Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής. Θεωρία Πιθανοτήτων. Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος

Transcript

1 Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής 1 Θεωρία Πιθανοτήτων Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος

2 2 Περιεχόμενα Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους

3 3 Πείραμα Tύχης Τι είναι πείραμα τύχης Είναι ένα πείραμα, του οποίου το αποτέλεσμα δεν είναι εκ των προτέρων γνωστό. Μία διαδικασία, η οποία κάθε φορά που επαναλαμβάνεται, κάτω από τις ίδιες θεωρητικά συνθήκες μπορεί να οδηγήσει σε περισσότερα από ένα αποτελέσματα.

4 4 Πείραμα Tύχης Αποτέλεσμα Πειράματος Τύχης Ότι προκύψει αν το πείραμα εκτελεστεί μία φορά.

5 5 Δειγματικός Χώρος Είναι το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης. Σύμβολο: S, Ω Π.χ. Για τη ρίψη των ενός ζαριού είναι: S={1, 2, 3, 4, 5, 6}

6 6 Ενδεχόμενο Ονομάζεται ένα υποσύνολο του δειγματικού χώρου ενός πειράματος τύχης. Σύμβολο: Α, Β, Παρατηρήσεις: Ως ενδεχόμενο μπορεί να είναι όλος ο δειγματικός χώρος, αλλά και το σύνολο που δεν περιέχει κανένα αποτέλεσμα του δειγματικού χώρου δηλαδή το Ø

7 7 Δειγματικός Χώρος - Ενδεχόμενο Δειγματικός Χώρος Ενδεχόμενο

8 8 Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία Μεταβλητή είναι η συνάρτηση που απεικονίζει τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Παράδειγμα στη ρίψη ενός κύβου αντιστοιχίζεται ένας αριθμός σε κάθε έδρα του και έτσι οι τιμές της τυχαίας μεταβλητής είναι x: 1, 2, 3, 4, 5, 6 στη ρίψη ενός νομίσματος αν το αποτέλεσμα κεφαλή αντιστοιχηθεί στο 0 και το γράμματα στο 1, οι τιμές της τυχαίας μεταβλητής είναι x: 0, 1

9 9 Τυχαία Μεταβλητή Διάκριση Τυχαίων Μεταβλητών Συνεχείς: είναι οι τυχαίες μεταβλητές που μπορούν να λάβουν όλες τις τιμές ενός διαστήματος, δηλ. άπειρες τιμές. Ασυνεχείς ή διακριτές: είναι οι τυχαίες μεταβλητές που λαμβάνουν πεπερασμένο αριθμό τιμών. Παραδείγματα Το ύψος, το βάρος, η θερμοκρασία, κ.λ.π. είναι συνεχείς μεταβλητές. Ο αριθμός ατόμων μιας οικογένειας, ο αριθμός των αυτοκινήτων που διέρχονται από ένα σημείο, ο αριθμός πελατών που εξυπηρετεί ένα κατάστημα κ.λ.π. είναι διακριτές μεταβλητές

10 10 Η έννοια της Πιθανότητας Κλασικός Ορισμός P A = E Δ = Πληθος ευνοικών περιπτώσεων του Ενδεχόμενου Α Πληθος δυνατών Περιπτώσεων Στατιστικός Ορισμός f P(A) = lim n n όπου f η συχνότητα και n o αριθμός των επαναλήψεων P A = Εμφανισεις Α Πληθος Επαναληψεων (μεγαλος αριθμός) Αξιωματικός Ορισμός P A = 0, 3

11 11 Αξιώματα των Πιθανοτήτων Αν Α ενδεχόμενο του δειγματικού χώρου S, τότε για το ενδεχόμενο Α ορίζεται το P(A) ως πιθανότητα πραγματοποίησης του ενδεχομένου Α, τέτοια ώστε: 0 P A 1 P(S)=1 Αν Α και Β δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα δηλαδή Α Β = τότε P A B = P A + P B Αν Α Β τότε P A B = P A + P B P A B

12 12 Τρόποι ορισμού Πιθανοτήτων Υπάρχουν τρεις τρόποι για τον ορισμό της πιθανότητας, P(Oi), για ένα αποτέλεσμα Oi ενός πειράματος τύχης, και συγκεκριμένα: Κλασική προσέγγιση: βασίζεται σε ισοπίθανα αποτελέ- σματα. Προσέγγιση σχετικής συχνότητας: η πιθανότητα καθορίζεται με βάση πειράματα ή ιστορικά δεδομένα. Υποκειμενική προσέγγιση: η πιθανότητα ορίζεται με βάση μια υποκειμενική εκτίμηση.

