ΣΕΤ 2: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2017-18 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΦΟΙΤΗΤΕΣ ΤΟΥ Ε.Α.Π. ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΕΤ 2: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΣ ΣΩΤΗΡΙΟΣ (Δείγμα από τις Σημειώσεις. Το πλήρες κείμενο αποτελείται από 70 περίπου σελίδες και διατίθεται μόνο στους φοιτητές μας. Άλλοι ενδιαφερόμενοι για το πλήρες κέιμενο πρέπει να επικοινωνήσουν μαζί μου) ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΣΤΟ ΕΑΠ ΣΤΗΝ Θ.Ε. ΔΕΟ 13 ΑΚ. ΕΤΗ. 2008-2016 ΣΕΤ 2: Οικονομικές συναρτήσεις 1

ΣΕΤ 2. ΟΙΚΟΝΟΜΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 0 ΕΝΗΜΕΡΩΤΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ 3 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ ΣΕ ΠΛΗΡΩΣ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΗ ΑΓΟΡΑ 4-13 Συνάρτηση ζήτησης (καταναλωτής) 4 Παραδείγματα συναρτήσεων ζήτησης 7 Συνάρτηση προσφοράς (προµηθευτής ) 8 Συνάρτηση προσφοράς και ζήτησης μετά την επιβολή φορολογίας 9 Πεδίο ορισµού και πεδίο τιµών της συνάρτησης ζήτησης 9 Πεδίο ορισµού και πεδίο τιµών της συνάρτησης προσφοράς 10 Παραδείγματα προσδιορισμού πεδίων ορισμού και τιμών 10 Γραμμικές συναρτήσεις 10 Μη γραμμικές συναρτήσεις 12 2 ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ (ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ-equilibrium) 14-22 Ισορροπία στην αγορά προϊόντων (Goo market equilibrium) 14 Γραμμικές συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς -παραδείγματα, 15 Ασκήσεις προτεινόμενες προς επίλυση 16 Μη γραμμικές συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς-παραδείγματα 17 Ασκήσεις προτεινόμενες προς επίλυση 19 3 ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ (Elaticity) 21-32 Ποσοστιαία μεταβολή 21 Ελαστικότητα συνάρτησης (ορισμός) 21 Σημειακή ελαστικότητα 23 Ελαστικότητα τόξου 24 Μέση Ελαστικότητα τόξου 24 Ταξινόμηση με βάση την ελαστικότητα 25 Παραδείγματα 25 Ασκήσεις προτεινόμενες για επίλυση 31 4 ΑΛΛΕΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 33-40 Συνάρτηση µέσου µμεγέθους (Average function) 33 Συνάρτηση οριακού µεγέθους (Marginal function) 33 Συνάρτηση ολικού μεγέθους 34 Συνάρτηση παραγωγής (Prouction function) 35 Συνάρτηση συνολικού Κόστους (Total cot function) 36 Συνάρτηση ολικών Εσόδων (Total revenue function) 37 Συνάρτηση κερδών (Profit function) 38 5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΙΚΑ 41-52 6 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗΣ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗ 53-57 7 ΜΟΝΤΕΛΑ ΕΘΝΙΚΟΥ ΕΙΣΟ ΗΜΑΤΟΣ 58 8 ΑΝΑΛΥΣΗ ΝΕΚΡΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ 59 9 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 61-64 ΣΕΤ 2: Οικονομικές συναρτήσεις 2

0. ΕΝΗΜΕΡΩΤΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Και για τις σημειώσεις αυτές ισχύουν όλα όσα έχουν αναφερθεί στο ΣΕΤ 1 Σε αυτές θα βρείτε όλο το υλικό που χρειάζεται για να αντιμετωπίσετε τις ανάγκες της Θ.Ε. ΔΕΟ 13 και ειδικότερα το μέρος που αναφέρεται στις οικονομικές συναρτήσεις. Η µεέτη τους θα σας βοηθήσει στην επίλυση των αντιστοίχων ασκήσεων των γραπτών εργασιών, και θα σας προετοιμάσει πλήρως για να αντιμετωπίσετε με επιτυχία τις τελικές εξετάσεις. Η δομή της ύλης. Παρουσιάζονται, με σειρά, όλες οι βασικές οικονομικές συναρτήσεις καθώς και οι παραγόμενες από αυτές. Μετά την παρουσίαση κάθε κατηγορίας συναρτήσεων παρατίθενται παραδείγματα ίσως και λυμένες ασκήσεις που βοηθούν στην εμπέδωση των εννοιών και των τεχνικών ανάλυσης, και προτείνονται ασκήσεις προς επίλυση, συνοδευόμενες με τις απαντήσεις των. Μετά την ολοκλήρωση της παρουσίασης του συνόλου της ύλης, παρατίθεται μια ενότητα με ασκήσεις ανακεφαλαίωσης λυμένες υποδειγματικά. Αυτή ακολουθείται από ασκήσεις, με τις απαντήσεις των, προτεινόμενες για επίλυση. Στην τελευταία ενότητα δίνονται τα θέματα μαθηματικών με τις απαντήσεις τους που έχουν δοθεί στις εξετάσεις τα τελευταία τρία ακ. έτη. Στρατηγική μελέτης. Οικονομικές συναρτήσεις. Αυτό είναι το κύριο μέρος της ύλης των Μαθηματικών. Από αυτή την ύλη θα είναι τυα θέματα των εξετάσεων που αναφέρονται στα Μαθηματικά και αντιστοιχούν στο 33 % του συνόλου των θεμάτων και της βαθμολογίας αντίστοιχα. Θα πρέπει να μελετήσετε όλα τα θέματα που παρουσιάζονται. Ωστόσο, αν ο χρόνος σας πιέζει ασφυκτικά, ακολουθείστε προσεκτικά τις οδηγίες και υποδείξεις που θα συναντάτε στο κείμενο, καθώς κάποια θέματα μπορούν να παραλειφθούν, με σχετικά μικρό κόστος σε σχέση μόνο την επίδοση στις τελικές εξετάσεις (στις εργασίες δεν θα τα αποφύγετε). Κατά την μελέτη κάθε ενότητας, θα πρέπει μετά την μελέτη της θεωρίας να μελετήσετε με προσοχή τα παραδείγματα που ακολουθούν, τις ασκήσεις που είναι λυμένες, και να προσπαθήσετε οπωσδήποτε να λύσετε τις ασκήσεις που προτείνονται για λύση. Τέλος θα πρέπει να μελετήσετε τις ανακεφαλαιωτικές ασκήσεις, να προσπαθήσετε να λύσετε τις προτεινόμενες και μετά θα πρέπει να λύσετε τα θέματα των εξετάσεων. ΣΕΤ 2: Οικονομικές συναρτήσεις 3

1. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ ΣΕ ΠΛΗΡΩΣ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΗ ΑΓΟΡΑ Με τον όρο αγορά εννοούμε ένα φυσικό ή νοητό χώρο στον οποίο υπάρχουν δυο μόνο ομάδες ανθρώπων (παίκτες). Η μια ομάδα, αποτελείται από τους προμηθευτές γενικότερα τις επιχειρήσεις (παραγωγοί, έμποροι μεταπωλητές), οι οποίοι διαθέτουν-προσφέρουν προς πώληση τα προϊόντα τους, και η άλλη ομάδα αποτελείται