فصل سوم: 3 روابط طولی درشکلهای هندسی
درس او ل قضیۀ سینوس ها یادآوری منظور از روابط طولی رابطه هایی هستند که در مورد اندازه های پاره خط ها و زاویه ها در شکل های مختلف بحث می کنند. در سال گذشته روابط طولی زیر را در مثلث قائم الزاویه دیدیم: =.H =.H 3 H =H.H 4 + = 5.=.H اینک به ادامه بحث در مثلث های غیرمشخص می پردازیم. H در کتاب ریاضی )پایه دهم( با تعریف نسبت های مثلثاتی در مثلث قائم الزاویه آشنا شدید. با توجه به تعریف سینوس زاویه در مثلث قائم الزاویه جاهای خالی را پر کنید:... Sin = =...... Sin... Sin = =...... Sin... Sin = Sin90 = =... Sin بنابراین داریم: در هر مثلث قائم الزاویه نسبت اندازة هر. به. برابر است با.
در کتاب هندسه دیدیم که عمودمنصف های اضالع هر مثلث در یک نقطه همرسند و در این کتاب دیدیم که این نقطه مرکز دایره محیطی مثلث است. دایره محیطی مثلث قائم الزاویه را رسم می کنیم. مرکز این دایره کجاست و چرا قطر آن برابر با وتر مثلث است با توجه به نتیجه قسمت )( می توانیم بگوییم: در هر مثلث قائم الزاویه نسبت اندازة هر ضلع به سینوس زاویة روبه رو به آن برابر است با... دایرة محیطی مثلث. اکنون نشان می دهیم این نتیجه گیری برای هر مثلث غیرمشخص نیز درست است. 3 ( و دایره محیطی آن به مرکز O را در نظر میگیریم. مثلث دلخواه ) 90 < قطر را رسم کرده و را به وصل میکنیم. زوایای Ĉ و ˆ چرا با هم برابرند O اندازه آنها برابر است با نصف... چرا مثلث در رأس قائم الزاویه است 3 با توجه به دو قسمت قبل داریم:...... Sin = Sin = = =R... R Sin... Sin =, Sin =... 4 به طور مشابه خواهیم داشت: ( را در نظر بگیرید. نقطه دلخواه ʹ روی کمان 5 حال مثلث ) 90 > را به و وصل میکنیم. زوایای Â و Â نسبت به هم چگونهاند چرا = + بنابراین زاویهای حاده است. 3
با توجه به آنچه که از مثلثات می دانید جاهای خالی را پر کنید: sin = sin(... ) = در مثلث ʹ طبق نتیجه قسمت )3( می توانیم بنویسیم: = = sin sin بنابراین: در هر مثلث دلخواه نسبت اندازۀ هر. به زاویة روبه رو به آن برابر است با. قضیۀ سینوسها: در مثلث با اضالع = = و = داریم: = = = R Sin Sin Sin که R شعاع دایره محیطی مثلث است. = 0 6 مقدار 3 مثال : در مثلث =0m و =0 º شعاع دایره محیطی مثلث و اندازه زوایای و را بهدست آورید. و حل: به کمک قضیه سینوس ها می توان نوشت: 0 = R = R sin sin0 )= º sin0 º =sin(80 º -60 و sin60 = 3 R = 0 3 = 0 3 R و 3 0 6 0 3 0 6 = = R 3 = sin = = sin sin sin 3 0 3 =45 º یا 35 º و = 0 = 45 = 5 مثال : از یک بلوار افقی یک خیابان فرعی باریک با زاویه 60 º جدا شده است. اکنون شهرداری منطقه می خواهد یک خیابان فرعی دیگر به طول 800 متر بنا کند تا با زاویه 45 º از خیابان فرعی اول جدا شده و به بلوار منتهی شود. این خیابان از چه فاصله ای از رأس زاویه 60 º باید شروع شود و با بلوار چه زاویه ای می سازد 45 60 4