13 13 Κλασική Προσέγγιση Εάν ένα πείραμα έχει n δυνατά αποτελέσματα, η μέθοδος αυτή δίνει πιθανότητα 1/n σε κάθε αποτέλεσμα. Είναι απαραίτητο να καθοριστεί το πλήθος των δυνατών αποτελεσμάτων. Πείραμα: Ρίχνουμε ένα ζάρι Αποτελέσματα: {1, 2, 3, 4, 5, 6} Πιθανότητες: Κάθε αποτέλεσμα έχει πιθανότητα εμφάνισης ίση με 1/6.

14 14 Κλασική Προσέγγιση Πείραμα: Ρίχνουμε δύο ζάρια και παρατηρούμε το άθροισμα Αποτελέσματα: {2, 3,, 12} Παραδείγματα: P(2) = 1/3 P(6) = 5/3 P(10) = 3/36

15 15 Προσέγγιση Σχετικής Συχνότητας Πείραμα: Ρίχνουμε δύο ζάρια και παρατηρούμε το άθροισμα Αποτελέσματα: {2, 3,, 12} Παράδειγμα 10 ημέρες από τις 30 πουλήθηκαν 2 υπολογιστές την ημέρα Μπορούμε να κατασκευάσουμε τις πιθανότητες ενός ενδεχομένου (όπως το πλήθος των υπολογιστών που πωλούνται μια συγκεκριμένη ημέρα)

16 16 Προσέγγιση Σχετικής Συχνότητας Υπολογιστές που πουλήθηκαν # ημερών Υπολογιστές που πουλήθηκαν 0 1 1/30 = /30 = /30 = /30 = /30 =.17 = 1.00 Υπάρχει 40% πιθανότητα το κατάστημα να πουλήσει 3 υπολογιστές σε μια οποιαδήποτε ημέρα

17 17 Υποκειμενική Προσέγγιση Στην υποκειμενική προσέγγιση ορίζουμε την πιθανότητα ως το βαθμό πίστης που έχουμε στην εμφάνιση ενός ενδεχομένου Π.χ. μετεωρολογική πρόγνωση Π.Β. Η Πιθανότητα Βροχόπτωσης (ή Π.Β.) καθορίζεται με διαφορετικό τρόπο από κάθε μετεωρολόγο, καθώς ουσιαστικά είναι υποκειμενική πιθανότητα που στηρίζεται σε προηγούμενες παρατηρήσεις σε συνδυασμό με τις τρέχουσες καιρικές συνθήκες. Π.Β. 60% με βάση τις τρέχουσες συνθήκες, υπάρχει 60% πιθανότητα βροχής (υποθέτουμε).

18 18 Ερμηνεία Πιθανότητας Ανεξάρτητα από τον τρόπο με τον οποίο ορίζεται η πιθανότητα η ερμηνεία δίνεται με την προσέγγιση της σχετικής συχνότητας Για παράδειγμα, σε ένα παιχνίδι λόττο επιλέγονται 6 αριθμοί (από τους 49). Η κλασική προσέγγιση θα προέβλεπε την πιθανότητα εμφάνισης οποιουδήποτε αριθμού ως 1/49=2.04%. Η ερμηνεία που δίνουμε είναι ότι σε άπειρες επαναλήψεις του παιχνιδιού κάθε αριθμός θα εμφανιστεί στο 2.04% των αποτελεσμάτων.

19 19 Συνδυασμένη, Ολική, Δεσμευμένη Πιθανότητα Μελετάμε μεθόδους καθορισμού πιθανοτήτων ενδεχομένων που προκύπτουν από συνδυασμό άλλων ενδεχομένων με διάφορους τρόπους. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι συνδυασμού ενδεχομένων: Συμπληρωματικό ενδεχόμενο Τομή ενδεχομένων Ένωση ενδεχομένων Ασυμβίβαστα ενδεχόμενα Εξαρτημένα και ανεξάρτητα ενδεχόμενα

