Συγκριτική αξιολόγηση µεθόδων στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης σε κτιριακές κατασκευές από οπλισµένο σκυρόδεµα

Συγκριτική αξιολόγηση µεθόδων στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης σε κτιριακές κατασκευές από οπλισµένο σκυρόδεµα Β.Κ. Παπανικολάου Πολιτικός Μηχανικός ΑΠΘ, ΜSc DIC, Yποψήφιος ιδάκτωρ, Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών, ΑΠΘ Α.S. Elnashai Willet Professor, Director Mid-America Earthquake Center, University of Illinois at Urbana-Champaign Λέξεις κλειδιά: στατική ανελαστική ανάλυση, δυναµική ανάλυση, δείκτης απόκλισης, οπλισµένο σκυρόδεµα ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Στην εργασία αυτή παρουσιάζεται µια διαδικασία αξιολόγησης συµβατικών και εξελιγµένων µεθόδων στατικής ανελαστικής ανάλυσης (pushover), στην αποτίµηση της σεισµικής συµπεριφοράς κατασκευών από οπλισµένο σκυρόδεµα. Η διαδικασία αυτή βασίζεται σε ένα δείκτη απόκλισης µεταξύ της στατικής και της ακριβέστερης δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης και εφαρµόζεται σε µια σειρά κανονικών και µη φορέων, υπό διαφορετικές σεισµικές διεγέρσεις, µε στόχο τη συγκριτική αποτίµηση της σεισµικής συµπεριφοράς τόσο σε καθολικό, όσο και τοπικό επίπεδο. Κεντρικό συµπέρασµα είναι ότι οι εξελιγµένες µέθοδοι στατικής ανελαστικής ανάλυσης υπερέχουν ελαφρώς των συµβατικών σε ορισµένες περιπτώσεις, ωστόσο και οι δύο αδυνατούν να αναδείξουν τα δυναµικά φαινόµενα ιδιαίτερα σε περιπτώσεις µη κανονικών φορέων. 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η στατική ανελαστική ανάλυση (pushover) έχει κερδίσει έδαφος τα τελευταία χρόνια έναντι της ελαστικής ανάλυσης, επειδή αποτυπώνει µε ρεαλιστικό τρόπο την ικανότητα παραµόρφωσης και την πορεία πλαστικοποίησης των δοµικών φορέων, γεγονός που την καθιστά πρακτική στον σχεδιασµό µε βάση την επιτελεστικότητα και στην αποτίµηση υφιστάµενων κατασκευών. Το γεγονός αυτό έχει οδηγήσει τόσο στην υιοθέτηση της στατικής ανελαστικής ανάλυσης από σύγχρονους κανονισµούς (FEMA-356, Eurocode 8), όσο και στην συνεχιζόµενη έρευνα πάνω στην περαιτέρω βελτίωσή των δυνατοτήτων της. Οι εξελιγµένες µέθοδοι στατικής ανελαστικής ανάλυσης που έχουν κατά καιρούς προταθεί από διάφορους ερευνητές, έχουν ως κύριο στόχο να περιορίσουν την εγγενή αδυναµία των συµβατικών στατικών µεθόδων να αναπαράγουν οποιαδήποτε δυναµικά φαινόµενα στην απόκριση των κατασκευών υπό σεισµική διέγερση. Η αντιµετώπιση των φαινοµένων αυτών απαιτεί την εφαρµογή της δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης, η οποία µέχρι σήµερα θεωρείται η ακριβέστερη αλλά και η πιο απαιτητική αναλυτική µέθοδος (Πίνακας 1, Elnashai 22). Οι εξελιγµένες µέθοδοι στατικής ανελαστικής ανάλυσης χωρίζονται σε δύο βασικές κατηγορίες, οι οποίες είναι (α) οι µέθοδοι ιδιοµορφικής (modal) στατικής ανελαστικής ανάλυσης (Sasaki et al. 1998, Moghadam & Tso 22, Chopra & Goel 22 µεταξύ άλλων), οι οποίες µέσω πολλαπλών στατικών αναλύσεων και κατάλληλης επαλληλίας των µεγεθών απόκρισης λαµβάνουν υπόψη την συνεισφορά των ανώτερων ιδιοµορφών και των αντίστοιχων φασµατικών επιταχύνσεων και (β) οι µέθοδοι αναπροσαρµοζόµενης (adaptive) στατικής ανελαστικής ανάλυσης (Bracci et al. 1997, Papanikolaou 2, Antoniou & Pinho 24 µεταξύ άλλων), οι οποίες λαµβάνουν υπόψη τη συνεχή αλλαγή των ιδιοµορφικών χαρακτηριστικών του εξεταζόµενου φορέα λόγω της σταδιακής πλαστικοποίησης, µέσω κατάλληλης αναπροσαρµογής του διανύσµατος φόρτισης κατά τη διάρκεια της επίλυσης. Ωστόσο, πέρα από την ανάπτυξη εξελιγµένων µεθόδων στατικής 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 26 1

