Σχολή E.Μ.Φ.Ε ΦΥΣΙΚΗ ΙΙΙ (ΚΥΜΑΤΙΚΗ) Κανονικές Εξετάσεις Χειµερινού εξαµήνου t (α) Αν το παραπάνω σύστηµα, ( m, s,

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σχολή E.Μ.Φ.Ε ΦΥΣΙΚΗ ΙΙΙ (ΚΥΜΑΤΙΚΗ) Κανονικές Εξετάσεις Χειµερινού εξαµήνου t (α) Αν το παραπάνω σύστηµα, ( m, s,"

Φιλομήλ Ζάρκος
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Σχολή E.Μ.Φ.Ε ΦΥΣΙΚΗ ΙΙΙ (ΚΥΜΑΤΙΚΗ) Κανονικές Εξετάσεις Χειµερινού εξαµήνου 9-1 ιάρκεια εξέτασης :3 5//1 Ι. Σ. Ράπτης Ε. Φωκίτης Θέµα 1. Ένας αρµονικός ταλαντωτής µε ασθενή απόσβεση (µάζα m σταθερά ελατηρίου s ψ συντελεστής τριβής r ) διεγείρεται µε αρχικές συνθήκες ψ ( t ) και υ. t t (α) Αν το παραπάνω σύστηµα ( m s r ) διεγερθεί µε εξωτερική δύναµη της µορφής F( t) F cos( ωt) και θεωρήσουµε ότι το r να υπολογίστε το πλάτος αποµάκρυνσης της µόνιµης λύσης και να το σχεδιάσετε συναρτήσει του ω. (β) είξτε ότι η συνάρτηση αποµάκρυνσης από την κατάσταση ισορροπίας γράφεται: t ψ ( t) ( υ ω ) e γ sin( ωt) και προσδιορίστε τα ω γ συναρτήσει των ( m s r ). (γ) Αν T είναι η περίοδος του ταλαντωτή µε ασθενή απόσβεση και ρ είναι ο λόγος µεταξύ δύο διαδοχικών µεγίστων της ψ ( t) υπολογίστε την παράµετρο γ συναρτήσει των T και ρ. X 1 X X 3 k k m 1 m m 3 Θέµα. Σε ένα γραµµικό τριατοµικό µόριο κάθε άτοµο στην κλασική θεώρηση αλληλεπιδρά µόνο µε τον πλησιέστερο γείτονά του µε ένα ελατήριο σταθεράς k. (α) Γράψτε τις διαφορικές εξισώσεις κίνησης των τριών ατόµων. (β) Αν οι µάζες των ατόµων είναι m1 m3 m m θεωρήστε λύσεις µε τη µορφή κανονικών τρόπων k ταλάντωσης και υπολογίστε τις αντίστοιχες συχνότητες συναρτήσει του ω. m x (γ) Υπολογίστε τους λόγους των πλατών ταλάντωσης x x 1 x και x1 για κάθε κανονικό τρόπο 3 x ταλάντωσης. Θέµα 3. Ιδανική χορδή µήκους L που εκτείνεται κατά µήκος του άξονα x έχει µεταβλητή πυκνότητα ρ( x) ρ 1+ x L και τείνεται µε τάση T. (α) Να παραχθεί η διαφορική εξίσωση κύµατος που ικανοποιεί µία διαταραχή y y( xt ) της χορδής στην προσέγγιση των µικρών γωνιών ( sinθ tnθ θ). (β) Στην περίπτωση που διεγείρουµε στο άκρο x αρµονική ταλάντωση y( x t) Acos( ωt) σε µόνιµη κατάσταση να υπολογίσετε το µήκος κύµατος της διαταραχής που διαδίδεται στη χορδή ως συνάρτηση της θέσης x λ λ( x) και να σχεδιάσετε ένα στιγµιότυπο αυτής της κίνησης. (γ) Στην περίπτωση που η γραµµική πυκνότητα είναι ίδια σε όλο το µήκος της χορδής και στο ένα άκρο της συνδέεται µε µία χορδή αµελητέας γραµµικής πυκνότητας να υπολογισθεί το συνολικό πλάτος αποµάκρυνσης του σηµείου σύνδεσης όταν σε αυτό φτάνει παλµός ύψους Α.

