of Teachers of Mathematics 2000, Department for Education and Employment s Standards and Effectiveness Unit 1997, Αναλυτικό

Transcript

1 Η ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΗΣ ΣΚΕΨΗΣ ΤΩΝ ΠΑΙ ΙΩΝ ΤΟΥ ΗΜΟΤΙΚΟΥ ΟΣΟΝ ΑΦΟΡΑ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΛΟΓΙΚΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ Χρυσάνθη Σκουµπουρδή Φραγκίσκος Καλαβάσης Στέφανου Καζούλη 15 & Πανεπιστήµιο Αιγαίου Ρόδος Λεωφόρος ηµοκρατίας Περίληψη Στην έρευνα που πραγµατοποιήθηκε έγινε προσπάθεια να µελετηθεί η εξέλιξη της σκέψης παιδιών του δηµοτικού σχολείου όσον αφορά στις πιθανολογικές εκφράσεις. Ο σκοπός της έρευνας ήταν να δηµιουργηθούν επίπεδα από τα οποία περνάει η πιθανολογική σκέψη των παιδιών και να καταγραφούν τα χαρακτηριστικά των επιπέδων αυτών. Από την ανάλυση των συνεντεύξεων παρατηρήθηκε ότι υπάρχει εξέλιξη στη σκέψη των παιδιών η οποία µπορεί να περιγραφεί σε τέσσερα επίπεδα. Συγκεκριµένα στο 1 ο αναγνωρίζουν, αλλά δε διαχωρίζουν τα βέβαια και τα αδύνατα γεγονότα, στο 2 ο διαχωρίζουν τα βέβαια, τα αδύνατα και τα πιθανά γεγονότα και δίνουν υποκειµενική αιτιολόγηση, στο 3 ο διαχωρίζουν τα βέβαια, τα αδύνατα και τα πιθανά γεγονότα, κάνουν λάθος επιλογή και την αιτιολογούν ποσοτικά και στο 4 ο διαχωρίζουν τα βέβαια, τα πιθανά και τα αδύνατα γεγονότα, κάνουν σωστή επιλογή και την αιτιολογούν ποσοτικά. Εισαγωγή Από τις απόψεις διακεκριµένων επιστηµόνων όπως των Piaget, Fischbein και Jones (Piaget & Inhelder 1975, Fischbein 1975, Jones et al. 1997) προκύπτει ότι τα παιδιά πρώτης σχολικής ηλικίας µπορούν µε κάποιο τρόπο να αντιληφθούν ορισµένες πιθανολογικές έννοιες και να αναπτύξουν στοιχειώδεις στοχαστικούς συλλογισµούς. Παράλληλα, από τις προτάσεις διαφόρων οργανισµών και Αναλυτικών Προγραµµάτων (National Council of Teachers of Mathematics 2000, Department for Education and Employment s Standards and Effectiveness Unit 1997, Αναλυτικό Πρόγραµµα Κύπρου 1997, Αναλυτικό Πρόγραµµα Ελλάδας 1987), υποστηρίζεται η εισαγωγή της Θεωρίας Πιθανοτήτων στο δηµοτικό σχολείο. Οι προτάσεις για την εισαγωγή της έννοιας συγκλίνουν στο ότι

2 πρέπει να γίνεται µε άτυπο τρόπο, µέσα από τη συζήτηση για πιθανά ή απίθανα γεγονότα που σχετίζονται µε τις εµπειρίες των παιδιών και βασίζονται στο εν εξελίξει λεξιλόγιό τους. Οι µαθητές σύµφωνα µε τους στόχους των Αναλυτικών Προγραµµάτων θα πρέπει να είναι ικανοί να συζητούν το βαθµό πιθανότητας χρησιµοποιώντας λέξεις όπως βέβαιο, εξίσου πιθανό και αδύνατο και µέσω οικείων γεγονότων χαρακτηρίζοντάς τα ως