) נקראת תת-סדרה של הסדרה n=1 (a nk ) הסדרה k=1.... < n k < n k+1 <... דוגמה. n=1.(a n = n)..., 4 1, 2, 2 2, 2 3, 2 היא תת-סדרה של הטבעיים. דוגמה. תהי n=1 (b n ) כך ש-.b n = ( 1) n לסדרה זו ישנן תת-סדרות קבועות:... 1, 1, ו-... 1,.1, גבול חלקי הגדרה. תהי n=1 (a n) ותהי k=1 (a nk ) תת-סדרה של n).(a אם תת-הסדרה k=1 (a nk ) מתכנסת [במובן הרחב], גבולה נקרא גבול חלקי [במובן הרחב] של הסדרה 1=n a). n ) 24 מספר אלגברי הוא פתרון של פולינום כלשהו שמקדמיו רציונאליים. 24

2.5 תת-סדרות 2 סדרות משפט 50: תהי 1=n a) (n סדרה מתכנסת במובן הרחב. אזי כל תת-סדרה של 1=k a) n ) מתכנסת (במובן הרחב) לאותו גבול. הוכחה. ראשית, נניח כי.R L = lim a n תהי k=1 (a nk ) תת-סדרה של ) n.(a k לכל (כי k > k 0 = n 0 a nk L < ε = ε > 0 n 0 n > n 0 a n L < ε.(n 0 n ומכאן k0,k n k כעת נניח כי = n.lim a k > k 0 = n 0 a nk > M = M R n 0 n > n 0 a n > M טענה 51: תהי ) n a) סדרה. אם לסדרה ) n a) קיימים גבולות חלקיים (במובן הרחב) שונים, אזי הסדרה ) n (a מתבדרת. הוכחה. נניח כי לסדרה ) n (a גבולות חלקיים.L 1, L 2 R ראשית, לא ייתכן שהסדרה ) n (a מתכנסת (במובן הרחב) ל- +, שכן סדרה המתכנסת ל- + לא מכילה תת-סדרה חסומה מלעיל. (באופן דומה עבור.) כעת, נניח כי.a n u R אם,u L 1, L 2 קיימות סביבות זרות של,L 2,L 1,u ולכן לאינסוף אינדקסים n האיברים a n נמצאים מחוץ לסביבה הנתונה של u, בסתירה להתכנסות ) n (a ל- u. אם u = L 1 או,u = L 2 נקבל סתירה להתכנסות, באותו אופן. 25 משפט 52: תהי 1=n a) n ) סדרה. איבר L R הוא גבול חלקי של הסדרה ) n a) אם"ם כל סביבת a). n ) מכילה אינסוף איברים מהסדרה L של ε הוכחה. ראשית, אם L גבול חלקי של הסדרה 1=n a) (n אז קיימת תת-סדרה 1=k a) nk ) המתכנסת לגבול L; על-פי הגדרת התכנסות תת-סדרה ) nk a), כל סביבה של L מכילה את כל איברי תת-הסדרה החל ממקום מסויים, ולכן מכילה אינסוף איברים מהסדרה המקורית. להיפך, יהי L R איבר שכל סביבה שלו מכילה אינסוף איברים מהסדרה ) n a). נבחר.ε n = 1 n סביבת = 1 1 ε של L מכילה אינסוף איברים מהסדרה; נבחר n 1 להיות האינדקס המינימלי של איבר בסביבה זו. נבחר n 2 להיות האינדקס המינימלי הגדול מ- n 1 כך ש- a n2 נמצא.((a n ) גבול חלקי של L =) מתכנסת ל- L (a nk ) k=1 בסביבת = 1 2 2 ε של,L וכו. למה 1.52: 21.11.2006 משפט 53: תהי ) n a) סדרה. + הוא גבול חלקי של ) n a) אם"ם הסדרה ) n a) איננה חסומה מלעיל. הוכחה. + הוא גבול חלקי של ) n a); אזי ישנה תת-סדרה ) nk a) המתכנסת ל- + ולכן איננה חסומה מלעיל. מכאן, הסדרה ) n a) כולה איננה חסומה מלעיל. 25 יכולנו גם להניח בשלילה כי (n a) מתכנסת ויש לה גבולות חלקיים L; 1 L 2 לפי המשפט הקודם, היינו מקבלים,L 1 = L 2 בסתירה להנחה. 25

