ΠΑΙΧΝΙΔΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΣΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΠΑΙΧΝΙΔΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΣΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΟ 10 ΔΙΗΜΕΡΟ ΔΙΑΛΟΓΟΥ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 15-16 ΙΟΥΝΙΟΥ - ΕΚΠΑ 2012 Περίληψη Με το παρόν κείμενο περιγράφουμε μια από τις διδακτικές διαδικασίες με τη βοήθεια παιχνιδιών και αλληλεπιδραστικών αντικειμένων (ΑΕ), που εφαρμόζουμε στα εκπαιδευτικά προγράμματα στην Εθνική Εστία Επιστημών και αφορά στην εισαγωγή στην έννοια της πιθανότητας. Η δραστηριότητα αυτή μπορεί να εφαρμοσθεί και στην οποιαδήποτε σχολική τάξη, διότι το αλληλεπιδραστικό αντικείμενο παιχνίδι το οποίο χρησιμοποιείται, είναι απλό στη κατασκευή και χρήση του. Λέξεις κλειδιά : Προβλέψιμο, τυχαίο, δειγματικός χώρος, σχετική συχνότητα, κλασική πιθανότητα Α. Θεωρητικό υπόβαθρο Η προτεινόμενη δραστηριότητα αφορά την εισαγωγή στην έννοια της πιθανότητας ως ορίου της σχετικής συχνότητας, για τυχαία φαινόμενα με πεπερασμένο δειγματικό χώρο και ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Ουσιαστικά για την κατανόηση του νόμου των μεγάλων αριθμών. Ο νόμος των μεγάλων αριθμών και η βασιζόμενη σε αυτόν θεμελίωση της έννοιας της πιθανότητας, θεωρούμε ότι είναι μια από τις καταλληλότερες έννοιες που μπορούν να εισαχθούν μέσω παιγνιώδους δραστηριότητας και όχι απλής πληροφορίας. Β. Διδακτικό υπόβαθρο Σχετικά με το ρόλο των παιχνιδιών και των εκθεμάτων ως προκλήσεων στη διδασκαλία των Μαθηματικών μέσα κι έξω από την τάξη γίνεται αναφορά στο : Challenging Mathematics in and beyond the classroom, Icmi Study 16: (2009). Θεωρούμε σκόπιμο να αναφερθούμε στο διδακτικό περιβάλλον, τις διδακτικές καταστάσεις και τις βασικές διαφοροποιήσεις των παραμέτρων της όλης διδακτικής «νοόσφαιρας» που θα πρέπει να έχει κατά νου ο διδάσκων, όταν χρησιμοποιεί για τη διδασκαλία του παιχνίδια και αλληλεπιδραστικά εκθέματα (ΑΕ), ώστε να έχει την ικανότητα και δυνατότητα παρέμβασης, διότι η όλη διαδικασία υπάρχει κίνδυνος να εκτραπεί σε ένα παιχνίδι χωρίς διδακτική χρησιμότητα και γενικά απώλεια του ελέγχου της τάξεως. Επισημαίνουμε εν συντομία βασικές παραμέτρους οι οποίες επηρεάζονται σε μια τέτοια διαδικασία : Β1.Συνυπευθυνότητα Η μεταβίβαση μεγάλου μέρους της υπευθυνότητας του δασκάλου στους μαθητές για την αναζήτηση της γνώσης σωστά έχει τονισθεί και είναι η αρχή για μια επιτυχημένη πορεία προς την αναζήτηση της γνώσης. Μια τέτοια μεταβίβαση από τον καθηγητή και αντίστοιχη αποδοχή της συνυπευθυνότητας από τους μαθητές είναι πιο εύκολη σε ένα περιβάλλον που χρησιμοποιεί παιγνιώδεις κατασκευές. Ο καθηγητής καλεί τους μαθητές ουσιαστικά να παίξουν ένα παιχνίδι γνώσης. 1

