חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה.

חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה. מרצה: למברג דן תוכן העניינים 3 מספרים ממשיים 1 3.................................. סימונים 1. 1 3.................................. קבוצות 2. 1 5............................. פעולות עם קבוצות 3. 1 7.............................. מספרים שלמים 4. 1 8............................. מספרים רציונליים 5. 1 9.............................. מספרים ממשיים 6. 1 10 חסמים................................... 7. 1 11 ארכימדיות הממשיים............................ 8. 1 12............................ שלוש למות בסיסיות 9. 1 15 R המספרים הממשיים 2 15................................... שדות 1. 2 15.......................... אקסיומות השדה 1. 1. 2 15............................ תכונות שדה 2. 1. 2 16............................ תכונת הסדר 3. 1. 2 17........................... קבוצות אינדוקטיביות 2. 2 20......................... עקרון ההוכחה באינדוקציה 3. 2 20......................... אינדוקציה פשוטה 1. 3. 2 20 אינדוקציה מלאה.......................... 2. 3. 2 21 תכונת השלמות............................... 4. 2 21............................. שלמות R 1. 4. 2 21 חסמים............................... 2. 4. 2 22 ארכימדיות הממשיים........................ 3. 4. 2 23 צפיפות............................... 4. 4. 2 23.............................. שורשים וחזקות 5. 2 26 סדרות 3 29........................... אריתמטיקה של גבולות 1. 3 30........................... התכנסות במובן הרחב 2. 3 32............................. סדרות מונוטוניות 3. 3 32 המספר. e................................. 4. 3 34................................. תת סדרות 5. 3 1

6. 3 גבולות עליונים ותחתונים.......................... 36 7. 3 סדרות קושי................................ 36 8. 3 חזקות עם מעריך ממשי........................... 37 38 פונקציות, גבולות ורציפות 4 38 פונקציות.................................. 1. 4 38................................... גבולות 2. 4 40 רציפות................................... 3. 4 41.................................. חסימות 4. 4 42........................... אריתמטיקה של גבולות 5. 4 43.............................. הרכבת פונקציות 6. 4 45............................. משפט ערך הביניים 7. 4 46............................ פונקציות מונוטוניות 8. 4 46........................... הגדרה ותכונות 1. 8. 4 47.................... פונקציות הפוכות למונוטוניות 2. 8. 4 48............................ פונקציות אלמנטריות 9. 4 48 הפונקציה המעריכית והלוגריתם................... 1. 9. 4 48 הפונקציות הטריגונומטריות..................... 2. 9. 4 49 גבולות במובן הרחב............................. 10. 4 50............................ רציפות במידה שווה 11. 4 51 חשבון דיפרנציאלי 5 51 הנגזרת................................... 1. 5 51........................... הנגזרת כשיפוע המשיק 2. 5 52........................... אריתמטיקה של נגזרות 3. 5 54.......................... נגזרת הפונקציה ההפוכה 4. 5 55............................. משפטי ערך ממוצע 5. 5 57..................... נגזרות הפונקציות הטריגונומטריות 6. 5 57 גבולות שימושיים.......................... 1. 6. 5 57.......................... ו ( cos(x sin(x) 2. 6. 5 58......................... ו ( cotan(x tan(x) 3. 6. 5 58................ הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות 4. 6. 5 2

1 מספרים ממשיים אלוהים ברא את המספרים הטבעיים, כל היתר הוא מעשה האדם. לאופולד קרונקר. 1. 1 סימונים הגדרה 1.1. (גרירה) יהי A ו- B טענות אזי משמעות לביטוי הבא: A B הוא "אם טענה A מתקיימת אזי טענה B מתקיימת". הגדרה 1.2. (שקילות) יהי A ו- B טענות אזי משמעות לביטוי הבא: A B הוא "טענה A מתקיימת אם ורק אם מתקיימת טענה B". הגדרה 1.3. (לכל) יהי (x) P טענוה תלוייה מ- x אזי משמעות לביטוי הבא: הוא "טענה (x) P מתקיימת לכל x". x P (x) הגדרה 1.4. (קיים) יהי (x) P טענוה תלוייה מ- x אזי משמעות לביטוי הבא: הוא "קיים x כזה שטענה (x) P מתקיימת". x P (x) 2. 1 קבוצות הגדרה 1.5. (לא פורמאלית של קבוצה) קבוצה היא אוסף עצמים, המהווה עצם בעצמו. לעצמים, מהם מורכבת קבוצה, קוראים אברי הקבוצה, ועל כל אחד מהם אומרים שהוא שייך לקבוצה. דוגמא 1.1. 5} {1, 2, 3, 4, = A : קבוצה בעלת 5 איברים..A 2 : שייך ל 2 A 9} {2, 3, 4, 5, 7, 8, = B : קבוצה בעלת 7 איברים..B 6 : לא שייך ל 6 / B 3

4} > x : C = {x B קבוצה שמורכבת מכל איברים של קבוצה B שגדולים מ-.4.C = {5, 7, 8, 9} A} : D = {x B x / קבוצה שמורכבת מכל איברים של קבוצה B שלא שייכים לקבוצה A..D = {7, 8, 9} } D x או : E = {x x A קבוצה שמורכבת מכל איברים ששייכים לקבוצה A או לקבוצה D (או לשתיהן).E = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9} נאמר ששתי קבוצות הן שוות אם יש להן אותם איברים. או בצורה פורמלית אפשר לנסח את זה באופן הבא: x x A x B הגדרה 1.6. A = B אם ורק אם דוגמא 1.2. {1, 2, 3, 4, 5} = {2, 3, 5, 7} כי 4 שייך לקבוצה שמלית ולא שייך לקבוצה ימנית. {2, 3, 4} = {2, 2, 3, 4, 3, 3} כי כל איבר של קבוצה שמולית הוא גם איבר של קבוצה ימנית והפוך. בין הקבוצות קיים גם יחס פחות חזק מיחס השוויון הוא יחס השוואה: x x A x B הגדרה 1.7. A B אם ורק אם דוגמא 1.3. {2, 3} {2, 3, 5, 7} כי כל איבר של קבוצה שמולית הוא גם איבר של קבוצה ימנית. {2, 3, 4} {2, 3, 5, 7} כי 4 שייך לקבוצה שמלית ולא שייך לקבוצה ימנית. תוצעה 1.1. אם A B וגם B A אזי.A = B הוכחה. הוכחה ישירות נובעת הגדרה. 4

3. 1 פעולות עם קבוצות הגדרה 1.8. לקבוצות מוגדרות 4 פעולות הבאות: A B = {x x A וגם x B } חיתוך של שתי קבוצות A ו- B הוא קבוצה מורכבת מאיברים ששייכים גם ל- A וגם ל- B. A B = {x x A או x B } איחוד של שתי קבוצות A ו- B הוא קבוצה מורכבת מאיברים ששייכים לפחות לאחת מהקבוצות A ו- B. A\B = {x x A וגם x / B } הפרש של שתי קבוצות A ו- B הוא קבוצה מורכבת מאיברים ששייכים ל- A ולא שייכים ל- B. A = {x x / A} משלים של קבוצוה A הוא קבוצה מורכבת מאיברים שלא שייכים ל- A. למספרים טבעיים מוגדרות פעולות כפל " " וחיבור " + " וגם על המספרים טבעיים מוגדר סדר. כשר בין פעולות כפל וחיבור מתבצה יל ידי אקסיומת הפילוג הגדרה 1.9. (אקסיומת הפילוג) a (b + c) = a b + a c (1) אחד מהתחוניות חשובות של מספרים טבעיים אפשר לנסח באופן הבא: טענה 1.1. (סדר טוב) בכל תת-קבוצה לא ריקה של מספרים טבעיים קיים איבר מינימאלי. בעזרת תחונה הזאת אפשר להוכיח את העיקרון האינדוקציה משפט 1.1. (העיקרון האינדוקציה) יהי (n) T טענה על מספר טבעי n. ונניח ש (1) T - מתקיים T (k + 1) גורר את T (k) אזי טענה (n) T הינה נכונה לכל n. N הוכחה. נסמן ב A קבוצת כל מספרים טבעיים שמקיים את הטענה T. ברור ש A לא ריקה כי A 1 לכן לפי תחונה הקודמת ב A יש איבר מינימלי, נסמן אותו כ n. 0 אבל ז.א. שכל מספר שקטן מ n 0 הטענה T מתקיימת. ואז 1) - T (n 0 מתקקיים. אבל לפי נתון זה גורר ש ) 0 T (n מתקיים. סתירה. 5

דוגמא 1.4. (אי-שוויון ברנולי) (1 + x) n 1 + nx (2) כאשר.x 1, n N הוכחה. ל = 1 n הטענה היא נכונה כי במקרה הזה נקבל (1 + x) 1 1 + 1 x (3) נניח שטענה הינה נכונה ל n = k ז.א. (1 + x) k 1 + kx (4) נוכיח שהיא גם נכונה ל + 1 k n. = באמת (1 + x) k+1 = (1 + x) k (1 + x) (1 + kx)(1 + x) = 1 + (k + 1)x + kx 2 1 + (k + 1)x }{{} לפי הנחה (5) דוגמא 1.5. 1 2 n < 1 n (6) כאשר.n N הוכחה. ל- = 1 n הטענה היא נכונה כי במקרה הזה נקבל 1 2 < 1 (7) 1 2 k < 1 k נניח שטענה הינה נכונה ל n = k ז.א. (8) נוכיח שהיא גם נכונה ל + 1 k n. = באמת 1 2 k+1 = 1 2 k 1 1 < 2 }{{} k 1 2 = 1 2k = 1 k + k < 1 k + 1 לפי הנחה (9) 6

דוגמא 1.6. (סדרה הנדסית) 1 + x + x 2 +... + x n = 1 xn+1 1 x (10) כאשר.n N הוכחה. ל = 1 n הטענה היא נכונה כי במקרה הזה נקבל 1 + x 1 = 1 x2 1 x (11) נניח שטענה הינה נכונה ל n = k ז.א. 1 + x + x 2 +... + x k = 1 xk+1 1 x (12) נוכיח שהיא גם נכונה ל + 1 k n. = באמת 1 + x + x 2 +... + x k + x k+1 }{{} = 1 x k+1 1 x + xk+1 = (13) לפי הנחה = 1 xk+1 + x k+1 x k+2 1 x = 1 xk+2 1 x (14) 4. 1 מספרים שלמים נשאל את השאלה הבא. מה צריך להוסיף למספרים טבעיים כדי לקבל מספרים שלמים? התשובה היא פשוטה: צריך להוסיף 0 וגם "לאשר לכתוב מינוס לפני מספר". ברור שגם צריך להרחיב את הפעולות שלנו ז.א. להסביר איך לחבר ולהכפיל את המספרים חדשים שקבלנו. זה גם לא קשה התעליך הזה ידוע מבית ספר. ואז נקבל מספרים השלמים. הגדרה 1.10. (מספרים שלמים) Z = {..., n,... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,..., n,...} (15) הערה 1.1. (איברים ניטרליים) שימו לב שבקבוצת מספרים טבעיים יש איבר ניטרלי רק ביחס לפעולת כפל "1" ז.א. שלכל n N מתקיים 1 n = n (16) ובקבוצת מספרים השלמים קיימים כבר שני איברים ניטרליים: איבר ניטרלי ביחס לחיבור + הוא "0" ז.א. שלכל n N מתקיים + n = n 0 איבר ניטרלי ביחס לחיבור הוא "1" ז.א. שלכל n N מתקיים n = n 1 אחרת אפשר לאומר שאנו הוספנו ל N איברים חדשים כדי לתת אפשרות לחסר וקבלנו Z. 7