ανελαστικής ανάλυσης, δεν έχει δοθεί το ανάλογο βάρος στην συστηµατική αξιολόγηση των µεθόδων αυτών, ώστε να προσδιοριστεί ποσοτικά ο βαθµός απόκλισής τους από την πραγµατική δυναµική συµπεριφορά που προκύπτει από την εφαρµογή της δυναµικής ανάλυσης. Κάτι τέτοιο προϋποθέτει τη στατική και δυναµική ανάλυση ενός πλήθους φορέων διαφορετικού ύψους και κανονικότητας, υποκείµενους σε διαφορετικές σεισµικές διεγέρσεις και σύγκριση των µεγεθών απόκρισης τόσο σε καθολικό, όσο και σε τοπικό επίπεδο. Στην εργασία αυτή παρουσιάζεται µια µεθοδολογία αξιολόγησης των στατικών ανελαστικών µεθόδων, η οποία βασίζεται σε έναν δείκτη ποσοστιαίας απόκλισης µεταξύ των µεγεθών απόκρισης που προκύπτουν από τη στατική και τη δυναµική ανελαστική ανάλυση µιας σειράς φορέων από οπλισµένο σκυρόδεµα. Συγκεκριµένα, εξετάστηκαν τέσσερις φορείς οπλισµένου σκυροδέµατος, διαφορετικού ύψους και κανονικότητας καθ ύψος και σε κάτοψη, µε προσοµοίωση τόσο σε δύο, όσο και σε τρεις διαστάσεις. Εφαρµόστηκαν οι µέθοδοι της συµβατικής και αναπροσαρµοζόµενης (adaptive) στατικής ανελαστικής ανάλυσης, καθώς και της βήµα-προς-βήµα δυναµικής ανάλυσης, υπό τέσσερις διαφορετικές σεισµικές διεγέρσεις διαφορετικής φύσεως και συχνοτικού περιεχοµένου. Η απόκριση των φορέων εξετάστηκε τόσο σε καθολικό επίπεδο, όσο και σε επίπεδο ορόφου και δοµικού στοιχείου και καταγράφηκαν οι ανάλογοι δείκτες απόκλισης µεταξύ των στατικών και της δυναµικής µεθόδου. Στόχος είναι να απαντηθεί το ερώτηµα εάν και σε ποιες περιπτώσεις οι στατικές µέθοδοι είναι ικανές να υποκαταστήσουν την δυναµική ανάλυση στον σχεδιασµό και στην αποτίµηση της συµπεριφοράς των κατασκευών. Πίνακας 1. Σύγκριση των απαιτήσεων µεταξύ στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης Στατική ανελαστική ανάλυση υναµική ανελαστική ανάλυση Μονοτονικοί καταστατικοί νόµοι Καταστατικοί νόµοι µε δυνατότητα ανακύκλισης Προσοµοίωση δυσκαµψίας και αντοχής Προσοµοίωση δυσκαµψίας και αντοχής εν χρειάζεται προσοµοίωση µαζών * Χρειάζεται προσοµοίωση µαζών εν χρειάζεται προσοµοίωση απόσβεσης Χρειάζεται προσοµοίωση απόσβεσης εν χρειάζεται πρόσθετες παραµέτρους Χρειάζεται παραµέτρους ολοκλήρωσης στο χρόνο εν χρειάζεται σεισµική διέγερση Χρειάζεται σεισµική διέγερση Χρειάζεται στοχευόµενη µετακίνηση Η στοχευόµενη µετακίνηση είναι αποτέλεσµα Οι δράσεις είναι προκαθορισµένες * Οι δράσεις µεταβάλλονται στο χρόνο Γενικά ταχύτερη από τη δυναµική ανάλυση Αργή σε σχέση µε τη στατική ανάλυση * εν ισχύει στην αναπροσαρµοζόµενη (adaptive) στατική ανελαστική ανάλυση 2 ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΕΛΑΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Για της ανάγκες της παρούσας αναλυτικής έρευνας χρησιµοποιήθηκε το πρόγραµµα πεπερασµένων στοιχείων Zeus-NL (Elnashai et al. 22-26), το οποίο παρέχει δυνατότητες ιδιοµορφικής, ανελαστικής στατικής και δυναµικής ανάλυσης, µε συνυπολογισµό φαινοµένων γεωµετρικής µη-γραµµικότητας. Επίσης, περιέχει καταστατικούς νόµους σκυροδέµατος και χάλυβα µε δυνατότητα ανακυκλιζόµενης φόρτισης, καθώς και πλήθος διατοµών οπλισµένου σκυροδέµατος κατανεµηµένης πλαστικοποίησης (fiber), στις οποίες δεν προαπαιτείται η εισαγωγή δεδοµένων ροπών καµπυλοτήτων, όπως γίνεται στις συνήθεις περιπτώσεις πεπερασµένων στοιχείων σηµειακής πλαστικοποίησης. Στις επόµενες παραγράφους γίνεται µια σύντοµη αναφορά στο θεωρητικό υπόβαθρο και την διαδικασία εφαρµογής των µεθόδων στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης και ορίζεται ο προτεινόµενος δείκτης απόκλισης µεταξύ των αναλυτικών αποτελεσµάτων που προκύπτουν από τις µεθόδους αυτές. 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 26 2

