Κεφ αλαιο6. Στροφ ε &Ειδικ ηθεωρ ιατη Σχετικ οτητα. 6.1 Απειροστ ε στροφ ε διαν υσµατο

Κεφ αλαιο6 Στροφ ε &Ειδικ ηθεωρ ιατη Σχετικ οτητα Στοεξ η οχ ωρο καιοχρ ονο ω ανεξ αρτητε εννοιε ε ιναικαταδικασµ ενοινασ ησουν, καταντ ωντα απλ ε σκι ε, καιµ ονο εναε ιδο συν ενωσ η του θασυνεχ ισει να εχειµιαανεξ αρτητηυπ οσταση. Hermann Minkowski 6.1 Απειροστ ε στροφ ε διαν υσµατο Πολλ ε φορ ε παρουσι αζεταιηαν αγκηναµελετ ησουµετηνεπ ιδραση εν ο µετασχηµατισµο υστροφ η σε εναφυσικ οσ υστηµα, οπω γιαπαρ αδειγµα οταναναζητο υµετι κατ αnoetherαναλλο ιωτε ποσ οτητε πουυπαγορε υονταιαπ οτησυµµετρ ιατωνστροφ ων. 1 Σετο υτοτοκεφ αλαιοθα αρχ ισουµετηµελ ετηµα,κατασκευ αζοντα αρχικ ατοµετασχηµατισµ ο µια απειροστ η στροφ η. Εστω εναδι ανυσµα r,τοοπο ιοθ ελουµεναπεριστρ εψουµεκατ αµ ια Συστηµατικ η πολ υµικρ ηγων ια δφγ υρωαπ ο εναν αξοναπου εχειδιε υθυνση ˆnκαιδι ερχεταιαπ οτηναρχ ητουδιαν υσµατο r.ηφορ απεριστροφ η καθορ ιζεται απειροστ η στροφ η κατασκευ η συµ ατικ ααπ οτηνκατε υθυνσητου ˆnµ εσωτουκαν ονατουδεξι οστροφουκοχλ ια ητουδεξιο υχεριο υ.τοαρχικ οδι ανυσµα υστερααπ οτηνπεριστροφ ητουγ υρωαπ οτον αξονα ˆnµετατρεπ εταιστοδι ανυσµα r,το οπο ιο εχειτην ιδιααφετηρ ιαµετο r,αλλ ατο ακροτουδιαγρ αφειµιαπεριφ ερειακ υκλου,τοεπ ιπεδοτουοπο ιουε ιναικ αθετοστον αξονα ˆn (βλ. Σχ ηµα 6.1). Οκ υκλο αυτ ο εχειακτ ινα ισηµετηπρο ολ ητου rπ ανω στοκ αθετοεπ ιπεδο,δηλαδ η ˆn r,αφο υτο ˆnε ιναιµοναδια ιοδι ανυσµα.επειδ ηηπεριστροφ ητουδιαν υσµατο rε ιναιαπειροστ η,µπορο υµε ναθεωρ ησουµε οτιηστροφ ηαυτ ηεπιτυγχ ανεται,ανπροσθ εσουµεστο 1 Στηνκ αντοµηχανικ ηθε ωρησητωνφυσικ ωνσυστηµ ατων, οπου ολατακλασικ α φυσικ αµεγ εθηεµφαν ιζονταιω τελεστ ε,ηγν ωσηεν ο τ ετοιουµετασχηµατισµο υ,εν ο τελεστ ηδηλαδ ηπου,επενεργ ωντα σεκυµατοσυναρτ ησει,δ ινειτηνκαινο υργιατου τιµ ηστηθ εσηπουκαθορ ιζεταιαπ οτηδρ ασητη στροφ η στοδι ανυσµατη αρχικ η θ εση,αποκτ αξεχωριστ ησηµασ ια. 137

138 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΣΤΡΟΦΕΣ & ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ Σχ ηµα 6.1:Στροφ ητουδιαν υσµατο rκατ ααπειροστ ηγων ια δφγ υρωαπ οτον αξονα ˆn.Ην εαθ εσητουδιαν υσµατο ε ιναιη r. r εναδι ανυσµακατ αµ ηκο του ˆn r,δηλαδ η εναδι ανυσµαπουε ιναι κ αθετοκαιστο ˆnκαιστο r,µεµ ηκο δφ ˆn r.συνεπ ω, r = r + δφ(ˆn r). (6.1) Ηπαραπ ανωσχ εσηπροφαν ω ισχ υειµ ονογιααπειροστ ε στροφ ε και οχιγιαπεπερασµ ενε,αφο υ,αν ισχυε,τ οτετοµ ετροτουν εουδιαν υσµατο δενθα ηταν ισοµεεκε ινοτουαρχικο υ.φυσικ αµιαπεπερασµ ενηστροφ ηµπορε ιναεπιτευχθε ιµεδιαδοχικ ε απειροστ ε στροφ ε. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ασκηση6.1. ε ιξτε οτιτοµ ετροτου r ε ιναι ισοµετοµ ετροτου rσεπρ ωτητ αξη ω προ τηγων ιαστροφ η δφ. Οιαπειροστ ε στροφ ε ε ιναιδιαν υσµατα Ορ ιζοντα τοαπειροστ οδι ανυσµα δn ˆnδφ, καθορ ιζουµεπλ ηρω τοµετασχηµατισµ οτη στροφ η. Ανεκτελ εσουµε δ υοδιαδοχικ ε απειροστ ε στροφ ε,διαφορετικο υµεγ εθου καισεδιαφορετικο υ αξονε,γιαπαρ αδειγµα δn 1, δn 2,τοαρχικ οδι ανυσµα rµετασχηµατ ιζεταιµετηπρ ωτηστροφ ησε r και επειταµετηδε υτερηστροφ η σε r, οπου r = r + δn 2 r ( = r + ) δn 1 r + δn 2 ( r + ) δn 1 r = r + ( δn 1 + δn 2 ) r + O(δn 2 ). (6.2)

6.2. ΓΩΝΙΑΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ 139 Απ οτηνπαραπ ανωσχ εσηφα ινεται οτιοιαπειροστ ε στροφ ε συµπεριφ ερονταιω διαν υσµατα,αφο υδ υοτ ετοιε διαδοχικ ε στροφ ε επιτυγχ ανονταιµ εσωτουδιαν υσµατο δn 12 = δn 1 + δn 2. Ασκηση6.2. Θεωρ ηστε ενανκ υ οκαιεκτελ εστεδιαδοχικ ατρει ισε απειροστ ε ΑΣΚΗΣΕΙΣ στροφ ε γ υρωαπ οτι τρει ορθογ ωνιε ακµ ε του.ποιαε ιναιηµετατ οπισητη κορυφ η ηοπο ιαβρ ισκεταιδιαγων ιω τη κορυφ η οπουσυναντ ωνταιοιακµ ε που ορισαντου αξονε τωνστροφ ων;γ υρωαπ οποιον αξοναστρ εφεταισυνολικ αοκ υ ο ; Ο ορο δε υτερη τ αξη ω προ ταδιαν υσµατα δnε ιναιαµελητ εο,αφο υ οιστροφ ε ε ιναιαπειροστ ε.ησειρ αµ αλισταµετηνοπο ιαπραγµατοποιο υνταιοιστροφ ε δεν εχεισηµασ ια.αυτ αταδ υοχαρακτηριστικ αγνωρ ισµατατωναπειροστ ωνστροφ ων,ηδιανυσµατικ ησυµπεριφορ ακαιηµεταθετικ οτητατου δενεπεκτε ινονταιστι πεπερασµ ενε στροφ ε,γεγον ο τοοπο ιοκαθιστ απολ υπλο υσιοτοµενο υτωνφαινοµ ενωνπουαφορο υνσεπεριστροφ ε στερε ωνσωµ ατων. Στησυν εχειαθααναπαραστ ησουµευπ οµορφ ηπ ινακατοµετασχηµατισµ οµια απειροστ η στροφ η.γι αυτ οντολ ογοεπαναδιατυπ ωνουµε τησχ εση (6.1)χρησιµοποι ωντα δε ικτε καιφυσικ ατηναθροιστικ ησ υµ- ασηω r = r iê i = r i ê i + ê i ǫ ijk δφ n j r k = ê i (δ ik + ǫ ijk δφ n j )r k, (6.3) οπου ê i ταµοναδια ιακαρτεσιαν αδιαν υσµαταβ αση.ηαπειροστ ηαυτ η στροφ η,λοιπ ον,επιτυγχ ανεται,ανπολλαπλασι ασουµετοαρχικ οδι ανυσµα,τοοπο ιοισοδ υναµαµπορο υµεναγρ αψουµεω µον οστηλοπ ινακα, µετονπ ινακα R(ˆn δφ) = 1 δφ n 3 δφ n 2 δφ n 3 1 δφ n 1 δφ n 2 δφ n 1 1. Οπ ινακα µετασχηµατισµο υγια µιααπειροστ ηστροφ η Τ ελο,τον ιζουµε οτιτα οσααναφ ερθηκανγιατοµετασχηµατισµ οστροφ η ισχ υουν οχιµ ονογιαταδιαν υσµαταθ εση αλλ ακαιγιακ αθε αλλο δι ανυσµα(ταχ υτητα,επιτ αχυνση,δ υναµηκλπ.),αφο υω διαν υσµαταορ ιστηκανοιτρι αδε εκε ινε τωναριθµ ωνπουµετασχηµατ ιζονταιστι στροφ ε µετον ιδιοτρ οποπουµετασχηµατ ιζονταιταδιαν υσµαταθ εση.

140 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΣΤΡΟΦΕΣ & ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ Σχ ηµα 6.2: Toδι ανυσµα Aπεριστρ εφεταιµεσταθερ ηγωνιακ ηταχ υτητα Ωδιαγρ αφοντα κ υκλοακτ ινα r. 6.2 Γωνιακ ηταχ υτητα Απ οτηναπειροστ η στροφ ηστηγωνιακ η ταχ υτητα Οταν εναδι ανυσµα Aπεριστρ εφεταισυνεχ ω γ υρωαπ οτον αξονα ˆn,ορυθµ ο µετα ολ η τουδιαν υσµατο ε ιναι d A dt = lim δt 0 A A δt = dφ dt ˆn A = Ω A, (6.4) οπου Ω ˆn dφ, dt ε ιναι εναδι ανυσµαπουονοµ αζεταιγωνιακ ηταχ υτητακαιµετρ ατορυθµ ο περιστροφ η τουδιαν υσµατο A,εν ωηδιε υθυνσ ητουκαθορ ιζεταιαπ ο τον αξοναγ υρωαπ οτονοπο ιοπραγµατοποιε ιταιηστροφ η. Αξ ιζεινα αναφ ερουµε οτιτογεγον ο οτιηγωνιακ ηταχ υτηταε ιναιδι ανυσµαοφε ιλεταιστοδιανυσµατικ οχαρακτ ηρατωναπειροστ ωνστροφ ων. Σηµει ωνουµεεπ ιση οτι,αναναφερ οµαστανσε εναχ ωροµεπερισσ οτερε απ ο τρει διαστ ασει,ηγωνιακ ηταχ υτηταθα επαυεναε ιναιδι ανυσµα.σκεφτε ιτε,γιαπαρ αδειγµα,τοπρ ο ληµαπουθααντιµετωπ ιζατεανπροσπαθο υσατεναορ ισετετον αξονακ αποια στροφ η σε εναχ ωροτεσσ αρων διαστ ασεων! Σεαυτ οτοσηµε ιοε ιναιε υκολοναδε ιξουµε οτι,αν εναδι ανυσµαµετα αλλεταισ υµφωναµετον οµο d A dt = Ω A, µε Ωκ αποιοσταθερ οδι ανυσµα,τ οτετο ακροτουδιαν υσµατο Aεκτελε ι κυκλικ ηκ ινησησε εναεπ ιπεδοκ αθετοστο Ω (βλ.σχ ηµα 6.2).Πρ αγµατι

6.2. ΓΩΝΙΑΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ 141 ισχ υει 1 d A 2 2 dt = d A dt A = ( Ω A) A = 0 καιεποµ ενω τοµ ετροτου Aε ιναισταθερ ο.επ ιση d( A Ω) dt = d A dt Ω = ( Ω A) Ω = 0, καιεποµ ενω A Ω =σταθερ ο. Τοπρ ωτοσυµπ ερασµαδε ιχνει οτιτοδι ανυσµα Aκινε ιταιστηνεπιφ ανεια µια σφα ιρα,εν ωτοδε υτεροαποδεικν υει οτιτοδι ανυσµα Aκε ιταισε εναεπ ιπεδοκ αθετοστο Ω,αφο υηπρο ολ ητου Aεπ ιτου Ωε ιναισταθερ η.συνεπ ω,το Aκινε ιταιστηντοµ ηµια σφα ιρα καιεν ο επιπ εδου, δηλαδ ηεπ ιτη περιφ ερεια εν ο κ υκλου.ηακτ ινατη κυκλικ η τροχι α πουδιαγρ αφειτοδι ανυσµα Aε ιναι r = A sin( A Ω) = Ω A Ω, εν ωορυθµ ο µετονοπο ιοδιαγρ αφεταιηκυκλικ ηαυτ ητροχι αε ιναισταθερ ο,αφο υ da dt d A dt = ( Ω A) 2 = r 2 Ω 2 = Ω 2 A 2 ( Ω A) 2. Ασκηση6.3.Ηοδογρ αφο ε ιναιηκαµπ υληπουδιαγρ αφειτο ακροτουδιαν υσµα- ΑΣΚΗΣΕΙΣ το τη ταχ υτητα ανταδιαν υσµατατη ταχ υτητα σχεδιαστο υννα εχουντην ιδιααρχ η. Προσδιορ ιστετηνοδογρ αφοεν ο φορτισµ ενουσωµατιδ ιουπουκινε ιταισεοµογεν ε µαγνητικ οπεδ ιο.

