w w w.k z a c h a r i a d i s.g r

Transcript

1 ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 Γραµµική ταχύτητα : ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ds. Γωνιακή ταχύτητα : dθ ω ωr Οµαλή κκλική κίνηση : σταθερό και ω σταθερό. Επίσης : θ θ 0 ωt Γωνιακή επιτάχνση : Όταν α σταθ. τότε : dω α. Μονάδα µέτρησης της α στο S.I. είναι το rad/s. ω ω α t και ο + θ ω + Γραµµική επιτάχνση (ή επιτρόχια επιτάχνση α ε ) : d dω ωr d d(ωr) d Rdω R 0t αt d α Κεντροµόλος επιτάχνση : α κ ή ακ ω R R α Rα

2 ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Ένα σώµα κάνει µεταφορική κίνηση, όταν κάθε στιγµή όλα τα σηµεία το σώµατος έχον την ίδια ταχύτητα (ίδια διεύθνση φορά και µέτρο). Στη µεταφορική κίνηση των στερεών ισχύον οι ίδιες σχέσεις πο ισχύον στην κίνηση των λικών σηµείων. ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Ένα σώµα κάνει στροφική κίνηση, όταν αλλάζει προσανατολισµό. Όλα τα σηµεία ενός σώµατος πο κάνει στροφική κίνηση έχον κάθε στιγµή την ίδια ιακή ταχύτητα ω, αλλά διαφορετικές γραµµικές ταχύτητες πο δίνονται από τη σχέση ωr. ωr, ωr,, ωr. ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Μεταφορική κίνηση Ταχύτητα Μετατόπιση s v v Στροφική κίνηση Γωνιακή ταχύτητα ω Γωνία στροφής θ s t (εθύγραµµη οµαλή κίνηση) θ ωt (οµαλή στροφική κίνηση) d Επιτάχνση α dω Γωνιακή επιτάχνση α Αν ασταθ. τότε : + ο αt (εθύγραµµη οµαλά επιταχνόµενη κίνηση) s 0 + αt t (εθύγραµµη οµαλά επιταχνόµενη α Αν α σταθ. τότε : t κίνηση) ιακή επιτάχνση) ω α t ω ω α t (στροφική κίνηση µε σταθερή ο + ιακή επιτάχνση) θ ω0t+ αt (στροφική κίνηση µε σταθερή

3 ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Κέντρο µάζας () ενός στερεού σώµατος ονοµάζεται το σηµείο εκείνο το οποίο κινείται όπως ένα λικό σηµείο µε µάζα ίση µε τη µάζα το σώµατος, αν ασκούνται σε ατό όλες οι δνάµεις πο ασκούνται στο σώµα. ΚΥΛΙΣΗ ΤΡΟΧΟΥ Η κύλιση ενός τροχού είναι σύνθετη κίνηση και µπορεί να µελετηθεί ως το αποτέλεσµα της επαλληλίας (σύνθεσης) µιας µεταφορικής και µιας στροφικής κίνησης. ωr κ + + ωr ] + Γ Γ + ωr ] Γ + + Β Β Επίσης : εφφ. Άρα Γ 0 d dω ωr R α. 0 φ 45. Οµοίως προκύπτει ότι Α Β α R 3