2 סדרות 2.5 תת-סדרות להיפך, נניח כי ) n a) איננה חסומה מלעיל. לכל n טבעי קיים איבר בסדרה, a. s > n נבנה תת-סדרה המתכנסת (במובן הרחב) ל- +. נבחר n 1 כך ש- 1 > n1 ;a נבחר n 2 כך ש- n 2 > n 1 ו- 2 > n2.a ברקורסיה, בהינתן,n 1,..., n k נבחר אינדקס k+1 n k < n כך ש- k.a nk > למה 1.53: תת-הסדרה ) nk a) מתכנסת במובן הרחב ל- +. הוכחה. כתרגיל. משפט 54 (בולצ אנו-ויירשטראס): לכל סדרה חסומה ) n a) ישנה תת-סדרה מתכנסת. הוכחה. תהי ) n (a סדרה חסומה. קיימים מספרים ממשיים c 0,b 0 כך שלכל.c 0 a n b 0 n לפחות אחד מהאינטרוולים I R 1,I L 1 מכיל אינסוף איברים מהסדרה ) n.(a נבחר a 1 מתוך אינטרוול I R 2 מכיל אינסוף איברים מהסדרה ) n a). בהינתן האינטרוול זה. לפחות אחד מהאינטרוולים I, L 2 I, k נחצה אותו לאינטרוולים 1+k I. L 1+k < IR לפחות אחד מהם מכיל אינסוף איברים מהסדרה.n k+1 > n k שייך לאינטרוול המכיל אינסוף איברים, כך ש- a נבחר nk+1.(a n ) למה 1.54: הסדרה ) nk a) שנבחרה מתכנסת. הוכחה. יהי.L = lim a nk = k I k I k על-פי הלמה של קנטור, חיתוך זה הוא נקודה בודדת. לכל.L I k,k לפי בחירת האיברים ) nk,(a לכל.a nk I k k לכן. k L a nk I k = b0 c0 2 k ε > 0 k 0 k > k 0 L a nk b 0 c 0 2 k < b 0 c 0 < b 0 c 0 < ε 2 k0 k 0 מסקנה 55: לכל סדרה ) n a) קיימת תת-סדרה המתכנסת במובן הרחב. הוכחה. (נובע משני המשפטים הקודמים.) משפט 56: סדרה ) n a) מתכנסת במובן הרחב אם"ם יש לה גבול חלקי בודד. הוכחה. ) n a) מתכנסת במובן הרחב כל תת-סדרה שלה מתכנסת לאותו גבול, ולכן יש לה גבול חלקי בודד. להוכחת הכיוון השני, נותר להראות כי לסדרה מתבדרת (במובן הרחב) יש לפחות שני גבולות חלקיים. תהי ) n a) סדרה מתבדרת במובן הרחב. נניח, בנוסף, כי ) n a) חסומה.לפי משפט קודם, ל-( (a n קיים גבול חלקי (a n ).L מתבדרת, לכן.a n L לכן קיים < ε 0 כך שקיימת תת-סדרה ) nk (a כך ש- ε. a nk L תת-הסדרה ) nk (a בעצמה חסומה, לכן לפי בולצ אנו-ויירשטראס יש לה גבול חלקי L L^ L^. כי בכל סביבה של L^ ישנם אינסוף איברים מתת-הסדרה ) nk a) אך בסביבת ε של L אין בכלל איברים מתת-הסדרה ) nk a). כעת נניח כי ) n a) איננה חסומה. אם ) n a) לא חסומה מלעיל ולא חסומה מלרע, אזי ± הם גבולות חלקיים שלה. לכן ניתן להניח כי ) n a) חסומה מלרע ולא חסומה מלעיל. ) n a) איננה חסומה מלעיל, לכן + הוא גבול חלקי שלה. אבל ) n a) מתבדרת במובן הרחב n a, לכן 26