20 20 Συμπλήρωμα ενός Ενδεχομένου Το συμπλήρωμα του ενδεχομένου A ορίζεται ως το ενδεχόμενο που αποτελείται από όλα τα σημεία τα οποία δεν ανήκουν στο A. Για παράδειγμα, στο παραλληλόγραμμο βρίσκονται όλα τα πιθανά αποτελέσματα της ρίψης 2 ζαριών {(1,1), 1,2), (6,6)} Έστω A = οι ρίψεις που έχουν άθροισμα 7, δηλ. {(1,6), (2, 5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} P(Άθροισμα = 7) + P(Άθροισμα όχι ίσο με 7) = 1 Το συμπλήρωμα του A συμβολίζεται με A c P(A) + P(A c ) = 1

21 21 Τομή Δύο Ενδεχομένων Η τομή των ενδεχομένων A και B είναι το σύνολο των σημείων που ανήκουν και στο A και στο B. Η τομή συμβολίζεται: A και B (Α Β) Συνδυασμένη πιθανότητα των A και B ονομάζεται η πιθανότητα της τομής των A και B, δηλ. P(A και B) Α Β

22 22 Τομή Δύο Ενδεχομένων Για παράδειγμα, έστω A = οι ρίψεις στις οποίες το πρώτο ζάρι έδειξε 1 {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)} και B = οι ρίψεις στις οποίες το δεύτερο ζάρι έδειξε 5 {(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5)} Η τομή είναι {(1,5)} Η συνδυασμένη πιθανότητα του A και B είναι η πιθανότητα της τομής των A και B, δηλ. P(A και B) = 1/36

23 23 Ένωση Δύο Ενδεχομένων Η ένωση δύο ενδεχομένων A και B, είναι το ενδεχόμενο που περιέχει όλα τα σημεία τα οποία ανήκουν στο A ή στο B ή και στα δύο: Η ένωση των A και B συμβολίζεται: A ή B (Α Β)

24 24 Ένωση Δύο Ενδεχομένων Για παράδειγμα, έστω A = οι ρίψεις στις οποίες το πρώτο ζάρι έδειξε 1 {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)} και B οι ρίψεις στις οποίες το δεύτερο ζάρι έδειξε 5 {(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5)} Η ένωση των A και B είναι {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)} (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5)}

25 25 Ασυμβίβαστα ενδεχόμενα Όταν δύο ενδεχόμενα είναι ασυμβίβαστα (δηλαδή δεν μπορεί να συμβούν ταυτόχρονα), η συνδυασμένη πιθανότητά τους είναι 0, επομένως: Ισχύει Α Β=, όπου το αδύνατο ενδεχόμενο, το οποίο δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί. Ασυμβίβαστα ενδεχόμενα: δεν έχουν κοινά σημεία Για παράδειγμα A = ρίψεις με άθροισμα 7 και B = ρίψεις με άθροισμα

26 26 Δεσμευμένη Πιθανότητα Η δεσμευμένη πιθανότητα χρησιμοποιείται για να καθορίσουμε το πώς σχετίζονται δύο ενδεχόμενα, δηλαδή, μπορούμε να προσδιορίσουμε την πιθανότητα του ενός δεδομένου ότι ένα άλλο σχετικό ενδεχόμενο συμβαίνει. Η δεσμευμένη πιθανότητα γράφεται P(A B) και διαβάζεται η πιθανότητα του A δεδομένου του B και υπολογίζεται από τον τύπο: P A B = P A και Β P(B)

27 27 Παράδειγμα Γιατί κάποιοι διευθυντές αμοιβαίων κεφαλαίων είναι πιο επιτυχημένοι από άλλους; Ένας παράγοντας είναι το πανεπιστήμιο από το οποίο πήρε το MBA. Ο παρακάτω πίνακας καταγράφει την απόδοση των αμοιβαίων κεφαλαίων σε σχέση με την κατάταξη της σχολής από την οποία ο αντίστοιχος διευθυντής πήρε το MBA του: Απόδοση ανώτερη από το χρηματιστηριακό δείκτη Απόδοση κατώτερη από το χρηματιστηριακό δείκτη Top-20 MBA προγράμματα Άλλο MBA πρόγραμμα Π.χ. Αυτή είναι η πιθανότητα ένα αμοιβαίο κεφάλαιο να έχει απόδοση ανώτερη από το χρηματιστηριακό δείκτη ΚΑΙ ο διευθυντής του να ήταν σε ένα από τα top-20 MBA προγράμματα. Είναι μια συνδυασμένη πιθανότητα

