ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Ακαδημαϊκό Έτος: ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΥΕΝΑΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΦΟΙΤΗΤΕΣ ΤΟΥ Ε.Α.Π.

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ- Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 0- ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΥΕΝΑΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΦΟΙΤΗΤΕΣ ΤΟΥ Ε.Α.Π. ΣΕΤ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΔΙΚΤΥΑ (MST-MINDISNTANCE) ΠΑΙΓΝΙΑ-ΟΥΡΕΣ). ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΣ ΣΩΤΗΡΙΟΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΕΠΙ ΣΕΙΡΑ ΕΤΩΝ (00-0) ΣΤΟ ΕΑΠ Θ.Ε. ΔΕΟ MST, MIN DISTANCE, GAMES, QUEUES Σελίδα από 0

2 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ Β ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΖΕΥΓΝΥΟΝΤΟΣ ΔΕΝΔΡΟΥ- MST Σελ. Πρόβλημα. Δίκτυο άρδευσης Πρόβλημα. Δίκτυο υπολογιστών 9 Ασκήσεις για επίλυση 0 Γ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΙΑΔΡΟΜΗΣ- MIN DISTANCE Πρόβλημα. Διακίνηση από τα κεντρικά γραφεία εταιρείας, σε όλα τα καταστήματα αυτής 9 Επίλυση του προβλήματος σε πίνακ Συνοπτική επίλύση του προβλήματος 9 Ασκήσεις για επίλυση 0 Δ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- GAMES Πρόβλημα. Παιγνίδι μπάσκετ Γραφική επίλυση παίγνια με πίνακες αμοιβών xn ή Nx Πρόβλημα. Παιγνίδι εκλογικής μάχης Πρόβλημα. Παιγνίδι αναφώνησης αριθμών Ασκήσεις για επίλυση Ε ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΟΥΡΩΝ-QUEUES Ασκήσεις για επίλυση MST, MIN DISTANCE, GAMES, QUEUES Σελίδα από 0

3 Β ΕΝΟΤΗΤΑ MST ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΖΕΥΓΝΥΟΝΤΟΣ ΔΕΝΔΡΟΥ Αυτές οι σημειώσεις περιέχουν: δυο λυμένα προβλήματα. Το πρώτο είναι υποδειγματικά λυμένο, και με πολλές λεπτομέρειες, με στόχο να βοηθήσει τον φοιτητή να κατανοήσει το πρόβλημα ελαχίστου ζευγνύοντος δένδρου και να εξοικειωθεί με την επίλυση τέτοιων προβλημάτων. Το δεύτερο είναι λυμένο με απολύτως τυποποιημένο τρόπο. Ο στόχος, πέρα από την εξοικείωση με την επίλυση τέτοιων προβλημάτων, είναι να δείξει στο φοιτητή πως πρέπει να κινηθεί στις εξετάσεις αν έχει να απαντήσει ένα τέτοιο θέμα, δηλαδή ποιες είναι οι απολύτως απαραίτητες επεξηγήσεις, που πρέπει ο φοιτητής να δώσει στο γραπτό του, δεδομένου ότι ο διαθέσιμος χρόνος, είναι εξαιρετικά περιορισμένος(. ώρες) και να τον σπαταλήσει σε άσκοπες επεξηγήσεις τελικά δεν θα του φτάσει να αναπτύξει τα θέματα. Πρόβλημα Στο κάμπο της Άρτας υπάρχουν αγροτικά χωριά (κόμβοι) τα,,,,,, που φαίνονται στο παρακάτω σχήμα με ορθογώνια σχήματα. Για την άρδευση των κτημάτων των χωριών έχει αποφασισθεί η κατασκευή ενός αρδευτικού δικτύου. Τα ευθύγραμμα τμήματα (ακμές) που συνδέουν τα χωριά δείχνουν τις δυνατές διαδρομές πάνω στις οποίες μπορεί να κατασκευασθεί το δίκτυο των αρδευτικών καναλιών, και οι αριθμοί που είναι πάνω σε κάθε ένα από αυτά δείχνουν το κόστος κατασκευής του κάθε καναλιού π.χ το χωριό μπορεί να συνδεθεί με το με κατευθείαν δίκτυο με κόστος κατασκευής 0, μέσω του με κόστος, μέσω του με κόστος, αλλά και μέσω άλλων διαδρομών. Το αρδευτικό δίκτυο πρέπει να είναι τέτοιο ώστε το νερό με το οποίο θα τροφοδοτηθεί (το νερό που θα ρέει στα κανάλια) να μπορεί να φτάσει σε όλα τα χωριά, άσχετα από που θα ξεκινάει η ροη του). Ποιο είναι το δίκτυο που πρέπει να κατασκευαστεί, δηλαδή ποια κανάλια σύνδεσης μεταξύ των χωριών πρέπει να γίνουν έτσι ώστε να ικανοποιείται αυτή η απαίτηση και ταυτόχρονα το κόστος κατασκευής του δικτύου που θα κατασκευασθεί, να είναι το ελάχιστο δυνατό.. (θέμα στις εξετάσεις 0). 0 0 MST, MIN DISTANCE, GAMES, QUEUES Σελίδα από 0