2.6 גבולות עליונים ותחתונים 2 סדרות קיים M R כך שקיימים אינסוף איברים מהסדרה ) n a) הקטנים מ- M, ולכן קיימת תת-סדרה ) nk a) כך שלכל a. nk < M k תת-סדרה זו חסומה, לכן לפי בולצ אנו-ויירשטארס יש לה גבול חלקי L. מכאן, L ו- + הם גבולות חלקיים של הסדרה ) n a). 2.6 גבולות עליונים ותחתונים גבול עליון ותחתון הגדרה. תהי n=1.(a n ) def lim sup a n = lim a n = inf {M R n 0 n > n 0 a n M} = inf U def lim inf a n = lim a n = sup {C R n 0 n > n 0 a n C} = sup L def אם ) n (a איננה חסומה מלעיל, אזי + = n ;lim a אם ) n (a איננה חסומה מלעיל, אזי def.lim a n = lim = lim = + 1, 1, 2, 2, 3, 3,...... 1, 1, 1, 1, 7, 5, או lim = 1 lim = 1 a n = ( 1) n דוגמה. lim = 1 lim = 1 a n = 1 + 1 n משפט :57 תהי ) n (a סדרה חסומה. אזי.lim inf a n lim sup a n הוכחה. יהי.C L,M U אזי קיים n 1 N כך שלכל C a n1 n > n 1 וגם.a n1 M מכאן,.sup L inf U = L U = C M = C a n1 M 23.11.2006 טענה :58 יהי.L = lim a n אזי לכל L < t קיים n 0 N כך שלכל.a n < t n > n 0 הוכחה. נניח בשלילה כי קיים L < t כך שלאינסוף אינדקסים.t a n n N אזי אם,^t < t = U {x R t x} לכן נוכל לכתוב.^t / U = {M R n 0 n > n 0 a n M} L < t inf U סתירה. משפט 59: תהי ) n a) סדרה חסומה. אזי lim a n הוא הגבול החלקי הגדול ביותר של ) n a) ו- lim a n הוא הגבול החלקי הקטן ביותר של ) n a). הוכחה. נוכיח עבור.lim a n למה :1.59 אם t,lim a n < t איננו גבול חלקי של הסדרה ) n.(a הוכחה. לפי הטענה הקודמת, יש מספר סופי של איברים כך ש-.lim a n < t < a n לכן סביבת ε של t תכיל לכל היותר מספר סופי של איברים, ו- t איננו גבול חלקי. למה 2.59: בסביבת ε של lim a n ישנם אינסוף אינדקסים. 27

2 סדרות 2.7 סדרות קושי הוכחה. נניח בשלילה כי עבור ε כלשהו יש מספר סופי של איברים בסביבת.lim a n אזי קיים < ε 0 כך ש-( ε (lim a n ε, lim a n + מכיל לכל היותר מספר סופי של איברים מהסדרה ) n a). לפי טענה קודמת, גם עבור lim a n + ε יש מספר סופי של איברים שגדולים ממנו. מכאן, יש לכל היותר מספר סופי של איברים מ-( a) n המקיימים,lim a n ε < a n ולכן.lim a n ε U כלומר, inf U lim a n ε סתירה. מסקנה :60 תהי ) n (a סדרה חסומה. ) n (a מתכנסת אם"ם.lim a n = lim a n טענה :61 תהיינה ) n (a ו-( (b n סדרות חסומות כך שלכל.b n a n n N אזי א. lim a n lim b n ב. lim b n lim a n טענה :62 תהיינה ) n (a ו-( (b n סדרות חסומות. אזי א. lim a n = lim a n ב. lim a n = lim a n ג. lim(a n + b n ) lim a n + lim b n ד. lim(a n + b n ) lim a n + lim b n ה. אם לכל lim(a n b n ) lim a n lim b n,b n 0,a n 0 n ו. אם לכל lim a n b n lim a n lim b n,b n 0,a n 0 n טענה 63: תהי ) n b) סדרה חסומה ותהי ) n a) סדרה מתכנסת. אזי בטענות ג, ד, ה וו מתקיים שוויון. 2.7 סדרות קושי 27.11.2006 סדרת קושי הגדרה. סדרה n=1 (a n ) נקראת סדרת קושי אם לכל < ε 0 קיים n 0 כך שלכל m, n n 0. a m a n < ε משפט 64: כל סדרה מתכנסת (במובן הצר) היא סדרת קושי. ε הוכחה. תהי ) n (a סדרה מתכנסת..L = lim a n יהי נתון < ε.0 הסדרה מתכנסת, לכן עבור 2 קיים n 0 כך שלכל. a n L < ε 2 n > n 0 לכל. a n L < ε 2, a m L < ε 2,m, n > n 0 לכן, על-פי אי-שוויון המשולש, a m a n = (a m L) + (L a n ) a m L + L a n < ε 2 + ε 2 = ε טענה 65: תהי ) n a) סדרת קושי. אזי ) n a) סדרה חסומה. 28