5. 1 מספרים רציונליים בשלב הקודם אנחנו בנינו מספרים השלמים Z ולכל שני מסםרים השלמים מוגדרות היטב שלוש פעולות: חיבור, חיסור וכפל. נשאל את השאלה מה צריך להוסיף ל Z כדי לתתאפשרות לחלק? התשובה היא עדיין ידועה. הקבוצה הזאת נקראת קבוצת מספרים רציונליים, מגדירים אותה באופן הבא: הגדרה 1.11. (מספרים רציונליים) { m Q = n } m Z, n N (17) ב Q כבר מוגדרות כל פעולות אריטמטיות ורלוונטית השאלה הבא: האם Q מכילה את כל המספרים הממשיים? התשובה נותנת הטענה הבאה: טענה.1.2 Q / 2 הוכחה. נניח בדרך השלילה ש Q 2 ז.א. = m n 2 כאשר m n שבר מצומצם. מכאן נובע ש n מתחלק ב 4 ואז נקבל ש מתחלק ב 4 לכן 2n 2 מתחלק ב 2 זה גורר ש m 2 m ואז 2n 2 = m 2 m n הוא שבר מצומצם. מתחלק ב 2. אנחנו עגנו לסתירה ש נסקם כל תחונות של מספרים רציונליים: 1. חילופיות של חיבור וכפל: a + b = b + a (18) ab = ba (19) 2. קיבוץ של חיבור וכפל: (a + b) + c = a + (b + c) (20) (ab)c = a(bc) (21) 3. קיום איברים נייטרליים ביחס לחיבור וכפל: (22) קיים 0 כך שלכל a מתקיים: a + 0 = 0 + a = a (23) קיים 1 כך שלכל a מתקיים: a 1 = 1 a = a 4. קיום איברים נגדיים ביחס לחיבור וכפל: לכל a קיים a כך שמתקיים: = 0 a a + ( a) = ( a) + (24) a 1 לכל 0 a קיים 1 כך שמתקיים: = 1 a a = 1 a a (25) 5. פילוג: a(b + c) = ab + ac (26) 8

6. סדר: (27) לכל x, y, a מתקיים: x < y x + a < y + a (28) לכל x, y ולכל > 0 a מתקיים: x < y x a < y a הגדרה 1.12. (שדה סדור) שדה סדור הוא קבוצה שמקיימת תחונות 1. 6 6. 1 מספרים ממשיים לפי טענה הזאת אנחנו רואים שקיימים מספרים שאינם רציונאליים, הם נקראים מספרים אי- רציונאליים. שימו לב שבשלבים הקודמים (מעבר מ N ל Z ומ Z ל Q) אנחנו תמיד ידענו אילו מספרים צריך להוסיף ואז כתבנו "נוסחאות" לקבוצות האלה. ההגדרות מסוג הזה נקראות הגדרות "קונסטרוקטיביות". אבל עכשיו כדי להגדיר מה הם מספרים ממשיים גישה הזאת לא מתאימה מפני שצריך להוסיף "יותר מדי" מספרים. השיטה שנותנת אפשרות לפתור בעייה הזאת נקראת "הגדרה אקסיומטית". הגדרה 1.13. (מספרים ממשיים) קבוצת מספרים ממשיים R היא שדה סדור שמקיים את "האקסיומת השלמות" הבאה: אקסיומת השלמות תהיינה B A, שתי קבוצות כאלה ש a b לכל a A ולכל b B אזי קיים מספר c כך ש a c b לכל a A ולכל.b B דוגמא 1.7. נוכיח ש R 2. באמת נגדיר קבוצות הבאות: A = {x 0 x 2 2} B = {x 0 x 2 2} ברור שקבוצות,A B הן מקיימות את התנאיים של אקסיות השלמות, לכן קיים c כך ש 2 2 c וגם 2 2 c ז.א. קיים מספר c R כך ש = 2 2.c הגדרה 1.14. יהי x. R הערך המוחלט של x מוגדר על-ידי { x : x 0 x = (29) x : x < 0 טענה.1.3 לכל x, y R מתקיים x + y x + y (30) הוכחה. אם = 0 x או = 0 y או x ו- y שווי סימן, הטענה טריוויאלית (ויתקבל שוויו). כעת נניח כי x ו- y שוני סימן. בלי הגבלת הכלליות אפשר להניח ש y < 0 < x ואז צריך להתבונן בשתי אפרויות x + y 0 x + y = x + y = x + ( y ) = x y x + y x + y < 0 x + y = (x + y) = x + ( y) = x + y = y x x + y 9

הגדרה 1.15. (קטע פתוח) קטע פתוח הוא קבוצה מוגדרת באחד מאופנים הבאים (a, b) = {x R a < x < b} (31) (a, ) = {x R a < x} (32) (, b) = {x R x < b} (33) (, ) = R (34) הגדרה 1.16. (קטע סגור) קטע סגור הוא קבוצה מוגדרת באופן הבא [a, b] = {x R a x b} (35) תוצעה 1.2. חיתוך של שני קטעים פתוחים הוא קטע פתוח וחיתוך של שני קטעים סגורים הוא קטע סגור. 7. 1 חסמים הגדרה 1.17. (חסם מלעיל) יהי A. R מספר b R נקרא חסם מלעיל של A אם לכל a A מתקיים.a b הגדרה 1.18. (חסם מלרע) יהי A. R מספר b R נקרא חסם מלרע של A אם לכל a A מתקיים.a b הגדרה 1.19. (חסמים מדוייקים) חסם מלעיל של A קטן ביותר נקרא חסם עליון,sup(A) חסם מלרע של A גדול ביותר נקרא חסם תחתון.inf(A) לפמים יותר כל להשתמש בהגדרות הבאות: הגדרה.1.20 (Sup) נמאר ש sup(a) b = אם מתקימים שני תנאים הבאים: a A (a b) (36) ε > 0 a A (a > b ε) (37) הגדרה.1.21 (Inf) נמאר ש inf(a) b = אם מתקימים שני תנאים הבאים: a A (a b) (38) ε > 0 a A (a < b + ε) (39) שקילות של הגדרות (1.19) ו (1.20 1.21), כדי להוכיח בתור תגיל. הגדרה 1.22. (חסימות) הקוצה A R נקראת חסומה מלעיל אם קיים ל A חסם מלעיל, הקוצה A R נקראת חסומה מלרע אם קיים ל A חסם מלרע, הקוצה A R נקראת חסומה אם היא חסומה מלעיל וגם חסומה מלרע. 10

כתוצעה ראשונה מאקסיומת השלמות נוכיח שני משפטים: משפט 1.2. (קיום (Sup לכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל A R קיים חסם עליון יחיד. הוכחה. תהי A R קבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל. נגדיר B להיות קבוצת החסמים-מלעיל של A. ז.א. B = {b R a A (a b)} (40) לפי תנאיי המשפט B,A וכל איבר ב A קטן או שווה לכול איבר ב B, אזי לפי אקסיומת השלמות קיים מספר c R כך ש a A (a c) (41) b B (c b) (42) אבל לפי (41) נקבל ש c הוא חסם מלעיל של A, מצעד שני לפי (42) נקבל ש c הוא חסם מלעיל של A קטן ביותר ז.א. sup(a) c. = כדי להוכיח את היחידות נניח בדרך השלילה ש קייםים שני חסמים עליונים c 1 c 2 ללא הגבלת הכלליות אפשר להניח ש c 1 > c 2 אבל אז c 2 הוא חסם מלעיל אבל לא חסם עליון. משפט 1.3. (קיום (Inf לכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלרע A R קיים חסם תחתון יחיד. הוכחה. האוכחה אנלוגית להוכחה של המשפט הקודם. 8. 1 ארכימדיות הממשיים משפט 1.4. (עיקרון הארכימדיס) x R n N (x < n) הוכחה. נניח בדרך השלילה שקבוצת מספרים טבעיים N היא חסומה מלעיל ונסמן sup(n) a, = n+1 > a+ 1 2 > a אבל מכאן נובע ש n > a 1 2 אזי לפי הגדרה (1.20) נקבל שקיים n N כך ש שסותרת להנחה. תוצעה ראשונה מעיקרון הארכימדיס משפט 1.5. x > 0 n N (0 < 1 n < x) 1 x אבל זה גורר ש הוכחה. יהי > 0 x אזי לפי עיקרון הארכימדיס קיים n N כך ש < n.0 < 1 n < x 11

תוצעה 1.3. x > 0 n N (0 < 1 2 n < x) < 1 n 0 אבל לפי דוגמא הוכחה. יהי > 0 x אזי לפי משפט (1.5) קיים n N כך ש- < x.0 < 1 2 < 1 n n (1.5) זה גורר ש < x תוצעה שניה מעיקרון הארכימדיס משפט 1.6. לכל x, y R מתקיים: אם > 1 x y אזי קיים n Z כך ש.x < n < y הוכחה. נגדיר קבוצה {x L = n} Z n כל מספרים שלמים לא גדולים מ x. קבוצה l. = sup(l) חסומה מלעיל ואז קיים L ברור ש l הוא מספר שלם ו 1 x ) l < כי אחרת l + 1 x ז.א. l + 1 L לכן l אינו חסם עליון של.L ( אבל מכאן נובע ש l + 1 < x ובגלל ש + 1 x y > נקבל גם ש l + 1 < l + 2 < x + 1 < y לכן.x < l + 1 < y תוצעה שלישית מעיקרון הארכימדיס משפט 1.7. (צפיפות) לכל x, y R מתקיים: אם x < y אזי קיים q Q כך ש.x < q < y ny nx <.0 ז.א. ש > 1 1 n הוכחה. יהי x < y אזי לפי 1.5 קיים n N כך ש < y x.x < m n לכן לפי 1.6 קיים m Z כך ש, nx < m < ny אבל זה גורר ש < y 9. 1 שלוש למות בסיסיות הגדרה.1.23 יהי a R מספר ממשי. - ε סביבה של a היא קטע פתוח ε).(a ε, a + נסמן אותה כ' (a).b ε הגדרה.1.24 יהי a R מספר ממשי. - ε סביבה מנוקבת של a היא קטע פתוח ε) (a ε, a + ללא נקודה,a ז.א. ε)\{a}.(a ε, a + נסמן אותה כ' (a) B ε. הגדרה 1.25. יהי A. R הנקודה a R נקראת נקודת הצטברות של A אם בכל סביבה מנוקבת של a קיימות נקודות של A. הגדרה.1.26 יהי A R קבוצת קטעים U נקראת כיסוי של A אם לכל נקודה a A קיים קטע I U כך ש a. I אם V U ו V גם כיסוי של A אזי נמאר ש V הוא תת-כיסוי של U. אם U מכילה רק קטעים פתוחים נמאר ש U כיסוי פתוח של A. I 1 I 2 I 3... I n... למה 1.1. (הלמה של קנטור) תהי סדרה של קטעים סגורים המוכלים זה בזה. אזי קיימת נקודה a R הנמצאת בכל הקטעים. 12