από τους καταναλωτές-αγοραστές που ενδιαφέρονται να αγοράσουν τα προϊόντα. Εμείς εδώ θα περιοριστούμε σε αγορά όπου διακινείται ένα μόνο προϊόν. Μια αγορά στην οποία ο αριθμός των επιχειρήσεων που δραστηριοποιούνται είναι μεγάλος, το διατιθέμενο προϊόν είναι ομοιογενές, και υπάρχει ελευθερία εισόδου και εξόδου των επιχειρήσεων, και όπου κάθε επιχείρηση παίρνει την τιμή ως δεδομένη, (δηλαδή δεν μπορεί να την επηρεάσει), τότε λέμε ότι η αγορά είναι πλήρως ανταγωνιστική Στο εξής με τον όρο αγορά θα εννοούμε μια πλήρως ανταγωνιστική αγορά στην οποία διακινείται ένα μόνο προϊόν, και οι μόνοι παράγοντες που επηρεάζουν την τιμή είναι αυτοί που επιρεάζουν την προσφορά και τη ζήτηση ενώ όλοι οι άλλοι (γνωστοί ή άγνωστοι) παράγοντες παραμένουν αμετάβλητοι. Οι τιμές των αγαθών σε μια τέτοια αγορά προσδιορίζονται από την αλληλεπίδραση των δυνάμεων της ζήτησης και της προσφοράς. Αυτό το παιγνίδι προσφοράς και ζήτησης συνήθως οδηγεί την αγορά στην διαμόρφωση μιας τιμής στην οποία, οι μέν προμηθευτές δέχονται να διαθέσουν το προϊόν τους, οι δε καταναλωτές αντίστοιχα δέχονται να αγοράσουν το διατιθέμενο προϊόν (κατά κάποιο τρόπο μια τιμή κοινής αποδοχής). Σε αυτή την τιμή οι ποσότητες που προσφέρονται από τους προμηθευτές αγοράζονται από τους καταναλωτές. Όταν συμβεί αυτό λέμε ότι η αγορά είναι σε κατάσταση ισορροπίας. Συνάρτηση ζήτησης (καταναλωτής) 1. Η λογική με την οποία συμπεριφέρονται οι καταναλωτές (υποθέτουμε ορθολογικούς καταναλωτές) είναι απόλυτα φυσιολογική. Αυτοί παρατηρούν την τιμή P του προϊόντος στην αγορά και ανάλογα αποφασίζουν για την ποσότητα Q που θα αγοράσουν. Αν η τιμή είναι χαμηλή, (, με όλους τους άλλους παράγοντες σταθερούς) αγοράζουν μεγάλη ποσότητα ενώ όσο η τιμή μεγαλώνει αγοράζουν όλο και μικρότερη ποσότητα. Έτσι δημιουργούν τη δική τους συνάρτηση ζήτησης η οποία σαν συνέπεια αυτής της συμπεριφοράς είναι φθίνουσα συνάρτηση. Παράδειγμα. Τιμή Μονάδας Ζητούμενες Α/Α P μονάδες Q 1 14 30 2 17 23 3 19 18 4 23 14 30 12 1 Όταν μιλάμε για ένα καταναλωτή τότε αναφερόμστε στην ατομική συνάρτηση ζήτησηε και η συνάρτηση ζήτησης της αγοράς προκύπτει σαν το άθροισμα των ατομικών ΣΕΤ 2: Οικονομικές συναρτήσεις 4

Με τα σύμβολα Q, q, ή απλά Q, q (σύμβολα ισοδύναμα) συμβολίζουμε την ποσότητα που αγοράζει ένας καταναλωτής. Με τα σύμβολα P, p ή απλά Ρ, p (σύμβολα ισοδύναμα) συμβολίζουμε την τιμή στην οποία ο καταναλωτής αγοράζει (πληρώνει για να αγοράσει) μία μονάδα από το προϊόν της αγοράς. Ο δείκτης είναι το αρχικό της λέξεως Deman (=ζήτηση), και μας θυμίζει την ζήτηση. H σχέση που συνδέει την ζητούμενη από τον καταναλωτή ποσότητα Q, με την τιμή P στην οποία αγοράζει ο καταναλωτής την μονάδα του προϊόντος προϊόντος ονομάζεται συνάρτηση ζήτησης του καταναλωτή ή απλά συνάρτηση ζήτησης. Η σχέση αυτή μπορεί να είναι άγνωστη αλλά μπορεί να είναι και μια συνάρτηση που προσδιορίζεται από συγκεκριμένο τύπο. Παράδειγμα: Η Q= 20 2Pείναι μια συνάρτηση ζήτησης. Σύμφωνα με αυτήν αν η τιμή P είναι π.