Περιεχόμενα διάλεξης

7η Διάλεξη Οπτικές ίνες Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 1 Περιεχόμενα διάλεξης Διασπορά Πόλωσης Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. Page 1

Πόλωση Γενική θεωρία Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 3 Μηχανικό ανάλογο Εγκάρσια κύματα Πολωτής Το φως είναι ένα εγκάρσιο ΗΜ κύμα. Μια ιδιότητα των εγκαρσίων κυμάτων είναι η πόλωση. Πριν δώσουμε τον ορισμό της πόλωσης του ΗΜ κύματος, θεωρούμε διάδοση εγκαρσίων κυμάτων σε μια χορδή, η οποία είναι στερεωμένη στο ένα άκρο της. Η ταλάντωση μπορεί να βρίσκεται στο κάθετο ή στο οριζόντιο επίπεδο, όπως στααριστεράσχήματα(α) και (β). Τα κύματα ονομάζονται γραμμικά πολωμένα. Η πόλωση του σχήματος (α) ονομάζεται κάθετη ενώ η πόλωση του σχήματος (β) ονομάζεται οριζόντια. Αν τοποθετήσουμε ένα εμπόδιο κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης, όπως π.χ. μια σχισμή, το κύμα κάθετης πόλωσης περνά από τη σχισμή χωρίς εξασθένιση ενώ το κύμα οριζόντιας πόλωσης σταματά. Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 4 Page

Πόλωση ΗΜ κυμάτων Οι πρωτοπόροι... (Η πόλωση των ΗΜ κυμάτων μελετήθηκε στις αρχές του 19ου αιώνα από τους Young και Fresnel.) Augustin Jean Fresnel (1788-187) Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 5 Πόλωση από ανάκλαση Ι Το φως του ήλιου δεν είναι πολωμένο δηλ. η κατάσταση πόλωσης μεταβάλλεται κατά τη διάρκεια του χρόνου. Είναι δυνατόν να δημιουργήσουμε πολωμένο φως από το φως του ήλιου μέσω ανακλάσεως στην επιφάνεια ενός διηλεκτρικού. Όταν το φως προσπίπτει στην επιφάνεια ενός διηλεκτρικού υπό γωνία ως προς την κατακόρυφο, ηκάθετη(ως προς την επιφάνεια του διηλεκτρικού) συνιστώσα του ΗΠ του ανακλώμενου κύματος είναι εξασθενημένη ως προς την οριζόντια συνιστώσα του ΗΠ του ανακλώμενου κύματος. Τοποθετώντας έναν πολωτή κάθετα ως προς την επιφάνεια του διηλεκτρικού μπορούμε να απαλείψουμε την οριζόντια συνιστώσα του ΗΠ του ανακλώμενου κύματος και να μειώσουμε κατά πολύ την ένταση του ανακλώμενου φωτός. Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 6 Page 3

Πόλωση από ανάκλαση Ι Θεωρία Πειραματική επαλήθευση Αυτό φαίνεται στις φωτογραφίες στο δεξί μέρος της διαφάνειας. Η αριστερή φωτογραφία έχει ληφθεί χωρίς πολωτή ενώ η δεύτερη με πολωτή κάθετο ως προς την επιφάνεια του νερού. Στη δεύτερη, η ανάκλαση του ουρανού στην επιφάνεια της λίμνης έχει μειωθεί και φαίνονται τα βότσαλα στο βυθό. Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 7 Ορισμός Πόλωσης Ας ορίσουμε τώρα επακριβώς την έννοια της πόλωσης; Θεωρούμε ένα επίπεδο ΗΜ κύμα με διεύθυνση διαδόσεως τον άξονα z κάθετο στο επίπεδο του χαρτιού. Θεωρούμε την κίνηση του ΗΠ σε ένα σημείο z, π.χ. στο επίπεδο του χαρτιού, σε διάφορες χρονικές στιγμές. Πόλωση ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που διαγράφει το άκρο του διανύσματος του ΗΠ στο κάθετο στον άξονα διαδόσεως επίπεδο στο σημείο z σε διάφορες χρονικές στιγμές. Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 8 Page 4

