TECHNION Iael Intitute of Technology, Faculty of Mechanical Engineeing מבוא לבקרה (034040) גליון תרגילי בית מס 5 d e C() y P() - ציור : דיאגרמת הבלוקים? d(t) ו 0 (t) (t),c() 3 +,P() + ( )(+3) שאלה מס נתונה המערכת המתוארת בציור.. מהי שגיאת המצב המתמיד כאשר? d(t) ו 0 (t) (t),c() +0 +,P() +0. מהי שגיאת המצב המתמיד כאשר (+),P() (t) (t),c() ו 0.d(t) חשב את a אם נתון כי שגיאת המצב המתמיד הינה: (+a)(+3) 3. נתון כי: (א) 0.75 e (ב) 0 e.c(),p() (τ+)(+) 4. נתון כי: (א) האם יתכן מצב בו שגיאת המצב המתמיד הינה 0. e כאשר 0 (t) ו ( (t? d(t) (ב) מהי שגיאת המצב המתמיד כאשר 0 (t) ו ( (t? d(t) t (ג) חשב את אם נתון כי שגיאת המצב המתמיד הינה 0. e כאשר 0 (t) ו ( (t.d(t) מה ניתן לומר על τ במקרה זה? (ד) האם τ משפיע על שגיאת המצב המתמיד כאשר:.d(t) ו 0 (t) t(t).i.d(t) ו ( t(t (t) 0.ii (+0.5).C() מצא את שגיאת המצב המתמיד עבור הכניסות הבאות:,P() 0.(0.+) 5. נתון כי: הסבר. (א),(t).d(t) 0.5 (ב).d(t) 0.5,(t) t (ג),(t).d(t) 0.5t (ד).d(t) 0.5t,(t) t פתרון לשאלה מס.e החוג הסגור לא יציב (יש צמצום לא יציב) C() +.. פ א של המערכת בחוג סגור: + 0 3.χ cl () ( + ) 3 + ( + 0) 3 + 4 + נבדוק את היציבות לפי קריטריון ראוט:
3 3 4 0 9/4 0 0 χ cl () + (a + 3) + 3a + e + P.e + 3a יש החלפת סימן החוג הסגור לא יציב e. 3. נמצא את המשוואה האופיינית של החוג הסגור: 3a 3a+ במקרה זה:.a > 3 החוג הסגור יציב עבור כאשר: 0.75 a e כאשר: 0 a 0 e (אינטגרטור ב P ) : e d ו e 4. נמצא את פ ת e (τ + )( + ) + CP (τ + )( + ) + e d P + CP (τ + )( + ) +. הפ א של המערכת בחוג סגור:.χ cl () τ 3 + (τ + ) + + נבדוק את היציבות לפי קריטריון ראוט: 3 τ τ + τ 0 τ+ בהנחה ש 0 > τ נקבל ש ( cl( χ יציב אמ מ > 0. τ + 4 >.e לא ייתכן 0..e < 0 (e (אחרת > היות ו 0.T ed (0) (א) אם החוג הסגור יציב: (ב) e (אין אפילו אינטגרטור אחד בבקר). (אחרת החוג הסגור לא יציב). (ג) 0. > τ > 0 0 e 3 (ד) מטבלה בשקף 8 פרק מס 5: e. α k v בוודאי ש τ משפיע. היות והחוג הסגור יציב רק עבור i. מע מסוג עבור כניסת ריצה > 0 τ, τ + 4 > קובע את השגיאה המינימלית במצב מתמיד..ii פ ת מ d e מסוג 0 עבור כניסת ריצה τ.e לא משפיע. e מע מסוג : עבור כניסה (t) נקבל 5. כדי למצוא את e נשתמש בטבלאות שבשקפים 8 9 בפרק 5. שגיאת המצב המתמיד עקב הכניסה בערך הרצוי: יש ב CP אינטגרטור, ולכן.e נקבל 0. (t) t ועבור e 0 שגיאה במצב מתמיד עקב כניסת ההפרעה:,R B C,F P מע מסוג : עבור כניסה 0.5 d(t) נקבל.e נקבל 0.5 d(t) 0.5t ועבור e 0 המערכת ליניארית, לכן ניתן לעשות סופרפוזיציה:.e e + e d (א) 0 0 0 +.e (ב) 0. 0. 0 +.e (ג) 0.5 0 0.5 +.e (ד) 0.05 0. 0.5 +.e