2.1 Συµβατική στατική ανελαστική ανάλυση Η συµβατική στατική ανελαστική ανάλυση, στα πλαίσια της µεθόδου των πεπερασµένων στοιχείων, είναι µια µικροαυξητική-επαναληπτική διαδικασία επίλυσης της εξίσωσης ισορροπίας Κ Τ U = P, όπου Κ Τ είναι το εφαπτοµενικό µητρώο δυσκαµψίας του φορέα, U το διάνυσµα µετακινήσεων και P το διάνυσµα φόρτισης, το οποίο εφαρµόζεται οριζόντια καθ ύψος του φορέα σε µικρά φορτιστικά βήµατα (Σχ. 1). Το διάνυσµα φόρτισης έχει ένα προκαθορισµένο σχήµα (συνήθως τριγωνικό, ορθογωνικό ή ιδιοµορφικό), που σηµαίνει ότι ο λόγος µεταξύ των οριζόντιων φορτίων στο επίπεδο κάθε ορόφου παραµένει σταθερός κατά τη διάρκεια της επίλυσης. Η ανάλυση σταµατάει όταν έχει επιτευχθεί η στοχευόµενη µετακίνηση ή όταν έχει επέλθει κατάρρευση του φορέα, η οποία δεν θα πρέπει να οφείλεται σε αριθµητική αστοχία του αλγόριθµου επίλυσης. Φορέας U = [K T ] -1 ( λ P P e ) (1) όπου : U αύξηση των µετακινήσεων στη τρέχουσα επανάληψη Κ Τ εφαπτοµενικό µητρώο δυσκαµψίας του φορέα από την προηγούµενη επανάληψη ή βήµα (το οποίο ανάλογα µε την µέθοδο επίλυσης µπορεί να ληφθεί σταθερό και ίσο µε το ελαστικό) λ συντελεστής φόρτισης του τρέχοντος φορτιστικού βήµατος P αρχικό διάνυσµα φόρτισης (συνολικό φορτίο) διάνυσµα αντιδράσεων της προηγούµενης επανάληψης P e Σχήµα 1. Η επαναληπτική διαδικασία της συµβατικής ανελαστικής ανάλυσης Η στατική ανελαστική ανάλυση αποτυπώνει βήµα-προς-βήµα την πορεία διαρροής και πλαστικοποίησης του εξεταζόµενου φορέα (Σχ. 2) και παρέχει τη καµπύλη αντίστασης (διάγραµµα τέµνουσας βάσης µετακίνησης κορυφής). Πέρα από την επαρκή αναλυτική προσοµοίωση του φορέα, οι βασικές παράµετροι που απαιτούνται για την εφαρµογή της στατικής ανελαστικής ανάλυσης σε ένα πρόγραµµα πεπερασµένων στοιχείων είναι το µέγεθος και η καθ ύψος κατανοµή του διανύσµατος φόρτισης, ο αριθµός και το µέγεθος των φορτιστικών βηµάτων και τα κατάλληλα κριτήρια σύγκλισης του αλγορίθµου επίλυσης. Ελαστικό στάδιο ιαρροή Κατάρρευση Σχήµα 2. Η πορεία πλαστικοποίησης και η καµπύλη αντίστασης που προκύπτει από τη συµβατική ανελαστική ανάλυση 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 26 3

2.2 Αναπροσαρµοζόµενη στατική ανελαστική ανάλυση (adaptive pushover) Η αναπροσαρµοζόµενη στατική ανελαστική ανάλυση αποτελεί µια εξέλιξη της συµβατικής µεθόδου και αποσκοπεί στο να συµπεριλάβει, µε χαµηλό υπολογιστικό κόστος, δυναµικά φαινόµενα στην απόκριση του εξεταζόµενου φορέα. Η κύρια διαφορά της από τη συµβατική µέθοδο είναι ότι το διάνυσµα φόρτισης λ P (Εξ. 1) του φορέα δεν έχει σταθερό σχήµα, αλλά µεταβάλλεται βάσει των ανελαστικών ιδιοµορφικών χαρακτηριστικών του φορέα σε κάθε φορτιστικό βήµα. Για το λόγο αυτό, πριν την εφαρµογή κάθε φορτιστικού βήµατος προηγείται µια ιδιοµορφική ανάλυση µε βάση το εφαπτοµενικό µητρώο δυσκαµψίας K T. Το ιδιοµορφικό φορτίο F i j που αντιστοιχεί στην ιδιοµορφή i, και τον βαθµό ελευθερίας j είναι ίσο µε : i i i Fj =ν Φj m (2) j όπου : ν i i i Φ M δ συντελεστής συµµετοχής της ιδιοµορφής i, ν = i T i Φ M Φ Φ i ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην ιδιοµορφή i M µητρώο µάζας δ µοναδιαίο διάνυσµα συγκεντρωµένη µάζα που αντιστοιχεί στο βαθµό ελευθερίας j m j Μετά τον υπολογισµό των ιδιοµορφικών φορτίων κάθε ιδιοµορφής, το νέο διάνυσµα φόρτισης προκύπτει µε κατάλληλη ιδιοµορφική επαλληλία (SRSS ή CQC). Η πρόσθετη απαίτηση για την εφαρµογή της αναπροσαρµοζόµενης µεθόδου είναι η κατάλληλη προσοµοίωση της κατανοµής µαζών για την εκτέλεση της ιδιοµορφικής ανάλυσης. Επίσης το πρόγραµµα πεπερασµένων στοιχείων θα πρέπει να έχει την δυνατότητα να αλλάζει αυτόµατα τον αλγόριθµο επίλυσης από έλεγχο δυνάµεων σε έλεγχο µετακινήσεων, όταν είναι αδύνατος ο υπολογισµός των ανελαστικών ιδιοµορφών, ιδιαίτερα σε προχωρηµένα στάδια πλαστικοποίησης του φορέα όπου εµφανίζονται αρνητικές τιµές στο εφαπτοµενικό µητρώο δυσκαµψίας. 