Χρονική εξέλιξη ΗΠ Απόλωτο κύμα Ολικά πολωμένο κύμα Ι. Η καμπύλη που διαγράφει το άκρο του διανύσματος του ΗΠ είναι τελείως ακανόνιστη και το ΗΜ κύμα ονομάζεται απόλωτο (ή τυχαία πολωμένο). ΙΙ. καμπύλη που διαγράφει το άκρο του διανύσματος του ΗΠ είναι (α) ευθεία γραμμή οπότε η πόλωση ονομάζεται γραμμική (β) κύκλος οπότε η πόλωση ονομάζεται κυκλική (γ) έλλειψη οπότε η πόλωση ονομάζεται ελλειπτική Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 9 Μαθηματική περιγραφή ΗΠ στην είσοδο της οπτικής ίνας r Et (,0) = Acos t + Acos t ˆ (1) ΗΠ μετά από διάδοση σε απόσταση z στην οπτική ίνα r Etz (, ) = Acos t z + Acos t z ˆ () ( ω ) ˆ ( ω ) ( ω β ) ˆ ( ω β ) Το ΗΠ ενός επίπεδου αρμονικού κύματος που εισέρχεται σε μια οπτική ίνα μπορεί να αναλυθεί σε δύο εγκάρσιες συνιστώσες Ε και E. Επειδή οι ίνες παρουσιάζουν διπλοθλαστικότητα, δηλ. η σταθερά διάδοσης εξαρτάται από τη διεύθυνση του ΗΠ, μετά από απόσταση z οι συνιστώσες Ε και E παρουσιάζουν μια διαφορά φάσης φ=(β-β)z. Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 10 Page 5

E A Μαθηματική περιγραφή (συνέχεια) Συνιστώσες ΗΠ E = A cos t (3) [ ω ] [ ω φ] E = Acos t+ (4) Ησυνιστώσα γράφεται: E cosφ = cos[ ωt] cos φ (5) A Ησυνιστώσα γράφεται: [ t ] [ t] [ t] = cos ω + φ = cos ω cosφ sin ω sin φ (6) Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 11 Μαθηματική περιγραφή (συνέχεια) Με αφαίρεση κατά μέλη: E E cosφ = sin[ ωt] sin φ (7) A A Από την αρχική έκφραση (3) της συνιστώσας : E A E = cos[ ωt] sin[ ωt] = 1 cos[ ωt] = 1 (8) A Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 1 Page 6

Μαθηματική περιγραφή (συνέχεια) Υψώνοντας την (7) στο τετράγωνο κι αντικαθιστώντας την (8): E E E cosφ = sin [ ωt] sin φ = 1 sin φ (9) A A A Φέρνοντας τις συνιστώσες του ΗΠ στο αριστερό μέλος: E E E + cosφ = sin φ (10) E A A A A Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 13 Εξίσωση έλλειψης Η γενική καρτεσιανή εξίσωση δευτέρου βαθμού (10) αναπαριστά μια έλλειψη E E E + cosφ = sin φ (10) E A A A A Ο μεγάλος ημιάξονας της έλλειψης σχηματίζει γωνία α με τον άξονα AA cosφ tan( α ) = (11) A A Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 14 Page 7

Γραμμική πόλωση I (10) E E E E φ = kπ + = 0 A A A A E E = 0 A A A E = E (11) A Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 15 π.. γραμμικής πόλωσης φ = kπ Για z=ct Για t=ct Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 16 Page 8

Γραμμική πόλωση IΙ (10) E E E E φ = ( k + 1) π + + = 0 A A A A E E + = 0 A A A E = E (1) A Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 17 Κυκλική πόλωση (10) π E E φ =± ( k+ 1 ), A = A = A 1 + = A A E + E = A (13) Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 18 Page 9

π φ = ( k + 1) π.χ. κυκλικής πόλωσης Για z=ct Για t=ct π φ = ( k + 1) Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 19 Παράμετροι έλλειψης Ι Λόγος πλατών ΗΠ A tan( χ ) = (14) A Διαφορά φάσης φ Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 0 Page 10