2 R διαδοχικών φωτεινών θ K Π Θέµα 4. Κολοβός γυάλινος κώνος (Κ) µε µικρή γωνία βάσης θ sinθ tnθ θ ακουµπάει ανάστροφα σε γυάλινο πλακίδιο r ϕ και σκοτεινών (Π) έτσι ώστε ανάµεσα στις παράλληλες επιφάνειες στην περιοχή επαφής που είναι κύκλος ακτίνας R να παρεµβάλλεται ένα στρώµα αέρος µε µικρό πάχος (π.χ. µερικά νανόµετρα). Το σύστηµα φωτίζεται κατακόρυφα από πάνω µε σύµφωνο µονοχρωµατικό φως µήκους κύµατος λ 5 nm. Θεωρήστε ότι ο αέρας έχει δείκτη διάθλασης περίπου 1 και ότι η ανακλώµενη ακτινοβολία από όλες τις επιφάνειες κατευθύνεται επίσης περίπου κατακόρυφα. (α) Εξηγείστε αναλυτικά γιατί όταν παρατηρεί κανείς την ανακλώµενη ακτινοβολία βλέπει κυκλικούς φωτεινούς και σκοτεινούς κροσσούς. (β) Εξηγείστε αν ο κεντρικός κροσσός είναι σκοτεινός ή φωτεινός και πόση είναι η ακτίνα του. (γ) ώστε από µία σχέση υπολογισµού για τις ακτίνες των r σ κροσσών αντίστοιχα. ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΩΣ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ A+ B AB cos( A) + cos( B) cos cos y 1 y x c t A Z Z A Z + Z r 1 i 1 A Z A Z + Z t 1 i 1 ω dω υphse υgroup k dk n 1 E t [ δω t ] [ δω t ] sin / 1 cos ( ω1+ [ n 1] δω) cos ( ωt) ω ω1+ δω sin / E z c 1 S E B 8 1 E c 3 1 ms r n1 n r µ E n + n i 1 sin β π I ( θ ) I β f sin θ sin β λ sin π I I bsinθ λ I I sin sin β sin β

3 Θέµα 1. Ένας αρµονικός ταλαντωτής µε ασθενή απόσβεση (µάζα m σταθερά ελατηρίου s ψ συντελεστής τριβής r ) διεγείρεται µε αρχικές συνθήκες ψ ( t ) και υ. (α) είξτε ότι t η συνάρτηση αποµάκρυνσης από την κατάσταση ισορροπίας γράφεται: ψ ( t) ( υ ω ) e sin( ωt) t t γ T είναι η περίοδος του ταλαντωτή µε και προσδιορίστε τα m s r. (β) Αν ασθενή απόσβεση και λ είναι ο λόγος µεταξύ δύο διαδοχικών µεγίστων της ( t) παράµετρο γ συναρτήσει των ω γ συναρτήσει των T και λ. (γ) Αν το παραπάνω σύστηµα ( ) ψ υπολογίστε την m s r διεγερθεί µε εξωτερική δύναµη της µορφής F( t) F cos( ωt) και θεωρήσουµε ότι το r να υπολογίστε το πλάτος αποµάκρυνσης της µόνιµης λύσης και να το σχεδιάσετε συναρτήσει του ω. (α) Θα δείξουµε πρώτα ότι η συνάρτηση γt ψ ( t) A e sin( ωt+ ϕ) (1) είναι λύση της διαφορικής εξίσωσης κίνησης: ɺɺ ψ + r ψɺ + s ψ m m () Αντικαθιστούµε στην () τις ψ ψɺ ɺɺ ψ όπως προκύπτουν από την (1) και οµαδοποιούµε τους συντελεστές του sin( ω ) και cos( ω ) που ο καθένας πρέπει να είναι συνολικά ίσος µε µηδέν: t t r s γ γt γt ɺɺ ψ + ψɺ + ψ A ω e sin( ωt) Aγωe cos( ωt) m m 4 r Aγ γt γt s γt + e sin( ωt) + Aωe cos( ωt) + Ae sin( ωt) m m Μηδενίζοντας τον συντελεστή του sin( ω t ) : γ r Aγ s A ω + A 4 m m Μηδενίζοντας τον συντελεστή του cos( ω t ) : Aγω A ω γ (4) m m s γ γ και αντικαθιστώντας στην (3): ω ω m Εφαρµόζοντας και τις αρχικές συνθήκες: A υ ω γt r (β) ψ ( t) A e sin( ωt) και ψ ( t+ T ) A e sin ( ω ( t+ T )) Επειδή έχουµε διαδοχικά µέγιστα ( ωt) ( ω t T ) r γ ( t+ T ) ψ ( t) γt ln sin sin ( + ) 1 οπότε e λ λ γ ψ ( t+ T ) T (3) A(ω) Α(ω) Α(ω) - ω/ω 4 φ(ω) -π (γ) Αν r η διαφορική εξίσωση κίνησης γίνεται s F ɺɺ ψ + ψ cos( ωt) άρα η λύση θα είναι της µορφής m m ψ Acos( ωt) οπότε παραγωγίζοντας φορές και αντικαθιστώντας στην προηγούµενη σχέση έχουµε µετά την απαλοιφή των cos( ω t) την Fo σχέση Aω m που αποδίδεται από το διπλανό σχήµα. ω ω o