χ. 2 ο καταναλωτής θα αγοράσει Q= 20 2 2= 16μονάδες από το προϊόν, αν η τιμή Pείναι 10 ο καταναλωτής θα αγοράσει Q= 20 2 10= 0, δηλαδή δεν θα αγοράσει καμία μονάδα,ενώ αν η τιμή είναι 0 ο καταναλωτής θα αγοράσει Q= 20 2 0= 20, δηλαδή αγοράζει όλη 1. την διατιθέμενη ποσότητα Q των 20 μονάδων Όταν η τιμή P είναι μεγαλύτερη από 10 η ποσότητα που υπολογίζεται από τη συνάρτηση αυτή είναι πάντα αρνητική, που σημαίνει ότι ο καταναλωτής δεν αγοράζει από το προϊόν. Έτσι βλέπουμε ότι η συνάρτηση αυτή είναι έγκυρη, έχει νόημα όταν 0 P 10οπότε και το Q μεταβάλλεται από το μηδέν μέχρι το 20 δηλαδή 0 Q 20.Αυτό διατυπώνεται λέγοντας ότι η συνάρτηση αυτή, έχει πεδίο ορισμού το διάστημα [0,10] (δηλαδή P [0,10] ) και πεδίο τιμών το διάστημα [0, 20] (δηλαδή Q [0, 20] ). Στο θέμα αυτό, πεδίο ορισμού και πεδίο τιμών, θα επανέλθουμε αργότερα και θα το δούμε διεξοδικότερα. Μια άγνωστη συνάρτηση ζήτησης μπορεί να δοθεί σε μορφή πίνακα, όπως στο προηγούμενο παράδειγμα Μια γνωστή συνάρτηση ζήτησης μπορεί να βρεθεί στις εξής δυο μορφές. 1. Η ζήτούμενη ποσότητα Q να είναι (εκφράζεται ως) συνάρτηση της τιμής P όπως ακριβώς στο παραπάνω παράδειγμα. Η γενική μορφή είναι Q = Q (P ) Αν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης μπορούμε, κατά περίπτωση, να παραλείπουμε τους πολλούς δείκτες, και να την γράψουμε και στις παρακάτω απλούστερες μορφές Q = Q (P), Q = Q(P), Q= Q (P), Q= Q(P), q= q (p) ή q= q(p), q= f(p) 2 H τιμή P να εκφράζεται σαν συνάρτηση της ζήτούμενης ποσότητας γενική μορφή είναι Q π.χ. P= 10 0.5Q. Η 1 Η ερμηνεία αυτου θέλει πολύ περισσότερη επεξηγηση, αλλά αυτό ξεφεύγει από τον στοχο αυτών των σημειώσεων ΣΕΤ 2: Οικονομικές συναρτήσεις 5

P = P (Q ) ή και στις ισοδύναμες απλούστερες, όπως παραπάνω μορφές, P = P (Q), P = P(Q), P= P(Q), p= p(q ), p= p(q), p= f(q) Οι μορφές Q= Q(P),q= q(p), P= P(Q), p= p(q) είναι και οι πλέον συνηθισμένες. Σύμφωνα με την λογική δημιουργίας της η συνάρτηση ζήτησης είναι φθίνουσα 1. Όταν δίνεται στη μορφή Q= Q(P) είναι φθίνουσα ως προς την τιμή P διάθεσης του προϊόντος, δηλαδή καθώς αυξάνει η τιμή P ο καταναλωτής αγοράζει όλο και λιγότερη ποσότητα Q. Όταν δίνεται στη μορφή P= P(Q) είναι φθίνουσα ως προς την ποσότητα Q του προϊόντος. Δηλαδή όταν αγοράζει ποσότητα Q1σε τιμή P1 = P(Q 1) και αποφάσιζει να αγοράσει ποσότητα Q 2, Q1< Q2, η τιμή P2 = P(Q 2) θα είναι μικρότερη της P 1, P1 > P2. Παρατηρήσεις 1. Αρνητικές τιμές για τα Q, P δεν έχουν νόημα λόγω της φυσικής των σημασίας διότι εδώ μιλαμε για αγαθά). Δεν έχει νόημα να πούμε ότι αγοράσαμε -5 κιλά μήλα, ούτε έχει νόημα να πούμε ότι αγοράσαμε σε τιμή -4 ευρώ το κιλό. Αυτό είναι σημαντικό για την εύρεση του πεδίου ορισμού και του πεδίου τιμών της συνάρτησης αυτής, ένα θέμα που θα το δούμε παρακάτω. 