Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων, Ειδική Σχετικότητα, Διάλεξη 5 Οι Μετασχηματισμοί του Lorentz και η Συστολή του μήκους
|
|
- Ἥβη Μέλιοι
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 1 Οι Μετασχηματισμοί του Lorentz και η Συστολή του μήκους Σκοποί της πέμπτης διάλεξης: Εξοικείωση με τους μετασχηματισμούς του Lorentz και τις διάφορες μορφές που μπορούν να πάρουν για την επίλυση διαφόρων προβλημάτων. Η κατανόηση της συστολής του μήκους σαν επακόλουθο των μετασχηματισμών του Lorentz. Οι Μετασχηματισμοί του Lorentz: Στην προηγούμενη διάλεξη είδαμε ότι η απαίτηση να έχει το φως την ίδια ταχύτητα σε όλα τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς οδήγησε σε συγκεκριμένες σχέσεις, τούς μετασχηματισμούς Lorentz, μεταξύ των χωροχρονικών συντεταγμένων δύο διαφορετικών συστημάτων αναφοράς τα οποία κινούνται μεταξύ τους με σχετική ταχύτητα V (Σχήμα 1): Σχήμα 1: Δύο αδρανειακά συστήματα αναφοράς Ο και Ο. Το Ο κινείται με ταχύτητα V σε σχέση με το Ο. Στο Ο έχουμε ορίσει σύστημα συντεταγμένων (ct, x, y, z) και στο Ο (ct, x, y, z). Οι άξονες x-x έχουν οριστεί να είναι στην διεύθυνση της ταχύτητας V. Οι μετασχηματισμοί Lorentz που αντιστοιχούν στο Σχήμα 1 είναι: t 1 t V V 2 c x 2 ; 1 c 2 x 1 x Vt V 2 ; y y ; z z 1 c 2
2 2 Όπως βλέπουμε ο χρόνος και η συντεταγμένη κατά την διεύθυνση της ταχύτητας V αλλάζουν γραμμικά ενώ οι συντεταγμένες που είναι κάθετες στην V δεν επηρεάζονται από τον μετασχηματισμό Lorentz. Συνηθίζεται να γράφει κανείς τους μετασχηματισμούς Lorentz σαν συνάρτηση των μεταβλητών και τα οποία ορίζονται ως: V c 1 V 2 1 c Προφανώς το είναι ένας πραγματικός αριθμός μεταξύ μηδέν και ένα, το δε είναι πραγματικός αριθμός από το ένα μέχρι το άπειρο. Έτσι οι μετασχηματισμοί του Lorentz γράφονται: ct ct x x x ct (Α1) y y z z Οι ίδιες σχέσεις μπορούν να γραφτούν χρησιμοποιώντας πίνακες σαν μία εξίσωση: ct x y z y z x ct R i j 4 j 1 [ ij R j ] (Β1) όπου Rct x y z και R ct x y z
3 3 είναι τετραδιανύσματα στο χωρόχρονο και ο πίνακας του μετασχηματισμού Lorentz δίνεται από (Lorentz Boost): Συνεπώς η σχέση (Β1) είναι απλά μια πιο κομψή μορφή των εξισώσεων (Α1). Ο πίνακας έχει τις εξής ιδιότητες: I. Αν η ταχύτητα είναι μηδέν τότε 0 Ι όπου I είναι ο μοναδιακός πίνακας σε τέσσερις διαστάσεις. II. Έχει ορίζουσα θετική και ίση με det Συνεπώς έχει πάντα αντίστροφο 1 πίνακα που ικανοποιεί την σχέση: 1 1 I Ο υπολογισμός του αντίστροφου μετασχηματισμού 1 μπορεί να γίνει λύνοντας τις εξισώσεις (A1) ως προς t, x, y,z. Ένας πιο εύκολος τρόπος είναι ο εξής: Αν θεωρήσουμε ακίνητο παρατηρητή στο σύστημα Ο τότε το σύστημα Ο φαίνεται σε αυτόν να κινείται με ταχύτητα V άρα ο αντίστροφος μετασχηματισμός δίνεται από την σχέση: 1
4 4 Δηλαδή: ct ct x x x ct (Γ1) y y z z και οι ίδιες σχέσεις σε μορφή εξίσωσης πινάκων γράφονται: ct x y z x y ct z Ταυτόχρονα γεγονότα και οι μετασχηματισμοί του Lorentz: Μια από τις πρώτες παρατηρήσεις που απορρέουν από τις σχέσεις (Α1) είναι ότι δυο γεγονότα, Act A, x A, y A, z A, Bct B, x B, y B, z B τα οποία συμβαίνουν ταυτόχρονα στο σύστημα Ο, t A t B δεν είναι αναγκαστικά ταυτόχρονα και στο σύστημα Ο. Πράγματι από τις (Α1) έχουμε ότι: c t c t x (1) όπου το σύμβολο Δ αναφέρεται στη χωρική ή τη χρονική διαφορά δυο γεγονότων στο χωρόχρονο, δηλαδή x x A x B και tt A t B. Είναι προφανές λοιπόν από την (1) ότι αν δυο γεγονότα στο Ο έχουν t0 δεν είναι αναγκαίο ότι θα έχουν t 0 στο Ο. Γενικά έχουμε ότι: c t x
5 Η συστολή του μήκους σαν επακόλουθο των μετασχηματισμών του Lorentz: 5 Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια ράβδο, όπως φαίνεται στο Σχήμα-2, η οποία κινείται με ταχύτητα V κατά την διεύθυνση του άξονα των x στο αδρανειακό σύστημα Ο και ας ορίσουμε το σύστημα Ο το οποίο κινείται και αυτό με την ίδια ταχύτητα V (δηλαδή η ράβδος είναι ακίνητη στο Ο). Παρατηρητής στο σύστημα Ο εφοδιασμένος με χάρακα συγκρίνει τον ακίνητο χάρακα με την ακίνητη ράβδο και βρίσκει ότι όταν η αρχή της ράβδου βρισκόταν μπροστά από την ένδειξη x 1 του χάρακα, τότε το τέλος της ράβδου ήταν μπροστά στην ένδειξη x 2 του χάρακα και απ αυτό συμπεραίνει ότι το μήκος της ράβδου είναι L 0 x 2 x 1. Το ερώτημα είναι τη μήκος μετρά ο παρατηρητής στο Ο αν έχει και αυτός ένα χάρακα ο οποίος είναι φυσικά ακίνητος στο Ο. Με άλλα λόγια τη μήκος έχει η ράβδος όταν βρίσκεται σε κίνηση σε σχέση με το χάρακα. Σχήμα 2: Κινούμενη ράβδος στο σύστημα Ο με ταχύτητα V. Στο Ο η ράβδος βρίσκεται σε ηρεμία και έχει μήκος L 0 x 2 x 1. Όταν ράβδος κινείται σε σχέση με το χάρακα, όπως έχουμε δει στην διάλεξη 4, πρέπει κανείς να είναι προσεκτικός. Στην διάλεξη 4 η φωτογραφική μηχανή έδειξε το λάθος μήκος διότι μέτρησε τα δυο άκρα της ράβδου δύο διαφορετικές χρονικές στιγμές. Η λύση που δώσαμε εκεί δεν ήταν τίποτα άλλο παρά να βρούμε την θέση των δύο άκρων της ράβδου την ίδια χρονική στιγμή οι οποίες μας έδωσαν το πραγματικό μήκος της ράβδου στο σύστημα του εργαστηρίου. Απαιτείται λοιπόν ένας γενικός ορισμός της μέτρησης του μήκους που θα περιλαμβάνει και την περίπτωση που η ράβδος κινείται σε σχέση με τον παρατηρητή και τον χάρακα του. Ο ορισμός αυτός είναι: Μήκος ονομάζουμε την απόσταση μεταξύ των ενδείξεων x 1 και x 2 ενός χάρακα τα οποία συμπίπτουν ταυτόχρονα με τα άκρα της ράβδου.