הוכחה. נסמן I 1 = [a 1, b 1 ], I 2 = [a 2, b 2 ], I 3 = [a 3, b 3 ],..., I n = [a n, b n ],... ואז נקבל ש a 1 a 2 a 3... a n... b n... b 3 b 2 b 1 קבוצת קצוות סמליות {N A = a} n n היא חסומה מלעיל, כי כל אחד מ b n הוא חסם מלעיל של A. לכן לפי 1.2 קיים חסם עליון של A, נסמן אותו כ' sup(a) a. = מצד אחד a הוא חסם עליון אז הוא קטן או שווה מכל חסם מלעיל ז.א. a b n לכל b. n מצד שני a הוא חסם עליון ואז הוא גדול או שווה מכל איבר ב A ז.א. a n a לכל a. n מכאן נובע ש a n a b n לכל,n N ז.א. a I n לכל.n N למה 1.2. (היינה-בורל) [לא חובה] לכל כיסוי פתוח U של קטע סגור [b,a] קיים תת-כיסוי סופי. הוכחה. יהי U כיסוי פתוח של קטע סגור [b,a] ונניח בדרך השלילה שאף כמות סופית של קטעים פתוחים מ U לא מכסה את [b,a]. נגדיר קבוצה {ל קטע c] [a, קיים תת-כיסוי סופי של C = {c [a, b] U ונקבל ש C a כי מפני ש U כיסוי פתוח אז קיים קטע פתוח I U כך ש [a, a] = a I ז.א. {I} U - תת-כיסוי סופי (כי מורכב מקטע אחד). מכאן נובע ש C היא לא ריקה. b] C [a, לכן C היא חסומה. נקבל שלפי 1.2 קיים sup(c) p = ולפי הנחת השלילה p. p למה 1.3. (בולצאנו-ויירשטראס) לכל קבוצה חסומה ואינסופית A R קיימת נקודת הצתברות. הוכחה. יהי A קבוצה חסומה ואינסופית אזי קיים קטע סגור ] 0 I 0 = a] 0, b שמכילה את A ) 1 a הוא חסם מלרע ו- b 1 הוא חסם מלעיל ( נחלק קטע הזה לשני קטעים שווים. נקבל שבאחד מהם יש אינסוף נקודות מקבוצה A. נסמן אותה.I 1 = [a 1, b 1 ] 13

נחלק קטע I 2 לשני קטעים שווים. נקבל שבאחד מהם יש אינסוף נקודות מקבוצה A. נסמן אותה I 2 = [a 2, b 2 ] ונמשיך את התהליך עד אינסוף.נקבל סדרת קטעים מוכלים I 0 I 1 I 2... I n... ואורך של כל קטע הבא קטן פי 2 מאורך של קטה קודמת. לפי למה של קנטור קיימת נקודה משותפת של כל הקטעים האלה, נסמן אותה כי a. נוכיח ש- a היא נקודת הצטברות של A. לפי בנייה שלנו אורך של קטע I n שווה ל- I n = b n a n = b 0 a 0 2 n נקח > 0 ε כלשהי צ ל שב- ε -סביבה מנוקבת של a קיימות נקודות מ- A. 1 או ש אותו דבר 2 < ε 1 ז.א. 0 n b 0 a 2 < x כך ש- n לפי תוצעה (1.3) קיים x = ε נגדיר 0 n b 0 a 0 I n = b a 0 אבל זה אומר ש קטע I n מוכלת ב- ε -סביבה של נקודה a, מצד אחר קטע 2 < ε n I n מכילה אינסוף נקודות מקבוצה A ולכן כל ε -סביבה מנוקבת של a מכילה נקודות של A. ז.א. A. באמת נקודת הצטברות של a 14

R 2 המספרים הממשיים 1. 2 שדות 1. 1. 2 אקסיומות השדה הגדרה 2.1. (,+,F) 1 תיקרא שדה אם מתקיימות התכונות הבאות: שדה x, y F x y = y x, x + y = y + x.1 (חילוף -- קומוטטיביות) x, y, z F (x y) z = x (x y), (x + y) + z = x + (y + z).2 (קיבוץ -- אסוציאטיביות) x, y, z F x (y + z) = xy + xz.3 (פילוג -- דיסטריבוטיביות ) 2 0 F : x F x + 0 = 0 + x = x.4 1 F : x F 1 x = x 1 = x (קיום איברים נייטרליים) x F y F : x + y = y + x = 0.5 (קיום איברים נגדיים; האיבר הנגדי יחיד, לכן נוכל לסמנו y) = x 0 x F y F : x y = y x = 1.6 (קיום איברים הפכיים; האיבר ההפכי יחיד, לכן נוכל לסמנו 1 x y) = 2. 1. 2 תכונות שדה מסקנות מהאקסיומות: x, y, a F x + a = y + a x = y.1 הוכחה. נחבר את האיבר הנגדי: x + a = y + a (x + a) + ( a) = (y + a) + ( a) על פי חוק הקיבוץ ותכונת הנגדי, נקבל x + (a + ( a)) = y + (a + ( a)) x = y.2 (א) = 0 0 x x 0 = 0 + 0 0 x x 0 = x (0 + 0) = x 0 + הוכחה. נחבר 0 x, ועל פי תכונת הנגדי, נקבל x 0 + ( x 0) = x 0 + x 0 + ( x 0) 0 = x 0 x (ב) x ( 1) = x 1 קבוצה שמוגדרות בה הפעולות הבינאריות : F F F + ("חיבור") ו : F F F ("כפל"). 2 במערכות שאינן שדה, לעתים תתקיים תכונה זו רק מימין או משמאל; כאן אין זה משנה, בגלל חוק החילוף. 15

a 0, b, c F!x F : ax + b = c.3 הוכחה. נניח כי x קיים ונוכיח כי הוא יחיד. ax + b = c a 1 (ax + b) = a 1 c x + a 1 b = a 1 c x + a 1 b + ( a 1 b) = a 1 c + ( a 1 b) x = a 1 c a 1 b = a 1 (c b) יחידות x נובעת מהמוגדרות היטב של הכפל. כדי להוכיח קיום, נציב במשוואה או נטען שניתן להפוך את הגרירות..4 (א) = 0 0 (ב) = 1 1 1 (x + y) = ( x) + ( y).5 ( x) = x.6 x, y F x 0 y 0 x y 0, (x y) 1 = x 1 y 1.7 x 0 (x 1 ) 1 = x.8 (x y) = ( x) y = x ( y).9 x 0 ( x) 1 = (x 1 ).10 3. 1. 2 תכונת הסדר הגדרה 2.2. שדה (,+,F) ייקרא שדה סדור אם על (,+,F) ניתן להגדיר יחס סדר המקיים את התכונות הבאות: שדה סדור.1 לכל,x, y F אחת משלוש האפשרויות x = y,y < x,x < y מתקיימת;.2 תורשתיות (טרנזיטיביות): x, y, z F x > y y > z x > z 3.3 תאימות לפעולות + ו : x, y, z F x < y x + a < y + a x, y F a > 0 x < y a x < a y דוגמא 2.1. R הוא שדה סדור. מתקיימות התכונות: x < y, u < v x + u < y + v.1 x < y x + u < y + u u < v y + u < y + v הוכחה. לכן, מטרנזיטיביות,.x + u < y + v 3 תכונה דומה עבור שוויון קיימת אף בשדה לא סדור, כמובן. 16

x < y y < x.2 הוכחה. אם x < y אזי y)),x + ( (x + y)) < y + ( (x + ולכן. y < x x 0 x > 0 x > 0.3 a < 0 (x < y ax > ay).4 x < 0, y < 0 0 < x y.5 4 x 0 x x > 0.6 x > 0 x 1 > 0 x < 0 x 1 < 0.7.8 אם x > y שווי סימן, 1 x y 1 > טענה 2.1 (צפיפות הסדר). יהי <), +, (F, שדה סדור, ויהיו.x < y F אזי קיים איבר z F המקיים.x < z < y הוכחה. ידוע כי ל F 1 = 1 + 2 יש איבר הפוך. נגדיר y).z = 2 1 (x + למה.2.1 y x < z < x < y x + x < x + y = 2 2 1 (x + y) < y + y הוכחה. x < 2 1 (x + y) < y {. x = x x 0 הגדרה 2.3. יהי x. F הערך המוחלט של x מוגדר על ידי x x < 0 ערך מוחלט אי שוויון המשולש איבר מקסימלי איבר מינימלי קטעים קבוצה אינדוקטיבית x, y F טענה 2.2 (אי שוויון המשולש). y x + y x + הוכחה. אם = 0 x או = 0 y או x ו y שווי סימן, הטענה טריוויאלית (ויתקבל שוויון). כעת נניח כי x ו y שוני סימן. בלי הגבלת הכלליות, נניח y. < 0 < x נניח בנוסף 0 y x. + אזי y. x + y = x + y = x + ( y ) < x + הגדרה.2.4 יהי <), +, (F, שדה סדור. תהי.A F איבר a 0 A ייקרא האיבר המקסימלי ב A אם. a A a a 0 איבר a 1 A ייקרא האיבר המינימלי ב A אם. a A a a 1 הגדרה.2.5 יהי <), +, (F, שדה סדור. יהיו.a 1 < a 2 F תת הקבוצה I F המוגדרת על ידי } 2 I = {f F a 1 < f < a נקראת קטע פתוח ב F. אילו a 1 ו a 2 היו נכללים בקטע (אי שוויון חלש במקום חריף בהגדרת הקבוצה), הקטע היה נקרא קטע סגור. (קטע יכול, כמובן, להיות חצי פתוח וחצי סגור.) אם גבולות הקטע בשדה, הקטע נקרא קטע חסום. (קטע לא חסום יהיה, למשל, מהצורה = I (.{f F a 1 > f} 2. 2 קבוצות אינדוקטיביות הגדרה 2.6. תת קבוצה I R נקראת קבוצה אינדוקטיבית אם I 1 ומתקיים לכל x כי.x I x + 1 I 17

הגדרה 2.7. הקבוצה - N R קבוצת המספרים הטבעיים - היא הקבוצה בין כל הקבוצות האינדוקטיביות: I אינד'.N = I הטבעיים טענה 2.3. N היא קבוצה אינדוקטיבית. הוכחה. I R אינדוקטיבית I.1 מכאן, I = N אינד' I.1 כעת, יהי.x N אז לכל I אינדוקטיבית,.x I לפי התנאי השני,.x + 1 I מכאן x + 1 I ולכן.x + 1 N הראינו N 1 וכן ; x N x + 1 N לכן N אינדוקטיבית. טענה.2.4 אם I N קבוצה אינדוקטיבית,.I = N משפט 2.1. ב N מתקיימות הטענות הבאות: m, n N m + n N.1 m, n N m n N.2 m, n N (n > m n m N).3 n N ˆn N : n < ˆn < n + 1.4 הוכחה..1 יהי.n N נגדיר.I n = {m N n + m N} N I n היא קבוצה אינדוקטיבית. למה 2.2. הוכחה. אם n N אז,n+1 N ולכן I n.1 כעת, יהי ;m I n נראה כי.m+1 I n מכך ש,m I n מתקיים N ;n + m N אינדוקטיבית ולכן.n + (m + 1) N אז.I n = N קבוצה אינדוקטיבית, ולכן I n N הראינו כי.m + 1 I n.2 יהי.n N נגדיר N}.J n = {m N n m J n היא קבוצה אינדוקטיבית. למה 2.3. הוכחה. n = n N,1 לכן J n.1 כעת, יהי.m J n אז,n m N ולפי 12.1 גם.n m + n = n(m + 1) N כלומר,.m + 1 J n.3 נגדיר N)}.K = {n N m N (n > m n m n N למה 1.2.4 n הוכחה. נגדיר.I = {n N n 1} N מתקיים 1,1 לכן I.1 עבור 1,n מתקיים 1 1 +,n ולכן גם.n + 1 I אז I N אינדוקטיבית, ומכאן.n 1,n N כלומר, לכל.I = N 4 זהו מקרה פרטי של תכונה 5. 18

לפי הלמה, 1} < m {m N = -- כלומר, התנאי מתקיים באופן ריק לגבי = 1,n ולכן K.1 כעת, נניח כי n K ונראה כי.n + 1 K מכך ש K. m < n n m N,n נתבונן ב 1 +,n ויהי + 1 n.s < נראה כי n + 1 s N וינבע ש K :n + 1 אם.s > 1 אחרת, ;n + 1 1 = n N מתקיים,s = 1 למה.2.5 לכל.n 1 N,1 < n N הוכחה. נניח כי קיים ˆn < 1 שעבורו.ˆn 1 N אזי N\{ˆn} J = קבוצה אינדוקטיבית: 1 ˆn ולכן J ;1 עבור {ˆn}.n + 1 N \ {ˆn + 1},n N \ 5 אז J אינדוקטיבית -- J = N סתירה, והלמה מתקיימת. לפי הלמה,.s 1 N בנוסף, n+1 s < ולכן ;s 1 < n אז על פי ההנחה, = n (s 1).n + 1 s N.4 נניח כי קיים N x כך ש 1 + n.n < x < אז בפרט + 1 n ;x < לכן מתקיים = 1 n.x n < n + 1 אבל + 1 n n < ולכן, מהטענה הקודמת, x n טבעי וקטן מ 1 - סתירה ללמה 2.4. הגדרה.2.8 הקבוצה -Z קבוצת המספרים השלמים - היא הקבוצה {0} N} Z = {n השלמים { n N} טענה.2.5 מספר ממשי x R הוא מספר שלם m x = n עבור.n, m N הוכחה. ) ( ראשית, נראה כי לכל n m,n m, n שלם. אם,n > m על פי טענה 42.1.n m N אם.n m = 0 Z,n = m אם,m n = (n m) N,n < m ואז.n m Z ) ( יהי.x Z נראה כי קיימים n, m N כך ש m.x = n אם > 0,x x = n = 1 1) + (n טבעי. אם = 0,x.x = 1 1 אם < 0,x x = n N ונוכל לכתוב.x = 1 (n + 1) טענה 2.6. המספרים השלמים סגורים לכפל ולחיבור. הוכחה. כתרגיל. הרציונאליים הגדרה 2.9. הקבוצה - Q קבוצת המספרים הרציונאליים - היא הקבוצה { Q = x R x = m n = m n 1} m, n Z n 0 טענה 2.7. קבוצת המספרים הרציונאליים עם פעולות הכפל והחיבור ויחס הסדר של המספרים הממשיים מהווה שדה סדור: <), +, (R,.(Q, +,, <) הוכחה. מספיק להוכיח סגירות (ביחס לכפל, חילוק, לקיחת נגדי ולקיחת הופכי) -- כל השאר נורש מ R. קיום 1 0, נובע מיידית מההגדרה. 5 יש לשים לב שאנו לא מניחים ש 1 n קיים ב J ; אם,n J ודאי n + 1 J קיים, והרי אם נניח n + 1 = ˆn מראש n, / N לפי ההנחה. 19

3. 2 עקרון ההוכחה באינדוקציה 1. 3. 2 אינדוקציה פשוטה משפט 2.2 (אינדוקציה פשוטה). תהי (n) P סדרת טענות (N n). אם (1) P טענה נכונה ולכל.n נכונה לכל P (n) נכונה), P (n + 1) נכונה P (n)) מתקיים n N אינדוקציה הוכחה. נגדיר {נכונה טענה (n).i = {n N P על פי הנתון, I 1 ו I.n I n + 1 אז I אינדוקטיבית. בנוסף,,I N ולכן.I = N 2. 3. 2 אינדוקציה מלאה משפט 2.3. תהי A N. אזי ב A קיים איבר מינימלי. הוכחה. נניח בשלילה כי לקבוצה A אין מינימום. אם A = N אזי = 1 A,min לכן נניח בנוסף.A N תהי b}.b = {b N a A a למה 2.6. B קבוצה אינדוקטיבית. הוכחה. B,1 כי 1 n n N ובפרט 1 a. a A N כעת נניח כי.n B אזי. a A a n אך אם n,n A איבר מינימלי ב A -- סתירה; לכן.n / A (כלומר, אי השוויון הופך לחריף.) למה + 1.2.7 n a A a )כלומר, )n + 1 B הוכחה. לפי טענה + 1,42.1 n. x N x > n x מכאן נקבל כי מתקיים.n + 1 B ולכן, a A a > n a n + 1 כעת, B N אינדוקטיבית N.B = לכן =,A 6 בסתירה להנחה. 7 טענה 2.8. לכל קבוצה סופית לא ריקה של מספרים טבעיים יש מקסימום. הוכחה. נוכיח באינדוקציה על מספר איברי הקבוצה. עבור = 1 n, הטענה טריוויאלית. נניח כי הטענה נכונה עבור.n תהי B קבוצה בת + 1 n איברים: } n+1.b = {b 1,..., b נגדיר } n.a = {b 1,..., b על פי הנחת האינדוקציה, ל A קיים מקסימום.max A = a נפריד לשני { מקרים: b n+1 a < b n+1 max B = a a b n+1 משפט 2.4 (אינדוקציה מלאה). תהי (n) P סדרת טענות )N n(. אם לכל n N מתקיים אינדוקציה מלאה (נכונה (n) P נכונה (k) P (n),( k < n P נכונה לכל.n 8 הוכחה. תהי {נכונה איננה (b).b = {b N P נניח בשלילה.B מכאן, ל B קיים איבר מינימלי.b 0 אז לכל P (k) b 0 > k נכונה, ולכן ) 0 P (b נכונה -- סתירה לכך ש B b 0 )כלומר, ) 0 P (b איננה נכונה(. 6 כפי שהוסבר בהוכחת למה,2.6 A.n B n / 7 כלומר, לא קיימת A כך של A אין איבר מינימלי. 8 באופן מובלע מוכח ש ( 1 ) P נכונה -- מכיוון שאין טבעי קטן מ 1, באופן ריק מתקיים שלכל < 1 k P (k) נכונה. 20

4. 2 תכונת השלמות 1. 4. 2 שלמות R טענה.2.9 לא קיים r Q כך ש 2 = 2.r הוכחה. נניח בשלילה שקיים.) 9 p, q N( r = p q.r2 = 2,r Q בלי הגבלת הכלליות, נוכל להניח כי p או q אי זוגי. אז ( ) 2 p r 2 = p זוגי q אי זוגי מכיוון ש p זוגי, ניתן q = 2 p 2 = 2q 2 לכתוב,p = 2m ואז 2 q (2m) 2 = 2q 2 2m 2 = q זוגי -- סתירה.. a A, b B אזי משפט 2.5 (אקסיומת השלמות). תהיינה A, B R כך ש b a. b B (כלומר, קיים איבר ממשי שמפריד, b r, a A קיים R r כך ש r a במובן החלש, בין A לבין B.( דוגמא.2.2 ברציונאליים האקסיומה לא מתקיימת: נבחר, למשל, } 2 > q A = { q Q ו } 2 < q.b = { q Q 2. 4. 2 חסמים. a A איבר חסמים הגדרה.2.10 תהי.A R איבר R b נקרא חסם מלעיל של A אם a b. a A a c אם A נקרא חסם מלרע של R c הגדרה 2.11. תהי A. R איבר R r נקרא חסם עליון של (sup (A A אם r הוא חסם מלעיל של A ולכל חסם מלעיל b של.b r,a 10 איבר R r נקרא חסם תחתון של (inf A) A אם r הוא חסם מלרע של A ולכל חסם מלרע b של b. r A, דוגמא.2.3 אם 1} < x A = {x R 0 < אז = 1 A.sup אם } 2 < q B = { q Q אז 2 = B.sup אם N} C = { 1 1 n n אז = 1 C.sup משפט 2.6. לכל קבוצה חסומה מלעיל A R קיים חסם עליון יחיד. תהי A R קבוצה חסומה מלעיל. נגדיר B להיות קבוצת החסמים מלעיל של A: הוכחה..B = {b R a R אז B.A, לפי אקסיומת השלמות, קיים r R כך a} b. b B a A ו r b ש r a למה 2.8. r הוא חסם עליון של A. הוכחה. )נובעת משני האי שוויונים המגדירים את r.( למה 2.9. חסם עליון של קבוצה חסומה מלעיל A R הוא יחיד. הוכחה. יהיו r 1 r, 2 חסמים עליונים של r 2 r, 1 A. הם בפרט חסמים מלעיל של A. עליון מלעיל 1 r מלעיל 2 r עליון 1 r r 2 r 1 = r 2 9 אפשר להניח זאת, כי r חיובי. 10 כלומר, r הוא החסם מלעיל הקטן ביותר. 21

