Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 3: Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Βιοϊατρικής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
ý ÄÔÐ º½ ¾ ¾º½ ÄÔÐ º½ ¹ ½º Ø [0+ )º ý ô (Ø) µ [0 ] 0 µ Ø 0 Ø 0 0 (Ø) Å Ø Ø [0+ ) º½ ¹ ½µ ÄÔÐ (Ø) º ½
¾ ý ÄÔÐ º ýº ý º½ ¹ ½ º½ ¹ ½ µ (Ø) [0+ ) ÄÔÐ L[(Ø)]º µ ô (Ø) (Ø) [0+ )º ÄÔÐ (Ø) (Ø) (Ø) [0+ ) ÄÔÐ (Ø) L[(Ø)] = L[(Ø)] º º½ ¹ ½ ô (Ø) = 2Ø L[(Ø)] = +3 0 Ø = (Ø) = 2Ø Ø [0+ ) {} L[(Ø)] = L[(Ø)] (Ø) (Ø)º L[(Ø)] = +3 ý º½ ¹ ½ µ L[(Ø)] = () (Ø) L () (Ø) º L º º½ ¹ ¾º ô (Ø) Ø [0+ )º ý ÄÔÐ L[(Ø)] = () L [()] = (Ø) (Ø)º º½ ¹ ¾ ÄÔÐ º ÄÔÐ ÄÔк º
º½ ¹ µº ý L[(Ø)] = () L[(Ø)] = () R L [()+()] = L [()]+L [()] = (Ø)+(Ø) º½ ¹ ¾µ º½ ¹ ¾ ô (Ø) = 3Ø (Ø) = Ø º ] L [ 3Ø = +3 = () [ ] L Ø = = () º½ ¹ L [2 ()+5 ()] = 2L [()]+5L [()] = 2 3Ø +5 Ø º½ ¹ º ý L [()] = (Ø) L [()] = ( Ø ) 0 º½ ¹ µ º½ ¹ ô (Ø) = cos4ø L[(Ø)] = 2 +6 = () º½ ¹ = 2 [ ] L [(¾)] = L ¾ (¾) 2 = ( +6 ¾ cos 4 Ø ) = ¾ 2 cos2ø º½ ¹ µº ý L [()] = (Ø) L [(+)] = Ø (Ø) + 0 0 º½ ¹ µ
ý ÄÔÐ º ýº º½ ¹ ô (Ø) = sin2ø () = 2 2 +4 º º½ ¹ [ ] L 2 ( ) 2 = L 2 +4 (+( ) ) 2 +4 = ( ) Ø sin2ø = Ø sin2ø }{{} = º½ ¹ µº ý L [()] = (Ø) L [ () ] (Ø ) Ø = 0 Ø 0 º½ ¹ µ º½ ¹ ô (Ø) = cos Ø () = 2 + º º½ ¹ L [ ] 3 () 3 = cos(ø 3) Ø 3 L 2 = + 0 Ø 3 =3 {}}{ º½ ¹ ÀÚ º½ ¹ º L[(Ø)] = () L [()] = (Ø )Ù(Ø ) Ø 0 º½ ¹ µ º½ ¹ ô () = 3 +4 2 2 +4
º½ ¹ L [ ] L [ 2 ] [ ] L 2 [ ] L 2 2 +4 [ ] 4 L 3 2 +4 = = Ù(Ø) = Ø = (Ø) = {}}{ = (Ø ) Ù(Ø ) = (Ø )Ù(Ø ) = sin2ø = (Ø) =3 = 2 (Ø {}}{ ) Ù(Ø ) = 2 sin(ø 3)Ù(Ø 3) (Ø) = L [()] = Ù(Ø) (Ø )Ù(Ø )+2sin(Ø 3)Ù(Ø 3) º½ ¹ º ý L [()] = (Ø) L [ ] (Ò) () = ( ) Ò Ø Ò (Ø) º½ ¹ µ º½ ¹ ø (Ø) = cos Ø () = º 2 + º½ ¹ L [ ] ( ) (2) (2) () = L 2 = ( ) 2 Ø 2 cos Ø = Ø 2 cos Ø + 22 6 22 7 2 º
