מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: כמתים והצרנות. משתנים קשורים וחופשיים. 1 כמתים והצרנות בתרגול הקודם עסקנו בתחשיב הפסוקים, שבו הנוסחאות שלנו היו מורכבות מפסוקים יסודיים (אשר קיבלו ערך T או F) וקשרים. תחשיב הפרדיקטים מאפשר כושר הבעה רב יותר. כאן, הנוסחאות שלנו מורכבות מ: מקשרים כמתים משתנים (הלקוחים מ"עולם" הדיון שלנו) מפרדיקטים תבניות המקבלות משתנים ומחזירות ערך T או F לכל הצבה. סימני פונקציה, קבועים (אשר בעזרתם אנו יוצרים שמות עצם). לדוגמא: (0 x) x. הפסוק הוא "אמת" אם עולם הדיון שלנו הוא הטבעיים, אך "שקר" אם עולם הדיון שלנו הוא השלמים (כי לדוגמא 5 הוא שלם אך אינו גדול או שווה ל 0). (y. y x x) + x = הפסוק הוא "אמת" אם עולם הדיון שלנו הוא הממשיים (קחו לעומת זאת, ((A ) x A) הינו "אמת" לכל פסוק A ומעל כל עולם. החלפת סדר כמתים:.(x = y 2. x yp y xp. x yp y xp שימו לב:. x yp y xp לדוגמא, y) P = P (x, הוא הפרדיקט,x > y מעל השלמים. שלילת פסוקים:. ( xp ) x ( P ). ( xp ) x ( P ) תרגיל 1 1. מצא את ערך האמת של הפסוק הבא, כאשר עולם הדיון הוא המספרים השלמים:. x y.y x ואם עולם הדיון היה המספרים השלמים שקטנים מ 8? 2. נסח כפסוק עם כמתים את הטענה כי קיים מספר זוגי שמתחלק בשלוש. 3. נסח כפסוק עם כמתים, מעל הממשיים, את המשפט האחרון של פרמה: "לכל שלם חיובי n גדול מ 2 לא קיימים שלמים חיוביים a, b, c כך ש."a n + b n = c n 4. נסח כפסוק עם כמתים את המשפט הבא: "דרך שתי נקודות שונות עובר קו ישר". 1
1. הערך הינו "שקר". אינטואיטיבית, לא קיים מספר שלם שאין מספר שלם גדול ממנו. פורמלית, נניח בשלילה כי קיים כזה,x נסמנו.x 0 יהא,y 0 = x 0 + 1 גם כן מספר שלם. אזי,,y 0 > x 0 בסתירה לכך שהטענה " 0 y" x נכונה לכל y. אם עולם הדיון היה המספרים השלמים שקטנים מ 8, הרי שהפסוק היה פסוק "אמת", שכן 7 הינו מספר המקיים זאת. a. ( b.a = 2b) ( b.a = 3b) a Z.( b N.a = 2b) ( b Z.a = 3b) 2. נדון מעל עולם המספרים השלמים. אז: בסימון אחר: 3. נגדיר פרדיקט (k) N שערכו T אם המספר הממשי k הוא שלם חיובי ואחרת F. ואז: n.((n (n) n 3) a b c. (N (a) N (b) N (c) (a n + b n = c n ))) אם עולם הדיון היה השלמים, היינו כותבים: n > 2. a > 0. b > 0. c > 0.a n + b n = c n 4. נגדיר את הפרדיקטים P oint (חד מקומי), Line (חד מקומי) ו On (דו מקומי). ואז: A B. (P oint (A) P oint (B) A B) l.line (l) On (A, l) On (B, l) ואם נרצה גם "ישר אחד בלבד"? חשוב לציין שאין יחיד שהוא הנכון, כשם שקיימים פסוקים שונים ששקולים לוגית. תרגיל 2 יהיו P ו Q פרדיקטים חד מקומיים. הוכח/הפרך (אם הטענה אינה נכונה, הפרך מעל הטבעיים):.( x.p (x)) ( x.q (x)) x.p (x) Q (x).1.( x.p (x)) ( x.q (x)) x.p (x) Q (x).2. x.p (x) Q (x) ( x.p (x)) ( x.q (x)).3. x.p (x) Q (x) ( x.p (x)) ( x.q (x)).4 1. הטענה נכונה. נוכיח ע"י גרירה דו כיוונית. (א) נניח תחילה כי ((x) ( x.p ((x) ( x.q אמת. אזי, (x) x.p אמת וגם (x) x.q אמת. מכאן, שלכל x 0 מעולם הדיון שלנו, ) 0 P (x וגם ) 0 Q (x הם אמת. לכן, ) 0 P (x 0 ) Q (x אמת ומכאן ש (x)) x (P (x) Q אמת. (ב) בכיוון השני, נניח כי (x)) x (P (x) Q אמת. מכאן, שלכל x 1 מעולם הדיון שלנו, ) 1 P (x ) 1 Q (x אמת. לכן, ) 1 P (x אמת וגם ) 1 Q (x אמת ומכאן ש (x)) ( x.p (x)) ( x.q אמת. 2. הטענה לא נכונה. לדוגמא, (x) P הוא הפסוק "x זוגי" ו (x) Q הוא הפסוק "x אי זוגי"..3 הטענה לא נכונה. לדוגמא, (x) P הוא הפסוק 3" > "x ו (x) Q הוא הפסוק 10" >."x 2
