Logic and Set Theory for Comp. Sci.

234293 - Logic and Set Theory for Comp. Sci. Spring 2008 Moed A Final [partial] solution Slava Koyfman, 2009. 1

שאלה 1 לא נכון. דוגמא נגדית מפורשת: יהיו } 2,(p 1 p 2 ) (p 2 p 1 ).Σ 2 = {p 2 p 1 },Σ 1 = {p 1 p לכן ברור כי 1 Σ.Σ 1 Σ 2 Σ 1 Σ 2 ניתן לראות כי (p 1 p 2 ) (p 2 p 1 כמו כן, כיוון ש (.Σ 2 V F ברור כי Σ 1 Σ 2 כיוון שלמשל מאידך, = 2 Σ 1 Σ ולכן טאוטולוגיה..Σ 1 Σ 2 Σ 1 Σ 2 נפרק למקרים: ˆ אם = 2 Σ 1 Σ אזי כל השמה מספקת אותה (טאוטולוגיה), ומהשקילות בנתון נובע כי Σ 1 Σ 2 טאוטולוגיה כלומר גם Σ 1 וגם Σ 2 טאוטולוגיות. לכן נובע כי.Σ 1 Σ 2 ˆ נניח כי קיימת קבוצת פסוקים לא ריקה כך ש Γ. = Σ 1 Σ 2 תהי השמה.v נניח בה"כ כי,v = Σ 1 ונניח בשלילה כי,v = Σ 1.v Σ 2 ולכן בפרט מספקת כל פסוק בחיתוך (כי הפסוק הזה שייך גם ל Σ). 1 מכאן נובע כי,v = Γ ולכן לא מספקת את האיחוד. קיבלנו כי v Σ 2 מאידך,.v = Γ v Σ 1 Σ 2 סתירה לנתון! לכן לא קיימת השמה כזאת. לכן החיתוך והאיחוד שקולות. מש"ל סעיף ג כיוון קל: נניח בה"כ כי קיים פסוק כך ש α Σ. 2 α Σ, 1 = מכאן נובע כי קיימת השמה.v α,v = Σ 2 כיוון שכל השמה שמספקת את Σ 1 מספקת את,α מתקיים בהכרח ש v. Σ 1 מצאנו השמה שמספקת קבוצה אחת ולא את השניה, ולכן הן אינן שקולות. כיוון שני: נניח בשלילה כי לא קיים פסוק α כך ש α Σ 2 α,σ 1 = או,Σ 1 α.α יהי Σ 1.Σ 2 = α אמ"ם Σ 1 = כלומר, לכל פסוק מתקיים ש α.σ 2 = α אזי ברור כי,Σ 1 = α ומכאן נובע כי גם.Σ 2 = α תהי השמה.v = Σ 2 אזי קיבלנו כי v = α לכל α Σ 1 כלומר,.v = Σ 1 באותה צורה בכיוון ההפוך נקבל שאם v = Σ 1 אז.v = Σ 2 קיבלנו,v = Σ 1 v = Σ 2 כלומר שהן שקולות בסתירה לנתון. לכן הנחת השלילה שגויה ולכן קיים פסוק כנ"ל. מש"ל 2

שאלה 2 לא נכון. דוגמא נגדית מפורשת: תהי } 0 (p o p 0 ) p 0.Σ = { (p o p 0 ) p 0, (p o p 0 ) p ספיק למשל ע"י (p o p 0 ) p 0.v T ספיק למשל ע"י.v F לכן Σ אינה מכילה סתירה. מאידך, (Σ) γ = (p o p 0 ) Ded N כי ) 0,γ = P ( (p o p 0 ) p 0, (p o p 0 ) p וברור כי ) 0 (p o p היא סתירה. לא נכון. דוגמא נגדית: תהי } 0 Σ. = p} o, p אזי ברור כי היא אינה ספיקה! נוכיח באינדוקציה על מבנה (Σ) Ded N כי היא אינה מכילה סתירה: בסיס: α Tautologies Σ אינה מכילה סתירה כי α Tautologies או α Σ והן אינן מכילות סתירות. ה"א: (Σ) α β Ded N (Σ),α β Ded N אינן סתירות. צעד: ב Σ לא קיימים פסוקים מהצורה γ, δ לכן לא יתכן כי α β או α β התקבלו תוך שימוש בפסוקים ממנה. נובע כי הם טאוטולוגיות או התקבלו מטאוטולוגיות ע"י שימוש בפעולת הסגור. במילים אחרות, ( ) N,α β Ded ( ) N.α β Ded נראה כי מכאן נובע ש α P (α β, α β) = אינה סתירה. כלומר, נראה כי ( ) N Ded אינה מכילה סתירה. נניח בשלילה שהיא מכילה סתירה λ. לא יתכן כי היא הגיעה מהבסיס כי הבסיס מכיל רק טאוטולוגיות. אזי נובע כי ρ).λ = P (λ ρ, λ אין לי מושג... 3

