مهنۀیاپ هطسوتم ل وا ۀرود

Transcript

1 پایۀنهم دورۀ او ل متوسطه 194

2 وزارت آموزش و پرورش سازمان پژوهش و برنامه ریزی آموزشی برنامه ریزی محتوا و نظارت بر تألیف: دفترتألیف کتاب های درسی ابتدایی و متوسطه نظری نام کتاب: ریاضی پایۀ نهم دورۀ او ل متوسطه 1 شورای برنامه ریزی درسی: حمید رضا امیری علی ایرانمنش طیبه حمزه بیگی خسرو داودی محمدهاشم رستمی ابراهیم ریحانی سی د محمد رضا سی دصالحی احمد شاهورانی میر شهرام صدر شادی صفی نیا اکرم قابل رحمت و محمد مقاصدی مؤل فان: حمیدرضا امیری علی ایرانمنش خسرو داودی کبری دلشاد ابراهیم ریحانی سی د محمد رضا سی د صالحی هوشنگ شرقی و میرشهرام صدر ویراستار: افسانه حجتی طباطبایی آماده سازی و نظارت بر چاپ و توزیع: ادارۀ کل نظارت بر نشر و توزیع مواد آموزشی تهران:خیابان ایرانشهرشمالی ساختمان شمارۀ ٤ آموزش و پرورش )شهید موسوی( تلفن: دورنگار: کد پستی: وب سایت: مدیر امور فنی و چاپ: لیدا نیک روش مدیر هنری: مجید ذاکری یونسی طراح گرافیک طراح جلد: مهدی کریم خانی صفحه آرا: مریم نصرتی تصویرگر: سیاوش ذوالفقاریان الهام محبوب رسام: مریم دهقان زاده حروفچین: زهرا ایمانی نصر مصحح: سیف الله بیک محمد دلیوند علی نجمی امور آماده سازی خبر: سپیده ملک ایزدی امور فنی رایانه ای: احمدرضا امینی ناهید خیام باشی نارش: رشکت چاپ و نرش کتابهای درسی ایران: تهران کیلومرت ١٧ جاد ۀ مخصوص کرج خیابان ٦١ )داروپخش( تلفن: ٥ ٤٤٩٨٥١٦١ دورنگار: ٤٤٩٨٥١٦٠ صندوق پستی: ١٣٩ ٣٧٥١٥ چاپخانه: شرکت چاپ و نشر کتاب های درسی ایران»سهامی خاص«سال انتشار و نوبت چاپ: چاپ او ل 194 ISBN حق چاپ محفوظ است. شابک ٧٨

3 انسان عصاره همه موجودات عالم است. با تربیت صحیح ممکن نیست که یک مملکتی تحت تأثیر استعمار باشد. اگر ملتی بخواهد به طرف سعادت پرواز کند باید با دو بال تهذیب نفس و علم باشد. امام خمینی )ره(

4 ف صل مجموعه ها... 1 فهرست 1 درس او ل: معرفی مجموعه... درس دوم: مجموعههای برابر و نمایش مجموعهها... 6 درس سوم: اجتماع اشتراک و تفاضل مجموعهها درس چهارم: مجموعهها و احتمال ف صل عددهای حقیقی درس او ل: عددهای گویا...19 درس دوم: عددهای حقیقی... درس سوم: قدر مطلق و محاسبه تقریبی...8 ف صل استدالل و اثبات در هندسه... درس او ل: استدالل... درس دوم: آشنایی با اثبات در هندسه...7 درس سوم: همنهشتی مثلثها درس چهارم: حل مسئله در هندسه...49 درس پنجم: شکلهای متشابه...5

5 ف صل 4 توان و ریشه درس او ل: توان صحیح درس دوم: نماد علمی درس سوم: ریشهگیری...68 درس چهارم: جمع و تفریق رادیکالها...7 ف صل 5 عبارت های جبری درس او ل: عبارت های جبری و مفهوم اتحاد درس دوم: چند اتحاد دیگر تجزیه و کاربردها درس سوم: نابرابری ها و نامعادله ها ف صل 6 خط و معادله های خطی درس او ل: معادله خط درس دوم: شیب خط و عرض از مبدأ درس سوم: دستگاه معادله های خطی

6 ف صل 7 عبارت های گویا...11 درس او ل: معرفی و ساده کردن عبارتهای گویا درس دوم: محاسبات عبارتهای گویا درس سوم: تقسیم چندجملهایها ف صل 8 حجم و مساحت درس او ل: حجم و مساحت کره...11 درس دوم: حجم هرم و مخروط...15 درس سوم: سطح و حجم

7 سخنی با معل م کتاب ریاضی پایه نهم بر مبنای برنامه درسی ملی و در ادامه تغییرکتاب های درسی پایه های هفتم و هشتم دوره او ل متوسطه تألیف شده است. زمانی تأکید کتاب های درسی ریاضی بیشتر بر توانایی انجام محاسبات بوده است. در رویکرد جدید ضمن حفظ این هدف تأکید اصلی بر پرورش قوه تفکر و تعقل و رشد توانایی حل مسئله است. اگرچه رسیدن به چنین هدفی با موانع مشکالت و دشواری های فراوانی روبه روست و تحقق کامل آن به سرعت امکان پذیر نیست ولی مد نظر قرار دادن چنین هدفی می تواند جهت اصلی حرکت جامعه آموزش ریاضی را تعیین کند. اصلی ترین و مؤثرترین نقش در این جهت به عهده معل م است. قدرت انعطاف و هماهنگی و همراهی معل مان با برنامه های جدید ستودنی است. مؤلفان کتاب حاضر سعی کرده اند که برای ادای وظیفه نسبت به آموزش معل مان ضمن اطالع رسانی به موقع درباره تألیف کتاب راهنمای معل م و نیز فیلم های آموزشی را به موقع در اختیار همکاران عزیز قرار دهند. ساختار کتاب از سه بخش فعالیت کار درکالس و تمرین تشکیل شده است. آنچه در انجام یک فعالیت به طور عمده مد نظر بوده است آشنایی دانش آموزان با مفهوم درسی و سهیم بودن در ساختن دانش مورد نظر است. فعالیت ها شامل مراحلی مانند درک کردن کشف کردن حل مسئله استدالل کردن بررسی کردن حدس و آزمایش توضیح یک راه حل مرتب کردن قضاوت درباره یک راه حل و مقایسه راه حل های مختلف است. هدایت فعالیت ها توسط معل م انجام می پذیرد و هرجا که الزم باشد راهنمایی توسط معل م ارائه خواهد شد. در بسیاری موارد انجام فعالیت ساده و آسان نیست و صدالبته اجرای مناسب دارای ارزش زیادی خواهد بود. این فعالیت ها در حد متوسط طراحی شده اند. معل م می تواند با توجه به زمان و توانایی دانش آموزانش آنها را غنی تر کند یا با ارائه توضیحاتی بیشتر و تغییراتی فعالیت را ساده تر نماید. هنگام انجام فعالیت هدایت گفت وگوی کالسی یا گفتمان ریاضی که در آن دانش آموزان به ارائه دیدگاه ها و دفاع از ایده های خود و نیز قضاوت و ارزیابی افکار و روش های ریاضی دیگر دانش آموزان می پردازند به عهده معل م است. به طور خالصه فراهم کردن فرصت های یادگیری و دادن مجال به دانش آموز برای اینکه خود به کشف مفهوم بپردازد می تواند یکی از دغدغه های همکاران عزیزمان باشد. کار در کالس با هدف تثبیت و تعمیق و در مواردی تعمیم یادگیری طراحی شده است و انتظار این است که دانش آموزان بیشترین سهم را در حل آن داشته باشند. حل تمرین به عهده

8 دانش آموزان است ام ا ارائه و بررسی پاسخ های دانش آموزان در کالس ضروری است. درباره ضرورت آموزش راهبردهای حل مسئله در بین پژوهشگران وآموزشگران تقریبا اتفاق نظر وجود دارد. با این حال درباره چگونگی این کار نظرات متفاوتی هست. در این کتاب آموزش راهبردها از متن درس جدا نشده است. ضمنا اصراری بر ذکر عناوین راهبردها جز موارد مشخص و آشنا نبوده است. بنابراین سعی شده است که از عبارات و واژه های نامأنوس اجتناب شود. با آنکه بخش جداگانه ای با عنوان حل مسئله در کتاب وجود ندارد ولی در اکثر فعالیت ها دانش آموزان به نوعی درگیر فرآیند حل مسئله می شوند. عالوه بر این اساسا آموزش راهبردها معموال به زمانی طوالنی نیاز دارد زیرا هر راهبرد خود ممکن است شامل ده ها راهبرد جزئی تر باشد. ارائه راه حل ها و روش های مختلف برای یک مسئله نیز به صورت هدفمند دنبال شده است. پژوهش ها نشان می دهند که دانش آموزان هنگام روبه رو شدن با یک مسئله به ویژه وقتی که الگوریتمی مشخص برای حل آن فرانگرفته باشند به روش های متفاوتی عمل می کنند. پس از آماده شدن نسخه اولیه کتاب مؤلفان جلسات فشرده ای را برای نقد و اصالح کتاب برگزار کردند و برخی تغییرات و اصالحات را در کتاب اعمال نمودند. عالوه بر این نظرات اعتباربخشی و نیز نظرات دبیران سراسر کشور نیز مد نظر قرار گرفت. الزم است مراتب تقدیر و تشکر خود را از تمام همکارانی که نسخه اولیه کتاب را مطالعه کرده اند و نظرات و بررسی ها و پیشنهادهای خود را به واحد تحقیق توسعه و آموزش ریاضی ارسال کرده اند اعالم کنیم. ده ها نقد رسیده از سراسر کشور نویدبخش حضور و مشارکت مؤ ثرتر دبیران ریاضی در تألیف کتاب های درسی است. الزم به ذکر است مشاورانی علمی از مراکز آموزشی و پژوهشی و دانشگاه ها نیز بخش هایی محدود از کتاب را مطالعه و مورد نقد قرار دادند که جا دارد از آنها قدردانی شود. واحد تحقیق توسعه و آموزش ریاضی آمادگی دریافت نظرات و دیدگاه های تمامی همکاران و عزیزان را از طریق سایت واحد 1 دارد. به عالوه بسیاری از مطالب مربوط به پشتیبانی کتاب از طریق سایت واحد قابل دریافت است. اطمینان داریم که با اتکال به خدای متعال تنها با تالش اراده و همت معل مان عزیز می توان به برآورده شدن اهداف کتاب امیدوار بود. ١

9 مجموعه ها ف ص ل 1 و ه و ال ذی ج ع ل ل ک م الن جوم ل ت هت دوا ب ه ا فی ظ ل امت الب ر و الب حر او )خداوند( کسی است که ستارگان را برای شما قرار داد تا در تاریکیهای خشکی و دریا به وسیلۀ آنها راه یابید... )سوره انعام آیه ٩٧( منظومۀ شمسی مجموعه ای است شامل ستارۀ خورشید و سی اره هایی که روی مدارهای خاص ی در حال چرخش هستند نظیر ستارۀ خورشید. ستاره هایی با بزرگی چندهزار برابر خورشید رصد شده است. طوری که اگر به اندازۀ خورشید به زمنی نزدیک بودند متام آسمان ما را می پوشاندند. 1

10 درس او ل: معرفی مجموعه فعالیت 60 1 در شکل روبهرو شمارندههای طبیعی عدد ٦٠ را نوشتهایم و بین 15 4 آنها شمارندههای او ل را مشخص کردهایم. شما هم شمارندههای ٦٠ را که او ل نیست در یک منحنی بسته قرار دهید اگر شمارندههای طبیعی و او ل عدد ٦٠ یعنی ٣ ٢ و ٥ را در داخل دو آکالد قرار دهیم و آن را با حرفی چون A یا B یا نامگذاری کنیم و بنویسیم {,,5} = A در اینصورت یک مجموعه تشکیل دادهایم و به هریک از عددهای ٣ ٢ و ٥ یک عضو مجموعه A میگوییم در اینصورت مجموعه A دارای ٣ عضو است. شما شمارندههای مرکب عدد ٦٠ را بهصورت یک مجموعه بنویسید و آن را B بنامید. مجموعه شامل شمارنده های عدد ٦٠ که نه او ل باشد و نه مرکب چند عضو دارد این مجموعه را نیز C بنامید و آن را نمایش دهید. مجموعه D شامل همه شمارنده های دورقمی ٦٠ را تشکیل دهید این مجموعه چند عضو دارد از رضا و احمد خواسته شد تا مجموعه شامل شمارنده زوج عدد 60 را تشکیل دهند. احمد نوشت: }4,6,10{ و رضا نوشت: }6,10,1{ به نظر شما چرا جواب های آنها با هم فرق دارد نتیجه: عبارت هایی شبیه این عبارت که مشخص کننده یک مجموعه معین و یکتا نباشد مجموعه ای را مشخص نمی کند. در نمایش مجموعه ها ترتیب نوشتن عضوهای مجموعه مهم نیست و با جابه جایی عضوهای یک مجموعه مجموعه جدیدی ساخته نمی شود همچنین با تکرار عضوهای یک مجموعه مجموعه جدیدی ساخته نمی شود بنابراین به جای },,4{ می نویسیم },4{. معرفی مجموعه ما در زندگی روزمره در صحبتها و نوشتههایمان از واژههایی مانند دسته گروه و مجموعه استفاده میکنیم برای مثال وقتی میگوییم»گروهی از ورزشکاران وارد ورزشگاه شدند«نام ورزشکاران را مشخص نکردهایم درحالی که ما از مجموعه در ریاضی برای بیان و نمایش دستهای از اشیای مشخص )عضویت این اشیا در مجموعه کامال معین باشد( و متمایز )غیرتکراری( استفاده میکنیم.

11 فعالیت ١ کدام یک از عبارت های زیر مشخص کننده یک مجموعه است مجموعه موردنظر را نمایش دهید. الف( عددهای طبیعی و یک رقمی ب( چهار شاعر ایرانی ج( دو عدد او ل کوچک تر از 1 ٢ با توجه به شرط متمایز بودن عضوهای یک مجموعه جاهای خالی را پرکنید: الف( به جای {١,,1,4,5} = A باید بنویسیم },, {, = A ب( به دلیل تکراری بودن عدد در {5,7,٥,٦} = B آن را به صورت می نویسیم. اگر مجموعه A را به صورت {a,b,5,7} A = درنظر بگیریم برای نشان دادن اینکه a عضوی از مجموعه A است می نویسیم a A و می خوانیم»a عضو A است«و چون عدد ٤ عضو A نیست می نویسیم A 4 و می خوانیم»٤ عضو A نیست«. A 1 4 نمایش مجموعه ها با استفاده از نمودار و ن: مجموعه را می توان با استفاده از منحنی ها یا خط های شکسته بسته نمایش داد به عنوان مثال مجموع ه {4,٣,,١} = A را به صورت روبه رو نمایش می دهیم که نمایش با استفاده از نمودار و ن است. فعالیت a b c A s k f B m n 1 با توجه به نمودار و ن که برای دو مجموعه A و B رسم شده است مجموعه های A و B را با عضوهایشان مشخص کنید. دو مجموعه {٥,٦,4,٣,,١} = A و {٥,٦,٧,٨} = B را درنظر بگیرید: دو مجموعه را با یک نمودار و ن نمایش دهید. کدام عددها هم در منحنی بسته مربوط به A و هم در منحنی بسته B وجود دارد ٣ مجموعه عددهای دو رقمی و زوج او ل را بنویسید و آن را E بنامید. این مجموعه چند عضو دارد

12 4»اگر در مجموعه ای عضوی وجود نداشته باشد آن را مجموعه ت هی می نامیم و با نماد یا }{ نمایش می دهیم.«توجه شود که این مجموعه با مجموعه } { یا }0{ که هر کدام دارای یک عضو هستند یکی نیست. ٤ کدام یک از عبارتهای زیر مجموعه تهی را مشخص میکند ب( عددهای صحیح بین ١- و ١ الف( عددهای طبیعی بین ٥ و ٦ د( عددهای طبیعی یک رقمی و مضرب ٣ که او ل باشد. ج( عددهای او ل و زوج کار در کالس ١ سه عبارت بنویسید که هرکدام نشان دهنده مجموعه تهی باشد سپس عبارت های خود را با نوشته های هم کالسی های خود مقایسه کنید. ٢ سه عبارت بنویسید که هرکدام مشخص کننده مجموعه ای فقط با یک عضو باشد. )چنین مجموعه هایی را مجموعه های یک عضوی می نامند.( ٣ عبارت هایی که مجموعه ای را مشخص می کند با عالمت و بقیه را با عالمت مشخص کنید )با ذکر دلیل(. الف( چهار عدد فرد متوالی ب( سه عدد طبیعی زوج متوالی با شروع از ٢ ج( عددهای او ل کوچک تر از ٢٠ د( سه شهر ایران ه( شمارنده های عدد 4 و( ٥ عدد بزرگ ز( عددهای طبیعی بین ٢ و ٣ 4 مانند نمونه کامل کنید: { ی, پ ب الف{ = A 1( مجموعه حروف الفبای فارسی B = {4,8,1, } {,4,5,6,7,8,9} ( مجموعه حروف a و b و عدد ٣: C ( مجموعه عددهای صحیح بین ٢- و ٣- {5} = D 4( مجموعه عددهای طبیعی و مضرب ٤ } }= E 5( مجموعه عددهای او ل و یک رقمی {,4,6,8} =F 6( مجموعه عددهای او ل و مضرب ٥ مجموعه عددهای طبیعی بین ٢ و ١٠:G {,a,b}(7 H={,,5,7} {6,4,,8}(8 4

13 5 کدام یک از عبارت های زیر مشخص کننده یک مجموعه است با نمودار و ن نشان دهید: الف( عددهای صحیح مثبت و کمتر از ١٠ ب( شمارنده های او ل عدد ١٩ ج( عددهایی که شش وجه یک تاس معمولی مشخص می کند. د( جواب های معادله 1=8+x ه( چهار میوه خوشمزه و( عددهای منفی و بزرگ تر از یک تمرین ١ متناظر با هر عبارت یک مجموعه و متناظر با هر مجموعه یک عبارت بنویسید و تعداد عضوهای هر مجموعه را تعیین کنید: الف( {1,8,7,64,15} = A ب( {10} = C ج( عددهای طبیعی مضرب ٣ و کوچک تر از ١٠٠٠ د( عددهای طبیعی بزرگ تر از ٤ و کوچک تر از ٥ ه( عددهای صحیح منفی که بین ٤ و ٧ قرار دارد. و( عددهای او ل دورقمی که مضرب ٧ باشد. ٢ جاهای خالی را طوری کامل کنید تا عبارت حاصل درست باشد. الف( عبارت»5 عدد طبیعی که بین 1 و 0 قرار داشته باشد«یک مجموعه را مشخص. ب( مجموعه {9,...,,,4} دارای عضو است. ج( مجموعه {,0} = A دارای عضو است. د( با توجه به مجموعه {,5,7,9,11} = A داریم: ٥ عضو A است یا با نماد ریاضی و ١٢ عضو A نیست یا با نماد ریاضی. سه مجموعه متفاوت بنویسید که عدد عضو آن باشد. 5

14 درس دوم: مجموعه های برابر و منایش مجموعه ها دو مجموعۀ برابر فعالیت ١ جدول عددهای صحیح روبه رو را طوری کامل کنید که مجموع عددهای روی هر سطر هر ستون و هر قطر آن برابر ١٢ شود سپس مجموعه عددهای سطر دوم جدول را بنویسید و آن را A بنامید. اکنون مجموعه B را چنان بنویسید که شامل سه عدد زوج متوالی و میانگین عضوهای آن با ٤ برابر باشد. هریک از مجموعه های A و B چند عضو دارد آیا هر عضو A در مجموعه B است آیا هر عضو B در مجموعه A است همان طور که مالحظه کردید عضوهای دو مجموعه A و B یکسان است و هر عضو A عضوی از B و هر عضو B عضوی از A است در این صورت دو مجموع ه. A = B برابر است و می نویسیم B و A ٢ مجموعه A شامل سه عدد طبیعی متوالی است به طوری که حاصل جمع آنها برابر ٢٧ است.ابتدا A را با عضوهای آن بنویسید سپس مجموعه هایی را مشخص کنید که در زیر معرفی شده و با A برابر است : الف( مجموعه عددهای طبیعی بین ٦ و ١٠ ب( مجموعه عددهای طبیعی بزرگ تر از ٧ و کوچک تر از ١١ ج( مجموعه سه عدد طبیعی متوالی که میانگین آنها با ٩ برابر است. همان طور که دیدید مجموعه {8,9,10} با مجموعه {7,8,9} برابر نیست زیرا همه عضوهایشان یکسان نیست. اگر عضوی در A باشد که در B نباشد یا عضوی در B باشد که عضو A نباشد در این صورت مجموعه A با B برابر نیست و می نویسیم A. B کار در کالس ١ جاهای خالی را در مجموعه های زیر طوری پرکنید که مجموعه ها برابر باشد: ,,, 4, =,,,, ( ) الف( 6

15 ب( ,,,,, 0/ 65 =,, 0/ 5,,, ٢ دو مجموعه به نامهایA وB مانند سؤال باال طرح کنید. پاسخ خود را با دوستانتان مقایسه کنید. زیرمجموعه فعالیت D مجموعه عددهای جدول فعالیت قبل را D بنامید سپس عضوهای مجموعه D را در نمودار و ن روبه رو بنویسید: در نمودار باال عضوهایی را که بر ٣ بخش پذیر است با یک منحنی بسته مشخص کنید و B بنامید. مجموعه B را بنویسید. آیا هر عضو B عضوی از D نیز هست در مجموعه D عددهای زوج را مشخص کنید و آن را C بنامید آیا D = C همان طور که دیدید عضوهای مجموعه B همگی در D هست یعنی هر عضو B عضوی از. B D است و می نویسیم D زیرمجموعه B است در این صورت مجموعه D آیا مجموعه C زیرمجموعه D است با توجه به تعریف زیر مجموعه واضح است که هر مجموعه زیر مجموعه خودش هست یعنی اگر A مجموعه ای دلخواه باشد داریم:.A A اکنون زیرمجموعه ای از D را مشخص کنید که عضوهای آن عددهای فرد باشد نام دیگر این مجموعه چیست آیا عبارت D {6,-,10,4} درست است چرا اگر بتوانیم عضوی در B بیابیم که در A نباشد می گوییم B زیرمجموعه A نیست و می نویسیم B. A آیا در مجموعه ت هی عضوی هست که در مجموعه دلخواهی مانند A نباشد مجموعه تهی زیرمجموعه هر مجموعه ای دلخواه مانند A است یعنی A. 7