2. Όταν έχουμε την συνάρτηση ζήτησης στην μία μορφή, θεωρητικά 2 μπορούμε να την φέρουμε και στην άλλη λύνοντας τη σχέση ως προς την μεταβλητή που θέλουμε. Έτσι αν π.χ. η συνάρτηση ζήτησης είναι στη μορφή P= P(Q) και για τις ανάγκες του προβλήματος την θέλουμε στην μορφή Q= Q(P) θα λύσουμε την P= P(Q) ως προς Q οπότε καταλήγουμε στην μορφή Q= Q(P). Η ενότητα που ακολουθεί μπορεί να παραλειηφθεί ως ύλη για τις εξετάσεις Συνάρτηση ζήτησης σε μορφή πίνακα Όταν έχουμε στοιχεία τιμών- ποσότητας σε ένα πίνακα (όπως στο αρχικό παράδειγμα) Παράδειγμα. Α/Α Τιμή Μονάδας Ζητούμενες Σημείο (Q,P) P μονάδες Q στο επίπεδο 1 14 30 (30,14) 2 17 23 (23,17) 3 19 18 (18,19) 4 23 14 (14,23) 30 12 (12,30) τι μπορούμε να κάνουμε για να προσδιορίσουμε την συνάρτηση ζήτησης αν την χρειαζόμαστε σε αλγεβρική μορφή. Από αυτά τα στοιχεία δεν είναι δυνατόν να ανακαλύψουμε τον ακριβή νόμο (την σχέση) που συνδέει την ποσότητα με την τιμή. Ωστόσο μπορούμε να φτιάξουμε ένα διάγραμμα αυτών των σημείων ώστε να πάρουμε μια ιδέα πώς συμμεταβάλλονται τα δυο μεγέθη. Ακόμη μπορούμε να προσδιορίσουμε την 1 Εξαίρεση του κανόνα αυτού αποτελούν τα αγαθά Giffen) τα οποία θα σας απασχολήσουν στην Μικροοικονομία 2 Αυτό δεν είναι πάντα δυνατόν να γίνει, αλλά και όταν γίνεται δεν είναι πάντα εύκολο, και σε πολλές περιπτώσεις δεν είναι και αναγκαίο. ΣΕΤ 2: Οικονομικές συναρτήσεις 6

εξίσωση μιας καμπύλης που περνάει από όλα αυτά τα σημεία (ή από κάποια επιλεγμένα), και να χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση αυτής της καμπύλης ως συνάρτηση ζήτησης της αγοράς. Δείτε πως απεικονίζονται τα σημεία ( Q, P ) στο επίπεδο, καθώς και την εικόνα προσεγγιστικής καμπύλης ΤΤιμή P Διάγραμμα Σημείων (Q,P) 35 30 25 20 15 10 5 0 0 5 10 15 20 25 Ποσότητα Q Σειρά1 35 Προσεγγιστική καμπύλη Τιμή P 30 25 20 15 10 5 Σειρά1 0 2 4 8 13 20 Ποσότητα Q Παραδείγματα συναρτήσεων ζήτησης (i) Aν η συνάρτηση ζήτησης είναι στην μορφή P= 12 0.5Q, δηλαδή η τιμή P είναι συνάρτηση της ποσότητας Q τότε λύνοντας την P= 12 0.5Q την παίρνουμε στην μορφή Q= Q(P). 12 P 12 P P= 12 0.5Q 0.5Q= 12 P Q= Q= Q= 24 2P 0.5 0.5 0.5 (ii) q= 9 0.5p, με 0 p 18. Αυτή είναι στην μορφή q=q(p), η ποσότητα είναι συνάρτηση της τιμής. Λύνοντας ως προς p παίρνουμε την συνάρτηση ζήτησης στη μορφή p= 18 2q, με 0 q 9. ΣΕΤ 2: Οικονομικές συναρτήσεις 7