שאלה 3.1 f).ϕ 1 = f (F (f, I) המשמעות של הפסוק במבנה הנ"ל: לכל פונקציה בעולם שלנו, ההרכבה של הפונקציה הזו על I תיתן את הפונקציה עצמה. זה מתקיים כמובן אך ורק עבור I שהיא פונקציית הזהות..2 I).ϕ 2 = ϕ 1 (F (x, y) החלק הראשון של הנוסחא הוא הנוסחא מהסעיף הקודם. הדבר מבטיח כי ה I המתאים היחיד יהיה פונקציית הזהות. בנוסף, אנו דורשים כי הרכבת פונקציה x על y תיתן לנו את I שהיא פונקציית הזהות. זה מתקיים אמ"ם x ו y הן פונקציות הופכיות. כיוון ראשון: תהי (N) A P כלשהי, ותהי f S N כך ש A.X f = צ"ל: 1. A { j i i = n f מהגדרת.f (i) = נניח בשלילה כי {n} A. = אזי נובע כי i otherwise נובע (j) f (i) = j = f בסתירה לחד חד ערכיות. לכן הנחת השלילה שגויה ו 1. A f S N כך קיימת צ"ל: כיוון שני: תהי (N) A P כלשהי, כך ש 1 =. A ש A.X f = נסמן.A = {a 1, a 2,..., a m }, A = m נגדיר את הפונקציה הבאה: f (a 1 ) = a 2 f (a 2 ) = a 3. f (a m ) = a 1 f (i) = i i a 1... a m (ההגדרה עובדת גם במקרה ש A היא הקבוצה הריקה אז פונקציית הזהות וכמובן שהיא חח"ע ועל). f היא פשוט נראה כי f חח"ע ועל: n = a 1 אז אם אם 1 m n = a i, 2 i אז.f (a i+1 ) = n יהי.n N f לכל ערך יש מקור, כלומר עצמו. n הוא n אחרת, המקור של f. a) m ) = m חח"ע. יהיו,a b N כך ש ( b ) f. (a) = f אזי ע"י אותו פירוק למקרים נגיע לכך ש b a. = כלומר, f חח"ע. f חח"ע ועל, כלומר.f S N מש"ל 4

סעיף ג S N אינסופית לא בת מניה. טענה 0.1 הוכחה: בסעיף (ב) הראנו כי לכל תת קבוצה A N כך ש 1 A, קיימת f S N כך ש A.X f = ברור כי לכל A A כנ"ל, הפונקציות המתאימות f f, הן שונות. מכאן כי 1} = A.S N P (N) \ {A P (N) גודלה של (N) P הוא.2 ℵ0 מס הקבוצות בה שהן בגודל 1 הוא.ℵ 0 לכן גודלה של 1} = A {A P (N) הוא 2 ℵ0 ℵ 0 כלומר אינסופית לא בת מניה. מכאן כי גם S N אינסופית לא בת מניה. מש"ל סעיף ד טענה.R = S N S N 0.2 הוכחה: תהי I S N פונקציית הזהות (ברור כי I חח"ע ועל). = I X, ולכן לכל שתי פונקציות h, g S N מתקיים = g,x h X I = X I X כלומר (h, I), (I, g) R ולכן.(h, g) R 2 כיוון ש,R = R i מתקיים בהכרח כי.R = S N S N מש"ל שאלה 4 נגדיר x)),ϕ n = x ((t 0 x) (t 1 x)... (t n ותהי } n.σ = {ϕ משמעות הפסוק היא כי לכל איבר בעולם, t 0 שווה לאותו איבר, או t 1 שווה לו, וכן הלאה עד t. n כלומר, ניתן לראות כי מבנה מספק את הפסוק הנ"ל אמ"ם הוא מקיים את ההגדרה של מבנה ציקלי. נגדיר x)),ψ n = x ((t 0 x) (t 1 x)... (t n ותהי.}.., 2.Σ = {ψ 0, ψ 1, ψ משמעות הפסוק הנתון היא כי קיים איבר בעולם שאינו שווה לאף אחד משמות העצם t 0... t n כלומר, המבנה אינו n ציקלי. כיוון שכללנו את הפסוק הנ"ל עבור כל n טבעי נובע שמבנה שמספק את הקבוצה הוא לא ציקלי. סעיף ג טענה 0.3 הקבוצה הנ"ל אינה גדירה. 5

הוכחה: נניח בשלילה כי היא גדירה ע"י קבוצת פסוקים X. תהי Y קבוצת הפסוקים מסעיף (ב). אזי = (X) M Y) ) M כי אחד הוא קבוצת כל המבנים הציקליים והשני קבוצת כל המבנים שאינם ציקליים. נובע לכן כי X Y אינה ספיקה. תהי D X Y תת קבוצה סופית. נסמן D X = D X ו D Y = D.D Y = {ψ i1, ψ i2,..., ψ ik }.Y מבנה M מקיים את D Y אמ"ם הוא אינו l ציקלי, כאשר.i 1 l i k נגדיר } k.i max = max {i 1,... i נגדיר מבנה 0} +,, 1} + max.m = {{0, 1, 2, 3..., i קל לראות כי מבנה זה הוא 1) + max i ) ציקלי, ומכאן שאינו l ציקלי, ולכן M. = D Y כמו כן המבנה הוא ציקלי ולכן גם X ספיקה סתירה! לכן X Y לפי משפט הקומפקטיות נובע כי M. = D X כנ"ל לא קיימת וקבוצת המבנים כנ"ל אינה גדירה. סעיף ד לא נכון. דוגמא נגדית מפורשת: יהי המבנה 2} +,, 100},... 2, {{0, 1, =.M התחום סופי. האם המבנה ציקלי? עבור D M,1 למשל, לא קיים = 1 k t כי לכל t i מתקיים ש t i הוא זוגי. לכן המבנה אינו ציקלי. מש"ל 6