16 مثال: دلیل درستی رابطه های زیر مشخص شده است. الف( {a,b,c,e} { a,b,d } زیرا در مجموعه سمت چپ d هست که در مجموعه سمت راست نیست. ب( {1,-,4,,0,1} { 1,0,1, -} زیرا هر عضو مجموعه سمت چپ عضوی از مجموع ه سمت راست است. ج( با توجه به شکل مقابل A B درست است زیرا همه عضوهای A در B قرار دارد و B A درست است زیرا عضوی در B مانند ٢ می توان یافت که در A وجود ندارد. B A 1 a b کار در کالس B C A ١ با توجه به نمودار مقابل دلیل درستی یا نادرستی عبارت های زیر را مشخص کنید:, C A, B A, A C A B, B C, A ٢ مجموعه های B A و C را درنظر بگیرید سپس درستی یا نادرستی عبارت های زیر را مشخص کنید )با ذکر دلیل(: A = {1,,6,4}, B = {5,1,}, C = {, 5,1,,6} B A, B, A B, B C, A C, A {1,4} A, 6 A, {5,6} C, 5 C, 0 A مثال: همه زیرمجموعه های {a,b,c} A = در زیر نوشته شده است:, {a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c} مانند مثال قبل تمام زیرمجموعه های هریک از مجموعه های زیر را بنویسید: الف( مجموعه عددهای طبیعی بین ٩ و ١٢. ب( {a,b,c,d} نمایش مجموعه های اعداد در سال های گذشته با عددهای طبیعی آشنا شده اید از این عددها برای شمارش استفاده می کنیم. 8

17 مجموعه عددهای طبیعی را با نمایش می دهیم و آن را به صورت زیر می نویسیم: = { 1,,, 4, 5,... } تاکنون مجموعهها را با عضوها و نمودار و ن مشخص کردیم. یک روش دیگر برای نمایش مجموعهها استفاده از نمادهای ریاضی است برای مثال: مجموعه عددهای طبیعی زوج {..., 8,,4,6} = E را درنظر بگیرید. میدانیم عضوهای این مجموعه خاصیت مشترکی دارد یعنی همگی آنها مضرب ٢ است و از قبل میدانیم که هر عدد زوج طبیعی بهصورت k قابل نمایش است که E= { kk } در آن k پس مینویسیم: و میخوانیم E برابر است با مجموعه عددهایی به شکل k بهطوری که k متعلق به مجموعه عددهای طبیعی است. در مجموعه E عالمت خوانده میشود»بهطوری که«. در زیر چند مجموعه را با نمادهای ریاضی نوشتهایم: الف( مجموعه عددهای طبیعی فرد: =O k 1k { } { 6 11} یا A= { x 7 x 10} A= x < x < ب(,9,10} {7, 8 = A ج( زیرمجموعهای از که عضوهای آن همگی بر ٣ بخشپذیر است: } kk { مثال: مجموعه n } =A { +5n را با عضوهایش مشخص کنید: برای این منظور جدول زیر را کامل کنید و در هر مرحله به جای n یک عدد طبیعی در + ٥n قرار دهید. n n + 51 ()+ 8 5 ()+ 1 5 ( ) ()+... W W W 9 بنابراین داریم:,...} 8 {8, 1, 18,, 8,, = A مجموعه عددهای حسابی را با W نمایش می دهند: {...,0,1,,} = W مجموعه عددهای حسابی را می توان با نمادهای ریاضی به صورت z k } W = { k 1 نوشت. هر عدد طبیعی یک عدد حسابی است یعنی W مجموعه عددهای صحیح را با نمایش می دهیم: = {...,,, 101,,,,,... } همه عددهایطبیعیوحسابی عضو همهست پس: W

18 کار در کالس 10 مجموعه های زیر را با عضوها مشخص کنید: الف( مجموعه عددهای صحیح فرد ب( {5 { 5 A= x x, x< { } ج( B= k+ k مجموعه عددهای گویا را با Q نمایش میدهیم. چون او لین عدد گویای بزرگتر از هر عدد گویا مشخص نیست نمیتوان این مجموعه را با عضوها مشخص کرد به همین دلیل مجموعه عددهای a Q= a,b,b b گویا را با نمادهای ریاضی تعریف میکنیم: 0 a توجه کنید که هر عدد صحیح عددی گویا است یعنی برای هر عدد صحیح a داریم: = a 1 درنتیجه. Q تمرین ١ مجموعه {1,0,1,-,-} = A را درنظر بگیرید. کدامیک از مجموعههای زیر با هم برابر است B = {x x A, x }, C = {x x A, -1 x 1}, D = {x x A, x 4 = 1} سه مجموعه مانند B A و C بنویسید بهطوری که A B و B. C آیا میتوان نتیجه گرفت A C ٣ تمام زیرمجموعههای هریک از مجموعههای زیر را بنویسید: B = {x x = 0,,} ب( A = { x x, x الف( } = 1 + ٤ نمودار روبهرو وضعیت مجموعههای W Q و W را نسبت به هم نشان میدهد آنها را نامگذاری و با عالمت باهم مقایسه کنید. ٥ درستی یا نادرستی عبارتهای زیر را با ذکر دلیل مشخص کنید: الف( هر عدد گویا عددی حسابی است. ب( هر عدد حسابی عددی گویا است. ج( هر عدد صحیح عددی گویا است. د( بعضی از عددهای گویا عدد صحیح است.

19 درس سوم: اجتماع اشتراک و تفاضل مجموعه ها فعالیت ١ درکالس درس علی و رضا عضو هر دو تیم والیبال و فوتبال هستند. سامان احسان فرشید و حسین فقط در تیم والیبال و محم د حسن کیوان و سبحان فقط در تیم فوتبال بازی میکنند. الف( اگر مجموعه دانشآموزان عضو تیم والیبال را با V و فوتبال را با F نشان دهیم این مجموعهها را با نمودار و ن نمایش و سپس با عضوهایشان بنویسید. ب( مجموعه دانشآموزانی را که در هر دو تیم عضویت دارند بنویسید. ج( مجموعه دانشآموزانی را که حداقل در یکی از این دو تیم عضویت دارند بنویسید. ٢ دو مجموعه x 6} A= { x و x } B= { x را درنظر بگیرید و مجموعههای زیر را با عضوهایشان تشکیل دهید: } { = B )ب } { = A )الف } { = مجموعه عددهایی که در هر دو مجموعه A و B هست )ج )این مجموعه را اشتراک A و B مینامیم و با نماد A B نشان می دهیم(. } { = مجموعه عددهایی که حداقل در یکی از دو مجموعه A و B هست )د )این مجموعه را اجتماع A و B مینامیم و با نماد A B نشان میدهیم(. اشتراک دو مجموعه: اشتراک دو مجموعه A و B مجموعهای شامل A B همه عضوهایی است که هم عضو مجموعه A و هم عضو مجموعه B است. این مجموعه را با نماد A B نشان میدهیم. در نمودار روبهرو قسمت هاشور خورده اشتراک دو مجموعه را نشان میدهد. A B= { x x A,x B} اجتماع دو مجموعه: اجتماع دو مجموعه A و B مجموعهای است شامل همه عضوهایی که حداقل در یکی از دو مجموعه A و B باشد. این مجموعه را با نماد A B نشان میدهیم. در نمودار قسمت هاشور خورده اجتماع دو مجموعه را نشان میدهد: A B= { x x A یا x B} 11 A A B A B B

20 A B 7 6 مثال: با توجه به نمودار زیر ابتدا مجموعه های A و B را با عضوهایشان می نویسیم و سپس A B و A B را تشکیل می دهیم: A = { 1,,,,, } و B = { 4567,,,, } = { 45}, A B = { ,,,,,,, } A B,, فعالیت B= A و b,e} A B = { را درنظر بگیرید. از دانشآموزان ١ دو مجموعه a,b,c,d,e} { یک کالس خواسته شده است که با توجه به این دو مجموعه مجموعههای A و B را با نمودار و ن نمایش دهند. پاسخ چهار دانشآموز این کالس را در زیر میبینید: A B الف( درباره درستی یا نادرستی پاسخ این دانشآموزان بحث کنید و برای درستی یا نادرستی آنها دلیل بیاورید. a d b e c پاسخ حمیده A B A B A B a c d b e a b e d c c b e a d 1 پاسخ حنانه پاسخ زهرا پاسخ ریحانه ب( آیا شما هم می توانید جواب درست دیگری به این سؤال بدهید پاسخ خود را با پاسخ هم کالسی های خود مقایسه کنید. ٢ با توجه به او لین فعالیت این درس و ورزشکاران دو تیم والیبال و فوتبال مجموعه ای تشکیل دهید که هر عضو آن عضو تیم والیبال باشد ولی عضو تیم فوتبال نباشد )فقط در تیم والیبال بازی کند(. این مجموعه را»V منهای F«می نامیم و با نماد V - F نمایش می دهیم: V F= { } F V= { }

21 تفاضل دو مجموعه: مجموعه )A A - B منهای B( مجموعهای است شامل همه عضوهایی که عضو مجموعه A هستند ولی عضو مجموعه B نیستند. در شکل زیر مجموعههای A - B و B - A هاشور خورده است: A B= { x x A,x B} A B A B B A مثال: اگر a,b,c,d,e,k} A = { و c,d,k,f,s,t} B= { در اینصورت: A B = { a,b,e} و B A = { f,s,t} C ١ با توجه به نمودار زیر کدام عبارت درست و کدام نادرست A 1 B است 4 5 A C )الف B C )ب B) C (A )ج (A B) C )د B) (A )ه B) (A 4 )و A B = A )ز B) (A 5 )ح B) (A 4 )ط ٢ مجموعه شمارندههای طبیعی عدد ١٢ را A و مجموعه شمارندههای طبیعی عدد ١٨ را B بنامید. ابتدا A و B را تشکیل و سپس به سؤاالت زیر پاسخ دهید: الف( مجموعهای تشکیل دهید که هر عضو آن شمارنده ١٨ باشد ولی شمارنده ١٢ نباشد. ب( مجموعهای تشکیل دهید که عضوهای آن هم شمارنده ١٢ و هم شمارنده ١٨ باشد. ٣ مجموعههای ( ) - ( ) - و ( )W - را تشکیل دهید. 1 کار در کالس قرارداد: تعداد عضوهای هر مجموعه مانند A را با n)a( نمایش می دهیم به عنوان مثال اگر A مجموعه ای k عضوی باشد می نویسیم.n(A) = k مثال اگر },,, 467 { = A در این صورت = 4.n(A)

22 تمرین,, 7,, 15 { = B و }, 1011 { 1, 7, 8, = C را درنظر ١ مجموعههای },,,, 4689 { = A و } 9 بگیرید سپس هریک از مجموعههای زیر را با عضوهایشان مشخص کنید: A B )الف B C )ب A C )ج A B )د A - B )ه زB C - )و C) (A - C) (B - ( ((A B) - C ح A A )ط A )ی B B )ک ( C ل ٢ با توجه به نمودار زیر عبارتهای درست را با و گزارههای نادرست را با مشخص کنید: A B ب( (A - B) (A B) = A الف( B-A={6,7} ج( },, 16 { = A) (A B) (B د( = 8 B) n (A و( A) n (A - B) = n (B - ه( A - B = B - A ٣ کلمات و مجموعههای داده شده زیر را در جاهای خالی قرار دهید: )٣ اجتماع A ) )١ B )٥ B( )A )٤ زیرمجموعه الف( اشتراک دو مجموعه زیر مجموعه همان دو مجموعه است. ب( هریک از دو مجموعه A و B زیرمجموعه است. ج( اشتراک دو مجموعه A و B هر یک از دو مجموعه A و B است. د( مجموعه A - B زیرمجموعه مجموعه است. ه( اجتماع دو مجموعه )A B( - و )A B( با مجموعه مساوی است. ٤ در هریک از شکلهای زیر مجموعه موردنظر را هاشور بزنید. A B A B A C A B B A (A C) C 14

23 درس چهارم: مجموعه ها و احتمال در سال گذشته برای محاسبه احتمال هر پیشامد از دستور زیر استفاده کردیم: تعداد حالتهای مطلوب = احتمال رخ دادن یک پیشامد تعداد همه حالتهای ممکن اکنون با توجه به آشنایی و شناخت شما نسبت به مجموعهها و نمادگذاریها تا حدودی راحتتر میتوان این فرمول را نوشت و بهکار برد. اگر مجموعه شامل همه حالتهای ممکن را S مجموعه شامل همه حالتهای مطلوب را A و احتمال n(a) رخ دادن پیشامد A را با نماد P(A) نشان دهیم دستور باال بهصورت = P(A) نوشته میشود. 15 n(s) یادآوری مثال: اگر تاسی را بیندازیم احتمال هر یک از پیشامدهای زیر را بهدست آورید: الف( عدد رو شده مضرب ٣ باشد. ب( عدد رو شده او ل باشد. ج( عدد رو شده از ٦ بزرگتر باشد. د( عدد رو شده از ٧ کمتر باشد. حل: الف( پیشامد مطلوب یعنی رو شدن مضرب ٣ را A مینامیم در این صورت داریم: A = { 6, }, S = { 1456,,,,, }; n(a) =, n(s) = 6 n(a) 1 P(A) = = = n(s) 6 ب ) = n(b) ;B = { 5,, }; پیشامد رو شدن عدد او ل: B n(b) 1 P(B) = = = n(s) 6 C پیشامد رو شدن عدد بزرگتر از : ٦ ; C = n( ) = 0 ج ) 0 P(C) = P( ) = = 0 6 D پیشامد رو شدن عدد کمتر از : ٧ ;D = { 1456,,,,, } = S د ) n(s) P(D) = P(S) = n(s) = 6 = 1 6

24 فعالیت ١ با توجه به چرخنده مقابل همه حالتهای ممکن را که عقربه میتواند 1 بایستد و عددی را نمایش دهد مجموعه S بنامید. S را با عضوهایش نمایش دهید و به سؤالهای زیر پاسخ دهید: الف( مانند نمونه برای هر مجموعه با بیان یک جمله یک پیشامد تعریف کنید: )عقربه روی ناحیه ١ یا ٣ بایستد( یا )عقربه روی عدد فرد بایستد( }, 1 { = A }, 1 { = B } { = D }, { = C پاسخ خود را با پاسخ همکالسیهایتان مقایسه کنید. ب( هریک از زیرمجموعههای S را پیشامد تصادفی مینامیم. احتمال رخداد هریک از این پیشامدها را بهدست آورید. چه تعداد از این پیشامدها همشانس است پاسخهای خود را با پاسخ همکالسیهایتان مقایسه کنید. ج( همه زیرمجموعههای S را تشکیل دهید. کار در کالس ١٠ کارت یکسان با شماره های ١ تا ١٠ را داخل جعبه ای قرار می دهیم و تصادفی یک کارت بیرون می آوریم , S = { 1,, است. پیشامد A را به این صورت الف( مجموعه همه حالتهای ممکن {10 تعریف میکنیم که»عدد روی کارت خارج شده از ٥ کمتر باشد«. مجموعه A را تشکیل دهید و احتمال رخداد پیشامد آن را بهدست آورید. ب( مجموعه یا پیشامدی تعریف کنید که احتمال رخ دادن آن پیشامد 4 10 باشد. ج( اگر B پیشامد خارج شدن عدد او ل و C پیشامد خارج شدن عدد زوج باشد مجموعههای B و C را تشکیل دهید و احتمال رخداد هریک را محاسبه کنید. آیا پیشامدهای B و C همشانس است چرا 16

25 تمرین ١ اگر تاسی را بیندازیم چقدر احتمال دارد: ب( عدد رو شده زوج و از ٢ بزرگتر باشد. الف( عدد رو شده زوج باشد. د( عدد رو شده از ٣ کمتر باشد. ج( عدد رو شده زوج و او ل باشد. ٢ اگر خانوادهای دارای سه فرزند باشد او ال مجموعه همه حالتهای ممکن را تشکیل دهید )هر عضو این مجموعه را بهطور مثال بهصورت )د,د,پ( نمایش دهید(. ثانیا چقدر احتمال دارد این خانواده دارای دو دختر )یعنی دقیقا دو دختر( باشد ٣ در جعبهای ٣ مهره قرمز و ٤ مهره آبی و ٥ مهره سبز وجود دارد. اگر ١ مهره را تصادفی از این جعبه خارج کنیم چقدر احتمال دارد: ب( این مهره سبز نباشد. الف( این مهره آبی باشد. ج( این مهره قرمز یا سبز باشد. ٤ اگر تاسی را دو بار بیندازیم )یا دو تاس آبی و قرمز را با هم بیندازیم( چقدر احتمال دارد: )اگر مجموعه همه حالتهای ممکن را S بنامیم = 6 )n(s) ب( دو عدد رو شده مثل هم باشد. الف( هر دو بار عدد او ل رو شود. د( مجموع دو عدد ٧ باشد. ج( دو عدد رو شده مضرب ٣ باشد. خواندنی در بسیاری از کتاب های ریاضی از مجموعه به عنوان گروهی )یا دسته ای( از اشیا نام برده شده است. غافل از آنکه اگر بگوییم مجموعه گروهی از اشیا است باید بگوییم گروه چیست! آیا می توانیم گروه را تعریف کنیم درواقع چاره ای نیست جز آنکه مانند سیمورلیپ شوتز )ریاضی دان معاصر( بگوییم: در همه شاخه های ریاضی مجموعه یک مفهوم بنیادی است. به عبارت دیگر مجموعه جزء نخستین تعریف نشده ها است مانند مفاهیمی چون نقطه و خط در هندسه که برای آنها تعریف دقیقی نداریم ولی آنها را با اثر خود می شناسیم. 17

26 عددهای حقیقی ف ص ل » و ا ح اط ب ا ل د ی ه م و ا ح صی ک ل ش ی ء ع د د ا و او )خداوند( به آنچه نزد آنهاست احاطه دارد و همه چیز را به عدد شمارش کرده است.«)سوره جن آیه 8( غیاث الدین جمشید کاشانی زبردست ترین حسابدان برجسته ترین ریاضی دان دورۀ اسالمی و از بزرگ ترین مفاخر تاریخ ایران به شمار می رود. کاشانی به روشی کامال خالقانه و از طریق محاسبه و مقایسه محیط چند ضلعی های محاطی و محیطی توانست عدد π که عددی حقیقی و گنگ است را تا ١٦ رقم بعد از اعشار محاسبه کند که تا حدود ١٥٠ سال پس از وی کسی در جهان نتوانست با دقت بهتری آن را محاسبه کند. او در ابتدای رسالۀ محیطیه خود به زبان ریاضی به نام خدا را چنین بیان می کند: «به نام او که از اندازۀ نسبت محیط دایره به قطرش آگاه است.«18

27 درس او ل: عددهای گویا فعالیت 1 در فصل گذشته با نمایش های مختلف مجموعه های اعداد آشنا شدید. عبارت های زیر را مانند نمونه کامل کنید: ردیف عبارت کالمی زبان نمادین محور }x N x { }, 4, 5, { }x w x { عددهای طبیعی بیشتر یا مساوی عددهای حسابی { } عددهای صحیح بین - { Z }x } { و ٢ } { } { عددهای صحیح بزرگ تر از 1- نامساوی x برای کدام یک از عددهای زیر درست است 1,,, 4, 5 میخواهیم بین 1 و 1 چند کسر بنویسیم. روشهای مختلفی را که چهار دانشآموز نوشتهاند بررسی و کامل کنید راه حل هر کدام را توضیح دهید. * * 1 <? < 1 6 <? < < 5 1 < < 7 18, 8 18 < 9 18 روش مریم روش بهار 1 = =

28 1 < 1 < روش مهناز روش عطیه < + < < 5 1 < الف( با یکی از روشها توضیح دهید که چرا بین دو کسر میتوان بیشمار کسر پیدا کرد. ب( آیا مجموعه عددهای گویا را میتوان با نوشتن عضوها نشان داد چرا ج( آیا میتوان مجموعه عددهای گویا را با محور اعداد نمایش داد د( عددهای گویا را به زبان نمادین معرفی کنید. کار در کالس a b 1 بین بین 5 و 4 سه کسر پیدا کنید روش خود را توضیح دهید. - 1 و 1- دو کسر پیدا کنید روش خود را توضیح دهید. فعالیت 1 میخواهیم کسرهای و 5 و 7 و 5 را به ترتیب از کوچک به بزرگ بنویسیم روشهای مختلفی را که دانشآموزان بهکار بردهاند با هم مقایسه کنید هر کدام را توضیح دهید و در صورت لزوم کامل کنید. 0

29 روش شاهد: شاهد به صورت تقریبی کسرهای 5 و 5 6 را روی محور مشخص کرده است. آیا به نظر شما استفاده از این روش برای نمایش دو کسر دیگر مناسب است روش مرتضی: مرتضی مخرج مشترک کسرها را پیدا کرد و با هم مخرج کردن کسرها آنها را مقایسه می کند. توضیح دهید که عدد 60 چگونه به دست می آید. کار مرتضی را کامل کنید: 5 = = 5 6 = 5 = روش مجید: مجید به کمک ماشین حساب نمایش اعشاری هر کسر را تا دو رقم اعشار نوشت. شما کار او را کامل و کسرها را مقایسه کنید: 5 0 / در مورد روش های مختلف و ویژگی های هر کدام در کالس گفت وگو کنید. با کمک ماشین حساب نمایش اعشاری کسرهای زیر را تا دو رقم اعشار بنویسید: = الف( ماشین حساب شما تا چند رقم را روی صفحه نمایش نشان می دهد ب( بین مقدارهای اعشاری این کسرها چه تفاوتی هست =. در نمایش اعشاری کسر 1 رقم بهطور متناوب تکرار میشود و انتها ندارد ولی نمایش اعشاری کسر 1 متناهی یا مختوم است چون تمام رقمهای اعشار آن مشخص 5 است و به انتها میرسد. از نماد زیر برای نمایش عددهای اعشاری متناوب استفاده میکنیم: 1 1 = 0 / = 0 / 7 = 1 / 1666 = 1 / 16 6

30 5 = 11 7 = 7 = 9 = 0 کار در کالس نمایش اعشاری هر یک از کسرهای زیر را بنویسید: 5 = اگر به نمایش اعشاری کسرهای باال دقت کنید خواهید دید که فقط کسرهایی نمایش اعشاری مختوم دارد که )پس از ساده شدن( مخرج آنها شمارنده او لی به جز و 5 ندارد. = تمرین ١ پس از محاسبه هر قسمت کسر مرکب را تا حدامکان ساده کنید: ( + ) ( 1 ) = ٢ حاصل عبارت های زیر را به دست آورید ( ) عددهای زیر را از کوچک به بزرگ مرتب کنید: 5 6,, 4,, 8 7 )الف 5 6,, /75 4,, 7 16 )ب 4 5, , 1 )الف بین هر دو کسر سه کسر بنویسید. 1, 0 )ب

31 درس دوم: عددهای حقیقی فعالیت پنج عدد بین 1 و معرفی کنید و آنها را روی محور نمایش دهید. مساوی 1/4 است آن را روی محور نشان دهید. با توجه به اینکه مقدار تقریبی را بنویسند. با معل م از دانشآموزان خواست با ماشین حساب مقدار تقریبی عدد توجه به اینکه دانش آموزان از ماشین حساب های مختلف استفاده می کردند تعداد رقم هایی که نوشته بودند متفاوت بود. سه نمونه از صفحه نمایش ماشین حساب ها را در زیر می بینید. با توجه به آنها به سؤال های زیر پاسخ دهید:... چرا در ماشین حساب 8 رقمی رقم آخر با رقم مشابه در ماشین حساب 1 رقمی تفاوت دارد. چرا این تفاوت در ماشین حسابهای 10 رقمی و 1 رقمی دیده نمیشود با توجه به عددی که ماشین حساب 1 رقمی نشان میدهد آیا تناوب )تکرار منظم( در رقمهای اعشاری دیده میشود مقدار تقریبی تا 15 رقم اعشار محاسبه و در زیر نوشته شده است:. آیا در 15 رقم نشان داده شده برای تناوبی می بینید عددهایی مانند 10 0/ و π را که تعداد ارقام اعشاری آنها بی شمار و دارای دوره تناوب نیست گنگ )اصم( می گوییم. مجموعه ای که این عددها در آن قرار دارد مجموعه عددهای گنگ می نامیم و آن را با Q یا Q c نمایش می دهیم. عددی گنگ است. اثبات این مطلب را در سال های آینده می خوانید.