45 60 حل: با یک شکل مناسب مسئله را مدل سازی می کنیم. اوال با توجه به مجموع ο اندازههای زوایای داخلی مثلث روشن است که 80 45 60 75 = ( + ) = یعنی خیابان فرعی باید با زاویه 75 º از بلوار جدا شود. ثانیا به کمک قضیه سینوس ها در مثلث داریم: 800 800 = = = = sin sin sin60 sin45 3 800 800 6 = 653 / m 3 3 یعنی خیابان فرعی را باید از فاصله تقریبی 653/ متر با زاویه 75 º بنا کنیم. E می خواهیم روی یک رودخانه عمیق بین دو نقطه و در دو طرف رودخانه پلی بنا کنیم. برای انجام محاسبات مربوط به احداث پل باید فاصله ابتدا و انتهای آن )یعنی طول ) را به دست بیاوریم. ام ا امکان اندازه گیری مستقیم )به دلیل وجود رودخانه( وجود ندارد. برای این کار از نقطه در جهتی حرکت می کنیم تا با عبور از قسمت کم عمق رودخانه )E( به نقطه برسیم و طول را اندازه گیری می کنیم. سپس با زاویه یاب )تئودولیت( زاویه دید از نقطه ) ( و زاویه دید از ) ( را اندازه می گیریم. به صورت زیر نشان دهید با داشتن طول و زوایای و می توان فاصله را به دست آورد. = = = sin sin( 80 ) sin() و 60= º به کمک ماشین حساب طول را اگر =3km و =70 º به دست آورید. 5
درس دوم قضیۀ کسینوس ها می دانیم که در مثلث قائم الزاویه 90= º ) ).با داشتن طول های دو ضلع )=( و )=( می توانیم اندازه وتر مثلث )=( را بر حسب و به دست آوریم: = + حال می بینیم که اگر مساوی 90 º هم نباشد می توانیم این کار را انجام دهیم. در مثلث غیر مشخص ) 90> º ) ارتفاع H را رسم کرده ایم. با توجه به تعریف نسبت های مثلثاتی در مثلث های قائم الزاویه جاهای خالی را پر کنید. os = H = H = H =. sin = H = H H : = H + H = () + () حال به کمک اتحادهای جبری و اتحاد مثلثاتی = sin +os نشان دهید: = + -.os اکنون در مثلث ) 90< º ) ارتفاع H را در بیرون مثلث رسم می کنیم. اگر زاویه خارجی رأس باشد با توجه به اینکه = 80 داریم:. = os و در مثلث H نیز با توجه به تعریف نسبتهای. = sin و مثلثاتی می توان نوشت: H os = sin و = H = و H= * و H=+H= ΔH: =H +H = (...) +(...) 6
و با ساده کردن عبارت ها نشان دهید: = + -.os سؤال: در حالتی که زاویه قائمه باشد این رابطه به چه صورت در می آید قضیة کسینوس ها: در هر مثلث مربع اندازة هر ضلع برابر است با مجموع مربع های اندازه های دو ضلع دیگر منهای دو برابر حاصل ضرب اندازة آن دو ضلع در کسینوس زاویة بین آنها: = + -.os, = + - = + - 60 Km/h O 0 00 Km/h مثال: دو قایق از یک نقطه در دریاچه ای با سرعت های 60km/h و 00km/h و با زاویه 0 º از هم دور می شوند. نیم ساعت بعد دو قایق در چه فاصله ای از یکدیگر هستند? حل: با توجه به نقطه شروع دو قایق و سرعت های ثابت نیم ساعت بعد مسافت طی شده توسط هر قایق محاسبه می شود: O=60* و 0/5=30 O=00*0/5=50 حال به کمک قضیه کسینوس ها می نویسیم: =O +O -O.O.os0 os0 =os(80-60)=-os60 = =900+500-30 50 ( ) =4900 =70km در مثلث = و + 6 = و = 60 طول ضلع را به کمک قضیه کسینوسها بهدست آورید. = + - * * * =.. +.. -.. = و =... 7
