cos ϑ sin ϑ sin ϑ cos ϑ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "cos ϑ sin ϑ sin ϑ cos ϑ"

Ζένια Μακρή
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΜΕΜ 102 Γεωμετρία και Γραμμική Άλγεβρα Διάλεξη 33 Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης Νοε 2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) ΜΕΜ Νοε / 11

2 Μετασχηματισμοί του επιπέδου Πολλοί μετασχηματισμοί του επιπέδου που αφήνουν σταθερό το σημείο αναφοράς αντιστοιχούν σε γραμμικές απεικονίσεις του R 2. Θα βρούμε τους{[ πίνακες ] [ που ]} τις αναπαριστούν, χρησιμοποιώντας την 1 0 κανονική βάση, του R Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) ΜΕΜ Νοε / 11

3 Περιστροφή γύρω από το O [ ] 1 Η περιστροφή κατά γωνία ϑ απεικονίζει το διάνυσμα στο 0 [ ] [ ] [ cos ϑ 0 sin ϑ διάνυσμα, και το διάνυσμα στο διάνυσμα sin ϑ 1 cos ϑ Άρα ο πίνακας Q ϑ που παριστάνει την περιστροφή του επιπέδου κατά γωνία ϑ, είναι ο [ ] cos ϑ sin ϑ Q ϑ =. sin ϑ cos ϑ ]. Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) ΜΕΜ Νοε / 11

4 Η γεωμετρική διαίσθηση μας λέει οτι η περιστροφή κατά γωνία ϑ είναι αντιστρέψιμη, και έχει αντίστροφο την περιστροφή κατά γωνία ϑ. Πράγματι [ ] [ cos( ϑ) sin( ϑ) Q ϑ = = sin( ϑ) cos( ϑ) και Q ϑ Q ϑ = = [ cos 2 ϑ + sin 2 ϑ sin ϑ cos ϑ cos ϑ sin ϑ [ ] cos ϑ sin ϑ ] sin ϑ, cos ϑ cos ϑ sin ϑ sin ϑ cos ϑ sin 2 ϑ + cos 2 ϑ ] Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) ΜΕΜ Νοε / 11

5 Σύμφωνα με τη γεωμετρική διαίσθηση, δύο περιστροφές κατά γωνία ϑ ισοδυναμούν με μία περιστροφή κατά γωνία 2ϑ, δηλαδή Q 2 ϑ = Q 2ϑ, και η περιστροφή κατα γωνία ϑ και μετά κατά γωνία ϕ, ισοδυναμεί με την περιστροφή κατά γωνία ϑ + ϕ, δηλαδή Q ϕ Q ϑ = Q (ϑ+ϕ). Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) ΜΕΜ Νοε / 11

6 Προβολή σε ευθεία από το O. Θεωρούμε την ευθεία που περνάει από το σημείο αναφοράς O και σχηματίζει γωνία ϑ με τον x-άξονα. Θα ονομάσουμε αυτή την ευθεία τον ϑ-άξονα. Η προβολή του διανύσματος (1, 0) στον ϑ-άξονα δίδει ένα διάνυσμα συγγραμμικό με το (cos ϑ, sin ϑ), αλλά με μήκος cos ϑ. Δηλαδή το (1, 0) προβάλλεται στο διάνυσμα (cos 2 ϑ, cos ϑ sin ϑ). Παρόμοια, το διάνυσμα (0, 1) προβάλλεται στο διάνυσμα (sin ϑ cos ϑ, sin 2 ϑ). Ο πίνακας που παριστάνει την προβολή στον ϑ-άξονα είναι ο [ cos P ϑ = 2 ] ϑ cos ϑ sin ϑ cos ϑ sin ϑ sin 2. ϑ Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) ΜΕΜ Νοε / 11

7 Ο πίνακας P δεν είναι αντιστρέψιμος. Τα σημεία του προβάλλονται στο 0. ( ϑ + π ) -άξονα 2 Ο μηδενοχώρος του πίνακα αποτελείται από τα πολλαπλάσια του διανύσματος ( ( cos ϑ + π ) (, sin ϑ + π )) = ( sin ϑ, cos ϑ). 2 2 Η γεωμετρική διαίσθηση μας λέει οτι εάν προβάλουμε δύο φορές, το αποτέλεσμα είναι το ίδιο με το να προβάλουμε μία φορά: (P ϑ ) 2 = [ c 2 cs cs s 2 ] 2 = [ c 2 (c 2 + s 2 ) cs(c 2 + s 2 ) cs(c 2 + s 2 ) s 2 (c 2 + s 2 ) ] = P ϑ. Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) ΜΕΜ Νοε / 11

8 Ανάκλαση σε ευθεία από το O. Η ανάκλαση στον ϑ-άξονα αφήνει αμετάβλητα τα σημεία του ϑ-άξονα, και συνεπώς το διάνυσμα (cos ϑ, sin ϑ) απεικονίζεται στον εαυτό του. Ενα διάνυσμα κάθετο στον ϑ-άξονα απεικονίζεται στο αντίθετο του, συνεπώς το ( sin ϑ, cos ϑ) απεικονίζεται στο (sin ϑ, cos ϑ). Ο πίνακας H ϑ που παριστάνει την ανάκλαση ικανοποιεί [ ] [ ] c s c s H ϑ =, s c s c και συνεπώς [ c s H ϑ = s c ] [ c s s c ] 1 = [ 2c 2 1 2cs 2cs 2s 2 1 ]. Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) ΜΕΜ Νοε / 11

9 Η γεωμετρική διαίσθηση μας λέει οτι δύο ανακλάσεις στον ίδιο άξονα επαναφέρουν την αρχική εικόνα, δηλαδή (H ϑ ) 2 = I. Μπορούμε να επαληθεύσουμε αυτή την ιδιότητα με απ ευθείας υπολογισμό. Εναλλακτικά, παρατηρούμε οτι H ϑ = 2P ϑ I, και συνεπώς έχουμε (H ϑ ) 2 = (2P ϑ I ) 2 = 4P 2 ϑ 4P ϑ + I = I αφού P 2 ϑ = P ϑ. Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) ΜΕΜ Νοε / 11

10 Διαστολή [ ] c 0 Ο πίνακας A =, για c > 1, παριστάνει μία διαστολή στη 0 1 διεύθυνση του x άξονα. Αυτή είναι μία αντιστρέψιμη απεικόνιση, η οποία απεικονίζει κύκλους σε ελλείψεις. Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) ΜΕΜ Νοε / 11

11 Στρέβλωση [ ] 1 0 Ο πίνακας A =, για d 0, παριστάνει μία απεικόνιση d 1 στρέβλωσης, η οποία αφήνει σταθερά τα σημεία στον y άξονα. Αυτή είναι μία αντιστρέψιμη απεικόνιση, η οποία απεικονίζει τον x-άξονα στον ϑ-άξονα, όπου d = tan ϑ. Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) ΜΕΜ Νοε / 11

Σχετικά έγγραφα

( AB) + ( BC) = ( AC).

( AB) + ( BC) = ( AC). ΜΕΜ 102 Γεωμετρία και Γραμμική Άλγεβρα Διάλεξη 3 Προβολή, εσωτερικό γινόμενο Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης Σεπ 2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) ΜΕΜ 102-3 Σεπ 2014 1 / 12 Άξονας, αλγεβρική τιμή