32 عددπ نیزگنگاست.درزیرعددπ تا 0 رقماعشارنوشتهشدهاست ام ادرمحاسبات معموال تا π / دو رقم اعشار π استفاده میشود: )عددهایی Z 6 Q بهطور کلی جذر عددهایی که مربع کامل نیستند گنگ است مانند 15 مانند و مربع کامل است.( مثال: مجموعههای N و Z و Q و Q به کمک N Q نمودار ون مشخص شده است. Q Q Q 4 مثال: Q Q 0/ کار در کالس کدام عبارت درست و کدام عبارت نادرست است Q Z Q Z Q N = Q Q فعالیت الف( بین دو عدد 1 و چند عدد گویا میتوان نوشت ب( اگر این عددها را روی محور نمایش دهیم متناظر با این عددها چند نقطه روی محور میتوان پیدا کرد A ج( روی محور نقطه نمایش B را پیدا کنید. د( اگر نقاطی را رنگ کنیم که عددی گویا را نمایش میدهد آیا همه نقاط پارهخط AB رنگ میشود آیا نیز رنگ میشود آیا این نقاط که هر کدام نمایش یک عددگویا است یک پارهخط بهوجود میآورد چرا مثال: نقطه نمایش عدد گنگ 10 روی محور بهصورت زیر است: O 10 A 1 B 10 به مرکز O و به شعاع OA کمان رسم میکنیم. نقطه B روی محور عدد 10 را نمایش میدهد. OA = + 1 = 10 OA = 10 4

33 مثال: 7 بین دو عدد صحیح و قرار دارد. میدانیم 4 و 9 دو عدد مجذور کامل قبل و بعد از 7 است یعنی: کار در کالس ١ بین 5 و 10 چهار عدد گنگ بنویسید. ٢ بین دو عدد و چهار عدد گنگ بنویسید. 4> 7 > 9 4< 7 < 9 < 7 < ٣ الف( مجموعه A بهصورت } x =A { x Q را در نظر بگیرید. آیا نمایش A به صورت زیر درست است ب( نقطه نمایش 5 را روی محور مشخص کنید. 0 1 Q R Q عددها به دو دسته عددهای گویا و عددهای گنگ دسته بندی می شود. اجتماع مجموعه عددهای گویا و عددهای اصم را مجموعه عددهای حقیقی می نامیم و آن را با R نمایش می دهیم. تساوی Q R=Q بین سه مجموعه Q و Q و R برقرار است. مثال: 0 R 10 R 5 Q 6 0/75 R 0/0000 R π R 5 R کار در کالس 1 داخل عالمت یا بگذارید: 5 4 Z 0/ Q 18 R -5 R 7 Z 5 Q / 5 Q 0/ 9 Q 0/ 09 Q 1 7 R R Z

34 ٢ مجموعه های سطراو ل را به مجموعه مناسب در سطر دوم وصل کنید. هر مجموعه در سطر او ل با یک مجموعه در سطر دوم مساوی است. Q Q Q Z Z N Q R Q Q Z N Q R فعالیت با توجه به اینکه مجموعه عددهای حقیقی تمام عددها را شامل میشود مجموعههای زیر را مانند نمونه روی محور نشان دهید: A= { x R x< } B= { x R x< } C= { x R 1 x 5} D= { x R x 6} 0 1 با توجه به مجموعه A چرا نقطه ٢ روی محور توپر و نقطه ٣ روی محور توخالی است کار در کالس ١ مجموعههای زیر را روی محور نشان دهید و یا با توجه به محور مجموعه متناظر آن را بنویسید: A= { x R x> 1} الف( { } = B ب( C= { x R x } ج( ٢ با توجه به سه مجموعه A و B و C در سؤال ١ عبارات درست را با عالمت مشخص کنید: 0/75 A 0/ B 1 A 7 C 1 A C کدامیک از مجموعههای زیر با مجموعه نقاط روی شکل زیر برابر است الف(,{ }-1, 0,1, ب( -} > x {x R ج( } < x {x R - < 6

35 6 ١ با توجه به مجموعه های داده شده سایر سطرها را مانند سطر او ل کامل کنید: / * 1 * 0 * π * 4 * 0/ * -10 * تمرین مجموعه اعداد N طبیعی W حسابی Z صحیح Q گویا Q گنگ R حقیقی ٢ در هر یک از حالتهای الف و ب تفاوت دو مجموعه را با ذکر دلیل بنویسید: A = {x R 1/5 < x < 5 }, )الف 5} < x B = {x Q 1/5 < C = {4,5,6,7,8} )ب, 9} < x D = {x R < ٣ طرف دوم تساویهای زیر را کامل کنید: ١( N Z = ٢( R - Q = ٣( Z N = R Q = +1 بین کدام دو عدد صحیح متوالی قرار دارد ٤ عدد 5 ٥ بین هر دو عدد چهار عدد گنگ بنویسید: )د, 4/ 1 )ج, 6 ٧ و ٦ )ب ٥ و ٢- )الف ٦ عبارات درست را با و عبارات نادرست را با مشخص کنید. برای عبارات درست مثال بزنید. ١( عددی وجود دارد که صحیح و گویا باشد. ٢( عددی وجود دارد که گویا و گنگ باشد. ٣( عددی وجود دارد که حقیقی و گنگ باشد. ٤( عددی وجود دارد که حقیقی و طبیعی باشد. 11 و عدد چه تفاوتی هست ٧ در نمایش اعشاری عدد 10 7

36 درس سوم: قدر مطلق و محاسبۀ تقریبی فعالیت ١ با توجه به شکل به سؤاالت زیر پاسخ دهید: B O A نقاط A و B چه عددی را نمایش میدهد 0 1 فاصله نقطه A از O یا طول پارهخط OA چقدر است فاصله نقطه B از O یا طول پارهخط OB چقدر است میخواهیم نقاطی را روی محور بیابیم که فاصله آن از O برابر ٢ باشد. نقطه C را روی محور نمایش دهید بهطوری که طول OC برابر ٢ باشد چند نقطه میتوان یافت فاصله نقطه نمایش عدد a را از مبدأ قدر مطلق a می نامیم و با عالمت a )بخوانید قدر مطلق a( نمایش می دهیم بنابراین در مثال باال می توان نوشت: = = - مثال: فاصله نقاط نظیر دو عدد و تا مبدأ برابر است پس قدر مطلق هر دو عدد و ( ) برابر است یعنی: = = مثال: قدر مطلق 5 را بهصورت 5 نشان میدهیم که مساوی 5 است. قدرمطلق 0/04 را بهصورت 0/04 نشان میدهیم که مساوی 0/04 است. قدر مطلق صفر مساوی صفر و قدر مطلق عددهای مثبت برابر خود آن عدد است. قدر مطلق هر عدد منفی قرینه آن است. اگر a یک عدد حقیقی باشد: a = 0 a = 0 a > 0 a = a a < 0 a = -a مثال: به محاسبات زیر توجه کنید: ١٠-٢٠ + ٥ = -٥ = ٥ (-٦) (+١٠) = -٦٠ = ٦٠ 8

37 کار در کالس ١ جمالت سمت راست را به عبارات مناسب در سمت چپ وصل کنید: الف( دو عدد a و b مثبت است. < 0 b ١( a > 0, ب( عدد a نامنفی است. > 0 b ٢( a > 0, ج( دو عدد a و b منفی است. 0 a )٣ د( عدد a مثبت و عدد b منفی است. <0 b ٤( a < 0, ه( عدد a نامثبت است. 0 a ٥( ٢ هر عبارت سمت راست نتیجه منطقی یک عبارت در سمت چپ است. عبارات مناسب را به هم وصل کنید: < 0 ab ١( a > 0, b > 0 )الف > 0 b ٢( ab > 0, a + a < 0, b <0 )ب < 0 b ٣( ab > 0, a + a < 0, b >0 )ج ٣ هر عبارت سمت راست نتیجه منطقی یک عبارت در سمت چپ است. عبارات مناسب را به هم وصل کنید: a = -a ١( a > 0 )الف a = a ٢( a > 0, b > 0 )ب a + b = a + b ٣( a < 0 )ج b) a + b = -(a + ٤( a < 0, b <0 )د ٤ عبارات زیر را به زبان ریاضی بنویسید و برای هر کدام مثال بنویسید: ١( قدر مطلق حاصلضرب دو عدد مساوی با حاصلضرب قدر مطلق آنهاست. ٢( قدر مطلق مجموع دو عدد از مجموع قدرمطلق های آن دو عدد کوچک تر یا مساوی است. 9 فعالیت مقدار تقریبی عددهای زیر تا یک رقم اعشار نوشته شده است: 14 / 1/ 7 5 / 6 / 4 7 / 6 8 / 8

38 با توجه به مقادیر تقریبی صفحه قبل تساوی های زیر را مانند نمونه کامل کنید و دلیل خود را توضیح دهید: 1 = ( 1 ) = 1+ = 1 عددی منفی می شود: / 14 پس 1 دلیل: 1( = دلیل: ( 7 8 = دلیل: ( 5 5 دلیل: 4( 4 = دلیل: = b و - = c باشد حاصل عبارت c a + b + را به دست می آوریم: = 1 a و مثال: اگر 1 a+ b+ c = + + ( ) = / / عددی منفی است ) / ( پس حاصل عبارت مساوی با 5+ چون 5 / است. / -) یعنی 5+ ( = ( 5) ( 5) مثال: منفی مثبت = = 5 فعالیت جدول زیر را کامل کنید: a ( ) 6 ( 6) ( 7) ( 17) 5 حاصل a از فعالیت باال چه نتیجه ای می گیرید با توجه به فعالیت باال و مفهوم قدرمطلق میتوانیم بنویسیم: a = 1 ( خواهیم داشت: مثال: برای محاسبه ) ( 1 ) = 1 = ( 1 ) = 1+ منفی 0

39 کار در کالس ١ عبارت های زیر را با هم مقایسه کنید: )-7( )الف )ب )ج 9 - عبارات زیر را بدون استفاده از قدرمطلق بنویسید: 0 = 4 = = 0/٢ ٥-0/ 6 = حاصل عبارات زیر رابهدست آورید: = ) 595 ( )الف ) ( )ب = ) + ( )ج 194 = 5) ( ( د 10 = تمرین ١ اگر =0/5 a c = 1, b = 1, باشد حاصل عبارت زیر را بهدست آورید: 4 a+b + a-b -c عبارات زیر را بدون استفاده از قدرمطلق بنویسید: 7 )ب 5 )الف 0+ )ج 5 5 جای خالی را با عدد مناسب پر و جوابهایتان را در کالس با سایر دوستانتان مقایسه کنید: 5-1 < مقدار عددی عبارت a +a را به ازای -=a 0=a و =a بهدست آورید. آیا میتوانید عددی حقیقی بهجای a قرار دهید که حاصل a +a منفی باشد 5 با ارائه یک مثال نادرست بودن تساوی a = a را نشان دهید. ( 1 ) ( ) 6 حاصل عبارات روبهرو را بهدست آورید:

40 استدالل و اثبات در هندسه ف ص ل ا دع ا لی س بیل ر ب ک ب الح کم ة و الم وع ظ ة الح س ن ة و جاد له م ب ال تی ه ی ا حس ن با حکمت و اندرز نیکو به راه پروردگارت دعوت منا و با آنها به نیکوترین روش استدالل و مناظره کن! )سوره نحل آیه 15( بارش برف از آسمان رحمت الهی را با خود به زمین می آورد و در عین حال نماد زیبایی زمستان است. اما شاید جالب باشد بدانید که این دانه های زیبای متقارن که اغلب شش شاخه هستند علی رغم آنکه میلیاردها دانه اند ام ا هر کدام شکل منحصر به خود را دارند و هیچ دو تایی از آنها»همنهشت«نیستند!

41 درس او ل: استدالل فعالیت متن های زیر را بخوانید و به سؤال ها پاسخ دهید: 1 امیر و محسن برای دیدن مسابقه فوتبال به ورزشگاه رفتند. محسن به امیر گفت:»من مطمئن هستم که تیم مورد عالقه من امروز هم می بازد.«امیر پرسید:»چگونه با این اطمینان حرف می زنی «محسن دلیل آورد که:»چون هر بار که به ورزشگاه رفته ام تیم مورد عالقه من باخته است.«آیا دلیلی که محسن آورده است درست است چرا عباس یک بیسکویت مستطیل شکل با ابعاد 4 و 8 سانتیمتر دارد. بیسکویت باقر از همان نوع به همان ضخامت و مربع شکل به ضلع 6 سانتیمتر است. با استفاده از دانش ریاضی خود نشان دهید که مقدار بیسکویت کدام یک بیشتر است. دلیلی که محسن در فعالیت 1 برای ادعای خود آورده است را با دلیلی که شما در فعالیت آوردید مقایسه کنید. به نظر شما کدام قابل اطمینان تر است.»استدالل«یعنی دلیل آوردن و استفاده از دانسته های قبلی برای معلوم کردن موضوعی که در ابتدا مجهول بوده است. همان گونه که در این موارد مشاهده کردید حتی در بسیاری از کارهای روزمره نیز به استدالل نیاز پیدا می کنیم. راه های متفاوتی برای استدالل کردن هست که اعتبار و قابل اعتماد بودن آنها می تواند یکسان نباشد. به استداللی که موضوع موردنظر را به درستی نتیجه بدهد اثبات می گوییم. کار در کالس 1 مواردی را بازگو کنید که مانند فعالیت 1 فردی با توجه به رویدادهای گذشته نتیجه ای می گیرد که درست نیست. دو ارتفاع از هر یک از مثلث های زیر رسم کنید:

42 آیا با این مثال ها می توان نتیجه گرفت در هر مثلث محل برخورد هر دو ارتفاع درون مثلث است یک مثال بزنید که نتیجه باال را نقض کند. اگر فردی با رسم ارتفاع های موردنظر در مثلث ها چنین نتیجه گیری کند که محل برخورد ارتفاع های هر مثلث درون آن مثلث است استدالل او مشابه کدام استدالل دو قسمت فعالیت قبل است فعالیت 1 کدام یک از دو قرصی که در مرکز قرار گرفته بزرگتر است الف( با مشاهده تشخیص دهید. ب( یک کاغذ روی یکی از آنها قرار دهید. دایره محیط آن قرص را بکشید و با گذاشتن تصویر کشیده شده بر شکل دیگر اندازه آنها را با هم مقایسه کنید. A ٢ اگر قطعههای A و B قطعههایی از شیرینی موردعالقه شما باشد کدام قطعه را انتخاب میکنید )قطعه بزرگتر کدام است ( B با یک کاغذ شفاف این دو قطعه را مقایسه کنید آیا حدس شما درست بود آیا مشاهده کردن و یا استفاده از سایر حسهای پنجگانه برای اطمینان از درستی یک موضوع کافی است چرا هرچند به طور معمول در ریاضیات و به ویژه در هندسه به کار بردن شکل ها ترسیم آنها و استفاده از شهود به تشخیص راه حل ها و ارائه حدس های درست کمک زیادی می کند باید توجه کرد به تشخیصی که براساس این روش ها بوده است نمی توانیم به طور کامل اطمینان کنیم. 4

43 کار در کالس مواردی از درس علوم )مثل آزمایش تشخیص گرما و سرمای آب( مثال بزنید که حواس ما خطا می کند. در مورد نتایجی که از این مثال ها می گیرید با یکدیگر بحث کنید. تمرین 1 در شکل های زیر عمودمنصف های سه ضلع مثلث ها را رسم کنید: آیا فقط با توجه به این شکل ها می توان نتیجه گرفت که محل برخورد عمودمنصف های هر مثلث همیشه درون مثلث قرار دارد چگونه می توانید درستی ادعای خود را نشان دهید نیما و پژمان مشغول دیدن مسابقات وزنه برداری بودند. وزنه برداری قصد بلند کردن وزنه ای 100 کیلویی را داشت.آنها هر دو عقیده داشتند که او نمی تواند وزنه را بلند کند برای ادعای خود استدالل های متفاوتی می کردند. نیما: زیرا هفته پیش این وزنه بردار تمرینات بهتری انجام داده بود با این حال نتوانست وزن ه 90 کیلویی را بلند کند. پژمان: امروز دوشنبه است. من بارها مسابقات این وزنه بردار را دیده ام. او هیچ گاه در روزهای زوج موفق نبوده است. استدالل کدام یک قابل اعتمادتر است در مورد استدالل ها بحث کنید. چون من تا به حال هیچ وقت تصادف نکرده ام در سفر آینده نیز تصادف نخواهم کرد. این استدالل مشابه کدام یک از استدالل های زیر است الف( چون برخی مثلث ها قائم الزاویه هستند پس مثلث های متساوی االضالع هم قائم الزاویه اند. ب( همه فیلم های جنگی که تاکنون دیده ام جذاب بوده اند. فیلمی که دیروز دیدم جذاب بود 5

44 پس فیلم جنگی بوده است. ج( چون تمام بچه های خاله های من دختر هستند پس بچه خاله کوچکم هم دختر خواهد بود. د( چون همه قرص های مسکن خواب آور است پس در این قرص ها ماده ای هست که باعث خواب آلودگی می شود. 4 دو نفر درباره چهار برادر به نام های علی حسن حسین و باقر می دانستند که: علی از حسین بزرگ تر و حسن از باقر کوچک تر است و باقر از علی کوچک تر و حسن نیز از حسین کوچک تر است. هر دو نفر اعتقاد داشتند که علی از حسن بزرگ تر است اما استدالل های متفاوتی می کردند. اولی: در تمام خانواده هایی که من دیده ام که دو فرزند به نام های علی و حسن دارند فرزند بزرگ تر را علی نامیده اند. دومی: چون علی از حسین بزرگ تر و حسن از حسین کوچک تر است پس علی از حسن بزرگ تر است. استدالل کدام یک درست است در مورد درستی استدالل ها بحث کنید. 6

45 درس دوم: آشنایی با اثبات در هندسه در درس گذشته یاد گرفتید که دیدن و استفاده از حواس و یا ارائه مثال های متعدد و همچنین توجه به ابعاد ظاهری برای ایجاد اطمینان از درستی یک موضوع کفایت نمی کند و باید از دلیل های منطقی و قانع کننده کمک گرفت و با استدالل درستی آن موضوع را ثابت کرد. در روند استداللمان از اطالعات مسئله )فرض یا داده ها( و حقایق و اصولی که درستی آنها از قبل برای ما معلوم شده است برای رسیدن به خواسته مسئله )حکم( استفاده می کنیم. فعالیت 1 به گفت وگوی زیر توجه کنید: مهرداد: آیا در هر لوزی زاویه های روبه رو با هم برابر است سعید: بله من در یک کتاب هندسه دیدم که اثبات کرده بود در متوازی االضالع زاویه های روبه رو با هم مساوی است و لوزی هم نوعی متوازی االضالع است. در این مسئله و اثبات آن فرض حکم و استدالل را در زیر کامل کنید: استدالل: فرض: حکم: در لوزی زاویه های روبه رو شکل لوزی است. برابر است. لوزی نوعی است. در متوازی االضالع برابر است. اولین اقدامی که برای اثبات انجام می دهیم تشخیص فرض حکم و واقعیت های مرتبط با آن مسئله است که از قبل آنها را می دانستیم. در مسئله زیر فرض واقعیت های از قبل ثابت شده یا دانسته و حکم را به زبان ریاضی بنویسید و عبارت ها را کامل کنید: 7

46 A B فرض: ABCD مستطیل است. O حکم: قطرهای مستطیل مساوی است. D C A = = = =90 : فرض AB=, = AD :AC= حکم AB, AD کار در کالس فرض و حکم را برای مسئله های زیر مشخص کنید: 1 در دو مثلث داده شده زوایای برابر در شکل مشخص شده است. ثابت کنید زاویه های سوم از دو مثلث نیز با هم برابر است. A D B C E F = حکم: = فرض: = اگر در یک مثلث دو زاویه نابرابر باشد ضلع روبه رو به زاویه بزرگ تر بزرگ تر است از ضلع روبه رو به زاویه کوچک تر. اگر مجموع دو زاویه از چهارضلعی ABCD با مجموع دو زاویه از چهارضلعی EFGH برابر باشد ثابت کنید مجموع دو زاویه دیگر ABCD با مجموع دو زاویه دیگر EFGH برابر است. 8

47 فعالیت 1 A 1 در مسئله زیر فرض و حکم را بنویسید و اشکال استدالل داده شده را بیابید: ABC متساویالساقین است و AD نیمساز زاویه A است. مثلث ثابت کنید AD میانه نیز هست: فرض: حکم: 9 =A1 و استدالل: چون AD نیمساز زاویه A است پس: A =D1 و ضلع AD در دو مثلث مشترک است پس مثلثهای ADB و ADC به حالت دو زاویه D و ضلع بین )ز ض ز( با هم همنهشتند پس اجزای متناظر آنها برابر است. درنتیجه: BD=DC استدالل باال را اصالح کنید و نتیجه بگیرید در مثلث متساویالساقین نیمساز وارد بر قاعده میانه هم هست. آیا در مثلث ABC میتوان نتیجه گرفت که نیمساز زاویه B نیز میانه ضلع مقابل آن است به عبارتی آیا میتوان خاصیت اثبات شده برای نیمساز A را به نیمساز دیگر تعمیم داد. A با استدالل زیر به سادگی میتوان نتیجهگیری کرد که B 1 قطر AC از مربع ABCD نیمساز زاویههای A و C است. چون دو مثلث ABC و ADC به حالت سه ضلع همنهشت است زوایای 1 AC و لذا C1= و C A1= متناظر با هم برابر است بنابراین A نیمساز است. D C آیا میتوان با استداللی مشابه این خاصیت را به قطر دیگر نیز تعمیم داد و گفت بهطور کلی در مربع هر قطر نیمساز زاویههای دو سر آن قطر است بهنظر شما چرا در فعالیت 1 خاصیت موردنظر قابل تعمیم به نیمسازهای دیگر نبود اما در فعالیت خاصیت موردنظر به قطر دیگر تعمیم داده میشود وقتی خاصیتی را برای یک عضو از یک مجموعه ثابت کردیم اگر تمام ویژگی هایی که در استدالل خود به کار برده ایم در سایر عضوهای آن مجموعه نیز باشد می توان درستی نتیجه را به همه عضوهای آن مجموعه تعمیم داد. B 1 D C

48 A H P B 4 نقطه ای مانند P روی عمودمنصف پاره خط AB در نظر می گیریم و به دو سر پاره خط وصل می کنیم. چون دو مثلث AHP و BHP به حالت )ض ز ض( همنهشت است نتیجه می شود پاره خط های PA و PB با هم برابر است. بنابراین فاصله نقطه P که روی عمودمنصف پاره خط AB است از دو سر پاره خط AB یکسان است. آیا این اثبات برای اینکه نتیجه بگیریم نتیجه باال برای»هر«نقطه روی عمودمنصف برقرار است کافی است کار در کالس به استداللهایی دقت کنید که چهار دانشآموز برای مسئله زیر آوردهاند: مسئله: مجموع زاویههای داخلی مثلث 180 است. استدالل حامد: حامد گفت یک مثلث متساویاالضالع را درنظر میگیریم چون سه زاویه دارد و هر زاویه 60 است مجموع زاویههای مثلث 180 است. استدالل حسین: حسین چند مثلث مختلف با حالتهای گوناگون کشید و زوایای آنها را اندازه گرفت و دید که در همه آنها مجموع زوایای داخلی برابر 180 است و نتیجه گرفت که مجموع زوایای داخلی هر مثلث 180 است. استدالل مهدی: مهدی شکل زیر که از مثلثهای همنهشت تشکیل شده است را کشید و با مشخص کردن زاویههای مثلث ABC بهصورت مقابل استداللی با استفاده از شکل بهصورت زیر A آورد: 1 B C A1+ B+ C= A1+ A+ A =

