0.3m. 12m N = N = 84 N = 8 N = 168 N = 32. v =0.2 N = 15. tot

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Αριθµητικές Εφαρµογές... Παράδειγµα γ: Ελαστική ευστάθεια πασσαλοθεµελίωσης Το παράδειγµα αυτό αφορά την µελέτη της ελαστικής ευστάθειας φορέως θεµελίωσης, ο οποίος αποτελείται από µια πεδιλοδοκό που εδράζεται µέσω πασσάλων σε ακλόνητο υπόβαθρο βράχο (Σχήµα.9α). Το περιβάλλον τους πασσάλους έδαφος θεωρείται ελαστικώς ενδόσιµο και κατά την οριζόντια έννοια. Γίνεται η παραδοχή, ότι η ανωδοµή είναι εξαιρετικά δύσκαµπτη (αποτελούµενη από ισχυρά τοιχώµατα) και εποµένως το πιθανό πρόβληµα ευστάθειας περιορίζεται στη θεµελίωση. Οι πάσσαλοι µεταβιβάζουν το κατακόρυφο φορτίο τους στο βραχώδες υπόβαθρο εξ ολοκλήρου µέσω της αιχµής τους, και όχι µε πλευρική τριβή. Το γεγονός αυτό, κάνει περιττή την προσοµοίωση των αντιστάσεων λόγω τριβών (π.χ. µε ελατήρια τοποθετηµένα κατά την έννοια του άξονα του πασσάλου). Έτσι, το εν προκειµένω ενδεικνυόµενο και επαρκές προσοµοίωµα είναι αυτό που δίνεται στο σχήµα.9β, σε πέντε παραλλαγές ως προς την πυκνότητα της διακριτοποίησης..0m 6.0m.m 6.0m.0m.0m 6.0m.m 6.0m.0m P.P.P 8m 0.m.0m d=0cm 0.m 0.m ΒρÜχοò 0m ΑλλουβιακÝò αποθýσειò (Ιλýò) E=77 kn/m v=0. d=0cm d=0cm m 0.m N = N = 8 E =.9E07 kn/m B v =0. B N = N = N = N = 0 N = 0 N = 0 N = N = N = N = N = 8 i N = Αριθìüò στοιχεßων του ìοντýλου i N = N = N = N = 8 8 (α) (β) Σχήµα.9. Φορέας θεµελίωσης µε πασσάλους µε ακλόνητη έδραση στην αιχµή τους, εντός οριζοντίως ενδόσιµου εδάφους: (α) εδοµένα πραγµατικού φορέα, (β) Πέντε συµβατικά προσοµοιώµατα διαφορετικής πυκνότητας κανάβου. Στόχοι του παραδείγµατος είναι: η εφαρµογή του νέου πεπερασµένου στοιχείου που αναπτύχθηκε στα πλαίσια της παρούσας διατριβής, σε προβλήµατα στα οποία απαιτείται ο προσδιορισµός κρίσιµου φορτίου λυγισµού και, η διερεύνηση της επιρροής της δεύτερης εδαφικής παραµέτρου στην τιµή του κρισίµου φορτίου λυγισµού, µέσω επίλυσης µε το αντίστοιχο προσοµοίωµα. Για το σκοπό αυτό πραγµατοποιήθηκαν καταρχήν επιλύσεις µε το προσοµοίωµα του Winkler, προκειµένου να πραγµατοποιηθεί σύγκριση της τιµής του κρίσιµου φορτίου λυγισµού που προκύπτει αφενός από την χρήση του νέου στοιχείου, και αφετέρου από την χρήση συµβατικών τεχνικών προσοµοίωσης.