Παράμετροι έλλειψης ΙΙ Αζιμούθιο AA cosφ tan( α ) = (11) A A Ελλειπτικότητα OB tan( ε ) = (15) OA E Β Ο ε Α α E Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 1 Αναπαραστάσεις E Εγκάρσιο ΗΜ κύμα z Κατάσταση πόλωσης E Σφαίρα Poincaré Sz L E ε α E Q H α V ε P S S Reference: S. Huard, Polarization of light, Wile, 1997. R Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. Page 11

Αναπαραστάσεις Ένα ΗΜ κύμα περιγράφεται από τις τρεις συνιστώσες του ΗΠ και τις τρεις συνιστώσες του ΜΠ. Σε ένα επίπεδο αρμονικό ΗΜ κύμα, μόνο οι συνιστώσες Ε και H είναι μη μηδενικές, επιπλέον δε συνδέονται μεταξύ τους. Έτσι, ακολουθώντας μια αφαιρετική πορεία, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι ένα επίπεδο αρμονικό ΗΜ κύμα (αριστερό σχήμα) μπορεί να περιγραφεί πλήρως από την κατάσταση πόλωσης (κωνική τομή, μεσαίο σχήμα). Επίσης, είναι δυνατόν να χρησιμοποιήσουμε μια ισοδύναμη περιγραφή, όπου οι γωνίες α καιε της έλλειψης της κατάστασης πόλωσης μπορούν να θεωρηθούν ως το γεωγραφικό μήκος και πλάτος στην επιφάνεια μιας φανταστικής σφαίρας με ακτίνα ίση με τη μονάδα (σφαίρα Poincaré) (δεξί σχήμα). Με βάση την τελευταία περιγραφή, η κατάσταση πόλωσης απεικονίζεται γεωμετρικά ως σημείο στην επιφάνεια της σφαίρας Poincaré. Για παράδειγμα, γραμμικές πολώσεις (ε=0) αναπαριστώνται ως σημεία στον ισημερινό της σφαίρας Poincaré, κυκλικές πολώσεις (α= π/4, ε=±π/) αναπαριστώνται ως σημεία στους πόλους της σφαίρας Poincaré, ενώ τα υπόλοιπα σημεία της σφαίρας Poincaré αναπαριστούν ελλειπτικές πολώσεις. Στις οπτικές τηλεπικοινωνίες, κατά σύμβαση στο βόρειο ημισφαίριο της σφαίρας Poincaré απεικονίζονται δεξιόστροφες πολώσεις ενώ στο νότιο ημισφαίριο της σφαίρας Poincaré απεικονίζονται αριστερόστροφες πολώσεις. Στο δεξί σχήμα, το κόκκινο διάνυσμα δείχνει σε ποιο σημείο της επιφανείας της σφαίρας Poincaré απεικονίζεται η ελλειπτική πόλωση του μεσαίου σχήματος. Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 3 Οπτικές ίνες Διασπορά τρόπων πόλωσης Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 4 Page 1

Μηχανισμοί διπλοθλαστικότητας Ενδογενείς Εξωγενείς Αναφορά: C. D. Poole and J. Nagel, in Optical Fiber Telecommunications IIIA, I. P. Kaminow and T. L. Koch, eds., Ch. 6 Σε μια μονότροπη ίνα με ιδανική κυκλική συμμετρία, η σταθερά διάδοσης δεν εξαρτάται από τη διεύθυνση του ΗΠ. Ωστόσο, στις πραγματικές οπτικές ίνες η σταθερά διάδοσης εξαρτάται από τη διεύθυνση του ΗΠ. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται διπλοθλαστικότητα. Η διπλοθλαστικότητα των οπτικών ινών οφείλεται σε ενδογενείς κι εξωγενείς μηχανισμούς. Οι ενδογενείς μηχανισμοί σχετίζονται με κατασκευαστικές ατέλειες της οπτικής ίνας (ελλειπτικότητα πυρήνα, μη συμμετρική τάση μεταξύ πυρήνα και ντύματος). Οι εξωγενείς μηχανισμοί σχετίζονται με παραμορφώσεις της οπτικής ίνας κατά την τοποθέτηση και καλωδίωση (πλευρικές τάσεις, κάμψεις, στρέψεις). Επομένως, εν γένει β β. Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 5 Διάδοσησεισότροπηοπτικήίνα Μια οπτική ίνα με ιδανική κυκλική συμμετρία είναι ένα ολοπερατό φίλτρο που μεταβάλει τη φάση των κυμάτων κατά μία σταθερά β(ω)z. Μπορούμε να αναπτύξουμε σε σειρά Talor τη σταθερά διάδοσης β(ω) γύρω από την τιμή της στη φέρουσα συχνότητα ω 0. Γιαμαθηματικάευκολία θεωρήσαμε ω 0 =0. Αν κρατήσουμε μόνο τους δύο πρώτους όρους του αναπτύγματος, η μιγαδική περιβάλλουσα Ĕ του παλμού δεν παραμορφώνεται, μόνο καθυστερεί κατά τ g, ενώ η φέρουσα αποκτά μια καθυστέρηση φάσης φ. Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 6 Page 13