ý ÄÔÐ º ýº º½ ¹ (Ø) = L [()] () 4 (+) ) 3 ) 2 + + ) 45 (+ ) (+ ) 2 Ú) +25 2 º º¾ () º º¾ ¹ ½ º¾ ¹ ½ ô () = 3 () = 2+ = 2! 2! 2+ () 3 º¾ ¹ ½ º½ ¹ º¾ ¹ ¾ (Ø) = L [()] = Ø2 2 ô () = 2 2 +4 = 2 2 +2 2 ø 4 º¾ ¹ ½ (Ø) = L [()] = sin2ø
º¾ ¹ ½ ÄÔл (Ø) ()» (Ø) () Ø sinh Ø ( ) 2 2 2 Ø 2 Øsin Ø 2 ( 2 + 2 ) 2 3 Ø Ò ; Ò = 2 Ò! Ò+ 3 Ø 2 sin Ø 2 ( 3 2 2) ( 2 + 2 ) 3 4 sin Ø 5 Ø sin Ø 2 + 2 4 Øcos Ø (+) 2 + 2 5 Ø 2 cos Ø 2 2 ( 2 + 2 ) 2 2 ( 2 3 2) ( 2 + 2 ) 3 6 cos Ø 2 + 2 6 Ù(Ø ) 7 Ø cos Ø 8 sinh Ø 9 Ø cosh Ø + (+) 2 + 2 7 (Ø ) 2 2 8 (Ø) ( ) 2 2 9 (Ø) 2 0 cosh Ø 2 2 ¾¼ sin Ø Ø tan ( )
ý ÄÔÐ º ýº º¾ ¹ ô 5 () = 2 +2+37 () = 5 6 6 (+}{{} ) 2 +( }{{} 6 ) 2 = =6 5 º¾ ¹ ½ º¾ ¹ ½ (Ø) = L [()] = 5 6 Ø sin6ø µ ø 0µ ( Ü 2 + Ü+ = Ü+ ) 2 2 4 º¾ ¹ ½µ 2 4 µ () º º¾ ¹ ô () = 2+ 2 +4+5 = 4 2 20 = 6 0 º¾ ¹ ½ () 2 +4+5 = (+2) 2 + 2 ý +2 () = 2+ 2 +4+5 = 2+ 2+ ß + (+2) 2 = +2 (+2) 2 + 2 3 = 2+4 {}}{ 4+ (+2) 2 + 2 = 2 +2 (+2) 2 + 2 3 (+2) 2 + 2
5 7 º¾ ¹ ½ (Ø) = L [()] = 2 2Ø cos2ø 3 2Ø sin Ø = 2Ø (2cos2Ø 3sin Ø) () ½ 2 6 ) 4 Ú) (+) 4 ) ) Ú) Ú) Ú) (+3) 2 Ú) 2(+2) 2 +4 2 9 2 +8+7 2 2+ Ü) Ü) Ü) Ü) 9 2 +4 4 2 +9 2 +4+4 4+ 2 +2+ 2 + + ô () () = È() É() È() É() º È() µ É() () º ½ () Ø3 3 () Ø 3Ø ()2(cos2Ø + sin2ø) (Ú) 2 3Ø + 3Ø 3 3 (Ú) sin 4Ø Ø (Ú) Ø ( + Ø) (Ú) Ø 3 Ø (Ú) sin( 2Ø ) 6 3 (Ü) cos( ) 3Ø 4 2 sin( 3Ø ) 6 2 (Ü) 2Ø Ø (Ü) (4 3 Ø) Ø [ 3cos( 3Ø ) (Ü) 3 Ø2 + 3Ø )] 3 sin( º 2 2
½¼ ý ÄÔÐ º ýº º¾ ¹ ô () = 2 +3+2 2º (+)(+2) = +2 + + (+)(+2) = (+)+(+2) + = + 2 = = 3 = 2 () = 3 +2 2 + (Ø) = L [()] = 3 2Ø 2 Ø º¾ ¹ ø () = ( 2 +9) ( 2 +9) = + + 2 +9 () = 9 9 2 +9 (Ø) = L [()] = 9 9 cos3ø