טענה 2.10. תהי A קבוצה חסומה מלעיל. איבר r R הוא החסם העליון של A אם ורק אם A; חסם מלעיל של r 1..2 לכל < ε 0 קיים a A כך ש a.r ε < הוכחה. ( ) נניח כי r R הוא חסם עליון של A. ראשית, על פי הגדרה, r חסם מלעיל של.A נניח בשלילה כי קיים < ε 0 כך שלכל.a r ε a A במקרה זה, r ε חסם מלעיל; אך r, ε < r בסתירה לכך ש r חסם עליון. ( ) נניח כי r R מקיים את התנאים 1'+2'. ראשית, r חסם מלעיל על פי תנאי 1'. נניח בשלילה שקיים u R שהוא חסם מלעיל של.u < r,a נגדיר.ε 0 = r u לכל a u,a A ולכן,r ε 0 a בסתירה לתנאי.'2 הגדרה.2.12 תהיינה.A, B R אזי -- A + B = {a + b a A b B} A B = {a b a A b B} A = { a a A} A 0 a A a 0 טענה 2.11. תהיינה,A B R קבוצות חסומות מלעיל. אז - ;sup(a + B) = sup A + sup B.1 ;inf( A) = sup A.2.3 אם 0 B A, אזי.sup(A B) = sup A sup B הוכחה. כתרגיל. 3. 4. 2 ארכימדיות הממשיים ארכימדיות הממשיים משפט 2.7 (ארכימדיות של המספרים הממשיים). x R n N : x < n הוכחה. נניח בשלילה כי N חסומה מלעיל; לכל קבוצה חסומה מלעיל קיים חסם עליון. יהי.N החסם העליון של a R.a 1 2 למה.2.10 קיים n N כך ש a < n הוכחה. ראשית, a חסם עליון של N ולכן. n N n a אם לא קיים n N שעבורו a 1 2 < n אז 1 2 a חסם מלעיל של,N בסתירה לכך ש a (a 1 2 <) חסם עליון. 1 2 a n N : ולכן,a < a + 1 2 n + 1 N 11 בסתירה באמצעות הלמה, בפרט < n לכך ש a חסם עליון של N..0 < 1 n מסקנה.2.1 לכל < ε R 0 קיים n N כך ש ε <.n 1 ε,n N אזי לכל.ε 1 n הוכחה. נניח בשלילה כי קיים < ε 0 כך שלכל n, N קיבלנו שמספר ממשי גדול מכל טבעי, בסתירה לארכימדיות הממשיים. 11 חיברנו 1 לשני האגפים. 22

4. 4. 2 צפיפות טענה.2.12 יהיו R a, b כך ש b.a < a + 1 < אזי קיים מספר שלם z Z כך ש ( b.z (a, הוכחה. ראשית, מספיק להוכיח את הטענה עבור 0 b :a, אם (a, b),a < 0 < b,0 ואם 0 b,a < נחליף את האינטרוול b) (a, ב ( a.( b, כעת, a < a + 1 < b.0 נתבונן ב { a - L = {s Z s קבוצת השלמים שחסומים מלעיל על ידי.a למה.2.11 יהי u חסם עליון של.L אזי.a 1 u הוכחה. נניח 1 a.u < אם נחליף כל s L ב 1 + s,t = עדיין יתקיים,t a בסתירה לכך ש u חסם עליון. 12 לכן.a 1 u למה.2.12 u.a 1 < קיים s L כך ש a.a 1 < s u אחרת, 1 a חסם מלעיל -- סתירה. לכן.s + 1 (a, b) ולכן,s + 1 Z בנוסף,.a < s + 1 a + 1 < b. b, c R הגדרה.2.13 תת קבוצה A R נקראת צפופה אם c) c > b A (b, תת קבוצה צפופה טענה 2.13. R Q היא קבוצה צפופה. < 1.0 קיים n N כך c b הוכחה. יהיו R b, c כך ש b.c > אז > 0 b ;c נתבונן ב.c b נקבל > 1,b = nb,c = nc ואם נסמן,nc nb לפי הארכימדיות. אז > 1,n > 1 ש c b. ẑ n ( b n, c לכן, מהטענה הקודמת, קיים מספר שלם Z ẑ כך ש ( c.ẑ (b, אז c) n ) = (b,.(b, c) קיים באינטרוול, ẑ n כלומר, לפחות מספר רציונאלי אחד, טענה.2.14 יהיו.b, c R אם,c > b אזי c) (b, מכיל אינסוף מספרים רציונאליים. הוכחה. נניח בשלילה שקיים אינטרוול (c,b) שמכיל מספר סופי של מספרים רציונאליים. יהיו a 1,..., a n כל המספרים הרציונאליים באינטרוול c).(b, לכל קבוצה סופית של מספרים ממשיים קיים מקסימום; יהי.q = max a i אז b < q < c ו ( c (q, c) (b, לא מכיל נקודות רציונאליות, בסתירה לצפיפות Q. 5. 2 שורשים וחזקות טענה.2.15 קיים r R כך ש 2 = 2.r 13 הוכחה. נגדיר } 2 2 U 14.U = { x R x חסומה מלעיל )למשל, על ידי,)2 לכן קיים ל U חסם עליון. יהי r R החסם העליון של U. למה = 2.2.13 2 r הוכחה. נניח בשלילה כי > 2 2.r עבור < ε,0 נתבונן ב ε) 2 :(r 12 החסם העליון על + 1 L גדול ב 1 מזה של -- L למעשה, "הזזנו" כל איבר ב L קדימה ב 1. 13 עד כה, הראינו ש 2 אינו רציונאלי, אך לא הוכחנו ממשיות. על מנת להוכיח זאת, נשתמש בתכונה היחידה שהממשיים מקיימים אך לא הרציונאליים -- שלמות )או, באופן שקול, קיום סופרמום(. 14 אפשר גם לקחת רק את החיוביים; זה לא משנה. 23

חזקה שורש (r ε) 2 = r 2 2εr + ε 2 r 2 2εr ε < r2 2 2r עבור ε מספיק קטן, גם > 2 2εr :r 2 אם ניקח,2εr < r 2 2 נקבל ו (r ε) 2 < r 2 <.2 לכן r ε הוא חסם מלעיל של,U בסתירה לכך ש r.sup U = כעת נניח בשלילה כי < 2 2.r נתבונן ב ε) 2,(r + עבור < ε < r :0 (r + ε) 2 = r 2 + 2εr + ε 2 = r 2 + ε(2r + ε r 2 + 3εr (r + ε) 2 U אז.(r + ε) 2 r 2 + 3εr ולכן < 2 3εr < 2 מתקיים r 2 ε < 2 r2 3r אם ו r איננו חסם מלעיל -- סתירה.,a 0 = 1,a בנוסף, נגדיר עבור 0.a n = } a. {{.. a } הגדרה.2.14 יהי.n N,a R נסמן פעמים n.a n = 1 a = (a n ) 1 n a n+m = m a n a טענה.2.16 m a kn = (a n ) k הגדרה.2.15 יהי r = a 1 n = n a.n N,0 < a הוא המספר הממשי החיובי המקיים.r n = a טענה.2.17 יהי < x, y R,n N,0 < a.0 אז.x n = y n = a x = y 15 הוכחה. נניח בשלילה כי < y < x.0 מכאן,,y n < x n בסתירה להנחה.x n = y n.)r = a 1 n משפט.2.8 לכל < n N 0 קיים < r R 0 כך ש a = n a( r n = הוכחה. ניתן להכליל את טענה 2.15 לקיום שורש ריבועי לכל ממשי חיובי. למה.2.14 לכל n ומכאן לכל > 1,x.x n < x 2n אז מספיק להוכיח כי קיים x = 1+u ומתקיים 2 R u כך ש u.x 2n < נוכיח באינדוקציה על.n אם = 1,n נבחר 1 < x 2n < כך ש u 1 < x קיים 0 1 1 < x 2 0 x n זו קבוצה חסומה מלעיל, לכן קיים.r = sup L למה.2.15 a r n =,1 < λ n < a r. a לפי למה,2.14 קיים < λ 1 כך ש n r הוכחה. נניח בשלילה כי.r n < a אזי > 1 n λ n < a ו a.(λr) n = r n λ n < אז,λr L בסתירה לכך ש r הוא חסם מלעיל. r ובפרט n,1 < δ n < rn a a. לפי למה 2.14, קיים < δ 1 כך ש r כעת נניח בשלילה כי.r n > a אזי < 1 n a, < rn בסתירה לכך ש r חסם עליון. 17 δ ובפרט δ n < rn a ו ( r n δ )n = לכן.r n = a.( 1 r )n = ו a r n = 1 a אז ; r : r = n 1 a < 1 ו 1 a עבור < 1 a <,0 מתקיים 15 טענה זו מוכיחה את יחידות השורש. 16 נשים לב כי ) 2 2n.x 2n+1 = x 2n 2 = (x 17 מתקיים < δ r δ < r 1 ץ 24

m n a = mn a.1 טענה 2.18. m ab = m a m b.2 n a < n b a < b.3 m a < n a m < n,1 < a.4 a m n הוכחה. כתרגיל. = def הגדרה.2.16 m (a 1 n ) m = ( n a) (k, m, n N,a < 0) a km טענה.2.19 n kn = a m הוכחה. כתרגיל. 25