2.3 Βήµα-προς-βήµα δυναµική ανελαστική ανάλυση (incremental dynamic analysis) Η αξιολόγηση των µεθόδων στατικής ανελαστικής ανάλυσης γίνεται µέσω σύγκρισής τους µε τη δυναµική ανάλυση, η οποία, λόγω της ακρίβειάς της, λαµβάνεται ως µέθοδος αναφοράς. Μια αποτελεσµατική διαδικασία που δίνει τη δυνατότητα για µια τέτοια σύγκριση ουσιαστικά ανόµοιων αναλυτικών διαδικασιών, είναι η βήµα-προς-βήµα δυναµική ανάλυση (Mwafy & Elnashai 21, Vamvatsikos & Cornell 22). Σύµφωνα µε τη µέθοδο αυτή ο φορέας υποβάλλεται σε µια σειρά σεισµικών διεγέρσεων, µε βάση την ίδια σεισµική καταγραφή, ανηγµένη σε κλιµακούµενες τιµές µέγιστης εδαφικής επιτάχυνσης (PGA). Για κάθε τιµή της PGA, εκτελείται µια πλήρης δυναµική ανάλυση του φορέα, εντοπίζονται τα ζητούµενα µεγέθη µέγιστης απόκρισης και αποτυπώνονται στο ίδιο διάγραµµα µε τη στατική καµπύλη αντίστασης, διαµορφώνοντας µια αντίστοιχη δυναµική καµπύλη αντίστασης (Σχ. 3). Προφανώς, το αναλυτικό κόστος της διαδικασίας αυτής είναι εξαιρετικά υψηλό και απαιτεί επίπονη µετεπεξεργασία των αποτελεσµάτων σε κάθε δυναµική ανάλυση. Για το δεύτερο λόγο, η διαδικασία αυτοµατοποιήθηκε πλήρως στο λογισµικό. Η επιλογή των µέγιστων µεγεθών απόκρισης, τα οποία δεν είναι απαραίτητα ταυτόχρονα, είναι ένα θέµα που χρειάζεται επιπλέον διερεύνηση. Στην παρούσα έρευνα επιλέγεται η συγκεκριµένη προσέγγιση γιατί θεωρείται ότι συµβαδίζει µε τη µονοτονική φύση της στατικής ανελαστικής ανάλυσης, στην οποία τα µεγέθη απόκρισης λαµβάνουν ταυτόχρονα τη µέγιστη τιµή τους. Επιπλέον, είναι και µια επιλογή προς τη πλευρά της ασφάλειας. Ωστόσο, η δυνατότητα καταγραφής των ταυτόχρονων µεγεθών έχει ενσωµατωθεί πρόσφατα στο λογισµικό για τις ανάγκες περαιτέρω έρευνας. 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 26 4

Μέγιστη Απόκριση Σχήµα 3. Η διαδικασία της βήµα-προς-βήµα δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 2.4 είκτης απόκλισης Μετά την εκτέλεση της στατικής και της βήµα-προς-βήµα δυναµικής ανάλυσης είναι απαραίτητο να οριστεί ένας τρόπος σύγκρισης µεταξύ των µεγεθών απόκρισης που προκύπτουν από τις παραπάνω αναλυτικές µεθόδους. Ο προτεινόµενος δείκτης απόκλισης ( Α) είναι ένας απλός και εποπτικός τρόπος υπολογισµού της διαφοράς µεταξύ των τεταγµένων της στατικής και της δυναµικής καµπύλης αντίστασης που προέρχονται από την ανάλυση του ίδιου φορέα (Σχ. 4). Ο δείκτης απόκλισης ορίζεται ως εξής : Τιµές Υ Τιµές Χ Σχήµα 4. Παράδειγµα υπολογισµού του δείκτη απόκλισης ( Α) όπου : Α = Σ ( Y Pi - Y Di / Y Di ) / n (3) Υ Pi Y Di η τεταγµένη της προβολής του σηµείου i της δυναµικής καµπύλης αντίστασης πάνω στη στατική καµπύλη αντίστασης (S1-S4) η τεταγµένη του σηµείου i της δυναµικής καµπύλης αντίστασης (D1-D4) 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 26 5