142 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΣΤΡΟΦΕΣ & ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ 6.3 Περιστρεφ οµενασυστ ηµατααναφορ α Πολλ ε φορ ε προ αλλειηαν αγκηναµελετ ησουµεδι αφοραφαιν ο- µεναπουπαρατηρο υνταιαπ οπεριστρεφ οµενασυστ ηµατα, οπω αυτ α πουσυµ α ινουνστηνπεριστρεφ οµενηγη. Σεαυτ ε τι περιπτ ωσει ενδε ικνυταιηαν αλυσητωνφαινοµ ενωναυτ ωνσταπλα ισιατουπεριστρεφ οµενουσυστ ηµατο αναφορ α.επειδ ηοιµετρ ησει πουπραγµατοποιο υµεαφορο υνστι ταχ υτητε καιστι επιταχ υνσει στοπεριστρεφ οµενο σ υστηµααναφορ α καιεπειδ ηοιν οµοιτουνε υτωναισχ υουνµ ονοσεαδρανειακ ασυστ ηµατα,γιαναδιατυπ ωσουµετου δυναµικο υ ν οµου στο περιστρεφ οµενοσ υστηµα,πρ επειναµεταφρ ασουµετι ταχ υτητε καιτι επιτ αχυνσει απ οτοαδρανειακ οστοπεριστρεφ οµενοσ υστηµα. Εστω,λοιπ ον, ê i µε i = 1, 2, 3µιαορθοκανονικ ηβ ασητουπεριστρεφ οµενουσυστ ηµατο,ηοπο ιαπεριστρ εφεταιµαζ ιµετοσ υστηµααυτ ο. Αν Ωε ιναιηστιγµια ιαγωνιακ ηταχ υτητατουπεριστρεφ οµενουσυστ ηµατο,τ οτεταδιαν υσµαταβ αση τουπεριστρεφ οµενουσυστ ηµατο, οπω και ολαταδιαν υσµατασταθερο υµ ετρου,µετα αλλονταισ υµφωναµετον αδρανειακ οπαρατηρητ ηβ ασειτουν οµου dê i dt = Ω ê i. (6.5) Θ ελουµεναπροσδιορ ισουµετ ωρατηνεξ ελιξηεν ο διανυσµατικο υµεγ εθου A(t)στοπεριστρεφ οµενοκαιστοαδρανειακ οσ υστηµα.αναναλ υσουµετοδιανυσµατικ οµ εγεθο A(t)στοπεριστρεφ οµενοσ υστηµα,θα εχουµε A(t) = A i (t)ê i, οπου A i (t)ε ιναιοιστιγµια ιε συνιστ ωσε τουδιαν υσµατο στηδεδοµ ενη αυτ ηβ αση.σεαυτ οτοσ υστηµαηβ ασηε ιναισταθερ ηκαιω εκτο υτου δεν εχεικαµ ιαχρονικ ηεξ αρτηση εποµ ενω ορυθµ ο µετα ολ η τουδιαν υσµατο στοπεριστρεφοµενοσ υστηµαε ιναι d A dt = da i dt êi, (6.6) Π οπουοδε ικτη Π σηµα ινει οτιηαν αλυση εχειγ ινειστοπεριστρεφ οµενο σ υστηµα. Ανυπολογ ιζαµετορυθµ οαυτ οστοαδρανειακ οσ υστηµα,θα επρεπε ναλ α ουµευπ οψηµα τηστροφ ητωνδιανυσµ ατωνβ αση. Ετσιγιατο αδρανειακ οσ υστηµα,τοοπο ιοθασυµ ολ ιζουµεµετονδε ικτη A,ορυθ- µ ο αυτ ο,χρησιµοποι ωντα την (6.5),θαε ιναι d A dt = da i dê i dt êi + A i dt A A = da i dt êi + A i ( Ω ê i ) = d A + Ω dt A. (6.7) Π

6.3. ΠΕΡΙΣΤΡΕΦΟΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ 143 Β ασειτη σχ εση (6.7)µπορο υµεναδιατυπ ωσουµετηνακ ολουθησχ ε- Σχ εσηρυθµο υ σηδιαφορικ ωντελεστ ωνπουδρουνσεδιαν υσµατα, οτανµετα α ινουµε µετα ολ η απ ο εναπεριστρεφ οµενοσε ενααδρανειακ οσ υστηµα: διαν υσµατο σε d αδρανειακ ακαι περιστρεφ οµενα dt = d A dt + Ω. (6.8) Π συστ ηµατα Μπορο υµεναχρησιµοποι ησουµετησχ εσηαυτ ηγιανασυγκρ ινουµε τι ταχ υτητε καιτι επιταχ υνσει πουυπολογ ιζει ενα παρατηρητ η που βρ ισκεταισε εναπεριστρεφ οµενοσ υστηµααναφορ α, οπω αυτ οτη Γη, τοοπο ιο εχειω αρχ ητουτοκ εντροτη Γη καιπεριστρ εφεταιµετηγωνιακ ηταχ υτητα Ωτη Γη,µετι ταχ υτητε καιτι επιταχ υνσει πουυπολογ ιζει ενα παρατηρητ η σε ενααδρανειακ οσ υστηµααναφορ α, οπω αυτ οπου εχειαρχ ητοκ εντροτη Γη καιε ιναιακ ινητοω προ του µακρινο υ αστ ερε.παρατηρο υµε οτιταδιαν υσµαταθ εση ε ιναιτα ιδιακαι σταδ υοσυστ ηµατααναφορ α,ε ιτεαυτ αµετρ ωνταιστο ενασ υστηµα,ε ιτε στο αλλο,παρ ολοπουοισυνιστ ωσε του ε ιναι,ενγ ενει,διαφορετικ ε σταδ υοσυστ ηµατα.ε ανοπαρατηρητ η πουβρ ισκεταιστηνπεριστρεφ ο- µενηγηυπολογ ιζει οτικ αποιοσωµατ ιδιοπουβρ ισκεταιστηθ εση r εχει ταχ υτητα v Π,οαδρανειακ ο παρατηρητ η πουβρ ισκεταιστοαδρανειακ ο σ υστηµααναφορ α θαπρ επειναµετρ αειταχ υτητα v A πουδ ινεταιαπ οτη σχ εση v A = v Π + Ω r. (6.9) Γιατονυπολογισµ οτη επιτ αχυνση πουεκτιµο υνοιδ υοπαρατηρητ ε χρει αζεταιλ ιγοπερισσ οτερηπροσοχ η. Ηεπιτ αχυνσηπουυπολογ ιζειο αδρανειακ ο παρατηρητ η ε ιναι d v A dt, A εν ωηεπιτ αχυνσηπουυπολογ ιζειοπαρατηρητ η πουβρ ισκεταιστηπεριστρεφ οµενηγηε ιναι d v Π dt. Π Ησχ εσηµεταξ υτωνδ υοποσοτ ητωνδενε ιναι αµεση. Ανχρησιµοποι ησουµετηνταυτ οτητα (6.8)παρατηρο υµε οτι a A = d v A dt A = d v A dt + Ω v A Π = d( v Π + Ω r) + Ω dt ( v Π + Ω r) Π = d v Π dt + 2Ω v Π + Ω ( Ω r) Π = a Π + 2 Ω v Π + Ω ( Ω r). (6.10) Ηεπιτ αχυνσηεν ο σωµατιδ ιουπου κινε ιταιεπ ανωστηγη

144 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΣΤΡΟΦΕΣ & ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ασκηση6.4. ε ιξτε οτι,ανηγωνιακ ηταχ υτητα Ωδενε ιναισταθερ η,τ οτεοιεπιταχ υνσει σταδ υοσυστ ηµατα(στοπεριστρεφ οµενοσ υστηµακαιτοαδρανειακ οσ υστηµα) συνδ εονταισ υµφωναµετησχ εση a A = a Π + 2 Ω v Π + Ω ( Ω r) + Ω Ω ( Ω r) + ( ω Ω) r, (6.11) οπου ωε ιναιηστιγµια ιαγωνιακ ηταχ υτηταµετηνοπο ιαπεριστρ εφεταιο αξονα τη γωνιακ η ταχ υτητα Ω.Οιδ υον εοι οροιπουεµφαν ιζονταιστηνπαραπ ανωσχ εσηε ιναι ηεπιτ αχυνσηπουοφε ιλεταιστηγωνιακ ηεπιτ αχυνσητουπεριστρεφ οµενουσυστ ηµατο καιηµεταπτωτικ ηεπιτ αχυνσηαντ ιστοιχα. Σ υγκρισητη επιτ αχυνση Coriolis µετηνκεντροµ ολο επιτ αχυνση Εν ωο ορο πουσυνδ εειτι δ υοταχ υτητε σταδ υοσυστ ηµατα,µ εσω τη σχ εση (6.9),ε ιναιδιαισθητικ απροφαν η, 2 οιδ υοαντ ιστοιχοι οροι πουσυνδ εουντι επιταχ υνσει,µ εσωτη σχ εση (6.10),δενε ιναιτ οσοπροφανε ι.οδε υτερο ορο Ω ( Ω r)ε ιναιηγνωστ ηµα κεντροµ ολο επι- τ αχυνση,πουµα ε ιναιπερισσ οτεροοικε ιαω φυγ οκεντρο επιτ αχυνση µεαντ ιθετοπρ οσηµο,αφο υτηναισθαν οµαστε, οτανεπι α ινουµεσε ενα περιστρεφ οµενοσ υστηµα, οπω γιαπαρ αδειγµασε ενααυτοκ ινητοπου στρ ι ει.ο ορο 2Ω v Π,ηεπονοµαζ οµενηεπιτ αχυνσηcoriolis, 3 ανκαι δενε ιναιτ οσοσυνδεδεµ ενο µετηνκαθηµεριν ηµα εµπειρ ια,ε ιναιυπε υθυνο γιατηδηµιουργ ιατωνκυκλωνικ ωνκαιαντικυκλωνικ ωνκιν ησεων τωνα εριωνµαζ ωντη ατµ οσφαιρα πουµετησειρ ατου προκαλο υντα δι αφορακαιρικ αφαιν οµενα. Εν ωηεπιτ αχυνσηcoriolisαντιστρ εφεται,αναντιστραφε ιηγωνιακ η ταχ υτητα,ηκεντροµ ολο επιτ αχυνσηδεναλλ αζειφορ α,αλλ ακατευθ υνεταιπ αντοτεπρο τον αξοναπεριστροφ η εξαιτ ια τη υπαρξη του ορου Ωει διπλο υν.ολ ογο πουηεπιτ αχυνσηcoriolisδενε ιναιτ οσο εκδηλη στηνκαθηµεριν ηµα ζω η, οσοε ιναιηκεντροµ ολο επιτ αχυνση,ε ιναι οτι οικιν ησει στοπεριστρεφ οµενοσ υστηµαε ιναισυν ηθω πολ υπιοαργ ε απ οτηνπεριστροφικ ηκ ινησητου ιδιουτουσυστ ηµατο. 4 Οπω µπορε ικανε ι ε υκολαναδιαπιστ ωσει,ταµ ετρατωνδ υοεπιταχ υνσεων εχουν λ ογοτ αξη a Cor /a κεντρ (Ωv)/(Ω 2 r) v/(ωr) v/v περ, (6.12) οπου vηταχ υτητατουσ ωµατο στοπεριστρεφ οµενοσ υστηµακαι v περ η ταχ υτηταπεριστροφ η τουσυστ ηµατο οπω φα ινεταιαπ οτοµηπεριστρεφ οµενοσ υστηµα. 2 Ο ορο αυτ ο µετρ ατηγραµµικ ηταχ υτηταµετηνοπο ιακινε ιταιω προ τοαδρανειακ οσ υστηµατοσηµε ιοτουπεριστρεφ οµενουσυστ ηµατο στοοπο ιοβρ εθηκεστιγµια ια τοκινο υµενοσωµατ ιδιο. 3 OGustav-GaspardCoriolis [1792-1843],γ αλλο φυσικοµαθηµατικ ο καιµηχανικ ο, ητανοπρ ωτο πουµελ ετησετι µηαδρανειακ ε δυν αµει σεπεριστρεφ οµενασυστ ηµατα αναφορ α. 4 Ισω αναρωτηθε ιτεγιαποιολ ογοε ιναιτ οτετ οσοσηµαντικ ηηδ υναµηcoriolisστη δηµιουργ ιακαιρικ ωνφαινοµ ενων;θαδο υµεπαρακ ατω οτιηφυγ οκεντρο δ υναµηεξισορροπε ιταιαπ οτηβαρυτικ ηδ υναµηκαιδεν εχειδυναµικ ησηµασ ιαστηδιαµ ορφωση τουκαιρο υ.