(iii Αν 2 q= 9 p, 0 p 3 (το p 0πρέπει να είναι σε αυτό το διάστημα ώστε το qνα είναι θετικό) 1. Και αυτή είναι στην μορφή q=q(p), και αν την λύσουμε παίρνουμε την p= 9 q, με 0 q 9, για να έχει νόημα η τετραγωνική ρίζα. Σχόλιο. Η συνάρτηση ζήτησης στη μορφή p= f(q), όπου η τιμή p εκφράζεται σαν συνάρτηση της ποσότητας q (η ποσότητα είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή), φαίνεται λίγο αταίριαστη, με την έννοια που έχουμε για τη συνάρτηση διότι, ο καταναλωτής ενεργόντας λογικά πρώτα κοιτάζει την τιμή και μετά αποφασίζει τι ποσότητα θα αγοράσει, δηλαδή η έκφραση q= g(p) μας έρχεται πιο φυσιολογική. Εν τούτοις για ιστορικούς λόγους έχει επικρατήσει στις τάξεις των οικονομολόγων και είναι δημοφιλής η μορφή p= f(q). Έτσι, έχει παγιωθεί η κατάσταση, και όταν φτιάχνουμε το γράφημα μιας συνάρτησης ζήτησης στον οριζόντιο άξονα να τοποθετούμε την ποσότητα q και στο κάθετο την τιμή p. Συνάρτηση προσφοράς (προμηθευτής -παραγωγός). Αυτοί ενεργούν ακριβώς ανάποδα από τους καταναλωτές. Παρατηρούν την τιμή του προϊόντος στην αγορά, και αν αυτή είναι χαμηλή διαθέτουν (ρίχνουν στην αγορά) μικρή ποσότητα του προϊόντος ενώ αν αυτή είναι υψηλή διαθέτουν (ρίχνουν στην αγορά) μεγαλύτερη ποσότητα. Μια σχέση που συνδέει την ποσότητα Q, q, Q, q (ισοδύναμα σύμβολα) ενός προϊόντος που διαθέτουν οι προμηθευτές (παραγωγοί- upplier ) στην αγορά όταν παρατηρούν ότι η τιμή διάθεσης του προϊόντος στην αγορά είναι P, P, p p (ισοδύναμα σύμβολα) ονομάζεται συνάρτηση προσφοράς του προμηθευτή ή και απλά συνάρτηση προσφοράς. Ο δείκτης είναι το αρχικό της λέξης upplier (=προμηθευτής). Η συνάρτηση αυτή γράφεται σαν Q = Q (P ), ή P = Q (Q ) Και για αυτή τη συνάρτηση έχουμε απλούστερες μορφές με δίκτες ή απαλλαγμένες από τους δείκτες ανάλογα με την περίπτωση και τις ανάγκες ανάλυσης π.χ. Q = Q(P), Q= Q (P), q= f(p), Q= Q(P ), P= P(Q ), P= Q (Q), p= f(q) κ.λπ. Αντί του Q συχνά χρησιμοποιείται και το σύμβολο S (από το αρχικό της λέξης upply) για τον προμηθευτή οπότε έχουμε τη συνάρτηση με τον συμβολισμό S= S(P) ή P= S(S). Και αυτή η συνάρτηση μπορέι να δοθεί σε μορφή πίνακα Σύμφωνα με την λογική 2 δημιουργίας της, η συνάρτηση προσφοράς είναι αύξουσα. Συγκεκριμένα, όταν δίδεται στην μορφή Q= Q(P) είναι αύξουσα ως προς P ενώ όταν δίδεται στην μορφή P= P(Q) είναι αύξουσα ως προς Q. 1 2 Μη αρνητικό, και αυτό απαιτεί την επίλυση της ανισότητας q 0 9 p 0 2 Από μαθηματική άποψη προέρχεται από την μεγιστοποίηση των κερδών. ΣΕΤ 2: Οικονομικές συναρτήσεις 8