n το πλήθος σηµείων της δυναµικής καµπύλης αντίστασης, τα οποία µπορούν να προβληθούν στην στατική καµπύλη αντίστασης (το D5 αγνοείται). Στο παράδειγµα : Α = [ ( 3-4 /4) + ( 45-3 /3) + ( 5-4 /4) + ( 45-6 /6) ] / 4 = 31.25 % Η παραπάνω διαδικασία προϋποθέτει ότι το κάθε σηµείο της δυναµικής καµπύλης αντίστασης έχει το ίδιο βάρος στη διαµόρφωση του τελικού δείκτη απόκλισης. Αυτό επιτυγχάνεται θέτοντας σταθερό βήµα στην µεταβολή της PGA κατά τη διαδικασία της βήµα-προς-βήµα δυναµικής ανάλυσης. Η διαδικασία αυτή έχει αυτοµατοποιηθεί στο λογισµικό γιατί απαιτεί αρκετό χρόνο µετεπεξεργασίας, ιδιαίτερα όταν αυξάνεται ο αριθµός των σηµείων της δυναµικής καµπύλης απόκρισης. Στο Σχήµα 5 φαίνεται ένα ολοκληρωµένο παράδειγµα εφαρµογής του δείκτη απόκλισης σε έναν κανονικό φορέα οπλισµένου σκυροδέµατος για διάφορες αντοχές σκυροδέµατος. Οι δείκτες απόκλισης προκύπτουν από 1.9 % έως 2.35 % που υποδηλώνει πολύ ικανοποιητική σύγκλιση µεταξύ στατικής και δυναµικής ανάλυσης. 8 Κανονικός φορέας - Τρείς όροφοι, δυο ανοίγµατα 25 Αναλύσεις - Βήµα.2 PGA 7 PGA =.3g A=2.18% A=1.9% A=2.2% 6 A=2.35% A=2.4% Τέµνουσα Βάσης (KN) 5 4 3 x.2 x 1. (.3g) Ύψος : 9m x 5. Στατική C5 υναµική C5 Στατική C4 υναµική C4 Στατική C3 2 υναµική C3 Στατική C2 υναµική C2 1 Στατική C12 υναµική C12..5.1.15.2.25.3.35.4.45.5.55 Μετακίνηση Κορυφής (m) Σχήµα 5. Παράδειγµα εφαρµογής στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης σε φορέα οπλισµένου σκυροδέµατος και υπολογισµός των απαιτούµενων δεικτών απόκλισης 3 ΙΑ ΙΚΑΣΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 3.1 Κτιριακά προσοµοιώµατα Εξετάστηκαν τέσσερις φορείς από οπλισµένο σκυρόδεµα, κανονικοί και µη καθ ύψος και σε κάτοψη, σε δύο και σε τρεις διαστάσεις (Σχ. 6). Η εκλογή τους έγινε µε γνώµονα να αποτελέσουν ένα αντιπροσωπευτικό δείγµα του πληθυσµού των δοµικών συστηµάτων. 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 26 6

Κανονικός φορέας στο επίπεδο (REG) (Fardis et al., 1994) Μη κανονικός φορέας στο επίπεδο (IRR) (Fardis et al., 1994) Μη κανονικός φορέας στο επίπεδο (ICONS) (Pinho & Elnashai, 21) Μη κανονικός φορέας στο χώρο (SPEAR) (Fardis, 22) f c = 3 MPa f y = 585 MPa Όροφοι : 12 Ύψος : 36. m Πλάτος : 2. m f c = 3 MPa f y = 585 MPa Όροφοι : 8 Ύψος : 25.5 m Πλάτος : 2. m f c = 13.6 21.7 MPa f y = 343.6 MPa Όροφοι : 4 Ύψος : 1.8 m Πλάτος : 12.5 m f c = 2 MPa f y = 4 MPa Όροφοι : 3 Ύψος : 8.75 m Κάτοψη : 9. x 1.375 m Σχήµα 6. Οι εξεταζόµενοι φορείς οπλισµένου σκυροδέµατος 3.2 Χαρακτηριστικά σεισµικών διεγέρσεων Για τις ανάγκες της δυναµικής ανάλυσης, οι παραπάνω φορείς υποβλήθηκαν σε µια σειρά σεισµικών διεγέρσεων διαφορετικής φύσεως (τεχνητές και πραγµατικές) και συχνοτικού περιεχοµένου (υψηλού και χαµηλού). Για την κάθε σεισµική διέγερση διενεργήθηκαν 25 δυναµικές αναλύσεις µε PGA από.6g έως 1.5g µε βήµα.5g. Τα χαρακτηριστικά των σεισµικών διεγέρσεων και τα αντίστοιχα ελαστικά φάσµατα φαίνονται στο Σχήµα 7..3 a(g) -.3 15 sec Τεχνητή σεισµική διέγερση µε βάση Ευρωπαϊκό σεισµό µε περίοδο επιστροφής 975 χρόνια (Ε975) 1 SA(g).5 T (sec) 1 2 3 4.3 a(g) -.3 1 sec Τεχνητή σεισµική διέγερση µε βάση 1 το φάσµα σχεδιασµού του Ευρωκώδικα.5 8 (ΕC8) SA(g) T (sec) 1 2 3 4.3 a(g) -.3 3 sec Πραγµατική σεισµική διέγερση µε υψηλό συχνοτικό περιεχόµενο (Emeryville) 1 SA(g).5 T (sec) 1 2 3 4.3 a(g) -.3 3 sec Πραγµατική σεισµική διέγερση µε χαµηλό συχνοτικό περιεχόµενο (St. Monica) 1 SA(g).5 T (sec) 1 2 3 4 Σχήµα 7. Οι σεισµικές διεγέρσεις που χρησιµοποιήθηκαν στην δυναµική ανελαστική ανάλυση 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 26 7