49 a b 7 6 d استدالل رضا: رضا گفت می دانیم که»هر خطی که دو خط موازی را قطع کند با آنها هشت زاویه می سازد که مانند شکل چهار به چهار با هم مساوی است.«حال مثلثی دلخواه مانند B 1 A ABC را d درنظر می گیریم مانند شکل مقابل از رأس A خط d را موازی BC رسم می کنیم. سه زاویه تشکیل شده در رأس A را با C شمارههای 1 و نشان دادهایم که زاویه A همان زاویه A در مثلث است و با درنظر گرفتن AB بهعنوان مورب داریم =B A1 و با درنظرگرفتن AC بهعنوان مورب داریم =C A پس با جایگذاری A+ B+ C= A+ A1+ A = 180 خواهیم داشت: C و B بهترتیب به جای A و A 1 استدالل رضا را میتوان با استفاده از نمادهای ریاضی بهصورت مرتب و خالصه بدینصورت نوشت: d BC B = A1 و مورب AB A + B + C = A + A1 + A = 180 d BC C= و A ACمورب درباره معتبربودن استدالل های این دانش آموزان بحث کنید. فعالیت مسئله: حمید سعید و بهرام هر کدام مقداری پول دارند. مجموع پول های حمید و بهرام برابر 5000 تومان و مجموع پول های سعید و بهرام نیز برابر 5000 تومان است. به نظر شما پول حمید بیشتر است یا پول سعید دلیل خود را توضیح دهید. 41

50 بین استداللی که برای مسئله قبل و مسئله بعدی هست چه شباهتی می بینید مسئله: نشان دهید زاویه های متقابل به رأس با هم برابر است. فرض کنیم 1 O و O مانند شکل زیر متقابل به رأس باشد داریم: 1 O O1+ O = 180 O + O = O + O O = O O + O = تمرین B A 1 C ١ آیا اثبات مسئله زیر معتبر است برای پاسخ خود دلیل بیاورید. مسئله: در هر مثلث اندازه زاویه خارجی با مجموع اندازه های دو زاویه داخلی غیرمجاور با آن برابر است. اثبات: مثلث متساوی االضالع ABC را درنظر می گیریم. می دانیم که مجموع زوایای داخلی هر مثلث 180 است و زوایای 1 1 A + A = 180 A = 180 A = = 10 B+ C= = 10 A = B+ C 1 A و B و C هر کدام 60 است بنابراین در سال گذشته با تعریف چند ضلعی های محدب آشنا شدید. تعریف چندضلعی محدب را می توان بدین صورت هم آورد:»یک چندضلعی محدب است اگر هر پاره خطی که دو نقطه دلخواه درون آن چندضلعی را به هم وصل می کند به طور کامل درون آن چند ضلعی قرار بگیرد.«چند ضلعی که محدب نباشد مقعر است. آیا تشخیص های دو دانش آموز در مورد محدب و مقعر بودن چندضلعی های زیر و دالیلی که ارائه کرده اند با توجه به تعریف باال درست است پاسخ خود را توضیح دهید. 4

51 P Q نرگس: چند ضلعی مقابل محدب نیست زیرا نقاط P و Q درون آن قرار دارد اما پاره خطی که آنها را به هم وصل می کند به طور کامل در آن قرار نمی گیرد. S T مهدیه: چندضلعی مقابل محدب است زیرا نقاط T و S درون آن قرار دارد و پاره خطی که آنها را به هم وصل می کند نیز به طور کامل در آن قرار دارد. مریم: چندضلعی مقابل محدب است زیرا نقاط M و N درون آن قرار دارد و پارهخطی که آنها را بههم وصل میکند نیز بهطور کامل در آن N M قرار دارد. آیا استداللهای زیر درست است پاسخ خود را توضیح دهید. هر مستطیل یک متوازیاالضالع است. ABCD مستطیل است. الف( چهارضلعی ABCD متوازیاالضالع است. در هر مربع ضلع ها با هم برابرند. ب( همه ضلع های ABCD با هم برابر نیستند. ABCD مربع نیست. در هر مربع ضلع ها با هم برابرند. ج( ABCD مربع نیست. در چهارضلعی ABCD ضلع ها برابر نیستند. 4 ثابت کنید هر نقطه که روی نیمساز زاویه قرار دارد از دو ضلع آن زاویه به یک فاصله است. یادآوری: فاصله یک نقطه از یک خط برابر است با طول پاره خطی که از آن نقطه بر خط عمود می شود. راهنمایی: یک زاویه دلخواه بکشید و نیمساز آن را رسم و یک نقطه روی این نیمساز مشخص کنید. ثابت کنید فاصله این نقطه از دو ضلع زاویه با هم برابر است و سپس علت اینکه این نتیجه برای همه نقاط روی نیمساز درست است را بیان کنید. 4

52 درس سوم: همنهشتی مثلث ها یادآوری با مفهوم همنهشتی مثلثها از سال گذشته آشنایی دارید. اکنون میخواهیم این حالتها را با استفاده از نمادهای ریاضی خالصه نویسی کنیم مثال حالت همنهشتی)ض ز ض( را اینگونه نمایش میدهیم: A A C AB = A B C AC = A C ABC A B C B A= A B برای یادآوری دو حالت دیگر همنهشتی مثلث ها و دو حالت همنهشتی ویژه مثلث های قائم الزاویه را به همین صورت بیان کنید. فعالیت 1 در شکل های زیر دو مثلث داخل هر کادر با یکدیگر همنهشت اند. اندازه پاره خط ها و زاویه های مجهول را روی شکل مشخص کنید:? ?? 40?? در شکل زیر چهارمثلث رسم شده که دو به دو با یکدیگر همنهشت اند. ابتدا مثلث های همنهشت را مشخص کنید و سپس اندازه های مجهول را که با» «مشخص شده تعیین نمایید )زاویه هایی که با یک حرف مشخص شده با هم مساوی است(. a? 1? 8 1 a b 1 60? b

53 A C مثال: با رحل های قرآنی حتما آشنایی دارید. یک نمونه از آنها داریم که دو الیه چوبی آن از وسط هم گذشته است. می خواهیم نشان دهیم که این تکیه گاه در هر وضعیتی که باشد مطابق شکل همواره فاصله دو لبه کناری آن در دو طرف با هم برابر است. به زبان ریاضی یعنی در شکل زیر فرض مسئله این است که: OA=OB و OC=OD )چرا ( و حکم این است که:.AD=BC زوایای 1 O و O برابرند )چرا ( پس مثلث های OAD و OBC همنهشت هستند و از آنجا درستی حکم به دست می آید یعنی: O 1 OA = OB OC = OD OBC OAD AD = BC O1= O D B فعالیت 45 10m C B درنزدیکیمنزلترانهوشهرزاد پارکی هست که در آن یک پل فلزی به C شکل نیمدایره هست که بچهها برای بازی از پلههای آن باال میروند. میدانیم فاصله ابتدای پل )نقطه A( از انتهای آن )نقطه B( 10 متر است. ترانه B انتهای پل روی پله C نشسته است که از انتهای پل 6 متر فاصله دارد )BC=6( و شهرزاد روی پله D نشسته است که از ابتدای پل همین مقدار فاصله دارد. آنها حدس میزنند که باید فاصلهشان از پایههای مقابل برابر باشد یعنی.AC=BD درستی حدس آنها را به دو روش ثابت کنید. A ابتدای پل D A D

54 1 نشان دهید زاویه های C و D در شکل قائمه است. طول های AC و BD را به کمک قضیه فیثاغورس محاسبه کنید و نشان دهید: AC=BD ٢ به کمک همنهشتی مثلث های ACB و ADB نشان دهید.AC=BD فعالیت A در شکل مقابل ABCD لوزی است و نقطه های M و N وسط های اضالع CD و CB هستند. میخواهیم نشان دهیم ADM ABN D M C N 1 با توجه به ویژگیهای لوزی تساویهای زیر را کامل کنید: B AD = AB = =, BN = فرض A =, B =, DM = : ADM حکم ABN با توجه به نتیجه قسمت )1( و تساوی های قسمت او ل ثابت کنید مثلث های ABN و ADM همنهشت اند. ٣ حال با توجه به همنهشتی دو مثلث ABN و ADM اجزای متناظر آنها را بنویسید. کار در کالس D A میخواهیم ثابت کنیم که در هر متوازیاالضالع مانند B شکل روبهرو ضلعهای مقابل همواره با هم برابر است. مفروضات و دادههای مسئله چیست تمام آنها را C بنویسید حکم مسئله چیست برای حل این مسئله در ادامه نظر چند دانشآموز را ببینید و با توجه به آنها به سؤالها پاسخ دهید. 46

55 شهرزاد: معلوم است که ضلع های روبه رو با هم مساوی است با چشم هم می توان دید! شبنم: در تعریف متوازی االضالع برابری ضلع های روبه رو را می دانستیم. عالوه بر آن با اندازه گیری هم می توانیم این موضوع را نشان دهیم. آیا می توانیم در حل مسائل هندسه فقط به چشم هایمان اعتماد کنیم چرا به تعریف متوازی االضالع در کتاب سال گذشته مراجعه کنید. آیا برابری اضالع مقابل در این تعریف وجود داشت آیا اگر با اندازه گیری اضالع مقابل برابری آنها را ببینیم درستی حکم را ثابت کرده ایم چرا D A 1 1 C B ترانه:بهنظرمنباید دومثلثهمنهشت بیابیم و با اثبات همنهشتی آنها به برابری اضالع مقابل در متوازیاالضالع برسیم ام ا در شکل دو مثلث نداریم پس با اضافه کردن یک خط یعنی یکی از قطرها دو مثلث ایجاد میکنیم. اثبات را به صورت زیر کامل کنید: مورب CD, AB B1= D1 مورب و BD = )ز ض ز( = BD )ضلع مشترک( AD BC, AB CD با توجه به همنهشتی دو مثلث ABD و CBD تساویهای زیر را کامل کنید. 47 AD = بنابراین داریم: B1= دیدیم که D1 و B = D بنابراین داریم: = AB چرا برای اثبات همنهشتی مثلثهای ایجاد شده نمیتوانیم از حالتهای )ض ز ض( و )ض ض ض ) استفاده کنیم با توجه به مباحث درس قبل )هندسه و استدالل( بگویید آیا میتوانستیم همین نتیجه را با رسم قطر AC بهدست آوریم

56 زاویه از همنهشتی مثلث های ایجاد شده در متوازی االضالع به جز برابری ضلع های مقابل نتیجه دیگری هم درباره زاویه های متوازی االضالع به دست می آید این نتیجه را بنویسید. در هر متوازی االضالع روبه رو مساوی اند. تمرین 1 ثابت کنید قطرهای هر متوازیاالضالع O یکدیگر را نصف میکنند. یعنی در شکل مقابل نشان D C دهید: OA = OC و.OB = OD ثابت کنید در هر مستطیل قطرها با یکدیگر برابرند. )مستطیل نوعی متوازیاالضالع است!( A در مثلث متساویالساقین ABC میانه AM را رسم کردهایم. مثلثهای AMB و AMC به چه حالتی همنهشت هستند چرا AM نیمساز A است چرا AM بر BC عمود است A B B A O B M A 1 O 4 از نقطه M خارج از دایره دو مماس MA و MB را بر دایره رسم کنید. آیا اندازه این دو مماس با هم برابر است درستی ادعای خود را نشان دهید. )راهنمایی: از مرکز دایره به نقطههای A M و B وصل کنید.( M 5 در شکل مقابل خط d از وسط پارهخط AB گذشته و A و B از d به یک فاصله اند H ) AH=BH ( ثابت کنید OH=OH. در مورد درستی یا نادرستی استدالل زیر برای تساوی OH=OH بحث کنید: C B d H فرض( )طبق OA = OB )ض ز ض( =O1 O )متقابل به رأس( OAH OBH OH = OH BH AH = )فرض( 48

57 درس چهارم: حل مسئله در هندسه برای حل مسائل هندسی راه حل کل ی وجود ندارد ام ا می توان مراحلی را مشخص کرد که برای هر مسئله هندسه آنها را توصیه می کنند. این مراحل را در حل یک مثال کاربردی در عمل معرفی می کنیم. مثال: دو روستای A و B با یک جاد ه خاکی مستقیم به هم وصل هستند. در آن منطقه یک جاد ه آسفالته مستقیم ساخته شد که دو روستا در دو طرف آن واقع شد و جاده آسفالته درست از وسط جاد ه خاکی عبور می کرد. اداره راه سازی تصمیم گرفته است که از هر روستا یک جاد ه آسفالته با کوتاه ترین فاصله ممکن تا جاد ه اصلی بسازد. بنابراین از روستای A یک جاد ه مستقیم عمود بر این جاد ه اصلی و به طول چهار کیلومتر ساخته شد. برای برآورد هزینه های ساخت جاد ه دیگر از روستای B مهندسان پیش بینی کرده اند که فاصله روستای B از جاده نیز همین مقدار است یعنی AH=BH. H M A B H d قدم های حل مسئله 1 صورت مسئله را به دقت بخوانید و مفاهیم تشکیل دهنده آن را بشناسید. در این مسئله با مفاهیمی همچون خط پاره خط و فاصله نقطه تا خط سرو کار داریم. آیا با آنها آشنایی دارید اگر مسئله فاقد شکل است با توجه به صورت مسئله یک شکل مناسب برای آن رسم کنید. در اینجا شکل این مسئله را با توجه به طرح باال رسم کنید: 49

58 داده های مسئله )فرض( و خواسته های آن )حکم( را تشخیص داده و در یک جدول بنویسید. دراینجا فرض های اصلی این است که M وسط AB است یعنی MA=MB و AH و BH بر d عمود و حکم این است که: AH=BH فعالیت MA=MB, H H = = 90 AH=BH فرض حکم 4 برای رسیدن از فرض به حکم راه حلی پیدا کنید. روش های مختلفی برای این کار هست که آنها را به مرور می آموزید. یکی از راه های اثبات برابری دو پاره خط استفاده از مثلث های همنهشت است. در این شکل کدام دو مثلث برای این منظور مناسب است با توجه به فرض و حکم مسئله اثبات را با نمادهای ریاضی کامل کنید: )وتر و یک زاویه حاده( MB MA = )طبق فرض( H= H = 90 AH= BH ( ) = در شکل مقابل وترهای AB و CD با هم مساوی است. 1 نشان دهید کمان های AB و CD مساوی است. A O B C A D B C ٢ در شکل مقابل کمان های AB و CD مساوی است. نشان دهید وترهای AB و CD با هم برابرند. O D در یک دایره اگر دو کمان برابر باشند وترهای نظیر آنها با هم برابرند و اگر دو وتر برابر باشند کمان های نظیر آنها نیز با هم برابرند. A O B C از سال گذشته می دانید خطی که از مرکز دایره بر هر وتر عمود شود وتر را نصف می کند. با توجه به این موضوع نشان دهید مرکز دایره از دو وتر مساوی به یک فاصله است. D 50

59 A H O B D H C OA = OD = 4 در شکل مقابل می دانیم مرکز دایره از دو وتر AB و CD به یک فاصله است ) OH=OH (. مرکز دایره را به A و D وصل کنید و با پرکردن جاهای خالی نشان دهید که طول های دو وتر AB و CD با هم برابر است: ( ) H = H = OAH AH = ( )OH = OH AH= AB= CD کار در کالس B A D C در شکل مقابل میدانیم AB=CD 1 چرا AB = CD جاهای خالی را با عبارتهای مناسب پرکنید: AB = CD BC BC = AB + BC = CD + BC = چرا AC=BD تمرین D Q A P M C C N B ١ در شکل مقابل ABCD متوازی االضالع است و M و N و P و Q وسط های اضالع متوازی االضالع است ثابت کنید: MN=PQ A O B در شکل مقابل O مرکز دایره است و BC و AD بر دایره مماس است نشان دهید که AD و BC برابرند. D 51

60 A در شکل مقابل مثلث ABC متساوی الساقین است و M و N روی قاعده BC طوری قرار دارد که.BM=NC نشان دهید مثلث AMN هم متساوی الساقین است. B M N C A 1 1 B 4 در مستطیل ABCD پاره خط های BE و AF طوری رسم شده که دو زاویه A 1 و B 1 برابرند ثابت کنید BE و AF مساوی اند. D F E C A M 5 نشان دهید در هر مثلث متساوی الساقین فاصله هر نقطه دلخواه روی نیمساز زاویه رأس از دو سر قاعده برابر است:.MB=MC B D C D B ٦ در شکل مقابل ABCD متوازیاالضالع H 1 است و AH و CH فاصلههای نقاط A و C از قطر BD D را توضیح دهید. H است. دلیل برابری دو زاویه B 1 و 1 C نشان دهید مثلثهای ADH و BCH همنهشتند و از آنجا برابری AH و CH را نتیجه بگیرید سپس جمله زیر را کامل کنید: در هر متوازیاالضالع هر دو رأس مقابل از بین آنها به یک. 1 A 5

61 درس پنجم: شکل های متشابه در تصویرهای زیر دو گل شبیه به هم را می بینید. آیا هر دو گل به طور کامل مثل هم است در تصویرهای زیر دو عکس از یک کودک را می بینید. تفاوت این دو تصویر در چیست تصویرهای زیر عکس هایی از میدان آزادی تهران است. کدام یک به برج آزادی شبیه تر است 5

62 فعالیت 1 مربع های صفحه شطرنجی زیر به ضلع یک سانتیمتر است: شکل )٢( شکل )1( اندازه ضلعها و زاویههای هر دو شکل را بنویسید: چه رابطهای بین ضلعهای متناظر دو شکل وجود دارد چه رابطهای بین زاویههای متناظر دو شکل وجود دارد اندازه ضلعهای شکل )1( چند برابر اندازه ضلعهای شکل )( است در صفحه شطرنجی مقابل یک چند ضلعی رسم کنید و چند ضلعی دیگری مانند آن بکشید بهطوری که انداز ه ضلعهایش ٢ برابر شکل او ل باشد. در تصویر زیر نقشه قسمتی از شهر تهران را میبینید. مقیاس نقشه 1 به 100,000 است یعنی هر یک سانتیمتر روی نقشه با 100,000 سانتیمتر مقدار واقعی برابر است. فاصله دو میدان انقالب و آزادی را پیدا کنید. 54

63 شکل زیر را با دستگاه کپی کوچک کرده ایم. عدد روی دستگاه %50 را نشان می داد. تصویر خروجی را شما رسم کنید. هرگاه در دو چندضلعی همه ضلع ها به یک نسبت تغییر کرده باشد )کوچک یا بزرگ شده و یا بدون تغییر باشد.( و اندازه زاویه ها تغییر نکرده باشد آن دو چند ضلعی با هم متشابهند. کار در کالس 1 آیا دو مربع زیر متشابه است اندازه ضلع ها و زاویه های هر کدام را بنویسید. چه رابطه ای بین ضلع ها و زاویه های دو شکل وجود دارد آیا می توان گفت هر دو مربع دلخواه با هم متشابهند چرا 55

64 از مستطیل های زیر کدام با هم متشابهند چرا آیا هر دو مستطیل دلخواه با هم متشابه است 1 فعالیت دو مثلث زیر با هم متشابه است. ضلع های متناظر و زاویه های متناظر را همرنگ کنید. نسبت ضلع های متناظر را بنویسید. آیا سه کسر برابر به دست آمد A D 5 E F B 10 C به نسبت دو ضلع متناظر در دو شکل متشابه نسبت تشابه می گویند. کار در کالس ١ 1 با توجه به مربع صفحه بعد مربع دیگری رسم کنید به گونه ای که نسبت تشابه دو مربع باشد. این سؤال چند پاسخ دارد چرا 56

65 در صفحه مختصات نقاط زیر را پیدا کنید: A = 1 B = 1 0 C = 0 مثلث ABC A = B = 6 C 7 = مثلث C B A طول ضلع های دو مثلث را بنویسید و تشابه آنها را بررسی کنید در صورت متشابه بودن نسبت تشابه را پیدا کنید. تمرین 1 چندضلعی های متشابهی که در شکل زیر تشخیص می دهید نام ببرید. A B C D E F G H I J K L M N O P 57

66 آیا هر دو شکل همنهشت با هم متشابه نیز هستند در صورت متشابه بودن نسبت تشابه چند است آیا هر دو لوزی متشابهند چرا 4 در یک نقشه مقیاس 1:00 است. فاصله دو نقطه روی نقشه /5 سانتیمتر است. فاصل ه این دو نقطه در اندازه واقعی چقدر است 5 آیا هر دو مثلث متساوی االضالع متشابهند چرا 6 آیا هر دو مثلث متساوی الساقین متشابهند چرا 7 مثلث ABC به ضلع های 4 و 5 و 8 با مثلث DEF به ضلع 1-x و 10 و 7+x با هم متشابه هستند ( اندازه ضلع های مثلث ها از کوچک به بزرگ نوشته شده است( مقدار x را پیدا کنید. 8 کدام مثلث با مثلث ABC متشابه است A B C 58

67 توان و ریشه و ج ع لنا م ن املآء ک ل ش یء ح ی هر چیز زنده ای را از آب پدید آوردیم )سوره انبیا آیه 0( ف ص ل ۴ یک قطره آب شامل حدود ٣٣ میلیارد میلیارد مولکول یا به عبارت دیگر,000,000,000,000,000,000 مولکول است که می توان آن را به صورت 10 / 19 منایش داد. هرگونه حیاتی به آب نیاز دارد. قدر این نعمت الهی را بدانیم.