Διάδοσησεισότροπηοπτικήίνα Συνάρτηση μεταφοράς ίνας ( 0 ) (1) i[ β (0) + ωβ (0)] z T ( ω, z) e Ανάπτυγμα β(ω) πρώτης τάξης Μηδενική εξασθένιση Είσοδος ~ E ( t ) Έξοδος ~ E( t τ ) e g iφ φ = β (0) τ = β g (0) z (1) (0) z Καθυστέρηση φάσης Καθυστέρηση ομάδας β ( n) n d β (0) = n dω ω= 0 Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 7 Διάδοση σε διπλοθλαστική οπτική ίνα μικρού μήκους Μια ρεαλιστική οπτική ίνα μικρού μήκους με διπλοθλαστικότητα είναι ένα ολοπερατό φίλτρο που μεταβάλει τη φάση των κυμάτων με ΗΠ κατά τη διεύθυνση κατά μία σταθερά β (ω)z και των κυμάτων με ΗΠ κατά τη διεύθυνση κατά μία σταθερά β (ω)z. Επομένως, η συνάρτηση μεταφοράς της ίνας είναι ένας πίνακας Τ(ω,z). Μπορούμε να αναπτύξουμε σε σειρά Talor τιςσταθερέςδιάδοσηςβ (ω), β (ω) γύρω από την τιμή τους στη φέρουσα συχνότητα ω 0. Για μαθηματική ευκολία θεωρήσαμε ω 0 =0. Αν κρατήσουμε μόνο τους δύο πρώτους όρους του αναπτύγματος, η μιγαδική περιβάλλουσα Ĕ του παλμού τώρα πλέον παραμορφώνεται, διότι η συνιστώσα καθυστερεί κατά τ g, ενώ η συνιστώσα καθυστερεί κατά τ g. Ταυτόχρονα, η φέρουσα αποκτά διαφορετική καθυστέρηση φάσης φ και φ σε κάθε διεύθυνση, αντίστοιχα. Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 8 Page 14

Διάδοση σε διπλοθλαστική οπτική ίνα μικρού μήκους e Συνάρτηση μεταφοράς ίνας (1) + ωβ (0)] z Ανάπτυγμα β(ω) πρώτης τάξης 0 Μηδενική εξασθένιση ( 0 ) (1) i[ β (0) (0 z 0 e Εξοδος iφ iφ E% ( t τ ) e ˆ+ E% ( t τ ) e ˆ ( 0 ) i[ β T (0) ( ω, z) + ωβ )] E% () tˆ+ E% () tˆ Είσοδος g g φ = β τ j gj (0) j (1) j (0) z = β (0) z Καθυστέρηση φάσης Καθυστέρηση ομάδας n d β ( n) j β j (0) = n dω ω= 0 Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 9 Διασπορά πόλωσης (Πεδίο χρόνου) Προσέγγιση πρώτης τάξης Δτ = Διαφορική καθυστέρηση ομάδας Differential group dela (DGD) Η διασπορά πόλωσης είναι μια μορφή τροπικής διασποράς που επηρεάζει τη μετάδοση του σήματος σε μεγάλες αποστάσεις και υψηλούς ρυθμούς σηματοδοσίας. Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 30 Page 15