3.3 Επίπεδα αξιολόγησης Η σύγκριση µεταξύ στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης έγινε τόσο σε καθολικό επίπεδο (διαγράµµατα τέµνουσας βάσης µετακίνησης κορυφής), όσο και σε επίπεδο ορόφου (διαγράµµατα τέµνουσας ορόφου σχετικής µετακίνησης ορόφου στον πρώτο και στο µεσαίο όροφο) και δοµικού στοιχείου (διαγράµµατα ροπών-καµπυλοτήτων) (Σχ. 8). Με τον τρόπο αυτό είναι δυνατός ο εντοπισµός κρίσιµων τοπικών φαινοµένων στην απόκριση του φορέα, τα οποία δεν εµφανίζονται σε καθολικό επίπεδο. α β γ α) Τέµνουσα βάσης V µετακίνηση κορυφής d (β) (γ) Τέµνουσα ορόφου V s σχετική µετακίνηση ορόφου d s Ροπή Μ Καµπυλότητα κ = (ε t ε b ) / h Σχήµα 8. Επίπεδα αξιολόγησης των στατικών ανελαστικών µεθόδων 4 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Στην ενότητα αυτή παρουσιάζονται ενδεικτικά αποτελέσµατα που προέκυψαν από τη συµβατική στατική (µε τριγωνική κατανοµή φορτίου), την αναπροσαρµοζόµενη στατική και τη δυναµική ανάλύση των εξεταζόµενων φορέων. Η πλήρης σειρά των αποτελεσµάτων µπορεί να βρεθεί στην εργασία Papanikolaou et al., 25. Στο Σχήµα 9 φαίνεται η απόκριση του κανονικού φορέα (REG) σε καθολικό επίπεδο υπό τεχνητή (Ε975) και πραγµατική (St.Monica) σεισµική διέγερση. Παρατηρείται µια µικρή υπεροχή της αναπροσαρµοζόµενης στατικής ανάλυσης σε σχέση µε τη συµβατική και στις δυο περιπτώσεις. Ωστόσο, οι αποκλίσεις είναι σηµαντικά µεγαλύτερες στην περίπτωση της τεχνητής σεισµικής διέγερσης. Στο Σχήµα 1 φαίνεται η αύξηση των ανελαστικών ιδιοπεριόδων του φορέα κατά τη πλαστικοποίηση, όπως προκύπτουν από την αναπροσαρµοζόµενη στατική ανάλυση. Στο Σχήµα 11 ο ίδιος φορέας εξετάζεται σε επίπεδο πρώτου και µεσαίου ορόφου, υπό την ίδια σεισµική διέγερση (Εmeryville). Ενώ στον πρώτο όροφο η αναπροσαρµοζόµενη στατική ανάλυση υπερέχει, δε συµβαίνει το ίδιο στο µεσαίο όροφο, ο οποίος εµφανίζει πολύ µικρότερες σχετικές µετακινήσεις από ότι προβλέπει τόσο η συµβατική στατική (Σχ. 12), όσο και η δυναµική ανάλυση. Το γεγονός 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 26 8

αυτό δείχνει ότι η αναπροσαρµοζόµενη στατική ανάλυση ασκεί αυξηµένες δράσεις στους χαµηλότερους ορόφους, όπου συγκεντρώνονται οι µεγαλύτερες βλάβες. 9 KN 8 7 6 5 4 3 2 1 m.36.72 1.8 1.44 1.8 Καθολικό επίπεδο Φορέας REG Σεισµική διέγερση Ε975 Α συµβατικής = 18.14 % Α αναπροσαρµοζόµενης = 13.22 % 9 KN 8 7 6 5 4 3 2 1 m.36.72 1.8 1.44 1.8 Καθολικό επίπεδο Φορέας REG Σεισµική διέγερση St.Monica Α συµβατικής = 6.25 % Α αναπροσαρµοζόµενης = 1.85 % Σχήµα 9. Απόκριση φορέα REG σε καθολικό επίπεδο 1.6 1.4 1.2 1.8.6.4.2 Ελαστικότητα sec T1 T2 T3 T4 Φορτιστικά βήµατα Σχήµα 1. Μεταβολή ανελαστικών ιδιοπεριόδων του φορέα REG 9 KN 8 7 6 5 4 3 2 1 m.3.6.9.12.15.18.21.24.27.3.33.36.39.42.45 Επίπεδο πρώτου ορόφου Φορέας REG Σεισµική διέγερση Emeryville Α συµβατικής = 6.33 % Α αναπροσαρµοζόµενης = 3.5 % 6 KN 5 4 3 2 1 m.3.6.9.12.15 Επίπεδο µεσαίου ορόφου Φορέας REG Σεισµική διέγερση Emeryville Α συµβατικής = 4.35 % Α αναπροσαρµοζόµενης = 3.86 % Σχήµα 11. Απόκριση φορέα REG σε τοπικό επίπεδο πρώτου και µεσαίου ορόφου 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 26 9

(α) (β) Σχήµα 12. Κατανοµή σχετικών µετακινήσεων καθ ύψος του φορέα REG για συµβατική και αναπροσαρµοζόµενη στατική ανελαστική ανάλυση. 4 KNm 35 3 25 2 15 1 5 rad.25.5.75.1.125.15 Επίπεδο δοµικού στοιχείου Φορέας IRR Σεισµική διέγερση EC8 Α συµβατικής = 1. % Α αναπροσαρµοζόµενης =.72 % Σχήµα 13. Απόκριση φορέα IRR σε επίπεδο δοµικού στοιχείου Στο Σχήµα 13 φαίνεται η απόκριση του µη κανονικού φορέα IRR σε επίπεδο δοµικού στοιχείου (υποστύλωµα ισογείου). Παρατηρείται ότι οι διαφορές µεταξύ των διαφόρων αναλυτικών µεθόδων είναι αµελητέες, γεγονός αναµενόµενο τη στιγµή που το διάγραµµα ροπών-καµπυλοτήτων είναι χαρακτηριστικό της διατοµής για συγκεκριµένο αξονικό φορτίο. Η εικόνα αυτή εµφανίζεται στο σύνολο σχεδόν των αποτελεσµάτων σε επίπεδο δοµικού στοιχείου. Στο Σχήµα 14 παρουσιάζονται τα συγκριτικά διαγράµµατα της απόκρισης των φορέων ICONS και SPEAR σε καθολικό επίπεδο. Είναι φανερό ότι σε περιπτώσεις µη κανονικότητας σε κάτοψη, αλλά πολύ περισσότερο σε περιπτώσεις ασύµµετρων χωρικών προσοµοιωµάτων, όπου εµφανίζονται στρεπτικά φαινόµενα, καµία στατική µέθοδος δεν φαίνεται ικανή να προσεγγίσει ικανοποιητικά τη πραγµατική δυναµική συµπεριφορά του φορέα. Παρόµοιες αποκλίσεις εµφανίζονται και σε επίπεδο ορόφου. 