αδύνατα, απίθανα, πιθανά ή βέβαια (NCTM, 2000). Η αναγκαιότητα εισαγωγής των πιθανοτήτων στην πρωτοβάθµια εκπαίδευση είναι πραγµατοποιήσιµη και αυτό αποδεικνύεται από τα αποτελέσµατα των µελετών και ερευνών, των ψυχολόγων και των διδακτικών που δείχνουν ότι τα παιδιά έχουν την ικανότητα να κατανοήσουν βασικές έννοιες των πιθανοτήτων και ότι αυτή η ικανότητα ενισχύεται µε τη διδασκαλία. Οι περισσότερες σχετικές έρευνες που έχουν γίνει αφορούν στις αιτιολογήσεις που δίνουν οι µαθητές διαφορετικών ηλικιών σε πιθανολογικά θέµατα, στις στρατηγικές που χρησιµοποιούν για να λύσουν πιθανολογικά θέµατα, στις διαισθήσεις τους για τις πιθανότητες, στις εννοιολογικές δυσκολίες που υπάρχουν στη διδασκαλία των πιθανοτήτων και στις αντιλήψεις των δασκάλων για τις πιθανότητες. Καµία από τις έρευνες που έχουν γίνει δεν ασχολείται αποκλειστικά, µε τη χρήση των κατάλληλων πιθανολογικών εκφράσεων και την κατανόηση τους από τα παιδιά. Ως έµµεσα αποτελέσµατα συναντάµε κάποια σχόλια στην περιγραφή των εξελικτικών περιόδων του Piaget (Piaget & Inhelder, 1975) και στο πλαίσιο εξέλιξης της πιθανολογικής σκέψης των παιδιών του Jones και των συνεργατών του (Jones et al., 1997). Συγκεκριµένα ο Piaget αναφέρει ότι στην πρώτη, τη διαισθητική περίοδο (πριν την ηλικία των 7 ή 8 ετών) το παιδί είναι ανίκανο να διαχωρίσει τα βέβαια από τα πιθανά γεγονότα, ενώ στη δεύτερη περίοδο (7-11 ετών) αναγνωρίζει τη διαφορά µεταξύ βέβαιου και πιθανού γεγονότος, αλλά δεν µπορεί να το προσεγγίσει συστηµατικά όταν του δοθεί µία λίστα από παραδείγµατα. Από την άλλη µεριά ο Jones και οι συνεργάτες του, υποστηρίζουν ότι στο 1 ο επίπεδο (υποκειµενικό), τα παιδιά είναι ικανά: «να αναγνωρίζουν βέβαια και αδύνατα γεγονότα» και στο 3 ο επίπεδο (άτυπα ποσοτικό), «να διαχωρίζουν βέβαια, αδύνατα και πιθανά γεγονότα και να αιτιολογούν την επιλογή τους ποσοτικά». Η σηµαντικότητα των πιθανολογικών εκφράσεων για την εισαγωγή της έννοιας των πιθανοτήτων στο δηµοτικό σχολείο και η έλλειψη εξειδικευµένων ερευνών πάνω στο θέµα, µας οδήγησε στο να ασχοληθούµε

3 µε τη µελέτη της εξέλιξης της σκέψης παιδιών του δηµοτικού σχολείου όσον αφορά στις πιθανολογικές εκφράσεις και τη δηµιουργία σταδίων από τα οποία περνάει αυτή η σκέψη. Η έρευνα Η έρευνα πραγµατοποιήθηκε σε ένα εξατάξιο τυπικό δηµόσιο δηµοτικό σχολείο της πόλης της Ρόδου και είχε ως υποκείµενα 6 µαθητές από κάθε µία από τις έξι τάξεις (Σκουµπουρδή, 2003). Τα δεδοµένα της έρευνας αποτέλεσαν οι µαγνητοφωνηµένες συνεντεύξεις που βασίζονταν σε ηµι-δοµηµένο ερευνητικό εργαλείο µε επτά δραστηριότητες. Οι δραστηριότητες σχετίζονταν µε ρίψεις ζαριών και κερµάτων, κλήρωση µπάλας από σακούλα και γύρισµα τροχού. Συγκεκριµένα οι δραστηριότητες που δόθηκαν είχαν ως εξής: 1. Έριξα ένα ζάρι και ήρθε ο αριθµός Έριξα δύο ζάρια και το άθροισµα των αριθµών ήταν Έριξα ένα κέρµα και ήρθε κεφαλή. 