اندازه هم بیابید. را به کمک قضیه سینوس ها به دست آورید و از آنجا اندازه را sin = sin = 3 sin60 = 80 (+ ) = sin=... و =... ثابت کنید در هر مثلث قائم الزاویه ( 90= º ) با ارتفاع H=h داریم: 0 = + h دو ایستگاه رادار که در فاصله 0 کیلومتری از هم واقع اند هواپیمایی را با زاویه های 30 و 45 درجه رصد کرده اند. فاصله هواپیما را از دو ایستگاه به دست آورید.?? 30 45 0 Km 3 یک درخت کج از نقطه روی زمین که در فاصله 30 متری از نوک درخت است به زاویه 60 º دیده می شود. اگر فاصله تا پای درخت 40 متر باشد مطلوب است: الف( طول درخت ب( زاویه ای که درخت با سطح زمین می سازد ج( فاصله نوک درخت از زمین. 30 m 60 40 m 4 در مثلث متساوی االضالع به ضلع 8 واحد نقطه که به فاصله 7 واحد از رأس قرار دارد از و چه فاصله ای دارد نقطه E که به فاصله 5 واحد از قرار دارد از به چه فاصله ای است اندازه زاویه E چند درجه است x 7? E 5 بندرگاه کشتی 5 یک کشتی از یک نقطه با سرعت 60 کیلومتر در ساعت در یک جهت در حرکت است و یک ساعت بعد با 30 º انحراف به راست با سرعت 40 کیلومتر در ساعت به حرکت خود ادامه می دهد و یک ساعت و نیم پس از آغاز حرکتش در یک بندرگاه پهلو می گیرد. فاصله بندرگاه از مبدأ حرکت کشتی چند کیلومتر است 30 8
M را رسم کردهایم ( = M.) M = با نوشتن 6 در مثلث میانه قضیه کسینوسها در دو مثلث M و M و را محاسبه کنید و با جمع کردن دو تساوی حاصل درستی تساوی زیر را ثابت کنید: 80 - M + = M + میانهها) (قضیه در حالت خاص =4 و =6 و =8 طول میانه M را بهدست آورید. 9
درس سوم قضیۀ نیمسازهای زوایای داخلی و محاسبۀ طول نیمساز ها قضیه نیمسازهای زوایای داخلی قضیه : در هر مثلث نیمساز هر زاویه داخلی ضلع روبه رو به آن زاویه را به نسبت اندازه های ضلع های آن زاویه تقسیم می کند. : حکم = : فرض = اثبات: مطابق شکل از نقطه خط راستی موازی نیمساز رسم میکنیم تا امتداد را در نقطه E قطع کند. الف( چرا = E و چرا = ب( با توج ه به فرض چه نتیجهای درباره زوایای E و میتوان گرفت مثلث E چه نوع مثلثی است E ج( با توجه به قضیه تالس در مثلث ( E) E نسبت است با توجه به نتیجه قسمت )ب( اثبات را کامل کنید: با کدام نسبت برابر E = = یکی از نتایج فوری این قضیه این است که در هر مثلث به سادگی می توان طول های قطعاتی را که هر نیمساز روی ضلع مقابل ایجاد می کند با داشتن طول های اضالع مثلث محاسبه کرد: مثال: در مثلث =5 =7 و =8 است طول های دو قطعه ای را که نیمساز زاویه روی ضلع مقابل ایجاد می کند به دست آورید. حل:?? 7 + 7 + 8 5 = = = = 8 8 8 8 5 8 8 7 = =, = = 5 = 5 3 3 3 0