3 סדרות סדרה איברי הסדרה a i R מסמנים ) n (a 18. ניתן להגדיר סדרה כהתאמה.N R דוגמא 3.1 (סדרה קבועה). n a n = c R a n = 1 n דוגמא 3.2 (סדרה הרמונית). דוגמא 3.3 (סדרה חשבונית). n > 1 a n a n 1 = t גבול של סדרה a 1, q 0 an+1 a n דוגמא 3.4 (סדרה גיאומטרית). = q הגדרה.3.1 תהי ) n (a סדרה. איבר b R הוא גבול של הסדרה ) n (a אם ε > 0 n 0 N n > n 0 a n b < ε. (43) הגדרה 3.2. תהי P טענה. נאמר שסדרה ) n a) מקיימת את הטענה P כמעט לכל n אם קיים n 0 טבעי כך שלכל n > n 0 הטענה מתקיימת עבור a. n הגדרה.3.3 תהי ) n (a סדרה. איבר b R הוא גבול של הסדרה ) n (a אם לכל < ε 0 איברי הסדרה שייכים לסביבת ε של b כמעט לכל n. הגדרה 3.4. סדרה ) n a) נקראת סדרה מתכנסת אם קיים לה גבול. סדרה ) n a) שאין לה גבול נקראת סדרה מתבדרת. גבול של סדרה: הגדרה שקולה סדרה מתכנסת סדרה מתבדרת.(a n = 1 n דוגמא 0 3.5. היא נקודת גבול של הסדרה ההרמונית, ) הוכחה. צ"ל כי לכל > 0 ε קיים n 0 N כך שלכל.a n 0 < ε n > n 0 < 1 n 0 0. לכל n 0 < n מתקיים יהי נתון > 0.ε הראינו (מסקנה ( 1.5 כי קיים n 0 כך ש < ε, 1 n < 1 n 0 כנדרש. < ε (. ( 1)n n (a n = ( 1)n מתכנסת ל 0. n דוגמא.3.6 ) 0 = 1 n הוכחה. (אותה הוכחה, כי דוגמא 3.7. סדרה גיאומטרית מתבדרת אם > 1 q ומתכנסת ל 0 אם < 1 q. למה.3.1 1) >.(q לכל x R קיים n N כך ש x.q n > הוכחה. > 1 q.(c > 0) q = 1+c כעת, על פי אי שוויון ברנולי, 19 1+nc.q n = (1+c) n + c) n > (1 + c) n 0.(1 נבחר יהי.x R אזי קיים n 0 כך שלכל + n 0 c > x n > n 0 1.n 0 > x c בהינתן,x R על פי הלמה,. n 0 n > n 0 q n > x לכן הסדרה מתבדרת. למה.3.2 1) < q <.(0 לכל < ε 0 קיים n 0 N כך שלכל.q n < ε n > n 0 n > n 0 1 הוכחה. < 1 q < 1 q 0 <.1 כעת, לפי הלמה הקודמת, מתקיים ε < ( 1 q )n.q n < ε 18 שמו לב ש- {n a} ו- (n a) לא אותו דבר. 19 אי שוויון ברנולי:.(x 1) n N (1 + x) n 1 + nx ניתן להוכחה באינדוקציה. 26

משפט 3.1 (יחידות הגבול). תהי ) n a) סדרה מתכנסת. אם a ו b הן נקודות גבול של ) n a) אזי.a = b.ε = b a אזי 3 הוכחה. נניח בשלילה כי a. b בה"כ, a. n 0 נקודת גבול, לכן קיים n 1 כך שלכל.a n (b ε, b + ε) n > n 1 לכן אם ניקח ) 1 a n,n > max(n 0, n ε),(a ε, a + ε) (b ε, b + בסתירה לכך שהחיתוך ריק. טענה.3.1 תהיינה ) n (b n ),(a סדרות. אם a n = b n כמעט לכל,n אזי ) n (a מתכנסת ) n b) מתכנסת. אם הן מתכנסות, יש להן אותו גבול. הוכחה. נסמן ב n ˆ את האינדקס שהחל ממנו שתי הסדרות משתוות. אם ) n (a מתכנסת, אזי. ε > 0 n 0 n > n 0 a n a < ε כעת: ε > 0 n 1 = max(n 0, ˆn) n > n 1 b n a = a n a < ε סדרה חסומה מלעיל סדרה חסומה מלרע סדרה חסומה הגדרה.3.5 סדרה ) n (a נקראת חסומה מלעיל אם קיים M R כך שלכל.a n M n N סדרה ) n (b נקראת חסומה מלרע אם קיים C R כך שלכל.b n C n N סדרה ) n d) נקראת חסומה אם היא חסומה מלעיל ומלרע. טענה 3.2. תהי ) n a) סדרה מתכנסת. אזי ) n a) סדרה חסומה. הוכחה. תהי ) n a) סדרה מתכנסת. אזי יש לה גבול. נסמנו ב a. נבחר = 1 ε. מהתכנסות. a n a < 1 n > כך שלכל n 0 נובע שקיים n 0 (a n ) נגדיר } n0.c = min {a 1, a 1,..., a n0 },M = max {a + 1, a 1,..., a טענה.3.3 תהיינה ) n (a ו ( (b n סדרות מתכנסות. אם קיים ˆn כך שלכל ˆn < n מתקיים,b n a n אז.lim b n lim a n הוכחה. נסמן.b = lim b n,a = lim a n נניח בשלילה כי.a < b מהתכנסות הסדרות נקבל.ε = b a 3 שקיים 0) n 1 = max(n a 0, n b כך שלכל a n a < ε n 1 < n ו ε. b n b < נבחר.b n a n n בסתירה לכך שכמעט לכל,n כמעט לכל a n < a + b a 3 M a n b n c n אזי.lim b n = L הוכחה. צ"ל. ε > 0 n 0 n > n 0 b n L < ε יהי נתון (a n ).ε ו ( (c n מתכנסות ל L, לכן קיימים n 2,n 1 כך שמתקיים n n > n 1 a n > n 0 L ε < אזי.n 0 = max(n 1, n 2, M) נגדיר. n > n 2 c n L < ε,l < ε n.b n L bn L < ε a n b n c n < L + ε.lim 1 n דוגמא.3.8 יהי < α Q.1 אזי = 0 α.lim 1 n 1 )0 (0 N. n לפי למת הסנדוויץ', = 0 α n 1 α n הוכחה. 0) ( 27

דוגמא.3.9 יהי < 1 α <.0 אזי = 1 a.lim n הוכחה. ראשית, < 1 a.a a n = n נרצה להראות כי = 1 a.lim n נניח בשלילה שהסדרה אינה מתכנסת ל 1. אזי קיים > 0 ε כך שקיימים אינסוף אינדקסים n שעבורם. n a < 1 ε 20.a < (1 ε) n k אולם לכל כלומר, קיימים אינסוף אינדקסים nk כך ש ε n k a < 1 0 ε) n k,(1 בסתירה < δ < a k 0 < k כך שלכל ( קיים k 0 0 < δ < a ) ובפרט, לכל 0 < δ להנחת השלילה. לכן הסדרה מתכנסת ל 1. למה 3.1. תהי ) n a) סדרה. הטענות הבאות שקולות: lim a n = a.1 lim(a n a) = 0.2 lim a n a = 0.3 הוכחה. השקילות נובעת מיידית מההגדרה: ε > 0 n 0 n > n 0 a n a < ε lim a n = a.1 ε > 0 n 0 n > n 0 (a n a) 0 < ε lim(a n a) = 0.2 ε > 0 n 0 n > n 0 a n a 0 < ε lim a n a = 0.3 טענה.3.4 תהי ) n (a סדרה. a.lim a n = a lim a n = הוכחה. ε > 0 n 0 n > n 0 a n a < ε lim a n = a צ"ל כי. ε > 0 n 0 n > n 0 a n a < ε על פי אי שוויון המשולש, a a n. a n a < ε a n a < ε לכן. a n a הגדרה.3.6 סדרה ) n (a נקראת אינפיניטיסית אם היא מתכנסת ו- = 0 n lim a n משפט.3.3 יהי ) n (a סדרה אינפיניטיסימלית ו- ) n (b סדרה חסומה אזי ) n (a n b היא גם אינפיניטיסימלית. הוכחה. מפני ש- ) n (b חסומה, קיים > 0 M כך שלכל n N מתקיים. b n < M צ ל: ε). ε > 0 n 0 n > n 0 ( a n b n < ε 1 = ε M לפי נתון, מפני ש- ) n (a אינפיניטיסימלית, קיים n 0 כך ש- נקח > 0 ε נגדיר n > n 0 ( a n < ε 1 ) n > n 0 ( a n b n < ε 1 b n < ε M M = ε). ז.א. 20 יש לשים לב שמדובר כאן על אי התכנסות הסדרה למספר מסויים, לא על התבדרותה )אי התכנסותה לכל מספר שהוא(. 28

lim אזי אפשר להציג אותה כי סכום של סדרה משפט.3.4 יהי ) n (a סדרה מתכנסת ו- n a n = a קבעוה (a) וסדרה אינפיניטיסימלית ) n (b ז.א. )+(a) (a n ) = (b n כאשר ) n (b אינפיניטיסימלית. הוכחה. נגדיר b n = a n a ברור ש- )+(a) (a n ) = (b n נשאר להוכיח ש - ) n (b אינפיניטיסימלית. לפי נתון ε > 0 n 0 n > n 0 ( a n a < ε) ε > 0 n 0 n > n 0 ( b n < ε) וזה אומר ש- לכן ) n (b אינפיניטיסימלית. 1. 3 אריתמטיקה של גבולות משפט.3.5 תהיינה ) n (b n ),(a סדרות מתכנסות. אזי lim(a n + b n ) = lim a n + lim b n הוכחה. צ"ל. ε > 0 n 0 n > n 0 (a n + b n ) (a + b) < ε n 1 n > n 1 a n a < ε 2 וכן. n 2 n > n 2 b n a < ε 2 נגדיר על פי הנתון,.n 0 = max(n 1, n 2 ) n > n 0 (a n +b n ) (a+b) = (a n a)+(b n b) a n a + b n n < ε 2 + ε 2 = ε משפט.3.6 תהיינה ) n (b n ),(a סדרות מתכנסות. אזי lim(a n b n ) = lim a n lim b n הוכחה. לפי משפט (3.4) n) (a n ) = (a) + (a ו- n) (b n ) = (b) + (b כאשר סדרות n) (a n), (b אינפיניטיסימליות. ולפי משפט הקודם ומשפט (3.3) נקבל lim(a n b n ) = lim((a n + a) (b n + b)) = lim(a nb n + ab n + a nb + ab) = = lim a nb n + lim ab n + lim a nb + lim ab = 0 + 0 + 0 + ab = ab משפט.3.7 תהיינה ) n (b n ),(a סדרות מתכנסות כך ש 0 n lim b ולכל.b n 0 n אזי lim a n b n = lim a n lim b n 29

