הרצאות בבקרה לא-לינארית (04696) מאת פרופ' נחום שימקין טכניון הפקולטה להנדסת חשמל חורף תשס"ה פרק 7. יציבות מוחלטת של מערכות משוב נעבור עתה לדיון ביציבות של מערכת משוב מסוג מסוים הכוללת מערכת לינארית ורכיב לא-לינארי סטטי. נקבל תנאים מספיקים ליציבות, הנקראים: קריטריון המעגל, וקריטריון פופוב. תוצאות אילו מהוות מעין הכללה של קריטריון נייקוויסט המוכר מתורת המערכות ה לינאריות. סעיפי הפרק הנוכחי: הגדרת יציבות מוחלטת קריטריון המעגל קריטריון פופוב * מערכות חיוביות וקריטריון המעגל 7. 7. 7.3 7.4
7.. הגדרת יציבות מוחלטת r(t) + המערכת הבסיסית שבה נתעניין היא מהצורה: u (t) y(t) G( φ( y( t)) φ G( הינה פונקצית התמסורת של מערכת לק"ב. נניח כי היא "פרופר" (דרגת מונה אינה גדולה מדרגת המכנה), וכי המערכת בחוג סגור תמיד מוגדרת היטב. φ מייצגת מערכת סטטית (חסרת זיכרון) לא-לינארית, אשר מקיימת את התנאי הבא: תנאי הסקטור: הפונקציה φ(y) תיקרא "מוגבלת לסקטור ],"[, כאשר, קבועים ממשיים, באם: φ( y) ( y 0) y המשמעות הגראפית מודגמת בציור הבא: slope φ(y) slope y הגדרה: מערכת המשוב המתוארת לעיל תיקרא יציבה בהחלט Stable) (Absolutely ביחס לסקטור זה. [ ],, היא יציבה (במובן מתאים) עבור כל פונקציה φ המוגבלת לסקטור 7 -
כדי להשלים את ההגדרה עלינו להגדיר את מובן היציבות שבו נשתמש. אפשרויות: קיימות שתי (t, )r ונגדיר וקטור מצב מתאים עבור א. יציבות אסימפטוטית: במקרה זה נניח כי 0 המערכת. נגדיר ראשית מימוש מינימאלי (כלשהו) של המערכת :G( x = Ax + Bu y = Cx + Du A). C ( si נניח לשם פשטות כי = 0 D (המערכת פרופר ממש). B + D = G( כאשר (s על ידי הצבת מכיוון ש: u = φ(y) נקבל את משוואת המצב הבאה עבור החוג הסגור (עם :( r = 0 x = Ax Bφ(Cx) = (0 )φ (כפי שנובע מתנאי הסקטור), מתקבל כי הראשית ) 0 = x ( הינה 0 נש"מ. ניתן לפיכך להתייחס ליציבות אסימפטוטית של הראשית. הדרישה המקובלת בהגדרת היציבות המוחלטת היא כי הראשית תהיה יציבה אסימפטוטית גלובאלית. [ניתן לראות כי תכונה זו אינה תלויה במימוש שבחרנו עבור מינימאלי.],G( כל עוד הוא ב. יציבות במובן כניסה-ליציאה: ביחס לנורמת כפי שהגדרנו בפרק הקודם. אנו נשתמש פה ביציבות. L נציין כי התורה המלאה של יציבות מוחלטת מתייחסת בד"כ ליציבות אסימפטוטית. אולם אנו נתמקד פה ביציבות-, L דבר שיאפשר לנו לגזור את קריטריון המעגל ישירות מתוך משפט ההגבר הקטן. 7-3
