Η θεωρία του Bohr (Ατομικά φάσματα) Ποιο φάσμα χαρακτηρίζουμε ως συνεχές; Φωτεινή πηγή Σχισμή Πρίσμα Φωτογραφικό φιλμ Ερυθρό Ιώδες Φάσμα ορατού φωτός: πού αρχίζει και πού τελειώνει το πράσινο;
Ποιο φάσμα χαρακτηρίζεται ως γραμμικό; 750 nm Φωτεινή πηγή Σχισμή Πρίσμα (πυρωμένο αέριο He) Φωτογραφικό φιλμ Το φάσμα εκπομπής του ηλίου Έξι έγχρωμες γραμμές στην ορατή περιοχή του ηλεκτρομαγνητικού φάσματος 400 nm
Το συνολικό φάσμα του υδρογονατόμου Πώς περιγράφεται το συνολικό φάσμα του υδρογονατόμου; 954,6 656,3 410,2 486,1 Μήκος κύματος (nm) 121,6 97,3 102,6 Υπέρυθρο Ορατό Σειρά Balmer Υπεριώδες
Εξίσωση Balmer Σε ποια εξίσωση υπακούουν τα μήκη κύματος, λ, των γραμμών του ορατού φάσματος του ατόμου Η; 1 1 1 1,09710 m 2 n 7 1 2 2 n = ακέραιος > 2 Εξίσωση Balmer (1885) Johann Jakob Balmer Σουηδός Μαθηματικός (1825-1898)
Εξίσωση Rydberg Ποια εξίσωση μετατρέπει τα μήκη κύματος των γραμμών του ορατού φάσματος του ατόμου Η σε συχνότητες; Johannes Rydberg Σουηδός Φυσικός (1854-1919) 1 1 1 1 cr = 3,288 10 s 2 n 2 n 15 1 2 2 2 2 R = σταθερά Rydberg = 1,097 10 7 m 1 Εξίσωση Rydberg (1898)
Άσκηση 7.3α Επαλήθευση της εξίσωσης Balmer Στο ορατό φάσμα του ατόμου Η : 1) Πόσο είναι το μήκος κύματος της πρώτης οριακής γραμμής; 2) Πόσο είναι το μήκος κύματος της δεύτερης οριακής γραμμής; 1 1 1 1,09710 m 2 n 7 1 2 2 Οι γραμμές είναι τέσσερις για τις τιμές n = 3, 4, 5, 6 για n = 3 1 1 1 1 1 1,097 10 m 1,097 10 m 2 n 2 3 7 1 7 1 2 2 2 2 1 7 1 7 0,15236 10 m = 6,563 10 m = 656,3 nm
Η θεωρία του Bohr για το άτομο του υδρογόνου Γιατί το ατομικό πρότυπο του Rutherford δεν μπορούσε να εξηγήσει τη σταθερότητα του ατόμου; Niels Bohr (1885-1962) Δανός Φυσικός (N.P. 1922 στη Φυσική) Ο Bohr στήριξε τη θεωρία του στα ατομικά φάσματα και, προκειμένου να ερμηνεύσει τις γραμμές του φάσματος του υδρογονατόμου, διατύπωσε δύο βασικές συνθήκες (εκτός από τις κυκλικές τροχιές του e).