Β2.Διατύπωση αληθινά πραγματικού προβλήματος από τους ίδιους τους μαθητές και όχι ενασχόληση με πραγματικό πρόβλημα που αφηγείται ο καθηγητής στους μαθητές. Η αξία της λύσης προβλημάτων και μάλιστα πραγματικών προβλημάτων (problem solving, and real problem solving) είναι πλέον πέραν πάσης αμφισβήτησης στη Διδακτική των Μαθηματικών. Οι μαθηματικές έννοιες προκύπτουν ως προϊόντα ανάγκης της ανθρώπινης σκέψης για την επίλυση προβλημάτων, τα οποία όμως διαμορφώνονται από την αλληλεπίδραση των ίδιων των μαθητών με «χειροπιαστά αντικείμενα» και όχι από τους διδάσκοντες καθηγητές όπως κατά κανόνα σε ένα παραδοσιακό μάθημα. Β3. Αβεβαιότητα (uncertainty) Η χρησιμότητα της αβεβαιότητας ως δυναμικής διδακτικής κατάστασης αναγκαίας (αλλά όχι και ικανής) για την ανάπτυξη της σκέψης έχει επισημανθεί από τον Piazet, τον Dweey αλλά και την Zaslavsky (2005). Η κατάσταση που προκαλεί αμφιβολία, δισταγμό, κλονισμό της πίστης στις υπάρχουσες γνώσεις και κυρίως στις αισθήσεις είναι μια νοητική πρόκληση, μια ανισορροπία (disequilibrium, κατά τον Piazet) η οποία τείνει να αποκατασταθεί ακριβώς με την αναζήτηση της γνώσης εκείνης που θα επαναφέρει την ισορροπία. Η αβεβαιότητα στοχεύει πλην των άλλων στην συμμόρφωση και όχι στην αφομοίωση ασύνδετης συσσωρευμένης ύλης. Το παιχνίδι με ένα ΑΕ ενεργεί ακριβώς έτσι. Μια άγνωστη κατασκευή, ένα παιχνίδι που προκαλεί κάποιον να παίξει μαζί του, τον οδηγεί να βιώσει αυτήν ακριβώς την αβεβαιότητα και να αισθανθεί την ανάγκη ελέγχου του, άρα τη γνώση του λόγου της ύπαρξης και κατασκευής του. Όλα τα προηγούμενα έχουν και την αρνητική τους επίπτωση αν δεν χειρισθούν κατάλληλα με κυριότερο τον παράγοντα χρόνο. Είναι προφανές ότι τέτοιες διαδικασίες απαιτούν περισσότερο χρόνο από μια παραδοσιακή διδασκαλία, και χρειάζεται μια συνεχής εγρήγορση και διαχείριση του χρόνου ώστε ούτε να εκπέσει σε μια παρουσίαση χωρίς ενεργό συμμετοχή των μαθητών αλλά ούτε και σε μια ατέμονα διαδικασία χωρίς κατάληξη στους επιθυμητούς διδακτικούς στόχους. Γ. Περιγραφή του παιχνιδιού Πρόκειται για ένα απλό «μπιμπερό» στο εσωτερικό του οποίου εισάγουμε πλαστικά σφαιρίδια «χάντρες» ίδιας κατασκευής αλλά διαφορετικού χρώματος. Π.χ. 2 κίτρινα και 1 πράσινο. Το στόμιο είναι κατάλληλα διασκευασμένο ώστε κατά την αναστροφή του «μπιμπερό», να εμφανίζονται στο στόμιο, μόνο δύο από τα πλαστικά σφαιρίδια που έχουμε τοποθετήσει στο εσωτερικό του. 2

Το ζητούμενο από τους μαθητές είναι να προβλέψουν, τι ζεύγος πρόκειται να εμφανισθεί με μεγαλύτερη συχνότητα : Ζεύγος του ιδίου χρώματος (ΚΚ) η ζεύγος με διαφορετικό χρώμα (ΚΠ, ΠΚ). Η έννοια που υποκρύπτεται από την ερώτηση είναι φυσικά η έννοια της σχετικής συχνότητας. Πριν την διεξαγωγή του παιχνιδιού εισάγεται ένας προβληματισμός (που αφορά και τη διερεύνηση των προυπαρχουσών αντιλήψεων) : Όλοι έχουν ακούσει ότι η «πιθανότητα» στη ρίψη νομίσματος είναι «ένα προς ένα» ή «πενήντα πενήντα». Τι σημαίνει στην πράξη αυτό; Αν ρίξουμε ένα νόμισμα δυο φορές θα φέρει τη μια κορόνα και την άλλη γράμματα; Αντίστοιχα αν το ρίξουμε 100 φορές θα εμφανιστούν 50 φορές