68 در سال های گذشته با توان های طبیعی یک عدد آشنا شده اید به طور مثال می دانید: و =5 )-5( و = = 1 1 و 56 4 = همچنین می دانید که اگر a عددی غیرصفر باشد 1= 0 a. آیا توان منفی یک عدد )ناصفر( هم معنی دارد مثال حاصل - چیست به کمک فعالیت زیر پاسخ این سؤال را می توان پیدا کرد: 5 درس او ل: توان صحیح فعالیت جدول زیر را درنظر بگیرید و به سؤاالت پاسخ دهید: = = = = الف( عددهای سطر او ل جدول با هم چه ارتباطی دارد ب( هر یک از عددهای سطر دوم چه رابطه ای با عدد باالی آن دارد ج( توان های عددهای سطر دوم تا 0 با یکدیگر چه رابطه ای دارد د( این الگو را ادامه دهید و در جاهای خالی عددهای مناسب بنویسید. ه( به کمک جدول تساوی های زیر را کامل کنید: - = -4 = -5 = به طور کلی اگر a یک عدد غیرصفر باشد و n یک عدد طبیعی باشد آن گاه: a n = 1 n a 0, n N a )الف 7 = = مثال: )ج )ب = = = = = = ) ( )د = = ( ) 8 60

69 کار در کالس 1 با توجه به مثال های حل شده زیر پاسخ موارد بعدی را به صورت یک عدد توان دار با توان طبیعی بنویسید: = = = )الف )ب = = = = )د = = = ) 6 ( )ج 1 4 = 7 = = a n n = = n a به طور کلی اگر n یک عدد طبیعی و 0 a آن گاه: 1 1 a عبارت های برابر را مانند نمونه به هم وصل کنید: (0 y 0 x), - x -1 )xy( -1 )-( 1 5 x y 1 xy x 4 x y 1 x xy y 5 حاصل هر عبارت را به ساده ترین صورت بنویسید: )الف 1 4 = - 1 )و = ) ( )ز = )ب 0 )ح = -)-5( )ج )ط = - -)-5( )د = 1 = = )ی = - -5 )ه = 4

70 اگر m و n دو عدد طبیعی و a یک عدد دلخواه باشد داریم: a m * a n = a m+n آیا این رابطه برای توان های منفی هم درست است برای توان های صحیح چه رابطه ای داریم با فعالیت بعدی می توان رابطه را برای عددهای صحیح هم حدس زد. فعالیت به حاصل ضرب های زیر توجه کنید چه نتیجه ای می گیرید = = = = = = + = = = ( ) ( ) = ( ) = 5 * 5-7 = حاصل ضرب مقابل را نیز به همین روش به دست آورید: در حالت کلی اگر m و n دو عدد صحیح باشد و a یک عدد دلخواه )غیرصفر( رابطه زیر برقرار است: a m * a n = a m+n * -5 * -4 = -5-4 = -6 )x -1 (*)x 4 (*)4x (=4x =4x 6 )x 0( مثال: کار در کالس حاصل هر یک از عبارات زیر را به صورت یک عبارت توان دار بنویسید: (0 y b),,x 5-7 *5 10 = )-4( -9 *)-4( -1 = 4 9 = ( ) ( ) = b - *b - = 7 11 x x = y y 6

71 اگر a و b دو عدد مخالف صفر و m و n دو عدد صحیح باشد روابط زیر برقرار است: a a m n m n m n m = a a = a ; a = 1 ; m a a b m m a = b m ; (a m ) n =a mn ; (ab) m = a m.b m ; a 0 = 1 7 = )الف 7 5 = - *5 - )ب کار در کالس )ج 1 = )د 1 = 5 )ه = = x.y.z 5 ( ) 7 1 x.y.z )و = = x,y, z 0 7 x.y.z تمرین 1 برای هر عبارت دو پاسخ داده شده است. پاسخ درست را با ذکر دلیل مشخص کنید. )الف )ب )ج )د )ه ) ( )و 8 6

72 جرم یک اتم هیدروژن حدود 4-10 گرم است. جرم یک وزنه 100 کیلوگرمی چند برابر جرم یک اتم هیدروژن است عددهای 16 و 8 4 و 11 را با یکدیگر مقایسه کنید. 4 در جاهای خالی عالمت > > یا = قرار دهید: - )0/6( - )0/5( )ج -5 )ب )الف 0 8 )ه )د - )-5( -5- )و در هر یک از تساویهای زیر x چه عددی است =5 4-5 x 5 )ب =5 4-5 * x 5 )الف 6 کدامیک درست و کدامیک نادرست است a 4 * a 5 = a 0 (الف =4-1 ( -1 +) 0 )-( (ه a 4 * a 5 = a 9 (ب = *4-1 (و 6 (ز >0 a (a m ) n = (a n ) m (ج = 6 > (ح =-9 - (د 7 حاصل هر عبارت را به دست آورید. (الف (ج و و - 5 و * -4 )0/( (ب -1 ( - )-5 (د 8 عددهای داده شده را از کوچک به بزرگ مرتب کنید و و )-1( 1 و )-7( و 9 عبارت نادرست را مشخص کنید. )0/987( 10 >10 0 )1/( 7 > )1/0( 7 4 > )0/7( < )0/75( حاصل عبارت های زیر را به دست آورید. (الف (ب 1 64

73 درس دوم: مناد علمی فعالیت ١ در جدول زیر تعدادی عدد داده شده و حاصل ضرب آنها در توان های ١٠ یا حاصل تقسیم آنها بر توان های ١٠ خواسته شده است. جاهای خالی را پر کنید و توضیح دهید که هنگام ضرب یا تقسیم مکان ممیز چگونه تغییر می کند تقسیم بر ضرب در تقسیم بر ضرب در تقسیم بر ضرب در تقسیم بر ضرب در تقسیم بر ضرب در عدد ١٥ 0/0 9/ ٢ سرعت نور متر بر ثانیه است. فاصله ای که نور در ١٠٠ ساعت می پیماید چند متر است راه حل این مسئله در ادامه داده شده است. توضیح دهید که حل چگونه به دست آمده است. ثانیه = 600 ١ ساعت ثانیه = ١٠٠ ساعت فاصله ای که نور در ١٠٠ ساعت می پیماید = واضح است که ضرب دو عدد باال به این صورت دشوار است. در محاسبات ریاضی ابتدا هرکدام از این عددها را به صورت یک عدد اعشاری مثبت با یک رقم صحیح در توانی از عدد ١٠ نمایش می دهند که آن را»نماد علمی«آن عدد می گویند بنابراین: = = / 6 10 = 10/ 8 10 = 1/ دقت کنید که حاصل ضرب نیز با نماد علمی نمایش داده شده است. این گونه نمایش به جز سادگی در نوشتن محاسبات را آسان تر می کند و در ضمن نوعی نظم و هماهنگی در نمایش عددهای بزرگ )یا کوچک( به شمار می آید. 65

74 مثال: 14000=1/4* =1/7* =1/9 * =9/04* /9 =1/59 *10 قطر متوسط یک سلول گلبول قرمز 0/ میلیمتر است. همانند عددهای بزرگ عددهای کوچک مانند 0/ را هم می توان به صورت نماد علمی نمایش داد یعنی: 0/ = ضخامت یک برگه کاغذ حدود 0/0016 سانتیمتر است که با نماد علمی آن را به صورت 10 1/6 - نمایش می دهیم. به طورکلی نماد علمی هر عدد اعشاری مثبت به صورت a 10 n است که در آن < 10 a 1 و n عددی صحیح است /75 = 0/ / 10 1= -5 مثال: 0/017 = 1/ = / کار در کالس ١ هریک از عددهای داده شده را با نماد علمی نمایش دهید: = = 0/005 = 0/ = 1404 = 0/175 = ٢ نمایش اعشاری عددهای زیر را بنویسید: 5/ * 10 - = 7/04 * 10-5 = /8 * 10 8 = 9/461 * 10 9 = 6/0 * 10 - = 1/1 * 10 4 = 66

75 تمرین ١ حاصل عبارت های زیر را به دست آورید: )ب )الف 8 ٢ کدام یک درست و کدام یک نادرست است 1/0 * 10-5 = 0/ /9 * 10-1 =0/59 4/ * 10 = 400 7/004 * 10 - =0/7004 6/18 * 10 7 = /570 * 10 4 = 8570 ٣ شعاع خورشید تقریبا کیلومتر است این عدد را با نماد علمی نمایش دهید. ٤ اندازه یک باکتری 0/ متر است این عدد را با نماد علمی نمایش دهید. ٥ قطر خورشید حدود * /4 متر و قطر زمین حدود *1/ 10 7 متر است. قطر خورشید تقریبا چند برابر قطر زمین است ٦ حاصل عبارت های زیر را به دست آورید و به صورت نماد علمی نمایش دهید: * 10-7 * 4 * /5 10-٤ 5 10-١٩ ٧ فاصله مریخ از زمین * /17 کیلومتر و فاصله کیوان از زمین * /87 کیلومتر است. با مقایسه این دو عدد مشخص کنید کدام سیاره به زمین نزدیکتر است ٨ در جاهای خالی حداقل ٣ عدد صحیح مختلف قرار دهید تا نامساوی درست باشد. /7 *10 > 0/0 0/0 > 0/00 * 10 ٩ عددهای زیر را از کوچک به بزرگ مرتب کنید: 1/5 10 -, 1/ 10 6, 5/5 10 -, /

76 1 حاصل هر یک از عبارت های زیر را مانند نمونه ها به دست آورید: )-( =9 ( ) = ( 5 ) = 1 = = 7 درس سوم: ریشه گیری فعالیت = 4 = ) - 4( = مربع )توان دوم( عددها و - برابر 9 است. اعداد و - را ریشه های دوم عدد 9 می نامند. همان گونه که در سال های گذشته دیده اید ریشه های دوم 9 را با 9. 9= 9= و جاهای خالی را در جدول زیر کامل کنید: و 9 نمایش می دهند و داریم: عدد مربع عدد )توان دوم( ریشههای دوم عدد 4 اعداد و هستند. ریشههای دوم 7 عددهای 7 و 7 9 هستند. ریشه دوم صفر همان صفر است و داریم 0 =0. بهطور کلی اگر b یک عدد حقیقی مثبت باشد b و b b مینامند. همانطور که میدانید عددهای منفی ریشه دوم ندارند. جاهای خالی را در جدول زیر کامل کنید. را ریشه های دوم عدد مکعب عدد )توان سوم(

77 مکعب )توان سوم( عدد برابر 8 است یعنی 8=. ریشه سوم عدد ٨ عددی است که وقتی بهتوان ٣ برسد برابر ٨ میشود پس ریشه سوم عدد 8 برابر است و مینویسیم = 8. همچنین چون 8-= )-( ریشه سوم عدد 8- برابر - است و مینویسیم = 8 بهعبارت دیگر با اینکه عددهای منفی ریشه دوم ندارند ولی ریشه سوم دارند. به کمک جدول قبل دیده میشود که ریشه سوم 7 سوم عدد 8 عدد است. عدد 64 برابر و ریشه 4 طرف دوم تساویهای زیر را بنویسید: 1 ( 8 ) = = 8 15 = 7 = بهطور کلی اگر b یک عدد حقیقی باشد ریشه سوم آن را با b هر عدد فقط یک ریشه سوم دارد. کار در کالس 1 حاصل هر عبارت را به دست آورید: نمایش می دهیم. 81 = 4 = ( 4 ) = = 7 15 = 8 6 = = ( ) = بهکمکرابطه x x = کهدرفصل آموختهاید حاصلعبارتهایزیررا بهدستآورید: ( 6 ) = 8 = = 5 69 ( 1 ) = ( 9 ) = 1 1 = را در هر یک از حالتهای زیر بهدست آورید یکی از حالتها x + حاصل عبارت y حل شده است. x + y = الف( x و y هر دو مثبت هستند )0>y 0>x(., x + y = x + y = x y ب( x مثبت و y منفی است y>0(.) x<0, x + y = ج( x منفی و y مثبت است y<0(.) x>0, x + y = د( x و y هر دو منفی هستند )0<y 0<x(.,

78 ضرب و تقسیم رادیکال ها در سال گذشته برای دو عدد مثبت a و b رابطه های زیر را یاد گرفتید: ab = a b a = b a b به کمک فعالیت زیر می توان حدس زد که این روابط چگونه برای ریشه سوم برقرار است: فعالیت با توجه به عددهای داده شده a و b جدول زیر را مانند نمونه کامل کنید. با مقایسه دو ستون آخر جدول چه حدسی می زنید a a b b ab ab a b *5= بهطور کلی برای هر دو عدد a و b داریم: ab = a b همچنین اگر 0 b داریم: a = b a b کار در کالس 1 آیا تساوی زیر برقرار است توضیح دهید = می توانید از استدالل زیر برای بیان نادرست بودن این تساوی استفاده کنید.»سمت چپ تساوی برابر ٥ می باشد در حالی که سمت راست آن کمتر از ٤ است.«70

79 4 16 = = در تساوی های زیر جاهای خالی را کامل کنید: 5 4 = 15 8 = 18 = 64 = 4 0 = = = = 54 = 7 = تمرین 1 ریشه های دوم عددهای زیر را بیابید: 49, 1, 15, 144, 1, , 7, -5, 1 16, 10 ریشه سوم عددهای زیر را به دست آورید: کدام یک درست و کدام یک نادرست است ( 1) = 1 ( 1 ) = 1 ( 5 ) = 5 = 5 ( 5 ) = = / 44 = 1/ ( 1 ) = 1 64 = 4 4 حاصل هر عبارت را به عدد مساوی آن در سطر دوم وصل کنید:

80 5 حداقل سه عدد صحیح مختلف مثال بزنید که اگر به جای a قرار دهیم نامساوی زیر درست باشد: a < 4 6 رابطه (x = x ( به چه شرطی درست است مثال بزنید. 7 اگر مساحت کل یک مکعب 96a باشد حجم آن را بر حسب a بهدست آورید. 8 اگر < 0 x و > 0 y باشد حاصل x y را ساده کنید و بدون قدرمطلق بنویسید. 9 عبارتهای زیر را مانند نمونه ساده کنید: = = 5 = , 80, 4, 15 ( ) = = آیا تساوی های زیر درست است 11 حاصل را به دست آورید: 16 4 = 8 5 = = 5 7

81 زمینی به شکل مربع داریم که طول قطر آن 6 متر است. می خواهیم مساحت و محیط این زمین را به دست آوریم. راه حل ارائه شده را توضیح دهید و در صورت لزوم آن را کامل کنید. x x + x = ( ) حل: به کمک رابطه داریم: 6 در نتیجه: =4 x و از آنجا =1 x بنابراین این زمین 1 متر مربع است. x مربع 1 متر یا از اینجا میتوان نتیجه گرفت که متر است. همچنین: متر = 8 4 = = مربع اگر قسمت رادیکالی دو عبارت پس از ساده کردن کامال یکسان باشد می توان آنها را با هم جمع یا تفریق کرد مثال دو عبارت و 7 دارای قسمت های رادیکالی = 7 و = یکسان هستند و داریم: 4 همچنین: = + 9 = 11 درس چهارم: جمع و تفریق رادیکال ها فعالیت اما قسمت های رادیکالی عبارات 5 و یا عبارات 7 و یکسان نیستند. کار در کالس حاصل جمع هر ستون را مانند نمونه ها در سطر آخر بنویسید: 7 5 a xy b x a 7 x b 4 xy

82 ساده کردن عبارت های رادیکالی فعالیت حاصل عبارات زیر را ساده کنید. راه حل ها را توضیح دهید و آنها را کامل کنید )الف ابتدا حاصل هر یک از رادیکال ها را به دست می آوریم: )جاهای خالی را کامل کنید.( 7 = 6 = 6 = 4 = 4 18 = = بنابراین: = = = )ب = = مثال ١: حاصل ) + )48 را به دو روش بهدست آوردهایم آنها را با هم مقایسه کنید. ) ( )الف 48 + = = = ( 4 ) = ) + ( = 4 ) + ( 4 = ) + 48( )ب = ) ( را بهدست آورید. مثال : حاصل = + 4 = بنابراین حاصل تقسیم برابر 1 است. )چرا ( 74

83 1( ( + + ( حاصل عبارت های زیر را ساده کنید کار در کالس ( ( ( + )( ) گویا کردن مخرج کسرها گاهی اوقات برای ساده کردن یک عبارت رادیکالی و یا آسانتر کردن محاسبات الزم است مخرج یک کسر را از حالت رادیکالی خارج کنیم بهطور مثال برای محاسبه 0 باید عدد 0 را بر تقسیم کنیم در حالیکه میتوانیم مخرج کسر را بهصورت زیر گویا کنیم: = = = 10 فعالیت توضیح دهید که مخرج هر یک از کسرهای زیر چگونه گویا شده است. هرجا الزم است حل را کامل کنید = = )الف = = = )ج 5 = = )ب = = )د 75 )ه x = = x x x (x > 0) )و 5 z = (z 0)

84 کار در کالس مخرج کسرهای زیر را گویا کنید. 6 )الف )ب )د )ج x )x 0( تمرین ١ عبارت های زیر را ساده کنید )( ( )ه 7 )ج )الف ) )د )ب )و x x ٢ اگر ٠<x باشد حاصل عبارت مقابل را بهدست آورید. محیط و مساحت مربعی به طول ضلع 5 سانتیمتر را به دست آورید. 4 شکل مقابل یک مثلث متساوی االضالع را به ضلع a نشان می دهد. اندازه ارتفاع h را برحسب a به دست آورید سپس مساحت آن را برحسب a بنویسید. a a h a a A M B Q N D P C 5 نقاط P N M و Q وسط های اضالع مربع ABCD هستند. اگر مساحت مربع ABCD 100 مترمربع باشد محیط مربع MNPQ چقدر است 76

85 6 در جاهای خالی عالمت > یا = یا < بگذارید: در جاهای خالی عدد مناسب بنویسید: = 1 )ج = 6 )ب =10 ( الف = 8 )د )ه 5 = 64 = ) 1 ( )و 4 6 m m = m )ز m 9 7 = ( 4) )ح 8 مخرج کسرهای زیر را گویا کنید. )الف 5 a )ب 7 )ج 9 آیا تساوی (x x = ( همیشه درست است توضیح دهید. الف( تساوی همیشه درست است. ب( تساوی همیشه نادرست است. ج( اگر 0 x تساوی درست است. خواندنی فناوری نانو مجموعه ای از فرایندهای تفکیک ادغام و تشکیل مواد در حد یک اتم یا مولکول است. یک نانومتر برابر 9-10 متر یعنی صدهزار برابر از قطر موی سر انسان کوچک تر است. کشور عزیز ما ایران بین ده کشور برتر در حوزه فناوری نانو قرار دارد. 77

86 عبارتهای جبری ف ص ل a = b +c a c آثار باستانی میلیونها در استان مرکزی b عبارتهای جبری کاربردهای فراوانی دارند به طور مثال رابطۀ فیثاغورس در مثلثهای قائم الزاویه یک تساوی بنی دو عبارت جبری است که از آن در محاسبات هندسی استفاده می شود. 78

87 هر عبارت را که به صورت حاصل ضرب یک عدد حقیقی در توان های صحیح و نامنفی یک یا چند متغیر باشد یک جمله ای می نامیم. عبارت های زیر همگی یک جمله ای هستند. 7, x, 5x 10, axz, 1 xy, 5 πx, 4z, 7 1, x, x, x, x +x, y, 1+x x و عبارت های زیر یک جمله ای نیستند. هرگاه قسمتهای حرفی دو یا چند یک جملهای یکسان باشند به آنها یک جملهایهای - x 7 متشابهاند اما y و xy متشابه گفته میشود به عنوان مثال یک جملهایهای 4x y و یکجملهایهای x و x متشابه نیستند. 1 حاصل عبارتهای زیر را مانند نمونه بهدست آورید: 1( )-4 x 7 x ( = )-8 x (=-56 x ( 8 ( xy) = ( ).(x).y = xy 7 1 ( ( x )( x) = 1 5 4( ( a b)(ab)( a c ) = 6 7 5( )5 xy 4 ( )- x 5 y (= 6( )x y()x y ( + xy )-5 x y(= درس او ل: عبارت های جبری و مفهوم احتاد فعالیت در یک جمله ای 5a x y توان متغیر a برابر با است بنابراین درجه این یک جمله ای نسبت به متغیر a برابر با است به همین ترتیب درجه نسبت به x و درجه نسبت به y 1 است. درجه نسبت به دو متغیر x و y را برابر با 4= 1+ تعریف می کنیم

88 جدول زیر را مانند نمونه کامل کنید. درجه نسبت به x و y درجه نسبت به y درجه نسبت به x متغیرها یک جمله ای 4 axy a, x, y 4 +4=6 5x y z 4-1x ٣ u 5 یک جمله ای های x y و 5- x y را که متشابه نیستند یک جمله ای های غیرمتشابه می گوییم. چنانچه تعدادی یک جمله ای را با یکدیگر جمع جبری )جمع یا تفریق( کنیم حاصل چند جمله ای است. چند جمله ای می تواند یک جمله ای یا جمع جبری چند یک جمله ای غیرمتشابه باشد مانند: 4x -4x+1, x -x, ax y axy axy, x 4 80 در هر چند جمله ای درجه نسبت به یک متغیر را برابر با بزرگ ترین درجه نسبت به آن متغیر تعریف می کنیم برای مثال در چند جمله ای 1-y - xy + x درجه نسبت به x برابر با و درجه نسبت به y برابر با است. همچنین درجه نسبت به چند متغیر را بزرگ ترین درجه یک جمله ای های آن نسبت به متغیرهای موردنظر تعریف می کنیم. در این مثال درجه نسبت به y و x برابر با 4 است. معموال در چند جمله ای ها جمالت را نسبت به توان های نزولی )از بزرگ به کوچک( یک متغیر مرتب می کنند. چند جمله ای های زیر را مانند نمونه نسبت به متغیر x مرتب کنید: -x+5 x +5 -x + x = x +x )الف -bxy +ax y-4bx y )ب x y xy x y )ج کار در کالس عبارت های جبری زیر را ساده و سپس آنها را نسبت به توان های نزولی x مرتب کنید. -8ax([= -5a -ax+x -]4a +5ax-)a )الف

89 = +1( x )4x+ 5x ()x - )ب = +1( )x+x ()x 4 + x )ج -(= x ()د -x+1( )x +x فعالیت 1 به ازای مقادیر داده شده برای x جدول زیر را کامل کنید: x x 6x x +6x+9 )x+( مقدارهای دو ستون آخر جدول را با هم مقایسه کنید نتیجه چیست حاصل عبارت های جدول را برای چند مقدار دیگر x ادامه دهید. با توجه به مقادیر به دست آمده در دو ستون آخر جدول چه حدسی می زنید حاصل عبارت جبری )+x( را به دست آورید و آن را با عبارت جبری 9+6x+ x مقایسه کنید. )x+( =)x+()x+(= اگر دو عبارت جبری به گونه ای باشد که به ازای هر مقدار برای متغیرهایشان حاصل یکسانی داشته باشد برابری جبری حاصل از آنها را اتحاد جبری می نامیم. بنابراین برابری 9+6x+ )+x( x= یک اتحاد است. برابری 1+x= -x را درنظر بگیرید. مقدار دو طرف تساوی را به ازای =x به دست آورید. آیا این برابری یک اتحاد است برقراری این تساوی را به ازای چند مقدار دیگر برای x بررسی کنید. همان طور که می دانید به چنین برابری هایی معادله گفته می شود. حاصل عبارت های زیر را مانند نمونه به دست آورید. +8a+16 )a+4( =)a+4()a+4(=a +4a+4a+16=a )الف 81

90 +0x+4 )5x+( =) + () + ( = =5x )ب )a+b( =) + () + (= =a +ab+b )ج با دقت در برابری 4+0x+ )+5x( 5x= که در فعالیت به دست آمده است به سؤال های زیر پاسخ دهید: جمله اول سمت راست برابری یعنی 5x چه رابطه ای با 5x دارد جمله دوم سمت راست برابری یعنی 0x چه رابطه ای با و 5x دارد جمله سوم سمت راست برابری یعنی 4 چه رابطه ای با دارد عبارت جبری +5x دو جمله ای و )+5x( را مربع دو جمله ای می نامیم و برای سرعت بخشیدن به عملیات جبری می توان مربع دو جمله ای را به صورت زیر محاسبه کرد: ( 5x + ) = ( 5x) + 5x + مربع جمله دوم دو برابر حاصلضرب مربع جمله دوم جمله اول دو جمله اول جمله برای هر دو عدد مثبت a و b به کمک مساحت های مشخص شده در شکل زیر درستی اتحاد مقابل را نشان دهید. )a+b( = a +ab+b a b a )a+b( = s 1 +s +s = مساحت کل شکل S 1 S b S S 8 4 مانند سؤال فعالیت طرف دوم تساوی های زیر را بنویسید. = =)5x-()5x-( )5x-( )الف = )x-5x( )ب = )a-b( )ج ارتباط بین جمالت به دست آمده در طرف راست تساوی های باال و جمالت عبارت داده شده در سمت چپ آنها را بیان کنید.