4. Έριξα δύο κέρµατα και ήρθαν δύο κεφαλές 5. Από µια σακούλα µε 3 άσπρες και 3 µαύρες µπάλες έπιασα, µε κλειστά τα µάτια, µια άσπρη µπάλα. 6. Από µια σακούλα µε 1 µαύρη και 5 άσπρες µπάλες έπιασα, µε κλειστά τα µάτια, µια άσπρη µπάλα. 7. Γυρνάω το δείκτη σε τροχό που είναι χωρισµένος σε δύο ίσα µέρη: άσπρο και µαύρο και πετυχαίνω το άσπρο. Εκτός από τις δραστηριότητες, δίνονταν στους µαθητές και πιθανολογικές εκφράσεις που έπρεπε να διαλέξουν κατά περίπτωση. Οι πιθανολογικές εκφράσεις που χρησιµοποιήθηκαν στο ερευνητικό εργαλείο προέκυψαν µετά από έρευνα σχετική µε τα χαρακτηριστικά των πιθανολογικών δραστηριοτήτων (Athanassiadis, Skoumbourdi, Kalavassis, 2002) στην οποία διαπιστώθηκε η χρήση αντίστοιχων εκφράσεων για τις τάξεις του δηµοτικού. Συγκεκριµένα χρησιµοποιήθηκαν οι εκφράσεις: αδύνατο, µικρή πιθανότητα, ίση πιθανότητα, µεγάλη πιθανότητα και βέβαιο, για τις τάξεις Γ,, Ε, Στ και οι εκφράσεις ποτέ, µερικές φορές και πάντα για τις τάξεις Α και Β. Στη Β τάξη τα παιδιά περάσανε και σε επόµενο στάδιο όπου η έκφραση µερικές φορές, χωρίστηκε στις εκφράσεις λίγες φορές, ίδιες φορές και πολλές φορές. Τα αποτελέσµατα της έρευνας Μέσα από την ανάλυση των συνεντεύξεων των µαθητών, έγινε προσπάθεια καταγραφής της εξέλιξης της σκέψης των παιδιών του

4 δηµοτικού όσον αφορά στις πιθανολογικές εκφράσεις. Από την πρώτη ανάλυση των συνεντεύξεων των µαθητών προέκυψαν κάποιες ιδιαιτερότητες στη χρήση των πιθανολογικών εκφράσεων όπως το ότι: - Πολλά παιδιά χρησιµοποιούσαν τη µεγάλη και τη µικρή πιθανότητα στη θέση της ίσης πιθανότητας και το αντίθετο ή τη µικρή αντί της µεγάλης πιθανότητας ή τη βεβαιότητα αντί της µεγάλης πιθανότητας, - δε διαχώριζαν τα αδύνατα και τα βέβαια γεγονότα από τα πιθανά, - υποστήριζαν ότι αφού κάποιο γεγονός δεν είναι βέβαιο τότε υπάρχει µικρή πιθανότητα να συµβεί ή αφού δε συµβαίνει πάντα κάποιο γεγονός τότε είναι αδύνατο να συµβεί και - για τις αιτιολογήσεις τους πολλές φορές χρησιµοποιούσαν υποκειµενικές απαντήσεις. Οι παραπάνω πολύ γενικές και αλληλοκαλυπτόµενες κατηγορίες, µετά από περαιτέρω µελέτη: των απαντήσεων των µαθητών, των επιπέδων που προτείνουν οι Piaget & Inhelder καθώς και του πλαισίου πιθανολογικής σκέψης των παιδιών, του Jones και των συνεργατών