½½ º¾ ¹ ø () = ( )(+2) 2 ¾ ( )(+2) 2 = + () = 9 º¾ ¹ 3 + {}}{ (+2) 2 + +2 (+2) 2 9 +2 (Ø) = L [()] = 9 2Ø ( 3Ø+ 3Ø ) ø () = 3 ( 2 +4) ô º¾ ¹ 3 ( 2 +4) = + 2 + 3 + + 2 +4 () = 6 + 4 3 + 6 2 +4 (Ø) = L [()] = ( ) +2Ø 2 +cos2ø 6 µ É() º ¾ þ ýº ¾ º º ÄÔÐ Öº º
½¾ ý ÄÔÐ º ýº º¾ ¹ ô () = 4 ( )(+2) () = 2 +3+ 3 6 3 +2 7 8 9 º¾ ¹ ½ (Ø) = L [()] = Æ (Ø) Æ (Ø)+3 Æ(Ø)+ 3 Ø 6 3 2Ø 4 µº (Ø) = L [()] () ) ( 2 Ú) 4) 3 +8 ) ) Ú) 3 ( 2 4+4) ( 2 + 2 ) Ú) Ú) Ú) 4 5 2 +4 4 (+2)( 2 +) () 4 + 2Ø + 2Ø 8 8 (Ú) 2Ø 2 2 Ø cos ( 3Ø Ø () + ) + Ø sin( 3Ø) 4 3 (Ú) 6 2Ø 5 cos Ø 5 2Æ(Ø)+ 5 sin Ø 5 + Æ (Ø)º + Ø 2 2 () 2Ø + 4 4 2 Ø 2Ø (Ú) (Ú) Ø + Ø cos Ø 4 4 2 cos Ø 2 2 (Ú)6cos2Ø 4Æ (Ø)+Æ (3) (Ø)
ý º ýº º
þ ½ ýº ¾¼½½µ ýº ý ÁËÆ ß¼ß ½ßߺ ¾ ýº ¾¼¼¾µ ý ýº ý ÁËÆ ¼ß ½ß ß»ß¼ß ½ß ߺ ÖÓÒÓÒ Êº ½µ ÁËÆ ß¼¼¼ß½ß¼½ß º ý ýº ½ µ ÄÔÐ ÓÙÖÖ ÁËÆ ¼ß ½ß¾½ßº ÙÖÐРʺ ÖÓÛÒ Âº ¾¼¼µ ÁËÆ ¼ß ¼ß½ß º ÒÒÝ Êº ĺ ÓÖÒÓ º ʺ ¾¼¼µ ý ÁËÆ ß¼ß¾ß½ß½ º ÓÒ º ËÙѳ ÇÙØÐÒ ß ÅØÑØ ¾¼¼µ ÁËÆ ß¼ß½ß¼¼¼ßº ËÔРź ËÙѳ ÇÙØÐÒ ß ÄÔÐ ÌÖÒÓÖÑ ½µ ÅÖÛ¹ ÀÐÐ ÙØÓÒ ß ÙÖÓÔ ÁËÆ ß¼¼ß¼¼ß¾ ½ß½º ËÔРź ÏÖ Êº ¾¼¼µ ý ÁËÆ ¼ß½ß¼ßº ½
½ ý ÄÔÐ º ýº ØØÔ»»ÒºÛÔºÓÖ»Û»ÅÒ È ØØÔ»»ÕÛÓÖкÔÑÒغÖÙ»ÒܺØÑ ØØÔ»»ÑØÛÓÖкÛÓÐÖѺÓÑ» ØØÔ»»ÓѺÔÖÒÖº»
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Αθήνας, Αθανάσιος Μπράτσος, 204. Αθανάσιος Μπράτσος. «Εφαρμοσμένα Μαθηματικά. Ενότητα 3: Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace». Έκδοση:.0. Αθήνα 204. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: ocp.teiath.gr. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: Το Σημείωμα Αναφοράς Το Σημείωμα Αδειοδότησης Τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων Το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 2