6.4. ΦΥΓΟΚΕΝΤΡΟΣ ΥΝΑΜΗ ΚΑΙ ΥΝΑΜΗ CORIOLIS 145 Ε ιµαστε,τ ωρα,σεθ εσηναδιατυπ ωσουµετοδε υτερον οµοτουνε υτωνασε εναπεριστρεφ οµενοσ υστηµααναφορ α.ηδ υναµηπουαποδ ιδει ενα περιστρεφ οµενο παρατηρητ η σε ενακινο υµενοσωµατ ιδιοστο οπο ιοεπιδρ αηδ υναµη Fε ιναι F περ = m a περ = m ( a αδρ a Cor a κεντρ ) = F 2m Ω v m Ω ( Ω r). (6.13) Οπεριστρεφ οµενο παρατηρητ η πρ επειναεισαγ αγειπ εραντη εξωτερικ η δ υναµη Fδ υοψευδο-δυν αµει,τηδ υναµηcoriolis 2m Ω vκαι τηφυγ οκεντροδ υναµη m Ω ( Ω r),γιαναδιατυπ ωσειτοδυναµικ ο ν οµοεξ ελιξη τουσωµατιδ ιουστοπεριστρεφ οµενοσ υστηµα. 6.4 Φυγ οκεντρο δ υναµηκαιδ υναµηcoriolis Ηφυγ οκεντρο δ υναµη Περ ιτη φυγοκ εντρου F φυγ = m Ω ( Ω r) µπορε ιναθεωρηθε ι οτιπρο ερχεταιαπ οδυναµικ ηεν εργειατη µορφ η V φυγ ( r) = m 2 Ω2 ρ 2, (6.14) οπου ρε ιναιηκ αθετηαπ οστασητη θ εση τουσωµατιδ ιουαπ οτον αξονα περιστροφ η τουσυστ ηµατο.ηαπ οδειξη οτι m Ω ( Ω r) = V φυγ ( r), ε ιναιε υκολη,ανκαταφ υγεικανε ι σεκυλινδρικ ε συντεταγµ ενε (ρ, θ, z), µε αξονα zτον αξοναπεριστροφ η,καιδε ιξει οτι Ω ( Ω r) = Ω 2 ρ. Το ρε ιναιηπρο ολ ητουδιαν υσµατο rστοεπ ιπεδοτοκ αθετοστον αξονα z (βλ.σχ ηµα 6.3). Οτανεκτελο υµεπειρ αµαταστοεργαστ ηριοµεστ οχοναπροσδιορ ισουµετηνεπιτ αχυνσητη βαρ υτητα αυτ οπουτελικ αµετρ αµεδενε ιναι ηεπιτ αχυνσητη βαρ υτητα g,αλλ αηεπιτ αχυνση g = g Ω ( Ω r), οπου Ωε ιναιηγωνιακ ηταχ υτηταπεριστροφ η τη Γη.Ηδι ορθωσηαυτ η ε ιναιτη τ αξεω των 34mm s 2 στηνεπιφ ανειατη Γη. 5 Τοφυγοκεντρικ οδυναµικ οµπορε ιναχρησιµοποιηθε ιγιαναπροσδιοριστε ιτογεωει- Προσδιορισµ ο του σχ ηµατο τη Γη 5 Ητιµ ηαυτ ηαντιστοιχε ιστηφυγ οκεντροεπιτ αχυνσηστονισηµεριν οτη Γη. Σε αλλασηµε ιατη Γη ητιµ ηαυτ ηαλλ αζειλ ογωδιαφορετικ η απ οσταση τωνσηµε ιων απ οτον αξονατη Γη.

146 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΣΤΡΟΦΕΣ & ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ Σχ ηµα 6.3:Σηµει ωνονταιταδιαν υσµατα rκαι ρσεσχ εσηµετον αξοναπεριστροφ η πουκαθορ ιζεταιαπ οτοδι ανυσµα Ω. δ ε,τοσχ ηµαδηλαδ ηπουε ιχεαποκτ ησειηεπιφ ανειατη Γη εξαιτ ια τη περιστροφ η τη σταπρ ωταστ αδιατη γ εννησ η τη, οταν ητανακ οµη ρευστ η,καιτοοπο ιοδιατ ηρησεκαι υστερααπ οτηνψ υξητη. 6 Οπροσδιορισµ ο αυτ ο επιτυγχ ανεται,αναπαιτ ησουµετο αθροισµατουβαρυτικο υκαιτουφυγοκεντρικο υδυναµικο υεπ ανωστηνεπιφ ανειατη Γη να ε ιναισταθερ ο.αυτ οσηµα ινει οτισεκ αθεσηµε ιοτη επιφ ανει α τη ηκ αθετο εχειτηδιε υθυνσητη g (βλ.σχ ηµα6.4).ανηεπιφ ανειατη Γη δεν ητανµιαισοδυναµικ ηεπιφ ανεια,ανδηλαδ ητο αθροισµατουβαρυτικο υ καιτουφυγοκεντρικο υδυναµικο υδεν ητανσταθερ οστηνεπιφ ανειατη Γη,δενθαυπ ηρχεισορροπ ιακαιηρευστ ηεπιφ ανει ατη θαµετα αλλ οτανστηνπροσπ αθει ατη νααποκτ ησειαυτ οτοσχ ηµα ταθαλ ασσια υδαταθα ερρεανπρο χαµηλ οτεραδυναµικ α,εν ωτο ιδιοθασυν ε αινε καιµεταχερσα ιαεδ αφηµ εσωπλαστικ η παραµ ορφωσ η του,µεαποτ ελεσµατηναλλαγ ητουσχ ηµατο τη επιφ ανεια τη Γη. Σχ ηµα 6.4:Τοσχ ηµατη Γη ε ιναιµιαισοδυναµικ ηεπιφ ανεια.ηκ αθετο σεαυτ ητην επιφ ανεια εχειτηδιε υθυνσητη συνισταµ ενη τη βαρυτικ η καιτη φυγοκ εντρουδ υναµη. 6 Ο ιδιο ονε υτωνα επιχε ιρησεναπροσδιορ ισειτοπεπλατυσµ ενοσχ ηµατη Γη,το οπο ιοµετρ ηθηκεπολλ αχρ ονιααργ οτερααπ οτου MaupertuisκαιClairautµεγεωδαιτικ ε µετρ ησει στηλαπων ια.

6.4. ΦΥΓΟΚΕΝΤΡΟΣ ΥΝΑΜΗ ΚΑΙ ΥΝΑΜΗ CORIOLIS 147 Ασκηση6.5.Ε ανηγη,παρ ατηπεριστροφικ ητη κ ινηση,ε ιχεσφαιρικ οσχ ηµαµε ΑΣΚΗΣΕΙΣ τιεπιτ αχυνσηθακινο υταν ενασ ωµαστηνεπιφ ανει ατη προ τονiσηµεριν ολ ογωτη φυγοκ εντρουδ υναµη ;(Θεωρ ηστε οτιτοσ ωµαολισθα ινειστηνεπιφ ανειαδ ιχω τρι ε.) Μετιταχ υτηταθα εφτανετοσ ωµαστονισηµεριν οαν ηταναρχικ αακ ινητοκοντ ασε κ αποιονπ ολο;σεπ οσοχρ ονοθα εφτανεστονισηµεριν ο; Μπορο υµεακ οµηναεκµεταλλευτο υµετοφυγοκεντρικ οδυναµικ ογια νακατασκευ ασουµεπαρα ολικ ακατ οπτρατηλεσκοπ ιωνµεγ αλουµεγ ε- Κατασκευ η θου.ητεχνικ ηε ιναιηακ ολουθη:γεµ ιζουµε εναδοχε ιοπουβρ ισκεται παρα ολικ ων σεπερι αλλονυψηλ η θερµοκρασ ια µεγυαλ ισευγρ ηµορφ η.θ ετουµε κατ οπτρων τοδοχε ιοµετορευστ ογυαλ ισεπεριστροφικ ηκ ινηση.καθ ω τοδοχε ιο περιστρ εφεται,ηεπιφ ανειατουγυαλιο υπουβρ ισκεταιµ εσασεαυτ οαποκτ ασχ ηµατουοπο ιουτοσυνολικ οβαρυτικ οκαιφυγοκεντρικ οδυναµικ ο ε ιναισταθερ ο.αν z(ρ)ε ιναιτο υψο τη επιφ ανεια τουρευστο υγυαλιο υ σεαπ οσταση ραπ οτον αξοναπεριστροφ η,θαισχ υει g z(ρ) 1 2 Ω2 ρ 2 =σταθ, δηλαδ ητορευστ ογυαλ ιµ εσαστοδοχε ιοθααποκτ ησειτοσχ ηµαπαρα ο- λοειδο υ.γιατηνκατασκευ ητουκατ οπτρουαρκε ιστησυν εχειαναµει- ωσουµετηθερµοκρασ ια ωστεναστερεοποιηθε ιτογυαλ ιστοεπιθυµητ ο σχ ηµα. Σχ ηµα 6.5:Τουγρ οµ εσασε εναδοχε ιοπουπεριστρ εφεταιαποκτ απαρα ολικ ηεπιφ ανειαεξαιτ ια τη φυγοκ εντρουδ υναµη.ηεπιφ ανειατουυγρο υε ιναιµιαισοδυναµικ η επιφ ανειααντ ιστοιχηµετηνεπιφ ανειαεν ο περιστρεφ οµενουρευστο υπλαν ητη. Γιανακατανο ησουµετηδ υναµηcoriolis,α εξετ ασουµετηνακ ολου- Περ ιτη δ υναµη Coriolis θηκ ινηση, οπω αυτ ηπεριγρ αφεταισε εναπεριστρεφ οµενοσ υστηµα: ενα σωµατ ιδιοκινε ιταιακτινικ αµεσταθερ ηταχ υτητα v,αποµακρυν οµενοαπ οτον αξοναπεριστροφ η του.στοαδρανειακ οσ υστηµατοσωµατ ιδιο