4 Μερικές βασικές έννοιες Δίκτυο Δίκτυο είναι σύνολο Κ σημείων που ονομάζονται κόμβοι-, και ένα σύνολο Α ευθυγράμμων τμημάτων που συνδέουν τους κόμβους που ονομάζονται ακμές. Τιμή ακμής Κάθε ακμή έχει πάνω της μια αριθμητική τιμή που αναφέρεται με τον συμβατικό όρο, τιμή της ακμής (ή και ως μήκος της ακμής) και μπορεί να μετράει διάφορα πράγματα, όπως πραγματικό μήκος, χρόνο που απαιτείται για να διανυθεί η ακμή, κόστος, απώλειες, κ.λ.π. Παραδείγματα: κόμβοι μπορεί να είναι οι πόλεις μια περιοχής, ακμές -οι δρόμοι-που τις συνδέουν, και τιμές ακμών- οι αποστάσεις μεταξύ των πόλεων. κόμβοι μπορεί οι να είναι τα λιμάνια μιας χώρας, ακμές τα θαλασσιοί δρόμοι που τα συνδέουν, και τιμές ακμών- οι ωριαίες αποστάσεις μεταξύ των λιμανιών. κόμβοι μπορεί οι να είναι οι σταθμοί παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας μιας χώρας, ακμές τα δίκτυα διασύνδεσης μεταξύ των σταθμών, και τιμές ακμών- τα μήκη των αποστάσεων μεταξύ των σταθμών. Ποιο είναι το γενικό πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου(εζδ)? Σε ένα δίκτυο με Κ κόμβους και Α ακμές το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου είναι να βρούμε ένα υποσύνολο Λ ακμών του Α ( ) (ή όπως λέμε ένα δένδρο ακμών) τέτοιο ώστε στο δίκτυο των δρόμων που συνιστούν αυτές οι ακμές να υπάρχει μια διαδρομή που να συνδέει δυο οποιουσδήποτε κόμβους, δηλαδή αν κάποιος ξεκινήσει από ένα οποιοδήποτε κόμβο να μπορεί να επισκεφτεί οποιοδήποτε άλλο κόμβο του δικτύου,και ταυτοχρόνως το συνολικό μήκος (ποιο γενικά η συνολική αριθμητική τιμή) των ακμών του δένδρου να είναι το ελάχιστο δυνατόν. Το πρόβλημα που έχουμε παραπάνω απαιτεί το υπό κατασκευή δίκτυο να μπορεί να τροφοδοτεί με νερό όλα τα χωριά, που σημαίνει ότι αυτό (το δίκτυο) πρέπει να συνδέει δυο οποιαδήποτε χωριά μεταξύ τους, και αυτό πρέπει να γίνει με το ελάχιστο κόστος. Πρόκειται δηλαδή για πρόβλημα ελαχίστου ζευγνύοντος δένδρου (ΕΖΔ). Η διαδικασία με την οποία επιλύεται ένα τέτοιο πρόβλημα καλείται Αλγόριθμος εύρεσης του ελαχίστου ζευγνύοντος δένδρου)εζδ). Λογική του αλγορίθμου Αυτή είναι πολύ απλή και κατανοητή, θέλει όμως εξάσκηση για να μπορείτε να την εφαρμόσετε. Στην αρχή επιλέγουμε αυθαίρετα ένα οποιοδήποτε κόμβο του δικτύου π.χ. τον Μ. Στο επόμενο βήμα εντοπίζουμε όλους τους κόμβους του δικτύου που συνδέονται με μια ακμή με τον Μ, και καταγράφουμε τα μήκη των ακμών. Από τις ακμές αυτές επιλέγουμε αυτή με το μικρότερο μήκος (πλησιέστερος κόμβος), και ας υποθέσουμε ότι αυτή είναι η ΜΝ. Η ακμή αυτή είναι και η πρώτη ακμή του δένδρου και συνδέει του κόμβους Κ={Μ,Ν}. Η ονομασία δικαιολογείται από το γεγονός ότι το τελικό αποτέλεσμα μοιάζει (περίπου) με ένα δένδρο. MST, MIN DISTANCE, GAMES, QUEUES Σελίδα από 0