2.8 חזקות עם מעריך ממשי 2 סדרות. a m a n < 1 n 0 נגדיר = M n 0 כך שלכל < m, n הוכחה. ניקח = 1.ε קיים n C אזי מתקיים.C = min(a 1,..., a n0, a n0+1 1),max(a 1,..., a n0, a n0+1 + 1).a n M משפט :66 תהי ) n (a סדרה. אזי ) n (a סדרה מתכנסת אם"ם ) n (a סדרת קושי. הוכחה. ( =) הוכחנו כי אם ) n (a מתכנסת, ) n (a קושי. ( =) נניח כי ) n a) קושי. סדרת קושי היא בפרט סדרה חסומה. לפי בולצ אנו-ויירשטראס, a. nk יהי נתון > 0 ε. קיים k 0 כך לכל סדרה חסומה קיימת תת-סדרה מתכנסת L. a nk L < ε 2 k הסדרה ) n (a היא סדרת קושי, לכן קיים n 0 כך שלכל 0 שלכל < k. a m a n < ε 2 n 0 < m, n נבחר k0+1).n 1 = max(n 0, n יהי k + 1 k 1 אינדקס שעבורו,n k 1 ו-, n > n 1 a n a nk1 < ε 2 כי > כי n 1, a nk1 L < אזי ε 2.n 0 n 1 < n k1.n k1 > n 0 מכאן, a n L = (a n a nk1 ) (a nk1 L) a n a nk1 + a nk1 L < ε (יתרון תנאי קושי על תנאי ההתכנסות הוא שאין צורך לדעת מה הגבול על-מנת לקבוע התכנסות.) 2.8 חזקות עם מעריך ממשי עד כה, דנו ב- < a R,q Q) a q.(0 הגדרה. r n x R,r n Q,0 < a R,a x = lim a rn חזקה ממשית טענה :67 יהי x R ותהיינה ) n (s n ),(r סדרות של מספרים רציונאליים כך ש-= lim r n.lim a sn = lim a rn מתכנסות, אזי מתקיים (a sn ),(a rn ) אם הסדרות.lim s n = x הוכחה. למה :1.67 נניח כי ) n (v היא סדרה שעבורה = 0 n ;lim v אזי ) vn (a מתכנסת, ו- 1 = vn.lim a הוכחה. 0 n.q v יהי.k N אזי קיים n(k) כך שלכל. v n < 1 k n(k) < n אזי.a 1 k < a vn < a 1 k בהינתן < ε,0 נבחר k כך ש- ε.a 1 k < 1 + עבור,n(k) < n נקבל.1 ε < a 1 k < a vn < a 1 k < 1 + ε כעת, נתון.(a sn ) L 2 > 0,(a rn ) L 1 > 0.r n x,s n x L 1 L 2 = lim arn a sn למה = lim arn sn = 1 = L 1 = L 2 טענה :68 a.q r n x,1 < אזי הסדרה ) rn (a מתכנסת. 29

2 סדרות 2.8 חזקות עם מעריך ממשי הוכחה..r n x לכן קיים n 0 כך שלכל.[x] 2 < r n < [x] + 2 n > n 0 לכן נקבל [x]+2, n > n 0 a [x] 2 < a rn < a ו-( (a rn סדרה חסומה. לפי משפט בולצ אנו-ויירשטראס, קיימת תת-סדרה ) k (a rn המתכנסת לגבול.L למה :1.68 L lim a rn =.c k = a r k הוכחה. ;r n x.b k = a rn k L לכן,r nk x ומכאן L טענה :69 יהי > 0,a ותהי ) n (x סדרה כך ש- x.lim x n = אזי.lim a xn = a x הוכחה. לכל n נבחר רציונאלי r n המקיים. a rn a xn < 1 n, r n x n < 1 n למה :1.69 x lim a rn = a.x n 1 n לפי משפט הוכחה. n) (r היא סדרת מספרים רציונאליים. < r n < x n + 1 n הסנדוויץ, נקבל.r n x כעת,.lim a rn = a x = lim r n = x.a xn a x לפי משפט הסנדוויץ, נקבל.a rn 1 n < < a axn rn + 1 n 28.11.2006.b n אזי.2 lim n ( 1 + 1 n) n הראינו 3 e = lim ( 1 + x n) n משפט :70 x = e הוכחה. למה 1.70: תהי ) n b) סדרה עולה של מספרים טבעיים כך ש- ( ). 