Ο ειδικός μετασχηματισμός του Lorentz

Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Ο ειδικός μετασχηματισμός του Lorentz Ο ειδικός μετασχηματισμός του Lorentz Με αφετηρία τις δυο απαιτήσεις της Ειδικής Θεωρίας Σχετικότητας του Einstein θα βρούμε τον ειδικό μετασχηματισμό του Lorentz Πρώτη απαίτηση: Όλοι οι αδρανειακοί παρατηρητές είναι ισοδύναμοι Δεύτερη απαίτηση: Η ταχύτητα του φωτός στο κενό είναι σταθερή, και είναι ανεξάρτητη από την κατάσταση της κίνησης της πηγής που το εκπέμπει Θεωρούμε δυο αδρανειακά συστήματα (ΑΣΑ) τα Σ και Σ στη συνηθισμένη διάταξη όπου το Σ κινείται με ταχύτητα v κατά μήκος του θετικού x-άξονα του Σ Σύμφωνα με την πρώτη απαίτηση, αν ένας παρατηρητής A στο αδρανειακό σύστημα Σ βλέπει ένα ελεύθερο σώμα, δηλαδή ένα σώμα στο οποίο δεν ασκούνται δυνάμεις, να κινείται σε μια ευθεία γραμμή με σταθερή ταχύτητα, τότε και ο παρατηρητής B στο αδρανειακό σύστημα Σ παρατηρεί το ίδιο, δηλαδή ένα σώμα να κινείται σε ευθεία γραμμή Οπότε η κίνηση του σώματος και στα δυο αδρανειακά συστήματα, σε διανυσματική μορφή, είναι r = r 0 + ut, r = r 0 + u t Ας θεωρήσουμε τώρα τον μετασχηματισμό που συνδέει τα δυο αδρανειακά συστήματα αναφοράς Σ και Σ Αφού, σύμφωνα με την προηγούμενη παρατήρηση, ευθείες απεικονίζονται σε ευθείες, είναι λογικό να υποθέσουμε ότι ο μετασχηματισμός που συνδέει το Σ με το Σ είναι γραμμικός, δηλαδή t x y z = L(v) t x y z (1) Στην παραπάνω σχέση ο L είναι ένας 4 4 πίνακας του οποίου τα στοιχεία εξαρτώνται μόνο από την ταχύτητα v διαχωρισμού των δυο ΑΣΑ Αφού το Σ κινείται κατά μήκος του άξονα x του Σ ( Σχήμα 1 (a) ), τότε το επίπεδο xz (y = 0) του A παρατηρητή θα πρέπει να ταυτίζεται με το x z επίπεδο (y = 0) του B παρατηρηρτή Οπότε οι συντεταγμένες y και y πρέπει να συνδέονται με έναν μετασχηματισμό της μορφής y = k y (2) Κάνουμε τώρα την υπόθεση ότι ο χώρος είναι ισοτροπικός, δηλαδή ότι είναι ίδιος προς κάθε κατεύθυνση Με αυτή την υπόθεση κατά νου, αντιστρέφουμε τις κατευθύνσεις του x και του y-άξονα του A και του B παρατηρητή ( Σχήμα 1 (b) ), και θεωρούμε τώρα την κίνηση από την 1

Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Ο ειδικός μετασχηματισμός του Lorentz y (a) y v x x A B z z x A (b) x B z y z y v y (c) y v x x B A z z Σχήμα 1: (a) Η τυπική διάταξη δυο ΑΣΑ, (b) αντιστροφή του x και y-άξονα, (c) ο B παρατηρεί το σχήμα b από την σκοπιά του, οι ρόλοι των A και B έχουν αντιστραφεί σκοπιά του B ( Σχήμα 1 (b) και (c) ) Είναι προφανές ότι από την οπτική του B οι ρόλοι των A και B έχουν αντιστραφεί Συνεπώς, από την συμμετρία, έχουμε ότι y = ky (3) Από τις εξισώσεις (2), (3) παίρνουμε ότι k 2 = 1 k = ±1 Η λύση με το αρνητικό πρόσημο μπορεί να παραληφθεί, γιατί όταν v 0, τότε θα πρέπει y y, κι έτσι k = 1, δηλαδή y = y Με ακριβώς την ίδια επιχειρηματολογία μπορούμε να αποδείξουμε ότι z = z, κι έτσι έχουμε ότι y = y, και z = z (4) Στην συνέχεια χρησιμοποιούμε την δεύτερη απαίτηση της Ειδικής Σχετικότητας Ας υποθέσουμε ότι όταν τα κέντρα των Σ και Σ ταυτίζονται οι παρατηρητές A και B συγχρονίζουν τα ρολόγια τους στο μηδέν, δηλαδή t = t = 0, και εκπέμπουν μια λάμψη φωτός Τότε σύμφωνα με τον Α, η λάμψη φωτός θα ταξιδεύει, ακτινικά από το κέντρο προς τα έξω, με ταχύτητα c Το μέτωπο του κύματος φωτός θα αποτελείται από μια σφαίρα Ορίζουμε την ποσότητα I(t, x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 c 2 t 2 2

Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Ο ειδικός μετασχηματισμός του Lorentz Τότε τα γεγονότα που λαμβάνουν χώρα πάνω στην σφαίρα πρέπει να ικανοποιούν την σχέση Ι = 0 Από την δεύτερη απαίτηση της Ειδικής Σχετικότητας, και ο παρατηρητής Β στο Σ, βλέπει την φωτεινή λάμψη να κινείται σε ένα σφαιρικό μέτωπο κύματος με ταχύτητα c Οπότε στο μέτωπο του κύματος θα πρέπει να ισχύει και στο Σ ότι I (t, x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 c 2 t 2 = 0 Οπότε εύκολα συνάγεται ότι κάτω από την δράση του μετασχηματισμού που συνδέει τα Σ και Σ, ισχύει I = 0 I = 0 Αφού ο μετασχηματισμός είναι γραμμικός, θα πρέπει I = n I, (5a) όπου n μια ποσότητα που εξαρτάται μόνο από την ταχύτητα v του διαχωρισμού των δυο ΑΣΑ Χρησιμοποιώντας την ισοτροπία του χώρου, και την ίδια επιχειρηματολογία που αναπτύξαμε όπως προηγουμένως, μπορούμε να αναστρέψουμε τους ρόλους των Σ και Σ, και συνεπώς έχουμε ότι ισχύει και I = ni (5b) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5a), (5b), παίρνουμε ότι n 2 = 1 n = ±1 Στο όριο v 0, τα δυο συστήματα αναφοράς Σ και Σ ταυτίζονται, οπότε θα πρέπει I I, και συνεπώς θα πρέπει να δεχτούμε μόνο την θετική λύση, n = 1 Συνακόλουθα για n = 1, η εξίσωση (5a) γίνεται x 2 + y 2 + z 2 c 2 t 2 = x 2 + y 2 + z 2 c 2 t 2 Από τις σχέσεις (4), η προηγούμενη εξίσωση γίνεται x 2 c 2 t 2 = x 2 c 2 t 2 (6) Έπειτα ορίζουμε φανταστικές χρονικές συντεταγμένες T και T, ως εξής T = i c t, T = ic t, (7) με τις οποίες, η σχέση (6) γίνεται x 2 + T 2 = x 2 + T 2 (8) Στο δισδιάστατο (φανταστικό) χώρο (x, T ) η ποσότητα x 2 +T 2 παριστάνει μια απόσταση από το κέντρο των x, T -αξόνων Η ποσότητα αυτή παραμένει αναλλοίωτη μόνο κάτω από μια στροφή στον χώρο (x, T ) κατά γωνία θ, δηλαδή x = x cos θ + T sin θ, T = x sin θ + T cos θ (9) 3

Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Ο ειδικός μετασχηματισμός του Lorentz Το κέντρο x = 0 (y = z = 0) του ΑΣΑ Σ όπως φαίνεται από το ΑΣΑ Σ, κινείται κατά μήκος του x-άξονα του Σ με ταχύτητα v, οπότε όταν x = 0 τότε πρέπει να ισχύει x = v t, κι αντίστροφα Συνεπώς x = 0 x = c t x = v T i c = i v T /c Εισάγοντας τις τελευταίες σχέσεις στην πρώτη των σχέσεων (9), παίρνουμε ότι tan θ = i v/c, (10) από την οποία συμπεραίνουμε ότι και η γωνία θ είναι φανταστική Μπορούμε να εκφράσουμε τo συνημίτονo σε σχέση με την εφαπτομένη χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρική ταυτότητα cos θ = 1 1 + tan 2 θ Με βάση την παραπάνω και την σχέση (10) παίρνουμε ότι cos θ = 1 1 v2 c 2, sin θ = i v c 1 v2 c 2 Αντικαθιστώντας τις τελευταίες στις σχέσεις (9), λαμβάνοντας υπόψη τις σχέσεις (7), παίρνουμε και x = 1 i c t = 1 1 v2 c 2 (x + ic t(iv/c)) x = 1 1 v2 c 2 (x vt), 1 v2 c 2 ( x(iv/c) + ic t)) t αντίστοιχα Ορίζοντας τα συμβατικά σύμβολα β και γ = 1 2 (t vx/c )), 1 v2 c 2 β = v c, γ = 1 1 v2 c 2 = 1 1 β 2, (11) ο ειδικός μετασχηματισμός Lorentz (σε μη σχετικιστικές μονάδες) παίρνει την απλή μορφή t = γ (t vx/c 2 ), x = γ (x vt), y = y, z = z (12) Αν θέσουμε c = 1 στις παραπάνω σχέσεις, παίρνουμε τον ειδικό μετασχηματισμό Lorentz σε σχετικιστικές μονάδες 4

Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Ο ειδικός μετασχηματισμός του Lorentz Μαθηματικές ιδιότητες του ειδικού μετασχηματισμού του Lorentz: α) Γεωμετρικά ο ειδικός μετασχηματισμός Lorentz παριστάνει μια στροφή κατά μια φανταστική γωνία θ στο (x, T ) επίπεδο, όπου η συντεταγμένη T είναι φανταστικός χρόνος Όπως θα δούμε στα αμέσως παρακάτω, στο πραγματικό επίπεδο (x, c t) αυτό είναι ισοδύναμο με το να στρεβλώσουμε προς τα μέσα τους άξονες συντεταγμένων (x, c t) κατά την ίδια γωνία θ Πολλοί πολέμιοι της Ειδικής Σχετικότητας χρησιμοποίησαν την εσφαλμένη αντίληψη ότι οι μετασχηματισμοί Lorentz παριστάνουν συνηθισμένη στροφή στο πραγματικό επίπεδο (x, c t) για να οδηγηθούν έτσι σε εσφαλμένα αντεπιχειρήματα για την ισχύ της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας του Einstein Ακόμα και σήμερα δεν είναι λίγοι οι πολέμιοι της θεωρίας του Einstein, όμως τόσο η μαθηματική εσωτερική συνέπεια όσο και η συμφωνία της θεωρίας του με την φυσική παρατήρηση δεν επιτρέπουν τέτοιου είδους παρερμηνείες β) Αν λύσουμε τις σχέσεις (12) ως προς τις μεταβλητές χωρίς τόνο παίρνουμε t = γ (t + vx /c 2 ), x = γ (x + vt ), y = y, z = z (13) Στις παραπάνω σχέσεις μπορούμε να αναχθούμε άμεσα από τις σχέσεις (12) εναλλάσσοντας τις μεταβλητές με τόνο με αυτές χωρίς τόνο και αντικαθιστώντας την ταχύτητα v με v Η αντιστροφή αυτή έχει την εξής φυσική ερμηνεία: Αν το ΑΣΑ Σ κινείται κατά την θετική κατεύθυνση του x-άξονα του Σ με ταχύτητα v, τότε το Σ κινείται κατά μήκος του αρνητικού x -άξονα του Σ με ταχύτητα v, ή ισοδύναμα, ο Σ κινείται κατά μήκος του θετικού x -άξονα του Σ με ταχύτητα v γ) Ο ειδικός μετασχηματισμός του Lorentz συγκροτεί μια τοπική μονοπαραμετρική ομάδα μετασχηματισμών Aς συμβολίσουμε τον ειδικό μετασχηματισμό του Lorentz με h v, όπου ο υποδείκτης δηλώνει την εξάρτηση του μετασχηματισμού από την παράμετρο v R Ο μετασχηματισμός h v παίρνει την τετράδα (t, x, y, z) R 4 και την απεικονίζει στην τετράδα (t, x, y, z ) R 4 και ορίζεται από τον τύπο h v R 4 R 4, h v (t, x, y, z) = (t, x, y, z ) = (γ (t vx/c 2 ), γ (x vt), y, z), όπου γ = (1 v 2 /c 2 ) 1/2 Ας συμβολίσουμε με Id την ταυτοτική απεικόνιση στον R 4, δηλαδή Id(t, x, y, z) = (t, x, y, z) (i) O μετασχηματισμός h v για v = 0, μας δίνει την ταυτοτική απεικόνιση, δηλαδή h 0 = Id (ii) Εύκολα διαπιστώνουμε ότι ισχύει h v h v = h v h v = Id, δηλαδή ο αντίστροφος μετασχηματισμός του h v είναι ο h v 5

Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Ο ειδικός μετασχηματισμός του Lorentz (iii) Η σύνθεση δυο μετασχηματισμών Lorentz h v1, h v2 με ταχύτητες v 1 και v 2, αντίστοιχα, είναι ένας τρίτος μετασχηματισμός Lorentz h v3, με ταχύτητα v 3 που δίνεται από την σχέση δηλαδή ισχύει ότι (iv) Η προσεταιριστική ιδιότητα v 3 = v 1 + v 2 1 + v 1 v 2 /c 2, h v1 h v2 = h v2 h v1 = h v3 (h v1 h v2 ) h v3 = h v1 (h v2 h v3 ), αφήνεται για άσκηση, και ουσιαστικά προκύπτει από την προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού πινάκων ( L(v 1 )L(v 2 ))L(v 3 ) = L(v 1 )(L(v 2 )L(v 3 )), όπου δες σχέση (1) L(v) = v γ γ 0 0 c 2 v γ γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1, δ) Το τετράγωνο των απειροστών διαστημάτων μεταξύ απειροστά διαχωρίσιμων χωροχρονικών γεγονότων d s 2 = c 2 d t 2 + d x 2 + d y 2 + d z 2, (14) παραμένει αναλλοίωτο κάτω από την δράση του ειδικού μετασχηματισμού Lorentz Ή αλλιώς, ο ειδικός μετασχηματισμός του Lorentz αποτελεί μια ισομετρία του R 4, εφοδιασμένου με την μετρική (14), που είναι γνωστός ως χωρόχρονος του Minkowski ε) Για να παραγάγουμε τον μετασχηματισμό του Lorentz, έχουμε ακολουθήσει την συνηθισμένη πρακτική που ακολουθείται σε εισαγωγικά βιβλία της Ειδικής θεωρίας Σχετικότητας, (πχ [1]), δηλαδή χωρίς σαφείς υποθέσεις για την τετραδιάστατη γεωμετρική δομή του χωρόχρονου Από αυστηρή μαθηματική σκοπιά, αξίζει στο σημείο αυτό να αναφερθεί ότι μόνο αφού απαιτήσουμε ο μετασχηματισμός του Lorentz να είναι ισομετρία του χωρόχρονου Minkowski είναι αρκετό για να προσδιορισθεί πλήρως ο μετασχηματισμός h v Για μια διεξοδική ανάλυση στο θέμα αυτό δες [2] 1 D Inverno R Introducing Einstein s Relativity, Clarendon Press, Oxford, 1992 2 Friedman M Foundations of Space-Time eories - Relativistic Physics and Philosophy of Sciences, Princeton University Press, 1983 6

Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Ο ειδικός μετασχηματισμός του Lorentz Σχέσεις μεταξύ χωροχρονικών διαγραμμάτων αδρανειακών παρατηρητών Θεωρούμε ως άξονες τα c t και x στο ΑΣΑ Σ, έτσι ώστε μια ακτίνα φωτός να έχει κλίση π/4 (όπως στις σχετικιστικές μονάδες) Στόχος μας είναι στο ίδιο διάγραμμα με τα γεγονότα για το ΑΣΑ Σ, να σχηματίσουμε και το διάγραμμα για το ΑΣΑ Σ με άξονες c t και x Από τον ειδικό μετασχηματισμό του Lorentz έχουμε ότι c t = 0 c t = (v/c)x Δηλαδή, ο x -άξονας (c t = 0) είναι η ευθεία c t = (v/c) x με κλίση v/c < 1 Ομοίως, x = 0 c t = (c/v)x Δηλαδή, ο c t -άξονας (x = 0) είναι η ευθεία t = (c/v) x με κλίση c/v > 1 Οι ευθείες παράλληλες στην Οct ( όπως η ΑΗ στο Σχήμα (2) ) είναι οι κοσμικές γραμμές σημείων που ακινητούν στο Σ Οι ευθείες παράλληλες στην Οx (πχ η ΒΗ) συνδέουν γεγονότα που συμβαίνουν την ίδια χρονική στιγμή στο Σ και λέγονται οι γραμμές του ταυτοχρόνου στο Σ Οι συντεταγμένες ενός τυχαίου γεγονότος Γ είναι (x, c t) = (ΟΔ, ΟΕ) στο Σ, και (x, c t ) = (ΟΔ, ΟΕ ) στο Σ Το Σχήμα (2) έχει σχεδιασθεί σε μια αρκετά καλή κλίμακα λόγω μονάδων c t c t x 2 c 2 t 2 = 1 Η ακτίνα φωτός Β x 2 c 2 t 2 = 1 c t = 1 x Ε Ε Γ Α Ο Δ Δ x = 1 x Σχήμα 2: Σύνδεση χωροχρονικών διαγραμμάτων δύο αδρανειακών παρατηρητών 7

Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Ο ειδικός μετασχηματισμός του Lorentz Η πληροφορία για μια κλίμακα ανηγμένη στην μονάδα κωδικοποιείται στις υπερβολές x 2 c 2 t 2 = x 2 c 2 t 2 = ±1 Αν θέσουμε στην υπερβολή με το θετικό πρόσημο c t = 0, παίρνουμε x = ±1 Οπότε το ΟΑ είναι μια μονάδα μέτρησης για τον Οx άξονα Ομοίως, θεωρώντας την υπερβολή με το αρνητικό πρόσημο και θέτοντας x = 0, παίρνουμε c t = ±1 και συνεπώς το ΟΒ είναι μια μονάδα μέτρησης στον άξονα Οct Με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να κατασκευάσουμε μονάδες μέτρησης και για τους Οct και Οx-άξονες (σημεία τομής των υπερβολών με τον Οct και Οx-άξονα, αντίστοιχα) Με αυτό τον τρόπο, οι συντεταγμένες του τυχαίου σημείου (γεγονότος) Γ στο ΑΣΑ Σ είναι (x, c t ) = ( ΟΔ ΟΑ, ΟΕ ΟΒ ) Τα φαινόμενα της συστολής του μήκους και της διαστολής του χρόνου μπορούν να διαπιστωθούν άμεσα από τα διαγράμματα του Σχήματος (2) Συστολή του μήκους: Η κοσμική γραμμή μιας ράβδου μήκους 1, δηλαδή της ράβδου ΟΑ στο Σ, με άκρα στο x = 0 και στο x = 1, τέμνει τον άξονα Οx σε μικρότερο μήκος από την μονάδα, αφού η προέκταση της ΑΗ προς τον άξονα Οx κόβει τον Οx σε μήκος μικρότερο από αυτό που τέμνει η υπερβολή τον Οx Η αμοιβαιότητα του φαινομένου της συστολής του μήκους φαίνεται αν φέρουμε την κοσμική γραμμή μιας ράβδου μήκους μονάδας στο ΑΣΑ Σ, δηλαδή την ευθεία που διέρχεται από το σημείο που τέμνει η υπερβολή τον άξονα Οx και είναι παράλληλη προς τον άξονα Οct Παρατηρούμε ότι κι αυτή η κοσμική γραμμή τέμνει τον άξονα Οx σε μήκος μικρότερο από μονάδα αφού τον τέμνει αριστερά του σημείου Α Το μήκος ενός σώματος στην κατεύθυνση της κίνησής του με σταθερή ταχύτητα v, συστέλλεται κατά ένα παράγοντα (1 v 2 /c 2 ) 1 2 Διαστολή του χρόνου: Θεωρούμε το ευθύγραμμο τμήμα ΟΒ, δηλαδή την κοσμική γραμμή του γεγονότος που έλαβε χώρα στο ίδιο χωρικό σημείο και στα δυο ΑΣΑ (στο σημείο Ο της αρχής των αξόνων) και διάρκεσε μια μονάδα χρόνου στο ΑΣΑ Σ Φέρνουμε την γραμμή του ταυτοχρόνου από το σημείο Β προς τον άξονα Οct του ΑΣΑ Σ, δηλαδή την ευθεία που διέρχεται από το Β και είναι παράλληλη προς τον άξονα Οx του Σ Παρατηρούμε ότι η ευθεία αυτή τέμνει τον άξονα Οct σε χρόνο μεγαλύτερο από την μονάδα, αφού το σημείο τομής είναι πιο πάνω από το σημείο που τέμνει η υπερβολή τον άξονα Οct Οπότε συμπεραίνουμε ότι πέρασε περισσότερος χρόνος στο ΑΣΑ Σ Η αμοιβαιότητα του φαινομένου διαπιστώνεται αν θεωρήσουμε το γεγονός που έλαβε χώρα στο Ο και διάρκεσε μια μονάδα χρόνου στο Σ, δηλαδή το σημείο που τέμνει η υπερβολή του άξονα Οct του Σ Φέρνουμε την γραμμή του ταυτοχρόνου του σημείου αυτού στο Σ, δηλαδή την ευθεία από το σημείο αυτό που είναι παράλληλη προς το άξονα Οx και παρατηρούμε ότι η ευθεία αυτή τέμνει τον άξονα Οct πιο πάνω από το σημείο Β που μετράει μια μονάδα χρόνου στο Σ Τα κινούμενα ρολόγια επιβραδύνονται κατά ένα παράγοντα (1 v 2 /c 2 ) 1 2 8

Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Μετασχηματισμός ταχυτήτων 2 Μετασχηματισμός ταχυτήτων Θεωρούμε τα ΑΣΑ Σ και Σ στην συνηθισμένη διάταξη όπου το Σ κινείται με ταχύτητα v κατά μήκος του θετικού x-άξονα του Σ Οι συντεταγμένες του Σ συνδέονται με τις συντεταγμένες του Σ με το ειδικό μετασχηματισμό του Lorentz t = γ (t vx/c 2 ), x = γ (x vt), y = y, z = z, (21) όπου γ = (1 v 2 /c 2 ) 1/2 Θεωρούμε τώρα ένα σωματίδιο σε κίνηση του οποίου οι συνιστώσες της ταχύτητάς του στο Σ και στο Σ είναι u = (u 1, u 2, u 3 ) = ( d x d t, d y d t, d z d t ), u = (u 1, u 2, u 3 ) = ( d x d t, d y d t, d z d t ), αντίστοιχα Παίρνοντας τα διαφορικά στον ειδικό μετασχηματισμό του Lorentz (21) έχουμε d t = γ (dt vdx/c 2 ), dx = γ (dx vdt), dy = dy, dz = dz (22) Συνεπώς, u 1 = d x γ (d x v d t) = d t γ (d t v d x/c 2 ) = d x v d t 1 v d x c 2 d t = u 1 v 1 u 1 v/c 2, u 2 = d y d t = d y γ (d t v d x/c 2 ) = d y d t γ(1 v c 2 d x d t ) = u 2 γ(1 u 1 v/c 2 ), (23) u 3 = d z d t = d z γ (d t v d x/c 2 ) = d z d t γ(1 v c 2 d x d t ) = u 3 γ(1 u 1 v/c 2 ) Στις παραπάνω σχέσεις παρατηρούμε ότι οι συνιστώσες u 2, u 3 της ταχύτητας οι οποίες είναι κάθετες στην κίνηση του Σ επηρεάζονται από τον μετασχηματισμό, εξαιτίας της διαφοράς του χρόνου στα δυο ΑΣΑ O αντίστροφος μετασχηματισμός προκύπτει εναλλάσσοντας τις συνιστώσες χωρίς τόνο με αυτές με τόνο και θέτοντας στη θέση της v την v, δηλαδή u 1 = u 1 + v 1 + u 1 v/c2, u 2 = u 2 γ(1 + u 1 v/c2 ), u 3 = u 3 γ(1 + u 1 v/c2 ) (24) u u Σ Σ v τροχιά σωματιδίου Σχήμα 1: Ένα σωματίδιο σε κίνηση ως προς τα Σ και Σ 9

Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Μετασχηματισμός επιταχύνσεων 3 Μετασχηματισμός επιταχύνσεων Έχοντας αφετηρία την πρώτη από τις σχέσεις (24) και παίρνοντας το διαφορικό της έχουμε d u 1 = d u 1 1 + u v u 1 + v 1 v/c2 c 2 (1 + u 1 v/c2 ) d 2 u 1 = 1 d u 1 γ 2 (1 + u 1 v/c2 ) (31) 2 Παίρνοντας το διαφορικό στον αντίστροφο μετασχηματισμό του Lorentz για τον χρόνο έχουμε t = γ(t + vx/c 2 ), d t = γ (d t + vdx /c 2 ) = γ (1 + v c 2 d x d t ) d t = (1 + vu 1 /c2 )d t (32) Διαιρώντας τις (31), (32) κατά μέλη προκύπτει ότι η x-συνιστώσα της επιτάχυνσης μετασχηματίζεται ως εξής d u 1 d t = 1 γ 3 1 (1 + u 1 v/c2 ) 3 d u 1 d t (33) Παίρνοντας τα διαφορικά στις υπόλοιπες δυο εξισώσεις στην (24), με παρόμοιο τρόπο προκύπτουν οι τύποι μετασχηματισμού της y και z-συνιστώσας της επιτάχυνσης d u 2 d t d u 3 d t = 1 γ 2 1 (1 + u 1 v/c2 ) 2 d u 2 d t 1 c 2 γ 2 v u 2 (1 + u 1 v/c2 ) 3 d u 1 d t, = 1 γ 2 1 (1 + u 1 v/c2 ) 2 d u 3 d t 1 c 2 γ 2 v u 3 (1 + u 1 v/c2 ) 3 d u 1 d t, (34) αντίστοιχα Οι αντίστροφοι μετασχηματισμοί προκύπτουν με τον συνηθισμένο τρόπο εναλλάσσοντας τις μεταβλητές με τόνο με αυτές χωρίς τόνο και αντικαθιστώντας την v με v Παρατηρώντας τις σχέσεις που δίνουν τον μετασχηματισμό της επιτάχυνσης συμπεραίνουμε ότι αν ένα σώμα είναι σε επιταχυνόμενη κίνηση σε ένα ΑΣΑ τότε όλοι οι παρατηρητές σε διαφορετικά ΑΣΑ συμφωνούν σε αυτό Με άλλα λόγια, αν η επιτάχυνση ενός σώματος είναι μηδέν σε ένα ΑΣΑ τότε αναγκαστικά είναι μηδέν σε όλα τα ΑΣΑ Σε αντιδιαστολή, από τις σχέσεις που δίνουν τον μετασχηματισμό των ταχυτήτων αν ένα σώμα ακινητεί σε ένα ΑΣΑ, τότε υπάρχουν παρατηρητές που το βλέπουν να κινείται με σταθερή ταχύτητα Δηλαδή η ταχύτητα είναι ένα σχετικό μέγεθος στην ειδική σχετικότητα, ενώ η επιτάχυνση είνα ένα απόλυτο μέγεθος 10

Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Το σχετικιστικό φαινόμενο Doppler 4 Το σχετικιστικό φαινόμενο Doppler Θεωρούμε δυο ΑΣΑ τα Σ και Σ στην συνηθισμένη διάταξη όπου το Σ κινείται με ταχύτητα v κατά μήκος του θετικού x-άξονα του Σ Υποθέτουμε την ύπαρξη μιας πηγής που εκπέμπει παλμούς ακτινοβολίας και είναι τοποθετημένη στο κέντρο Ο του Σ, κι έναν παρατηρητή Π που είναι ακίνητος στο Σ Κάθε παλμός ακτινοβολίας που εκπέμπεται από την πηγή ταξιδεύει με την ταχύτητα του φωτός c Έστω ότι ο πρώτος παλμός εκπέμπεται όταν t = 0, κι εκείνη την στιγμή ο παρατηρητής Π είναι στην χωρική θέση x = x 0 στο Σ Ας υποθέσουμε ότι ο (n + 1)ος παλμός εκπέμπεται σε χρόνο t = n τ, όπου τ η περίοδος της ταλάντωσης του παλμού Σε αυτό το χρονικό διάστημα θα έχουν μεσολαβήσει n περίοδοι ταλάντωσης, κι έτσι η συχνότητα που εκπέμπει παλμούς η πηγή στο Σ είναι ν = 1/τ η πηγή μετά από χρόνο t ct ct ct ε Π ε n+1 ε 1 όταν t = nτ (n + 1)ος παλμός 1ος παλμός (x 1, ct 1 ) (x 2, ct 2 ) η κοσμική γραμμή του παρατηρητή Π x Ο x 0 x Σχήμα 1: Χωροχρονικό διάγραμμα εκπομπής και λήψης παλμών στα ΑΣΑ Σ και Σ Για να βρούμε πότε ο Π καταγράφει τους παλμούς στο Σ φτιάχνουμε το παραπάνω χωροχρονικό διάγραμμα Αφού ο Π είναι ακίνητος στο Σ τότε η κοσμική γραμμή του είναι παράλληλη στον άξονα Οct Η κοσμική γραμμή του Π, δηλαδή την ευθεία με εξίσωση ε Π x x 0 = v c (c t), τέμνει τις κοσμικές γραμμές ε 1 και ε n+1 κατά μήκος των οποίων ταξιδεύει ο πρώτος και (n+1)ος παλμός, αντίστοιχα, δηλαδή τις ευθείες με εξισώσεις ε 1 x = c t, και ε n+1 x = c (t nτ), 11

Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Το σχετικιστικό φαινόμενο Doppler στα σημεία x (x 1, c t 1 ) = 0 ( 1 v/c, x 0 1 v/c ), (x 2, c t 2 ) = ( x 0 + nvτ 1 v/c, x 0 + nc τ 1 v/c ), (41) στο Σ Θέλουμε να βρούμε τον χρόνο t 2 t 1 που μεσολάβησε στο Σ Συνεπώς πρέπει να βρούμε τις συντεταγμένες (x 1, ct 1 ) και (x 2, ct 2 ), οι οποίες συνδέονται με τις (x 1, ct 1 ) και (x 2, ct 2 ) με τον ειδικό μετασχηματισμό του Lorentz Από τον ειδικό μετασχηματισμό του Lorentz t = γ (t vx/c 2 ), γ = για τον χρόνο, και τις σχέσεις (41) έχουμε ότι 1 (1 v 2 /c 2 ) 1/2, c t 2 c n c τ t 1 = γ ((c t 2 c t 1 ) v(x 2 x 1 )/c) = γ ( 1 v/c v2 c 2 n c τ 1 v/c ) = = γ ( 1 v 2 c ) 2 1 v/c n c τ = 1 (1 + v (1 v 2 /c 2 ) 1/2 c ) n c τ = ( 1 + v 1/2 c ) nc τ, (1 v 1/2 c ) στο Σ Αφού το χρονικό διάστημα t 2 t 1 καλύπτει n περιόδους του παλμού όπως λαμβάνεται από τον Π, δηλαδή t 2 t 1 = nτ, η περίοδος τ που καταγράφει ο Π είναι 1/2 τ 1 + β = τ, β = v ( 1 β ) c (42) Ισοδύναμα, η εξίσωση (42) ως προς τις συχνότητες ν = 1/τ και ν = 1/τ γράφεται 1/2 ν 1 β = ν, β = v ( 1 + β ) c (43) Αν το Σ αντί να απομακρύνεται από το Σ, το πλησιάζει με ταχύτητα v, τότε στις σχέσεις (42), (43) αντικαθιστούμε την v με v, και συνεπώς ο αριθμητής κι ο παρανομαστής στις σχέσεις αυτές εναλλάσσονται Σε συνάρτηση του μήκους κύματος λ = c τ, και του αντίστοιχου λ = c τ, η σχέση (42) δίνει λ λ = 1 + β ( 1 β ) Λύνοντας την εξίσωση (43) ως προς β προκύπτει ότι 1/2 (43) β = (λ /λ) 2 1 (λ /λ) 2 + 1, β = v c (44) Η παραπάνω σχέση (44) είναι χρήσιμη όταν θέλουμε να υπολογίσουμε την ταχύτητα με την οποία απομακρύνεται (ή πλησιάζει) μια πηγή ακτινοβολίας, όπως για παράδειγμα ένας μακρινός γαλαξίας, έχοντας ως δεδομένα την μετατόπιση προς το ερυθρό (ή το ιώδες) των γραμμών απορρόφησης H και K του ιονισμένου ασβεστίου προς ένα μήκος κύματος λ, καθώς και το αντίστοιχο μήκος κύματος λ όπως μετριούνται στο ηλιακό μας σύστημα 12

Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Σχετικιστική μάζα 5 Σχετικιστική μάζα Όπως έχουμε διαπιστώσει στην ειδική θεωρία της Σχετικότητας οι μετρήσεις των χωρικών και χρονικών αποστάσεων εξαρτώνται από την κίνηση του παρατηρητή σε ένα ΑΣΑ Σ Οπότε είναι εύλογο να υποθέσουμε ότι και η μάζα είναι ένα μέγεθος που εξαρτάται από την κίνηση του παρατηρητή Ας θεωρήσουμε ένα σωματίδιο με μάζα m, που κινείται με ταχύτητα u ως προς ένα ΑΣΑ Σ Όπως καταγράφεται από έναν παρατηρητή στο Σ η μάζα m του σωματιδίου εξαρτάται απο την ταχύτητα u με την οποία κινείται, δηλαδή m = m(u), Θέλουμε να βρούμε ποιά ακριβώς είναι η εξάρτηση της m, σε συνάρτηση της ταχύτητας u και της μάζας ηρεμίας του σωματιδίου m 0 = m(0), δηλαδή την μάζα που έχει το σωματίδιο όταν αυτό ακινητεί στο Σ Για το σκοπό αυτό θα εκτελέσουμε ένα απλό νοητό πείραμα Θεωρούμε ένα ΑΣΑ Σ στο οποίο κινούνται κατά μήκος μιας ευθείας δυο όμοια σωματίδια με την ίδια αλλά αντίθετη ταχύτητα u (σχήμα 1α) Τότε υπάρχει ένα άλλο ΑΣΑ Σ, ως προς το οποίο το Σ κινείται με ταχύτητα u, και άρα στο Σ ένα από τα σωματίδια ακινητεί (σχήμα 1β) Στο Σ Πριν Μετά α) u u m(u) m(u) M 0 Στο Σ β) U u m(u) m 0 M(u) Σχήμα 1: Τελείως ανελαστική κρούση ανάμεσα σε δυο όμοια αντικείμενα όπως παρατηρούνται α) στο ΑΣΑ Σ μηδενικής ορμής Σ και β) στο ΑΣΑ Σ όπου το ένα αντικείμενο είναι αρχικά ακίνητο Όπως παρατηρείται στο Σ, η αναπόφευκτη μετωπική σύγκρουση των δυο σωματιδίων είναι τελείως ανελαστική, δηλαδή τα δυο σωματίδια ενσωματώνονται μετά την κρούση, και σαν αποτέλεσμα σχηματίζεται ένα νέο σύνθετο σωματίδιο που είναι ακίνητο Συνεπώς στο άλλο ΑΣΑ Σ το σύνθετο σωματίδιο πρέπει να κινείται με ταχύτητα u Ας υποθέτουμε ότι το σωματίδιο που αρχικά κινείται στο Σ έχει ταχύτητα U, και ότι τόσο η κρούση όσο και η κίνηση του Σ ως προς το Σ, λαμβάνουν χώρα στον x-άξονα Ο αντίστοιχος νόμος σύνθεσης ταχυτήτων (24), που για 13

Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Σχετικιστική μάζα ευκολία παραθέτουμε αμέσως u 1 = u 1 + v 1 + v u 1 /c2, για τα δεδομένα του νοητού πειράματος u 1 = U, u 1 = v = u, γίνεται 2 u U = 1 + u 2 /c (53) 2 Θεωρούμε τώρα την κρούση στο Σ κι ας καταγράψουμε τις αρχές διατήρησης ορμής και διατήρησης μάζας Αρχή διατήρησης ορμής: Αρχή διατήρησης μάζας: m(u) U + 0 = M(u) u (54) m(u) + m 0 = M(u), (55) όπου m 0 = m(0) Απαλείφοντας την M(u) από τις εξισώσεις (54), (55) βρίσκουμε ότι m(u) m 0 = u U u (56) Όμως, από την εξίσωση (53) έχουμε ότι η u συνδέεται με τη U, οπότε μπορούμε να γράψουμε τον λόγο m(u)/m 0 στην (56) σαν μια συνάρτηση της ταχύτητας U μόνο Πράγματι, η (53) είναι μια εξίσωση δευτέρου βαθμού ως προς u με λύσεις u 2 2(c 2 /U)u + c 2 = 0, u = c2 U ( 1 ± 1 U 2 /c 2 ) Μόνο η λύση με το αρνητικό πρόσημο είναι αποδεκτή, αφού όταν U << c γνωρίζουμε ότι θα πρέπει u U/2 και η τετραγωνική ρίζα στην παραπάνω σχέση είναι περίπου ίση με 1 U 2 /(2c 2 ) όταν U << c ¹ Συνεπώς έχουμε και γι αυτή την τιμή της u, έχουμε u = c2 U ( 1 1 U 2 /c 2 ), U u = c2 U 2 U [ c (1 2 1 U 2 c 2 ) = c2 U 2 ] U [ 1 c 2 U (1 2 c 2 ) = c2 ] U Αντικαθιστώντας τις δυο προηγούμενες σχέσεις στην (56) παίρνουμε m(u) m 0 = u U u = 1 1 U 2 /c 2 = γ(u), 1 U 2 c 2 [ 1 1 U 2 c 2 ] κι έτσι καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι για να είμαστε συνεπείς πρέπει να ορίσουμε την σχετικιστική μάζα m(u) ενός σωματιδίου που κινείται με ταχύτητα U σε ένα ΑΣΑ Σ ως εξής m(u) = γ(u) m 0 ¹Iσχύει το ανάπτυγμα (1 x 2 ) 1/2 = 1 x 2 /2 + O(x 4 ), γύρω από το x = 0 14

Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Σχετικιστική ενέργεια - τετραδιάνυσμα ορμής 6 Σχετικιστική ενέργεια - τετραδιάνυσμα ορμής Ας θεωρήσουμε ότι η ταχύτητα u << c είναι πολύ μικρότερη από την ταχύτητα c του φωτός και ας αναπτύξουμε την σχετικιστική μάζα m(u) = 1 1 u2 c 2 m 0 (61) σε δυνάμεις της ταχύτητας u, γύρω από την μηδενική ταχύτητα Έχουμε ² m(u) = m 0 + 1 c 2 ( 1 2 m 0 u2 ) + O( u4 c 4 ) Αν πολλαπλασιάσουμε με c 2 και τα δυο μέλη της προηγούμενης ισότητας, παρατηρούμε ότι ο δεύτερος όρος στο δεξί μέλος παριστάνει την κλασική κινητική ενέργεια του σωματιδίου m(u) c 2 = m 0 c 2 + 1 2 m 0 u2 + σταθερή + κινητική ενέργεια Οπότε η σχετικιστική μάζα ενσωματώνει στον ορισμό της την έκφραση για την κλασική κινητική ενέργεια, και ως συνέπεια η αρχή διατήρησης της μάζας συνεπάγεται την αρχή διατήρησης της κινητικής ενέργειας στην Νευτώνεια προσέγγιση Οπότε οδηγούμαστε σε μια από τις πιο περίφημες εξισώσεις της Φυσικής, ορίζοντας την σχετικιστική ενέργεια E ενός σωματιδίου ως E = m c 2 (62) Θα πρέπει να επισημανθεί όμως ότι η παραπάνω σχέση δεν πρόκειται για μια μαθηματική ισότητα που συνδέει δυο διαφορετικά μεγέθη, την ενέργεια και την μάζα, αλλά ο ορισμός αυτός δηλώνει ότι η ενέργεια και η μάζα είναι δυο ισοδύναμες έννοιες Σε συμβατικές μονάδες το c 2 είναι ένας πολύ μεγάλος αριθμός και η ισοδυναμία μάζας ενέργειας δηλώνει ότι μια σχετικά μικρή αλλαγή στην μάζα ισοδυναμεί με μια τεράστια αλλαγή στην ενέργεια Η αλήθεια του γεγονότος αυτού επιδείχθηκε στην Ιαπωνία το 1945 με τις πιο δραματικές επιπτώσεις Επεκτείνοντας τις προηγούμενες διαπιστώσεις στις τρεις χωρικές διαστάσεις, ένα σωματίδιο που κινείται με ταχύτητα u ως προς ένα ΑΣΑ Σ έχει σχετικιστική μάζα m, ενέργεια E και ορμή p που δίνονται από τις σχέσεις m = γ m 0, E = mc 2, p = m u, γ = 1 u 2 ( c 2 ) 1/2 (63) όπου δηλώνει το μέτρο ενός διανύσματος στον Ευκλείδιο χώρο R 3 Παρατηρούμε ότι (E/c) 2 + p 2 = m 2 c 2 + m 2 u 2 = m 2 c 2 (1 u 2 /c 2 ) = m 2 0 c2 γ 2 γ 2 = (m 0 c) 2, (64) ²Iσχύει το ανάπτυγμα (1 x 2 ) 1/2 = 1 + x 2 /2 + O(x 4 ), γύρω από το x = 0 15

Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Σχετικιστική ενέργεια - τετραδιάνυσμα ορμής όπου η ποσότητα m 0 c είναι αναλλοίωτη, αφού είναι σταθερή σε όλα τα ΑΣΑ Αν θυμηθούμε ότι κάτω από τον ειδικό μετασχηματισμό του Lorentz η ποσότητα (c t) 2 + x 2 + y 2 + z 2 = s 2, είναι αναλλοίωτη, τότε οι δυο προηγούμενες σχέσεις υποδηλώνουν ότι οι ποσότητες (E/c, p x, p y, p z ) και (c t, x, y, z) μετασχηματίζονται κάτω από τον ειδικό μετασχηματισμό του Lorentz με τον ίδιο τρόπο Δηλαδή στην συνηθισμένη διάταξη όπου του ΑΣΑ Σ κινείται με ταχύτητα v κατά μήκος του x-άξονα του ΑΣΑ Σ, οι μετασχηματισμένες ποσότητες (E /c, p x, p y, p z ) δίνονται από τους τύπους E = γ (E vp x ), p x = γ (p x ve/c 2 ), p y = p y, p z = p z, όπου γ = (1 v 2 /c 2 ) 1/2 Ο αντίστροφος μετασχηματισμός δίνεται με την γνωστή εναλλαγή των μεταβλητών με τόνο με τους αντίστοιχους χωρίς τόνο και θέτοντας στην θέση της v την v Ας συνοψίσουμε τις βασικές έννοιες της σχετικιστικής δυναμικής Το διάνυσμα P = (P 0, P 1, P 3, P 3 ) με τις τέσσερις συνιστώσες P i, i = 0, 1, 2, 3, όπου P 0 = E/c, (P 1, P 2, P 3 ) = p = (p x, p y, p z ), ονομάζεται τετραδιάνυσμα της ορμής Αν ένα σωματίδιο έχει μη μηδενική μάζα ηρεμίας m 0, και κινείται με ταχύτητα u ως προς ένα ΑΣΑ Σ, τότε η 4-ορμή P, και το 3-διάνυσμα της ταχύτητας u, συνδέονται με τις σχέσεις P = γ m 0 (c, u ), όπου γ = 1 u 2 ( c 2 ) Το τετράγωνο, ή αλλιώς το μέτρο του P, με την μετρική του Minkowski, είναι αναλλοίωτο σε όλα τα ΑΣΑ, δηλαδή P 2 = P P = (P 0 ) 2 + (P 1 ) 2 + (P 2 ) 2 + (P 3 ) 2 = (E/c) 2 + p 2 = (m 0 c) 2 Η κινητική ενέργεια T του σωματιδίου ορίζεται ως T = E m 0 c 2 Ο θεμελιώδης νόμος της δυναμικής για την αλληλεπίδραση n σωματιδίων σ i, i = 1, 2, n, είναι ότι σε κάθε ΑΣΑ, το διανυσματικό άθροισμα των 4-ορμών P σi όλων των σωματιδίων είναι σταθερό στον χρόνο, δηλαδή n 1/2 i=1 P σi = (C 0, C 1, C 2, C 3 ) P ολικό πριν = P ολικό μετά, όπου C i, i = 0, 1, 2, 3 σταθεροί αριθμοί 16

Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Τα φωτόνια 7 Τα φωτόνια Στις αρχές του προηγούμενου αιώνα για να αποφευχθούν μεγάλες αντιθέσεις μεταξύ θεωρίας και πειράματος στην διερεύνηση της ακτινοβολίας σε περιορισμένους όγκους, ο Max Planck πρότεινε ότι τόσο η ενέργεια του φωτός, όσο κι άλλων μορφών της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας μπορεί να υπάρχει μόνο με την μορφή μικρών διακριτών ποσοτήτων, ή κβάντων, ενέργειας Πιο συγκεκριμένα ο Planck έκανε την υπόθεση ότι η ενέργεια E για κάθε κβάντο εξαρτάται από την αντίστοιχη συχνότητα ν, κι έδωσε έναν απλό τύπο για την ενέργεια E = h ν, όπου h είναι μια παγκόσμια σταθερή που είναι γνωστή ως σταθερή του Planck Την ιδέα του Planck επέκτεινε ο Einstein, διατυπώνοντας την πρόταση ότι η απορρόφηση της ενέργειας γίνεται μόνο με μικρά διακριτά ποσά (πακέτα ή κβάντα) αυτής Έτσι ο Einstein κατάφερε να εξηγήσει το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο κατά το οποίο όταν προσπίπτει φως (ιδίως υπεριώδες) σε μια μεταλλική πλάκα εκπέμπονται από αυτήν ηλεκτρόνια Οι σύγχρονες αντιλήψεις της φυσικής προσδίδουν στο φως δυϊκή υπόσταση Ορισμένες ιδιότητες του φωτός όπως η διάθλαση και η συμβολή, εξηγούνται καλύτερα θεωρώντας το φως ως μια διαταραχή του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου που διαδίδεται με την μορφή κύματος μέσα στο πεδίο, ενώ οι αλληλεπιδράσεις μεταξύ του φωτός και στοιχειωδών σωματιδίων, όπως το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο, περιγράφονται καλύτερα θεωρώντας το φως να αποτελείται από σωματίδια Η σωματιδιακή περιγραφή του φωτός είναι ότι αποτελείται από μια ροή κβάντων ενέργειας, τα φωτόνια Οι πειραματικές μετρήσεις δείχνουν με πάρα πολύ μεγάλη ακρίβεια ότι από τα φωτόνια της ραδιοφωνικής μετάδοσης (Ε 10 7 ev), τα φωτόνια του ορατού φάσματος (E 165 31eV), μέχρι τα φωτόνια των ακτίνων γάμμα (E 100 MeV), όλα τα φωτόνια κινούνται με σταθερή ταχύτητα c = 299 792 458 m s 1 στο κενό³ Χρησιμοποιώντας την σχέση (61) και αντικαθιστώντας u = c, βρίσκουμε ότι m 0 = γ 1 m = (1 u 2 /c 2 ) 1/2 m = (1 1) 1/2 m = 0, δηλαδή η μάζα ηρεμίας του φωτονίου είναι μηδέν Όμως αυτό δεν είναι και τόσο περίεργο γιατί κανένας αδρανειακός παρατηρητής δεν βλέπει ένα φωτόνιο σε ηρεμία, το φωτόνιο κινείται πάντα με ταχύτητα c Οπότε η μάζα ηρεμίας του φωτονίου είναι μια μάλλον νοητή ποσότητα Αν σημειώσουμε με το μοναδιαίο διάνυσμα n την κατεύθυνση που διαδίδεται ένα φωτόνιο τότε p = p n, όπου n = 1, ³Δεν πρέπει να δημιουργεί εντύπωση το γεγονός ότι η ταχύτητα του φωτός είναι ακέραιος αριθμός, γιατί το 1983 καθιερώθηκε στο σύστημα SI η μονάδα ενός μέτρου (1m) να είναι η απόσταση που διανύει το φως στο κενό σε χρονικό διάστημα 1/299 792 458 του ενός δευτερολέπτου Για τις ανάγκες του μαθήματος, αν υπάρχουν ασκήσεις που απαιτούν αριθμητική αντικατάσταση της c, μπορούμε να θέτουμε c = 3 10 8 m/s 17

Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Τα φωτόνια και p είναι το μέτρο της ορμής του φωτονίου Η σχέση (64) με αυτά τα δεδομένα γίνεται (E/c) 2 + p 2 = (m 0 c) 2 (E/c) 2 + p 2 n 2 = 0 (E/c) 2 = p 2 Παίρνοντας τετραγωνικές ρίζες στην τελευταία σχέση έχοντας κατά νου ότι c και p είναι θετικές ποσότητες, συμπεραίνουμε ότι η ενέργεια ενός φωτονίου και το μέτρο της ορμής του συνδέονται με την σχέση E = p c Χρησιμοποιώντας την ισοδυναμία μάζας ενέργειας E = m c 2, βρίσκουμε ότι η μάζα ενός φωτονίου είναι μη-μηδενική και ίση με m = p/c Συνδυάζοντας όλα τα παραπάνω με την σχέση της ενέργειας E = h ν από την υπόθεση του Planck έχουμε ότι για το φωτόνιο ισχύουν τα εξής: E = h ν, m = h ν/c 2, p = (hν/c) n, n = 1 Ισοδύναμα, για το διάνυσμα της 4-ορμής έχουμε P φ = h ν h ν (1, n ) = c c (1, n x, n y, n z ), όπου n2 x + n2 y + n2 z = 1 Σε όλα τα ΑΣΑ ισχύει ότι P 2 φ = P φ P φ = (P 0 ) 2 + (P 1 ) 2 + (P 2 ) 2 + (P 3 ) 2 = ( h ν c ) 2 + ( h ν c ) 2 n 2 = 0, όπου το εσωτερικό γινόμενο P φ P φ, καθώς και όλα τα εσωτερικά γινόμενα που αφορούν 4-ορμές και άλλα 4-διανύσματα υπολογίζεται ως προς την μετρική του Minkowski d s 2 = d(c t) 2 + dx 2 + dy 2 + dz 2 18

Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Σκέδαση Compton Σκέδαση Compton: Ένα φωτόνιο με μήκος κύματος λ 1 χτυπά ένα ακίνητο ηλεκτρόνιο με μάζα ηρεμίας m e και σκεδάζεται με ένα μήκος κύματος λ 2 σε μια γωνία θ Να αποδειχθεί ότι λ 2 λ 1 = h (1 cos θ) m e c Πριν Μετά λ 2 n 2 n 1 λ 1 θ ω m e u Σχήμα 2: Σκέδαση Compton Απόδειξη: Από την αρχή διατήρησης της 4-ορμής έχουμε ότι P φ + P e = P φ + P e Μας ενδιαφέρει τι συμβαίνει στο φωτόνιο μετά την σκέδασή του στο ηλεκτρόνιο Οπότε διατηρούμε στο δεξί μέλος την 4-ορμή P e και τετραγωνίζουμε ⁴ (P φ + P e P φ) (P φ + P e P φ) = P e P e Όμως για το φωτόνιο έχουμε ότι P φ P φ = 0, και P φ P φ = 0 Συνεπώς η παραπάνω σχέση γίνεται αναλυτικά P e P e + 2P φ P e 2P e P φ 2P φ P φ = P e P e Λαμβάνοντας υπόψη ότι για το ηλεκτρόνιο ισχύει P e P e = P e P e = (m e c)2, η προηγούμενη γίνεται Στο ΑΣΑ του εργαστηρίου που γίνεται η σκέδαση έχουμε P e P φ P e P φ P φ P φ = 0 (*) P e = (m e c, 0), P φ = h ν 1 c (1, n 1 ), n 1 = 1, P φ = h ν 2 c (1, n 2 ), n 2 = 1, ⁴Ο λόγος που διατηρούμε την 4-ορμή P e στο δεξί μέλος γίνεται κατανοητός παρακάτω όταν αφού έχουμε τετραγωνίσει την ΑΔΟ εμφανίζονται μόνο γνωστές ποσότητες κι όχι άγνωστες ποσότητες όπως η γωνία σκέδασης ω του ηλεκτρονίου κι η ταχύτητά του u 19

Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Σκέδαση Compton οπότε η σχέση (*) γίνεται m e c h ν 1 c + m e c h ν 2 c ( h2 ν 1 ν 2 c 2 + h2 ν 1 ν 2 c 2 n 1 n 2 ) = 0 Μετά από τις απλοποιήσεις και λαμβάνοντας υπόψη ότι n 1 n 2 προηγούμενη σχέση γίνεται = n 1 n 2 cos θ = cos θ, η m e (ν 1 ν 2 ) = h ν 1 ν 2 (1 cos θ) m c 2 e ( 1 1 ν 2 ν ) = h (1 cos θ) (**) 1 c2 Οι σχέσεις που συνδέουν τις συχνότητες ν 1, ν 2 με τα αντίστοιχα μήκη λ 1, λ 2 είναι συνεπώς η σχέση (**) γίνεται c = λ 1 ν 1, c = λ 2 ν 2, m e c (λ 2 λ 1 ) = h c (1 cos θ) λ 2 2 λ 1 = h (1 cos θ) m e c Άσκηση: Να δειχθεί ότι είναι αδύνατο ένα ελεύθερο ηλεκτρόνιο να εκπέμψει ή να απορροφήσει ένα φωτόνιο Απάντηση: Η αρχή διατήρησης της 4-ορμής για την διαδικασία εκπομπής-απορρόφησης είναι P φ + P e = P e Αν το ηλεκτρόνιο απορροφά το φωτόνιο το πριν-μετά της διαδικασίας εκφράζεται διαβάζοντας την προηγούμενη σχέση από αριστερά προς δεξιά, ενώ με την αντίστροφη φορά αν το ηλεκτρόνιο εκπέμπει το φωτόνιο Τετραγωνίζοντας την προηγούμενη σχέση έχουμε (P φ + P e ) (P φ + P e ) = P e P e P φ P φ + P e P e + 2P e P φ = P e P e Όμως P φ P φ = 0 και P e P e = P e P e = (m e c)2, συνεπώς η προηγούμενη σχέση γίνεται P e P φ = 0 Υπάρχει ΑΣΑ Σ πριν την απορρόφηση (ή μετά την εκπομπή) του φωτονίου στο οποίο το ηλεκτρόνιο είναι ακίνητο, οπότε στο Σ οι 4-ορμές του ηλεκτρονίου και του φωτονίου είναι αντίστοιχα Η σχέση P e P φ = 0 γίνεται P e = (m e c, 0), P φ = (E/c, n), n = 1, m e E = 0 E = 0, δηλαδή η ενέργεια του φωτονίου θα πρέπει να είναι μηδέν, που σημαίνει ότι θα πρέπει να μην υπάρχει φωτόνιο Συνεπώς η διαδικασία εκπομπής-απορρόφησης ενός φωτονίου από ένα ελεύθερο ηλεκτρόνιο είναι αδύνατη 20