κορόνα και 50 γράμματα; Επίσης τι σημαίνει ότι ο άσσος έχει στο ζάρι «πιθανότητα» εμφάνισης 1 προς 6; Φυσικά δεν πρόκειται να υπάρξουν ορθές απαντήσεις, από μαθητές που δεν έχουν διδαχθεί και κατανοήσει το νόμο των μεγάλων αριθμών. Στο σημείο αυτό είναι αρκετά χρήσιμο και ανάλογα με το νοητικό επίπεδο των μαθητών να συζητηθεί η διάκριση των φαινομένων σε αιτιοκρατικά (προβλέψιμα) και σε τυχαία (μη προβλέψιμα) και οι όροι a priori και a posteriori. Tο ερώτημα που τίθεται αφορά στην εκ των προτέρων πρόβλεψη για ένα τυχαίο φαινόμενο. Μπορεί να προβλεφθεί κάτι για ένα τυχαίο φαινόμενο; Οι συνήθεις, καταρχήν διαισθητικές απαντήσεις στηρίζονται σπάνια σε σωστούς συλλογισμούς. Και αυτό γιατί οι μαθητές, είτε έχουν είτε όχι διδαχθεί την έννοια του δειγματικού χώρου, δεν προσανατολίζουν τη σκέψη τους προς τα εκεί. Έτσι οι δύο συνηθέστερες απαντήσεις είναι : α) «Αφού έχουμε δυο κίτρινες χάντρες και μια πράσινη, σαφώς θα υπερτερήσουν οι κίτρινες, άρα θα έχουμε μεγαλύτερο ποσοστό (ΚΚ) και μάλλον 2 προς 1, δηλ. 2/3 εμφανίσεις του ιδίου χρώματος και 1/3 διαφορετικού». 3

β) «Σίγουρα θα εμφανισθεί μια κίτρινη, άρα μένουν μία πράσινη και μία κίτρινη, άρα θα έχουμε αναλογία εμφάνισης 1-1 ή ποσοστό 50 τοις εκατό εμφανίσεις του ιδίου χρώματος και 50 τοις εκατό διαφορετικού χρώματος». Στη συνέχεια καλούνται να παίξουν πειραματισθούν, αναδεύοντας και αναποδογυρίζοντας το μπιμπερό από 30 έως 60 φορές και να καταγράψουν τα αποτελέσματα. Ένας μαθητής καταγράφει σε ένα πίνακα με δυο στήλες τα αποτελέσματα της διαδοχικής εκτέλεσης του πειράματος από τους συμμαθητές του. Ίδιο χρώμα Διαφορετικό χρώμα Ένας δεύτερος μαθητής καταγράφει σε έναν άλλο πίνακα το πηλίκο του αριθμού των εμφανίσεων ζευγών ίδιου χρώματος προς το συνολικό αριθμό επαναλήψεων και το πηλίκο των εμφανίσεων των ζευγών διαφορετικού χρώματος προς το συνολικό εκάστοτε αριθμό επαναλήψεων : Αριθμός επανάληψης Ίδιο χρώμα / σύνολο Διαφορετικό χρώμα/ σύνολο 1 2 3 4 5 59 19/60 40/60 60 19/60 41/60 Μέχρι τις πρώτες 30 επαναλήψεις είναι φανερή η μεγαλύτερη συχνότητα εμφάνισης σφαιριδίων με διαφορετικό χρώμα, παρά με το ίδιο, ενώ από τις 60 επαναλήψεις και άνω η συχνότητα αρχίζει και σταθεροποιείται. Τα ζεύγη με διαφορετικό χρώμα είναι περίπου διπλάσια αυτών με το ίδιο χρώμα. Ίδιο χρώμα Διαφορετικό χρώμα Ποια είναι η εξήγηση; Και θα συνεχισθεί αυτή η περίπου αναλογία 1 προς 2 αν συνεχισθεί η διαδικασία, ή μπορεί και να αλλάξει; Τα αποτελέσματα είναι τελείως διαφορετικά των προβλέψεών τους: συχνότητα 2/3 για ζεύγος διαφορετικού χρώματος και 1/3 για ζεύγος του ιδίου χρώματος. Τα αποτελέσματα αυτά προκαλούν μια σοβαρή έκπληξη - πρόκληση. Πρόκληση αναζήτησης της σωστής ερμηνείας του φαινομένου και ελέγχου του παιχνιδιού. Την έκπληξη αυτή μετατρέπουμε διδακτικά σε μια ευκαιρία να συζητήσουμε μαζί τους, μια πιο λογική απάντηση που βέβαια στηρίζεται στην ορθή καταγραφή του δειγματικού χώρου και στην εισαγωγή στην έννοια της σχετικής συχνότητας και κλασικής πιθανότητας. Στην ερώτηση τώρα αν θα μπορούσαν να καταγραφούν οι δυνατές εμφανίσεις των ζευγών στο ανεστραμμένο στόμιο (ουσιαστικά ο δειγματικός χώρος) οι απαντήσεις είναι ωριμότερες. Αρκετοί παρατηρητικοί μαθητές δε μιλούν πλέον για αποτελέσματα «κιτρινο-κίτρινο» και 4