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Αριθµητικές Εφαρµογές Για τις επιλύσεις µε το νέο πεπερασµένο στοιχείο συντάχθηκε ειδικός αλγόριθµος, σε γλώσσα Fortran 90, µέσω του οποίου επιτυγχάνεται ο προσδιορισµός του κρίσιµου φορτίου λυγισµού του φορέα θεµελίωσης του σχήµατος.9, τόσο µε το προσοµοίωµα του Winkler, όσο και µε το προσοµοίωµα του Pasternak. Ο αλγόριθµος αυτός πέραν του γεγονότος ότι είναι επαναληπτικός, απαραίτητη προϋπόθεση καθώς καλείται να επιλύσει ένα µη γραµµικό πρόβληµα, έχει ενσωµατωµένες όλες τις περιπτώσεις λύσεις των διαφορικών εξισώσεων του προβλήµατος οι οποίες είναι πιθανό να εµφανιστούν (Περιπτώσεις και, Σχήµα.). Πρέπει να τονιστεί εδώ, ότι στην περίπτωση των κατά την οριζόντια έννοια ελαστικώς εδραζοµένων πασσάλων, η θεώρηση του προσοµοιώµατος των δυο παραµέτρων θέτει το πρόβληµα προσδιορισµού µιας δεύτερης παραµέτρου ανάλογης του δείκτη οριζόντιας αντίστασης του εδάφους k Gh, και το πρώτο ερώτηµα που τίθεται είναι κατά πόσο η τιµή της παραµέτρου αυτής διαφοροποιείται και κατά ποιο τρόπο από την αντίστοιχη τιµή της παραµέτρου k G που αφορά τις συνθήκες κατακόρυφης φόρτισης. Στα πλαίσια του παραδείγµατος τέθηκε αρχικά k Gh =k G, ενώ για λόγους διερεύνησης της επιρροής της τιµής της δεύτερης παραµέτρου επί της τιµής του κρίσιµου φορτίου λυγισµού, τέθηκαν διαδοχικά k Gh = (/)k G και k Gh = k G. Όσον αφορά τις τιµές του δείκτη οριζόντιας αντίστασης του εδάφους k h, έγιναν οι εξής παραδοχές:. Θεωρήθηκε ότι το έδαφος θεµελίωσης αποτελείται από προσχώσεις µαλακής ιλύος (soft alluvial silt), και εποµένως o συντελεστής οριζόντιας αντίστασης µπορεί να θεωρηθεί σταθερός σε σχέση µε το βάθος (Terzaghi 9).. Οι ελαστικές σταθερές του εδάφους θεωρήθηκαν ίσες µε E=77kN/m και ν=0. (Bowles (988), σελ.776).. Ο δείκτης οριζόντιας αντίστασης του εδάφους k h θεωρήθηκε ότι: α. προκύπτει µε διπλασιασµό της τιµής του δείκτη k s (Bowles (988)), β. είναι ίσος µε το δείκτη κατακόρυφης αντίστασης k s (Τerzaghi (9)).. Για τον υπολογισµό των δεικτών k s και k h χρησιµοποιήθηκε η σχέση που πρότεινε ο Biot (97), και µε βάση τα γεωµετρικά δεδοµένα των διατοµών της πεδιλοδοκού και των πασσάλων, τα οποία δίνονται στο σχήµα.9α, προέκυψαν οι εξής τιµές: k h =67 kn/m και k s =66. kn/m µε βάση την παραδοχή k h =k s k h =8 kn/m και k s =66. kn/m µε βάση την παραδοχή k h =k s. Για τον υπολογισµό της τιµής της δεύτερης παραµέτρου χρησιµοποιήθηκε και στο παρόν παράδειγµα, το τροποποιηµένο προσοµοίωµα του Vlasov (Vallabhan και Das (988)). Θεωρήθηκε ότι το υπόστρωµα της ιλύος έχει µέσο βάθος 0m µε ελαστικές σταθερές E=77kN/m και v=0., και η τιµή η οποία προέκυψε µε βάση τη διαδικασία αυτή είναι k G =7. kn. Για λόγους σύγκρισης µε τις προηγούµενες επιλύσεις, ως τιµές των δεικτών k s και k h χρησιµοποιήθηκαν οι τιµές που δόθηκαν παραπάνω. Οι αρχικές συγκρίσεις περιορίστηκαν στις επιλύσεις µε το προσοµοίωµα του Winkler προκειµένου να συγκριθούν τα αποτελέσµατα που προκύπτουν από την επίλυση µε το προτεινόµενο στοιχείο, µε τα αντίστοιχα αποτελέσµατα από συµβατικές αναλύσεις µε προσοµοιώµατα διαφορετικής πυκνότητας διακριτοποίησης (Σχήµα.9β), οι οποίες έγιναν µε το πρόγραµµα SAP000. Οι συγκρίσεις αυτές πραγµατοποιήθηκαν µε τις παραδοχές k h =k s και k h =k s.