1 + 1 bn b n e e ε הוכחה.. k N n 0 n > n 0 b n > k אזי ( 1 + 1 ) k ( 1 + 1 ) bn < e k b n ( 1 + 1 a n ) an למה 2.70: תהי( a )סדרהעולה n 26 שלמספריםממשייםכךש- an.אזי ( 1 + ) [an] ( 1 1 + 1 [a n ] + 1 a n הוכחה. מכך ש- 1 + ] n,[a n ] a n < [a ) an ( 1 + 1 ) [an]+1 [a n ].e על-מנת להעריך את הגבול, נשתמש במשפט הסנדוויץ. עבור צד שמאל (ועבור צד ימין, ( 1 + ) [an] 1 = [a n ] + 1 e {}}{ ( ) [an]+1 1 + 1 [a n ] + 1 1 באופן דומה) נקבל {}}{ ( ) 1 1 1 + e [a n ] + 1 26 לא באמת דרוש; שאיפה ל- מספיקה. 30

2.8 חזקות עם מעריך ממשי 2 סדרות למה :3.70 יהי < a,x R,0 ותהי ) n (a סדרת ממשיים חיוביים כך ש- a.a n אזי.a x n a x הוכחה. נתבונן בסדרה.( an a )x לכל < ε 0 קיים n 0 כך שלכל ε < an a < 1 + ε n > n 0.1 27. ( a na ) x ε) [x]+1 ( a na.(1 לכן 1 ) x עבור > 0,x + ε) [x]+1 (1.lim ( 1 + n) x n למה :4.70 יהי > 0.x אזי = e x,a n a = lim ( ) 1 + x n ( ) n x n = lim 1 + 1 x הוכחה. אם n = e x ( lim 1 + x ) [ n ( = lim 1 + x ] x x = a n n)n x = e x.1 [ ( ) 1 1 + 1 1 εn למה :5.70 תהי ε n סדרה אי-שלילית, 0 n.nε אזי = 1 n.lim (1 + ε n ) ( nε n lim (1 + ε n ) n = lim 1 + 1 1 ε n ) 1 εn } {{ } e εn 3 nεn 1 = n 0 n > n 0 (1 + 1 1 ] nεn εn הוכחה. ) 1 εn 3 הטענה נובעת לפי משפט הסנדוויץ. למה :6.70 תהי ε n סדרה אי-שלילית, 0 n.nε אזי = 1 n.lim (1 ε n ) + (1 = u.1 לכן, לפי משפט הסנדוויץ, מכיוון u הוכחה. עבור < 1 u 1 u ) 1,0 < ( ) n + ε n ) n 1 + εn (1,1 נקבל 1 ε n שמתקיים 1 n (1 + 2εn ) [( lim (1 ε n ) n = lim 1 + ε ) n ] 1 n = 1 1 ε n,ε n נקבל = x2 בנוסף, אם n 2.1 + x n = (1+ x n )(1 x n ) 1 x n ( lim 1 + x ) n (1 x2 = lim n ) n 2 n (1 x n.lim ( 1 + x n) n למה :7.70 יהי < 0.x אזי = e x = 1 x 2 n 2 1 x n הוכחה. נוכל לכתוב,0 < x לכן, על-פי הלמות והמשפט עבור.nε n 0 2 n 2 ) n e x x lim(1 = )n lim(1 + = 1 ( x) n )n 27 לא על-פי משפט הסנדוויץ : הערכים התוחמים מימין ומשמאל קבועים. 31