Οι δύο βασικές συνθήκες του Bohr 1. Συνθήκη για τα επίπεδα ενέργειας του ηλεκτρονίου στο άτομο Η E R n H 2 n 1, 2, 3,... R H (σταθερά) = 2,179 10 18 J n = κύριος κβαντικός αριθμός 2. Συνθήκη για τις μεταπτώσεις του ηλεκτρονίου μεταξύ των επιπέδων ενέργειας στο άτομο Η Ενέργεια εκπεμπόμενου φωτονίου Ε = E i E f = hν
Ενέργεια Οι ενέργειες για το ηλεκτρόνιο στο άτομο Η (Διάγραμμα επιπέδων ενέργειας) 0 R H /9 R H /4 n = n = 3 n = 2 Η ενέργεια παριστάνεται στον κάθετο άξονα (σε κλασματικά πολλαπλάσια του R H ). Το βέλος συμβολίζει μια μετάπτωση του ηλεκτρονίου από το επίπεδο n = 4 στο επίπεδο n = 2. Αυτή η μετάπτωση συνοδεύεται από εκπομπή φωτός μήκους κύματος 486 nm. (Για τον υπολογισμό αυτού του μήκους κύματος, βλ. Παράδειγμα 7.4.) R H n = 1
Οι ενέργειες για το ηλεκτρόνιο στο άτομο Η (Κυκλικές τροχιές) απορρόφηση ενέργειας Εκπομπή φωτός Απορρόφηση ενέργειας και εκπομπή φωτός από το άτομο Η. n=4 n=3 n=2 n =1 E = R H E = 0,254R H E = 0,11R H Επιτρεπόμενες τροχιές (ή ενεργειακά επίπεδα): ακτίνα τροχιάς: r n = n 2 α ο α ο = 53 pm (ακτίνα του Bohr) E = 0,062R H
Πώς ο Bohr απέδειξε τον τύπο του Balmer: E και Συνθήκη 1 H H i R n E R n 2 f 2 i f R R 1 1 h Ei E f R 2 2 H 2 2 n i n f n f n i Συνθήκη 2 H H ν = c / λ 1 R H 1 1 hc n n 2 2 f i 1 1 1 R H / h c = 1,097 10 7 / m, n f = 2 7 1,09710 / m 2 2 n 2 Εξίσωση Balmer
Ενέργεια n = 5 n = 4 n = 3 n = 2 n = 1 Πώς προκύπτουν οι σειρές Lyman, Paschen, Bracket, στο φάσμα του ατόμου Η Pfund Bracket Paschen Σειρά Balmer (ορατό) Σειρά Lyman (υπεριώδες) Μεταπτώσεις του ηλεκτρονίου στο υδρογονοάτομο Το διάγραμμα δείχνει τις σειρές Lyman, Balmer και Paschen, Bracket και Pfund που αντιστοιχούν σε ηλεκτρονικές μεταπτώσεις για n f = 1, 2, 3, 4 και 5, αντίστοιχα. E R n H 2!!! Για n = πλήρης απομάκρυνση του e (ιοντισμός) n 1, 2, 3,...
Ερμηνεία του φάσματος του ατόμου Η n = n = 4 n = 3 n = 2 Balmer Bracket (υπέρυθρο) Paschen Ιώδες κόκκινο 400 500 600 700 ορατή περιοχή λ(nm) n = 1 Lyman (υπεριώδες) Για n = πλήρης απομάκρυνση του e (ιοντισμός)
Ερμηνεία του φάσματος του υδρογονατόμου 954,6 656,3 410,2 486,1 Μήκος κύματος (nm) 121,6 97,3 102,6 Υπέρυθρο Ορατό Σειρές Σειρά Paschen, Balmer Bracket, Pfund Υπεριώδες Σειρά Lyman
Άσκηση 7.4 Προσδιορισμός του μήκους κύματος ή της συχνότητας μιας μετάπτωσης του ηλεκτρονίου του ατόμου Η Υπολογίστε το μήκος κύματος του φωτός που εκπέμπεται από το υδρογονοάτομο, όταν το ηλεκτρόνιο μεταπίπτει από το επίπεδο ενέργειας n = 3 στο επίπεδο n = 1. n = 1 n = 3
Συνθήκη 2 του Bohr Άσκηση 7.4 R H R H 1 1 h Ei E f R 2 2 H 2 2 n i n f n f n i n f = 1 και n i = 3 1 1 1 h RH R 1 H 2 2 H 1 3 9 9 Η συχνότητα της εκπεμπόμενης ακτινοβολίας είναι: 18 8RH 8 2,17910 J 34 8R 9h 9 6,6310 J s 15 15 2,921 10 / s=2,92 10 / s λ = c/ν 8 3,0010 m/s 15 2,9210 / s 7 1,027 10 m (103 nm)