28 28 Δεσμευμένη Πιθανότητα Εναλλακτικά, θα μπορούσαμε να συμβολίσουμε τα ενδεχόμενα ως: A1 = Διευθυντής αμ. κεφαλαίου που αποφοίτησε από ένα από τα top-20 MBA προγράμματα A2 = Διευθυντής αμ. κεφαλαίου που δεν αποφοίτησε από ένα από τα top-20 MBA προγράμματα B1 = Κεφάλαιο με απόδοση ανώτερη από το χρηματιστηριακό δείκτη B2 = Κεφάλαιο με απόδοση κατώτερη από το χρηματιστηριακό δείκτη B 1 B 2 A A Π.χ. P(A2 και B1) =.06 = η πιθανότητα ένα κεφάλαιο να έχει απόδοση ανώτερη από το χρηματιστηριακό δείκτη και ο διευθυντής του να μην προέρχεται από μια σχολή στις top-20.

29 29 Ολική Πιθανότητα Οι ολικές πιθανότητες υπολογίζονται αθροίζοντας τα στοιχεία γραμμών ή στηλών, δηλαδή υπολογίζονται στα περιθώρια του πίνακα: B 1 B 2 P(A i ) A A P(B j ) P(A2) = ποια είναι η πιθανότητα ένας διευθυντής να μην προέρχεται από καλή σχολή; P(B1) = ποια είναι η πιθανότητα ένα κεφάλαιο να αποδίδει καλύτερα από το χρημ. δείκτη; ΚΑΙ ΤΑ ΔΥΟ περιθώρια πρέπει να αθροίζονται στο 1

30 30 Δεσμευμένη Πιθανότητα Ποια είναι η πιθανότητα ένα κεφάλαιο να έχει απόδοση ανώτερη από τον χρηματιστηριακό δείκτη δεδομένου ότι ο διευθυντής του αποφοίτησε από ένα εκ των top-20 MBA προγραμμάτων; Υπενθυμίζουμε ότι: A1 = Διευθυντής αμ. κεφαλαίου που αποφοίτησε από ένα από τα top-20 MBA προγράμματα A2 = Διευθυντής αμ. κεφαλαίου που δεν αποφοίτησε από ένα από τα top-20 MBA προγράμματα B1 = Κεφάλαιο με απόδοση ανώτερη από το χρηματιστηριακό δείκτη B2 = Κεφάλαιο με απόδοση κατώτερη από το χρηματιστηριακό δείκτη Εμείς θέλουμε να μάθουμε την P(B1 A1)

31 31 Δεσμευμένη Πιθανότητα Πρέπει να υπολογίσουμε την P(B1 A1) B1 B2 P(Ai) A A P(Bj) P B1 A1 = P A1 και Β1 P(a1) = 0,11 0,40 = 0,275 Άρα, υπάρχει 27.5% πιθανότητα ένα κεφάλαιο να έχει απόδοση ανώτερη του χρηματιστηριακού δείκτη δεδομένου ότι ο διευθυντής του αποφοίτησε από ένα εκ των top-20 MBA προγραμμάτων

32 32 Ανεξαρτησία Ένα από τα ζητούμενα στον υπολογισμό δεσμευμένης πιθανότητας είναι να καθορίσουμε εάν δύο ενδεχόμενα συνδέονται. Ειδικότερα, θα θέλαμε να γνωρίζουμε εάν είναι ανεξάρτητα, δηλαδή, εάν η πιθανότητα ενός ενδεχομένου δεν επηρεάζεται από το αν συμβαίνει ή όχι το άλλο ενδεχόμενο. Δύο ενδεχόμενα A και B καλούνται ανεξάρτητα εάν P(A B) = P(A) ή P(B A) = P(B)

33 33 Ανεξαρτησία Για παράδειγμα, είδαμε ότι P(B1 A1) =.275 Η ολική πιθανότητα για το B1 είναι: P(B1) = 0.17 Αφού P(B1 A1) P(B1), τα B1 και A1 δεν είναι ανεξάρτητα ενδεχόμενα. Με άλλα λόγια, είναι εξαρτημένα. Δηλαδή, η πιθανότητα του ενός ενδεχομένου (του B1) επηρεάζεται από το αν συμβαίνει ή όχι το άλλο ενδεχόμενο (το A1).