6 6 Στο σύστημα Ο το μήκος βάση του παραπάνω ορισμού δεν αλλάζει L 0 x 2 x 1 γιατί έτσι και αλλιώς όπως είπαμε t 2 t 1 αλλά ακόμα και αν η μέτρηση γινόταν σε διαφορετικούς χρόνους δεν θα έκανε διαφορά γιατί ράβδος και χάρακας δεν κινούνται μεταξύ τους. Το μήκος της ράβδου το οποίο μετράται από παρατηρητή με χάρακα ο οποίος είναι ακίνητος σε σχέση με την ράβδο ονομάζεται ιδιομήκος, L 0. Στο σύστημα Ο όμως τα πράγματα είναι διαφορετικά: Ας υποθέσουμε τώρα ότι η μέτρηση γίνεται στο σύστημα Ο, με χάρακα απείρου μήκους ακίνητο στο Ο, ο οποίος είναι τοποθετημένος πάνω στον άξονα των x. Το αποτέλεσμα της μέτρησης είναι δυο σημεία στο χωρόχρονο t 1, x 1, t 2, x 2 όπου t 2 t 1 (σύμφωνα με τον πιο πάνω ορισμό) από τα οποία συμπεραίνουμε ότι L x 2 x 1 Το ερώτημα είναι πώς σχετίζεται το μήκος αυτό με το L 0 που μέτρησε ο παρατηρητής στο Ο. Θα χρησιμοποιήσουμε μετασχηματισμούς Lorentz για να συσχετίσουμε τις χωροχρονικές συντεταγμένες της μέτρησης μήκους στο σύστημα Ο με αυτές στο Ο x 1 x 1 c t 1 (2) και από (2) και (3) έχουμε ότι x 2 x 2 ct 2 (3) x x ct (4) όπου x x 2 x 1 x x 2 x 1 t t 2 t 1 Αφού η μέτρηση γίνεται στο Ο, χρησιμοποιώντας τον ορισμό της μέτρησης του μήκους, έχουμε ότι: t t 2 t 1 0 (ταυτόχρονες μετρήσεις)
7 7 Άρα από την (4) έχουμε x x L 0 L L L 0 Συνεπώς ακίνητος παρατηρητής μετρά ένα μήκος ράβδου το οποίο είναι μικρότερο από το ιδιομήκος και αυτή είναι πασίγνωστη συστολή μήκους Lorentz-Fitzgerald που προβλέπεται από τούς μετασχηματισμούς του Lorentz. Πιθανόν ο αναγνώστης να παρατήρησε ότι εάν tt 2 t 1 0 τότε σίγουρα έχουμε ότι t t 2 t 1 0 και τότε, βάση του ορισμού του μήκους, φαίνεται ότι κατ αρχήν δεν μπορούμε να ορίσουμε το L 0 x 2 x 1 σαν το μήκος της ράβδου στο Ο διότι η μετρήσεις των δύο άκρων, σύμφωνα με τον παρατηρητή στο Ο, δεν έγιναν ταυτόχρονα. Αυτό που μας δίνει το δικαίωμα να θεωρήσουμε ότι L 0 x 2 x 1 είναι το γεγονός ότι η ράβδος είναι ακίνητη σε σχέση με τον χάρακα του παρατηρητή στο Ο πράγμα πού σημαίνει ότι δεν είναι αναγκαίο η μετρήσεις να γίνουν ταυτόχρονα στο Ο. Ας θεωρήσουμε τώρα την ράβδο ακίνητη στο αδρανειακό σύστημα Ο, όπως φαίνεται στο Σχήμα-3, και ας δούμε τι μήκος μετρά ο κινούμενος παρατηρητής στο Ο το οποίο κινείται με ταχύτητα V στη διεύθυνση του άξονα των x. Σχήμα 3: Ακίνητη ράβδος στο σύστημα Ο η οποία κινείται με ταχύτητα -V στο σύστημα Ο. Το μήκος της ράβδου στο Ο είναι L 0 x 2 x 1. Όπως πριν το ιδιομήκος ορίζεται στο σύστημα οπού η ράβδος είναι ακίνητη ως x L 0 x 2 x 1
8 8 και τα άκρα της ράβδου στο σύστημα Ο μεταφράζονται στο σύστημα Ο μέσω των μετασχηματισμών του Lorentz: και από αυτές έχουμε όπου x 1 x 1 c t 1 x 2 x 2 c t 2 x x c t x x 2 x 1 x x 2 x 1 t t 2 t 1 Επειδή η μέτρηση μήκους γίνεται στο Ο έχουμε ότι και όπως πριν t 0 x L 0 δηλαδή η ράβδος έχει υποστεί συστολή μήκους. Συνεπώς ανεξάρτητα από την επιλογή του συγκεκριμένου αδρανειακού συστήματος αναφοράς, το μήκος της ράβδου συστέλλεται πάντα όταν μετράται από σύστημα διαφορετικό από το αδρανειακό σύστημα της ράβδου, το οποίο κινείται με ταχύτητα V σε σχέση με την ράβδο. Για να τονίσουμε την σημασία του ταυτοχρονισμού των δύο μετρήσεων στον καθορισμό του μήκους παραθέτουμε το παρακάτω υποθετικό πείραμα (Gedankenexperiment). Ας θεωρήσουμε πάλι την κινούμενη ράβδο στο σύστημα Ο το οποίο κινείται με ταχύτητα V σε σχέση με το σύστημα Ο (όπως φαίνεται στο σχήμα-4). Στο σύστημα Ο έχουμε πάλι ένα χάρακα απείρου μήκους στην διεύθυνση του άξονα των x έτσι ώστε η ράβδος κινείται ακριβώς δίπλα από το χάρακα (σχήμα-4). Δύο διατάξεις στα άκρα της ράβδου εκπέμπουν ταυτόχρονα στο σύστημα Ο δύο σπινθήρες κατά την διεύθυνση του άξονα των y οι οποίοι χτυπούν τον χάρακα και αφήνουν δύο ίχνη σε απόσταση D πάνω στο χάρακα. Ο αναγνώστης που περιμένει ότι το D είναι το μήκος της ράβδου στο σύστημα Ο που έχει υποστεί συστολή έχει κάνει μεγάλο λάθος. Ας υπολογίσουμε πρώτα το D σαν συνάρτηση των V και του ιδιομήκους L 0 :