4 Θέµα. Σε ένα γραµµικό τριατοµικό µόριο της µορφής Α-Β-Α κάθε άτοµο στην κλασική θεώρηση αλληλεπιδρά µόνο µε τον πλησιέστερο γείτονά του µε ένα ελατήριο σταθεράς k. (α) Γράψτε τις διαφορικές εξισώσεις κίνησης των τριών ατόµων. (β) Αν οι µάζες των ατόµων είναι m A m B m θεωρήστε λύσεις µε τη µορφή των κανονικών τρόπων ταλάντωσης και υπολογίστε τις συχνότητες των k κανονικών τρόπων ταλάντωσης συναρτήσει των ω m X 1 X X 3 k k m 1 m m 3 mx ɺɺ + k( x x ) mx ɺɺ + k( x x ) + k( x x ) 1 3 mx ɺɺ + k( x x ) m Αντικαθιστούµε: m1 m3 ma κιαι m mb m Υποθέτοουµε x1 Α cos( ωt) x Β cos( ωt) x3 Γ cos( ωt) Παραγωγίζουµε και αντικαθιστούµε στο αρχικό σύστηµα που µετατρέπεται σε οµογενές γραµµικό σύστηµα 3x3 για τα πλάτη Α Β Γ που για να είναι επιλύσιµο πρέπει να έχει µηδενική ορίζουσα : ( ω ω ) ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ( ω ω ) ( ) ( 4 )( ) Εποµένως: ω 1 ισοταχής κίνησης του κέντρου µάζας του συστήµατος ω ω συµµετρική ταλάντωση µε το Β: ακίνητο ω ω αντισυµµετρική ταλάντωση µε το Β να κινείται αντίθετα από τα Α 3

5 Θέµα 3. Ιδανική χορδή µήκους L που εκτείνεται κατά µήκος του άξονα x έχει µεταβλητή πυκνότητα ρ( x) ρ 1+ x L και τείνεται µε τάση T. (α) Να παραχθεί η διαφορική εξίσωση κύµατος που ικανοποιεί µία διαταραχή y y( xt ) της χορδής στην προσέγγιση των µικρών γωνιών ( sinθ tnθ θ). (β) Στην περίπτωση που διεγείρουµε στο άκρο x αρµονική ταλάντωση y( x t) Acos( ωt) σε µόνιµη κατάσταση να υπολογίσετε το µήκος κύµατος της διαταραχής που διαδίδεται στη χορδή ως συνάρτηση της θέσης x λ λ( x) και να σχεδιάσετε ένα στιγµιότυπο αυτής της κίνησης. (γ) Στην περίπτωση που η γραµµική πυκνότητα είναι ίδια σε όλο το µήκος της χορδής και στο ένα άκρο της συνδέεται µε µία χορδή αµελητέας γραµµικής πυκνότητας να υπολογισθεί το συνολικό πλάτος αποµάκρυνσης του σηµείου σύνδεσης όταν σε αυτό φτάνει παλµός ύψους Α. (α) Από το νόµο του Νεύτωνα για στοιχείο µάζας dm ρdx έχουµε y y y y xdx T T dx t x x+ dx x x x ( ρ ) Y Axis Title X Axis Title F1 (β) Από το (α) έχουµε ότι η ταχύτητα διάδοσης των κυµάτων είναι T T c (1 / ρ ρ ) + x L Και για το µήκος κύµατος : ω π ρ(1 + x / L ) π T k ω λ c λ T ω ρ x L (1 + / ) Το στιγµιότυπο φαίνεται στο διπλανό σχήµα το οποίο αποδίδει την µείωση του µήκους κύµατος µε την απόσταση. (γ) Ο συντελεστής ανάκλασης πλάτους σε µία ασυνέχεια δίνεται από τη σχέση z1z r z + z 1 όπου z1 Tρ1 z Tρ οι σύνθετες αντιστάσεις των αντίστοιχων µέσων διάδοσης. Στη συγκεκριµένη περίπτωση : z r 1 εποµένως: Ar Ai και A A + i A ολ r A ηλαδή το συνολικό πλάτος είναι το διπλάσιο του προσπίπτοντος πλάτους.