Άσκηση 7.5 Εκπομπή και απορρόφηση φωτός από άτομα Προσδιορισμός της διαφοράς ενέργειας μεταξύ επιπέδων ενέργειας ενός ατόμου Πόση είναι η διαφορά των επιπέδων ενέργειας του ατόμου του νατρίου, αν φως που εκπέμπεται από νάτριο έχει μήκος κύματος 589 nm; (Απάντηση: Ε = 3,3810-19 J)
Κβαντομηχανική ή κυματομηχανική Ποια ήταν τα αναπάντητα ερωτήματα της θεωρίας του Bohr; 1. Φάσματα πολυηλεκτρονικών ατόμων 2. Κυκλικές τροχιές 3. Γιατί η ενέργεια του e είναι κβαντισμένη; Κβαντομηχανική ή κυματομηχανική: ο κλάδος της Φυσικής που περιγράφει μαθηματικά τις κυματικές ιδιότητες των στοιχειωδών σωματιδίων. Η κβαντομηχανική, ένα από τα σημαντικότερα επιτεύγματα του 20ου αιώνα, στηρίχθηκε κυρίως στις ιδέες των: De Broglie (Εξίσωση του de Broglie) Heisenberg (Αρχή της αβεβαιότητας του Heisenberg) και Schrödinger (Κυματική εξίσωση του Schrödinger)
Κβαντομηχανική: Εξίσωση του de Broglie (Δυϊσμός κύματος-σωματιδίου) Louis de Broglie: Αν τα κύματα του φωτός μπορούν να συμπεριφέρονται ως υλικά σωματίδια, μήπως και υλικά σωματίδια, όπως τα ηλεκτρόνια, μπορούν να συμπεριφέρονται ως κύματα; Εξίσωση de Broglie για το υλικό κύμα: Louis de Broglie (1892-1987) Γάλλος Φυσικός N.P. 19292 h m Όπου: h = η σταθερά του Planck, m και υ = η μάζα και η ταχύτητα του σωματιδίου αντίστοιχα
Άσκηση 7.6 Εφαρμογή της εξίσωσης του de Broglie Υπολογίστε το μήκος κύματος (σε πικόμετρα) που σχετίζεται με ηλεκτρόνιο κινούμενο με ταχύτητα 2,19 10 6 m/s. Χρησιμοποιούμε την εξίσωση του de Broglie (λ = h/mυ), όπου m η μάζα του ηλεκτρονίου (9,11 10 31 kg) και h η σταθερά του Planck (h = 6,63 10 34 Js = 6,63 10 34 kg m 2 /s): h m 34 2 6,6310 kg m / s -31 6 9,1110 kg 2,1910 m/s = 3,323 10 10 m (332 pm)!!! Συγκρίνετε: Για ένα μπαλάκι του μπέιζμπολ (m = 0,145 kg, υ = 27 m/s) λ = 10 34 m
Πώς αποδεικνύεται ότι το ηλεκτρόνιο έχει κυματικές ιδιότητες; Πείραμα Davisson-Germer και περίθλαση e σε κρυστάλλους, (1927) Κατευθύνοντας μια δέσμη ηλεκτρονίων (που είναι σωματίδια) προς ένα κρύσταλλο νικελίου παρατήρησαν στην οθόνη ένα σύνολο ομοκεντρικών δακτυλίων, όμοιο με αυτό που έδιναν οι ακτίνες Χ, οι οποίες είναι κύματα. Αυτοί θα αναμένονταν από ηλεκτρόνια με λ που δίνεται από την εξίσωση de Broglie (Α) (Β) (Α) Περίγραμμα περίθλασης ακτίνων Χ σε φύλλο Al (B) Περίγραμμα περίθλασης ηλεκτρονίων σε φύλλο Al G. P. Thomson Nobel P. 1937
Ηλεκτρονικό μικροσκόπιο: Μια καταπληκτική εφαρμογή της κυματικής φύσης του ηλεκτρονίου Ruska (1933), Νόμπελ Φυσικής 1986 Η «δέσμη» του ηλεκτρονικού μικροσκοπίου αποτελείται από υψηλής ταχύτητας ηλεκτρόνια και οι «φακοί» του είναι ηλεκτρομαγνητικά πεδία. Μεγεθύνσεις > 200.000, Ανάλυση 0,5 nm Απεικόνιση με ηλεκτρονικό μικροσκόπιο σήραγγας Κεφάλι εξωγήινου τέρατος; Όχι. Είναι το κεφάλι μιας σφήκας με όλες εκείνες τις λεπτομέρειες που μόνο το ηλεκτρονικό μικροσκόπιο σήραγγας μπορεί να μας δώσει. (Για δημιουργία αντίθεσης, έχει προστεθεί χρώμα.)