του, συνοψίστηκαν στα παρακάτω τέσσερα προτεινόµενα επίπεδα κατανόησης και χρήσης πιθανολογικών εκφράσεων: Στο Επίπεδο 1, ανήκουν οι µαθητές (συνήθως της Α, Β και Γ τάξης) που δε διαχωρίζουν τα βέβαια και τα αδύνατα γεγονότα από εκείνα που είναι πιθανό να συµβούν. Υπάρχουν µαθητές που από τις απαντήσεις και τις αιτιολογήσεις τους φαίνεται να αναγνωρίζουν, αλλά να µη διαχωρίζουν τα βέβαια και τα αδύνατα γεγονότα.. Σε πολλές περιπτώσεις τα παιδιά χρησιµοποιούν τη βεβαιότητα αντί της ίσης ή της µικρής πιθανότητας απλά και µόνο για να δείξουν ότι είναι πιθανό να συµβεί. εν είναι σπάνια και η περίπτωση της χρήσης της αδυναµίας ή της βεβαιότητας στη θέση της µικρής ή της µεγάλης πιθανότητας ανάλογα µε το βαθµό πίστης του υποκειµένου για το συγκεκριµένο γεγονός. Οι απατήσεις των παιδιών έχουν ως εξής (µέσα στην παρένθεση βρίσκεται ο αύξων αριθµός της δραστηριότητας): Β3: «βέβαιο γιατί µπορεί να έρθει» (3) Β5: «πάντα, γιατί µπορεί να βγει γράµµα» (3) Β3: «βέβαιο γιατί µπορούµε να ρίξουµε δύο κέρµατα, αλλά µπορεί να πάει και το ένα κεφαλή και το άλλο κεφαλή, όχι µόνο γράµµατα» (4) Β1: «βέβαιο, γιατί αφού έπιασε τη µία είναι βέβαιο που την έπιασε» (5) Γ5: «αδύνατο, γιατί δε βγαίνει πάντα άσπρη µπάλα» (5)

5 Β3: «νοµίζω πως ποτέ δε θα γίνει αυτό να είναι πέντε άσπρες µπάλες και µια µαύρη και να πιάσω µια άσπρη και να µην πιάσω δηλαδή τη µαύρη που είναι µόνο µία και να πιάσεις την άσπρη που είναι πέντε οι άσπρες!!!» (6) Β5: «πάντα, γιατί αυτή τη µπάλα πώς θα την πιάσει που είναι µία;» (6) Γ5: «αδύνατο, γιατί δεν µπορεί να γίνει γιατί έχει µπάλες που είναι µαύρες είναι αδύνατο να συµβεί αυτό το πράγµα και θα το βάλω µπ» (6) Στο Επίπεδο 2 ανήκουν οι µαθητές (συνήθως της Β και Γ τάξης) που διαχωρίζουν τα βέβαια, αδύνατα και πιθανά γεγονότα, αλλά προσπαθώντας να αιτιολογήσουν την απάντησή τους χρησιµοποιούν υποκειµενική αιτιολόγηση. Συγκεκριµένα λένε: Β1:«σπάνια γίνεται γιατί δεν ξέρεις άµα το ρίξεις πόσο µπορεί να φέρει» (1) Στ3: «ίση πιθανότητα, γιατί όταν παίζω µονόπολη µου τυχαίνει» (1) Β3: «λίγες φορές, γιατί µπορεί να τύχει, αλλά µπορεί και να µην τύχει» (3) Γ1: «συχνά γιατί µπορεί να γίνει αυτό το πράγµα, γιατί όταν ρίξεις δεν µπορείς να ξέρεις πώς θα έρθει.» (3) Στ3: «απάντησα µεγάλη πιθανότητα, γιατί όλο κεφαλή µου τυχαίνει» (3) Β3: «λίγες φορές, γιατί το να έχεις µια σακούλα µε 3 άσπρες και 3 µαύρες µπάλες µπορεί να πιάσεις και την άσπρη, αλλά µπορεί να πιάσεις και τη µαύρη, δεν είναι τίποτα που εµείς να το απαγορεύουµε να µην πιάνουµε τη µαύρη» (5) Γ1: «πολλές φορές, εγώ άµα ήµουν µε κλειστά τα µάτια θα µπορούσα να ξεχωρίσω αν ήτανε άσπρη» (5) Γ1: «µεγάλη πιθανότητα, γιατί αν έπιανα µια άσπρη από τις 5 άσπρες και δε µου άρεσε κάποιος άλλος θα είχε πάρει τη µαύρη» (6) Γ3: «συχνά γίνεται αυτό γιατί είσαι µε κλειστά τα µάτια και δεν ξέρεις τι θα πιάσεις» (6) Γ5: «µικρή πιθανότητα, γιατί µπορούµε να πιάσουµε τη µαύρη, αλλά µπορούµε να πιάσουµε και την άσπρη µπάλα» (6) Γ1: «συχνά, γιατί ο τροχός όταν γυρνάει σε ζαλίζει και δεν ξέρεις που θα το ρίξεις σπάνια, γιατί ο τροχός όταν γυρίζει δεν ξέρεις τι µπορεί να πετύχεις» (7) Στο Επίπεδο 3 ανήκουν οι µαθητές (συνήθως της Β, Γ και τάξης) που διαχωρίζουν τα βέβαια, αδύνατα και πιθανά γεγονότα, κάνουν λάθος επιλογή και την αιτιολογούν ποσοτικά µε τις παρακάτω εκφράσεις: Β5: «λίγες φορές, γιατί αν το ρίξεις θα έρθει κεφαλή και αν το ξαναρίξεις θα βγει το από πίσω» (3) Γ3: «έβαλα µικρή πιθανότητα, γιατί µπορεί να έρθει και γράµµατα» (3)

6 4: «µεγάλη πιθανότητα, γιατί ή κεφαλή θα έρθει ή γράµµατα» (3) Β1: «συχνά, γιατί µπορεί να έρθει αυτό γράµµατα και αυτό κεφαλή» (4) Γ3: «ίση πιθανότητα, γιατί ήταν δύο κέρµατα και µπορούσαν να έρθουν ΚΚ, ΓΓ και ΚΓ γι αυτό» (4) 1: «ίση πιθανότητα, γιατί θα µπορούσαν να έρθουν δύο γράµµατα» (4) 3: «ίση πιθανότητα, γιατί ας πούµε ρίχνεις δύο κέρµατα και σου βγαίνουν 2 κεφαλές είναι ίση πιθανότητα, γιατί µπορεί να ρίξεις τα κέρµατα και να σου βγουν 2 γράµµατα ή ένα γράµµα και µία κορώνα ή το αντίθετο» (4) 5: «µεγάλη πιθανότητα, γιατί αφού έριξα δύο κέρµατα και ήρθαν κεφαλές, δύσκολο να έρθουν και στα δύο κεφαλές, µπορεί να έρθει στο ένα κεφαλή και στο άλλο γράµµατα» (4) Β5: «λίγες φορές, γιατί άµα πιάσεις µέσα από τη σακούλα 3 άσπρες και 3 µαύρες µπάλες δε θα πετύχει το ίδιο» (5) Γ5: «µικρή πιθανότητα, γιατί µπορεί να πιάσουµε µια άσπρη µπάλα και µετά να ξαναπαίξουµε αυτό το παιχνίδι και να βγάλουµε µια µαύρη» (5) 5: «µεγάλη πιθανότητα, γιατί ήταν 3 και 3 και αφού έπιασα άσπρη µεγάλη πιθανότητα» (5) 3: «ίση πιθανότητα, γιατί έπιασε µία, γιατί η σακούλα είχε 5 άσπρες και 1 µαύρη µπάλα επειδή είχε άσπρες και µαύρες µπάλες µπορεί να πιάσω µία άσπρη ή µία µαύρη, είναι ίση πιθανότητα» (6) 4: «επειδή είχε άσπρες και µαύρες µπάλες µπορεί να πιάσω µία άσπρη ή µια µαύρη, είναι ίση πιθανότητα» (6) 5: «µικρή πιθανότητα, γιατί οι άσπρες ήταν 5 και η µαύρη ήταν 1, αν έπιανα µαύρη θα έλεγα µεγάλη πιθανότητα» (6) Στ3: «επειδή είναι πιο πολλές οι άσπρες έβαλα µικρή πιθανότητα» (6) Β3: «πολύ συχνά, γιατί µπορεί να πάµε στο άσπρο, αλλά µπορεί να πάµε και στο µαύρο και αυτό