9 9 Σχήμα 4: Κινούμενη ράβδος στη διεύθυνση το άξονα των x εκπέμπει δύο σπινθήρες από τα άκρα της οι οποίοι αφήνουν δυο ίχνη σε απόσταση D πάνω στον ακίνητο χάρακα. Ας θεωρήσουμε την εκπομπή των δύο σπινθήρων σαν δύο γεγονότα (Γεγονός 1 και Γεγονός 2) όπως στο Σχήμα-4. Η χωρική διαφορά των δύο γεγονότων στο σύστημα Ο σαν συνάρτηση της χωρικής και χρονικής διαφοράς των δύο γεγονότων στο Ο δίνεται από το μετασχηματισμό Lorentz: Στο σύστημα Ο η ράβδος είναι ακίνητη άρα D x x c t (1) x L 0 (2) και οι σπινθήρες εκπέμπονται ταυτόχρονα δηλαδή Συνεπώς από (1) (2) και (3) έχουμε: t 0 (3) D L 0 (4) Βλέπουμε λοιπόν ότι το D είναι μεγαλύτερο από το ιδιομήκος L 0 και όχι μικρότερο όπως μπορεί να περίμενε κανένας. Ο λόγος είναι ότι το D δεν είναι το μήκος της ράβδου στο Ο διότι οι δύο σπινθήρες φτάνουν στο Ο σε δύο διαφορετικές χρονικές στιγμές. Δηλαδή οι δύο μετρήσεις έλαβαν χώρα σε δυο διαφορετικές χρονικές στιγμές στο Ο, άρα δεν ικανοποιούν το κριτήριο του ταυτοχρονισμού για μετρήσεις μήκους, άρα το αποτέλεσμα D δεν έχει να κάνει με μήκος και γι αυτό η (4) δεν έχει τίποτα κοινό με την συστολή του μήκους. Οι δυο σπινθήρες χτυπούν το χάρακα με διαφορά χρόνου που μπορεί να υπολογιστεί πάλι από τους μετασχηματισμούς του Lorentz: c t c t x t L 0 c
10 Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων, Ειδική Σχετικότητα, 10 Ο Χώρος Minkowski και η μετρική του: Από την προηγούμενη συζήτηση πρέπει να άρχισε να φαίνεται ότι τα τετραδιανύσματα συμπεριφέρονται στον τετραδιάστατο χώρο σαν τα διανύσματα στον τρισδιάστατο χώρο και οι μετασχηματισμοί του Lorentz (Σχήμα-5) θυμίζουν μετασχηματισμούς στροφής στον τρισδιάστατο χώρο. Παραδείγματος χάριν μια στροφή με γωνία γύρο από τον άξονα των z ορίζεται από το μετασχηματισμό: x y z cos sin 1 0 x z sin cos 0 y όπου 0 0 r x y r z x y z Οι μετασχηματισμοί στροφής σε τρεις διαστάσεις αφήνουν το μέτρο των τρισδιάστατων διανυσμάτων (δηλαδή το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων) αναλλοίωτο: r r r x 2 y 2 z 2 r r x 2 y 2 z 2 r (1) Ας δούμε όμως πρώτα τι εννοούμε ακριβώς όταν μιλάμε για εσωτερικό γινόμενο. Στον τρισδιάστατο χώρο το εσωτερικό γινόμενο δυο διανυσμάτων aa x, a y, a z και bb x, b y, b z ορίζεται ως: όπου ο πίνακας a b a G 3 b a x, a y, a z G 3 bx b z y b a x b x a y b y a z b z είναι η μετρική του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου. Η μετρική λοιπόν, περιγράφει τα χαρακτηριστικά του τρισδιάστατου χώρου και συγκεκριμένα μας δίνει τον τρόπο να λογαριάζουμε αποστάσεις (μετρικός χώρος) που όπως φαίνεται από την (1) υπολογίζονται μέσω του εσωτερικού γινομένου.
11 11 Οι αποστάσεις πρέπει να μένουν αναλλοίωτες κάτω από μετασχηματισμούς στροφής, έτσι το εσωτερικό γινόμενο πρέπει να είναι επίσης αναλλοίωτο κάτω από μετασχηματισμούς στροφής και η μετρική G 3 εξασφαλίζει ακριβώς αυτό. Ας πάμε τώρα στον τετραδιάστατο χώρο της ειδικής σχετικότητας. Εδώ έχουμε τα τετραδιανύσματα της μορφής: R ct x y z με μία σημαντική διαφορά ως προς τον τρισδιάστατο χώρο: Οι μετασχηματισμοί του Lorentz αφήνουν, όπως έχουμε ήδη δει, αναλλοίωτη την ποσότητα: ct 2 x 2 y 2 z 2 ct 2 x 2 y 2 z 2 (2) Αν κανείς συγκρίνει το μέτρο του διανύσματος στο τετράγωνο στην (1) με την (2) θα παρατηρήσει ότι η (2) φαίνεται σαν μέτρο στο τετράγωνο σε 4 διαστάσεις αλλά έχει αρνητικά πρόσημα εκεί που κανείς θα περίμενε να έχει θετικά. Αυτό όπως είδαμε προκύπτει από το γεγονός ότι το φως να έχει την ίδια ταχύτητα c σε όλα τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς, γεγονός που οδήγησε στην απαίτηση η ποσότητα της σχέσης (2) να παραμένει αναλλοίωτη στα διάφορα αδρανειακά συστήματα αναφοράς. Προφανώς η φυσική του τετραδιάστατου χώρου απαιτεί διαφορετικό ορισμό εσωτερικού γινομένου γιατί αν κανείς προσπαθήσει να χρησιμοποιήσει 4-διάστατο ευκλείδειο χώρο με μετρική της μορφής G θα δει αμέσως ότι δεν οδηγεί στο αναλλοίωτο εσωτερικό γινόμενο της (2) που απαιτεί η δεύτερη αρχή της σχετικότητας του Einstein (Σχήμα-5).