91 اتحاد مربع دو جمله ای: برای هر دو عدد حقیقی a و b داریم: )a+b( = a +ab+b )a-b( = a -ab+b 1 مربع دو جمله ای های زیر را با توجه به اتحاد مربع دو جمله ای به دست آورید. = )4a+b( )ب = )x+1( )الف 1 = ) (x )ج 1 = ) x ( xy )د + ( )ه ) ( )و = ) 5 = کار در کالس 4 ( + b) = 4 a )الف b جاهای خالی را با توجه به نمونه پ ر کنید. a =جمله اول =)a( = 4a مربع جمله اول =)a()b ( = 1ab دو برابر حاصل ضرب جمله ها در نتیجه داریم: )a+b ( =4a +1ab +9b 4 ) (xy )ب )1+b( =1+ +b )الف = x ) ( )ج 4 + x در سال گذشته خاصیت پخشی عمل ضرب نسبت به عمل جمع را در چند جمله ای ها مطالعه کرده اید. حاصل ضرب a(b+c) = ab+ac 8 مربع جمله دوم دو برابر حاصلضرب جملهها مربع دوم جمله اول جمله جمله اول = + 4 ) - ( ( د) x 0 ( =6x -1xy+ فعالیت

92 اکنون اگر این برابری را مانند زیر به صورت ضرب دو عبارت بنویسیم دو جمله ای ab+ac را به ضرب عبارت ها تجزیه کرده ایم: تجزیه کار در کالس )ب.م.م( بزرگ ترین مقسوم علیه )عامل( مشترک ab+ac=a(b+c) چند جملهایهای زیر را مانند نمونه تجزیه کنید:. 4x 8x +1x= 4x.x + )الف 4x =)ب.م.م( )با توجه به خاصیتپخشی( ( + x = 4x ) = 7x 4-14x +1x )ج = 6a 4-18a )ب = y 5x y-10xy +15x )د اگر سه جمله ای a +ab+b را به کمک اتحاد مربع دو جمله ای به صورت )a+b( بنویسیم در واقع عبارت را به عامل های ضرب تجزیه کرده ایم زیرا: تجزیه a +ab+b =)a+b( =)a+b)(a+b( با توجه به نمونه زیر توضیح دهید که چگونه در سه جمله ای داده شده جمله های اتحاد را تشخیص می دهید تا به کمک آن عبارت تجزیه شود. =)x+()x+( x +6x+9=)x+( )الف مربع کامل )( )x( مربع کامل = ( - -4x+4=) x )ب = ( - +5=) n 4-10n )ج = ٢ ( + =a) 8ax +4axy +18ay =a )4x +1xy+9y ( )د a =)ب.م.م( 84

93 تمرین 1 عبارتهای جبری زیر را ساده کنید. 1 ( 7a -4b +5c -)a -9b -11c )ب m) 5m) ( m) ( m) ( ( )الف x-])y-x(-)y-1([ )د -1( m )x m -1()x )ج m n ٢ محیط و مساحت هر شکل را بیابید. m n m 4xy n )ب )الف m n m n 5xy xy طرف دیگر عبارتهای زیر را با استفاده از اتحادها بهدست آورید. = -a( )-a )ب = )5y-x( )الف 1 ) 8x ( )ج = +)/7()/(+)/( )/7( )د = 4 به کمک اتحاد مربع دو جمله ای درستی تساوی های زیر را ثابت کنید. + 1 a = + 1 a ) (a a )ب = ٤ x y )x+y( -)x-y( )الف )a 0( 5 عبارت های جبری زیر را تجزیه کنید. x +8x +8x )الف a b-1ab +a b )ب a)x+1(+b)x+1( )ج a -a +a )د -4xy+4 x y )ه 5x 4 +0x +9x )و 6 با تبدیل b به b- در اتحاد )a+b( a= +ab+b طرف دوم تساوی زیر را کامل کنید. (a + ( b)) = (a b) 5m n 85

94 درس دوم: چند احتاد دیگر جتزیه و کاربردها فعالیت 1 حاصل عبارت زیر را با دو روش ارائه شده انجام داده و آنها را کامل کنید. = )a+b+c)(a+b+c( :)a+b+c( = روش اول + +)a+b(c :))a+b(+c( = )a+b( روش دوم a درستی تساوی به دست آمده در روش اول را با توجه به تصویر ابتدای فصل توضیح دهید. به کمک نتیجه این فعالیت حاصل عبارت زیر را بهدست آورید. )a+b-c( = با استفاده از ضرب عبارتهای جبری حاصل عبارت زیر را بهدست آورید. )a+b)(a-b(= اگر a و b مثبت و b<a باشد به کمک شکلهای زیر درستی اتحاد )a+b)(a-b(=a b- را نتیجه بگیرید. a b a b a b (a b) کار در کالس a b s = (a-b)(a+b) s 1 = a -b )a+b)(a-b(=a -b b b 86 اتحاد مزدوج این اتحاد را به صورت کالمی بیان کنید. ١ تساویهای زیر را با استفاده از اتحاد مناسب کامل کنید. 1( )1+a()1-a(=1- ( )t+ ()t - (=t -9 ( )a+5()a-5(= -5 4( )a-b-c( =a +b +

95 87 ٢ حاصل عبارت های زیر را مانند نمونه با استفاده از اتحاد مزدوج به دست آورید. 1( )10-x)(x+10( =)10-x()10+x( =100-x ( (-y-z) (-z+y) = ( - y) (-z+y) = 4z - ( )-7y+t()t+7y( = 4( )-4y-z()z-4y(= 5( (x-y+5) (x+y-5) = [x- (y-5)] [x+(y-5)]= فعالیت اتحاد مزدوج در تجزیه عبارتهای جبری نیز استفاده میشود. A -B =)A+B()A-B( با توجه به این تساوی جای خالی را پر کنید. 1( x -9= )x+() - ( 1 4 ( 4y z = ) + () - ( 4 ( )x+1( - y =])x+1(- []) (+y] 4( 1-)a+z( =]1-) ([]١+) (] =) ()1+a+z( 5( )x+1( -)x+4( =]) (-) ([]) (+) (] =)-x-() + ( 6( x 4 -y 4 =)x +y () - ( =)x +y ()x+y() - ( کار در کالس ١ محسن قصد دارد عبارت جبری زیر را تجزیه کند. 4x -)7-y( محسن با توجه به شکل عبارت جبری به فکر استفاده از اتحاد مزدوج می افتد و این عبارت را به کمک این اتحاد به صورت زیر تجزیه می کند. )x-7+y()x+7-y(

96 به نظر شما محسن در استفاده از اتحاد مزدوج A و B را چگونه انتخاب کرده است ٢ استفاده از اتحادها می تواند بعضی از محاسبات به ظاهر مشکل را به راحتی امکان پذیر کند. به کمک اتحادها تساوی های زیر را کامل کنید. 98*10=)100-(*)100+( = = 497 * 50 = * = )1001( = )1000+1( = فعالیت 1 به تساوی های زیر دقت کنید. توضیح دهید عبارت سمت راست چگونه به دست آمده است. بین جواب و عبارت سمت چپ چه ارتباطی وجود دارد +7x+10 )x+()x+5(=x +5x+x+10=x )الف +5 *5 +5x-6 )x+9()x-4(=x +9x-4x-6=x )ب با توجه به عبارات باال تساوی زیر را کامل کنید. )x+a()x+b(=x +) (x+ اتحاد بهدست آمده را اتحاد جمله مشترک مینامند. با توجه به فعالیت 1 اگر طرف راست عبارت باال را داشته باشیم و بخواهیم آنرا به حاصلضرب دو عبارت تجزیه کنیم اعداد a و b را چگونه تشخیص دهیم x +)a+b(x+ab=)x+ ()x+ ( +7x+10=)x+ x )الف () + ( +7x+1=)x+ x )ب () + ( +y-6=) y )ج + () - ( -y-6=) y )د + () - ( +5y+6=) y )ه + () + ( 88

97 تجزیه عبارت 4-10x+ x را چهار نفر از دانشآموزان به کمک اتحاد جمله مشترک به چهار صورت زیر انجام دادهاند. کدامیک درست و کدامیک نادرست است چرا :)x+6()x-4( جواب نفر اول :)x+1()x-( جواب نفر سوم :)x-1()x+( جواب نفر چهارم :)x+6()x+4( جواب نفر دوم تمرین 1 حاصل عبارت های زیر را با استفاده از اتحادها به دست آورید. 1 1 x) x)( + ( )الف 4 4 )x+y-z()x+y+z( )د +1( )x-1()x+1()x )ه )5x+( )5x+4( )ب ) + )(z (z )ج +( )x٢ )x-( )x+( )و در قسمتهای نقطهچین با استفاده از اتحادها عبارتهای مناسب بگذارید )x+a)(x-b(=x )ج )xy-z()xy+z(= - z )الف 1 y = 5) 5)( + ( )ب 4 )د )x + ()x -5(= x 4 +x - عبارات زیر را به کمک اتحادها تجزیه کنید. -8a+15 a )الف -1x+6 x )و 1 +x+ x )ب 4-1x+6 x )ز +10x+4 x )ج )x+y( -9 )ح -x-8 x )د bx -5bx-50b )ط 4ax -a )ه x4-5x +4 )ی 4 در اتحاد جمله مشترک اگر a=b باشد چه اتحادی بهدست میآید اگر a و b قرینه باشد کدام اتحاد به دست می آید 5 به کمک مساحت ها در شکل روبه رو اتحاد جمله مشترک را به دست آورید. x x x a ax x + b b bx ab 89 x + a

98 درس سوم: نابرابری ها و نامعادله ها روی کفه های ترازو دو وزنه a و b کیلوگرمی قرار دارد. با توجه به شکل وزنه a از وزنه b سنگین تر است. با توجه به وضعیت ترازو هر یک از نمادهای < < را در جاهای خالی فقط یک بار استفاده و وزنه های a و b را با هم مقایسه کنید. a b a b b a در شکل باال چنانچه وزنه ای p کیلوگرمی باشد به طوری که a=b+p در این صورت برای اینکه کفه های ترازو مقابل هم بایستند باید وزنه p کیلوگرمی را روی کدام کفه قرار داد 90 فعالیت هرگاه a و b دو عدد حقیقی باشد به طوری که a > b در این صورت عدد حقیقی مثبتی مانند p هست به طوری که.a=b+p با توجه به برابریهای زیر مانند نمونه یک نابرابری برای هر کدام بنویسید. a-=b+ )ج x=y+4 x>y )الف <0( n m=n )m, )د m+1=n+ )ب هرگاه a و b دو عدد حقیقی باشد فقط یکی از حالتهای»a بزرگتر از b«یا»a کوچکتر ازb «یا»a برابر با b«را خواهیم داشت. چنانچه عدد حقیقی a منفی نباشد در این صورت 0> a یا 0=a در این حالت مینویسیم 0 a و میخوانیم a بزرگتر یا برابر با 0 است مانند 0 یا 0 0 یا 0 1. چنانچه a و b دو عدد حقیقی باشد بهطوریکه a از b کمتر نباشد در این صورت a < b یا a=b در این حالت مینویسیم a. b برای سه عدد حقیقی a و b و x به طوری که عدد دلخواه. a < x < b می نویسیم )a < b( باشد b و a بین اعداد x مانند: 5<<1 a a < x < b b

99 کار در کالس 1 متناظر با هر یک از ناحیه های مشخص شده روی محور یک نابرابری بنویسید. 0 5 الف( ب( فعالیت 1 به دو طرف نابرابری زیر عددهایی را مانند نمونه اضافه کنید. آیا نابرابری باز هم برقرار است + < 1 + < 1+ 0< 4 7 < < درستی یا نادرستی هر یک از عبارت های زیر را بررسی کنید. الف( اگر a+b<0 آنگاه a و b هر دو مثبت هستند. ب( اگر ab<0 آنگاه a و b هم عالمت هستند. ج( اگر 0> ab آنگاه a و b و c منفی هستند. c د( اگر 0<b a آنگاه b منفی است. عبارتهای کالمی را بهصورت جبری بنویسید. برابر عددی منهای یک از 7 بزرگتر است. 8 از قرینه دو برابر عددی بهعالوه بزرگتر است. خاصیت 1: اگر دو طرف یک نابرابری را با عددی مانند c جمع کنیم نابرابری همچنان برقرار است یعنی اگر a > b آنگاه.a+ c > b+c دو طرف نابرابری زیر را در عددهای مختلف ضرب کنید آیا نابرابری ها تغییر می کنند 91 7 > 9 1> 7 ( ) 7 > 9 1< 7

100 0 7> 9 ( ) 7< 9 1 خاصیت : اگر دو طرف یک نابرابری را در عدد مثبتی مانند c ضرب کنیم نابرابری همچنان برقرار خواهد بود یعنی اگر a > b و 0> c آنگاه.ac > bc 9 خاصیت : اگر دو طرف نابرابری a > b را در عدد منفی c( > c)0 ضرب کنیم در این صورت داریم. ac < bc x= x=4 x=7 نابرابری 7>1+x را درنظر بگیرید این نابرابری شامل متغیر x است و درجه نسبت به x با 1 برابر است در این صورت به این نابرابری نامعادلۀ یک مجهولی درجه اول می گوییم. در جدول زیر اندازه های داده شده را به جای x قرار دهید آیا در هر حالت نابرابری برقرار است x = -1 )-1(+1<7-1<7 نادرست x= نامعادله x+1<7 مجموعه مقادیری که بهازای آنها نامعادله به نابرابری درست تبدیل شود مجموعۀ جواب نامعادله است. با توجه به جدول باال 4 و 7 جزو مجموعه جواب این نامعادله است. اکنون با توجه به خاصیتهای نابرابریها و پاسخ به سؤاالت زیر این نامعادله را حل کنید. دو طرف نامعادله را با 1- جمع کنید. حاصل را در 1 ضرب کنید یا دو طرف نامعادله را بر تقسیم کنید. دو طرف نامعادله با توجه به نابرابری >x متوجه میشویم که مجموعه همه عددهای بزرگتر از مجموعه جواب این نامعادله است. چنانچه مجموعه جواب نامعادله را با D نمایش دهیم خواهیم داشت D=}x R x<{ میتوان مجموعه جواب این نامعادله را روی محور عددهای حقیقی بهصورت x > مقابل نمایش داد. x 0 1 x +)-١( x + 1> 7 1

101 کار در کالس 15 x+7 )الف مجموعه جواب نامعادله های زیر را مانند نمونه به دست آورید. 1 x x 1 x 1 6 x 1 )ب < 6 6 < ( x) x < x 1 x + ( x) < x 1+ ( x) + 1 D=}x R x>{ x < x< )د )x-1( x+1 )ج x x (x + 7) 1 ( x) تمرین 1 در جاهای خالی نمادهای > یا < را جایگزین کنید. الف( a-b=1 در اینصورت a. b ج( اگر -q= )1-p( در این صورت p. q a. b در این صورت a ب( اگر u-v=- در این صورت u. v د( اگر = b عالمت عددهای حقیقی,c,b a را طوری تعیین کنید که نابرابریهای زیر برقرار باشد: ac )الف )ب >0 b a a )د < 0 bc ab )ج <0 <0 bc مجموعه جواب نامعادلههای زیر را بهدست آورید. > y )ج )x-(+5>5-x )الف y 4 q q 1+ ( 4 د 5)-x( -x )ب 4 اگر a < b آیا همواره میتوان نتیجه گرفت a>b 5 اگر 0> a,b و a < b نشان دهید a b< )از اتحاد مزدوج کمک بگیرید(. 6 عبارتهای کالمی زیر را به زبان ریاضی بنویسید. الف( اگر پول علی را سه برابر کنیم حداقل 00 تومان از دو برابر پولش بیشتر میشود. ب( مجموع نصف عدد a و چهار برابر عدد b حداکثر 6 واحد است.

102 7 دو نفر با وزن های 85 و 65 کیلوگرم به جنگلی رفتند که به منابع غذایی دسترسی ندارند. آنها همراه خود مواد غذایی برده اند که 4500 کیلوکالری انرژی دارد. اگر فرض کنیم هر انسان هر روز حداقل به اندازه سه برابر وزن خود کیلوکالری انرژی نیاز دارد آنها حداکثر چند روز می توانند با مواد غذایی خود در جنگل دوام بیاورند خواندنی خوارزمی ابوعبدالله محمد بن موسی متولد خوارزم و وفات حدود ) ه ق(. ریاضی دان منجم جغرافی دان و مورخ ایرانی است یکی از بزرگ ترین دانشمندان مسلمان و بزرگ ترین عالم زمان خود بود. کتاب جبر و مقابله خوارزمی از آغاز تألیف یعنی اوایل قرن سوم هجری برابر با قرن نهم میالدی و تا قرن شانزدهم میالدی در نزد ریاضی دانان عنوان سند و حجت داشته است. در زیر بخشی از مقدمه کتاب جبر و مقابله و ترجمه آن آورده شده است. 94 به نام خدوند بخشنده مهربان خدای راسپاس برنعمت هایش بدان گونه که شایسته اوست سپاسی آن چنان که اگر بر آیینی که بر بندگان ستایشگر او فرض شده انجام شود»شکر«نامیده می شود و باعث افزونی نعمت می گردد و ما را از دگرگونی های روزگار در امان می دارد تا به خداوندیش گردن نهیم و خویشتن را در پیشگاه عزتش ناچیز شمریم و در برابر کبریا و عظمتش فروتن شویم. خدایی که محمد )ص( را در روزگاری به پیامبری فرستاد که پیوند مردم با پیامبران گسسته شده و حق ناشناخته مانده و راه رستگاری ناپیدا گشته بود پیامبری که با آمدنش کوردالن بینا شدند و گمراهان از هالکت رهایی یافتند به وجودش هر اندکی فزونی گرفت و هر پراکندگی به پیوستگی و یگانگی انجامید.

103 خط و معادله های خطی ف ص ل بخشی از سقف صحن و سرای حرم مطهر سیدالشهدا امام حسین )ع( کاربرد هندسه و خط ها در فرش بافی کاشی کاری نگارگری خطاطی گچ بری کتیبه نویسی تذهیب و غیرقابل انکار و بسیار حائز اهمیت است. از انواع خط برای ایجاد زاویه ها و جداسازی فضاها استفاده های فراوان شده است. 95

104 درس او ل: معادلۀ خط وقتی دوچرخه سواری در حال حرکت است بین زمان و مسافت طی شده رابطه وجود دارد. بین زمان سوختن شمع و کوتاه شدن آن نیز رابطه ای دیده می شود. در الگوی عددی زیر نیز بین هر جمله و شماره آن رابطه ای هست که به صورت n n نمایش داده شده است:, 4, 6, 8,, n 1 4 n فعالیت دوچرخه سواری با سرعت ثابت دو متر در ثانیه درحال حرکت است یعنی در هر ثانیه دو متر را طی می کند. جدول زیر را کامل کنید. y زمان )ثانیه( x مسافت )متر( y 0 1 1/5 /5 4 5 بین زمان و مسافت طی شده چه رابطه ای هست پس از 100 ثانیه چه مسافتی طی شده است اگر x ثانیه بگذرد چه مسافتی طی شده است زوج عددهایی را که در جدول به دست آوردید به صورت نشان دهید و نمایش هر نقطه را روی 0 x y نمودار مشخص کنید این نقطه ها چه ویژگی مشترکی دارند اگر این نقطه ها را به هم وصل کنیم چه شکلی به دست می آید x 96

105 کار در کالس 1 اگر طول ضلع یک مربع را با x و محیط آن را با y نشان دهیم چه رابطه ای بین x و y هست ضلع )x( محیط )y( x y= اگر طول ضلع یک مربع را با x و مساحت مربع را با y نشان دهیم بین x وy چه رابطه ای هست پس از کامل کردن جدول زیر هر نقطه را روی نمودار پیدا کنید. ضلع x )سانتیمتر( مساحت y )سانتیمتر مربع( نقطهها 0 0/5 1 1/5 /5 0 0/ آیا این نقطه ها هم روی یک خط راست قرار گرفتند فعالیت 1 معادله y=-x+10 چند پاسخ دارد پنج پاسخ آن را به صورت زیر بنویسید: x = 1 x = x = y = y = y = x = y = 4 x = y = 0 توضیح دهید چگونه پاسخ های مختلف این معادله را می توان پیدا کرد. آیا تساوی برای =x و 5=y برقرار است توضیح دهید چرا این تساوی معادله است و اتحاد نیست 97

106 کنید. در شکل زیر نمودار یک خط داده شده است. جدول زیر را با توجه به نمودار خط کامل x )طول نقطه( y )عرض نقطه( x y 0 بین طول و عرض نقطه ها چه رابطه ای هست این رابطه را به صورت یک معادله بنویسید. پنج جواب برای هر یک از معادله های زیر بنویسید. x-4y=1 y = x-1 x = y = x = y = x = y = x = y = x = y = x = y = x = y = x = y = x = y = x = y = توضیح دهید که پیداکردن جواب در معادله سمت راست راحت تر و سریع تر است یا در معادله سمت چپ. هر معادله به صورت کلی y=ax+b معادله یک خط است زیرا درصورتی که تمام پاسخ های آن معادله را به صورت نقطه روی دستگاه مختصات نمایش دهیم شکل یک خط به دست می آید به همین دلیل می گوییم x و y با هم رابطه خطی دارند. معادله باال بیشمار جواب دارد ولی اتحاد نیست. به عنوان مثال y=x+ معادله یک خط است که در آن 1= a و =b فرض شده است و نمودار آن را در باال مالحظه کردید. 98

107 کار در کالس 1 نمودار خط های با معادله زیر را رسم کنید. y=-x+ y= x 0 0 آیا خط y=x از مبدأ مختصات )یعنی نقطه ) میگذرد چرا اگر در معادله y=ax به جای a عددهای مختلفی قرار دهیم بیشمار معادله خطی مانند y=x y=x y=-x و به دست می آید. آیا می توان گفت تمام این خط ها از مبدأ مختصات می گذرند y=ax صورت کلی معادله خط هایی است که از مبدأ مختصات می گذرند. فعالیت 1 در هر مورد دو نقطه از یک خط داده شده است ابتدا خط را رسم کنید و سپس مانند نمونه با توجه به مختصات هر نقطه معادله خط را حدس بزنید y=x )الف )ب 0 1 در فعالیت 1 برای هر مورد مختصات دو نقطه دیگر را روی هر خط به دست آورید. 99

108 60 6 و 6 و 0 در قسمت )ب( کدام یک از نقطه ها با مختصات روی خط قرار دارد کار در کالس 1 مختصات نقطه ای به طول را روی خط y=x-1 پیدا کنید. با استفاده از نمودار خط با استفاده از معادله خط y= x 1 y = 1 مختصات نقطه ای به عرض - را روی خط 1 = x+ y پیدا کنید. مختصات محل برخورد خط y=5x+1 را با محورهای مختصات پیدا کنید. تمرین 1 = x+ 4 1 خط به معادله y را رسم کنید. 100 الف( آیا نقطه 1 روی این خط است. ب( مختصات نقطه های برخورد خط را با محورهای مختصات پیدا کنید. ج( نقطه ای از خط به طول 1- را پیدا کنید.