γίνεται συχνά λίγες φορές, γιατί µπορεί να πετύχει και το µαύρο, δεν είναι σίγουρο» (7) Γ5: «µικρή πιθανότητα, γιατί µπορούµε να πετύχουµε και το µαύρο και το άσπρο» (7) Στο Επίπεδο 4 ανήκουν οι µαθητές (συνήθως της Γ,, Ε και Στ τάξης) που διαχωρίζουν τα βέβαια, τα πιθανά και τα αδύνατα γεγονότα, κάνουν σωστή επιλογή και την αιτιολογούν ποσοτικά. Ο τρόπος αιτιολόγησης περιγράφεται παρακάτω: Β3: «λίγες φορές, γιατί µπορούµε να ρίξουµε ένα ζάρι και να γίνει 4, 5 ή 6 ας πούµε» (1) Γ1: «µικρή πιθανότητα, γιατί οι αριθµοί ενός ζαριού είναι πολλοί» (1) 5: «µικρή πιθανότητα, γιατί να έρθει ο αριθµός 3 και να µην έρθει ο

7 αριθµός 2; (1) Στ1: «επειδή στο ζάρι υπάρχουν πολλοί αριθµοί είναι µικρή πιθανότητα» (1) Β3: «ποτέ δεν µπορεί να γίνει 13» (2) Γ1: «αδύνατο, αυτό δε γίνεται ποτέ γιατί τα ζάρια τα δύο φτάνουν µέχρι το 12» (2) 1:«αδύνατο, γιατί τα ζάρια έχουν µέχρι 6 αριθµούς. 6+6 κάνει 12» (2) Ε1:«αδύνατο, όχι αυτό δε γίνεται γιατί ο µεγαλύτερος αριθµός στο ζάρι είναι το κάνει 12» (2) Στ3: «αδύνατο, γιατί µέχρι 12 µπορεί να έρθει» (2) Γ3: «έβαλα ίση πιθανότητα, γιατί µπορούσε να έρθει και γράµµατα» (3) 1: «ίση πιθανότητα, γιατί είναι δύο επιλογές και εγώ πήρα τη µία» (3) Ε5: «ίση πιθανότητα, γιατί µπορούσε να τύχει ή γράµµατα ή κεφαλή» (3) Στ3: «ίση πιθανότητα, γιατί είναι ή κεφαλή ή γράµµατα» (3) Γ1: «µικρή πιθανότητα, µπορούν να έρθουν τρία πράγµατα: δύο κεφαλές, δύο γράµµατα ή κεφαλή και γράµµατα και έτσι είναι λίγο δύσκολο να έρθουν δύο κεφαλές» (4) 3: «είναι µικρή πιθανότητα, γιατί δεν µπορείς να πετάξεις δύο κέρµατα και να σου βγουν κατευθείαν δύο κεφαλές είναι πιο πιθανό να βγει πρώτα µία κεφαλή και κάτι άλλο» (4) Ε3: «το σωστό είναι µικρή πιθανότητα. Έχουµε να επιλέξουµε ανάµεσα σε τέσσερα και όχι σε δύο» (4) Στ1: «µικρή πιθανότητα, γιατί µπορεί να έρθει το ένα κεφαλή και το άλλο γράµµατα και πιο συχνά βγαίνει από τη µια κεφαλή και από την άλλη γράµµατα παρά και από τις δύο το ίδιο» (4) Γ1: «ίση πιθανότητα, γιατί θα µπορούσα να πιάσω ή µια άσπρη ή µια µαύρη» (5) 1: «ίση πιθανότητα, γιατί µπορώ να πιάσω και µία µαύρη» (5) Ε1: «ίση πιθανότητα γιατί έχουµε 3 µαύρες και 3 άσπρες άρα µπορούµε να πιάσουµε 1 µαύρη ή 1 άσπρη» (5) Στ3: «ίση πιθανότητα, γιατί υπάρχουν 3 και 3» (5) Γ3: «µεγάλη πιθανότητα, γιατί πιο πολλές ήταν οι άσπρες και ήταν δύσκολο να πιάσεις µία µαύρη» (6) 1: «'µεγάλη πιθανότητα, γιατί είναι µόνο µία µαύρη ενώ είναι πολλές οι άσπρες» (6) Ε3: «µεγάλη πιθανότητα να πιάσουµε µία από τις άσπρες µπάλες γιατί έχουµε µια µαύρη και πέντε από τις άσπρες» (6) Στ1: «µεγάλη πιθανότητα γιατί έχει 1 µαύρη και 5 άσπρες, είναι µεγαλύτερη η πιθανότητα να πιάσω γιατί είναι περισσότερες» (6)