Παράδειγμα. Q = 2+ 4PS ή Q = 2+ 4P ήq= 2+ 4P ήq= 2+ 4P ή q= 2+ 4 p ή αν την λύσουμε ως προς την τιμή P = 0.5+ 0.25Q ή P = 0.5+ 0.25Q ή P= 0.5+ 0.25Qκ.λ.π. Συνάρτηση προσφοράς (προμηθευτής) και ζήτησης μετά την επιβολή φορολογίας Όταν οι παραγωγοί- προμηθευτές-πωλητές δημιουργούν την συνάρτηση προσφοράς παρατηρούν, όχι μόνο τι εισπράττουν από την πώληση μιας μονάδας του προϊόντος που διαθέτουν, αλλά τι τελικά μένει στην τσέπη τους, και αυτό διότι ενδέχεται να υπάρχουν και φόροι που επιβάλλονται στην τιμή του προϊόντος, τους οποίους ο προμηθευτής εισπράττει και αποδίδει στο κράτος. Έτσι Όταν στην τιμή p πώλησης της μονάδας του προϊόντος επιβάλλεται φορολογία t χρηματικών μονάδων, για να προχωρήσουμε στην όποια περαιτέρω ανάλυση πρέπει να κάνουμε τα εξής. Αν πριν την φορολογία η συνάρτηση προσφοράς είναι στην μορφή q = f (p) θα πρέπει να την αλλάξουμε σε q = f (p t) και αν είναι στην μορφή p = h(q) θα πρέπει να την αλλάξουμε σε p t= h(q) Η συνάρτηση ζήτησης q = q(p) (καταναλωτής) παραμένει αμετάβλητη. Αυτό συμβαίνει διότι όταν επιβάλλεται φορολογία t ν.μ. στην τιμή του προϊόντος, o παραγωγόςπρομηθευτής από την τιμή p που εισπράττει πληρώνει φόρο t και έτσι βάζει στην τσέπη του μόνο p-t χρηματικές μονάδες και με αυτή την τιμή αυτός διαμορφώνει τη συνάρτηση προσφοράς. Ο καταναλωτής κοιτάζει μόνο την τιμή p στην οποία αγοράζει το προϊόν και δεν τον ενδιαφέρει αν αυτή περιέχει φόρους ή και όποιες άλλες επιβαρύνσεις, και με αυτήν διαμορφώνει την συνάρτηση ζήτησης 1, Επισήμανση. Δώστε προσοχή, η επιβολή φορολογίας αποτελεί προσφιλές θέμα εξετάσεων. Πεδίο ορισμού και πεδίο τιμών των συναρτήσεων ζήτησης και προσφοράς. Όταν γράφουμε οποιαδήποτε από τις δυο αυτές συναρτήσεις είναι απαραίτητο να δώσουμε και το πεδίο ορισμού αυτών. Επίσης είναι χρήσιμο να μπορούμε να βρούμε και το πεδίο τιμών αυτών. Πιό πάνω είδαμε ένα παράδειγμα. Πως όμως μπορούμε να βρούμε αυτά τα πεδία; Αυτό γίνεται βασιζόμενοι στις ιδιότητες που πρέπει να έχουν αυτές οι δυο συναρτήσεις και τους φυσικούς περιορισμούς που υπάρχουν για τα μεγέθη Q,P που δεν μπορεί να είναι αρνητικά. Η ανάλυση απαιτεί την χρήση στοιχειωδών μαθηματικών, που συνήθως συνίστανται στην επίλυση πολύ απλών ανισοτήτων, όπως θα δούμε και στα παραδείγματα που ακολουθούν. Πεδίο ορισμού και πεδίο τιμών της συνάρτησης ζήτησης Πεδίο ορισμού Αν Q = Q(p) είναι μια συνάρτηση ζήτησης τότε το πεδίο ορισμού αυτής βρίσκεται με την επίλυση, των τριών ανισοτήτων. Q 0, p 0, Q 0 p {ή P 0 q αν είναι στην μορφή P = P(q) } και την εύρεση του διαστήματος (ή των διαστημάτων αν υπάρχουν περισσότερα από ένα) στα οποία αυτές συναληθεύουν. 1 Μπορούμε να ακριβώς τις αντίθετες αλλαγές, όμως μη μπλέκεται τα πράγματα. ΣΕΤ 2: Οικονομικές συναρτήσεις 9

Χρήση των σημειώσεων Απαγορεύεται η ανατύπωση και η χρήση των σημειώσεων αυτών για διδακτικούς σκοπούς χωρίς προηγούμενη συνεννόηση με τον συντάκτη. Σχόλια, παρατηρήσεις, εντοπισμός λαθών κ.λ.π. επί των σημειώσεων είναι καλοδεχούμενα και σας παρακαλώ επικοινωνήστε μαζί μου. Ε mail: papachr@cc.uoi.gr, τηλ: 2651035602 και 6944707939 ΣΕΤ 2: Οικονομικές συναρτήσεις 10