שאלה מס נתונה סכימת הבקרה בציור. בכל אחד מהסעיפים הבאים עליכם לקבוע את מספר האינטגרטורים המינימלי האפשרי ב ( P( ו ( C( כך שתתקבלנה התגובות הבאות: א. תגובת המערכת עבור כניסת מדרגה, (t),(t) היא ) in(t) y(t) (t) e t( co(t) + 0.0 ותגובת אותה מערכת עבור כניסת מדרגה בהפרעה, (t),d(t) היא in(t).y(t) e t ב. שגיאת המערכת לכניסת מדרגה (t),(t) היא ) in(t) e(t) (t).e 3t( co(t) + 0.0 ושגיאת אותה מערכת להפרעת מדרגה (t),d(t) היא in(t).e(t) 0.5e 3t ג. שגיאת המערכת לכניסת ריצה,(t) t היא in(0t) e(t) 0.85e 3t ושגיאת אותה מערכת להפרעת מדרגה (t),d(t) היא in(0t).e(t) 0.5e 3t פתרון לשאלה מס הערה: היות ובכל סעיפי השאלה כל התגובות בזמן חסומות ברור שהחוג הסגור צריך להיות יציב. א. מתגובת המערכת (t) y הנתונה עבור כניסת מדרגה, (t),(t) ניתן לראות כי ) y(t y ולכן שגיאת המצב המתמיד עבור כניסה זו היא 0 e. לפי הטבלה הכללית לשגיאת המצב המתמיד, עבור כניסת מדרגה מספר האינטגרטורים המינימלי הדרוש ב ( C()P( B() הוא (או ב ( P( או ב ( C( ). תגובת אותה מערכת לכניסת מדרגה בהפרעה, (t),d(t) נתונה כ 0 ) y(t.y b מאחר והתגובה להפרעה היא עבור 0, אזי שגיאת המצב המתמיד עבור כניסת הפרעה היא 0 e. d מהטבלה הכללית לשגיאת המצב המתמיד, עבור כניסת מדרגה מספר האינטגרטורים המינימלי הדרוש ב ( C( B() הוא ע מ לקבל 0 e. d משתי הדרישות הנ ל מס האינטגרטורים המינימלי הוא אינטגרטור אחד ב ( C( ואפס אינטגרטורים ב ( P(. ב. משגיאת המערכת עבור כניסת מדרגה, (t),(t) מתקבל כי שגיאת המצב המתמיד היא ( e(t e. d מהטבלה הכללית, < e < 0 (סופית אך שונה מאפס) מתקבלת אם ל ( C()P( B() אין אינטגרטורים. מתגובת אותה מערכת לכניסת מדרגה בהפרעה, (t),d(t) מתקבל ש 0 ) e(t.e d לכן נדרש שב ( C( B() יהיה אינטגרטור אחד לפחות. דבר זה סותר את הנתון ( e). לפיכך, לא ניתן לקיים את שתי הדרישות בו זמנית. ג. משגיאת המערכת עבור כניסת ריצה,,(t) t מתקבל 0 ( e(t e. לשם כך נדרש שמספר האינטגרטורים המינימלי ב ( C()P( B() יהיה. מתגובת אותה מערכת עבור כניסת מדרגה בהפרעה, (t),d(t) מתקבל 0 ) e(t.e d לכן דרוש שמספר האיטגרטורים המינימלי ב ( C( B() יהיה. לפיכך, יש שתי אפשרויות: שני אינטגרטורים ב ( C( או אינטגרטור אחד ב ( C( ואינטגרטור אחד ב ( P(. ס ה מספר אינטגרטורים מינימלי. d y - - ציור : דיאגרמת הבלוקים שאלה מס 3 ציור מתאר מערכת לבקרת מתקן הליכה בחלל. ) 5 (kg m הינו מומנט האינרציה של האסטרונאוט כולל הציוד.. חשבו את פונקציות התמסורת הבאות:.(e y) e d, e. מצאו את תחום ערכי, המבטיח את יציבות החוג הסגור. 