35 KN 3 25 2 15 1 5 m.18.216.324.432.54 Καθολικό επίπεδο Φορέας ICONS Σεισµική διέγερση Emeryville Α συµβατικής = 36.27 % Α αναπροσαρµοζόµενης = 32.87 % 14 KN 12 1 8 6 4 m 2.875.175.2625.35.4375 Καθολικό επίπεδο Φορέας SPEAR Σεισµική διέγερση Emeryville Α συµβατικής = 49.8 % Α αναπροσαρµοζόµενης = 61.15 % Σχήµα 14. Απόκριση φορέων ΙCONS και SPEAR σε καθολικό επίπεδο 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 26 1

Στο Σχήµα 15 παρουσιάζονται συγκριτικά διαγράµµατα των συντελεστών απόκλισης σε καθολικό επίπεδο για όλους τους εξεταζόµενους φορείς και τις σεισµικές διεγέρσεις. Είναι φανερό ότι η απόκλιση µεταξύ στατικής και δυναµικής ανάλυσης είναι αντιστρόφως ανάλογη της κανονικότητας του φορέα. 7 6 E975 7 6 EC8 5 5 ΣΑ % 4 3 2 1 4 3 2 1 REG IRR ICONS SPEAR REG IRR ICONS SPEAR 7 6 Emeryville 7 6 S.Monica 5 5 ΣΑ % 4 3 2 1 4 3 2 1 REG IRR ICONS SPEAR REG IRR ICONS SPEAR Σχήµα 15. Συγκριτικά διαγράµµατα συντελεστών απόκλισης σε καθολικό επίπεδο 5 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Τα βασικά συµπεράσµατα που προέκυψαν από την παρούσα έρευνα συνοψίζονται στα εξής : Τα αποτελέσµατα της στατικής ανελαστικής ανάλυσης προσεγγίζουν ικανοποιητικά τα αντίστοιχα της δυναµικής ανάλυσης στις περιπτώσεις κανονικών φορέων. Όσο ο εξεταζόµενος φορέας αποκλίνει από τη κανονικότητα, τόσο παρατηρούνται µεγαλύτερες τιµές του δείκτη απόκλισης. Επίσης διαπιστώνεται ότι η χρήση πραγµατικών σεισµικών διεγέρσεων οδηγεί σε καλύτερη σύγκλιση σε σχέση µε τις αντίστοιχες τεχνητές. Η αναπροσαρµοζόµενη στατική ανελαστική ανάλυση υπερτερεί ελαφρά της αντίστοιχης συµβατικής στις περιπτώσεις κανονικών φορέων, κυρίως σε καθολικό επίπεδο. Ωστόσο, φαίνεται να υστερεί στην προσέγγιση της απόκρισης των ανώτερων ορόφων. Το γεγονός αυτό δείχνει ότι η αξιολόγηση των στατικών µεθόδων µπορεί να δώσει παραπλανητικά συµπεράσµατα αν περιοριστεί µόνο σε καθολικό επίπεδο. Η αναπροσαρµοζόµενη στατική ανελαστική ανάλυση παρουσιάζει πρόβληµα συγκέντρωσης µεγάλων εντάσεων στα σηµεία όπου παρατηρούνται βλάβες και αυτό ίσως οφείλεται στη διαδικασία επαλληλίας των ιδιοµορφικών φορτίων, όπου αγνοείται η εναλλαγή προσήµου. Για το λόγο αυτό χρειάζεται περαιτέρω έρευνα πάνω σε βελτιωµένες µεθόδους σύνθεσης του διανύσµατος φόρτισης. Ένα σηµαντικό πρόβληµα της αναπροσαρµοζόµενης στατικής ανελαστικής ανάλυσης είναι η αδυναµία ανανέωσης του διανύσµατος φόρτισης σε προχωρηµένα στάδια πλαστικοποίησης του φορέα. Αυτό οφείλεται σε αρνητικές τιµές του εφαπτοµενικού µητρώου δυσκαµψίας, οι οποίες δυσχεραίνουν τη λύση του ιδιοµορφικού προβλήµατος. Στη περίπτωση του χωρικού ασύµµετρου φορέα (SPEAR) προκύπτουν πολύ µεγάλες τιµές του δείκτη απόκλισης, γεγονός που φανερώνει την αδυναµία της στατικής ανελαστικής ανάλυσης να αναπαράγει επαρκώς τα στρεπτικά φαινόµενα. Το θέµα αυτό αποτελεί αντικείµενο περαιτέρω έρευνας (Penelis & Kappos, 22). 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 26 11