«κιτρινο-πράσινο» ζεύγος όπως στην αρχή, αλλά διακρίνουν τα δύο κίτρινα σφαιρίδια. Τα ονομάζουν Κ1 και Κ2 οπότε από προκύπτει το επόμενο σύνολο δυνατών αποτελεσμάτων : Ω = {Κ1Κ2, Κ2Κ1, ΠΚ1, ΠΚ2, Κ1Π, Κ2Π} Στο σημείο αυτό μπορούμε να ανοίξουμε το δοχείο και με ένα μαρκαδόρο να σημειώσουμε 1 και 2 στα δύο κίτρινα σφαιρίδια, ώστε να γίνει κατανοητή η παρατήρηση από όλους τους μαθητές. K2 K1 K1 K1 K2 Π K2 Π Π Π K1 K2 Είναι φανερό ότι τα ζεύγη ιδίου χρώματος είναι 2 σε σύνολο 6, ενώ τα διαφορετικού χρώματος είναι 4 σε σύνολο 6. Οι δυνατότητες εμφάνισης είναι ισότιμες άρα και το φαινόμενο είναι φυσικό να εξελιχθεί προς αυτήν την κατεύθυνση. Στο σημείο αυτό μπορούμε να εισάγουμε ένα επιπλέον πράσινο σφαιρίδιο ίδιας κατασκευής με τα προηγούμενα και να ζητήσουμε από τους μαθητές την a priori πρόβλεψη και ανάλογα με το διατιθέμενο χρόνο την πειραματική επαλήθευση για μια σειρά ενδεχόμενα. Επίσης μπορούμε (σε σχέση με τους διδακτικούς στόχους για την ηλικία των μαθητών) να αφαιρέσουμε το ένα πράσινο σφαιρίδιο και να εισάγουμε άλλο επίσης πράσινο ίδιου όγκου αλλά από βαρύτερο υλικό, π.χ. από μεταλλικό. O a priori υπολογισμός είναι αδύνατος φυσικά και μόνο posteriori, μετά από ικανό αριθμό επαναλήψεων μπορούμε να οδηγηθούμε στην πιθανότητα ως όριο της σχετικής συχνότητας. 5

Οι έννοιες της σχετικής συχνότητας, του δειγματικού χώρου, των ενδεχομένων και της κλασικής πιθανότητας στην περίπτωση ισοπίθανων ενδεχομένων, καθώς και της πιθανότητας ως ορίου της σχετικής συχνότητας προκύπτει έτσι αβίαστα και με ένα παιγνιώδη και ευχάριστο διδακτικά τρόπο. Φυσικά θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί και ένα νόμισμα ή ένα ζάρι. Και στις δυο περιπτώσεις όμως υπάρχουν τεχνικές δυσκολίες. Πολλά παιδιά, δεν ρίχνουν το νόμισμα αμερόληπτα, ενώ στην περίπτωση του ζαριού χρειάζεται μεγάλος αριθμός επαναλήψεων ώστε να αρχίσει να σταθεροποιείται η σχετική συχνότητα. Συμπληρωματικά του παραπάνω παιχνιδιού διαθέτουμε και ένα ομοίωμα ρουλέτας, με το οποίο εκτός των άλλων οι μαθητές διακρίνουν τα απλά και σύνθετα ενδεχόμενα (ζυγά μονά, μαύρο κόκκινο κλπ). Δ. Συζήτηση Οι ηλικίες στις οποίες έχουμε εφαρμόσει τη δραστηριότητα - παιχνίδι είναι 12-16 κυρίως ετών. Για την ηλικία αυτή δεν τίθεται κανένα θέμα ικανότητας ανάπτυξης της στοχαστικής σκέψης των παιδιών. Το θέμα αυτό ερευνάται για τις μικρότερες ηλικίες όπως φαίνεται από την παρατιθέμενη αρθρογραφία. Συγκεκριμένα οι αρχικές μελέτες σχετικά με την ανάπτυξη της πιθανολογικής σκέψης από τα παιδιά ήταν μάλλον απαισιόδοξες όσον αφορά στις δυνατότητες παιδιών του νηπιαγωγείου και 6