12 12 Γι αυτό χρειάζεται μία άλλη μετρική, αυτή του Minkowski (σχήμα-5): g Η μετρική αυτή ορίζει τον τετραδιάστατο χώρο της ειδικής σχετικότητας τον λεγόμενο χώρο Minkowski. Στο χώρο Minkowski το μέτρο ενός τετραδιανύσματος στο τετράγωνο ορίζεται σαν το εσωτερικό γινόμενο του διανύσματος με τον εαυτό του: R R R g 4 R ct x y z x y ct z το οποίο είναι αναλλοίωτο κάτω από τους μετασχηματισμούς του Lorentz. ct 2 x 2 y 2 z 2 Κατ επέκταση το εσωτερικό γινόμενο δυο οποιονδήποτε τετραδιανυσμάτων στο χώρο Minkowski παραμένει αναλλοίωτο κάτω από μετασχηματισμούς Lorentz. Σαν παράδειγμα, ας θεωρήσουμε δύο τετραδιανύσματα: τα οποία μπορούν να γραφτούν ως: kct 1, x 1, y 1, z 1 qct 2, x 2, y 2, z 2 k k 0, k 1, k 2,k 3 ; k 0 ct 1, k 1 x 1, k 2 y 1, k 3 z 1 qq 0,,q 2,q 3 ; q 0 ct 2, x 2, q 2 y 2, q 3 z 2 Θα δείξουμε ότι το εσωτερικό γινόμενο: k g 4 q είναι αναλλοίωτο κάτω από μετασχηματισμούς Lorentz.
13 13 Ας αρχίσουμε πρώτα και ας γράψουμε τις εξισώσεις μετασχηματισμού των δύο τετραδιανυσμάτων από το σύστημα Ο στο σύστημα Ο (σχήμα-1): k0 k 1 k 2 k k0 k 1 k 2 k0 k1 k 1 k 0 k 2 k 3 k 3 q0 q 2 q q q q 2 q q0 q 3q0 q 3 Το εσωτερικό γινόμενο στο σύστημα Ο γράφεται ως: k g 4 q k 0 q 0 k 1 k 2 q 2 k 3 q 3 k g 4 q 2 k 0 k 1 q 0 2 k 1 k 0 q 0 k 2 q 2 k 3 q 3 2 k 0 q 0 2 k 1 k 1 q 0 k 0 2 k 1 2 k 0 q 0 k 1 q 0 k 0 k 2 q 2 k 3 q k 0 q k 1 k 2 q 2 k 3 q 3 k 0 q 0 k 1 k 2 q 2 k 3 q 3 k g 4 q Συνεπώς το εσωτερικό γινόμενο δυο οποιονδήποτε τετραδιανυσμάτων παραμένει αναλλοίωτο κάτω από τους μετασχηματισμούς του Lorentz.
14 14 Σχήμα 5: Hendrik Antoon Lorentz ( ), Hermann Minkowski ( ), Albert Einstein ( ).
Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 4, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz
1 Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz Σκοποί της τέταρτης διάλεξης: 25.10.2011 Να κατανοηθούν οι αρχές με τις οποίες ο Albert Einstein θεμελίωσε την ειδική θεωρία
Διαβάστε περισσότεραΣύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 12, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Διαγράμματα Minkowski
1 Διαγράμματα Minkowski Σκοποί της διάλεξης 12: Να εισάγει τα διαγράμματα Minkowski. 18.1.2012 Να περιγράψει την ιδέα του ταυτοχρονισμού στην θεωρία της σχετικότητας με μεθόδους γεωμετρίας. Να εισάγει
Διαβάστε περισσότεραΦυσικό Τμήμα Παν/μιο Ιωαννίνων - Ειδική Σχετικότητα - Λυμένα Προβλήματα - ΙI
.11.011 Άσκηση 1: Χρησιμοποιήστε την διωνυμική σχέση 1x N = i=0 N! i! N i! xi για να υπολογίστε το 1 V /c για (α) V = 0.01c και (β) V = 0.9998c (α) Η διωνυμική σχέση είναι ιδανική για προσεγγίσεις όταν
Διαβάστε περισσότεραΟ ειδικός μετασχηματισμός του Lorentz
Ο ειδικός μετασχηματισμός του Lorentz Με αφετηρία τις δυο απαιτήσεις της Ειδικής Θεωρίας Σχετικότητας του Einstein θα βρούμε τον ειδικό μετασχηματισμό του Lorentz Πρώτη απαίτηση: Όλοι οι αδρανειακοί παρατηρητές
Διαβάστε περισσότεραΦυσικό Τμήμα Παν/μιο Ιωαννίνων - Ειδική Σχετικότητα - Λυμένα Προβλήματα - ΙII
2.11.2011 Άσκηση 1: Θεωρήστε δύο αδρανειακά συστήματα αναφοράς O, O ' και ας υποθέσουμε ότι το δεύτερο κινείται με ταχύτητα V κατά τη διεύθυνση του άξονα των χ σε σχέση με το πρώτο. Τη χρονική στιγμή που
Διαβάστε περισσότεραΣύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 10, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων. Ορμή και Ενέργεια στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας
1 Ορμή και Ενέργεια στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας Σκοπός της δέκατης διάλεξης: 10/11/12 Η κατανόηση των εννοιών της ολικής ενέργειας, της κινητικής ενέργειας και της ορμής στην ειδική θεωρία της
Διαβάστε περισσότερα(α) (β) (γ) [6 μονάδες]
ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Διδάσκοντες: Κ. Φουντάς, Σ. Κοέν ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι 12 9 2012 Θέμα 1 o : Όταν ένα αδρανειακό σύστημα Ο' κινείται με ταχύτητα V σε σχέση με αδρανειακό σύστημα Ο και η ταχύτητα V είναι στη διεύθυνση
Διαβάστε περισσότεραΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ
ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς 1. Μετασχηματισμοί συντεταγμένων και συμμετρίες. 1α. Στροφές στο επίπεδο. Θεωρείστε δύο καρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων στο επίπεδο, στραμμένα
Διαβάστε περισσότερα5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ
Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Σχετικιστική μάζα 5 Σχετικιστική μάζα Όπως έχουμε διαπιστώσει στην ειδική θεωρία της Σχετικότητας οι μετρήσεις των χωρικών και χρονικών αποστάσεων εξαρτώνται
Διαβάστε περισσότερα5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ
Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Σχετικιστική μάζα 5 Σχετικιστική μάζα Όπως έχουμε διαπιστώσει στην ειδική θεωρία της Σχετικότητας οι μετρήσεις των χωρικών και χρονικών αποστάσεων εξαρτώνται
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1 : Μετασχηματισμοί Γαλιλαίου.
Κεφάλαιο : Μετασχηματισμοί Γαλιλαίου.. Γεγονότα, συστήματα αναφοράς και η αρχή της Νευτώνειας Σχετικότητας. Ως φυσικό γεγονός ορίζεται ένα συμβάν το οποίο λαμβάνει χώρα σε ένα σημείο του χώρου μια συγκεκριμένη
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2 : Η Αρχή της Σχετικότητας του Einstein.