Κβαντομηχανική: Η αρχή της αβεβαιότητας του Heisenberg Πώς μπορεί να είναι ορισμένη η «θέση» ενός κύματος; Μπορούμε να καθορίσουμε την ακριβή θέση ενός κύματος, αφού ένα κύμα απλώνεται στο χώρο; Τι λέει η αρχή της αβεβαιότητας του Heisenberg: Είναι αδύνατο να γνωρίζουμε ταυτόχρονα και με ακρίβεια τη θέση x και την ορμή p (= mυ) ενός τόσο μικρού σωματιδίου, όπως είναι το ηλεκτρόνιο. Πώς διατυπώνεται η αρχή της αβεβαιότητας μαθηματικά; Werner Heisenberg (1901-1976) Γερμανός Φυσικός N.P. Φυσικής 1932 ( x)( m ) h 4 Δx, Δυ = αβεβαιότητες ως προς τη θέση και την ταχύτητα, αντίστοιχα
Άσκηση 7.4α Εφαρμογή της αρχής της αβεβαιότητας Ένα ηλεκτρόνιο κινούμενο στην περιοχή κάποιου ατομικού πυρήνα έχει ταχύτητα 6 10 6 ± 1% m/s. Πόση είναι η αβεβαιότητα ως προς τη θέση του; Δυ = (6 10 6 m/s)(0,01) = 6 10 4 m/s 34 2 h 6,52610 kg m /s 9 ( x) 110 m 31 4 4 m (43,14)(9,1110 kg)(6 10 m/s) Δx ηλεκτρονίου ~ 10 φορές μεγαλύτερη (!!!) από τη διάμετρο του ατόμου (10 10 m) πώς μπορούμε να γνωρίζουμε πού ακριβώς βρίσκεται το e; Συγκρίνετε: Το Δx μπάλας του μπέιζ μπολ (m = 0,146 kg) που κινείται με ταχύτητα 44,7 ± 1,00% m/s είναι 8,08 10 31 m Δx μηδαμινό (!!!): Ισχύει για όλα τα αντικείμενα του μακρόκοσμου
Κβαντομηχανική: Η εξίσωση του Schrödinger Η εξίσωση του Schrödinger είναι, μια πολύπλοκη διαφορική εξίσωση η οποία εμπεριέχει τη μάζα m του ηλεκτρονίου (σωματιδιακός χαρακτήρας) και μια κυματική συνάρτηση ψ (κυματικός χαρακτήρας). Δηλαδή, μια εξίσωση που ενσωματώνει το σωματιδιακό και τον κυματικό χαρακτήρα του ηλεκτρονίου. Το ηλεκτρόνιο ως κύμα δεν διαδίδεται στο χώρο (όπως π.χ. ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα) αλλά πρέπει να είναι χρονικά αμετάβλητο. Ένα τέτοιο κύμα δεν προχωράει γι αυτό χαρακτηρίζεται ως στάσιμο, δηλαδή περιορισμένο στο άτομο.
Ο Schrödinger και η εξίσωσή του h 2m 2 2 V = E 2 2 2 = τελεστής Laplace= 2 2 2 x y z Erwin Schrödinger (1887-1961) Αυστριακός, N.P. 1933 στη Φυσική Γνωστά μεγέθη: m και V (μάζα και δυναμική ενέργεια e) Άγνωστα που μπορούν να προσδιορισθούν: Ψ και Ε (ολική ενέργεια e) Από τις άπειρες λύσεις Ψ, μόνο μερικές έχουν φυσική σημασία και θεωρούνται παραδεκτές ορισμένες οι τιμές της Ε. Ακριβείς λύσεις μόνο για το Η και τα υδρογονοειδή άτομα!!!
(A) 1 μισό μήκος κύματος 2 μισά μήκη κύματος 3 μισά μήκη κύματος Στάσιμα κύματα L 1 2 L 2 2 L 3 2 L n 2 (B) 1 n 3 3 Απαγορευμένο Κόμβος: σημείο με πλάτος = 0 Στάσιμο κύμα: όταν οι κορυφές και οι κόμβοι δεν αλλάζουν θέση (Α) Το κβάντο στη δόνηση της χορδής της κιθάρας, είναι το λ/2 επιτρεπτές δονήσεις (στάσιμα κύματα) μόνο όταν το L είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του λ/2. (Β) Για ένα ηλεκτρόνιο στάσιμα κύματα σχηματίζονται μόνο όταν η περιφέρεια της τροχιάς: 2πr = nλ
Κυματικές συναρτήσεις Κιθάρα (παλλόμενη χορδή): οι επιτρεπτές μορφές των στάσιμων κυμάτων περιγράφονται από τη μαθηματική εξίσωση L = n(λ /2). Άτομο Η (ηλεκτρόνιο): οι επιτρεπτές μορφές των στάσιμων ηλεκτρονικών κυμάτων περιγράφονται από την εξίσωση του Schrödinger. Πώς ονομάζονται οι αποδεκτές λύσεις της εξίσωσης του Schrödinger; Κυματικές συναρτήσεις Ψ ή ατομικά τροχιακά. Ποια σημασία έχει η κυματική συνάρτηση Ψ ; Η κυματική συνάρτηση Ψ δεν έχει καμία φυσική σημασία!