109 طول یک فنر 10 سانتیمتر است. وقتی وزنه ای به جرم x به آن وصل شود طول فنر از رابط ه y=0/8x+ 10 پیدا می شود. اگر وزنه ای به جرم 5 کیلوگرم به آن وصل شود طول فنر چقدر می شود کدام یک از نمودارهای زیر رابطه رشد قد انسان را از هنگام تولد تا بزرگسالی نشان می دهد با توجه به وضعیت های مختلف نمودار آن را توصیف کنید برای مثال بگویید محل برخورد نمودار با محور y به چه معنا است. قد قد قد قد زمان زمان زمان زمان 4 دو نقطه از یک خط داده شده است معادله خط را حدس بزنید. )الف 1 0 و 0 1 )ب و 1 0 )ج 1 و مختصات محل برخورد خط به معادله y=-x+ را با محورهای مختصات بیابید. y را بیابید که طول آن نقطه 5 باشد. 101 = x مختصات نقطهای از خط به معادله 1 +x =y را رسم کنید. 7 خط نقطه روی این خط قرار دارد نقطه ای به طول ١- از این خط پیدا کنید. آیا نقطهای به عرض ٢- از این خط پیدا کنید. محل برخورد خط را با محورهای مختصات پیدا کنید.

110 درس دوم: شیب خط و عرض از مبدأ فعالیت 1 خط های به معادله های زیر را در یک دستگاه محور مختصات رسم کنید هرخط را با یک رنگ بکشید. y=-x )ه y=-x )د y=x )ج y=x )ب y= 1 x )الف y = x تمام این خط ها از مبدأ مختصات می گذرد تفاوت آنها در چیست زاویه هر خط را مانند نمونه با قسمت مثبت محور طول ها مشخص کنید. در خط های الف ب و ج چه رابطه ای بین ضریب x و این زاویه وجود دارد خط های د و ه چه نوع زاویه ای با جهت مثبت محور xها می سازد خط های به معادله های زیر را در یک دستگاه مختصات رسم کنید هر خط را با یک رنگ بکشید. y=x-1, y=x, y=x+ در معادله این خط ها ضریب x برابر با است که به آن شیب خط می گوییم. تفاوت خط ها در چیست زاوی ه خط ها را با محور xها با هم مقایسه کنید چرا این خط ها با هم موازی هستند بین محل برخورد خط با محور عرض ها و عدد ثابت معادله چه رابطه ای می بینید در معادله خط =y ax+b عدد a شیب خط نامیده می شود. با تغییر a زاویه خط با محور طول ها تغییر می کند. عدد b نشان دهنده محل برخورد خط با محور عرض ها است به همین دلیل به آن عرض از مبدأ می گویند. 10 به عنوان مثال در خط به معادله +x- y = عرض از مبدأ و شیب خط - است.

111 کار در کالس 1 در هر یک از معادله های زیر شیب و عرض را از مبدأ خط مشخص کنید. y = -x+1 معادله خطی بنویسید که: الف( شیب آن - و عرض از مبدأ آن 1- باشد. y=x-4 y x = ب( شیب آن 1 باشد و محور عرضها را در نقطهای به عرض قطع کند. 0 بگذرد. نقطه 4 ج( با خط 1 + y=x موازی باشد و از 1 بگذرد. نقطه معادله خطی بنویسید که شیب آن باشد و از معادله خط 10 y= ax+ b y= x+ b = 1+ b b= y= 1 فعالیت الف ب ج 1 در این تصویر سه نوع راه پله می بینید در هر سه مورد ارتفاعی که باال می روید یکسان است. کدام راه پله شیب بیشتری دارد کدام یک تعداد پله بیشتری دارد باال رفتن از کدام یک راحت تر است y در محورهای مختصات مقابل کدام خط شیب بیشتری دارد نقطه های A و B طول ثابتی دارند ولی عرض آنها متفاوت است. کدام یک از دو نسبت زیر بزرگ تر است چرا این دو نسبت چه ارتباطی با شیب خط ها دارد O x AH OH y A H BH OH B x

112 C D F d 1 ٣ روی خط d 1 به معادله - 1 x y = دو نقطه دلخواه مثل A و B درنظر گرفتهایم. با توجه به مثلث قائمالزاویه ایجادشده شیب خط را بهدست آوردهایم. شیب خط d 1 = EB EA = = 1 برای دو نقطه C و D نیز با توجه به مثلث رسم شده شیب خط را پیدا کنید. دو نقطه دلخواه دیگر روی خط درنظر بگیرید و با رسم یک مثلث قائم الزاویه شیب خط را دوباره پیدا کنید. B A E B ٤ خط d با محور طول زاویه بزرگتر از ٩٠ میسازد پس شیب خط منفی میشود. با توجه به مثلثهای رسم شده مقدار شیب خط d را پیدا کنید. شیب خط d EB = = EA 0 قطع کرده است یا عرض خط d محور عرضها را در 1 نقطه از مبدأ آن ١ است. معادله خط d را بنویسید. 5 با توجه به این بیان از شیب خط در زیر مراحل رسم معادله خط y=x-1 با روش دیگری مشخص شده است این روش را توضیح دهید. E A D F C d )( با داشتن دو نقطه خط رسم می شود. )( با توجه به مقدار شیب نقطۀ دیگر پیدا می شود. )1( خط از این نقطه می گذرد. 104

113 فعالیت 1 نقطه های و 1 0 را در دستگاه مختصات نشان دهید و خطی را رسم کنید که از این دو نقطه می گذرد. روی خط دو نقطه انتخاب کنید و مختصات آنها را بنویسید. اگر نقطه دیگری روی این خط در نظر بگیریم طول آن برابر است با: یک نقطه دلخواه به طول بنویسید و روی محور مختصات نشان دهید: تمام نقطه ها به طول روی خط باال قرار می گیرد و معادله آن به صورت =x است. صورت کلی معادله های خطی به صورت ax+by = c است. الف( با توجه به مقدارهای نوشته شده معادله خط را بنویسید کدام خط از مبدأ می گذرد a=, b=, c=4 a=-1, b=, c=0 ب( با توجه به خطهای داده شده مقدارهای b a و c را پیدا کنید. -x+y= a= b= c= y=x+1 a= b= c= ج( برای خط =x مقدارهای b a و c را بنویسید. ax + by = c x = مختصات نقطه های مشخص شده را روی خط بنویسید. 105 A B C D A = C = B = D =

114 به دست آید کار در کالس شیب این نقطه ها چه ویژگی مشترکی دارند معادله خط رسم شده را بنویسید. در فرم کلی معادله های خطی به جای b a و c چه عددهایی قرار دهیم تا معادله خط رسم شده 4 مانند نمونه برای خط های داده شده شیب و عرض از مبدأ را پیدا کنید. عرض از مبدأ 1 معادله های خط های رسم شده را در دستگاه مختصات مقابل کنار هر کدام بنویسید. ax + by = c 4 8 y 4x = 8 y= 4x+ 8 y= x+ x-y=6 x+y-9=0 y=x از برخورد دو خط - = y و = x کدام نقطه به دست می آید معادله خطی بنویسید که موازی محور x ها باشد و از نقطه تمرین 1 بگذرد. 1 خط های به معادله =y و - = x را رسم و مختصات محل برخورد آنها را پیدا کنید. زاویه بین این دو خط چند درجه است معادله محور طول ها و محور عرض ها را بنویسید محل برخورد آنها چه نقطه ای است شیب و عرض از مبدأ خط های زیر را پیدا و سپس آن خط ها را رسم کنید. y-x = 6 4x-y = 8 x-y =

115 4 خط y=ax+b را درنظر بگیرید. در هر یک از حالت های مورد نظر خط را مانند نمونه در دستگاه مختصات رسم کنید. a <0 a <0 a >0 a >0 b <0 b >0 b <0 b >0 5 معادله خطهای زیر را بنویسید. بگذرد. 1 1 x1 A y 1 6 معادله خطی بنویسید که با خط y-4x=5 موازی باشد و از نقطه 7 با توجه به شکل مقابل نشان دهید. x B y y = y شیب خط x y x 1 1 y 1 x 1 x دو نقطه از یک خط هستند شیب خط را پیدا کنید و معادله خط را بنویسید. 4 و

116 درس سوم: دستگاه معادله های خطی فعالیت 1 هزینه اشتراک یک خط اینترنت روی تلفن همراه 000 تومان مبلغ ثابت و 000 تومان برای هر ساعت استفاده است. هزینه کل ی x ساعت استفاده از اینترنت را با y نشان دهید و رابطهای بین y و x بنویسید. y یک نوع دیگر از اشتراک اینترنت بدون مبلغ ثابت است ولی برای هر ساعت استفاده 000 تومان هزینه دارد. رابطهای بین هزینه اشتراک )y( و x ساعت استفاده از اینترنت را در این حالت بنویسید. دو خط به معادلههای فوق را در دستگاه مختصات مقابل رسم کنید. محل برخورد این دو خط چه ویژگیای دارد برای 1/5 ساعت استفاده کدام نوع اشتراک بهتر است بعد از چند ساعت استفاده از اینترنت اشتراک نوع اول به صرفه خواهد بود معادله y=x-1 چند جواب دارد نمودار آن را رسم کنید. معادله + x- y = چند جواب دارد نمودار آن را رسم کنید. توضیح دهید چگونه یک جواب مشترک برای این دو معادله پیدا می کنید. x بر حسب ١٠٠٠ تومان بر حسب ١٠٠٠ تومان 108

117 کار در کالس با رسم خط ها دستگاه معادله های خطی زیر را حل کنید یعنی یک جواب مشترک برای دو معادله پیدا کنید. x y= 1 x + y = x y= x + y = فعالیت ٢x - y = 4 4x - 6y = 8 1 خط x-y=4 را رسم کنید. خط به معادله 4x-6y=٨ که در آن تمام عددهای معادله باال دو برابر شده است را رسم کنید. الف( آیا خط جدیدی بهدست آمد ض ر ی ب های عددی یک معادل ه خ ط را رد یک عدد ض ر ب ک ن ی م ب( چه نتیجه ای می گیرید ا گر ت مام ج( آیا می توان گفت این دستگاه معادله خطی بی شمار جواب دارد چرا 109

118 ــ به مثال های زیر توجه کنید : kg = 1kg 1kg 1kg = 1kg 1kg kg = 1kg 1kg 1kg x = x = + x x x = x (ج = = =7 (ب (الف از این مثال چه نتیجه ای می گیرید ا گر دو ط فر دو ت ساوی را ب ا هم ج مع ک ن ی م ــ با توجه به نتیجه هایی که از سؤال های باال گرفتید توضیح دهید که چگونه دستگاه معادله های زیر حل شده است. در هر قسمت مشخص کنید از کدام نتیجه استفاده شده است. { { = x y 6 x y = 4 = x = + y 4 + x + y 4 5x =10 { = x y 1 = + x+y x = 4 (ب x+y=4 و x= (الف x+y= و x= +y =4 + y = y =1 y = y =1 : جواب دستگاه 1 1 : جواب دستگاه یکی از راه های حل کردن دستگاه معادله های خطی حذف کردن x یا y است تا معادله یک مجهولی برسیم نام این روش حذفی است. به یک کار در کالس دستگاه های معادله های خطی زیر را حل کنید. 50 = x + y 5 = x + y 110 ( 1 = x 5 y 7 = x + y ( = x y 6 = 4x + y ( 1

119 فعالیت 1 دستگاه معادله های خطی زیر را به روش دیگری نیز می توان حل کرد. x y= 5 1 y = x )راهنمایی: هدف این است که به یک معادله یک مجهولی برسیم بنابراین مقدار y را از معادله پایین در معادله باال قرار دهید تا یک معادله یک مجهولی به دست آید نام این روش جایگزینی است(. x- ) (= 5»طول یک مستطیل از دو برابر عرض آن سانتیمتر کمتر است. اگر محیط مستطیل 4 سانتیمتر باشد طول و عرض مستطیل را پیدا کنید.«این مسئله توسط سه دانش آموز حل شده است. روش های هر کدام را توضیح دهید و کامل کنید. روش 1: -x: طول مستطیل و x: عرض مستطیل =)x+x-(=4 محیط روش : y: طول مستطیل و x: عرض مستطیل { { y= x x y= (x + y) = 4 x + y = 4 y y= 4 y: طول مستطیل و x: عرض مستطیل y= x (x + y) = 4 (x + x ) = 4 روش : بین روش های اول و سوم چه شباهتی هست 111

120 کار در کالس دستگاه های زیر را به روش جایگزینی حل کنید. 1( x y= 7 x 7y= 15 ( x y= 6 1 x+ y= 8 تمرین 1 دستگاه های زیر را حل کنید. 1( (x y) + y = 4 x ( x y) = 7 ( x 1 y 1 1 = 6 x+ y= 4 یک جواب برای x و y طوری تعیین کنید که تساوی زیر برقرار باشد. ٢ ٢x-y- = x+y-1 معادله خطی بنویسید که از محل برخورد دو خط x-y=1 و x+y=1 بگذرد و شیب آن باشد. 4 در معادله 1+ ax y = اگر به جای a عددهای مختلفی قرار دهیم معادله خط های زیادی به دست می آید. به ازای 1=a و =a و 1-=a این خط ها را رسم کنید این خطوط چه ویژگی مشترکی دارد 5 در یک مزرعه 0 شترمرغ و گاو وجود دارد. پاهای آنها 56 عدد است. در این مزرعه چند شترمرغ و چند گاو وجود دارد )شترمرغ پا و گاو 4 پا دارد( 6 دستگاه معادله خطی زیر را از دو روش حذفی و ترسیمی حل کنید. x y= 7 4x 6y= 5 آیا این دستگاه جواب دارد شیب هر دو خط را بهدست آورید. توضیح دهید چرا نقطه مشترکی بهعنوان جواب معادله بهدست نمیآید. 7 مجموع سن علی و پدرش 70 سال و اختالف آنها 6 سال است. سن هر یک را با تشکیل دستگاه معادالت بهدست آورید. 11

121 عبارت هایگویا ف ص ل پل خیبر پل طبیعت )تهران( پل ها نقش اساسی در زندگی انسان دارند. انواع مختلفی از پل ها وجود دارند و در موارد زیادی نیروهای وارد بر آنها از فرمول هایی به دست می آید که با یک عبارت گویا بیان می شوند. مثال در مورد پل های عابر پیاده بار محاسباتی از دستور + بهدست میآید که در آنL طول بارگذاری شده برحسب متر است. L + 150

122 درس او ل: معرفی و ساده کردن عبارت های گویا مسئله طول مستطیلی 4 سانتیمتر از عرض آن بیشتر است. اگر نسبت عرض به طول این مستطیل باشد طول و عرض آن را بهدست آورید. اگر x را عرض مستطیل درنظر بگیریم طول آن 4+x است و نسبت عرض به طول را میتوان نمایش داد بنابراین: x = x + 4 x عبارت + 4 x x با + 4 x =1 طول عرض x=8 x = x+8 را که نسبت دو چندجمله ای است عبارت گویا می نامیم. به طور کلی هر عبارت گویا کسری است که صورت و مخرج آن چند جمله ای باشند. عبارت های گویا در ریاضیات علوم پزشکی مهندسی اقتصاد و بسیاری از زمینه های دیگر مورد استفاده قرار می گیرند به طور مثال سرعت متوسط اتومبیلی که مسیری را با سرعت v 1 طی کرده و سپس از همان مسیر با سرعت v بازگشته است از رابطه جبری است. برخی از مثال های دیگر از این قرار است: vv 1 v + v 1 به دست می آید که عبارت گویای a + b محاسبه جرم یک جسم با سرعت v و انرژی جنبشی k میانگین حسابی دو عدد b و a v k با توجه به تعریف باال عبارت های زیر گویا هستند: x x و a و 5x x + 1 x 1 4 و x و 5 4 و x و x x+ 1 y 9 xy و 1 x x x و xy + x و و x (x y) 1 و a b +x-7 x و و xy x x+ y ام ا عبارت های زیر گویا نیستند. )چرا ( و x-y و 1 x 114

123 کار در کالس کدام یک از عبارت های زیر گویا است و و + 6 x و 7 x 1 x و 5 x y + 1 x ah + x و x و mn + n 5 n x 5 x + y x و و و و 14 a + x فعالیت + 5 مقدار عددی عبارت x x را به ازای عددهای داده شده در جدول زیر به دست آورید: x x + 5 x + 5 به ازای =x مخرج عبارت گویای 8 0 به عنوان عدد تعریف نمی شود. x x مساوی صفر می شود و همان گونه که از قبل می دانید برای تعیین همه مقادیری که به ازای آنها یک عبارت گویا تعریف می شود باید مقادیری از متغیر را حذف کنیم که به ازای آنها مخرج کسر صفر می شود به عبارت دیگر این مقادیر را نمی توان به جای متغیر در عبارت جبری قرار داد و حاصل را محاسبه کرد. مثال: عبارت گویای به ازای چه مقادیری از x تعریف نشده است 115 7x + 1 (x 1)(x + ) حل: چه مقادیری مخرج کسر را صفر میکند برای یافتن این عددها مخرج کسر را مساوی صفر قرار میدهیم یعنی: )x-1()x+(=0 از طرفی وقتی حاصلضرب چند عبارت برابر صفر شود حداقل یکی از آنها صفر است لذا:

124 (x 1) = 0 x = 1 یا (x + ) = 0 x = بنابراین عبارت گویای فوق به ازای = 1 x و - = x تعریف نشده است. کار در کالس هر یک از عبارتهای زیر بهازای چه مقادیری از متغیرها تعریف نشده است )الف 8x + 5 )ب 7 + x x )ج )و )د x x + 4 )ه x x 1 b + 1 b 1 a a + 5 5a+ 6 ساده کردن یک عبارت گویا و مساوی است. بین این کسرها کسری است که کسر با کسرهای دیگر قابل ساده شدن نیست در واقع: 6 = 1 = در ساده کردن هر عدد گویا می توان صورت و مخرج را به عددی غیرصفر تقسیم کرد یعنی ac a = (b 0, c 0 ) bc b AC BC A B AC داریم: BC به همین ترتیب برای عبارت گویای فعالیت = و 0 B( چند جمله ای هستند و 0 C C و B و )A توضیح دهید که هر یک از عبارت های گویای زیر چگونه ساده شده است هر جا الزم است حل را کامل کنید )چگونگی استفاده از اتحادها و تجزیه را در هر مورد توضیح دهید(. )الف 18y = 60y 10y 5 )ب x x + 6x+ 9 (x + ) (x + ) = + 4x+ (x + 1) (x + ) x + = x

125 کار در کالس )ج )د y 9 (y + )(y ) = = y + 9 (y + ) 7 4 8ab b ab = 0 b )ه 5 b 5 = = 1 5 b (b 5 ) m )الف ( a ج a 16 4 m 5 a 14 + a 1 عبارت های گویای زیر را ساده کنید: )ب 6m m x y )د y x a به دو شکل ساده شده کدام درست و کدام نادرست است a + ax a x )الف a + 1+ a a + ax a a ax = a( x) = 1 + x )ب + = عبارت تمرین 1 برای هر عبارت گویا مقادیری را به دست آورید که عبارت به ازای آنها تعریف نشده است. )الف 5x ab )ب y y( y 6) )ج P P P 1 )د x + 5 x x x )ه a )و a + 1 حاصل هر عبارت را به ساده ترین صورت بنویسید: )الف x x 5x+ 6 )ب 4x + 8x 1x + 4 )ج 4x 1x 6x 117 y y )د y y + y )ه 1 t t )و 16x 9y 8x 6y

126 )ز 4 6ab 4ab 8 )ح a a 8 + a 8 عبارت هایی را که حاصل آنها 1 و یا 1- است معلوم کنید. )الف y + y )ب y y ( ج y + + y )د y + y 4 هر یک از عبارت های داده شده در سطر اول را به عبارت مساوی آن در سطر دوم وصل کنید. 1( a a + 5 ( a + a 5 ( a a 5 4( a + a + 5 5( a a + 5 6( a a 5 7( a 5 a 8( 9( a a 5 10( a + a در جای خالی چه عبارتی باید نوشت )الف 1 z = z z + z )ب x = x x x 6 y + 1 ) ( = ( ج 5 5 (x 5) ) ( )د (x )(x 5) = x + 1 برابر است مشخص کنید. z(x + y) t zx + y )ب y) z (x + )الف t t 6 از عبارت های زیر هر کدام را که با عبارت 1 y) z(x )ج t + z )د x+ y t )ه zx zy zx + y )و + t t t 118

127 ضرب و تقسیم عبارت های گویا عبارت های گویا را همانند عددهای گویا می توان در هم ضرب یا بر هم تقسیم کرد. در مورد عددهای گویا قوانین زیر را داریم: a c ac و = b d bd a c a d ad = = b d b c bc )b, d 0( )b, c, d 0( درس دوم: محاسبات عبارت های گویا در ضمن در مورد عبارات گویا هم هرجا که امکان داشته باشد می توان عبارت را ساده کرد. فعالیت توضیح دهید که هر یک از ضرب ها و یا تقسیم های زیر چگونه انجام شده است. هرجا الزم است حل را کامل و حاصل عبارت را ساده کنید. 1 ( الف 5xy 16z yz = 8 xz 15y 1 x x + x x + x )ب = x x x 15 x (x + ) (x 5) = ( ج )د x 6 x x 18 x 6 ( )( ) 1 = = x 1x+ 6 x + 7x+ 1 ( )( ) (x + )(x + 4) x + 4 4x x x y xy 8 y = 4 xy 8x = 6 4 a a 4 a 5 a + a + a 4 a 5 )ه = a a a 4 4 a 4a a + a+ (a + 1)(a 5) a 4 a 5 = = a( ) ( )( ) 119

128 کار در کالس حاصل عبارت های زیر را به دست آورید. 6 + a + a 4 a a )الف a + 1 x x + x + )ج x+ x+ 5 a b + ab ab )ب a (a + b) )د 4 4x 8x 5 xy 9y جمع و تفریق عبارت های گویا جمع و تفریق عبارت های گویا مشابه جمع و تفریق عددهای گویا است در مورد عددهای گویا داریم: a c a+ c و = + b b b a c ad + bc + = b d bd ) b 0( )b, d 0( به طریق مشابه می توان دو عبارت گویا را جمع یا تفریق کرد. فعالیت توضیح دهید که هر یک از محاسبات زیر چگونه انجام شده است. هرجا الزم است حل را کامل و مانند نمونه یک جمع و تفریق عددی مشابه آن ارائه کنید. )الف )ب x+ 7 x x+ 7+ x + = = x+ x+ x+ x+ 7 x x + (x ) x+ = 7 = = 10 x+ x+ x+ x+ (a a 0 a a 0+ )ج + = ) a a + 4 a 4 a 4a 16 (a a 8) = = = (a 4)( ) = = (a + )(a ) )د a + 1 a + (a + 1)( ) ( a + ) = = a a(a + ) a(a + ) = = = = = = 10