148 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΣΤΡΟΦΕΣ & ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ακολουθε ιµιασπειροειδ ητροχι ακαι οσοπερισσ οτεροαποµακρ υνεταιαπ οτον αξοναπεριστροφ η τ οσοαυξ ανεταιηπεριστροφικ ητουταχ υτητα Ωr. Αντιλαµ αν οµαστε οτι,γιανασυµ α ινεικ ατιτ ετοιο,θαπρ επεινα ασκε ιταιστοσωµατ ιδιοµιαδ υναµη F,ηοπο ια εχεισυνεχ ω αζιµουθιακ ηκατε υθυνση. Απ οτην αλληπλευρ αοπεριστρεφ οµενο παρατηρητ η στηνπροσπ αθειατουναδικαιολογ ησειτηνευθ υγραµµηκ ινησηπου παρατηρε ιθαπρ επειναυποθ εσει οτιστοσωµατ ιδιοασκε ιταιµια ισηκαι αντ ιθετηδ υναµη F = F Cor. Αυτ ηακρι ω ηυποθετικ ηδ υναµηε ιναι ηδ υναµηcoriolis,ηοπο ιασ υµφωναµετηναν αλυσ ηµα αλλ αζειφορ α, αναλλ αξειφορ αηγωνιακ ηταχ υτητα.τοµ ετροαυτ η τη δ υναµη µπορο υµεε υκολανατουπολογ ισουµε,ανσκεφτο υµε οτιµιαδ υναµησαντην Fασκε ιροπ η τπουπροκαλε ιµετα ολ ητη στροφορµ η, L = r (m Ω r ),τουσωµατιδ ιου. Ετσι, Καιρ ο καιδ υναµη Coriolis F Cor = F = τ r = 1 dl r dt = 1 d r dt (mωr2 ) = 2mΩ dr = 2mΩv, (6.15) dt πουε ιναιησυνιστ ωσατη δ υναµη Coriolisπουπρο λ επεταιαπ οτην (6.13). Οπω προαναφ εραµεηδ υναµηcoriolisπα ιζειουσιαστικ ορ ολοστην κ ινησητωνα εριωνκαιυδ ατινωνµαζ ωνστονπλαν ητηµα. Ανστηνατµ οσφαιραεν ο µηπεριστρεφ οµενουπλαν ητηαναπτυχθε ιδιαφορ απ ιεση µεταξ υδ υοπεριοχ ων,ηδιαφορ ααυτ ηθαεξοµαλυνθε ιταχ υτατα.αν, οµω,οπλαν ητη περιστρ εφεται,τ οτεµπορε ιηδιαφορ απ ιεση νασυντηρηθε ιεπ απειρον. Εξαιτ ια τη δ υναµη Coriolisηοπο ιαε ιναικ αθετη στηνκ ινησητη ατµ οσφαιρα και εχειφορ απρο ταδεξι ατη κ ινηση (στοβ ορειοηµισφα ιριο),ηµετακ ινησηα εριωνρευµ ατωναπ ουψηλ απρο χαµηλ αβαροµετρικ ασυστ ηµαταακολουθε ιστρο ιλ ωδηκ ινηση(βλ.σχ η- µα6.6)µεαποτ ελεσµαταβαροµετρικ ασυστ ηµαταναικανοποιο υνµεµεγ αληακρ ι ειατησυνθ ηκηγεωστροφικ η ισορροπ ια 7 2ρ Ω v = p, οπου vε ιναιηταχ υτητατουατµοσφαιρικο υρευστο υ, Ωηγωνιακ ηταχ υτηταπεριστροφ η τη Γη, ρηπυκν οτητατουρευστο υ,και pηδ υναµη πουπροκαλε ιταιαπ οδιαφορ ε τη π ιεση καιηοπο ια εχειδιε υθυνσηαπ ο 7 Ηγεωστροφικ ηισορροπ ιαε ιναιδυνατ ηαντηρο υνταικ αποιε προ ποθ εσει : αν ητρι ηε ιναιαµελητ εακαιοαριθµ ο Rossby R = U/LΩε ιναιµικρ ο, οπου Uε ιναι τοχαρακτηριστικ οµ εγεθο τωνταχυτ ητωντωνα εριωνµαζ ωνπουπαρατηρε ι ενα παρατηρητ η,οοπο ιο περιστρ εφεταιµαζ ιµετονπλαν ητηκαι Lηχαρακτηριστικ ηκλ ι- µακαµ ηκου µετα ολ η τωνταχυτ ητων.γιατηνκυκλοφορ ιασταµεσα ιαπλ ατητη Γη αυτ ε οισυνθ ηκε ικανοποιο υνταιµεαρκετ ακαλ ηπροσ εγγιση. Γιαπαρ αδειγµαε ιναι U 20m/s, L 10 6 m,και Ω = 10 4 s 1,οπ οτεοαριθµ ο Rossbyε ιναι R = 0.2.

6.4. ΦΥΓΟΚΕΝΤΡΟΣ ΥΝΑΜΗ ΚΑΙ ΥΝΑΜΗ CORIOLIS 149 Σχ ηµα 6.6:Οκυκλ ωνα τη 13η Φε ρουαρ ιουτου 2004,οοπο ιο προκ αλεσετι χα- µηλ οτερε θερµοκρασ ιε τωντελευτα ιωνδεκαετι ωνσεπολλ αµ ερητη χ ωρα µα.στο χ αρτησηµει ωνονταιοιπαρατηρο υµενε τιµ ε τουδιανυσµατικο υπεδ ιουτωνταχυτ ητων επ ιτη επιφ ανεια σταθερ η π ιεση 500mb.Ο ανεµο ε ιναι,σεπολ υκαλ ηπροσ εγγιση, παρ αλληλο στι ισο ψε ι καµπ υλε τη επιφ ανεια αυτ η.στηµετεωρολογ ιαε ιναισυν ηθη πρακτικ ηναπαρουσι αζονταιταπεδ ιαταχυτ ητωνεπ ιεπιφανει ωνσταθερ η π ιεση,δι οτιεπ ιτωνεπιφανει ωνσταθερ η π ιεση ησυνιστ ωσατη δ υναµη απ οτηνπ ιεσηε ιναιµηδενικ ηκαιηµ ονηδ υναµηπουασκε ιταιστορευστ οαν αµον αδα ογκουε ιναι ησυνιστ ωσατη βαρ υτητα επ ιτη επιφ ανεια σταθερ η π ιεση ρg z p, οπου zτο υψο σεκ αθεσηµε ιοτη επιφ ανεια σταθερ η π ιεση p = p e και z p ηκλ ισητη επιφ ανεια αυτ η. Επειδ ηηδ υναµηcoriolisαν αµον αδα ογκουτουρευστο υε ιναι ισηµε 2ρ Ω vηγεωστροφικ ηισορροπ ιααπαιτε ιτοπεδ ιοταχυτ ητωνναικανοποιε ιτηνεξ ισωση 2 Ω v = g z p.ησχ εσηαυτ ητη γεωστροφικ η ισορροπ ια συνεπ αγεται οτιτο δι ανυσµατη ταχ υτητα ε ιναιπαρ αλληλοστι ισο ψε ι τη επιφ ανεια σταθερ η π ιεση, αφο υαπ οτηνεξ ισωσηαυτ ησυν αγεται οτι v z p = 0.Τοδι ανυσµατη ταχ υτητα ε ιναι επ ιση αν αλογοτη κλ ιση τωνισο ψ ωνκαισυνεπ ω ηταχ υτητατουαν εµουε ιναιµεγαλ υτερηστι περιοχ ε οπουηπυκν οτητατωνισο ψ ωνε ιναιµεγ αλη.ηπαρουσ ιασηαυτ η ε ιναισυν ηθη στηµετεωρολογ ιαδι οτι,ανσχεδιαζ οτανηταχ υτητατουαν εµουσεεπιφ ανειε σταθερο υ υψου,αντ ισεεπιφ ανειε σταθερ η π ιεση,ηγεωστροφικ ηισορροπ ιαθα ηταν 2ρ Ω v = p z καιηταχ υτητα,εν ωθα ητανπαρ αλληληστι καµπ υλε ιση π ιεση,δενθα ητανευθ εω αν αλογητη βαθµ ιδα τη π ιεση δι οτι,ηγεωστροφικ ηαυτ η σχ εσηεξαρτ αταιαπ οτηνπυκν οτητα,ηοπο ιαµει ωνεταισχεδ ονεκθετικ αµετο υψο.

150 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΣΤΡΟΦΕΣ & ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ υψηλ ε πι εσει προ χαµηλ ε πι εσει. 8 Λ ογωτη γεωστροφικ η ισορρο- π ια ηατµοσφαιρικ ηκυκλοφορ ιαχαρακτηρ ιζεταιαπ οτι συνεκτικ ε δο- µ ε τωνκυκλ ωνωνοιοπο ιοισυντηρο υνταιγιααρκετ αµεγ αλαχρονικ α διαστ ηµατα,απ οτ εσσερι εω επτ αηµ ερε ουσιαστικ α, οσοχρ ονοδηλαδ ηχρει αζεταιητρι ηµετο εδαφο γιανατου διαλ υσει.ηπαρουσ ια τ ετοιωνσυνεκτικ ωνδοµ ωνπουαποτελο υνταιαπ οχαµηλ ακαιυψηλ αβα- ροµετρικ ασυστ ηµατακαθορ ιζειαυτ οπουαποκαλο υµεκαιρ ο,εν ωοιδο- µ ε αυτ ε αποτελο υντακ υριασυστατικ ατουκλ ιµατο.ηµελ ετητη κλ ι- µατο ε ιναιστηνουσ ιαηµελ ετητη στατιστικ η συµπεριφορ α τωνκυκλωνικ ωναυτ ωνκιν ησεων.ανηγωνιακ ηταχ υτηταπεριστροφ η τη Γη ητανπολ υµικρ οτερη,οιοποιεσδ ηποτεδιακυµ ανσει τη ατµοσφαιρικ η π ιεση θαεξαφαν ιζοντανσεδι αστηµαµερικ ωνωρ ων 9 καιοκαιρ ο θα ητανεξαιρετικ απιοσταθερ ο. Επ ιση εξαιτ ια τη δ υναµη Coriolisε ιναιδυνατ ηη υπαρξηδιαφορ α θερµοκρασ ια µεταξ υισηµερινο υκαιπ ολων.αυτ οισχ υειδι οτι,ανηγηδενπεριστρεφ οταν,ηδιαφορ αθερµοκρασ ια µεταξ υισηµερινο υκαιπ ολων,ηοπο ιαεπι αλλεταιλ ογωδιαφορ α απορρ οφηση τη ηλιακ η ακτινο ολ ια καιαν ερχεταιστου 100 Cπερ ιπου,θαεξαλειφ οτανταχ υταταµεδιαταραχ ε πουδιαδ ιδονταισχεδ ον µετηταχ υτητατου ηχου, οπω ακρι ω διαδ ιδονταιοιδιαταραχ ε τη επιφ ανεια τουνερο υµ εσασεµ ιαλεκ ανη οταντηµετακιν ησουµε.ηατ- µοσφαιρικ ηκυκλοφορ ιαπουδηµιουργε ιταιεξαιτ ια τη δ υναµη Coriolis συντηρε ιτελικ αστηγητηδιαφορ αθερµοκρασ ια µεταξ υτουισηµερινο υ καιτωνπ ολωνστου 40 C.Αντιθ ετω,στονπλαν ητηαφροδ ιτη,οοπο ιο περιστρ εφεταιπολ υαργ αγ υρωαπ οτον αξον ατου,ηδιαφορ αθερµοκρασ ια µεταξ υτουισηµερινο υκαιτωνπ ολωνε ιναιµηδαµιν η. Ασκηση6.6. Εν ω ενα κυκλ ωνα δι ερχεταιαπ οµ ιαπεριοχ η,πραγµατοποιο υνται συγχρ ονω επ ιγειε βαροµετρικ ε µετρ ησει σεδ υοτοποθεσ ιε πουβρ ισκονταισεαπ οσταση 1000kmηµ ιααπ οτην αλλη. Ηµ ιαµ ετρησηδ ινει 980mbκαιη αλλη 1000mb. Υπολογ ιστετηνοριζ οντιαδ υναµηπουπροκαλε ιταιαπ οτηβαθµ ιδατη π ιεση καιεκτι- µ ηστετηνταχ υτητατουαν εµουπουαπαιτε ιταιγιαναεξισορροπ ησειηδ υναµηcoriolis τηδ υναµηαυτ ηστογεωγραφικ οπλ ατο των 45. ινεται οτι 1mb = 100Nt/m 2. 8 Ηπ ιεσησε εναρευστ οε ιναιηδ υναµηαν αµον αδαεπιφ ανεια πουδρακ αθετασε κ αθεεπιφ ανεια (νοητ η ηπραγµατικ η)τουρευστο υ. Ε ανηπ ιεσηε ιναιοµοι οµορφη,οι δυν αµει αν αµον αδαεπιφ ανεια τουρευστο υβρ ισκονταισεισορροπ ιακαιηολικ ηδ υναµηπουασκε ιταισε εναστοιχε ιοτουρευστο υε ιναιµηδενικ η.αν,τ ωρα,θεωρ ησουµε ενακλειστ οστοιχε ιοτουρευστο υ, ογκου V,ησυνολικ ηδ υναµηπουασκε ιταιαπ οτην π ιεσηστοστοιχε ιοαυτ οε ιναι F = pˆnds, οπου Sηεξωτερικ ηκλειστ ηεπιφ ανεια S τουστοιχε ιουκαι ˆnτοµοναδια ιοκ αθετοδι ανυσµαστηνεπιφ ανειαπου εχεικατε υθυνση προ τοεξωτερικ οτη επιφ ανεια.απ οτοθε ωρηµατουgaussβρ ισκουµε οτιησυνολικ η δ υναµηπουασκε ιταιστοστοιχε ιοε ιναι F = pdv.συνεπ ω,ηολικ ηδ υναµηπου V ασκε ιταισε εναναπειροστ ο ογκοεξαιτ ια τη π ιεση,αν αµον αδα ογκουτουρευστο υ, ε ιναι p. 9 Αποδεικν υεται οτισεαυτ ητηνπερ ιπτωσηηταχ υτηταεξοµ αλυνση τη π ιεση ε ιναι σχεδ ον ισηµετηνταχ υτητατου ηχου,παρ οτιηεξοµ αλυνσηαυτ ηδενεπιτυγχ ανεταιµε ηχητικ ακ υµατααλλ αµεεσωτερικ ακ υµαταβαρ υτητα πουδιαδ ιδονταιµεταχ υτητα c gh οπου H 10 kmτο υψο τη τροπ οσφαιρα.