3. בציור 3 נתונה תגובת המערכת לכניסת מדרגה בערך הרצוי. מצאו את ערכי, המתאימים לתגובה זו. 4. עבור הפרעת מדרגה בעוצמת יחידה (t) d ו, שמצאתם בסעיף 3, חשבו את שגיאת המצב המתמיד, תגובת היתר, זמן הרגיעה ל ±5% מערך המצב המתמיד..5 ציירו במישור הפרמטרים את תחום ערכי, בו שגיאת המצב המתמיד < 0.05 e כאשר (t) d ו ( (t. t 6. בנוסף לסעיף 5 דרישות הביצועים עבור כניסת מדרגה בערך הרצוי הן: תגובת יתר < 5%,OS וזמן רגיעה 5(ec) t < (לרמת הרגיעה של ±5%). רשמו את התנאים שעל, לקיים. 3
.4 Step Repone. 0.8 0.6 0.4 0. 0 0 5 0 5 0 5 Time (ec) ציור 3: תגובת המדרגה פתרון לשאלה מס 3. נעביר את הדיאגרמת הבלוקים לצורה הבאה: d y - + ציור 4: דיאגרמת הבלוקים האקוויולנטית T y y + ( + ) T e e y + +, T yd y d + ( + ) + + +, T ed e d y d + + נקבל: + + > 0, χ cl () + מערכת מסדר שני: יציבות מובטחת כאשר > 0 +. הפ א של המערכת בחוג הסגור:. > 0 > 0 ln (OS) ζ π + ln (OS).3 מציור שבגליון תרגילים 5 ניתן לחלץ את שני הפרמטרים: 0.3,OS.t p 5(ec) נקבל: ln (OS) ζ ln (OS) π ζ ln(os) πζ ζ π ω n t p ζ t p π π ω d ω n ζ πζ OS e ζ נציב מספרים 0.36,ζ ω n 0.67 ונקבל: ζω n.06 ζω n, ω n.3 ω n 4
4. כדי למצוא את שגיאת המצב המתמיד נשתמש במשפט הערך הסופי עבור פה ת מ d ל e שמצאנו בסעיף : e d T ed (0) 0.0883 מכיוון שבמקרה שלנו לפונקציות התמסורת T y ו T yd יש אותם קטבים ואפסים, תגובת היתר עבור כניסת הפרעה וכניסה בערך.ST 3 ω n ζ הרצוי היא אותה תגובת יתר 0.3 OS וזמן הרגיעה ל ±5% הוא.44.5 מערכת ליניארית, לכן מתוך סופרפוזיציה:.e e + e d את e d מצאנו בסעיף,4 באותו אופן נמצא את :e e lim 0 + + + > ו <. 0.05 נקבל שני אי שיויונים: + 0.05 < 0.05 e נקבל: < 0.05 > (בנוסף לתנאי היציבות: > 0.( > 0, תחום ערכי, הדרוש נתון בציור מס.5 0.05 ציור 5: מישור הפרמטרים > 3 ζ.ω n בסעיף 3 מצאנו > ζ ועבור < 5 δ0.05 t נקבל 0. 5 > 3.7 לכן:. > ( ) 0. > ו 3.7 0.5 0. 0 ln (OS) π +ln (OS).6 עבור < 0.5 OS נקבל 0.5 ω nζ ולכן נקבל את הקשר ω n ו. > 0 ו שאלה מס 4 בציור מס 6 נתונה תגובה למדרגת יחידה של מערכת מסוימת.. מהו סדר המערכת המינימלי?. תכננו בקר כך ש: 0 e עבור כניסות מדרגה בערך הרצוי ובהפרעה, < 0% OS עבור כניסות מדרגה בערך הרצוי. פתרון לשאלה מס 4.P() ברור ש 5, נמצא :τ עבור τ+. התגובה של המערכת היא תגובה אופיינית למערכת מסדר ראשון מהצורה: מערכת מסדר ראשון זמן הרגיעה ל 37% שווה ל τ. מציור רואים שב 0 שניות תגובת המערכת שווה בערך ל 3.5,כלומר.τ 0. כדי לאפס את שגיאת המצב המתמיד עבור כניסת מדרגה בערך הרצוי ובהפרעה נשתמש בבקר עם אינטגרטור מהצורה:.G() מהדרישה < 0. OS נחשב CP +CP 5k i 0.5k 0 ++5k i i +0.+0.5k i.c() k i פה ת של המערכת בחוג סגור:.k i > 0.0 0.5k i ω ln קיבלנו את הבקר n,ζω n 0. ω n > 0.08,ζ (OS) את ערכו של ζ: 0.59 > π +ln (OS). C() 0.0 הבא: 5