Κεφάλαιο : Η Αρχή της Σχετικότητας του Einstein..1 Ο απόλυτος χώρος και ο αιθέρας. Ας υποθέσουμε ότι ένας παρατηρητής μετρά την ταχύτητα ενός φωτεινού σήματος και την βρίσκει ίση με 10 m/se. Σύμφωνα με
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στην Ειδική Θεωρία Σχετικότητας 19 Ιουνίου 2013
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στην Ειδική Θεωρία Σχετικότητας 19 Ιουνίου 213 Τα δεδομένα όλων των ερωτημάτων αναφέρονται σε σύστημα μονάδων όπου η ταχύτητα του φωτός c είναι ίση με 1. Σας προτρέπουμε
Διαβάστε περισσότεραΣύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 3, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Η θεωρία του αιθέρα καταρρίπτεται από το πείραμα των Michelson και Morley
1 Η θεωρία του αιθέρα καταρρίπτεται από το πείραμα των Mihelson και Morley 0.10.011 Σκοποί της τρίτης διάλεξης: Να κατανοηθεί η ιδιαιτερότητα των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων (π. χ. φως) σε σχέση με άλλα
Διαβάστε περισσότεραΗ ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ
ΜΑΘΗΜΑ 1: Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Τίποτε δεν θεωρώ μεγαλύτερο αίνιγμα από το χρόνο και το χώρο Εντούτοις, τίποτε δεν με απασχολεί λιγότερο από αυτά επειδή ποτέ δεν τα σκέφτομαι Charles
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΕΥ η ΕΡΓΑΣΙΑ
15/10/2004 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΕΥ34 2004-05 1 η ΕΡΓΑΣΙΑ Προθεσμία παράδοσης 15/11/2004 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1) Επιβάτης τραίνου, το οποίο κινείται προς τα δεξιά με ταχύτητα υ = 0.6c στη διεύθυνση του άξονα
Διαβάστε περισσότεραΣυστήµατος Αναφοράς. Συγχρονισµός των Ρολογιών Ενός
2. ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ Συστήµατα Αναφοράς Συγχρονισµός των Ρολογιών Ενός Συστήµατος Αναφοράς t A Ρολόι Α t 1 D A t + t + = A 1 t t t t 2 1 1 2 Ρολόι Αναφοράς t 2 D A = t t 2 2 1 ύο Αδρανειακά Συστήµατα Αναφοράς
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5 : Το φαινόμενο Doppler. Διαστήματα, χωρόχρονος και κοσμικές γραμμές.
Κεφάλαιο 5 : Το φαινόμενο Dppler. Διαστήματα, χωρόχρονος και κοσμικές γραμμές. 5.1 Το φαινόμενο Dppler. Η ασική εξίσωση ενός διαδιδόμενου ηλεκτρομαγνητικού κύματος είναι: c λ (5.1) όπου c η ταχύτητα διάδοσης,
Διαβάστε περισσότεραΑΠΟ ΤΟ ΝΕΥΤΩΝΑ ΣΤΟΝ ΑΪΝΣΤΑΪΝ ΙΑΤΡΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ «ΗΜΕΡΙ Α ΣΥΓΧΡΟΝΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ»
ΑΠΟ ΤΟ ΝΕΥΤΩΝΑ ΣΤΟΝ ΑΪΝΣΤΑΪΝ ΙΑΤΡΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ «ΗΜΕΡΙΑ ΣΥΓΧΡΟΝΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ» ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ z z y y ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΑΛΙΛΑΙΟΥ Αδρανειακό σύστηµααναφοράςείναι αυτό στο οποίο ενα σώµαπουδεν του ασκούνται
Διαβάστε περισσότεραΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ LORENTZ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ LORENTZ 1. Βασικά Αξιώματα Ειδικής Θεωρίας Σχετικότητας - Μετασχηματισμοί Lorentz Σύμφωνα με την Κλασσική Μηχανική το Newton μια σταθερή
Διαβάστε περισσότερα3α. ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ «ΠΑΡΑ ΟΞΑ» ΑΣΚΗΣΕΙΣ
3α. ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ «ΠΑΡΑ ΟΞΑ» ΑΣΚΗΣΕΙΣ Παράδειγµα: Το τρένο του Άινστάιν Ένα τρένο κινείται ως προς έναν αδρανειακό παρατηρητή Ο µε σταθερή ταχύτητα V. Στο µέσο ακριβώς του τρένου
Διαβάστε περισσότεραΗ ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ
ΜΑΘΗΜΑ 2: Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Τίποτε δεν θεωρώ μεγαλύτερο αίνιγμα από το χρόνο και το χώρο Εντούτοις, τίποτε δεν με απασχολεί λιγότερο από αυτά επειδή ποτέ δεν τα σκέφτομαι Charles
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχείατης. τηςθεωρίαςτης Σχετικότητας. Άλµπερτ Αϊνστάιν 1905
Στοιχείατης τηςθεωρίαςτης Σχετικότητας Άλµπερτ Αϊνστάιν 1905 Έννοια Συστήµατος Αναφοράς Ένα σταθερό σύστηµα (x,y,z) και t βάσει του οποίου περιγράφουµε ένα φυσικό γεγονός. Συνήθως σύστηµα Εργαστηρίου.
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Θεωρία της Ειδικής Σχετικότητας 7 Οκτωβρίου 2014 (περίοδος Σεπτεμβρίου 2013-14)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Θεωρία της Ειδικής Σχετικότητας 7 Οκτωβρίου 2014 περίοδος Σεπτεμβρίου 2013-14 Αν θέλετε μπορείτε να επεξεργαστείτε όλα τα προβλήματα σε σύστημα μονάδων όπου
Διαβάστε περισσότεραΟ ΧΩΡΟΣ ΚΑΙ Ο ΧΡΟΝΟΣ
Ο ΧΩΡΟΣ ΚΑΙ Ο ΧΡΟΝΟΣ. Γενικές αρχές. Η αντιληπτική μας ικανότητα του Φυσικού Χώρου, μας οδηγεί στον προσδιορισμό των σημείων του, μέσω τριών ανεξαρτήτων παραμέτρων. Είναι, λοιπόν, αποδεκτή η απεικόνισή
Διαβάστε περισσότεραΑπό το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46
ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................
Διαβάστε περισσότεραΣτο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την ( μη ομογενή ) εξίσωση Helmholtz σε D χωρικές διαστάσεις :
Η Εξίσωση Helmholtz Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την ( μη ομογενή εξίσωση Helmholtz σε χωρικές διαστάσεις : ( + k Ψ ( r f( r ( k (6 Η εξίσωση αυτή συνοδεύεται (συνήθως από συνοριακές συνθήκες
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 05 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΑπό το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46
ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................
Διαβάστε περισσότεραΗ έννοια κύμα, οι μετασχηματισμοί Γαλιλαίου και το φαινόμενο Doppler.