Ο προτεινόµενος συντελεστής απόκλισης αποτελεί έναν απλό και εποπτικό τρόπο σύγκρισης µεταξύ στατικής και δυναµικής ανάλυσης, ωστόσο θα πρέπει να συνδυάζεται πάντα µε τη προσωπική κρίση του ερευνητή. Το γενικό συµπέρασµα που προκύπτει είναι ότι οι µέθοδοι στατικής ανελαστικής ανάλυσης που εξετάστηκαν αδυνατούν να υποκαταστήσουν τη δυναµική ανάλυση στο σύνολο των περιπτώσεων. Το γεγονός αυτό καθιστά αναγκαία την περαιτέρω εξέλιξη των στατικών ανελαστικών µεθόδων, η οποία όµως έχει αντιµέτωπη τη συνεχή αύξηση της διαθέσιµης υπολογιστικής ισχύος υπέρ της δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης. 6 ΑΝΑΦΟΡΕΣ Antoniou, S., Pinho, R., 24. Advantages and limitations of adaptive and non adaptive forcebased pushover procedures, Journal of Earthquake Engineering, Vol 8, No. 4, pp. 497 522. Bracci, J.M., Kunnath, S.K. and Reinhorn, A.M., 1997. Seismic Performance and Retrofit Evaluation of RC Structures, ASCE, ST Division, Vol. 123, No. 1, pp. 3-1. Building Seismic Safety Council, 2. Prestandard and Commentary for the Seismic Rehabilitation of Buildings, FEMA-356, BSSC, Washington D.C., USA Chopra, A.K., and Goel, R.K., 22. A modal pushover analysis procedure for estimating seismic demands for buildings, Earthquake Eng. and Structural Dynamics, Vol. 31 No. 3, pp. 561-582. Comite Europeen de Normalization, 22. Eurocode 8: Design of Structures for Earthquake Resistance, PrEN 1998, CEN, Brussels, Belgium. Elnashai, A.S, Papanikolaou V.K and Lee D.H., 22-26. Zeus-NL - A Program for Inelastic Dynamic Analysis of Structures, Mid-America Earthquake Center, University of Illinois at Urbana-Champaign. (http://mae.ce.uiuc.edu/software_and_tools/zeus_nl.html) Elnashai, A.S., 22. Do we really need inelastic dynamic analysis?, Journal of Earthquake Engineering, Vol. 6, Special Issue 1, pp. 123-13. Fardis, M.N., 1994. Analysis and Design of Reinforced Concrete Buildings According to Eurocodes 2 and 8. Configurations 3, 5 and 6, Reports on Prenormative Research in Support of Eurocode 8. Fardis, M.N., 22. Design of an irregular building for the SPEAR project, University of Patras. Moghadam, A. S. and Tso, W. K., 22. A pushover procedure for tall buildings, Proceedings of the Twelfth European Conference on Earthquake Engineering, London, Paper No. 395. Mwafy, A.M. and Elnashai, A.S., 21. Static Pushover versus Dynamic Collapse Analysis of RC Buildings, Journal of Engineering Structures, 23, pp. 47-424. Papanikolaou, V.Κ., 2. Development and Verification of Adaptive Pushover Analysis Procedures, MSc Dissertation, Engineering Seismology and Earthquake Engineering Section, Imperial College, London, UK. Papanikolaou, V.K., Elnashai, A.S. and Pareja, J.F., 25. Limits of Applicability of Conventional and Advanced Pushover Analysis for Seismic Response Assessment, Mid-America Earthquake Center Research Report, CD Release 5-2, April 25 (http://mae.ce.uiuc.edu/publications/ cd_rom_series_25/cd_release_52.html). Penelis, G.G and Kappos, A.J., 22. 3D pushover analysis : the issue of torsion, Proceedings of the Twelfth European Conference on Earthquake Engineering, electronic resource, 1 pages. Pinho, R. and Elnashai, A.S., 21. Dynamic Collapse Testing of a Full-Scale Four Story RC Frame, ISET Journal of Earthquake Technology, Vol. 37, No. 4, Special Issue, pp. 143-164. Sasaki, K.K., Freeman, S.A. and Paret, T.F., 1998. Multimodal Pushover Procedure (MMP) - A Method to Identify the Effects of Higher Modes in a Pushover Analysis, Proceedings of the Sixth US National Conference on Earthquake Engineering (Oakland, California, 1998), computer file, Earthquake Engineering Research Institute, 12 pages. Vamvatsikos, D. and Cornell, C. A., 22. Incremental dynamic analysis, Earthquake Engineering & Structural Dynamics, Vol. 31, No. 3, pp. 491-514. 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 26 12