4 ΡΟΠΗ ΥΝΑΜΗΣ Ονοµάζοµε ροπή τ της δύναµης F, ως προς τον άξονα περιστροφής z,z, το φσικό διανσµατικό µέγεθος τ, το οποίο έχει µέτρο ίσο µε το γινόµενο το µέτρο F της δύναµης επί την κάθετη απόσταση l της δύναµης από τον άξονα περιστροφής. ηλαδή : τ Fl Ο ροπή τ έχει διεύθνση πάνω στον άξονα περιστροφής, και φορά πο καθορίζεται από τον κανόνα το δεξιού χεριού. Για να βρούµε τη φορά της ροπής κλείνοµε τα τέσσερα δάχτλα το δεξιού χεριού γύρω από τον άξονα περιστροφής, έτσι ώστε να δείχνον τη φορά κατά την οποία η δύναµη τείνει να περιστρέψει το σώµα. Ο τεντωµένος αντίχειρας δείχνει τότε τη φορά το διανύσµατος της ροπής. Στον πολογισµό της αλγεβρικής τιµής της ροπής θα θεωρούµε θετική τη ροπή της δύναµης πο τείνει να περιστρέψει το σώµα αντίθετα από τη φορά κίνησης των δεικτών το ρολογιού και αρνητική τη ροπή της δύναµης πο τείνει να περιστρέψει το σώµα κατά τη φορά κίνησης των δεικτών το ρολογιού. Η ροπή µιας δύναµης ως προς άξονα είναι ίση µε µηδέν όταν : α) η δύναµη έχει το σηµείο εφαρµογής της πάνω στον άξονα. β) ο φορέας της δύναµης τέµνει τον άξονα. γ) ο φορέας της δύναµης είναι παράλληλος προς τον άξονα. ΡΟΠΗ ΖΕΥΓΟΥΣ ΥΝΑΜΕΩΝ Ζεύγος δνάµεων ονοµάζοµε ένα σύστηµα δύο δνάµεων F και F, οι οποίες ασκούνται σε δύο διαφορετικά σηµεία ενός σώµατος, είναι αντίρροπες και έχον ίσα µέτρα. Η ροπή ζεύγος, ως προς κάποιο τχαίο σηµείο Α το στερεού σώµατος, δύο δνάµεων πο απέχον απόσταση d, δίνεται από την σχέση : τ (Α) F d H ροπή το ζεύγος δνάµεων ως προς οποιοδήποτε σηµείο δίνεται από την σχέση: F d. 4 τ

5 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Για να ισορροπεί ένα αρχικά ακίνητο στερεό σώµα, στο οποίο ασκούνται πολλές οµοεπίπεδες δνάµεις, θα πρέπει: A) Η σνισταµένη δύναµη να είναι µηδέν. ΣF 0 ΣFy Β) Το αλγεβρικό άθροισµα των ροπών ως προς οποιοδήποτε σηµείο είναι µηδέν. Στ 0 Όταν σε ένα σώµα ισχύον : α) Σ F 0 και Στ 0, τότε το σώµα κάνει στροφική κίνηση. β) ΣF 0 και Στ 0, τότε το σώµα κάνει µεταφορική κίνηση. γ) ΣF 0 και Στ 0, τότε το σώµα κάνει και µεταφορική και στροφική κίνηση. δ) Σ F 0 και Στ 0, τότε το σώµα ισορροπεί. ΣF x 0 0 ΡΟΠΗ Α ΡΑΝΕΙΑΣ Ροπή αδράνειας Ι ενός στερεού σώµατος ως προς τον άξονα zz ονοµάζεται το άθροισµα των γινοµένων των στοιχειωδών µαζών από τις οποίες αποτελείται το σώµα επί τα τετράα των αποστάσεων τος από τον άξονα περιστροφής. I m r + + m r +... m νrν Η ροπής αδράνειας είναι µονόµετρο µέγεθος. Μονάδα µέτρησης της στο (S.I.) είναι το Kg m. Ροπή αδράνειας λικού σηµείο : Έστω λικό σηµείο µάζας m, το οποίο κάνει κκλική κίνηση ακτίνας r, ως προς άξονα ' zz πο διέρχεται από το κέντρο της κκλικής τροχιάς και είναι κάθετος στο επίπεδο της. Η ροπή αδράνειας το λικού σηµείο ως προς τον άξονα 5 ' zz είναι : I mr