6.5. ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΗ ΣΕ ΠΕΡΙΣΤΡΕΦΟΜΕΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 151 Γενικ αηδ υναµηcoriolisπουασκε ιταισε ενασ ωµα,εξαιτ ια τη περιστροφ η τη Γη,ε ιναι, οπω ε ιδαµε,µικρ οτερησεµ ετροαπ οτηφυγ οκεντροδ υναµηπουασκε ιταισεαυτ οκατ α ενανπαρ αγοντατη τ αξη του 2v ΩR = v 233m/s. 6.5 Κατασκευ ητη Λαγκρανζιαν η σε περιστρεφ οµενοσ υστηµα Ηφυγ οκεντρο δ υναµη, οµω, οπω ηδηεξηγ ησαµε,εξισορροπε ιταιαπ ο τηβαρυτικ η ελξη,καθορ ιζοντα ετσιτογεωειδ ε σχ ηµατη ατµ οσφαιρα καιοιατµοσφαιρικ ε κιν ησει περιορ ιζονταικυρ ιω στι ισοδυναµικ ε επιφ ανειε,οπ οτεηδ υναµηcoriolisπουδραστοεφαπτ οµενοεπ ιπεδο τουγεωειδο υ ε ιναιηδ υναµηπουκυριαρχε ιστηδιαµ ορφωσητωνατµοσφαιρικ ωνκιν ησεων. Τ ελο,αξ ιζεινααναφερθε ι οτιηδ υναµηcoriolis ηταναυτ ηπουπροσπ αθησεναεκµεταλλευτε ιονε υτωνγιανααποδε ιξει οτιηγηπεριστρ εφεται. Συγκεκριµ ενα,υπολ ογισετηνεκτροπ ηεν ο σωµατιδ ιουαπ οτην κατακ ορυφοπορε ιαπουακολουθε ι, οτανπ εφτειελε υθεραµ εσασε ενα βαθ υπηγ αδι.τοπε ιραµαεπιχε ιρησεοσ υγχρονο τουνε υτωνα,βρετα- ν ο φυσικ ο Hooke,ρ ιχνοντα µικρ ε σφα ιρε µ εσασε εναπηγ αδιλατο- µε ιου. υστυχ ω, οµω,µιαυπολογιστικ ηπαγ ιδαπουκρ υ ειηλ υσηαυτο υτουπρο λ ηµατο (βλ.πρ ο ληµα 7)τονοδ ηγησεσεεσφαλµ ενοαποτ ελεσµα,τοοπο ιο ετσικιαλλι ω υπερ ε αινεταπειραµατικ ασφ αλµατα µ ετρηση εκε ινη τη εποχ η. 10 Σ ηµεραηπαρεκτροπ ηστηνκ ινησητων βληµ ατωνεξαιτ ια τη δ υναµη Coriolisλαµ ανεταιπολ υσο αρ αυπ οψη στησ υγχρονηβαλλιστικ η.προφαν ω,στον οτιοηµισφα ιριοηδρ ασητη δ υναµη Coriolisε ιναιαντ ιθετηαπ οτηδρ ασητη δ υναµη αυτ η στοβ ορειοηµισφα ιριο. Εχοντα αναλ υσεισενευτ ωνειοπλα ισιοπ ω διαµορφ ωνονταιοιδυν αµει οτανµετα α ινουµεαπ ο ενααδρανειακ οσε εναπεριστρεφ οµενο σ υστηµααναφορ α,θακατασκευ ασουµεστησυν εχειατηδυναµικ ηεξ ισωσηκ ινηση εν ο σωµατιδ ιουσε εναπεριστρεφ οµενοσ υστηµα (ουσιαστικ αθακατασκευ ασουµεπ αλιτησχ εση (6.13))ακολουθ ωντα αυτ ητη φορ αλαγκρανζιαν οφορµαλισµ ο. Οπω εχουµε ηδηδε ιξει,οιεξισ ωσει ΗΛαγκρανζιαν η Euler-Lagrangeισχ υουνσε ολατασυστ ηµατααναφορ α αδρανειακ α η µη δεδοµ ενου οτιοιεξισ ωσει Euler-Lagrangeε ιναιαναλλο ιωτε σεση- µειακο υ µετασχηµατισµο υ. Στηνπερ ιπτωσ ηµα οενλ ογωσηµειακ ο 10 Αδιαµφισ ητητηαπ οδειξηγιατηνκ ινησητη Γη δ οθηκεµ ολι το1838απ οτογερ- µαν οαστρον οµοfriedrichwilhelmbessel[1784-1846],οοπο ιο κατ ορθωσεναυπολογ ισειτηνπαρ αλλαξητουαστ ερα61cygnus(υπολ ογισε οτιηπαρ αλλαξη ηταν0.314",εν ω ησηµεριν ηεκτ ιµησηγιατηνπαρ αλλαξητουενλ ογωαστ εραε ιναι0.292"). Ενααπ οτα επιχειρ ηµατατωναριστοτελικ ωνφιλοσ οφωνγιατηνακινησ ιατη Γη ηταν οτιδενε ιχε παρατηρ ηθε ικαµ ιαπαρ αλλαξητωναστ ερωνκαιεποµ ενω δενµπορο υσεναγ ινειδεκτ η καµ ιααναθε ωρησητη Κοσµολογ ια. σωµατιδ ιουγια περιστρεφ οµενο σ υστηµααναφορ α

152 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΣΤΡΟΦΕΣ & ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ οπ οτεκαι r A r Π = r A = r r A r Π + Ω r. µετασχηµατισµ ο ε ιναιαυτ ο πουαντιστοιχ ιζειτασηµε ιατουαδρανειακο υστασηµε ιατουπεριστρεφ οµενουσυστ ηµατο. Εχουµελοιπ ον ΗΛαγκρανζιαν η,εποµ ενω,εν ο σωµατιδ ιουστοπεριστρεφ οµενοσ υστη- µαθαε ιναι L = 1 2 m ( v + Ω r) 2 V ( r) = 1 2 m ( v 2 + 2( Ω r) v + ( Ω r) 2 ) V ( r), (6.16) οπου vηταχ υτητατουσωµατιδ ιουστοπεριστρεφ οµενοσ υστηµααναφορ α.στι παραγωγ ισει τωνεξισ ωσεωνeuler-lagrangeθαβοηθ ησειηδιανυσµατικ ηταυτ οτητα a ( b c) = c ( a b). Ετσι, L v = m( v + Ω r), και L ( r = m v Ω + ( Ω r) Ω ) V ( r). Στηντελευτα ιαπαραγ ωγισητουτετραγ ωνουτουεξωτερικο υγινοµ ενου χρησιµοποι ηθηκεηπροαναφερθε ισαταυτ οτηταει διπλο υν,µιαφορ αγια τοκ αθεεξωτερικ ογιν οµενο. Ηδυναµικ ηεξ ισωση,λοιπ ον,λαµ ανειτη µορφ η m v + mω ( v m v Ω + ( Ω r) Ω) ) + V ( r) = 0 καιεποµ ενω m v = V ( r) m ( 2Ω v + Ω ( Ω ) r). (6.17) m( Ω r) v. Οιυπ ολοιποι οροι,σεαντ ιθεσηµετονενλ ογω ορο, εχουντηνκλασικ η µορφ ητων ορωνκινητικ η καιδυναµικ η εν εργεια. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αξ ιζεινασηµει ωσουµετηνοµοι οτητατη Λαγκρανζιαν η τη σχ εση (6.16)καιτη Λαγκρανζιαν η φορτισµ ενουσωµατιδ ιουσεµαγνητικ οπεδ ιο,τουλ αχιστον οσοναφορ αστον ορο Ασκηση6.7. Κατασκευ αστετηναναλογ ιαµεταξ υτων ορωντη Λαγκρανζιαν η εν ο φορτισµ ενουσωµατιδ ιουσεηλεκτροµαγνητικ οπεδ ιοκαιεν ο σωµατιδ ιουσεπεριστρεφ οµενοσ υστηµααναφορ α.υποθ εστε οτιγνωρ ιζετεεπακρι ω τηντροχι αεν ο φορτισµ ενουσωµατιδ ιουσεοµογεν ε µαγνητικ ο B( r )καιηλεκτρικ οπεδ ιο E( r ). Σε ποιοπεριστρεφ οµενοσ υστηµακαισεποιοπεδ ιοδ υναµη ηκ ινησητωνσωµατιδ ιωνθα ητανακρι ω η ιδια;

6.6. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΣΤΡΟΦΕΣ 153 Σχ ηµα 6.7:Τοδι ανυσµα OPπεριστρ εφεταικατ αµ ιαπεπερασµ ενηγων ια θγ υρωαπ ο τον αξονα OA. Hν εαθ εσητουδιαν υσµατο ε ιναιη OP. Tοµοναδια ιοδι ανυσµατου αξοναπεριστροφ η ε ιναιτο ˆn. Toδι ανυσµα OAε ιναιηπρο ολ ητουδιαν υσµατο OP στον αξοναπεριστροφ η,οπ οτετοδι ανυσµα OAκαιτοδι ανυσµα APε ιναικ αθεταµεταξ υτου.το TP ε ιναικ αθετοστο AP.Το AP εχειµ ετρο AP = ˆn OP,τοοπο ιοε ιναι ισοµετο AP.Εποµ ενω, TP = ˆn OP sin θ. 6.6 Πεπερασµ ενε στροφ ε Α εξετ ασουµε,τ ωρα,π ω µπορο υµενακατασκευ ασουµετηδρ αση µια µηαπειροστ η στροφ η γ υρωαπ οκ αποιον αξονα ˆn. Θ ελουµενα Συστηµατικ η στρ εψουµετοδι ανυσµα r = OPκατ αγων ια θγ υρωαπ οτον αξοναoa κατασκευ ηµια πουχαρακτηρ ιζεταιαπ οτοµοναδια ιοδι ανυσµα ˆn(βλ.Σχ ηµα6.7).ην εα πεπερασµ ενη στροφ η θ εσητουδιαν υσµατο r = OP θαε ιναι OP = OA + AT + TP Προσ εξτε οτιτοδι ανυσµα = ( r ˆn)ˆn + [ r ( r ˆn)ˆn] cosθ + (ˆn r) sin θ. (6.18) AP = r ( r ˆn)ˆn, καιτοδι ανυσµα ˆn r, που εχειτηδιε υθυνσητου TP, εχουντο ιδιοµ ετρο πρ οκειταιγιατην ακτ ιναπεριστροφ η του ακρουτουδιαν υσµατο αλλ ακ αθετε µεταξ υ του διευθ υνσει.αλλ αζοντα τησειρ ατων ορωνστην (6.18),µπορο υµε ναγρ αψουµετοτελικ οστραµµ ενοδι ανυσµαστηµορφ η r = r cosθ + ( r ˆn)ˆn(1 cosθ) + (ˆn r ) sin θ. (6.19) Ανεφαρµ οσουµετησχ εσηαυτ ηγιααπειροστ ε γων ιε,δηλαδ ηδιατηρ ωντα στην(6.19)µ ονο ορου πρ ωτη τ αξη ω προ τηγων ιαστροφ η,