των πρώτων τάξεων του δημοτικού (Piaget, & Inhelder, 1975). Μεταγενέστερες μελέτες (Falk & Levin 1980, Fischbein, & Schnarch, 1997, Jones et al, 1999) δείχνουν ότι υπάρχουν σημαντικά περιθώρια για την υλοποίηση μαθησιακών δραστηριοτήτων για τις πιθανότητες κατάλληλων για μικρά παιδιά και κυρίως ότι είναι σημαντική η εμπλοκή των νηπίων σε τέτοιες εμπειρίες ώστε να αναπτύξουν σταδιακά και ευκολότερα τυπική πιθανολογική σκέψη σε μεγαλύτερες ηλικίες. (Φεσάκη, Καφούση, Σκουμπουρδή, 2008). Στο NCTM 200 θεωρείται χρήσιμη και αναγκαία η εισαγωγή των πιθανοτήτων από τις μικρές τάξεις του Δημοτικού, σε επίπεδο χρήσης πιθανολογικών εκφράσεων κάτι που ερευνούν σε σχετική τους εργασία οι Καλαβάσης και Σκουμπουρδή (2003). Οι Γαγάτσης και Σταυροπούλου έχουν πειραματιστεί και καθώς αναφέρουν με επιτυχία σε μαθητές Δ Δημοτικού για την εισαγωγή των μαθητών στις πιθανότητες με το λογισμικό «Probability Explorer». Το θέμα επομένως δεν είναι αν πρέπει να διδάσκονται οι πιθανότητες από το Δημοτικό σχολείο αλλά σε ποιο βάθος και με ποιον τρόπο. Η επισήμανση των Χατζηπαντελή, Γκάσταρη (1995) ότι οι μαθητές έχουν μια τάση να ανταποκρίνονται στα προβλήματα μαθηματικής φύσεως ανατρέχοντας σε τύπους και αλγοριθμικές διαδικασίες που έχουν συναντήσει σε παρόμοια προβλήματα προτού καν σχηματίσουν καθαρή εικόνα του προβλήματος, ενώ δεν ανταποκρίνονται σε προβλήματα στα οποία υπεισέρχονται νέες και κυρίως πραγματικές καταστάσεις νομίζουμε ότι είναι ακόμα επίκαιρη. Και οφείλεται στο ότι στις κλασικές φυσικομαθηματικές επιστήμες μελετούμε τα φαινόμενα αντικαθιστώντας τα με ένα θεωρητικό ντετερμινιστικό μοντέλο, δίνοντας έτσι όμως μια αποσπασματική άποψη της πραγματικότητας, αφού δεν υπάρχει στην ουσία φυσικό φαινόμενο το οποίο να μην επηρεάζεται από τυχαίες παραμέτρους. Παρότι δεν έχουμε πειραματιστεί με την ηλικία των μαθητών Δημοτικού οι διδακτικές εφαρμογές σε μαθητές των πρώτων τάξεων του Γυμνασίου έδειξαν ένα έδαφος πρόσφορο για την εγγραφή σοβαρών υποθηκών για τη μετέπειτα στο Λύκειο ή το πανεπιστήμιο αυστηρή εισαγωγή στην έννοια της πιθανότητας. Μαθητές επίσης που διδάχτηκαν (πολύ σπάνια) σε στοιχειώδες επίπεδο από το Δημοτικό στο να διακρίνουν το προβλέψιμο από το τυχαίο, το βέβαιο από το πιθανόν και άλλες πιθανολογικές εκφράσεις, δείχνουν μεγαλύτερη ωριμότητα στην εισαγωγή στην έννοια της πιθανότητας. Στο ερωτηματολόγιο αξιολόγησης επισυνάπτουμε μεταξύ άλλων ερωτήματα εύρεσης δειγματικού χώρου σε πειράματα τύχης καθώς και ερωτήματα ταξινόμησης φαινομένων σε τυχαία και προκαθορισμένα. Οι επιτυχείς απαντήσεις κυμαίνονται σε ποσοστό άνω του 70%, ενώ οι ορθές απαντήσεις στο ίδιο ερωτηματολόγιο πριν τη διεξαγωγή της διδασκαλίας δεν υπερβαίνουν το 20%. Σύγκριση επίσης με κλασική διδασκαλία σε σχολική τάξη των ίδιων διδασκόντων χωρίς τη χρήση των ΑΕ δίνει ποσοστό ορθών απαντήσεων περίπου 50%, κάτι που αναδεικνύει τη δύναμη των ΑΕ ως