הערות נוספות: נציין כי הדיון להלן תקף גם כאשר משנים את סדר הבלוקים (למשל המקרה בו φ מקדים את G בחוג הקדמי), אולם לשם קונקרטיות נתייחס לסידור שבציור.. φ = φ( t, הדיון להלן בקריטריון המעגל תקף גם כאשר הפונקציה (y משתנה. בזמן. במקרה זה נדרוש קיום תנאי הסקטור לכל זמן t. השערת אייזרמן: ברור כי תנאי הכרחי ליציבות מוחלטת הוא כי המערכת הלינארית המתקבלת עבור. בשנת 949 הועלתה תהיה יציבה לכל,φ( y ) = y השערה כי זהו גם תנאי מספיק. אולם השערה זו הופרכה עד מהרה. בעקבות זאת פותחו תנאים מספיקים (אך לא הכרחיים) ליציבות מוחלטת ביניהם קריטריוני המעגל ופופוב. 7-4
7.. קריטריון המעגל ניזכר תחילה בקריטריון נייקוויסט ליציבות מערכות משוב לינאריות. עקום נייקוויסט (השלם) של פונקצייתתמסורת G( הינו העקום המותווה על ידי,G( כאשר s משתנה לאורך עקום Γ המקיף את כל חצי המישור הימני בכיוון Im{s} השעון. ( R ) Re{s} הערה: באם קיימים קטבים על הציר המדומה יש "להשאירם" מחוץ לעקום על ידי עקיפתם מימין. קריטריון נייקויסט: מערכת משוב לינארית בעלת המשוואה האופיינית + G( = 0 הינה יציבה אסימפטוטית (כל הקטבים בחצי המישור השמאלי הפתוח של המישור המרוכב) אם ורק אם עקום נייקויסט השלם של G( מקיף את הנקודה m ( ) p) ( Re( של פעמים נגד כיוון השעון, כאשר m מספר הקטבים ה"לא-יציבים" ) 0 >.G( Im נגדיר עתה את המעגל ( )D, במישור המרוכב, כמוראה בציור. Re 7-5
].[, המערכת יציבה L משפט (קריטריון המעגל). נניח כי φ מוגבלת לסקטור בהחלט (במובן של יציבות אסימפטוטית ובמובן של יציבות התנאים הבאים: כאשר ( אם מתקיים אחד < < 0 : עקום נייקויסט של G( אינו נכנס למעגל ), D(, ומקיף.(G( m אותו m כאשר פעמים נגד כיוון השעון (כאשר מספר הקטבים הלא-יציבים של G( : 0 = < יציב אסימפטוטית, ועקום נייקויסט של G( נמצא.. G( כולו. Re( = כולו מימין לקו כאשר G( : < 0 < יציב אסימפטוטית, ועקום נייקויסט של בתוך המעגל ). D(,.3 L הוכחה: ניתן פה הוכחה לגבי יציבות בלבד. א. סקטור סימטרי: נניח ראשית כי הסקטור האמור הוא סימטרי מהצורה, ]. המקרה הרלוונטי הוא (3). נפעיל את משפט ההגבר הקטן: ] = [, ].G( g( φ, L ) = 0 לגבי,G( ברור כי ליציבות עם נדרשת יציבות לפיכך:,G( ובנוסף:. D(, ). g( G, L ) = G( jω) מכאן תנאי מספיק ליציבות- L של מערכת המשוב הינו יציבות g( φ, L ) g( G, L ) < jω) )G נמצא כולו המעגל G ( jω) < / התנאי האחרון שקול לכך שעקום נייקויסט של ב. הרחבה לסקטור כללי: לעבור מפונקציה φ המוגבלת לסקטור כללי ע"י שימוש בהתמרת החוג המוראית בציור הבא ניתן עתה לפונקציה ˆφ המוגבלת לסקטור [, ], ], ואז נוכל להפעיל את התנאי מ- א( ). סימטרי [ 7-6