8 Β1: «ίδιες φορές, γιατί µπορεί να πετύχεις και το άσπρο και το µαύρο» (7) Γ5: «ίση πιθανότητα, γιατί µπορεί να πετύχω ή το µαύρο ή το άσπρο» (7) Τα παραπάνω αποτελέσµατα µπορούν να παρουσιαστούν συγκεντρωτικά µε τους πίνακες 1 και 2: 1 ο Επίπεδο 2 ο Επίπεδο 3 ο Επίπεδο 4 ο Επίπεδο Αναγνωρίζουν τα βέβαια και τα αδύνατα γεγονότα, αλλά δεν τα διαχωρίζουν. ιαχωρίζουν τα βέβαια, αδύνατα και πιθανά γεγονότα και χρησιµοποιούν υποκειµενική αιτιολόγηση ιαχωρίζουν τα βέβαια, αδύνατα και πιθανά γεγονότα κάνουν λάθος επιλογή και την αιτιολογούν ποσοτικά. ιαχωρίζουν τα βέβαια, αδύνατα και πιθανά γεγονότα και χρησιµοποιούν ποσοτική αιτιολόγηση. Πίνακας 1: Πλαίσιο εξέλιξης της σκέψης των παιδιών στις πιθανολογικές εκφράσεις Τάξη Επίπεδο 1 Επίπεδο 2 Επίπεδο 3 Επίπεδο 4 Α x Β x x x Γ x x x x x x Ε x Στ x Πίνακας 2: Αντιστοιχία των επιπέδων σκέψης για τις πιθανολογικές εκφράσεις µε την ηλικία (τάξη) του παιδιού Συµπεράσµατα Από τις απόψεις διακεκριµένων επιστηµόνων και από τις προτάσεις των Προγραµµάτων Σπουδών διεθνώς, γίνεται φανερό ότι είναι αναγκαίο και εφικτό να εισαχθεί η διδασκαλία των πιθανοτήτων από τις µικρές τάξεις του δηµοτικού σχολείου. Αυτή η εισαγωγή προτείνεται να γίνει «µε τη χρήση κατάλληλων πιθανολογικών εκφράσεων» (NCTM, 2000). Προκύπτουν όµως ερωτήµατα σχετικά µε το ποιες είναι οι κατάλληλες πιθανολογικές εκφράσεις και το πώς σκέφτονται τα παιδιά σχετικά µε αυτές. Όπως και µε άλλες µαθηµατικές ενότητες, υπάρχει ο κίνδυνος να

9 χρησιµοποιηθούν ακατάλληλες εκφράσεις στις προτεινόµενες δραστηριότητες, οπότε η διδασκαλία αντί να διευκολύνει, εµποδίζει τη µάθηση. ηµιουργείται λοιπόν η ανάγκη για περαιτέρω διερεύνηση της πιθανολογικής σκέψης των παιδιών, µε στόχο να προκύψουν στοιχεία που θα χρησιµοποιηθούν στη διδακτική πρακτική. Με βάση αυτή την ανάγκη προσπαθήσαµε να µελετήσουµε την εξέλιξη της σκέψης των παιδιών όσον αφορά στις πιθανολογικές εκφράσεις ώστε να µπορεί να γίνει η εισαγωγή των πιθανοτήτων στο δηµοτικό µε τον καλύτερο δυνατό τρόπο αφού θα γνωρίζουµε τι κατανοούν τα παιδιά της κάθε ηλικίας. Από τα αποτελέσµατα της έρευνας γίνεται φανερό ότι εκφράσεις όπως ποτέ, µερικές φορές και πάντα είναι κατανοητές από τα παιδιά της Α και της Β τάξης του δηµοτικού, µε µεγαλύτερη ανάλυση του µερικές φορές για τη Β τάξη σε λίγες φορές, ίδιες φορές και πολλές φορές. Από τη Γ µέχρι και τη Στ τάξη του δηµοτικού, εκφράσεις όπως αδύνατο, µικρή πιθανότητα, ίση