μέσων διδασκαλίας. Στην Ελλάδα η πρώτη πραγματική επαφή με την έννοια της πιθανότητας γινόταν τα τελευταία χρόνια στη Γ Λυκείου, ενώ από εφέτος άρχισε να διδάσκεται στην Α Λυκείου, παρότι στο αναλυτικό πλαίσιο σπουδών προβλέπεται μια στοιχειώδης εξοικείωση με την έννοια από το Δημοτικό και κατόπιν μια εισαγωγή στη Γ Γυμνασίου. Πεποίθησή μας είναι ότι μπορεί και πρέπει να διδάσκεται ενωρίτερα. Φυσικά η διδασκαλία των πιθανοτήτων παρουσιάζει ιδαιτερότητες και δυσκολίες, αυτό όμως δεν είναι λόγος να μην έρχονται ενωρίς οι μαθητές σε επαφή με την έννοια της στοιχειώδους απλής πιθανότητας. 7

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ - ΑΝΑΦΟΡΕΣ Edward J. Barbeau, Peter J. Taylor (Editors) (2009) : Challenging Mathematics in and beyond the classroom, Icmi Study 16, Springer. Orit Zaslavsky (2005), Seizing the Opportunity to Create Uncertainty in Learning Mathematics, in Educational Studies in Mathematics, 60, p. 297-321 Mokaeane V. Polaki, Using Instruction to Identify Key Features of Basotho Elementary Students Growth in Probabilistic Thinking, Mathematical Thinking and Learning, 4:4, 285-313. Pratt Dave: Shaping the Experience of Young and Naïve Probabilists, ICME 11, TSG 13, Monterrey, Mexico, 2008 Piaget, J., & lnhelder, B. (1975) : The origin of the idea of chance in children. Routledge & Kegan Paul. Efi Paparistodemou, Despina Potari, Demetra Pitta, Prospective teachers awareness of young children s Stochastic activities, ICOTS-7, 2006 Φεσάκης, Καφούση, Σκουμπουρδή (2008) : Δημιουργώντας στοχαστικές εμπειρίες για την εξέλιξη των διαισθητικών αντιλήψεων νηπίων με τη βοήθεια διαδικτυακών μικρόκοσμων. 6ο Πανελλήνιο συνέδριο, οι ΤΠΕ στην εκπαίδευση, Κύπρος 25-28 Σεπ 2008. Σταυροπούλου, Γαγάτσης : Στατικές και δυναμικές αναπαραστάσεις : η περίπτωση των πιθανοτήτων, 9ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου. Χατζηπαντελής Θ. και Γκάσταρης, Π. (1995): «Εννοιολογικές δυσκολίες και εσφαλμένες αντιλήψεις στις Πιθανότητες και στη Στατιστική» Ευκλείδης Γ 43 σελ 35-68 Καφούση, Σ. & Σκουμπουρδή, Χ. (2002) : Οι ικανότητες των παιδιών στην έννοια της πιθανότητας όταν έρχονται στο νηπιαγωγείο. 15ο Πανελλήνιο Συνέδριο Στατιστικής, 339-346, Ιωάννινα. Σκουμπουρδή, Χ. & Καλαβάσης, Φ. (2003): Η εξέλιξη της σκέψης των παιδιών του δημοτικού όσον αφορά στις πιθανολογικές εκφράσεις. 20ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας: Η διαδρομή του παιδιού στα Μαθηματικά από την προσχολική ηλικία μέχρι την ενηλικίωση, 509-518, Βέροια. Σκουμπουρδή, Χ. & Καλαβάσης, Φ. (2004): Το διδακτικό υλικό στο κεφάλαιο των πιθανοτήτων της Γ τάξης του Δημοτικού: τρόπος κατανόησης και διαχείρισής του από μαθητές και δασκάλους. Στο Δ. Χασάπης (επιμ) Εικόνα, σχήμα και λόγος στη διδασκαλία των μαθηματικών 3ο Διήμερο Διαλόγου για τη Διδασκαλία των Μαθηματικών, 105-116, Copy City, Θεσσαλονίκη. papanik200@gmail.com, apapanik@sch.gr 8