( ) 1 0 ε > 0 n 0 n > n מהתכנסות b n 1 b < ε. lim 1 b n = 1 lim b n הוכחה. מספיק להוכיח כי b b b n < min(ε b.כמו כן, עבור n מספיק גדול, 2, b 2 ) n > כך שלכל n 1 n 1,קיים b n b, b b n < ε b ומכאן, 2 < ε b b n לכן. b 2 0 n. n a נגדיר c k = k a 1... a k (סדרת הממוצעים הגיאומטריים). אזי.lim c k = lim a n lim n a n = מתכנסת. אזי q n = an+1 a n.3 תהי ) n (a סדרה, > 0 n n a.נניח כי הסדרה.lim a n+1 a n הוכחה. כתרגיל בונוס. 2. 3 התכנסות במובן הרחב הגדרה 3.7. סדרה ) n a) נקראת סדרה מתכנסת (במובן הרחב) ל + אם ל מתכנסת סדרה + M R n 0 n > n 0 a n > M. סדרה ) n a) נקראת סדרה מתכנסת (במובן הרחב) ל אם ל מתכנסת סדרה C R n 0 n > n 0 a n < C. סדרה ) n a) נקראת מתכנסת במובן הרחב אם היא מתכנסת או מתכנסת במובן הרחב ל ±. סדרה מתכנסת במובן הרחב דוגמא.3.10 n a n = log n,a n = 2 n,a n = מתכנסות במובן הרחב ) ל +.( n b n = ( 1) מתבדרת, גם במובן הרחב. טענה 3.6. אם סדרה מתכנסת במובן הרחב אזי הגבול (במובן הרחב) יחיד. הוכחה. ראשית, נניח כי הסדרה ) n a) מתכנסת ל R L. הוכחנו כי סדרה מתכנסת היא חסומה. לכן קיים < M R 0 כך ש, n N M < a n < M ולכן הסדרה איננה מתכנסת במובן הרחב ל ±. נניח כי ) n a) מתכנסת במובן הרחב ל + (עבור כתרגיל). אזי M R n 0 n > n 0 a n > M.סדרה כזאת איננה חסומה, ולכן אין לה גבול ממשי. עם זאת, הסדרה ) n a) חסומה מלרע, ולכן איננה מתכנסת ל. 21 ההיפך אני בהכרח נכון: למשל, סדרת הממוצעים של הסדרה (המתבדרת) a n = (1 ) n היא. 1, 0, 1 3, 0, 1 5,... 0 30

טענה 3.7. תהי ) n a) סדרה המתכנסת במובן הרחב ל + ותהי ) n b) סדרה חסומה מלרע. אזי.lim(a n + b n ) = הוכחה. קיים C R כך ש. n N b n > C צ"ל. M R n 0 n > n 0 a n + b n > a n + C > M מהתכנסות ) n (a (במובן הרחב) ל + נובע כי n 0 n > n 0 a n > M C. n > n 0 a n + b n > M משפט 3.8. תהי ) n a) סדרה מתכנסת במובן הרחב ל + ותהי ) n b) סדרה שעבורה > K.lim(a n b n ) = אזי.0 n b n > K הוכחה.. M R n 0 n > n 0 a n b n > M מהתכנסות ) n (a במובן הרחב, > n n 0. n > n 0 a n b n > a n K > max(m, 0) M n 0 a n > max(m,0) K טענה.3.8 תהיינה ) n (b n ),(a סדרות כך שלכל.b n a n n אזי -- lim a n = lim b n =.1 lim b n = lim a n =.2 הוכחה. M R n 0 n > n 0 (b n > M a n b n > M).1 2. כתרגיל. טענה.3.9 תהי ) n (a סדרה, 0 n. n a lim 1 a n = 0 lim a n = ±.1 22 lim 1 a n = lim a n = 0.2 הוכחה. 1 a n < ε. ε > 1 0 n0 n > n 0 a n.1 נניח ש + = an.lim צ"ל < ε, n 0 n > n 0 a n > M = 1 ε מתקיים M = 1 ε עבור,lim a n = + לפי. a n > 1 ε כנדרש. 2. כתרגיל. 31

סדרה מונוטונית סדרות מונוטוניות 3. 3 הגדרה.3.8 סדרה ) n (a נקראת n+1 n a n a מונוטונית עולה אם n a n < a n+q מונוטונית עולה ממש אם n+1 n a n a מונוטונית יורדת אם n+1 n a n > a מונוטונית יורדת ממש אם משפט 3.9 (ווירשטרס). תהי ) n a) סדרה מונוטונית חסומה. אזי ) n a) מתכנסת. הוכחה. נניח כי ) n a) היא סדרה מונוטונית עולה )עבור מונוטונית יורדת -- כתרגיל(; אזי יש לה חסם עליון.sup{a 1, a 2,...} = L נראה כי.lim a n = L צ"ל L. ε > 0 n 0 n > n 0 a n L < ε הוא חסם עליון של ) n,(a לכן > ε. a n L < ε ε > 0 n > n 0 L ε < a n0 a n L כעת,.0 n 0 L ε < a n0 לכן הסדרה מתכנסת. משפט 3.10. כל סדרה מונוטונית מתכנסת במובן הרחב. הוכחה. נניח כי ) n a) היא סדרה מונוטונית עולה. אם ) n a) חסומה, לפי המשפט הקודם היא מתכנסת במובן הצר ולכן גם במובן הרחב. כעת נניח כי ) n (a אינה חסומה (מלעיל). אזי לכל M R קיים n 0 כך ש.M < a n0 ממונוטוניות ) n, n > n 0 M < a n0 a n,(a כנדרש. דוגמא.3.11 יהי < 1 q <.0 אזי ) n (a n = q מתכנסת ל 0. הוכחה. ראשית, הסדרה a n = q n היא מונוטונית יורדת ממש וגדולה מ 0. לכן, על פי המשפט הקודם, הסדרה מתכנסת. נותר לחשב את הגבול. יהי L. = lim a n = lim q n נקבל lim q n = lim q q n 1 = lim q lim q n 1 = q L L = ql ומכיוון ש 1 < q <,0 בהכרח = 0.L 4. 3 המספר e נתבונן בסדרה.a n = (1 + 1 n )n ) n ( a n = ( 1 + 1 n) מתכנסת. טענה 3.10. הסדרה a n = b n לכן מספיק להוכיח שסדרה (1+ n) ז.א. b 1 n = ( ) 1 + 1 n+1 הוכחה. נגדיר סדרה n n+1 b n = ( 1 + 1 n) מונוטונית יורדת וחסומה מלרע. bn מתכנסת. נראה כי הסדרה חסומה מלרע: b n = ( 1 + n) 1 n+1 1 + (n + 1) 1 n = 2 + 1 n 2 ( 1 יכולה להתבדר. a n 22 הסדרה ) 32

b n b n+1 = ( ) 1 + 1 n+1 n ( ) n+2 = 1 + 1 n+1 ( n 2 + 2n + 1 ( n+1 ) n+1 n ( n+2 n+1 ) n+2 = ) n+2 n = n 2 + 2n n + 1 = n n + 1 n ( ) 1 1 + (n + 2) n + 1 n 2 + 2n ( n n+1 ) n+2 n+1 n ( n+2 n+1 מונוטונית יורדת: ( (n + 1) 2 ) n+2 = (n + 2)n ( 1 + = n n + 1 ) n+2 1 n 2 + 2n ( 1 + 1 ) = 1 n או שאותו דבר: ) n b) היא מונוטונית יורדת. ולפי משפט ווירשטרס נקבל bn b n+1 ז.א. 1 ש- ) n (b מתכנסת. ) n+2 n n + 1 = המספר e e ).e = lim ( 1 + 1 n) n איננו רציונאלי; e איננו אלגברי. 23 ( הגדרה 3.9. 23 מספר אלגברי הוא פתרון של פולינום כלשהו שמקדמיו רציונאליים. 33

תת סדרה גבול חלקי 5. 3 תת סדרות הגדרה.3.10 תהי ) n (a סדרה, ותהי נתונה סדרה עולה ממש של אינדקסים < 2 n 1 < n 1.(a n ) נקראת תת סדרה של הסדרה (a nk ) הסדרה.... < n k < n k+1 <... דוגמא.3.12 n).(a n =..., 4 1, 2, 2 2, 2 3, 2 היא תת סדרה של הטבעיים. דוגמא.3.13 תהי ) n (b כך ש.b n = ( 1) n לסדרה זו ישנן תת סדרות קבועות:... 1, 1, ו... 1,.1, הגדרה.3.11 תהי ) n (a ותהי ) nk (a תת סדרה של ) n.(a אם תת הסדרה ) nk (a מתכנסת (במובן הרחב), גבולה נקרא גבול חלקי (במובן הרחב) של הסדרה ) n a). משפט 3.11. תהי (n a) סדרה מתכנסת במובן הרחב. אזי כל תת סדרה של 1=k a) n ) מתכנסת (במובן הרחב) לאותו גבול. הוכחה. ראשית, נניח כי.R L = lim a n תהי ) nk (a תת סדרה של ) n.(a k > k 0 = n 0 a nk L < ε ε > 0 n 0 n > n 0 a n L < ε ) כי לכל,k n k k ומכאן.( n 0 n k0 כעת נניח כי = n.lim a k > k 0 = n 0 a nk > M M R n 0 n > n 0 a n > M טענה 3.11. תהי ) n a) סדרה. אם לסדרה ) n a) קיימים גבולות חלקיים (במובן הרחב) שונים, אזי הסדרה ) n (a מתבדרת. הוכחה. נניח כי לסדרה ) n (a גבולות חלקיים.L 1, L 2 R ראשית, לא ייתכן שהסדרה ) n (a מתכנסת (במובן הרחב) ל +, שכן סדרה המתכנסת ל + לא מכילה תת סדרה חסומה מלעיל. (באופן דומה עבור.) כעת, נניח כי.a n u R אם,u L 1, L 2 קיימות סביבות זרות של,L 2,L 1,u ולכן לאינסוף אינדקסים n האיברים a n נמצאים מחוץ לסביבה הנתונה של u, בסתירה להתכנסות ) n a) ל u. אם u = L 1 או,u = L 2 נקבל סתירה להתכנסות, באותו אופן. 24 משפט 3.12. תהי ) n a) סדרה. איבר L R הוא גבול חלקי של הסדרה ) n a) אם"ם כל סביבת ε של L מכילה אינסוף איברים מהסדרה ) n a). הוכחה. ראשית, אם L גבול חלקי של הסדרה (n a) אז קיימת תת סדרה 1=k a) nk ) המתכנסת לגבול L; על פי הגדרת התכנסות תת סדרה ) nk a), כל סביבה של L מכילה את כל איברי תת הסדרה החל ממקום מסויים, ולכן מכילה אינסוף איברים מהסדרה המקורית. להיפך, יהי L R איבר שכל סביבה שלו מכילה אינסוף איברים מהסדרה ) n a). נבחר = k ε. 1 k סביבת = 1 1 ε של L מכילה אינסוף איברים מהסדרה; נבחר n 1 להיות האינדקס המינימלי של איבר בסביבה זו. נבחר n 2 להיות האינדקס המינימלי הגדול מ n 1 כך ש a n2 נמצא בסביבת = 1 2 2 ε של,L וכו'. לכן נקבל ש- k=1 (a nk ) מתכנסת ל L כי לכל > 0 ε קיים (לפי עיקרון k > ז.א. לכל k 0 1 k 0 הארכימדיס) k 0 כלך ש- < ε a nk L < 1 k < 1 k 0 < ε ואז L גבול חלקי של ) n a). 24 יכולנו גם להניח בשלילה כי (n a) מתכנסת ויש לה גבולות חלקיים L; 1 L 2 לפי המשפט הקודם, היינו מקבלים,L 1 = L 2 בסתירה להנחה. 34