34 34 Παράδειγμα Ένα μάθημα στατιστικής παρακολουθείται από επτά αγόρια και τρία κορίτσια. Ο καθηγητής θέλει να επιλέξει τυχαία δύο φοιτητές για να τον βοηθήσουν σε μια εργασία. Ποια είναι η πιθανότητα να επιλεγούν δύο κορίτσια; Έστω B το ενδεχόμενο ο δεύτερος φοιτητής που επιλέγεται να είναι κορίτσι P(B A) = 2/9 =.22 Δηλαδή, η πιθανότητα να επιλεγεί κορίτσι δεδομένου ότι έχει ήδη επιλεγεί ο πρώτος φοιτητής είναι 2 (κορίτσια) / 9 (εναπομείναντες φοιτητές) = 2/9

35 35 Ασκήσεις Ο υπεύθυνος πωλήσεων ενός καταστήματος κλιματιστικών, καταγράφει τις ημερήσιές πωλήσεις και έχει εκτιμήσει τις πιθανότητες που φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Καθορίστε το δειγματικό χώρου του πειράματος τύχης «πλήθος κλιματιστικών που θα πουληθούν αύριο. Ορίστε το ενδεχόμενο να πουληθούν περισσότερα από 2 κλιματιστικά αύριο και υπολογίστε την πιθανότητά του. Ποια είναι η πιθανότητα να πουληθούν 2-3 κλιματιστικά αύριο; Ποια είναι η πιθανότητα να πουληθούν 6 κλιματιστικά αύριο;

36 36 Ασκήσεις Ένα κατάστημα κατέγραψε τα ποσοστά του τρόπου πληρωμής των πελατών του, ανάλογα το συνολικό ποσό των αγορών τους: ΜΕΤΡΗΤΑ ΠΙΣΤΩΤΙΚΗ ΚΑΡΤΑ ΧΡΕΩΣΤΙΚΗ ΚΑΡΤΑ <30 5% 4% 4% % 22% 17% >150 9% 24% 12% Τι ποσοστό αγορών πληρώνεται με μετρητά; Να υπολογίστε την πιθανότητα μια αγορά άνω των 150 να πληρωθεί με πιστωτική κάρτα. Αν ξέρουμε ότι κάποιος πλήρωσε με πιστωτική κάρτα, ποια είναι η πιθανότητα το συνολικό ποσό των αγορών του να είναι κάτω από 30 ευρώ;

37 37 Ασκήσεις Ρίχνουμε ένα κέρμα 3 φορές. Να γραφεί ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος. α) Ποια η πιθανότητα να φέρουμε ακριβώς 2 κεφαλές; β) Ποια πιθανότητα να φέρουμε το πολύ 2 κεφαλές; γ) Ποια η πιθανότητα να φέρουμε 1 κεφαλή την πρώτη φορά; δ) Ποια η πιθανότητα να φέρουμε μόνο γράμματα και τις 3 φορές; Αν παίξουμε 3 φορές παιχνίδι με πιθανότητα 30% να κερδίσουμε κάθε φορά. Να γραφεί ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος. α) Ποια η πιθανότητα να κερδίσουμε ακριβώς 2 φορές; β) Ποια πιθανότητα να κερδίσουμε το πολύ 2 φορές; γ) Ποια η πιθανότητα να κερδίσουμε την πρώτη φορά;

38 38 Ασκήσεις Στην εταιρεία ΑΛΦΑ-ΒΗΤΑ, υπάρχουν 400 εργαζόμενοι και οι 120 καπνίζουν. Οι 150 είναι άνδρες και οι 80 απ αυτούς καπνίζουν. Υπολογίστε τις παρακάτω πιθανότητες για ένα εργαζόμενο που επιλέγεται στην τύχη. α) Ποια η πιθανότητα να είναι γυναίκα; β) Ποια η πιθανότητα να είναι άνδρας καπνιστής; γ) Ποια η πιθανότητα να είναι άνδρας ή να καπνίζει; δ) Ποια η πιθανότητα να καπνίζει δεδομένου ότι είναι γυναίκα; ε) Ποια η πιθανότητα να είναι γυναίκα δεδομένου ότι καπνίζει; Έστω τα ενδεχόμενα Α κα Β ενός δειγματικού χώρου Ω, τα οποία είναι ανεξάρτητα, και Ρ(Α)= 0,15 Ρ(Β)=0,45. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες: Ρ(όχι Α), Ρ(Α και Β), Ρ(Αή Β), Ρ(όχι Α και όχι Β), Ρ(Α Β)