3 טורים 3 טורים טור תהי ) n (a סדרת מספרים ממשיים. נסמן S N = a 1 +... + a N (הרישא של הטור). n=1 def a n = lim S N N 3.1 טורים מתכנסים מתכנס אם הגבול lim S N קיים. טור מתכנס נאמר שטור 1=n a n דוגמה.... 0, a 1,..., a n0, 0, 0,. N > n 0 S N = S n0 = a 1 +... + a n0 במקרה זה, סדרת הסכומים החלקיים.(q 1) S N = N n=0 qn = 1 qn+1 1 q קבועה החל ממקום מסויים, ולכן היא מתכנסת. ; סדרת הסכומים החלקיים דוגמה. n=0 qn n=0 qn = lim 1 qn+1 1 q = 1 1 q אם < 1 q <, 1 לא מתכנס במובן הצר. אם 1,q n=0 qn = N זוגי 1 = N S מתבדרת. N אי-זוגי 0 מתבדר: q, q 2, q 3,...) S N (1, מתבדרת. אם 1 <,q n=0 qn לא מתכנס: אם 1 =,q n=0 ( 1)n.(S N = 1 1 1 מתכנס ) N+1 n=1 n(n+1) = n=1 ( 1 n 1 דוגמה. = 1 ) n+1 מתכנס, אזי = 0 n.lim a טענה :71 אם n=1 a n מתכנס, לכן.lim S N = L יהי נתון < ε.0 אזי קיים N 0 כך שלכל N > N 0 הוכחה. n=1 a n. L S n 1 < ε 2 ו- S n L < ε 2,n > עבור N 0 + 1.a n = S n S n 1. S N L < ε 2. a n = S n S n 1 < ε 2 + ε 2 לכן, על-פי אי-שוויון המשולש, נקבל כנדרש = ε. 1 דוגמה. נבנה טור מתבדר a n כך ש- 0 n a. נתבונן ב- n 1. k+1 +... + 1 2k 1 2 למה :1.71 לכל,k N. 1 k+1 +... + 1 2k k 1. 1 לכן = 1 2 2k k+1 1 2k,..., 1 2k 1 2k 1 מתבדר. n הוכחה. למה 2.71: 1 מתכנס, אזי S N מתכנסת ולכן S N קושי. n הוכחה. אם. S m S n < 1 10 N 0 < m, n כך שלכל סדרת קושי, קיים N 0 S N אם.ε = 1 יהי 10 < 1 k S 2k S 2 1 סתירה. יהי.k > N 0 אזי גם.2k > N 0 נקבל 10 32

3.1 טורים מתכנסים 3 טורים 30.11.2006 קריטריון קושי להתכנסות זנב טור מתכנס (במובן הצר) אם"ם לכל < ε 0 קיים > 0 N כך שלכל,m > N משפט :72 n n=1 a. a m +... + a m+k < ε מתקיים k > 0 הוכחה. a n מתכנס N lim S קיים N S היא סדרת קושי. כלומר, לכל < ε 0 קיים n 0 כך שלכל. S m1 S m2 < ε n 0 < m 1, m 2 בלי הגבלת הכלליות, נניח כי ;m 2 < m 1 לכן. S m1 S m2 = a m2+1 +... + a m1 < ε. a n זנב הטור של r m = הגדרה. יהי a n טור. נגדיר n=m+1 a n משפט :73 תהי ) n (a סדרה ויהי a n טור. אזי א. a n מתכנס אם"ם כל זנב של הטור מתכנס; 28 ב. = n a אם"ם כל זנב מתכנס במובן הרחב ל-. 29 = m r מתכנס. לכן r m מקיים את תנאי קושי, ולכן כל הטור הוכחה. א. יהי n=m+1 a n מקיים את תנאי קושי. בנוסף, אם טור מתכנס אזי הוא מקיים את תנאי קושי, ולכן גם הזנב. = m r ובסכים ב. נניח = n a. אזי = N.lim S נתבונן בזנב הטור n=m+1 a n.lim S N = נרצה להראות ש- ; S N = N n=m+1 a n S N חסומה ו- סדרה קבוע. על-פי טענה,42 מכיוון ש- C C כאשר, S N = S N C שואפת ל-, S N שואפת ל-. טענה 74: תהיינה ) n a) ו-( b) n סדרות הנבדלות אחת מהשנייה במספר סופי של איברים ) < } n {n N a n b.( אזי a n מתכנס n b מתכנס. הוכחה. החל ממקום מסויים a n ו- b n זהות, לכן נקבל שיש M כך שלכל ra m = m, > M. n=m+1 a n = rb m = n=m+1 b n.lim r m = 0 מתכנס a n טענה 75: הוכחה. ( =) ברור ממה שהראינו קודם. = m ;r לכן, n=m+1 a n = L S m ניתן לכתוב.lim S N = L מתכנס. אזי a n ( =) כנדרש, = 0 m.lim r m = lim(l S m ) = L lim S 4.12.2006 טענה :76 ) n (b n ),(a סדרות; b n = T, a n = S, ויהי.c R אזי א. (a n + b n ) = S + T ; ב. ca n = c a n = cs. 28 ניתן גם לטעון שהטור מתכנס אם"ם קיים זנב של הטור שמתכנס. 29 גם הטענה המקבילה לגבי נכונה. 33