5 7 8 در شکل روبه رو نیمساز زاویه را رسم کنید و طول های دو قطعه ای را که این نیمساز روی جدا می کند به دست آورید. محاسبه طول نیمسازهای زوایای داخلی مثلث = ) یعنی در مثلث برای محاسبه طول نیمساز داخلی زاویه ) را امتداد میدهیم تا دایره محیطی مثلث را در E قطع کند و E را به وصل میکنیم. الف( چرا =E ب( چرا مثلث های و E متشابه اند ج( نسبت های تشابه آنها را بنویسید. E E = = د( از تناسب اول نتیجه می گیریم:. =.E = (+E) = +.E و چون.E =. )چرا ( بنابراین: =. -. قضیه : در هر مثلث مربع اندازه هر نیمساز داخلی برابر است با حاصل ضرب اندازه های دو ضلع زاویه منهای حاصل ضرب اندازه دو قطعه ای که نیمساز روی ضلع مقابل ایجاد می کند. مثال: در مثلث =5 =3 و =7 است. طول نیمساز زاویه را بیابید. حل: به کمک قضیه )( طول های و را به دست می آوریم: 3 + 8 = = = 5 5, = 8 7 = 8 = 35 = 35 = 7 5 5 8 8 8 حال با توجه به قضیه )( داریم: 35 =.. = 3 5 = 8 8 5 735 = 5 = 5 64 64 8
0 در مثلث M وسط و MP و MQ نیمسازهای زوایای M و PQ هستند. ثابت کنید: M Q P در مثلث =7 و =5 و =0 است. طول نیمساز زاویه داخلی را به دست آورید. M 3 با پر کردن جاهای خالی با فرض اینکه در شکل مقابل نیمساز زاویه است روش دیگری برای اثبات قضیه نیمسازهای زوایای داخلی ارائه دهید: الف( چرا H = H H H H S = = S H () ب( H S = = S () )( و )( نتیجه میشود : = از مقایسه
درس چهارم قضیۀ هرون )محاسبۀ ارتفاع ها و مساحت مثلث( 3 y 5 با مسئله زیر در کتاب هندسه برخورد داشتید: در مثلث با اضالع 5 4 3 به کمک قضیه فیثاغورس در مثلث های H و H مقادیر x و y را به دست آورید و از آنجا مساحت مثلث را نیز محاسبه کنید: به عنوان یادآوری مسئله را با هم حل می کنیم: 4-x H x H H + = x + y = H + H = ( 4 x) + y = طرفین این دوتساوی را از هم کم می کنیم و با حذف y معادله ای بر حسب x به دست می آید: x -(4-x) = x -96-x +8 x = x=, y=, S =.H = اگر همین روش را در حالت کل ی در مثلث که = = و = به کار ببریم نتیجه میشود: )دستور هرون( ) S = P(P )(P )(P نصف محیط مثلث است. + + P = که در این دستور )اثبات کامل این دستور را می توانید در مجله ریاضی انتهای فصل ببینید( مثال: مساحت مثلث با اضالع به طول های 4 3 و 5 به کمک دستور هرون برابر است با: P=3+4+5=4 P= 4 s = 6 7 8 = 7 3 = 84 3
و طول های سه ارتفاع مثلث نیز برابراند با: s 84 h = = = / 5, h =., h =. چهارضلعی یک مزرعه کشاورزی را نشان می دهد که تنها دو ضلع آن بر هم عمودند طول های اضالع زمین به سادگی قابل اندازه گیری هستند و اندازه های آنها در شکل مشخص شده اند. با انجام مراحل زیر مساحت این زمین را به دست آورید: الف( اگر را به وصل کنیم طول را چگونه به دست می آورید = + = + = = 80m 90m 60m 50m ب( مساحت مثلث را چگونه به دست می آورید S = = ج( مساحت مثلث را به کمک دستور هرون به دست آورید. د( مساحت زمین کشاورزی برابر است با: + + P = =,S = S= + = می خواهیم دستور دیگری برای محاسبه مساحت مثلث به کمک نسبت های مثلثاتی به دست آوریم. در مثلث ارتفاع H را رسم کرده ایم. مساحت مثلث را به کمک ارتفاع H بنویسید. sin = H = S = H = H مساحت هر مثلث برابر است با نصف حاصل ضرب اندازه های هر دو ضلع در سینوس زاویه بین آنها: S =..sin =.sin =.sin 4