πιθανότητα, µεγάλη πιθανότητα και βέβαιο γίνονται κατανοητές από τους µαθητές. Επίσης από την ανάλυση των συνεντεύξεων προέκυψε ότι η σκέψη των παιδιών για τις πιθανολογικές εκφράσεις ακολουθεί τέσσερα επίπεδα (πίνακας 1): από την αναγνώριση των βέβαιων και αδύνατων γεγονότων, µέχρι το διαχωρισµό τους και την ποσοτική αιτιολόγηση του συλλογισµού. εν υποστηρίζουµε ότι είναι τα µοναδικά επίπεδα σκέψης που µπορεί να δηµιουργηθούν, ούτε ότι είναι απαραίτητο όλα τα παιδιά να περνάνε από τα τέσσερα αυτά επίπεδα. Το προτεινόµενο πλαίσιο των τεσσάρων επιπέδων (πίνακας 1) καθώς και η ηλικιακή αντιστοιχία (πίνακας 2), είναι µια πρώτη προσπάθεια προσέγγισης του θέµατος των πιθανολογικών εκφράσεων, η οποία χρειάζεται να επεξεργαστεί ξανά µε άλλες δραστηριότητες, για να διαµορφωθούν µε µεγαλύτερη ακρίβεια τα επίπεδα σκέψης των παιδιών για τις πιθανολογικές εκφράσεις. Αυτό το πλαίσιο µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως βοηθητικό εργαλείο για τη διδακτική πρακτική. Οι δάσκαλοι µπορούν να χρησιµοποιήσουν τις περιγραφές του κάθε επιπέδου για να οργανώσουν τη διδασκαλία τους και να δηµιουργήσουν δικές τους δραστηριότητες µε τις οποίες θα µπορούν να διαγνώσουν αρχικά σε ποιο στάδιο βρίσκεται το κάθε παιδί ώστε στη συνέχεια να σχεδιάσουν την κατάλληλη διδασκαλία.

10 Βιβλιογραφία Athanasiadis, E., Skoumpourdi, C. & Kalavassis, F. (2002). A Didactical Classification of Probability Problems Linked with their Formulation 2 nd International Conference in Teaching Mathematics (ICTM2) Fischbein, E. (1975). The Intuitive Sources of Probabilistic Thinking in Children D. Reidel Publishing Company USA 21/03/ /04/2001 Jones, A. G., Langrall, W. C., Thornton, A. C. & Mogill, T. (1997). A Framework for Assessing and Nurturing Young Children s Thinking in Probability. Educational Studies in Mathematics 32. Piaget, J. & Inhelder, B. (1975). The Origin of the Idea of Chance in Children (Translated by Leake, L., Burrell, P. & Fischbein, H) Published by Routledge & Kegan Paul Ltd. Σκουµπουρδή, Χ. (2003). Μορφές Μαθησιακών ραστηριοτήτων για την Εισαγωγή της Έννοιας της Πιθανότητας στην Πρωτοβάθµια Εκπαίδευση ( ιδακτορική ιατριβή) Πανεπιστήµιο Αιγαίου Ρόδος Υπουργείο Εθνικής Παιδείας και Θρησκευµάτων (1987). Αναλυτικά Προγράµµατα Μαθηµάτων του ηµοτικού Σχολείου ΟΕ Β Αθήνα. Υπουργείο Παιδείας και Πολιτισµού Κύπρου ηµοτική Εκπαίδευση (1997). Αναλυτικά Προγράµµατα ηµοτικής Εκπαίδευσης Στα πλαίσια της Εννιάχρονης Εκπαίδευσης Τµήµα ηµοτικής Εκπαίδευσης Υπηρεσία Ανάπτυξης Προγραµµάτων.