154 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΣΤΡΟΦΕΣ & ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ θ ετοντα cosδθ = 1και sin δθ = δθ,επιστρ εφουµεστησχ εση (6.1)που γρ αψαµεγιατι απειροστ ε στροφ ε. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ασκηση6.8. ε ιξτε οτιπρ αγµατιησχ εση(6.19)γιααπειροστ ε γων ιε δθκαταλ ηγειστησχ εση (6.1). Eπι ε αι ωστεεπ ιση οτιησχ εση (6.19)ικανοποιε ιτηβασικ ηιδι οτητατωνστροφ ων,δηλαδ η οτι r = r. Οπ ινακα µετασχηµατισµο υ πεπερασµ ενη στροφ η Οπω διαπιστ ωνεικανε ι απ οτησχ εση (6.19),ηστροφ ηγ υρωαπ ο κ αποιον αξοναε ιναιγραµµικ ηω προ τοδι ανυσµα rκαιεποµ ενω µπορε ιναγραφε ιω ενα π ινακα πουδραστoδι ανυσµα.ηµορφ ηαυτο υτου π ινακακαθορ ιζεταιµεαπλ οτρ οπο,ανεκφρ ασουµετην (6.19)ω σχ εση συντεταγµ ενων,χρησιµοποι ωντα δε ικτε r i = r i cosθ + (n j r j )n i (1 cos θ) + ǫ ikj n k r j sin θ R ij (θ, ˆn)r j, (6.20) οπουr(θ, ˆn)οπ ινακα µεστοιχε ια R ij (θ, ˆn) = δ ij cos θ + n i n j (1 cosθ) + ǫ ikj n k sin θ, (6.21) πουδρ ωντα σε εναδι ανυσµατοαναγκ αζειναστραφε ιγ υρωαπ οτηνκατε υθυνση ˆnκατ αγων ια θ.μιαστροφ η,λοιπ ον,προσδιορ ιζεταιπλ ηρω απ οτονπ ινακαr(θ, ˆn). 6.7 Οιστροφ ε ω ορθογ ωνιοι µετασχηµατισµο ι Οπ ινακα των στροφ ωνε ιναι ορθογ ωνιο Επειδ ηοιστροφ ε αφ ηνουναναλλο ιωτοτοµ ετροτωνδιανυσµ ατων,ο π ινακα τη στροφ η ε ιναι ενα ορθογ ωνιο π ινακα.αυτ οαποδεικν υεταιω εξ η :τοµ ετροτουµετασχηµατισµ ενουδιαν υσµατο r i r i r i = R ikr k R il r l = r k ( R T ) ki R ilr l, (6.22) οπουτο T συµ ολ ιζειτοναν αστροφοπ ινακα,πρ επειναισο υταιµετοµ ετρο r i r i τουαρχικο υδιαν υσµατο γιακ αθεδι ανυσµα r i. Γιαναισχ υει αυτ οθαπρ επειοπ ινακα Rναικανοποιε ιτησχ εση R T R =RR T =I, (6.23) δηλαδ ηοπ ινακα στροφ η πρ επειναε ιναιορθογ ωνιο. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ασκηση6.9. Επιλ εγοντα κατ αλληλαδιαν υσµατα r i,δε ιξτε οτιανη(6.22)ισχ υει γιακ αθεδι ανυσµα r i,οπ ινακα στροφ η πρ επειναικανοποιε ιτην (6.23),δηλαδ ηοπ ινακα στροφ η πρ επειναε ιναιορθογ ωνιο π ινακα.

6.7. ΟΙ ΣΤΡΟΦΕΣ ΩΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ 155 Ασκηση6.10.Επι ε αι ωστε οτιοπ ινακα (6.21)ε ιναιπρ αγµατιορθογ ωνιο. Ασκηση6.11. Επι ε αι ωστε οτιοπ ινακα µετασχηµατισµο υτωνστροφ ων (6.21) εχειορ ιζουσα +1. Ισχ υει οµω καιτοαντ ιστροφο,δηλαδ ηκ αθεορθογ ωνιο 3 3π ινα- Ενα ορθογ ωνιο κα µεορ ιζουσα +1ε ιναιπ ινακα στροφ η.οιορθογ ωνιοιπ ινακε, οµω, π ινακα µεορ ιζουσα εχουνγενικ αορ ιζουσα ±1,δι οτι,δεδοµ ενωντωνιδιοτ ητωντωνοριζουσ ων στροφ η +1ε ιναιπ ινακα det ( R T) = det (R)και det(ab) = det(a) det(b) (βλ.μαθηµατικ οπαρ αρτηµα),απ οτην (6.23)βρ ισκουµε οτι (det(r)) 2 = det(i) = 1. Οιστροφ ε, οπω διαπιστ ωσαµε,ε ιναιορθογ ωνιοιµετασχηµατισµο ιοι οπο ιοι εχουνορ ιζουσαπ αντα ισηµε +1.Του ορθογ ωνιου µετασχηµατισµο υ µεορ ιζουσα 1δενµπορο υµε,λοιπ ον,νατου αντιστοιχ ισουµε σεστροφ ε.αυτο ιοιµετασχηµατισµο ιε ιναισ υνθεσηεν ο κατοπτρισµο υ, δηλαδ ητουµετασχηµατισµο υ r = rπουαντιστοιχε ιστονπ ινακαµε- Κατοπτρισµ ο τασχηµατισµο υ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 καιµ ια στροφ η.οκατοπτρισµ ο οποιουδ ηποτεδιαν υσµατο r = r δενµπορε ιναεπιτευχθε ιµεµ ιαστροφ η, 11 δι οτιηορ ιζουσατουκατοπτρισµο υε ιναι 1,εν ωηορ ιζουσατη οποιασδ ηποτεστροφ η ε ιναι +1. Γιαναπροσδιορ ισουµεγιακ αθεορθογ ωνιοµετασχηµατισµ οµεορ ιζουσα +1τηστροφ ηπουτουαντιστοιχε ιθεωρο υµετοντυχα ιοορθογ ωνιο µετασχηµατισµ ο A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33,, καιπροσδιορ ιζουµετι ιδιοτιµ ε του λ,δηλαδ ητι τιµ ε γιατι οπο ιε ισχ υει Aê = λê, (6.24) 11 Ισω σκεφτε ιτε οτιηαναστροφ ηεν ο διαν υσµατο µπορε ιναεπιτευχθε ιµεµια στροφ ηκατ α πγ υρωαπ ο εναν αξονακ αθετοστοδι ανυσµα. Οµω ηστροφ ηαυτ ησχετ ιζεταιµετοσυγκεκριµ ενοδι ανυσµακαιανεφαρµοστε ισεκ αποιο αλλοδι ανυσµαδενθα τοαναστρ εψεικατ αν αγκην.γιαπαρ αδειγµα,ηστροφ ηαυτ ηθααφ ησει ιδιο εναδι ανυσµαπουε ιναικ αθετοστοαρχικ οδι ανυσµακαιπαρ αλληλοστον αξοναστροφ η.αξ ιζει επ ιση ναπαρατηρ ησουµε οτιοκατοπτρισµ ο σεδ υοδιαστ ασει δενε ιναιο r = r,ο οπο ιο ε ιναικαθαρ ηστροφ η,αλλ αο(x, y ) = ( x, y) ηο(x, y ) = (x, y)πουπροκαλε ιαν ακλασητουαρχικο υδιαν υσµατο ω προ τον αξονα y η xαντ ιστοιχα. Ετσιο γενικ ο καν ονα ε ιναι οτικατοπτρισµ οσεοποιεσδ ηποτεδιαστ ασει πετυχα ινουµεκ αθε φορ απουτοπλ ηθο των -1σταδιαγ ωνιαστοιχε ιατουπ ινακαµετασχηµατισµο υε ιναι περιττ ο.

156 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΣΤΡΟΦΕΣ & ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ οπου êταιδιοαν υσµατατουa.οιιδιοτιµ ε ε ιναιοιρ ιζε τουτριτο αθ- µιουπολυων υµου λ 3 + aλ 2 + bλ + c = 0, πουπροκ υπτειαπ οτησυνθ ηκη υπαρξη µητετριµµ ενη λ υση τη (6.24) a 11 λ a 12 a 13 det (A λi) = a 21 a 22 λ a 23 a 31 a 32 a 33 λ = 0. Οιτρει ιδιοτιµ ε πουπροκ υπτουναφεν ο θα εχουντηνιδι οτητα λ 1 λ 2 λ 3 = det (A) = 1, επειδ ητογιν οµενοτωνιδιοτιµ ωνισο υταιµετηνορ ιζουσατουπ ινακα,και αφετ ερουηκ αθεµ ιααπ οαυτ ε θα εχειαναγκαστικ αµ ετρο +1 λλ = 1, οπουτο συµ ολ ιζειτοµιγαδικ οσυζυγ ε. Ητελευτα ιααυτ ηιδι οτητα ισχ υειεπειδ ητοµ ετροτωνδιανυσµ ατωνπαραµ ενειαναλλο ιωτοσε ενα ορθογ ωνιοµετασχηµατισµ ο,οπ οτε ê = Aê = λê, πουσυνεπ αγεται οτι λ = 1.Οιιδιοτιµ ε καιταιδιοαν υσµαταµπορε ιβ ε- αιαναε ιναιµιγαδικ αοπ οτετοµ ετροεν ο µιγαδικο υδιαν υσµατο λαµ- ανεταιω ê 2 = ê i êi, οπου ê i, ê iε ιναιοισυνιστ ωσε καιοισυζυγε ι συνιστ ωσε του êαντ ιστοιχα.τ ελο,επειδ ηοιιδιοτιµ ε προκ υπτουνω ρ ιζε εν ο πολυων υµουµε πραγµατικο υ συντελεστ ε,ανµ ιαιδιοτιµ ηε ιναιµιγαδικ η,ησυζυγ η τη θαε ιναικαιαυτ ηιδιοτιµ η.σεαυτ ητηνπερ ιπτωση,λαµ ανοντα τοσυζυγ ε τη εξ ισωση (6.24),επειδ ηοπ ινακα A εχειληφθε ιπραγµατικ ο, συν αγουµε οτι Aê = λ ê, οπ οτεκαιτο ê ε ιναιιδιο ανυσµατουa. Υστερααπ οαυτ ε τι παρατηρ ησει προκ υπτει οτιαναγκαστικ αοι ιδιοτιµ ε εν ο γενικο υορθογ ωνιουµετασχηµατισµο υε ιναιοι 1, e iθ, e iθ. Οι e iθ επελ εγησανδι οτι εχουνµοναδια ιοµ ετρο.ειδικ ηµορφ ητουµετασχηµατισµο υπροκ υπτειγιαθ = 0, οπου ολε οιιδιοτιµ ε ε ιναιµοναδια ιε, καιa = Iαφο υτ οτεκ αθεδι ανυσµαµετασχηµατ ιζεταιστονεαυτ οτου ( r = r ).Μια αλληειδικ ηπερ ιπτωση εχουµε οταν θ = π, οπουοιιδιοτι- µ ε ε ιναιοι 1, 1, 1,καιλαµ ανουµεστροφ ηγ υρωαπ οτον αξοναπου αντιστοιχε ιστηνιδιοτιµ η 1κατ αγων ια θ = π. Μπορο υµετ ωρανασυσχετ ισουµετογενικ οορθογ ωνιοµετασχηµατισµ οaµεκ αποιοπ ινακαστροφ η (6.21).Τοιδιο ανυσµαπουαντιστοιχε ι

6.7. ΟΙ ΣΤΡΟΦΕΣ ΩΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ 157 στηνιδιοτιµ η 1ε ιναιηδιε υθυνσηστροφ η ˆn.Μετασχηµατ ιζουµετονπ ινακαaσε ενασ υστηµασυντεταγµ ενωνστοοπο ιοοπρ ωτο αξονα µετασχηµατ ιζεταιστον αξονα ˆnκαιοι αλλοιδ υο αξονε σταµοναδια ιαπραγ- µατικ αδιαν υσµατα ûκαι ˆv = ˆn û ετσι ωστετα ˆn, ûκαι ˆvνασχηµατ ιζουν µ ιαορθοκανονικ ηβ αση.ανσχηµατ ισουµετονπ ινακα U = [ˆn, û, ˆv] που εχειω στ ηλε ταστοιχε ιατωναντ ιστοιχωνδιανυσµ ατων,οπ ινακα αυτ ο Uε ιναιορθογ ωνιο καιεποµ ενω,οπ ινακα A =U T AUπαραµ ενειορθογ ωνιο και εχειτι ιδιε ιδιοτιµ ε µετονa συνεπ ω εχειτο ιδιο ιχνο καιτην ιδιαορ ιζουσα. Επειδ ητο ιχνο εν ο π ινακαισο υταιµετο αθροισµατωνιδιοτιµ ωντου (βλ.μαθηµατικ οπαρ αρτηµα),το ιχνο του π ινακαa ε ιναι trace(a ) = trace(a) = 1 + e iθ + e iθ = 1 + 2 cosθ, τοοπο ιοισο υταιµετο ιχνο του(6.21),υπ οτηνπρο π οθεση οτιηθαναπαριστ ατηγων ιαστροφ η τουµετασχηµατισµο υστροφ η. Συνεπ ω η γων ιαστροφ η ε ιναι cosθ = trace(a) 1 2 καιοορθογ ωνιο π ινακα A λαµ ανειτηµορφ η 1 0 0 Α = 0 α β. 0 γ δ Ουποπ ινακα τ ωρα O = ( α β γ δ ) πρ επειναε ιναικαιαυτ ο ορθογ ωνιο µεµοναδια ιαορ ιζουσακαι, οπω θαδο υµεαναλυτικ αστοεδ αφιο6.11, εχειαναγκαστικ ατηµορφ η ( ) cosθ sin θ O =, sin θ cosθ πουαποτελε ιτονπ ινακαστροφ η στοεπ ιπεδοτοκ αθετοστονπρ ωτο αξονα κατ αγων ια θ. Ασκηση6.12. ε ιξτε οτι,ε ανοa ε ιναιορθογ ωνιο µεµοναδια ιαορ ιζουσα,τ οτε ΑΣΚΗΣΕΙΣ καιουποπ ινακα Oπρ επειναε ιναιορθογ ωνιο µεµοναδια ιαορ ιζουσα.