5 Στο επόμενο βήμα εντοπίζουμε όλους τους κόμβους του δικτύου που συνδέονται με μια ακμή με τουλάχιστον ένα από τους κόμβους του Κ={Μ,Ν} και καταγράφουμε τα μήκη των ακμών. Από τις ακμές αυτές επιλέγουμε αυτή με το μικρότερο μήκος (πλησιέστερος κόμβος), και ας υποθέσουμε ότι αυτή είναι η ΜΖ. Η ακμή ΜΖ είναι η δεύτερη ακμή του δένδρου το νέο δένδρο έχει τις ακμές (ΜΝ, ΜΖ) και συνδέει του κόμβους Κ={Μ,Ν,Ζ}. Ο αλγόριθμος συνεχίζεται με την ίδια λογική,, μέχρι ότου το σύνολο Κ περιλάβει όλους του κόμβους του δικτύου, οπότε το δένδρο ακμών που φτιάξαμε έχει διαδρομές που συνδέουν δυο οποιουσδήποτε κόμβους τού δικτύου Το πρόβλημα λύνεται με παρουσίαση όλων των λεπτομερειών. Για το πώς θα κινηθείτε στις εξετάσεις δείτε τη λύση στο δεύτερο πρόβλημα MST Στα επόμενα για ευκολία στην παρουσίαση η λέξη απόσταση θα σημαίνει το κόστος κατασκευής, του καναλιού μεταξύ δυο χωριών. Επανάληψη του αλγορίθμου Ξεκινάμε αυθαίρετα από οποιοδήποτε κόμβο, έστω τον κόμβο. Αυτός συνδέεται με τους,, με αποστάσεις,, αντίστοιχα Ο πλέον κοντινός είναι ο, σε απόσταση. Συνδέουμε τον με το, μέσω της ακμής - με μήκος Η πρώτη ακμή τού δένδρου είναι η (- ) (μαρκαρισμένη με κόκκινο) που συνδέει του κόμβους {, }. 0 Σύσταση {Για να αποφύγετε τον κίνδυνο λάθους σας προτείνω να επισημαίνετε με κάποιο τρόπο την ακμή και τον νέο κόμβο, καθώς αυτό σας διευκολύνει πολύ στις επόμενες επαναλήψεις, του αλγορίθμου. Ακόμη επισημαίνω και μάλιστα με έντονη έμφαση, ότι δεν φτιάχνουμε διαδοχικά σχήματα-δίκτυα, δουλεύουμε πάνω στο αρχικό μας σχήμα-δίκτυο, Ο χρόνος των εξετάσεων είναι πολύ περιορισμένος.} Επανάληψη του αλγορίθμου Μπορεί να συνδέονται και με περισσότερους από ένα. Εγώ το κάνω εδώ για εκπαιδευτικούς λόγους MST, MIN DISTANCE, GAMES, QUEUES Σελίδα από 0

6 Οι κόμβοι που συνδέονται με ένα από τους κόμβους {,} είναι οι {, } με αποστάσεις,,,. Η μικρότερη ακμή είναι η - με μήκος, και ο πλέον κοντινός στους {,} είναι ο. Το τρέχον δένδρο είναι μαρκαρισμένο με κόκκινο, και οι κόμβοι που αυτό συνδέει είναι οι {,,}. 0 Επανάληψη του αλγορίθμου Συνεχίζοντας με την ίδια πορεία βρίσκουμε ότι ο πλησιέστερος προς τους κόμβους {,,} είναι ο με την ακμή - την οποία μαρκάρουμε. Το τρέχον δένδρο είναι το μαρκαρισμένο με κόκκινο και συνδέει του κόμβους {,,,} 0 Η διαδικασία κάθε επανάληψης μπορεί να παρουσιασθεί και με ένα πίνακα.. Ο πίνακας είναι μεν πιο ασφαλής, για την αποφυγή λαθών, αλλά ίσως απαιτεί λίγο περισσότερο χρόνο. Εδώ σας δίνουμε τον πίνακα για αυτή την επανάληψη, του αλγορίθμου. Αξίζει να το δοκιμάσετε κόμβοι που έχουν ήδη συνδεθεί {,,} Επαφίεται στην δική σας κρίση τι τελικά θα επιλέξετε MST, MIN DISTANCE, GAMES, QUEUES Σελίδα από 0