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Αριθµητικές Εφαρµογές 6 Στο σχήµα.9 δίνονται οι αποκλίσεις των τιµών του κρίσιµου φορτίου λυγισµού που προκύπτουν από τις επιλύσεις µε τα συµβατικά προσοµοιώµατα, από την τιµή που προκύπτει από την επίλυση µε το προτεινόµενο στοιχείο. Όπως φαίνεται από το σχήµα αυτό, η προσέγγιση της ακριβούς τιµής του κρίσιµου φορτίου µε απόκλιση κάτω του % επιτυγχάνεται από συµβατικά προσοµοιώµατα που αποτελούνται από ή και περισσότερα συµβατικά στοιχεία δοκού. Το προσοµοίωµα που αποτελείται από στοιχεία επιτυγχάνει αποτελέσµατα µε αποκλίσεις της τάξης του 7%, οι οποίες µπορεί να θεωρηθούν αποδεκτές. Τέλος, το προσοµοίωµα των στοιχείων αποδίδει αποκλίσεις της τάξης του 0% και εποµένως θα πρέπει να θεωρηθεί απορριπτέο. Στο σηµείο αυτό, ενδιαφέρον παρουσιάζει και η σύγκριση του αριθµού των στοιχείων που απαιτούνται για την προσέγγιση του κρίσιµου φορτίου λυγισµού, µε τον αντίστοιχο αριθµό στοιχείων που απαιτούνται για την σύγκλιση των εντατικών µεγεθών κατά την ανάλυση στα πλαίσια της θεωρίας α τάξης που παρουσιάστηκε στο Παράδειγµα α (Παράγραφος...). Από την σύγκριση αυτή προκύπτει το συµπέρασµα, ότι τα συµβατικά προσοµοιώµατα έχουν µικρότερες απαιτήσεις σε αριθµό στοιχείων για τον αξιόπιστο υπολογισµό του κρίσιµου φορτίου λυγισµού. Πιο συγκεκριµένα, κατά την ανάλυση στα πλαίσια της θεωρίας α τάξης και µε στόχο τον αξιόπιστο υπολογισµό των εντατικών µεγεθών, απαιτήθηκαν 0 στοιχεία για την προσοµοίωση µιας µόνον δοκού µήκους.8 µέτρων. Αντίστοιχα, για τον αξιόπιστο προσδιορισµό του κρίσιµου φορτίου λυγισµού απαιτείται προσοµοίωµα αποτελούµενο από στοιχεία, για την προσοµοίωση ενός φορέα ο οποίος αποτελείται από δοµικά στοιχεία µε µήκη από 8 έως 0 µέτρα. % 0% kkh=ks h s -% kkh=ks h s -0% -% -0% -% -0% -% N= N= N= N=8 N=68 Στοιχεßα Σχήµα.9. Αποκλίσεις της τιµής του κρίσιµου φορτίου λυγισµού που προκύπτει από την επίλυση συµβατικών προσοµοιωµάτων (επίλυση µε το πρόγραµµα SAP000), από την αντίστοιχη τιµή που προκύπτει από την επίλυση µε το προτεινόµενο στοιχείο δοκού.

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Αριθµητικές Εφαρµογές 7 Στην δεύτερη κατηγορία αναλύσεων χρησιµοποιήθηκε αποκλειστικά το προτεινόµενο νέο στοιχείο. Το έδαφος προσοµοιώθηκε αφενός µε το προσοµοίωµα του Winkler, και αφετέρου µε το προσοµοίωµα των δύο παραµέτρων. Όσον αφορά στη χρήση του προσοµοιώµατος των δύο παραµέτρων, θα πρέπει να τονιστεί ότι έγιναν αναλύσεις τόσο µε θεώρηση της επιρροής του εδάφους εκατέρωθεν του φορέα, όσο και χωρίς τη θεώρησης της επιρροής αυτής. Στόχος των αναλύσεων αυτών, είναι ο προσδιορισµός του εύρους διακύµανσης του κρίσιµου φορτίου λυγισµού όπως προκύπτει από τις διάφορες παραδοχές που γίνονται για τις τιµές των εδαφικών παραµέτρων. Από το Σχήµα.9 προκύπτουν τα παρακάτω συµπεράσµατα:. Όσον αναφορά τις επιλύσεις µε το προσοµοίωµα του Winkler, η διαφορά της τιµής του κρίσιµου φορτίου λυγισµού υπό την παραδοχή k h =k S έναντι της τιµής του υπό την παραδοχή k h =k S είναι της τάξης του %, διαφορά η οποία µπορεί να θεωρηθεί σηµαντική. ηλαδή, ο διπλασιασµός της τιµής του δείκτη της οριζόντιας αντίστασης του εδάφους προκαλεί µείωση