3 טורים 3.2 טורים חיוביים.T = lim T N,S = lim S N.T N = N n=1 b n,s N = N הוכחה. א. n=1 a n.m N = N נגדיר n=1 (a n + b n ) = S N + T N n=1 (a n + b n ) = lim M N = lim(s N + T N ) = lim S N + lim T N = S + T.U N = N ב. נגדיר n=1 ca n = cs N n=1 ca n = lim U N = lim cs N = c lim S N = cs = c a n 3.2 טורים חיוביים טור חיובי הגדרה. טור a n נקרא טור חיובי אם > 0 n n. a S N כלומר, סדרת הסכומים החלקיים. N 1S N S נקבל N+1,S N = N אם n=1 a n היא סדרה מונוטונית עולה (ממש). טענה 77: יהי a n טור חיובי. אזי a n מתכנס במובן הרחב, ואם סדרת הסכומים החלקיים חסומה (מלעיל) אזי a n מתכנס. משפט 78 (מבחן ההשוואה): יהיו b n, a n טורים חיוביים כך ש- b n ) n a n b n שולט על a n.( אזי א. b n מתכנס = n a מתכנס (במובן הצר); ב. a n מתבדר = n b מתבדר. S N = N חסומה, ולכן הוכחה. א. b n מתכנס, לכן סדרת הסכומים החלקיים 1=n b n T N = N חסומה. כמו-כן, T N מונוטונית. מכאן, T N מתכנסת, ולכן, הסדרה n=1 a n על-פי הגדרה, a n מתכנס. מבחן ההשוואה ב. (כשלילת א, או, בדרך החיוב, לפי כך שסד מונוטונית בלתי-חסומה מתבדרת.) משפט :79 n b n, a טורים חיוביים., n an אזי אם b n מתכנס a n מתכנס. b n א. אם קיים < u 0 כך ש- u, n v an אזי a n מתכנס n b מתכנס. b n ב. אם קיימים < v < u 0 כך ש- u הוכחה. א. נניח b n. n a n u b n מתכנס n u b מתכנס. ממשפט קודם, u b n מתכנס = n a מתכנס.. n 0 < v an מסעיף א, b n מתכנס = n a מתכנס. b n ב. u. n v an מסעיף א, a n מתכנס = n b מתכנס. b n = bn a n 1 v לכן a n מתכנס n b מתכנס. משפט 80 (מבחן השורש של קושי): יהי a n טור חיובי. אם קיים < 1 q < 0 כך שלכל n N < 1 q n a n אזי a n מתכנס. הוכחה.. n n a n < q = a n < q n על-פי מבחן ההשוואה, q n מתכנס = an מתכנס. מבחן השורש של קושי 34

3.2 טורים חיוביים 3 טורים מתכנס, לפי 2 ) n=2 3(n 2 (n3 ) an = 2 ) דוגמה. n=1 3(n 2 (n3 ) n 3 (n2 ) = (3 n n ) n = 3n = ( ) 3 n 2 (n3 ) (2 (n2) ) n 2 n2 2 n 2. n לכן ה- 2 -זנב 3 2 n 3 4 < 1 = ( 3 2 n ) n 3 4 < 1 מבחן קושי, ולכן הטור כולו מתכנס. מסקנה 81: יהי a n טור חיובי. אזי א. > 1 n lim n a אזי a n מתבדר; ב. < 1 n lim n a אזי a n מתכנס. הוכחה. א. נניח כי > 1 n.lim n a אם = n (a n ),lim n a איננה חסומה; מכאן, סדרת הסכומים החלקיים איננה חסומה, ו- a n מתבדר. כעת, נניח כי > 1 n L.L = lim n a הוא בפרט גבול חלקי; לכן ישנם אינסוף אינדקסים n שעבורם < L ε < n a n < L+ε.1 כלומר, לאינסוף אינדקסים.