G ˆ ( s ) G( a z φˆ a φ y 0, 0,[ כאשר,φˆ = φ a מוגבלת לסקטור ] a = ( + ) / נבחר:. קל לראות כי (s G ˆ ( לפיכך, תנאי מספיק ליציבות = G( /( + ag( ) כמו כן,. G( jω) + ag( jω) ) s G ˆ ( יציבה, וכן < 0 G = x + = ( ) / 0 המערכת המקורית הינו: ניתן לראות (על ידי הצבת jy ומעט אריתמטיקה) כי התנאי האחרון שקול לתנאי המשפט לגבי הכניסה (או אי-הכניסה) של עקום הנייקויסט של jw) )G למעגל ). D(, בנוסף לכך, נפעיל את קריטריון נייקויסט להבטחת יציבות ) s G ˆ ( בשלושת המקרים : m פעמים נגד ( / () ליציבות ) s G ˆ ( נדרש כי הנייקויסט של G( יקיף את הנקודה (a ), D(, ולכן דרישה זו שקולה / a = / כיוון השעון. אולם נקודה זו מתקבלת בתוך המעגל = 0 m. מכיוון שהנקודה להקפת המעגל m פעמים. G( נובע כי G( אינו מקיף נקודה זו ולכן משמאל לקו ) s G ˆ ( יציבה. / a () מיציבות (s, Re( הרי הנייקוויסט של = ב) אופן דומה ל-( ), מכיוון שהנקודה מחוץ למעגל ) D(, נובע כי 3) ) s G ˆ ( יציבה. הנייקויסט של G( אינו מקיף נקודה זו ולכן מ.ש.ל. 7-7
7.3. קריטריון פופוב ליציבות מוחלטת זהו קריטריון נוסף ליציבות מוחלטת. נתאר אותו (ללא הוכחה) רק עבור המקרה שבו. = 0 משפט (קריטריון פופוב). נניח בנוסף כי קיים נניח כי φ מוגבלת לסקטור, וכי > 0 α המקיים: Re{( + jαω) G( + > 0 ω 0 G( יציבה אסימפטוטית. וכן כי sα) + ( אינו מצטמצם עם המכנה של.G( אזי המערכת יציבה בהחלט (במובן יציבות אסימפטוטית). אינטרפרטציה גרפית של הדרישה במשפט: Im Re עקום נייקויסט של G( + α,( עבור 0 ω 7-8
ניתן להציג את הדרישה במשפט פופוב גם באמצעות תגובת התדר של G( עצמה. התנאי ניתן לרשום כך: את Re{ G( αω Im{ G( + > 0 ω 0 W ( jω) = Re{ G( + jω Im{ G( נשרטט "עקום נייקויסט" של הפונקציה Re{ G( לעומת ω Im{ G( עבור 0 ω, כלומר שרטוט במישור המרוכב של.G( jω) כאשר ω פרמטר. זהו "עקום פופוב" של הדרישה האחרונה שקולה לכך כי עקום פופוב יהיה כולו מימין לקו המצויר עבור קבוע כלשהו > 0.α, α קו בשיפוע דרך הנקודה Im{ W ( Re{ W ( 7-9
* 7.4. קריטריון המעגל ומערכות חיוביות המשפטים הקודמים לגבי יציבות מוחלטת והוכחותיהם (עבור יציבות אסימפטוטית) קשורים למספר מושגים בסיסיים מתורת המערכות בפרט לנושא מערכות חיוביות,(Positive-Real) הלמה של קלמן-יעקובוביץ, ומערכות פסיביות. נושאים אלה הינם בעלי עניין בפני עצמם, אך מפאת קוצר הזמן נסתפק בתיאור קצר. א. מערכות חיוביות נתבונן בפונקצית תמסורת (רציונאלית).G( הגדרה. G( תיקרא. Re( 0 Re{ G( } (PR) Positive Real אם 0 ε > 0 PR אם ε) G( s הינה עבור איזשהו, Strictly Positive Real (SPR) Re( ε Re{ G( } כלומר. 0 ניתן לאפיין תכונות אלה בעזרת ערך התמסורת על הציר המדומה, כלהלן: משפט. G( הינה PR אם ורק אם: Re( > 0 א. אין לה קטבים בעלי (יציבות "חלשה"). Re{ G( 0, ב. ω קל לראות כי תנאים הכרחיים ל- PR הינם: הדרגה היחסית של G( תהיה 0 או Re( > אין אפסים בעלי 0 ("מינימום פאזה" במובן החלש). 7-0