129 کار در کالس حاصل عبارت های زیر را به دست آورید. )الف )ج x y + x y y x x 16 x+ x 4 4 x x x )ب )د 7 x x x + x + 4x+ )ه x + 1 x(x y) + y(x + 1) + = = y(x y) x(x y) xy(x y) ساده کردن عبارت های مرکب هنگام ساده کردن هر عبارت گویای مرکب همانند کسرهای مرکب می توان صورت و مخرج را جداگانه ساده و سپس آنها را برهم تقسیم کرد و یا از همان ابتدا صورت و مخرج را در عبارتی مناسب )و غیرصفر( ضرب کرد. فعالیت توضیح دهید که هر یک از روش های ارائه شده برای ساده کردن کسر مرکب با روش دیگر چه تفاوتی دارد هرجا الزم است حل را کامل کنید. )0 x( 1( ( الف )ب x( 1 ) x x x x x x 6 ( )( ) = = = = x( 1 + ) x 4x+ ( )( ) x 1 x x x x 1 6 x x 6 1 x x x x x 6 x 4x+ x x 6 = = = 4 + x x+ x x 1 4 x x x x x x 4x+ 11 = = =

130 ( الف a( )( ) a a+ 1 a a (a + ) a = = = a( )( ) a (a + 1) a+ 1 a a+ 1 a ( = 1 + a a )ب a+ 1 a و a 0 a -1 کار در کالس حاصل هر عبارت را به ساده ترین صورت بنویسید. )مخرج همه کسرها مخالف صفر فرض شده است( ( الف )ب n n n m = m 1+ n m y x x+ y x y = x y + x+ y x y فعالیت ٢x + طول ضلع مربع در داخل مستطیل نصف عرض مستطیل است. اگر نسبت x مساحت مربع به مساحت مستطیل 6 باشد طول و عرض مستطیل را بهدست آورید. حل را کامل کنید و توضیح دهید که چگونه به کمک سادهکردن عبارت گویای بهدست آمده و حل معادله پاسخ بهدست میآید. ) ( = مساحت مربع + 5 x = طول ضلع مربع 1

131 و ( () (= مساحت مستطیل مساحت مربع مساحت مستطیل (x + 5 ) 5 x = = 4( )( x + ) 6 4x x=5 x=5 = عرض = طول = = 5 6 کار در کالس 1 محیط هر شکل را برحسب x به دست آورید و آن را ساده کنید. )0>x( ٣x x + 1 x x+ 6 x x x+1 مساحت مستطیل مقابل را برحسب x به دست آورید. )>x( x- x - x - x+1 تمرین 1 ضرب و تقسیم های زیر را انجام دهید. )در همه تمرینها مخرج کسرها مخالف صفر فرض شده است( 1 a )الف 16 a + a + 4 a 8a x x 4 x + 4 x + )ج 4x y 8xy 6x m )ب 7 m m + 1 m 1 )د 1 c b b 1 c + c

132 جمع و تفریق های زیر را انجام دهید. )الف )ب 4 4 x y(x y) x + y x y x+ 7 y+ + 9 ax bx by ay a a b )ج b a b a b )د 4+ x x x + x فقط یکی از عبارت های گویای زیر قابل ساده شدن است آن را مشخص و ساده کنید. a a + و + a 5 و a + b و a a 5a a 4 از میان عبارت های زیر هر کدام را که مساوی عبارت x y است معلوم کنید. x y )الف + + )ب x y )ج x y x y )د a x )ه a y با کدام یک از عبارت های زیر برابر است x + x عبارت )الف x + x + 5 )ب x x + 5 x )ج x + 5 )د x x کدام یک از عبارت های زیر به درستی ساده شده است )الف a+ 5 a+ 5 = = a 5 a 5 (a + 5)(a 5) )ب a+ 5 a+ 5 1 = = a 5 (a + 5)(a 5) a 5 A را به دست آورید. B C 7 اگر A=a -b و B=a +b و C=ab حاصل عبارت 14

133 8 کدام یک از تساوی های زیر درست و کدام یک نادرست است. موارد نادرست را اصالح کنید. )همه عبارت های جبری تعریف شده فرض می شود.( a b a b )الف b a ab x = x )ب = a 7 a 7 b )ج = b )ه = 1 a b a + b )ز ca + cb a + b = c + cd d 1 0 x = 1 b a )د b a )و a b a b a c b )ح = a b c 7 = a+ b 9 طول مستطیلی از دو برابر عرض آن یک واحد کمتر است. نسبت محیط به مساحت این مستطیل را به صورت یک کسر گویا )عبارت گویا( بنویسید. 10 حاصل عبارت های زیر را به دست آورید و نتیجه را ساده کنید. )الف )ج a a a 1 a a a + 1 x x x x 1 1 x y x )ب x + y x 9y (x y) 11 دو عبارت گویا بنویسید که : x - x - 1 x-4 a a شود. a a شود الف( حاصل ضرب آنها ب( حاصل جمع آنها 1 عرض مستطیل مقابل را برحسب x به دست آورید. مساحت مستطیل 9- x است. A = x -9 15

134 درس سوم: تقسیم چندجمله ای ها 1 تقسیم یک جمله ای بر یک جمله ای )در تمام این درس مخرج کسرها مخالف صفر فرض شده است( برای تقسیم دو یک جمله ای بر یکدیگر از قوانین ساده کردن کسرها و نیز قوانین مربوط به ساده کردن توان ها استفاده می کنیم. 5 14x y x xy = 7 y و 4 18a xz a z = 6 5 7xz x مثال تقسیم چند جمله ای بر یک جمله ای اگر a و b و c اعدادی صحیح و d عددی صحیح و غیرصفر باشد داریم: a+ b+ c a b c = + + d d d d به طور مشابه برای تقسیم چند جملهای +18x- 1x بر 6 بهروش زیر عمل میکنیم: 1x 18x + 1x 18x = + = 1 x x فعالیت توضیح دهید که هر یک از تقسیم های زیر چگونه انجام شده است جاهای خالی را پر و حل را کامل کنید. ( الف 4 4 a + 5a 8a a 5a 8a 1 = + = a + 4a a )ب 14x yz 6xy + x y z xyz 7x z = + y = + ( ج 8y 4y + 1y ( 8y 4y + 1y) ( 4y ) = 4y = + = y

135 کار در کالس تقسیم های زیر را انجام دهید. )الف 7 4 1abc 8ab 6 )ب 6 4x y z + xyz xz تقسیم چند جملهای بر چندجملهای اگر تقسیم مقابل را درنظر بگیریم: عدد 6 را مقسوم 8 را مقسوم علیه را خارج قسمت و را باقی مانده می نامیم. رابطه های تقسیم باال به صورت زیر است: 8 + = 6 < 8 مثال: چند جملهای 15-7x- x را بر چند جملهای 5-x تقسیم کنید. چند جملهای 15-7x- x را مقسوم و 5-x را مقسوم علیه مینامیم. در اولین گام باید مقسوم و مقسومعلیه را برحسب توانهای نزولی متغیر موجود )در اینجا x( مرتب کرد. در مثال ما چندجملهایهای موردنظر مرتب شده هستند. x اکنون اولین جمله مقسوم را بر اولین جمله مقسومعلیه تقسیم میکنیم یعنی: x x = x 7x 15 x 5 + x 10x x حاصل ضرب x در 5-x را به دست می آوریم و آن را از عبارت مقسوم کم می کنیم: x -7x-15-)x -10x(=x -7x-15-x +10x=+x-15 برای آسان تر شدن می توانیم پس از محاسبه حاصل ضرب x در 5-x در کادر باال عالمت عبارت حاصل را قرینه کنیم و محاسبه را انجام دهیم یعنی: 17

136 7x 15 x 5 + x 10x x x - + x 15 اکنون دوباره 15-x را بر 5-x تقسیم و مراحل قبل را تکرار می کنیم یعنی اولین جمله عبارت 15-x را بر اولین جمله 5-x تقسیم می کنیم. توجه داریم که این چند جمله ای ها نیز باید x x = برحسب توانهای نزولی مرتب شده باشند داریم: این تقسیمها را تا زمانی ادامه میدهیم که یا باقیمانده صفر شود یا درجه چند جملهای باقیمانده از درجه مقسومعلیه کمتر شود. x 7x 15 x 5 ± x ± 10x x+ x 15 ± x ± 15 0 وقتی باقیمانده صفر باشد می گوییم مقسوم بر مقسوم علیه بخش پذیر است. فعالیت 1 تقسیم های زیر را انجام دهید و مراحل کار را توضیح دهید. جاهای خالی را پر و حل را کامل کنید. )الف 4x x + x+ 7 x ± 4x 8x x + 9x+ 7 x )ب x 5x 4 x 8 + x 8x + x 4 + x باقیمانده این تقسیم چیست 18

137 تقسیم زیر را انجام دهید و رابطه تقسیم را بنویسید. حل را کامل کنید. 4 10x x + x 19 + x 4 10x x + x 19 x x 15x 5x + + 1x + x x 18 + x رابطه های تقسیم: )5x + ()x -(+x- = =10x 4 -x +x-19 و درجه چند جمله ای -x از درجه - x کمتر است. کار در کالس تقسیم های زیر را انجام دهید. x x )الف x 4 x )ب x 1+ 8x x+ 6 تمرین 1 تقسیم های زیر را انجام دهید. )الف xyz 7 18 xz 5 x 4 + 4x 6 + x x تقسیم نشان دهید. حجم یک جعبه به شکل مکعب مستطیل برابر با x 15x+ 8x+ است. اگر ارتفاع این جعبه x و طول آن 4+x باشد عرض آن را بهدست آورید. 4 اگر چند جملهای 0x x+ -10x+a بر +4x بخشپذیر باشد a را بهدست آورید. 5 خارج قسمت و باقیمانده تقسیم عبارت 9+9x- x را بر هر یک از عبارتهای زیر بهدست آورید. و x+ و x- و x- x+ 19 )ب 4 a y a y + 15xy 5y -10y-4( )y-4( )y )د )x-( )x -7( )ج 5 4 x+ x + 5x x + x x+ )ه خارج قسمت و باقیمانده تقسیم زیر را مشخص کنید و درستی عمل تقسیم را با نوشتن روابط

138 حجم ومساحت ف ص ل گنبد قابوس بنایی تاریخی از سدۀ چهارم هجری است که در شهر گنبدکاووس در استان گلستان قرار دارد. این بنا بلندترین برج متام آجری جهان به شمار می رود. این برج استوانه ای که گنبدی مخروطی شکل روی آن قرار گرفته است ٥٥ متر ارتفاع دارد. ستون هایی به شکل منشور روی بدنۀ استوانه ای این برج قرار گرفته است. شما در این فصل با حجم های استوانه مخروط و منشور آشنا می شوید. 10

139 درس او ل: حجم و مساحت کره در سال های قبل با انواع حجم های هندسی آشنا شدید. این حجم ها به سه دسته تقسیم می شد: منشوری کروی و هرمی کره زمین و توپ بسکتبال نمونه هایی از حجم های کروی است. چند نمونه دیگر از حجم های کروی را نام ببرید. فعالیت 1 به تعریف دایره به عنوان یک شکل هندسی مسطح توجه کنید: دایره مجموعه نقاطی از صفحه است که همه آن نقطه ها از یک نقطه در همان صفحه به نام مرکز به یک فاصله ثابت و مشخص هستند. به این اندازه ثابت شعاع دایره می گوییم. O R با توجه به این تعریف در قسمت زیر کره را به عنوان یک شکل هندسی فضایی تعریف کنید. کره مجموعه از فضا است که مرکز هستند. به این اندازه می گوییم. 11 کارهای زیر را انجام دهید تا در انتهای فع الیت راه محاسبه حجم کره را پیدا کنیم. یک توپ پالستیکی به شکل کره تهیه کنید. مانند شکل مقابل با قرار دادن دو سطح صاف موازی قطر کره را اندازه بگیرید.

140 مانند شکل مقابل به کمک طلق یک استوانه درست کنید بهطوریکه توپ کروی بهطور کامل درون آن قرار گیرد و از اطراف باال و پایین بر آن مماس شود. در این حالت میگوییم کره در استوانه محاط شده و استوانه نیز بر کره محیط شده است. اگر شعاع کره R باشد ارتفاع استوانه و شعاع قاعده آن را بر حسب R نشان دهید. : ارتفاع استوانه : حجم استوانه : شعاع قاعده استوانه توپ را از استوانه خارج کنید و با دقت آن را ببرید تا به دو نیمکره مساوی تبدیل شود. مانند شکل مقابل یکی از نیمکرهها را در داخل استوانه بگذارید و نیمکره دیگر را از آب پر و در استوانه خالی کنید. اگر این کار را با دقت انجام دهید و استوانه را خوب آببندی کرده باشید که آبی از آن خارج نشود با دو نیمکره فضای باقیمانده پر از آب میشود. الف( حجم استوانه چند برابر حجم نیمکره است ب( حجم استوانه چند برابر حجم کره است ج( بنابراین حجم کره برابر حجم استوانه است. د( با توجه به دستور محاسبه حجم استوانه که در باال ذکر شد دستور محاسبه حجم کره به شعاع R را بهدست آورید. 4 = πr حجم کره ای به شعاع R از دستور V به دست می آید. کار در کالس 1 کرهای در استوانهای به قطر قاعده و ارتفاع 10 سانتیمتر محاط شده است. الف( حجم کره را بهدست آورید. ب( حجم استوانه را بهدست آورید. ج( حجم فضای بین کره و استوانه را بهدست آورید. حجم نیمکرهای به شعاع 10 سانتیمتر را بهدست آورید. 1

141 فعالیت 1 مانند شکل مقابل نیمکرهای را که از نصف کردن توپ پالستیکی بهدست آوردید روی یک صفحه کاغذ قرار دهید و دو بار روی کاغذ دایره رسم کنید طوریکه نیمکره بتواند روی این دایرهها قرار گیرد و آن را بپوشاند. این دو دایره کاغذی را هرطور که دوست دارید برش بزنید و کاغذهای بریده شده را روی سطح نیمکره بچسبانید. مراقب باشید تا حدامکان کاغذها روی هم قرار نگیرد و سطح نیمکره نیز دیده نشود! آیا توانستید تمام سطح )رویه( نیمکره را با این دو دایره بپوشانید در مورد مشکالت این کار و تقریبی بودن آن و راههای افزایش دقت این کار با یکدیگر گفتگو کنید. ثابت میشود که مساحت رویه یک نیمکره به شعاع R دوبرابر R مساحت دایرهای است که نیمکره روی آن ایستاده است )قاعده نیمکره(. R الف( پس مساحت رویه نیمکره برابر است با: ب( در نتیجه مساحت کره به شعاع R برابر است با: مساحت یک کره به شعاع R برابر است با: S=4πR کار در کالس 1 مساحت یک کاله )عرق چین( به شکل رویه نیم کره به شعاع 10 سانتیمتر را پیدا کنید. می خواهیم یک نیم کره چوبی توپر به شعاع 10 سانتیمتر را رنگ کنیم. مساحت کل قسمت رنگ شده را پیدا کنید. بین محاسبه مساحت کل نیم کره چوبی توپر و مساحت رویه یک عرق چین چه تفاوتی هست 1

142 تمرین 1 قطر تقریبی کره زمین حدود 1800 کیلومتر است. الف( قطر و شعاع کره زمین را بر حسب کیلومتر با نماد علمی بنویسید. ب( قطر و شعاع کره زمین را بر حسب متر با نماد علمی بنویسید. ج( مساحت تقریبی رویه )سطح( کره زمین را بر حسب کیلومتر مربع و متر مربع با نماد علمی بنویسید. د( مساحت کشور جمهوری اسالمی ایران حدود 1 / 648 / 000 کیلومترمربع است. مساحت ایران چه کسری از مساحت کره زمین است این نسبت را با درصد نشان دهید. یک کپسول گاز از قرار گرفتن یک نیمکره روی یک استوانه بهصورت مقابل درست شده است. اگر قطر دایره قاعده کپسول 60 سانتیمتر و ارتفاع آن یک متر باشد حجم کپسول را بر حسب متر مکعب بهدست آورید. ١m اگر بخواهیم سطح کل این کپسول را رنگ کنیم چند کیلوگرم رنگ الزم است بهشرط اینکه رنگآمیزی هر متر مربع به 100 گرم رنگ نیاز داشته باشد. 60cm 4cm x پیمانه ای به شکل نیم کره و به قطر دهانه 4 سانتیمتر را از آب پر و آب آن را در لیوانی استوانه ای شکل با همان قطر خالی می کنیم آب در لیوان تا چه ارتفاعی باال می آید 4cm 14

143 درس دوم: حجم هرم و مخروط یکی دیگر از حجم های هندسی حجم هرمی است. به طور حتم نام اهرام مصر را شنیده اید. نمونه دیگری از شکل های هرمی را نام ببرید. O هرم یک شکل فضایی است که دارای یک وجه زیرین به نام قاعده است. قاعده هرم یک چند ضلعی است. مانند شکل مقابل روی تمام محیط این چند ضلعی سطحهایی قرار دارد که در یک نقطه به نام A رأس یکدیگر را قطع میکنند. به این سطحها وجه جانبی میگویند. E B H در هرم مقابل نام رأس: تعداد وجهها: D C شکل وجهها: شکل قاعده: نام قاعده: به فاصله رأس هرم تا قاعده یعنی طول عمودی که از رأس بر قاعده رسم میشود ارتفاع هرم میگویند. در شکل OH بر قاعده ABCDE عمود است و ارتفاع هرم است. معموال برای نامگذاری هرم از رأس شروع میکنیم بهعنوان مثال هرم باال بهصورت OABCDE خوانده میشود. فعالیت O 1 اگر چند ضلعی قاعده یک چند ضلعی منتظم باشد و وجههای جانبی با هم همنهشت باشد هرم را منتظم میگوییم. در این صورت اگر قاعده مرکز تقارن داشته باشد پای ارتفاع )نقطه برخورد ارتفاع و قاعده( روی مرکز تقارن میافتد. B در هرم منتظم مقابل نام رأس: ارتفاع: A H شکل قاعده: شکل وجههای جانبی: تعداد C D وجهها: الف( با توجه به شکلها و اطالعات داده شده به نظر شما حجم کدام هرم بیشتر است در 15

144 O O شکل های )1( و ) (مثلث های قاعده هم نهشت هستند. )١( )( H O < OH V V در شکل های )( و )4( ارتفاع ها برابر است. A B A B H H C O O C H O =OH و S ABC < S C B A V V کار در کالس A B A H )( )4( C C H B ب(به نظر شما حجم هرم به چه مقادیری وابسته است ج( برای محاسبه مساحت مثلث از چه مقادیری استفاده می کردید برای محاسبه حجم هرم چه حدسی می زنید د( اگر دو هرم دارای قاعده های با مساحت مساوی و ارتفاع های مساوی باشند درباره حجم های آنها چه می توانید بگویید اگر دو هرم دارای قاعده های هم مساحت و ارتفاع های مساوی باشند حجم های آنها با هم برابر است. A B N M D C A B D C در شکل مقابل ABCD یک وجه یک مکعب مستطیل و M و N دو نقطه دلخواه روی وجه مقابل ) D C B A ( است. چرا هرم های MABCD و NABCD دارای حجم های یکسان است به این ترتیب چند هرم می توان ساخت که با هرم های باال حجم یکسان داشته باشند 16

145 فعالیت محاسبۀ حجم هرم ABC و E را به نقطههای C را مالحظه میکنید.نقطه DEF در شکل زیر منشور با دو قاعده و D و نقطه B را به نقطه D وصل میکنیم به این ترتیب منشور را به سه هرم مطابق شکل تجزیه میکنیم. آیا این سه هرم را در این منشور تشخیص میدهید با پاسخ دادن به سؤاالت زیر نشان دهید که این سه هرم حجمهای برابر دارد و از آنجا نتیجه بگیرید که حجم هر یک از آنها یک سوم حجم منشور است. A C B C C B A C B A C B D D F E D E D E D E 1 چهارضلعی ABED چه نوع چهار ضلعی است چرا مثلث های ABD و BDE هم مساحتند چرا هرم های CBED و CBAD دارای حجم های برابر هستند چرا مثلث های DEF و ABC هم مساحتند 4 چرا هرم های CDEF و DABC دارای حجم های برابر هستند 5 با توجه به پاسخ سؤال های و 4 چه نتیجه ای می گیریم حجم هر هرم با مساحت قاعده S و ارتفاع h برابر است با: 1 V = Sh = πr h F F O کار در کالس A C 17 H B در شکل مقابل هرم OABC دارای قاعده ABC است که در ACB و OH ارتفاع آن AC =6cm و BC =10cm و زاویه = 90 هرم مساوی 5cm است. با کامل کردن عبارتهای زیر حجم هرم را بهدست آورید.

146 S ABC AC CB = = = 1 1 V = Sh = = cm cm فعالیت ١ در شکل زیر هرم منتظم با قاعده مربع رسم شده که وجههای جانبی آن همگی مثلثهایی متساویالساقین و طول ساقهای آنها 10cm و M وسط BC است. O الف( پارهخط OM در مثلث OBC چه خواصی دارد ب( مثلث OBM چه نوع مثلثی است A ج( اگر طول ضلع قاعده 1cm باشد به کمک قضیه فیثاغورس B M در مثلث OBM طول OM را حساب کنید. H د( مثلث OMH چه نوع مثلثی است طول MH چقدر است C ه( به کمک قضیه فیثاغورس در مثلث OMH طول OH را بهدست آورید. و( حجم هرم OABCD را بهدست آورید. ٢ هرم منتظمی را درنظر بگیرید که قاعده آن یک چندضلعی منتظم باشد. مانند مربع پنج ضلعی منتظم شش ضلعی منتظم و. حال تعداد ضلع های این چندضلعی را بیشتر و بیشتر کنید چند ضلعی فوق به چه شکلی نزدیک میشود هرم به چه شکلی نزدیک میشود D مخروط شکلی شبیه به هرم منتظم است که قاعده آن به شکل دایره و پای ارتفاع مخروط مرکز این دایره است. 18

147 از اینجا نتیجه می شود که حجم مخروط مانند حجم هرم از رابطه زیر به دست می آید: 1 1 V = Sh= π R h h R کار در کالس 10cm علی با قسمتی از دایره ای به شعاع 10cm مخروطی به قطر قاعده 1cm ساخته است. حجم این مخروط را به دست آورید. 1cm تمرین 1 حجم هرمی را بهدست آورید که قاعده آن مستطیلی به ابعاد 6 و 5 سانتیمتر و ارتفاع آن 10 سانتیمتر باشد. حجم هرمی با قاعده مربع را بهدست آورید که ضلع قاعده آن 4cm باشد و وجههای جانبی آن مثلثهای متساویالساقینی به ساقهای 8cm باشد. 4cm ظرفی به شکل مخروط با شعاع دهانه ٤cm و به ارتفاع 1cm را قاعده آن 6cm است 1cm از آب پر میکنیم و در لیوانی استوانهای شکل که شعاع خالی میکنیم آب تا چه ارتفاعی در لیوان باال میآید 19 6cm

148 درس سوم: سطح و حجم فعالیت 1 با توجه به اندازه های ابعاد مکعب و مکعب مستطیل اندازه ضلع ها را در گسترده هر کدام مشخص کنید مساحت گسترده هر یک از هرم ها را با توجه به اندازه های روی هر هرم محاسبه کنید. )ب( 8 4 )الف( 5 A O B 4 دایرهای به شعاع 10 سانتیمتر را برداشتهایم با کمک آن یک سطح مخروطی شکل درست کردهایم طول کمان AB چقدر است چه رابطهای بین طول کمان AB و محیط دایره قاعده مخروط وجود دارد شعاع قاعده مخروط را پیدا کنید. 140