4. הטענה נכונה. נוכיח הפעם בעזרת הזהויות מהתרגול הקודם. נתחיל מאגף ימין. מהזהות p, q p q נקבל: ( x.p (x)) ( x.q (x)) ( x.p (x)) ( x.q (x)) ( x.p (x)) ( x.q (x)) ( x. P (x)) ( x.q (x)) מאופן שלילת הכמתים: הוכחת המעבר הבא תשאר כתרגיל בית (ניתן להוכיח בדומה לסעיף 1): ( x. P (x)) ( x.q (x)) x. ( P (x)) Q (x) x. ( P (x)) Q (x) x.p (x) Q (x) ושוב מאותה זהות של " ": וסיימנו. 1.1 הכנסת שלילה פנימה שימו לב ש (a) a > 0.P (או כל תנאי אחר על (a הוא קיצור ל (a) a. (a > 0) P ו (a) a > 0.P הוא קיצור ל (a). a. (a > 0) P כמו כן: a > 0.P (a) a.a > 0 P (a) a. (a > 0 P (a)) a.a > 0 P (a) a > 0. P (a) a X.P (a) a X. P (a) באופן דומה: תרגיל 3 כתבו פסוק שקול לוגית לפסוק הבא אך ללא סימני שלילה: α = ( ɛ > 0. δ > 0. x > 0. y > 0. x y < δ x y > ɛ) נשתמש בשקילויות לוגיות שכבר ראינו: α = ( ɛ > 0. δ > 0. x > 0. y > 0. x y < δ x y > ɛ) ɛ > 0. ( δ > 0. x > 0. y > 0. x y < δ x y > ɛ) ɛ > 0. δ > 0. ( x > 0. y > 0. x y < δ x y > ɛ) ɛ > 0. δ > 0. x > 0. ( y > 0. x y < δ x y > ɛ) ɛ > 0. δ > 0. x > 0. y > 0. ( x y < δ x y > ɛ) ɛ > 0. δ > 0. x > 0. y > 0. ( x y δ x y ɛ). תרגיל 4 הראו כי הפסוק הבא אינו בהכרח אמיתי: β = (( x yp (x, y)) ( y xp (x, y))) x y z (P (z, y) P (x, z)) 3
נדון מעל המספרים השלמים ובפרדיקט (y P,x) אם ורק אם x. = y הצד השמאלי הוא T בדקו. יחד עם זאת, הצד הימני הוא.F נניח בשלילה שהוא לא, כלומר קיימים x 0, y 0 כך שלכל z = y 0,z או.x 0 = z נבחר + 2 0.z = x 0 + y אך קל לראות כי z זה אינו מקיים את הדרישה. 2 משתנים קשורים וחופשיים משתנה הוא "חופשי" אם ניתן להציב במקומו ערך. אחרת, המשתנה "קשור" (ע"י הכמתים או מנגנוני קשירה נוספים). נזכיר גם את כלל החלפה (כלל α) בגרסתו הפשוטה: מותר להחליף משתנה קשור x במשתנה y כאשר y אינו מופיע כלל בטווח הקשירה של x. לדוגמא,. x a.x > a שקול לוגית ל x y.x > y.1 + 7.2 x x y.y = אינו גורר + 1 + 7 y y.y = כי + 1 y t = אינו חופשי להצבה במקום x בנוסחה. y.y = x + 7 תרגיל 5 בביטויים הבאים, מצא אילו משתנים חופשיים ואילו קשורים, ומה טווח הקשירה:. x R.x + y 4.1. y. ( x ( y 2 = x )) (xy = 0).2. x. (P (x, y)) y (A (x, y)).3 1. x קשור ו y חופשי. 2. y קשור, ה x הראשון קשור וה x השני חופשי. 3. x קשור, ה y הראשון חופשי וה y השני קשור. לנוסחאות בעלי משתנה חופשי נקרא "תבניות פסוק". שימו לב שלא רק הכמתים, אלא גם האופרטורים הבאים "קושרים" משתנים: 10. i קשור. i=1 i2.1 n). חופשי (הביטוי יהיה תלוי ב n קשור ו i. 20 i=1 n3 i 10.2 2.3 xdx x. ln קשור. 1 אופרטורי קשירה נוספים: 1. האופרטור "קיים יחיד",!. לדוגמא, מעל הממשיים, = 27 3!x.x הוא פסוק "אמת" ו = 9 2!x.x הוא פסוק "שקר". 2. האופרטור "הערך היחיד שמקיים את", ι. לדוגמא (מעל הממשיים), (א) = 6 7) = 1 + (ιx.x הוא פסוק "אמת". (ב) = 10 ) 27 = 3 ( ιx.x הוא פסוק "שקר". (ג) = 9 2 ιx.x אינו מוגדר. 4
תרגיל 6 נגדיר את הפרדיקטים הבאים: (x) x S הוא סטודנט..y חי ב x L (x, y) (x) x C הוא שיעור..y הוא בזמן ל x T (x, y) (x) x I הוא ישראלי. (x) x N הוא נחמד. כמו כן, t הוא הקבוע "תל אביב". הצרינו: 1. לא כל הסטודנטים שגרים בתל אביב מגיעים בזמן לשיעורים. 2. כל הישראלים נחמדים, פרט לתל אביבים. הפסוק הראשון: x. (S (x) L (x, t)) ( y.c (y) T (x, y)) הפסוק השני: x.i (x) (( N (x)) L (x, t)) 5