7 Κόμβοι που συνδέονται με αυτούς {,,} και Ακμές Μήκος ακμών (αποστάσεις ) 9 Η μικρότερη ακμή είναι η - και ο νέος κόμβος που θα συνδεθεί είναι ο. Επανάληψη του αλγορίθμου Στους {,,,} πλησιέστερος είναι ο κόμβος με την ακμή (-). Μαρκάρεται και η ακμή (-). Ο προστίθεται, και το σύνολο των κόμβων που έχουν συνδεθεί γίνεται {,,,,}. 0 Επανάληψη του αλγορίθμου Στους {,,,,} προστίθεται ο (ακμή (-) (μαρκάρεται) και το σύνολο των συνδεμενων κόμβων γίνεται {,,,,,} 0 Επανάληψη του αλγορίθμου Στους {,,,,,} προστίθεται ο και το σύνολο των κόμβων γίνεται {,,,,,,} MST, MIN DISTANCE, GAMES, QUEUES Σελίδα από 0 0

8 Απάντηση Κανάλια Ελάχιστο Κόστος κατασκευής Κόστος Το παρακάτω πρόβλημα επιλύεται, για δείτε ότι για την λύση δεν χρειάζεται όλη η παραπάνω τυπολατρία. Αυτό ισχύει ιδιαίτερα για τις εξετάσεις. Πρόβλημα Μία Tράπεζα πρόκειται να συνδέσει τους υπολογιστές όλων των υποκαταστημάτων της σε δίκτυο, ώστε κάθε υποκατάστημα να μπορεί να επικοινωνήσει με οποιοδήποτε άλλο, είτε απευθείας είτε μέσω άλλων υποκαταστημάτων. Τα υποκαταστήματα της Τράπεζας και οι πιθανές συνδέσεις μεταξύ τους παριστάνονται με το ακόλουθο δίκτυο, στο οποίο οι τιμές των ακμών παριστάνουν μήκος καλωδίου σύνδεσης σε δεκάδες χιλιόμετρα. Το κόστος εγκατάστασης και λειτουργίας του δικτύου είναι ανάλογο του μήκους του καλωδίου που θα χρησιμοποιηθεί. Με βάση τα παραπάνω να εφαρμόσετε την κατάλληλη τεχνική δικτυωτής ανάλυσης ώστε να προσδιορίσετε τον τρόπο με τον οποίο όλα τα υποκαταστήματα θα συνδεθούν μεταξύ τους, άμεσα ή έμμεσα, με το μικρότερο δυνατό κόστος και να υπολογίσετε το κόστος αυτό. MST, MIN DISTANCE, GAMES, QUEUES Σελίδα από 0

9 Λύση MST, MIN DISTANCE, GAMES, QUEUES Σελίδα 9 από 0

10 Το πλήρες κείμενο αποτελείται από σελίδες και διατίθεται μόνο στους φοιτητές μας ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ Οι σημειώσεις αυτές μπορούν να χρησιμοποιηθούν, από φοιτητές ή/και από μέλη ΣΕΠ του ΕΑΠ για τις ανάγκες της θεματικής ενότητας ΔΕΟ, μόνο μετά από συνεννόηση με τον συγγραφέα, και διάθεση σχετικού αντιτύπου. Απαγορεύεται η ανατύπωση αυτών χωρίς την έγκριση του συγγραφέα. Σας ενημερώνω ότι: Κάθε αντίτυπο που διατίθεται από τον συγγραφέα φέρει ειδική κωδικοποίηση με την οποία μπορεί να ταυτοποιηθεί, και συνεπώς να εντοπισθεί ο αρχικός χρήστης του. Υποδείξεις λαθών και παραλείψεων θα είναι πολύ ευπρόσδεκτες. ΣΩΤΗΡΙΟΣ ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΣ τ. Καθηγητής Μαθηματικού Τμήματος Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Τηλ. 0-0 Κιν Ιστοσελίδα: MST, MIN DISTANCE, GAMES, QUEUES Σελίδα 0 από 0