Η έννοια κύμα, οι μετασχηματισμοί Γαλιλαίου και το φαινόμενο Doppler. Ε. Κορφιάτης Με αφορμή την συζήτηση που γίνεται για το θέμα Α4 αποφάσισα να γράψω το κείμενο που ακολουθεί. Σαν φοιτητής η σχέση που
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι
Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο
Διαβάστε περισσότεραds ds ds = τ b k t (3)
Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Πρώτο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Γνωρίζουμε ότι το εφαπτόμενο διάνυσμα ( t), ορίζεται ως: t = r = d r ds (1) και επιπλέον το διάνυσμα της καμπυλότητας ( k), ορίζεται ως: d t k
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι
Κεφάλαιο Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο συμβολίζουμε με Σε αυτό το σύνολο γνωρίζουμε
Διαβάστε περισσότεραΣύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 7, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων. Οι Μετασχηματισμοί του Lorentz και η Διαστολή του Χρόνου
1 Οι Μετασχηματισμοί του Lorentz και η Διαστολή του Χρόνου Σκοπός της έβδομης διάλεξης: 9.2.2012 Η κατανόηση της διαστολής τού χρόνου σαν απόρροια των μετασχηματισμών του Lorentz. Η κατανόηση ότι τόσο
Διαβάστε περισσότεραΛίγα για το Πριν, το Τώρα και το Μετά.
1 Λίγα για το Πριν, το Τώρα και το Μετά. Ψάχνοντας από το εσωτερικό κάποιων εφημερίδων μέχρι σε πιο εξειδικευμένα περιοδικά και βιβλία σίγουρα θα έχουμε διαβάσει ή θα έχουμε τέλος πάντων πληροφορηθεί,
Διαβάστε περισσότεραΤο φαινόμενο Doppler
Το φαινόμενο Doppler Η προσωπική μου άποψη είναι ότι και οι δύο αποδείξεις του σχολικού βιβλίου που αφορούν το φαινόμενο Doppler είναι λάθος. Ο κύριος λόγος για την ανωτέρω θέση μου είναι η χρήση της θεμελιώδους
Διαβάστε περισσότεραΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ
ΜΑΘΗΜΑ 5: ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ Salviati: Εκεί που δεν μας βοηθούν οι αισθήσεις πρέπει να παρέμβει η λογική, γιατί μόνο αυτή θα επιτρέψει να εξηγήσουμε τα φαινόμενα ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΔΙΑΛΟΓΟΙ Η μαθηματική
Διαβάστε περισσότεραΣφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης
Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange Ν. Παναγιωτίδης Έστω σύστημα δυο συγκλινόντων ραγών σε σχήμα Χ που πάνω τους κυλίεται σφαίρα ακτίνας. Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με οριζόντιους τους άξονες και.
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέμβριος 2012
ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέμβριος ΘΕΜΑ α) Υλικό σημείο μάζας κινείται στον άξονα Ο υπό την επίδραση του δυναμικού V=V() Αν για t=t βρίσκεται στη θέση = με ενέργεια Ε δείξτε ότι η κίνησή του δίνεται από
Διαβάστε περισσότεραΤι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)
TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών
Διαβάστε περισσότεραΟΙ ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ
ΜΑΘΗΜΑ : ΟΙ ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ Simplici: Αυτό πραγματικά δεν μπορώ να το κατανοήσω Salviati: Θα το κατανοήσεις όταν σου δείξω που βρίσκεται το σφάλμα σου ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΔΙΑΛΟΓΟΙ Ο Γαλιλαίος,
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Θεωρία της Ειδικής Σχετικότητας 23 Μαρτίου 2015 (πτυχιακή περίοδος)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Θεωρία της Ειδικής Σχετικότητας 23 Μαρτίου 25 (πτυχιακή περίοδος) Αν θέλετε μπορείτε να επεξεργαστείτε όλα τα προβλήματα σε σύστημα μονάδων όπου η ταχύτητα
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ. Ύλη: Ευθύγραμμη Κίνηση
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ον/μο:.. A Λυκείου Ύλη: Ευθύγραμμη Κίνηση 13-11-2016 Θέμα 1 ο : 1) Η έκφραση 2m/s 2 όταν αναφέρεται σε κινητό που εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση σημαίνει ότι: α) η θέση του κινητού αλλάζει
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Θεωρία της Ειδικής Σχετικότητας Ιούνιος 2010
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Θεωρία της Ειδικής Σχετικότητας Ιούνιος Αν θέλετε μπορείτε να επεξεργαστείτε όλα τα προβλήματα σε σύστημα μονάδων όπου η ταχύτητα του φωτός είναι c. Να λύσετε
Διαβάστε περισσότερα2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση
2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση Ένας τροχός εκκινεί από την ηρεμία και επιταχύνει με γωνιακή ταχύτητα που δίνεται από την,
Διαβάστε περισσότεραΟ ειδικός μετασχηματισμός του Lorentz
Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Ο ειδικός μετασχηματισμός του Lorentz Ο ειδικός μετασχηματισμός του Lorentz Με αφετηρία τις δυο απαιτήσεις της Ειδικής Θεωρίας Σχετικότητας του Einstein θα
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις
Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 12 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΑΠΟ 0/04/018 ΕΩΣ 14/04/018 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη 1 Απριλίου 018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη ε του κύκλου
Διαβάστε περισσότεραΣχετικιστικές συμμετρίες και σωμάτια
Κεφάλαιο 1 Σχετικιστικές συμμετρίες και σωμάτια 1.1 Η συμμετρία Πουανκαρέ 1.1.1 Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Η θεμελιώδης κινηματική συμμετρία για ένα φυσικό σύστημα είναι η συμμετρία των μετασχηματισμών
Διαβάστε περισσότερα12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο
ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο
Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not defined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα
Διαβάστε περισσότεραΔιαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση;
Κεφάλαιο 1 Διαφορικός Λογισμός 1.1 Συναρτήσεις Κατανόηση εννοιών - Θεωρία 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; 2. Πως ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, της διαφοράς, του γινομένου και του πηλίκου μεταξύ δύο συναρτήσεων;
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΙΟΡΤΕΣ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ)
ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΙΟΡΤΕΣ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ) 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία της θεωρίας της Σχετικότητας. Άλμπερτ Αϊνστάιν 1905
Στοιχεία της θεωρίας της Σχετικότητας Άλμπερτ Αϊνστάιν 1905 Αξιώματα Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας, Αϊνστάιν (1905) μοναδική γοητεία εξαιτίας της απλότητας και κομψότητας των δύο αξιωμάτων πάνω στα
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις
Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας
Διαβάστε περισσότεραDoppler, ηλεκτρομαγνητικά κύματα και μερικές εφαρμογές τους!