משפט 3.13. תהי ) n a) סדרה. + הוא גבול חלקי של ) n a) אם"ם הסדרה ) n a) איננה חסומה מלעיל. הוכחה. + הוא גבול חלקי של ) n a); אזי ישנה תת סדרה ) nk a) המתכנסת ל + ולכן איננה חסומה מלעיל. מכאן, הסדרה ) n a) כולה איננה חסומה מלעיל. להיפך, נניח כי ) n a) איננה חסומה מלעיל. לכל n טבעי קיים איבר בסדרה, a. s > n נבנה תת סדרה המתכנסת )במובן הרחב( ל +. נבחר n 1 כך ש 1 > n1 ;a נבחר n 2 כך ש n 2 > n 1 ו 2 > n2.a ברקורסיה, בהינתן,n 1,..., n k נבחר אינדקס k+1 n k < n כך ש k.a nk > לכן תת הסדרה ) nk a) מתכנסת במובן הרחב ל +. (תוכיחו כתרגיל.) משפט 3.14 (בולצ'אנו ויירשטראס). לכל סדרה חסומה ) n a) ישנה תת סדרה מתכנסת. הוכחה. תהי ) n (a סדרה חסומה. קיימים מספרים ממשיים c 0,b 0 כך שלכל.c 0 a n b 0 n לפחות אחד מהאינטרוולים I1 R I1, L מכיל אינסוף איברים מהסדרה ) n a). נבחר a 1 מתוך אינטרוול I2 מכיל אינסוף איברים מהסדרה ) n a). בהינתן האינטרוול זה. לפחות אחד מהאינטרוולים R I2, L I, k נחצה אותו לאינטרוולים 1+k.Ik+1 L < IR לפחות אחד מהם מכיל אינסוף איברים מהסדרה.n k+1 > n k שייך לאינטרוול המכיל אינסוף איברים, כך ש a נבחר nk+1.(a n ) נוכיח שהסדרה ) nk a) שנבחרה מתכנסת: על פי הלמה של קנטור, קיימת נקודה משותפת I k נסמן אותה L. לכל L. I k k, לפי בחירת. k L a nk I k = b 0 c 0 a. לכן האיברים ) nk,(a לכל 2 k nk I k k ε > 0 k 0 k > k 0 L a nk b 0 c 0 2 k < b 0 c 0 < b 0 c 0 < ε 2 k0 k 0 מסקנה 3.1. לכל סדרה ) n a) קיימת תת סדרה המתכנסת במובן הרחב. הוכחה. (נובע משני המשפטים הקודמים.) משפט 3.15. סדרה ) n a) מתכנסת במובן הרחב אם"ם יש לה גבול חלקי בודד. הוכחה. ) n a) מתכנסת במובן הרחב כל תת סדרה שלה מתכנסת לאותו גבול, ולכן יש לה גבול חלקי בודד. להוכחת הכיוון השני, נותר להראות כי לסדרה מתבדרת (במובן הרחב) יש לפחות שני גבולות חלקיים. תהי ) n a) סדרה מתבדרת במובן הרחב. נניח, בנוסף, כי ) n a) חסומה.לפי משפט קודם, ל ( (a n קיים גבול חלקי (a n ).L מתבדרת, לכן.a n L לכן קיים < ε 0 כך שקיימת תת סדרה ) nk (a כך ש ε. a nk L תת הסדרה ) nk (a בעצמה חסומה, לכן לפי בולצ'אנו ויירשטראס יש לה גבול חלקי L Lˆ Lˆ. כי בכל סביבה של Lˆ ישנם אינסוף איברים מתת הסדרה ) nk a) אך בסביבת ε של L אין בכלל איברים מתת הסדרה ) nk a). כעת נניח כי ) n a) איננה חסומה. אם ) n a) לא חסומה מלעיל ולא חסומה מלרע, אזי ± הם גבולות חלקיים שלה. לכן ניתן להניח כי ) n a) חסומה מלרע ולא חסומה מלעיל. ) n a) איננה חסומה מלעיל, לכן + הוא גבול חלקי שלה. אבל ) n a) מתבדרת במובן הרחב -- n a, לכן קיים M R כך שקיימים אינסוף איברים מהסדרה ) n a) הקטנים מ M, ולכן קיימת תת סדרה ) nk a) כך שלכל a. nk < M k תת סדרה זו חסומה, לכן לפי בולצ'אנו ויירשטארס יש לה גבול חלקי L. מכאן, L ו + הם גבולות חלקיים של הסדרה ) n a). 35

גבול עליון ותחתון 6. 3 גבולות עליונים ותחתונים הגדרה.3.12 תהי ) n.(a {גבולות חלקיים של ) n lim sup a n = lim a n = sup {(a {גבולות חלקיים של ) n lim inf a n = lim a n = inf {(a def אם ) n (a איננה חסומה מלעיל, אזי + = n.lim a def אם ) n (a איננה חסומה מלעיל, אזי = n.lim a דוגמא 3.14. 1, 1, 2, 2, 3, 3,... lim = + lim = a n = ( 1) n או... 1, 1, 1, 1, 7, 5, lim = 1 1 = lim a n = 1 + 1 n lim = 1 lim = 1 7. 3 סדרות קושי סדרת קושי הגדרה 3.13. סדרה ) n (a נקראת סדרת קושי אם לכל < ε 0 קיים n 0 כך שלכל. a m a n < ε m, n n 0 או שאותו דבר ε > 0 n 0 n, m > n 0 ( a n a m < ε) משפט 3.16. כל סדרה מתכנסת (במובן הצר) היא סדרת קושי. ε הוכחה. תהי ) n (a סדרה מתכנסת..L = lim a n יהי נתון < ε.0 הסדרה מתכנסת, לכן עבור 2 קיים n 0 כך שלכל. a n L < ε 2 n > n 0 לכל. a n L < ε 2, a m L < ε 2,m, n > n 0 לכן, על פי אי שוויון המשולש, a m a n = (a m L) + (L a n ) a m L + L a n < ε 2 + ε 2 = ε טענה 3.12. תהי ) n a) סדרת קושי. אזי ) n a) סדרה חסומה. הוכחה. ניקח = 1.ε קיים n 0 כך שלכל. a m a n < 1 n 0 < m, n נגדיר M = max(a 1,..., a n0, a n0 +1 + 1), C = min(a 1,..., a n0, a n0+1 1). אזי מתקיים. n C a n M משפט.3.17 תהי ) n (a סדרה. אזי ) n (a סדרה מתכנסת אם"ם ) n (a סדרת קושי. הוכחה. ( ) הוכחנו כי אם ) n (a מתכנסת, ) n (a קושי. ( ) נניח כי ) n a) קושי. סדרת קושי היא בפרט סדרה חסומה. לפי בולצ'אנו ויירשטראס, לכל סדרה חסומה קיימת תת סדרה מתכנסת -- L.a nk יהי נתון > 0.ε קיים k 0 כך שלכל k 0 < k a m a n < n 0 < m, n כך שלכל היא סדרת קושי, לכן קיים n 0 (a n ) הסדרה. a nk L < ε 2 36

. ε 2 נבחר +1).n 1 = max(n 0, n k0 יהי k + 1 k 1 אינדקס שעבורו.n 0 n 1 < n k1 אזי,n k 1 ו, n > n 1 a n a nk1 < ε 2 כי.n k1 > n 0 מכאן, > כי n 1, a nk1 L < ε 2 a n L = (a n a nk1 ) (a nk1 L) a n a nk1 + a nk1 L < ε (יתרון תנאי קושי על תנאי ההתכנסות הוא שאין צורך לדעת מה הגבול על מנת לקבוע התכנסות.) 8. 3 חזקות עם מעריך ממשי מבית ספר ידוע מה זה a q כאשר < a R,q Q.0 חזקה ממשית r n x R,r n Q,0 < a R,a x = lim a rn הגדרה 3.14. 37

4 פונקציות, גבולות ורציפות 1. 4 פונקציות הגדרה 4.1. תהיינה Y X, קבוצות. פונקציה (העתקה) f : X Y היא התאמה של איבר (יחיד) ב Y לכל איבר ב X. פונקציה פונקציה זוגית פונקציה אי זוגית תמונת f מוגדרת על ידי y}.f(x) = {y Y x X : f(x) = בהינתן f A : A Y,A X המוגדרת על ידי f(a) a A f A (a) = היא הצמצום של f ל A. גרף של פונקציה f : X Y הוא אוסף הנקודות X}.{(x, f(x)) x הפונקציה f : X Y תיקרא פונקציה ממשית אם.X, Y R 25 דוגמאות לפונקציות: פונקציות קבועות f : R R המוגדרות על ידי c R) x R f(x) = c קבוע) פולינומים כמו (n N {0},a i R) f(x) = p(x) = a n x n +... + a 0 פונקציות מעריכיות (a > 0) f(x) = a x p(x) f(x) = עבור,p(x) q(x) 0 פולינומים. 26 q(x) ופונקציות רציונאליות הגדרה.4.2 פונקציה f : X R נקראת פונקציה זוגית אם מתקיים f( x). x X f(x) = הפונקציה f תיקרא אי זוגית אם f( x). x X f(x) = טענה 4.1. כל פונקציה ממשית f : R R ניתנת לייצוג כסכום של פונקציה זוגית ופונקציה אי זוגית. הוכחה. כתרגיל. הגדרה.4.3 R f : R תיקרא מחזורית אם קיים P R כך ש (. x R f(x) = f(x + P פונקציה מחזורית הגדרה 4.4. פונקציה f : X Y נקראת חד חד ערכית (חח ע) אם x, y X(x y f(x) f(y)) x, y X(f(x) = f(y) x = y). y Y x X(f(x) = y) או שאותו דבר הגדרה.4.5 פונקציה f : X Y על אם או שאותו דבר אם לכל תמונה קיים מקור. 2. 4 גבולות הגדרה 4.6 (גבול לפי קושי). תהי f(x) פונקציה ממשית. נאמר של ( f(x ישנו גבול ב lim x x0 f(x) = x, 0 L אם לכל סביבה (מלאה) U של L קיימת סביבה (מנוקבת) V של x 0 כך ש.f(V ) V בלשון,ε δ ε > 0 δ > 0 x(0 < x x 0 < δ f(x) L < ε) 25 נעיר כי תמיד אפשר לכתוב f : X R עבור פונקציות ממשיות. 26 במקרה האחרון, יש לשים לב שהכוונה ב 0 q(x) היא ש ( q(x לא יהיה פולינום האפס -- לא לכך שלא תהיינה לו.±1 X פשוט,f(x) = x3 +2 נקודות בו הוא מתאפס. למשל, עבור x 2 1 38