(L ε) n < a n n הסדרה ) n (a איננה חסומה (היא מונוטונית עולה ושואפת ל-, על-פי אי-השוויון האחרון), לכן סדרת הסכומים החלקיים של an איננה חסומה והטור מתבדר. ב. < 1 n.l = lim n a למה :1.81 כמעט לכל. n a n < L + ε n הוכחה..lim n a n < L + ε לכן, לפי הגדרת גבול עליון, מעבר ל- ε L + יש לכל היותר מספר סופי של איברים מהסדרה. n a n קיים N 0 כך שלכל. n a n < L + ε < 1 n > N 0 נתבונן בזנב n n N 0 + 1 n a < 1 ε L. + לפי מבחן השורש של קושי, זנב זה מתכנס, ולכן a n מתכנס. משפט 82 (מבחן המנה): יהי a n טור חיובי (ממש). an+1 n אזי a n מתכנס; a n א. אם < 1 q an+1 n אזי a n מתבדר. a n ב. אם 1 a n = a 1 a2 a a 1... n a n 1 הוכחה. א. n 1 a 1 q מבחן המנה,lim n a1 q n. n a n מכיוון ש- 1 = a1 q q n = n 1 לכן q q N 0 n > N 0 an+1 a n = 1 < lim מתבדר. a n n a n n a1 q q < (1 + ε)q < 1 מתכנס. לכן a n מתכנס. ולפי מבחן השורש n=n a 0+1 n מתבדר. מתבדר = n n=1 a ב.. n a 1 a n לכן n=1 a 1 an+1 a n = 1 > lim מתכנס; a n טענה :83 n a חיובי. הוכחה. כתרגיל. 5.12.2006 משפט 84 (מבחן העיבוי): תהי ) n a) סדרה חיובית מונוטונית יורדת (0 n a). לכל j N נגדיר מבחן העיבוי b j מתכנס..b j = 2 j a 2 j אזי a n מתכנס 35

3 טורים 3.3 טורים עם סימנים מתחלפים (n m)a n = הוכחה. תהי ) n (a סדרה מונוטונית יורדת, > 0 n. n a עבור,n > m n 1 k=m a n n 1 k=m 2 k 1 a 2 k 2 k 1 a 2 k 1 a k 2 k 1 n 1 k=m a m = (n m)a m כעת, נבחר :m = 2 k 1,n = 2 k a s 2 k 1 a 2 k 1 s=2 k 1 1 k.s 2 k 1 = 2 אם נסמן s=1 a s = ( k 2 ) j 1 נתבונן בסדרת הסכומים החלקיים j=1 2 a j 1 s,b j = 2 j a 2 j נקבל 1 2 k b j j=1 k 2 j 1 j=1 2 j 1 a s k j=1 k 1 b j 1 = a 1 + j=1 b j. 1 נגדיר = j b j = 2 j a 2 n = 1 n < α) (a α (0 סדרה מונוטונית יורדת, 0 n דוגמה. תהי ) α מתכנס. j=1 (21 α ) j מתכנס a n על-פי מבחן העיבוי,.2 j 1 (2 j ) = 2 j(1 α) α זהו טור גיאומטרי, q = 2 1 α לכן הוא מתכנס אם"ם < 1 q 1 α < 1 2.1 < α 11.12.2007 טענה :85 תהי ) n (a סדרה מונוטונית היורדת ל- 0 כך ש- a n מתכנס. אזי = 0 n.lim n na הוכחה. (יהי > 1 (.n k=[ n 2 ] a k n k=[ n 2 ] a k k k=[ n 2 ] a n n 2 a n 0 na n 2 שואף ל- 0 ; לכן, על-פי משפט הסנדוויץ, 0 מכיוון ש- a n מתכנס, הזנב k=[ n 2 ] a k ו- 0 n.na דוגמה (הכרחיות המונוטוניות). נגדיר a n = n אם n = k 3 עבור k טבעי כלשהו, = 0 n a ומתכנס, אולם ל- na n יש שני גבולות חלקיים (1 ו- 0 ), n=1 a n = n=1 1 k אחרת; אז 3 ולכן אין לה גובל. 3.3 טורים עם סימנים מתחלפים התכנסות בהחלט הגדרה. תהי ) n a) סדרה ויהי 5.12.2006 a n טור. נמאר שהטור a n מתכנס בהחלט אם הטור an מתכנס. 36