1 Doppler, ηλεκτρομαγνητικά κύματα και μερικές εφαρμογές τους! Με αφορμή τις συχνές ερωτήσεις μαθητών για το Doppler και το φως και κυρίως λόγω της επιμονής ενός άριστου μαθητή που από την Β Λυκείου ενθουσιάζονταν
Διαβάστε περισσότεραΗ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ Ο ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ
ΜΑΘΗΜΑ 5: Η ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ Ο ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ Salviati: Εκεί όπου δεν μας βοηθούν οι αισθήσεις πρέπει να παρέμβει η λογική, γιατί μόνο αυτή θα επιτρέψει να εξηγήσουμε τα φαινόμενα ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΔΙΑΛΟΓΟΙ Η
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΘΕΟΔΩΡΙΔΗΣ Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1. Τι ονομάζουμε κίνηση; Τι ονομάζουμε τροχιά; Ποια είδη τροχιών γνωρίζετε; Κίνηση ενός αντικειμένου
Διαβάστε περισσότεραΦαινόμενο Doppler (Γ. Μ.) Φαινόμενο Doppler. Φαινόμενο Doppler είναι η διαφορά των συχνοτήτων που μετρούν οι παρατηρητές
Φαινόμενο Doppler Για την κατανόηση του φαινομένου αυτού εισάγουμε τα παρακάτω σύμβολα και πρέπει να εξηγήσουμε τη σημασία τους. : πηγή ηχητικών κυμάτων : ανιχνευτής ηχητικών κυμάτων : συχνότητα ηχητικών
Διαβάστε περισσότεραΗλεκτρομαγνητισμός. Μαγνητικό πεδίο. Νίκος Ν. Αρπατζάνης
Ηλεκτρομαγνητισμός Μαγνητικό πεδίο Νίκος Ν. Αρπατζάνης Μαγνητικοί πόλοι Κάθε μαγνήτης, ανεξάρτητα από το σχήμα του, έχει δύο πόλους. Τον βόρειο πόλο (Β) και τον νότιο πόλο (Ν). Μεταξύ των πόλων αναπτύσσονται
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT
ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT Αρβανιτογεώργος Ανδρέας Πατέρας Ιωάννης ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ Στόχος Εργασίας Η εύρεση των γεωδαισιακών καμπυλών πάνω σε μια επιφάνεια.
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2018 A ΦΑΣΗ ΦΥΣΙΚΗ
ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ Ημερομηνία: Πέμπτη 4 Ιανουαρίου 08 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς προτάσεις Α Α4 να γράψετε στο τετράδιό
Διαβάστε περισσότεραΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ Μετασχηματισμοί Γαλιλαίου. (Κλασική θεώρηση) αφού σύμφωνα με τα πειράματα Mickelson-Morley είναι c =c.
ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ Μετασχηματισμοί Γαλιλαίου. (Κλασική θεώρηση) y y z z t t Το οποίο οδηγεί στο ότι - υ.(άτοπο), αφού σύμφωνα με τα πειράματα Mikelson-Morley είναι. Επίσης y y, z z, t t Το οποίο ( t t ) είναι
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Μηχανικούς
Φυσική για Μηχανικούς Μηχανική Εικόνα: Isaac Newton: Θεωρείται πατέρας της Κλασικής Φυσικής, καθώς ξεκινώντας από τις παρατηρήσεις του Γαλιλαίου αλλά και τους νόμους του Κέπλερ για την κίνηση των πλανητών
Διαβάστε περισσότεραΒ Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής
Διαβάστε περισσότεραΟ Μετασχηµατισµός του Λόρεντς για τις Συντεταγµένες Θέσης Ενός Συµβάντος
3 ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ Ο Μετασχηµατισµός του Λόρεντς για τις Συντεταγµένες Θέσης Ενός Συµβάντος Έστω ένα αδρανειακό σύστηµα S, και ένα δεύτερο, S, το οποίο κινείται µε ταχύτητα ως προς το πρώτο Επιλέγουµε
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Θεωρία της Ειδικής Σχετικότητας 4 Σεπτεμβρίου 2018
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Θεωρία της Ειδικής Σχετικότητας 4 Σεπτεμβρίου 018 Αν θέλετε μπορείτε να επεξεργαστείτε όλα τα προβλήματα σε σύστημα μονάδων όπου η ταχύτητα του φωτός είναι
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ
ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Στη συνέχεια θα δοθούν ορισμένες βασικές έννοιες μαθηματικών και φυσικήςμηχανικής που είναι απαραίτητες για την κατανόηση του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραu'+v u= 1+(u'v/c c+c=c Δx Δx'+vΔt' (Δx'/Δt')+v Δt Δt'+(v/c )Δx' 1+(v/c )(Δx'/Δt')
Μετασχηματισμοί Lorentz Σύμφωνα με την ειδική θεωρία της σχετικότητας οι νόμοι της φυσικής είναι ανεξάρτητοι από το αν το σύστημα αναφοράς κινείται ή είναι ακίνητο. x =γ(x-vt), y =y, z =z, t =γ(t-vx/c
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Καμπυλόγραμμες Κινήσεις Επιμέλεια: Αγκανάκης Α. Παναγιώτης, Φυσικός http://phyiccore.wordpre.com/ Βασικές Έννοιες Μέχρι στιγμής έχουμε μάθει να μελετάμε απλές κινήσεις,
Διαβάστε περισσότεραΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.
ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Φεβρουάριος Απαντήστε και στα 4 θέματα με σαφήνεια και συντομία. Καλή σας επιτυχία.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Φεβρουάριος 2003 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε και στα 4 θέματα με σαφήνεια και συντομία. Καλή σας επιτυχία. Θέμα 1 (25 μονάδες)
Διαβάστε περισσότεραΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 148
ΚΥΜΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 48 3 ΦΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER Το φαινόµενο Doppler αναφέρεται γενικά στη µεταβολή της συχνότητας των κυµάτων που αντιλαµβάνεται ένας παρατηρητής ως προς τη συχνότητα που εκπέµπει µια πηγή όταν
Διαβάστε περισσότεραΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ
ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ 1 1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Αρχικά ας δούμε ορισμένα σημεία που αναφέρονται στο έργο, στη δυναμική ενέργεια και στη διατήρηση της ενέργειας. Πρώτον, όταν
Διαβάστε περισσότεραΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ
ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ 1 1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Αρχικά ας δούμε ορισμένα σημεία που αναφέρονται στο έργο, στη δυναμική ενέργεια και στη διατήρηση της ενέργειας. Πρώτον, όταν μια
Διαβάστε περισσότεραΣτο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την (μη ομογενή) κυματική εξίσωση σε D χωρικές και 1 χρονική διάσταση :
Η Κυματική Εξίσωση. Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την (μη ομογενή κυματική εξίσωση σε χωρικές και 1 χρονική διάσταση : t ( Ψ (, rt = f(, rt (139 ( Εδώ είναι μια σταθερά με διαστάσεις ταχύτητας.
Διαβάστε περισσότεραΗ Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή
Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ
1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..