158 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΣΤΡΟΦΕΣ & ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ 6.8 Οιστροφ ε σχηµατ ιζουνµιαµηµεταθετικ η οµ αδα Ε ανµετ ααπ οκ αποιαστροφ ηr(ˆn 1, θ 1 )ακολουθ ησειµια αλληστροφ η ω προ εναν αλλο,ενγ ενει, αξοναr(ˆn 2, θ 2 ),τ οτεοσυνολικ ο µετασχη- µατισµ ο θαπαρ αγεταιαπ οτογιν οµενοτωνπιν ακων R(ˆn 2, θ 2 )R(ˆn 1, θ 1 ). Εκτελ ωντα τι πρ αξει µεταξ υτωνστοιχε ιωντωνδ υοπιν ακων,δενε ιναιπροφαν ε τιµετασχηµατισµ ο προκ υπτει.τογεγον ο, οµω, οτικ αθε φορ απουδρα ενα τ ετοιο π ινακα αφ ηνειαναλλο ιωτοτοµ ετροτουδιαν υσµατο µ α υποδεικν υει οτιτογιν οµενοδ υοστροφ ωνπρ επειναε ιναι καιπ αλιστροφ η,δηλαδ ηυπ αρχειπ αντοτεκ αποιακατε υθυνση ˆn 3 ω προ τηνοπο ιαανστραφε ι εναοποιοδ ηποτεδι ανυσµακατ αµιασυγκεκριµ ενη γων ια θ 3,θακαταλ ηξειστην ιδιαθ εσηπουθακατ εληγεανακολουθο υσε τηδιαδοχ ητωνδ υοπροηγο υµενωνστροφ ων. Ηβε αι οτητ αµα οσον αφορ αστηνισχ υτη παραπ ανωπρ οταση προκ υπτειαπ οτογεγον ο οτι τογιν οµενοδ υοστροφ ωνε ιναιορθογ ωνιο µετασχηµατισµ ο και, οπω δε ιξαµεστοπροηγο υµενοεδ αφιο,κ αθεορθογ ωνιο µετασχηµατισµ ο µοναδια ια ορ ιζουσα ε ιναιστροφ η.τοσ υνολοτωνστροφ ων,λοιπ ον,ε ιναι κλειστ οστηνπρ αξητη σ υνθεση ηισοδυν αµω στηνπρ αξητουπολλαπλασιασµο υτωναντ ιστοιχωνπιν ακων. Ταυτ οχρονα,αφο υτογιν οµενοδ υοστροφ ωνκατ αγων ιε θκαι θ αντ ιστοιχαγ υρωαπ οκ αποιοκοιν ο αξονα( ηισοδ υναµακατ α ισε γων ιε γ υρωαπ οαντ ιθετε κατευθ υνσει ±ˆn)παρ αγειτονταυτοτικ οµετασχη- µατισµ ο,δηλαδ η,αφο υ R(θ, ˆn)R( θ, ˆn) =I, οαντ ιστροφο π ινακα µια στροφ η R 1 (θ, ˆn)ε ιναικαιαυτ ο µ ιαστροφ η καισυγκεκριµ εναε ιναιηστροφ ηκατ ατηναντ ιθετηγων ια,δηλαδ η R 1 (θ, ˆn) =R( θ, ˆn) =R(θ, ˆn). Οιστροφ ε αποτελο υν οµ αδα Οιστροφ ε δεν µετατ ιθενται Γιακ αθεπ ινακα,λοιπ ον,στροφ η υπ αρχειοαντ ιστρoφ ο τουπ ινακα,ο οπο ιο ε ιναικαιαυτ ο π ινακα στροφ η. Συνεπ ω,τοσ υνολοτωνστροφ ωνσχηµατ ιζειµιαοµ αδα,τηνεπονο- µαζ οµενηοµ αδα SO(3).Τογρ αµµα O (orthogonal)δηλ ωνειτονορθογ ωνιοχαρακτ ηρατωνστροφ ωνπουδιατηρε ιαναλλο ιωτοτοµ ετροτωνδιανυσµ ατων,εν ωτογρ αµµα S (special)τοιδια ιτεροχαρακτηριστικ οτωνπιν ακωντωνστροφ ων, οτιδηλαδ η εχουνορ ιζουσα+1,εν ωτ ελο το3αναφ ερεταιστι διαστ ασει τουχ ωρουµ εσαστονοπο ιοεκτελο υνταιοιστροφ ε. Τοιδια ιτεροκαιταυτ οχροναεντυπωσιακ οχαρακτηριστικ οτωνστροφ ωνε ιναι οτιδ υοστροφ ε πουεκτελο υνταιγ υρωαπ οδιαφορετικο υ αξονε δενκαταλ ηγουνστο ιδιοαποτ ελεσµα,αναλλ αξειησειρ αµετηνοπο ια

6.8. Η ΜΗ ΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΟΜΑ Α ΤΩΝ ΣΤΡΟΦΩΝ 159 Σχ ηµα 6.8:Οιστροφ ε γ υρωαπ οτου αξονε xκαι yκατ αγων ια θ = π/2δενµετατ ιθενται. αυτ ε εκτελο υνται.εποµ ενω,οιστροφ ε δενλειτουργο υνω διαν υσµατα.οιστροφ ε δενµετατ ιθενται, οπω λ εγεταιστηγλ ωσσατωνµαθηµατικ ων.συµ ολικ α,ανr(θ 1, ˆn 1 )καιr(θ 2, ˆn 2 )ε ιναιδ υοστροφ ε γ υρωαπ ο διαφορετικο υ αξονε τ οτε R(θ 1, ˆn 1 )R(θ 2, ˆn 2 ) R(θ 2, ˆn 2 )R(θ 1, ˆn 1 ). Η,µεκ απω διαφορετικ οσυµ ολισµ ο,οµεταθ ετη δ υοστροφ ων [R(θ 1, ˆn 1 ),R(θ 2, ˆn 2 )] R(θ 1, ˆn 1 )R(θ 2, ˆn 2 ) R(θ 2, ˆn 2 )R(θ 1, ˆn 1 ), (6.25) δενε ιναιµηδενικ ο.τοσυµπ ερασµαε ιναι οτι, οτανσυνθ ετουµεστροφ ε, θαπρ επειναπροσ εχουµετησειρ αµετηνοπο ιααυτ ε πραγµατοποιο υνται. Γιαναπειστε ιτεγιατηµηµεταθετικ οτητατωνστροφ ων,αρκε ιναθεωρ ησετετοαπλο υστατοπαρ αδειγµατουσχ ηµατο 6.8στοοπο ιο εχεισχεδιαστε ιηδρ ασητη στροφ η τουµοναδια ιουδι ανυσµατο OP = ẑγ υρω απ οτον αξονα xκατ αγων ια π/2καιγ υρωαπ οτον αξονα yκατ αγων ια π/2.ηδρ ασητη σ υνθεση µετασχηµατ ιζειτο OPστο R(π/2, ŷ)r(π/2, ˆx) OP = ŷ, δι οτιηστροφ ηr(π/2, ˆx)στρ εφειτο ẑστο ŷκαιηστροφ ηπουακολουθε ι R(π/2, ŷ)

160 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΣΤΡΟΦΕΣ & ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ τοαφ ηνειστη ιδιαθ εση. Hσ υνθεση, οµω, µετασχηµατ ιζειτο OPστο δι οτιηστροφ η R(π/2, ˆx)R(π/2, ŷ) OP = ˆx, R(π/2, ŷ) στρ εφειτο ẑστο ˆxκαιηR(π/2, ˆx)τοαφ ηνειστην ιδιαθ εση. Ε ιναιεµφαν ε οτιτοαποτ ελεσµατη σ υνθεση στροφ ωνεξαρτ αταιαπ οτησειρ α πουακολουθ ηθηκε.αυτ οθαφανε ισαφ εστεραστοεδ αφιοπουακολουθε ι, οπουθαπροσπαθ ησουµεναεµ αθ υνουµεπερισσ οτεροστηδοµ ητων στροφ ων. Παρ ολααυτ αοιστροφ ε πουπραγµατοποιο υνταιγ υρωαπ ο εναν κοιν ο αξοναµετατ ιθενται.σεαυτ ητηνπερ ιπτωσηδ υοδιαδοχικ ε στροφ ε κατ αγων ιε θ 1 και θ 2 αντ ιστοιχαε ιναιισοδ υναµε µεµ ιαστροφ ηκατ α θ 1 + θ 2 οπω θαπερ ιµενεκανε ι,εφ οσονκαιοιδ υοπραγµατοποιο υνται γ υρωαπ οτον ιδιο αξονα. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ασκηση6.13.Στροφ ε που εχουνκοιν ο αξοναπεριστροφ η µετατ ιθενται. ε ιξτε µ εσωτη (6.19)καιτωνιδιοτ ητωνπουγνωρ ιζετεγιατογιν οµενοδ υο ǫ ijk (βλ.μαθηµατικ οπαρ αρτηµα) οτι R(θ 1, ˆn)R(θ 2, ˆn) =R(θ 2, ˆn)R(θ 1, ˆn) =R(θ 1 + θ 2, ˆn). Ασκηση6.14.Γρ αψτεταστοιχε ιατωνπιν ακωνr(π/2, ˆx)καιR(π/2, ŷ)καιµεαπευθε ια υπολογισµ οτουγινοµ ενουτωνπιν ακωνδε ιξτε οτιοιδ υοαυτ ε στροφ ε δενµετατ ιθενται. Ασκηση6.15. Τοποθετ ηστετοπαρ ονβι λ ιοπ ανωσεµιαοριζ οντιαεπιφ ανεια. Στρ εψτετογ υρωαπ οτον αξονατη συρραφ η τωνσελ ιδωντουβι λ ιουκατ α π/2και στησυν εχειαγ υρωαπ οτονκατακ ορυφο αξονακαιπ αλικατ α π/2.σηµει ωστετηντελικ ηθ εσητουβι λ ιουκαιεπαναλ α ετετι ιδιε στροφ ε γ υρωαπ οτου ιδιου αξονε, µεαντ ιθετησειρ ααυτ ητηφορ α,ξεκιν ωντα απ οτην ιδιααρχικ ηθ εσητουβι λ ιου.καταλ ηγειστην ιδιατελικ ηθ εσητοβι λ ιο;κατασκευ αστετου 3 3π ινακε στροφ η που εκτελ εσατεκαιδε ιξτε οτιηπρ αξητουπολλαπλασιασµο υαυτ ωνδενε ιναιµεταθετικ η. [Υπ οδειξη:ηγραµµ ηκαιηστ ηληπουαντιστοιχο υνστον αξοναστροφ η εχουνµ ονοτο διαγ ωνιοστοιχε ιο ισοµε ενα,εν ωταυπ ολοιπαστοιχε ιαε ιναιµηδ εν.τατ εσσεραστοιχε ια πουαποµ ενουνε ιναιτααντ ιστοιχατ εσσεραστοιχε ιαεν ο π ινακαεπ ιπεδη στροφ η.] 6.9 Κατασκευ ηπεπερασµ ενη στροφ η απ ο του γενν ητορ ε τη Κατ ατηναπ οδειξητουθεωρ ηµατο τη Noetherπροσδιορ ισαµετου µετασχηµατισµο υ απ οτηναπειροστ ηδρ ασητου µ εσωτωνγεννητ ορων του.σετο υτοτοεδ αφιοθαπροσδιορ ισουµετου γενν ητορε τωνστροφ ωνκαιθαδε ιξουµεπ ω αυτο ιπαρ αγουνµ ιαπεπερασµ ενηστροφ ηγ υρω απ οκ αποιον αξονα.