του φορτίου λυγισµού κατά το ένα τρίτο, κάτι που σηµαίνει ότι η ευαισθησία που παρουσιάζει η τιµή του κρίσιµου φορτίου λυγισµού στην µεταβολή της παραµέτρου «οριζόντια αντίδραση του εδάφους» είναι σηµαντική.. Η θεώρηση του προσοµοιώµατος των δύο παραµέτρων αυξάνει εν γένει τις τιµές του κρίσιµου φορτίου λυγισµού, όπως άλλωστε ήταν αναµενόµενο, αφού η θεώρηση του διατµητικού επιπέδου στα πλαίσια του εν λόγω προσοµοιώµατος, προσδίδει στην ελαστική έδραση της δοκού µια πρόσθετη αντίσταση στις εγκάρσιες µετακινήσεις. Όσον αφορά την παραδοχή για τη συσχέτιση των k Gh και k G, µπορούν να επισηµανθούν τα εξής: α. Αν θεωρηθεί ότι k h =k S, τότε η µεταβολή της τιµής του κρίσιµου φορτίου λυγισµού µεταξύ των περιπτώσεων στις οποίες γίνονται οι παραδοχές k Gh =(/)k G και k Gh =k G, είναι της τάξης του %. β. Με τη θεώρηση ότι k h =k S η αντίστοιχη µεταβολή είναι της τάξης του % Κρßσιìο φορτßο λυγισìοý (kn) k h =k s k h =k s ΜοντÝλο A k h =k s k h =k s ΜοντÝλο Β 7000 ΜοντÝλο Α 600 P.P.P ΜοντÝλο B k Gh =k G =0 k Gh =(/)k G k Gh =k G k Gh =k G k k k k S G S G Σχήµα.9. Τιµές του κρίσιµου φορτίου λυγισµού όπως προκύπτουν από τη χρήση των προσοµοιωµάτων µιας και δυο παραµέτρων, και τις παραδοχές για τις τιµές των παραµέτρων τους.

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Αριθµητικές Εφαρµογές 8 Εποµένως το εύρος διακύµανσης της τιµής του κρίσιµου φορτίου λυγισµού που προκύπτει από τις αναλύσεις µε τις δυο ακραίες, στα πλαίσια του παρόντος παραδείγµατος, τιµές της παραµέτρου k Gh οι οποίες διαφέρουν µεταξύ τους κατά 00%, είναι της τάξης του 0 %. Αυτό σηµαίνει ότι η µεταβολή της τιµής της παραµέτρου k Gh, δεν έχει ιδιαίτερα µεγάλη επιρροή στην τιµή του κρίσιµου φορτίου λυγισµού.. Η διαφορά στις τιµές του κρίσιµου φορτίου λυγισµού που προκύπτουν µε ή χωρίς τη θεώρηση της επιρροής του εδάφους εκατέρωθεν του φορέα, είναι αµελητέα σε κάθε περίπτωση. Το συµπέρασµα αυτό, µπορεί να αποδοθεί στην µορφή έδρασης του φορέα: Το γεγονός ότι ο φορέας θεµελίωσης εδράζεται επί ακλόνητης βάσης, µειώνει σε πολύ µεγάλο βαθµό τις κατακόρυφες µετακινήσεις των άκρων του. Όπως όµως είναι γνωστό, η «ακαµψία» που προσδίδει στην θεµελίωση η θεώρηση της επιρροής του εδάφους εκατέρωθεν αυτής, και η οποία εκφράζεται µε τη βοήθεια κατακόρυφων µεταφορικών ελατηρίων (Μοντέλο Β, Σχήµα.9), είναι ανάλογη των µετακινήσεων αυτών (Vallabhan και Das (99)). Εποµένως στην παρούσα περίπτωση, η επιρροή του εδάφους εκατέρωθεν του φορέα θεµελίωσης δε µεταβάλλει ουσιαστικά την συµπεριφορά του.. Η διαφορά µεταξύ του προσοµοιώµατος των δύο παραµέτρων και του προσοµοιώµατος του Winkler κυµαίνεται από % έως % για την περίπτωση στην οποία γίνεται η παραδοχή k h =k S, και από 9% έως 8% για την περίπτωση που k h =k S. Τα δυο αυτά διαστήµατα τιµών των αποκλίσεων (% - %, και 9% - 8%) εξαρτώνται από την παραδοχή που γίνεται για το συσχετισµό τιµών των k Gh και k G. Πρόκειται χωρίς αµφιβολία για αξιοσηµείωτες διαφορές που δεν µπορούν να αγνοηθούν, και εποµένως καθιστούν τον ακριβέστερο προσδιορισµό της παραµέτρου k Gh, αντικείµενο που χρήζει περαιτέρω διερεύνησης. Μια τέτοια διερεύνηση ξεφεύγει από τους στόχους της παρούσας διατριβής.