3 7 5 مثلث به اضالع با اندازه های 3 و 5 و 7 مفروض است. مساحت مثلث را با استفاده از دستور هرون به دست آورید. + + P = = S = P(P )(P )(P ) = S بنویسید. =..sin مساحت مثلث را با استفاده از دستور 3 از مقایسه نتایج و اندازه زاویه منفرجه را به دست آورید. 0 در مثلث =6 =0 و 60= º اوال طول را به دست آورید ثانیا مساحت مثلث را تعیین کنید ثالثا مقدار sin را پیدا کنید. m 4m 0m 3m 5m دو زمین کوچک به شکل مثلث با یک دیوار به طول 3 متر مطابق شکل از هم جدا شده اند. ابعاد زمین ها هم در شکل مشخص شده اند. اگر با برداشتن دیوار دو زمین به یک زمین تبدیل شود مساحت آن چقدر می شود نشان دهید دیوار مشترک با لبه های 4 متری و متری زاویه های برابر می سازد. )α=β( 3 دستور محاسبه مساحت مثلث متساوی االضالع به ضلع را به کمک دستور هرون به دست آورید. 7 E 5 4 در شکل مقابل اوال طول را به دست آورید ثانیا مساحت چهارضلعی E را بیابید. 5 در شکل صفحه بعد نیمساز زاویه است. با پر کردن جاهای خالی دستوری دیگر برای محاسبه طول نیمساز زاویه به دست آورید. 5
S =S +S..sin = sin + sin..sin =.sin ( + )..sin os..sin = = ( + )sin ( + )sin =. ( رأس (نیمساز d.os = + 6 در مثلث به اضالع 5 و 6 و 7 سانتی متر نقطه ای که از اضالع به طول های 5 و 6 به فاصله و 3 سانتی متر است از ضلع بزرگ تر چه فاصله ای دارد )راهنمایی: از مساحت مثلث استفاده کنید( 5 3 O x 7 6 7 در شکل اوال اندازه زاویه را به دست آورید ثانیا مساحت چهارضلعی را بیابید. )راهنمایی: را به وصل کنید( 3 8 ثابت کنید مساحت هر متوازی االضالع برابر است با حاصل ضرب دو ضلع مجاور در سینوس زاویه بین آن دو ضلع. 7 0 7 9 به کمک قضیه کسینوس ها ثابت کنید در مثلث > اگر و تنها اگر + الف( > 90 < اگر و تنها اگر + ب( < 90 = اگر و تنها اگر + ج( = 90 0 به کمک نتیجه تمرین 9 حاده قائمه یا منفرجه بودن زاویه را در هر یک از مثلث های زیر تعیین کنید: الف( =0 =9, =6, ب( =8 =9, =4, ج( =8 =7, =5, 6
اثبات دستور هرون )برای محاسبه مساحت مثلث( x y H -x در مثلث = و = و H=y و = و H=x و.H=-x با نوشتن قضیه فیثاغورس در مثلث های قائم الزاویه H و H و تفاضل روابط به دست آمده خواهیم داشت: x + y = = ( x) x = + x x x = + ( x) + y = x x = + y= x = ( ) با ساده کردن این عبارت جبری و تجزیه آن به کمک اتحادهای جبری نتیجه می شود: 4 ( + ) y = H = = ( + + )( + ) 4 ( ) = + ( ) = ( + + )( + )( + )( + ) +-=++-=p-=(p-) +-=(p-), +-=(p-) حال با فرض ++=p خواهیم داشت: و به همین صورت: و بنابراین: H = p (p ) (p ) (p ) = p(p )(p )(p ), S = H. = p(p )(p )(p ) 7