6 R θ K Π Θέµα 4. Κολοβός γυάλινος κώνος (Κ) µε µικρή γωνία βάσης θ sinθ tnθ θ ακουµπάει ανάστροφα σε γυάλινο πλακίδιο (Π) έτσι ώστε ανάµεσά στις παράλληλες επιφάνειες να παρεµβάλλεται ένα στρώµα αέρος µε µικρό πάχος (π.χ. 1 nm). Το σύστηµα φωτίζεται κατακόρυφα από πάνω µε σύµφωνο µονοχρωµατικό φως µήκους κύµατος λ 5 nm. Θεωρήστε ότι ο αέρας έχει δείκτη διάθλασης περίπου 1 και ότι η ανακλώµενη ακτινοβολία από όλες τις επιφάνειες κατευθύνεται επίσης κατακόρυφα. (α) Εξηγείστε αναλυτικά γιατί όταν παρατηρεί κανείς την ανακλώµενη ακτινοβολία βλέπει κυκλικούς φωτεινούς και σκοτεινούς κροσσούς. (β) Εξηγείστε αν ο κεντρικός κροσσός είναι σκοτεινός ή φωτεινός και πόση είναι η ακτίνα του. (γ) ώστε από µία σχέση υπολογισµού για τις ακτίνες των διαδοχικών r σ κροσσών αντίστοιχα αν η φωτεινών r ϕ και σκοτεινών επιφάνεια επαφής είναι κύκλος ακτίνας R. (α) Ανάµεσα στις ανακλώµενες ακτίνες από τις επικλινείς πλευρές του κώνου και από την πάνω πλευρά της επίπεδης K πλάκας υπάρχει διαφορά οπτικού δρόµου: Ο h. h Επιπλέον η ανακλώµενη στη οριζόντια πλευρά του κάτω x λ πλακιδίου έχει διαφορά φάσης ϕ π Ο Άρα στην κεντρική περιοχή όπου λόγω αµελητέου πάχους στο στρώµα του αέρα υπάρχει µόνο η διαφορά φάσης από την ανάκλαση έχουµε καταστρεπτική συµβολή άρα σκοτεινό κροσσό. Για r R+ x> R έχουµε 1 Για φωτεινούς κροσσούς : hϕ m+ λ Για σκοτεινούς κροσσούς : h mλ σ h h σ ϕ Αλλά: tnθ εποµένως οι αντίστοιχες ακτίνες των φωτεινών και σκοτεινών κροσσών είναι x x σ ϕ ( m 1/ ) + λ rϕ R+ xϕ R+ r R+ x tnθ mλ rσ R+ xσ R+ tnθ

Σχετικά έγγραφα

max 0 Eκφράστε την διαφορά των δύο θετικών λύσεων ώς πολλαπλάσιο του ω 0, B . Αναλύοντας το Β σε σειρά άπειρων όρων ώς προς γ/ω 0 ( σειρά

max 0 Eκφράστε την διαφορά των δύο θετικών λύσεων ώς πολλαπλάσιο του ω 0, B . Αναλύοντας το Β σε σειρά άπειρων όρων ώς προς γ/ω 0 ( σειρά . Να αποδείξετε ότι σε ένα ταλαντούμενο σύστημα ενός βαθμού ελευθερίας, μάζας και σταθεράς ελατηρίου s με πολύ ασθενή απόσβεση (γω, όπου γ r/, r η σταθερά αντίστασης και s/ ) το πλήρες εύρος στο μισό του