Το τετράγωνο της κυματικής συνάρτησης, Ψ 2 Κυματική θεωρία: Η ένταση του φωτός είναι ανάλογη προς το τετράγωνο του πλάτους του κύματος (Ψ 2 ). Ποια φυσική σημασία αποκτά έτσι το Ψ 2 για το ηλεκτρόνιο; (α) Θεωρώντας το e ως κύμα: το Ψ 2 δίνει την ηλεκτρονική πυκνότητα στα διάφορα σημεία γύρω από τον πυρήνα του ατόμου. (β) Θεωρώντας το e ως σωματίδιο: το Ψ 2 ~ της πιθανότητας εύρεσης του e σε κάποιο συγκεκριμένο σημείο του ατόμου.
Ένα άτομο δεν έχει καθορισμένα όρια! Γραφική παράσταση του ψ 2 για το χαμηλότερο ενεργειακό επίπεδο του ατόμου Η Ψ 2 0 50 100 150 r (pm) Η τιμή του ψ 2 ελαττώνεται γρήγορα καθώς η απόσταση r από τον πυρήνα μεγαλώνει, όμως το ψ 2 δεν γίνεται ποτέ μηδέν, παρόλο που η πιθανότητα γίνεται εξαιρετικά μικρή σε μεγάλες αποστάσεις από τον πυρήνα. Αυτό σημαίνει ότι ένα άτομο δεν έχει καθορισμένα όρια, αντίθετα με το ατομικό μοντέλο του Bohr.
Ακτινική πιθανότητα Πιθανότητα εύρεσης ενός ηλεκτρονίου σε σφαιρικό φλοιό γύρω από τον πυρήνα Η περιοχή γύρω από τον πυρήνα χωρισμένη σε φλοιούς (πυκνότητα πιθανότητας). 0 50 100 150 200 r (pm) Η γραφική παράσταση δείχνει την πιθανότητα εύρεσης του ηλεκτρονίου μέσα σε φλοιούς που απέχουν διάφορες αποστάσεις από τον πυρήνα (ακτινική πιθανότητα). Η καμπύλη παρουσιάζει ένα μέγιστο, το οποίο σημαίνει ότι η ακτινική πιθανότητα είναι μέγιστη για μια δεδομένη απόσταση από τον πυρήνα.
Τρεις τρόποι παρουσίασης του Ψ 2 για το απλούστερο τροχιακό 1s Ψ 2 r Απόσταση από τον πυρήνα Η ηλεκτρονική πυκνότητα είναι μέγιστη σε σημεία πλησίον του πυρήνα Το ηλεκτρονικό νέφος είναι πολύ πυκνό κοντά στον πυρήνα και αραιό μακριά από αυτόν. Στο χώρο που περικλείεται από μια οριακή επιφάνεια η πιθανότητα εύρεσης του e είναι περίπου 90%.
Αριθμός μήλων σε κάθε δακτύλιο Η ηλεκτρονική πυκνότητα για το 1s τροχιακό είναι μέγιστη στον πυρήνα. Απόσταση από τον κορμό. Αυτό σημαίνει ότι πιθανόν το ηλεκτρόνιο βρίσκεται πάνω στον ίδιο τον πυρήνα; Η πυκνότητα των μήλων είναι μεν μέγιστη στον πρώτο δακτύλιο, όμως το εμβαδόν του δεύτερου δακτυλίου είναι μεγαλύτερο και έτσι αυτός περιέχει συνολικά περισσότερα μήλα. Σε αναλογία, το ηλεκτρονικό νέφος μπορεί να είναι πυκνότερο στον πυρήνα, όμως το μεγαλύτερο μέρος του νέφους βρίσκεται σε κάποια απόσταση από αυτόν.
Άσκηση 7.50 (α) Υπολογίστε το μήκος κύματος (σε πικόμετρα) ενός πρωτονίου που κινείται με ταχύτητα 6,21 km s -1 (β) Ποια θα ήταν η περιοχή του φάσματος για ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία αυτού του μήκους κύματος; (Απάντηση: λ = 63,8 pm)