5 Step Repone 4.5 4 3.5 3.5.5 0.5 0 0 0 0 30 40 50 60 Time (ec) ציור 6: תגובת המדרגה d y C() P() - ציור 7: דיאגרמת הבלוקים שאלה מס 5 P() מבוקר בחוג סגור כמתואר בציור מס 7. דרישות הביצועים הן: התהליך (0.+) 0 e עבור כניסת מדרגה בערך הרצוי. e 0.A d לכניסת מדרגה בגובה A d בהפרעה.. עבור בקר :C() k p,p (א) מצאו את כל ערכי k p עבורם מתקיימות דרישות הביצועים. (ב) מצאו את זמן הרגיעה t (מוגדר לפי רמת הרגיעה של ±5%) ותגובת היתר אשר ניתן להשיג באמצעות בקר P עבור ערכו המינימלי של k p המקיים את דרישות הביצועים. (ג) מצאו את הערך המקסימלי של התגובה עם הבקר שהתקבל בסעיף ב עבור:.d 0,.i.d, 0.ii.d,.iii. עבור בקר.C() k p + k d :PD (א) מצאו את תחום ערכי k d k, p עבורם דרישות הביצועים מתקיימות. (ב) 0, d. בכל אחד מן המקרים הבאים חשבו את תגובת היתר, זמן העלייה וזמן הרגיעה ל ±% (מומלץ להשתמש ב MATLAB ). הסיקו מסקנות. 3 4 k p 0 000 0 000 k d 0 0 6
פתרון לשאלה מס 5. עבור בקר.C() k p :P (א) נבדוק יציבות: הפ א של המערכת בחוג סגור,χ cl () + 0 + 0k p המערכת יציבה עבור > 0 p.k k. p שגיאת המצב המתמיד עבור כניסת מדרגה בערך הרצוי לא תלויה ב e e : מערכת מסוג 0 +CP תשובה: כל k p עבורו מערכת יציבה. p 0. נקבל:,e d k p :R,B C,F P, e d P מערכת מסוג :0 +CP.ζ 0.5,ω n 0 y CP +CP F (0)+k p. p 0 ( p > 0 (נוסיף תנאי היציבות: 0 k p 0 0k p +0+0k p 00 +0+00 (ב) פה ת של המערכת בחוג הסגור כאשר 0 p k:.os e πζ/ ζ 0.63,t δ0.05 3 ω n ζ 0.6 (ג) לפי ההגדרה:.y max ( + OS)y y max ( + 0.63).36.i ( y d הינו ההגבר הסטטי של 0.) y max ( + 0.63)0. 0.63.ii y יש אותם קטבים ואפסים ולכן לאחר כניסת המדרגה בערך הרצוי ובהפרעה תגובות d ו y.iii לפונקציות התמסורת המערכת מגיעות למקסימום בו זמנית..443 0.) 0.63)( + ( + max y. עבור בקר.C() k p + k d :PD (א) נבדוק יציבות: הפ א של המערכת בחוג סגור,χ cl () +0(+k d )+0k p מערכת יציבה עבור > 0 p k ו > d.k k p שגיאת המצב המתמיד עבור כניסת מדרגה בערך הרצוי לא תלויה ב e e : מערכת מסוג 0 +CP ו k. d תשובה: כל k p ו k d עבורם מערכת יציבה. F (0)+k p k p 0. נקבל:,e d k p :R,B C,F P, e d P מערכת מסוג :0 +CP.k d > ו k p > 0 (k d >,k p > 0 (נוסיף תנאי היציבות: 0 k p 0 (ב) בציור 8 מתוארת תגובת המערכת לכניסת מדרגה בהפרעה עבור k p ו k d שונים. 0 x 0 3 Step Repone 0 Step Repone 0. 0.4 0.6 0.8. p 000, d 0 p 000, d 0.0 0.04 0.06 p 0, d 0 p 0, d.4 0.08.6.8 0. 0 0. 0.4 0.6 0.8 Time (ec) (ב) 0. 0 0.5.5 Time (ec) (א) ציור 8: תגובת המערכת עבור p ו d שונים הנתונים שהתקבלו מ MATLAB : OS(%) t (ec) t (ec) 6.3 0.65 0.878 85.4 0.006 0.95 3 0 0.336 0.664 4 7.9 0.0 0.448 ע י שינוי k p ניתן לשנות את ה t ואת שגיאת המצב המתמיד של המערכת. ע י שינוי k d ניתן להשפיע על הריסון של המערכת ובכך לשנות את ה OS. 7