Διαβάστε περισσότεραd E dt Σχήμα 3.4. (α) Σχηματικό διάγραμμα απλού εναλλάκτη, όπου ένας αγώγιμος βρόχος περιστρέφεται μέσα
Παράδειγμα 3.1. O περιστρεφόμενος βρόχος με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω μέσα σε σταθερό ομογενές μαγνητικό πεδίο είναι το πρότυπο μοντέλο ενός τύπου γεννήτριας εναλλασσόμενου ρεύματος, του εναλλάκτη. Αναπτύσσει
Διαβάστε περισσότερα4 Αρμονικές Ταλαντώσεις 1 γενικά 17/9/2014
4 Αρμονικές Ταλαντώσεις γενικά 7/9/4 Περιοδικά φαινόμενα Περιοδικά φαινόμενα Περίοδος Συχνότητα ωνιακή συχνότητα Ταλαντώσεις Απλή αρμονική ταλάντωση Περιοδικό φαινόμενο Περιοδικά φαινόμενα ονομάζονται
Διαβάστε περισσότεραΣφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης
Η Εξίσωση Euler-Lagrange Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange Ν. Παναγιωτίδης Έστω σύστημα δυο συγκλινόντων ραγών σε σχήμα Χ που πάνω τους κυλίεται σφαίρα ακτίνας. Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με οριζόντιους
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός
ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14
Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ. υ = σταθερη (1) - Με διάγραμμα :
Πρότυπο Πρότυπα ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ Η Φυσική για να ερμηνεύσει τα φαινόμενα, δημιουργεί τα πρότυπα ή μοντέλα. Τα πρότυπα αποτελούνται από ένα πλέγμα
Διαβάστε περισσότερακριτήρια αξιολόγησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 1o Κριτήριο αξιολόγησης
1o Κριτήριο αξιολόγησης Θέμα 1ο α Δύο σφαίρες Α και Β συγκρούονται κεντρικά ελαστικά Ποια ή ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και γιατί; Α Η σφαίρα Α θα γυρίσει προς τα πίσω αν είναι m A
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑ. Ταυτόχρονη διατήρηση της ορμής και της στροφορμής σε κρούση
N B P Y T ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑ 9 5 Ταυτόχρονη διατήρηση της ορμής και της στροφορμής σε κρούση - y y h + O x Ω + O V x υ a Σχήμα : Το σύστημα με τους δύο παρατηρητές του φαινομένου
Διαβάστε περισσότεραΠώς μια μάζα αντιλαμβάνεται ότι κάπου υπάρχει μια άλλη και αλληλεπιδρά με αυτή ; Η αλληλεπίδραση μεταξύ μαζών περιγράφεται με την έννοια του πεδίου.
ΒΑΡΥΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΓΕΝΙΚΑ Δυο σημειακές μάζες που απέχουν απόσταση r έλκονται με δύναμη που είναι ανάλογη του γινομένου των μαζών και αντίστροφα ανάλογη του τετραγώνου της απόστασής τους. Όπου G η σταθερά
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Κεφάλαιο 4 ο Γ Λυκείου Doppler
Θεωρία Κεφάλαιο 4 ο Γ Λυκείου Doppler Φαινόμενο Doppler Η συχνότητα που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής δεν είναι ίδια με αυτήν που εκπέμπει μία πηγή όταν ο παρατηρητής και η πηγή βρίσκονται σε σχετική κίνηση
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί
Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί 0 Βασικοί ορισμοί και πράξεις Είναι γνωστό ότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός που επαληθεύει την εξίσωση x Η ανάγκη επίλυσης τέτοιων εξισώσεων οδηγεί στο σύνολο των μιγαδικών
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ
Διαβάστε περισσότερα4 Αρμονικές Ταλαντώσεις 1 γενικά 17/9/2014
4 Αρμονικές Ταλαντώσεις γενικά 7/9/4 Περιοδικά φαινόμενα Περιοδικά φαινόμενα Περίοδος Συχνότητα Γωνιακή συχνότητα Ταλαντώσεις Απλή αρμονική ταλάντωση Περιοδικό φαινόμενο Περιοδικά φαινόμενα ονομάζονται
Διαβάστε περισσότεραΜια κρούση και τα έργα της δύναμης του ελατηρίου
Μια κρούση και τα έργα της δύναμης του ελατηρίου Ένα σώμα Σ μάζας g ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς Ν/, το άλλο άκρο του οποίου έχει δεθεί σε κατακόρυφο
Διαβάστε περισσότεραΤετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1
Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης Τετραγωνικά μοντέλα Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc164.materials.uoi.gr/dpapageo Για συνάρτηση μιας
Διαβάστε περισσότεραΘέματα και Απαντήσεις Προαγωγικών Εξετάσεων Β ΛΥΚΕΙΟΥ στα Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού
ΘΕΜΑ ο Θέματα και Απαντήσεις Προαγωγικών Εξετάσεων Β ΛΥΚΕΙΟΥ στα Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού (Α Να χαρακτηρίσετε με τις λέξεις ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις παρακάτω πέντε προτάσεις μεταφέροντας τις απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΕ Θ Ν Ι Κ Ο Μ Ε Τ Σ Ο Β Ι Ο Π Ο Λ Υ Τ Ε Χ Ν Ε Ι Ο Τ Ο Μ Ε Α Σ Φ Υ Σ Ι Κ Η Σ
Ε Θ Ν Ι Κ Ο Μ Ε Τ Σ Ο Β Ι Ο Π Ο Λ Υ Τ Ε Χ Ν Ε Ι Ο Σ Χ Ο Λ Η Ε Φ Α Ρ Μ Ο Σ Μ Ε Ν Ω Ν Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ω Ν Κ Α Ι Φ Υ Σ Ι Κ Ω Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ω Ν Τ Ο Μ Ε Α Σ Φ Υ Σ Ι Κ Η Σ Κανονική εξέταση στο µάθηµα ΕΙ
Διαβάστε περισσότεραΘεωρητική μηχανική ΙΙ
ΟΣΑ ΓΡΑΦΟΝΤΑΙ ΕΔΩ ΝΑ ΤΑ ΔΙΑΒΑΖΕΤΕ ΜΕ ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΒΛΕΜΜΑ. ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΛΑΘΗ. Θεωρητική μηχανική ΙΙ Να δειχθεί ότι αν L x, L y αποτελούν ολοκληρώματα της κίνησης τότε και η L z αποτελεί ολοκλήρωμα της
Διαβάστε περισσότεραΓ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΑΠΟ /4/8 ΕΩΣ 4/4/8 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη Απριλίου 8 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Έστω μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν o
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Κίνηση κατά μήκος ευθείας γραμμής
Κεφάλαιο 2 Κίνηση κατά μήκος ευθείας γραμμής Στόχοι 1 ου Κεφαλαίου Περιγραφή κίνησης σε ευθεία γραμμή όσον αφορά την ταχύτητα και την επιτάχυνση. Διαφορά μεταξύ της μέσης και στιγμιαίας ταχύτητας καθώς
Διαβάστε περισσότερα