(יציבות הורוביץ). משפט. G( הינה SPR אם ורק אם: Re( א. אין לה קטבים בעלי 0 Re{ G( > 0, ב. ω Re( > גם במקרה זה נדרשת דרגה יחסית של 0 או, וכן אי-קיום אפסים בעלי 0 (מינימום פאזה). Re{ G( = ( ω ).SPR אך לא,PR הינה G( = s.spr הינה a > 0, G( = s + a + s + דוגמאות: )G אינה PR (דרגה יחסית ). = s )G אינה PR (בלתי יציבה). = s היא :SPR היא יציבה הורוביץ, וכן + ω > 0 G( = s s + s + s + + s + 7 -
ב. הלמה של קלמן-יעקובוביץ התוצאה הבסיסית הבאה קושרת בין תכונת PR של פונקציית תמסורת לבין תכונות אלגבריות של מימוש המצב שלה. לשם פשטות נביא פה רק את הגרסה המתאימה ל- G( שהיא strictly proper (כלומר = 0 D במימוש המצב). תהי משפט: G( פונקציית תמסורת בעלת מימוש מינימלי (או אף קונטרולבילי. G( = C( si A) B נזכיר כי ב"מימוש" הכוונה פשוט כי: ].,A B, בלבד), [C אזי G( הינה SPR אםם קיימות מטריצות סימטריות > 0 Q כך ש:, P > 0 A P + PA = Q PB = C [תזכורת: המשוואה הראשונה היא משוואת ליאפונוב, המתקיימת לכל מערכת יציבה]. 7 -
ג. שימוש לקריטריון המעגל נחזור למערכת המשוב ולבעיית היציבות בהחלט שלה (ביחס ליציבות אסימפטוטית). r = 0 + u (t) y(t) G( φ( y( t)) φ( ) ניסוח שקול לקריטריון המעגל שראינו לעיל הינו כלהלן (את השקילות ניתן להראות תוך שימוש בהגדרות ומעט אלגברה). משפט (קריטריון המעגל ניסוח.(SPR מוגבלת לסקטור נניח כי [, ] G( יציבה + G( s φ + G( הינה SPR + G( ) אזי המערכת יציבה בהחלט. נראה (בקווים כלליים) כיצד ניתן להוכיח תוצאה זו. הבאה: נוכיח תחילה את הגרסה הפרטית למה:. נניח כי G( הינה,SPR פרופר-ממש, וכי φ מוגבלת לסקטור (,0 ]. אזי מערכת המשוב יציבה בהחלט..G( נבחן פונקצית ליאפונוב ריבועית: ( A, B, הוכחה: נבחר מימוש מינימאלי (C של x). V ( נקבל = x Px V ( x) = x Px + x Px = ( x = x ( A A P + PA) x x + ub ) Px + x P( Ax + Bu) PBφ( y) נשתמש עתה בלמת :K-Y נבחר > 0 P שמקיים 7-3
A P + PA = Q < 0 PB = C x PB = x C V ( x) = x Q x yφ( y) x (x) V פונקציית ליאפונוב, = y Q x לפיכך (אי-השוויון האחרון נובע מתנאי הסקטור על φ). לפיכך ומתקבלת יציבות אסימפטוטית של הראשית עבור כל φ כנ"ל. ניתן להוכיח תוצאה זו באופן דומה גם כאשר G( שימוש בגרסה המתאימה של למת.K-Y פרופר (ולא בהכרח ממש), ע"י את ההרחבה לסקטור כללי [ [, ניתן לבצע על ידי מספר טרנספורמציות אלגבריות. G ˆ ( s ) G( / + y הרחבה לסקטור ] 0, :[ נתבונן במערכת השקולה: z φˆ ) 0,.[ כמו כן, / φ ˆφ מוגבלת לסקטור + ] 0,,[ אזי y ניתן להראות כי אם φ מוגבלת לסקטור ( + G) SPR ( G + ) SPR Gˆ,( + G),Ĝ SPR SPR [ 0, ] SPR לפיכך קיבלנו: מוגבלת לסקטור וכן [ 0, ) אם φ אזי ˆφ מוגבלת לסקטור וכן ולפי הלמה האחרונה המערכת יציבה בהחלט. 7-4
G ˆ ( s ) הרחבה לסקטור ] :[, G( ע"י שימוש בהתמרת החוג המצוירת ניתן עתה לעבור מסקטור [,0 [ לסקטור כללי ].[, z φˆ φ y 7-5