p 000; d ; P tf([],[0. 0]); % Poce C tf([d p],[]); % Contolle %%%%%% anothe way to define P and C : %%%%%% % % tf( ); P/(0.*ˆ+); Cp+d*; % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ted -P/(+C*P); % TF fom d to e t 0:0.0005:; % time tep(ted,t); % Step epone of Ted כדי לחשב את תגובת המערכת ב MATLAB ניתן להשתמש בתוכנית הבאה: d y +B - - T ציור 9: דיאגרמת הבלוקים [ B ו [. [kg m הבקרים Nm ad/ec שאלה מס 6 ציור מס 9 מתאר מערכת סרוו בעלת שני משובים: משוב מהירות ומשוב מקום. נתונים ] ו T ניתנים לכיוונון.. y d, y. חשבו את פונקציות התמסורת. מהם ערכי ו T המבטיחים את יציבות החוג הסגור? 3. מצאו ערכי ו T המבטיחים זמן שיא ראשון של 0.57(ec) t p וזמן רגיעה של.86(ec) t (לרמת הרגיעה של ±5%). 4. מהו ה OS הצפוי בתגובה לכניסת מדרגה בערך הרצוי עם ו T שחושבו בסעיף? 3 5. מהן שגיאות המצב המתמיד לכניסת מדרגה בערך הרצוי? בהפרעה? (y e). 6. מהן שגיאות המצב המתמיד לכניסת ריצה בערך הרצוי? בהפרעה? פתרון לשאלה מס 6 G in () +b + T +b + (B + T ). נמצא את פה ת של החוג הפנימי: נקבל: +(B+ T ) y + +(B+ T ) +(B+ T ) y d + +(B+ T ) + (B + T ) + + ( + T ) +, () + (B + T ) + + ( + T ) +. (). הפ א של המערכת בחוג הסגור:.χ cl () + ( + T ) + המערכת יציבה עבור: > 0 ו > T. 8
t δ0.05 ω n.88 π ( ζ 3 + ו 0.64ζ t p + 0.96ζ)ω n ζ ω n π ζ t p.88 ( ζ 3 + 0.64ζ + 0.96ζ)t ω n 5.5 ζ.0 ζ 3 + 0.64ζ + 0.96ζ. 3. אנו יודעים ש מכאן נקבל: או, בהצבת הערכים המספריים של t p ו t: ניתן להיווכח כי הערך הממשי היחיד של ζ בתחום (,0) המתקבל מפתרון המשוואה הנ ל הינו: ζ 0.73 ω n 5.596. ממשוואה () ניתן לראות ש n ω ו n. T ζω מכאן נמצא ש 3.34 ו 0.935 T. כדי לבדוק שפרמטרים שמצאנו אמנם נכונים נבצע סימולציה של המערכת בחוג הסגור עבור כניסת מדרגה. בציור מס 0 ניתן לראות שהפרמטרים שמצאנו אכן מקיימים את הדרישות. ומכאן:.6 Step Repone.4. 0.8 0.6 0.4 0. 0 0 3 4 5 6 Time (ec) ציור 0: תגובת המדרגה.e 0 מערכת מסוג e +C P d R,B C,F P ; e מערכת P +C P.4 נמצא את תגובת היתר: 57.6 00%.OS e πζ/ ζ. P() +(+ T.5 נסמן C() ו ) שגיאת המצב המתמיד עקב כניסת המדרגה בערך הרצוי: פ ת מ ל e : שגיאת המצב המתמיד עקב כניסת המדרגה בהפרעה: פ ת מ d ל e :.e d L f (0)+k p מסוג 0 0.03.e k v T + 6. שגיאת המצב המתמיד עקב כניסת ריצה בערך הרצוי עבור מערכת מסוג 0.07 : שגיאת המצב המתמיד עקב כניסת ריצה בהפרעה עבור מערכת מסוג 0: e d 9