6.9. ΓΕΝΝΗΤΟΡΕΣ ΣΤΡΟΦΩΝ 161 Προ το υτοα υπολογ ισουµετηνπαρ αγωγο dr(θ, ˆn) dθ R(θ + δθ, ˆn) R(θ, ˆn) = lim δθ 0 δθ R(δθ, ˆn)R(θ, ˆn) R(θ, ˆn) = lim δθ 0 = ( lim δθ 0 δθ R(δθ, ˆn) I δθ ) R(θ, ˆn), (6.26) οπουiοταυτοτικ ο π ινακα I ij = δ ij.επειδ η, οµω,µιααπειροστ ηστροφ ηr(δθ, ˆn)υπ οµορφ ηπ ινακα εχεισυνιστ ωσε R ij (δθ, ˆn) = δ ij + δθ ǫ ikj n k, θα εχουµε R ij (δθ, ˆn) δ ij lim = ǫ ikj n k. δθ 0 δθ Αντ ωραορ ισουµετηντρι αδατων 3 3πιν ακων (S 1 ) ij = ǫ i1j = (S 2 ) ij = ǫ i2j = (S 3 ) ij = ǫ i3j = 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0,,, (6.27) Γενν ητορε των στροφ ων το ǫ ikj n k µπορε ιναγραφε ισυµ ολικ αω (ˆn S) ij, οπουµετοεσωτερικ ο γιν οµενοεννοο υµετογραµµικ οσυνδυασµ οτωντρι ωνπιν ακων n k S k,εν ω τοτελικ οαντικε ιµενοε ιναιπ ινακα,γεγον ο τοοπο ιουποδηλ ωνεταιαπ ο του ελε υθερου δε ικτε (ij). Μεαυτ οντοσυµ ολισµ οοπ ινακα µια απειροστ η στροφ η (6.9)µπορε ιναγραφε ιω ( R(dθ, ˆn) =I + dθ ˆn S ), (6.28) εν ωησχ εση (6.26)θαλ α ειτηµορφ η dr(θ, ˆn) ( = ˆn dθ S ) R(θ, ˆn). (6.29) Οιπ ινακε S i ονοµ αζονταιγενν ητορε τωνστροφ ων,δι οτιοκαθ ενα απ ο Κατασκευ ητων αυτο υ γενν α τηµετα ολ ηεν ο διαν υσµατο, οταναυτ οστραφε ικατ α πεπερασµ ενων γων ια dθγ υρωαπ οτοναντ ιστοιχο αξονα.γιαπαρ αδειγµα,οπ ινακα S 1 στροφ ωναπ οτου ε ιναιογενν ητορα τωνστροφ ωνγ υρωαπ οτον αξονα x.γενικ οτερα,αρκε ιηγν ωσητωνγεννητ ορωνεν ο µετασχηµατισµο υγιατονπροσδιορισµ ο γενν ητορ ε του ολ οκληρουτουµετασχηµατισµο υ,αφο υησυνεχ η δρ ασηαπειροστ ωνµετασχηµατισµ ωνµπορε ιναοικοδοµ ησειοποιονδ ηποτεπεπερασµ ενοµετασχηµατισµ ο.ισοδυν αµω,επειδ ηηδιαφορικ ηεξ ισωση(6.29)χαρακτηρ ιζειτοµετασχηµατισµ ο,οµετασχηµατισµ ο καθορ ιζεταιπλ ηρω απ οτο

162 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΣΤΡΟΦΕΣ & ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ R(θ, ˆn) = exp (( ˆn S ) ) θ. (6.30) Πλα ισιο6.1.εκθετικησυναρτησηπινακα Η εκφραση e At η exp(at), οπουaκ αποιο π ινακα,ορ ιζεταιω e At I +At +A 2 t 2 2! +A3 t 3 3! +. (6.31) γενν ητορ ατουκαιδ ινεταιαπ οτοολοκλ ηρωµατη ενλ ογωδιαφορικ η εξ ισωση.τοολοκλ ηρωµααυτ οθατουπολογ ισουµεστησυν εχειαγιατην περ ιπτωσηπουο αξονα περιστροφ η ε ιναισταθερ ο. Ε ανο αξονα τη στροφ η ε ιναισταθερ ο,ηδιαφορικ ηεξ ισωση(6.29) ολοκληρ ωνεταιαµ εσω (βλ.πλα ισιο6.1)καιδ ινειτονπ ινακατη πεπερασµ ενη στροφ η γ υρωαπ οτον αξονααυτ ο Ε ιναιε υκολοναδε ιξετεαπευθε ια οτιηεκθετικ ηαυτ ησυν αρησηαποτελε ιλ υσητη διαφορικ η εξ ισωση πιν ακων dx dt =AΧ. Ηλ υσηαυτ ηαποτελε ιγεν ικευσητη λ υση τη γραµµικ η διαφορικ η εξ ισωση dx/dt = ax. Θαδε ιξουµε οτιηεκθετικ ησυν αρτηση (6.30)παρ αγειτονπ ινακαµετασχηµατισµο υµια πεπερασµ ενη στροφ η (6.21).Ορ ιζουµετονπ ινακα ( A = ˆn S ) 0 n 3 n 2 = n 3 0 n 1, (6.32) n 2 n 1 0 Ταστοιχε ιατουπ ινακααυτο υγρ αφονταισυνοπτικ αω A ij = ǫ ikj n k, (6.33) καιε ιναιε υκολοναδε ιξουµε οτιοιπεριττ ε δυν αµει τουaικανοποιο υν τι σχ εσει A = A 3 =A 5 =, (6.34) εν ωοι αρτιε δυν αµει ικανοποιο υντι σχ εσει οπουτοτετρ αγωνοτουα,α 2, εχειστοιχε ια Α 2 = Α 4 =Α 6 =, (6.35) ( Α 2 ) ij = n in j δ ij. (6.36)

6.10. ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΤΡΟΦΩΝ 163 Εξαιτ ια τωνσχ εσεων (6.34), (6.35)ηστροφ η (6.30)γρ αφεταιδιαδοχικ α ω εξ η : R(θ, ˆn) = I +Aθ +A 2θ2 2! +A3θ3 3! +A4θ4 4! +. = I +Aθ +A 2θ2 2! Aθ3 3! A2θ4 4! +. ) ) = I +A 2 +A (θ θ3 3! + A (1 2 θ2 2! + θ4 4! + = I +A 2 (1 cosθ) +A sin θ. Οπ ινακα αυτ ο,β ασειτων(6.33)και(6.36), εχειτι ακ ολουθε συνιστ ωσε : R ij (θ, ˆn) = δ ij cosθ + n i n j (1 cosθ) + ǫ ikj n k. (6.37) Επι ε αι ωνουµε,λοιπ ον, οτιογενν ητορα A = ( S ˆn)παρ αγειτοµετασχηµατισµ οπεπερασµ ενη στροφ η (6.21). Ασκηση6.16.Αποδε ιξτετι ταυτ οτητε (6.34),(6.35)και (6.36). ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ασκηση6.17. ε ιξτε οτιοπ ινακα πουορ ιζεταιαπ οτην (6.30)ε ιναιορθογ ωνιο και εχειµοναδια ιαορ ιζουσα.γιανααποδε ιξετετοπρ ωτο,αποδε ιξτεαπ οτοαν απτυγµα τη εκθετικ η συν αρτηση πουδ ινεταιστοπλα ισιο6.1 οτι,ανδ υοπ ινακε Α 1,Α 2 µετατ ιθενται,δηλαδ ηανα 1 Α 2 =Α 2 Α 1,τ οτε exp(α 1 +Α 2 ) = exp(α 1 )exp(α 2 ) = exp(α 2 )exp(α 1 ). Επειταδε ιξτε οτι exp(α T ) = (exp(α)) T και οτιοπ ινακα (6.32) εχειτηνιδι οτηταα T = Α.Τ ελο,γιαναυπολογ ισετετηνορ ιζουσατου(6.30),χρησιµοποι ηστετηνταυτ οτητα πουισχ υειγιακ αθεπ ινακα(βλ.μαθηµατικ οπαρ αρτηµα) det(exp(α)) = exp (trace(α)). 6.10 Σ υνθεσηστροφ ων Α δο υµετ ωρατισυµ α ινει οταν ο αξονα τη στροφ η αλλ αζεισυνεχ ω.παρατηρο υµε οτιοιγενν ητορε τωνστροφ ωνδενµετατ ιθενταιµεταξ υτου,γεγον ο απ οτοοπο ιοπηγ αζειηιδι οτητατη µηµετατεθικ οτητα των ιδιωντωνστροφ ων.οµεταθ ετη οποιουδ ηποτεζε υγου γεννητ ορωνικανοποιε ιτησχ εση [S i,s j ] = ǫ ijk S k. (6.38) Ησχ εση (6.29)µπορε ιισοδυν αµω ναγραφε ικαιω dr(θ, ˆn) dt = ( Ω S ) R(θ, ˆn), (6.39)

164 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΣΤΡΟΦΕΣ & ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ Πεπερασµ ενηστροφ η =γιν οµενοδιαδοχικ ων απειροστ ωνστροφ ων ανθ ελουµεναχρησιµοποι ησουµετοχρ ονοω παρ αµετροπουκαθορ ιζει τηνεξ ελιξητη συνολικ η στροφ η.ω Ω εχουµεορ ισειτηστιγµια ιαγωνιακ ηταχ υτητατη περιστροφ η Ω = ˆn dθ dt. Ε ανηγωνιακ ηταχ υτητααλλ αζειδιε υθυνση,τ οτεησυνολικ ηστροφ ητου διαν υσµατο θαε ιναιησ υνθεσητωνστροφ ωνπουπραγµατοποι ηθηκαν σταενδι αµεσαχρονικ αδιαστ ηµαταµετησωστ η, οµω,χρονολογικ ησειρ α πουπραγµατοποι ηθηκαναυτ ε.οσυνολικ ο µετασχηµατισµ ο στροφ η µπορε ιναγραφε ιω R(t) = lim k [R(t, t k )R(t k, t k 1 ) R(t 2, t 1 )R(t 1, 0)], (6.40) οπου 0, t 1, t 2,...,t k, tµιααυθα ιρετηδιαµ ερισητουχρονικο υδιαστ ηµατο [0, t]σεενδι αµεσαυποδιαστ ηµατα.ε ανοαριθµ ο τωνυποδιαιρ εσεων τουχρονικο υδιαστ ηµατο αυξηθε ι ετσι ωστε t i t i 1 0γιακ αθετιµ η του i 1, 2,..., k, k + 1, 12 τ οτεηολικ ηστροφ ηµπορε ιναθεωρηθε ιω γιν οµενοτωνδιαφορικ ωνστροφ ων [( R(t i, t i 1 ) = exp Ω(ti ) S ) ] (t i t i 1 ). Ουπολογισµ ο τουπαραπ ανωγινοµ ενουε ιναιδυσχερ η καισυν ηθω γ ινεταιαριθµητικ α.ησειρ α, οµω,µετηνοπο ιαπραγµατοποιο υνταιοιδιαδοχικ ε στροφ ε πρ επεινατηρηθε ιαυστηρ αστονυπολογισµ οτη συνολικ η στροφ η,δι οτιοιγενν ητορε S i δενµετατ ιθενται.αυτ οε ιναιαποτ ελεσµατου οτιγιαδ υοπ ινακε A,Bπουδενµετατ ιθενται,δηλαδ η [A,B] 0, ισχ υει οτι e At e Bt e (A+B)t, οπ οτεησειρ ατουπολλαπλασιασµο υ εχεισηµασ ια.γιααυτ ο,ε αν [ Ω(t i ) S, Ω(t i 1) S] 0, πρ αγµαπουσυµ α ινει οτανηγωνιακ ηταχ υτητααλλ αζειδιε υθυνσηµετο χρ ονο,η εκφραση (6.40)δενε ιναι ισηµετην ( t ) exp Ω(s) Sds. 0 Εξα ιρεση,βε α ιω,αποτελε ιηπερ ιπτωσηκατ ατηνοπο ιαηπεριστροφ η εκτελε ιταιγ υρωαπ οσταθερ ο αξονα ˆn,οπ οτεπρ αγµατιισχ υει ( t ) ( R(t) = exp Ω(s) Sds = exp ˆn S t ) Ω(s)ds. 0 Η εκφραση(6.40)τη συνολικ η στροφ η, οτανο αξονα περιστροφ η αλλ αζει,µπορε ιναγραφε ισυµ ολικ αω [ ( t )] R(t) = T exp Ω(s) Sds, (6.41) 12 Θεωρ ησαµεγιαευκολ ια οτι t 0 = 0και t k+1 = t. 0 0