6 ΘΕΩΡΗΜΑ STEINER (ΣΤΑΙΝΕΡ) Ι I + Md p Παράδειγµα : Να βρείτε την ροπή αδράνειας µιας λεπτής ράβδο, µάζας Μ και µήκος L, ως προς άξονα πο διέρχεται από το ένα άκρο της και είναι κάθετος σε ατήν. ίνεται ότι η ροπή αδράνειας της ράβδο ως προς τον άξονα πο περνά από το κέντρο µάζας της και είναι κάθετος σε ατήν είναι I ML. Σύµφωνα µε το θεώρηµα το Steiner έχοµε : I A I L + M I ML + 4 ML ML + 4 4ML I A ML 3 Η ροπή αδράνειας ενός σώµατος πο στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα εξαρτάται: Α) από την ολική µάζα το σώµατος. Β) από την κατανοµή της µάζας το σώµατος ως προς τον άξονα περιστροφής το. Η ροπή αδράνειας το σώµατος είναι µεγαλύτερη, όσο µακρύτερα από τον άξονα περιστροφής κατανέµεται η µάζα το. Γ) από την απόσταση το άξονα περιστροφής από το κέντρο µάζας το σώµατος. Η ροπή αδράνειας το σώµατος γίνεται µεγαλύτερη, όσο αξάνεται η απόσταση το άξονα περιστροφής από το κέντρο µάζας (Θεώρηµα Steiner). 6

7 ΘΕΜΕΛΙΩ ΗΣ ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Το αλγεβρικό άθροισµα των ροπών πο δρον πάνω σε ένα στερεό σώµα, το οποίο περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, είναι ίσο µε το γινόµενο της ροπής αδράνειας το σώµατος ως προς τον άξονα περιστροφής και της ιακής επιτάχνσης το σώµατος. Στ Η ροπή αδράνειας εκφράζει την αδράνεια το σώµατος στην στροφική κίνηση, ότι δηλαδή εκφράζει ότι και η µάζα στη µεταφορική κίνηση ενός σώµατος. Προσοχή!! Η µάζα ενός σώµατος είναι σταθερή ενώ η ροπή αδράνειας εξαρτάται από την απόσταση το άξονα περιστροφής από το κέντρο µάζας το. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ Ονοµάζοµε στροφορµή ενός λικού σηµείο, ως προς έναν άξονα z z πο διέρχεται από το κέντρο της κκλικής τροχιάς και είναι κάθετος στο επίπεδο της, το φσικό διανσµατικό µέγεθος L πο έχει: µέτρο ίσο µε το γινόµενο το µέτρο ρ της ορµής το λικού σηµείο επί την ακτίνα Γ της κκλικής τροχιάς. ηλαδή: L pr L mr διεύθνση, τη διεύθνση το άξονα z z. Ια Φορά, τη φορά πο καθορίζεται από τον κανόνα το δεξιού χεριού. L mr ωr ] L m ωr r L mωr Στροφορµή στερεού σώµατος : L Iω 7

8 ΓΕΝΙΚΟΤΕΡΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΟΥ ΘΕΜΕΛΙΩ ΟΥΣ ΝΟΜΟΥ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ dl dω dl L Iω dl Idω I Iα dl Στ Σε σύστηµα σωµάτων η ολική ροπή των εσωτερικών δνάµεων είναι µηδενική. Άρα : ΑΡΧΗ ΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ dl Σ τ εξ Αν η σνολική εξωτερική ροπή σε ένα σύστηµα σωµάτων (ως προς κάποιον άξονα) είναι µηδέν, η ολική στροφορµή το σστήµατος (ως προς τον ίδιο άξονα) παραµένει σταθερή ( L σταθ. ). L ολ(αρχ L ) ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΛΟΓΩ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ Κ Ιω ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΠΟΥ ΕΚΤΕΛΕΙ ΣΥΝΘΕΤΗ ολ(τελ) ΚΙΝΗΣΗ (ΚΥΛΙΣΗ) Κ Κ µετ. + Κ στροφ. Κ m+ Ι ΕΡΓΟ ΚΑΤΑ ΤΗ ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Όταν µια σταθερή δύναµη περιστρέφει ένα σώµα κατά ία θ, τότε, το έργο της δύναµης είναι : W τθ Ισχύς δύναµης στη στροφική κίνηση : P τω ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΡΓΟΥ - ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΣΤΗ ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Το αλγεβρικό άθροισµα των έρ των ροπών πο ασκούνται σε ένα σώµα είναι ίσο µε τη µεταβολή της κινητικής ενέργειας περιστροφής το σώµατος. ΣW Ιω τελ Ιω αρχ ω 8