Διασπορά πόλωσης (Πεδίο χρόνου) Το σχήμα δείχνει ένα παλμό στην είσοδο της ίνας ο οποίος έχει γραμμική πόλωση και το ΗΠ έχει διεύθυνση που σχηματίζει γωνία 45 deg με τους άξονες διπλοθλαστικότητας της ίνας μικρού μήκους. Το ΗΠ αναλύεται σε συνιστώσες Ε και Ε. Οι μιγαδικές περιβάλλουσες Ĕ, Ĕ του παλμού διαδίδονται με διαφορετική ταχύτητα. Η συνιστώσα του ΗΠ καθυστερεί κατά τg, ενώ η συνιστώσα του ΗΠ καθυστερεί κατά τg και φθάνουν στην έξοδο με διαφορική καθυστέρηση ομάδας Δτ. Ο παλμός στην έξοδο έχει επιμηκυνθεί. Το φαινόμενο αυτό προκαλεί αλληλοπαρεμβολή συμβόλων κι ονομάζεται διασπορά τρόπων πόλωσης πρώτης τάξης. Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 31 Διασπορά πόλωσης (Πεδίο συχνοτήτων) A () tˆ+ A() tˆ Είσοδος Έξοδος iωτ iφ iωτ iφ g g A e ˆ + A e ˆ Κάθε φασματική συνιστώσα αποκτά διαφορετική πολωτική κατάσταση στην έξοδο. Ας υποθέσουμε τώρα ότι έχουμε ένα αρμονικό κύμα αντί για παλμό στην είσοδο οπτικής ίνας μικρού μήκους, το οποίο έχει γραμμική πόλωση και το ΗΠ έχει διεύθυνση που σχηματίζει γωνία με τους άξονες διπλοθλαστικότητας της ίνας. Το ΗΠ αναλύεται σε συνιστώσες με πλάτη Α και Α. Οι συνιστώσες του ΗΠ διαδίδονται με διαφορετική ταχύτητα. Κάθε φασματική συνιστώσα αποκτά διαφορετική πολωτική κατάσταση στην έξοδο. Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 3 Page 16

Διάδοση σε διπλοθλαστική οπτική ίνα μεγάλου μήκους Μοντέλο ίνας Διασύνδεση πλακιδίων καθυστέρησης με αυθαίρετο προσανατολισμό των οπτικών αξόνων Αναπαράσταση στη σφαίρα Poincaré Έξοδος Είσοδος f 1,,3 f 1 f f 3 Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 33 Διάδοση σε διπλοθλαστική οπτική ίνα μεγάλου μήκους Σε οπτικές ίνες μεγάλου μήκους, ο προσανατολισμός των αξόνων διπλοθλαστικότητας της ίνας μεταβάλλεται κατά μήκος της ίνας. Οι οπτικές ίνες μοντελοποιούνται ως ένα σύνολο διπλοθλαστικών πλακιδίων με τυχαίο προσανατολισμό των οπτικών αξόνων τους και τυχαία διαφορική καθυστέρηση ομάδας ανά πλακίδιο. Επιπλέον δε, ο προσανατολισμός των οπτικών αξόνων μεταβάλλεται κατά τη διάρκεια του χρόνου διότι οι εξωγενείς μηχανισμοί διπλοθλαστικότητας είναι ευαίσθητοι στην αλλαγή της θερμοκρασίας, τους κραδασμούς του περιβάλλοντος, κλπ. Αν η πολωτική κατάσταση στην είσοδο είναι η ίδια για όλες τις φασματικές συνιστώσες του παλμού (μπλε σημείο στη σφαίρα Poincaré), ηπολωτική κατάσταση στην έξοδο είναι διαφορετική για διαφορετικές φασματικές συνιστώσες του παλμού (ροζ καμπύλη στη σφαίρα Poincaré). Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 34 Page 17

Επίδραση στην απόδοση Φασματική Πυκνότητα Ισχύος Διάγραμμα Οφθαλμού Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 35 Page 18