ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

Transcript

1 ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΧΩΡΙΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΛΟΓΗΡΑΤΟΥ Ζ. - ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ.

2 Τυπικές Συναρτήσεις Μικροοικονομικής Ανάλυσης Συνάρτηση Παραγωγής Q (production function): Εκφράζει τη μέγιστη ποσότητα προϊόντος Q που μπορεί να παραχθεί με χρήση της εισροής x και δεδομένες τις τεχνολογικές συνθήκες και τις ποσότητες άλλων ενδεχόμενων εισροών. Οριακή Συνάρτηση Παραγωγής ΜΡ x =dq/dx: εκφράζει τη μεταβολή του προϊόντος που οφείλεται σε μία μικρή μεταβολή (κατά μία μονάδα) της εισροής x. Η ΜΡ x ονομάζεται οριακό προϊόν (marginal product) της εισροής. Μέση Συνάρτηση Παραγωγής ΑΡ x =Q/x: εκφράζει την ποσότητα του παραγόμενου προϊόντος ανά μονάδα εισροής x (π.χ. τόνοι προϊόντος ανά εργαζόμενο). Η ΑΡ x ονομάζεται μέσο προϊόν (average product) της εισροής. ΚΑΛΟΓΗΡΑΤΟΥ Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 2

3 Τυπικές Συναρτήσεις Μικροοικονομικής Ανάλυσης Συνάρτηση Κόστους C=C(Q) (cost function): Εκφράζει το συνολικό ελάχιστο κόστος C για την παραγωγή μιας δεδομένης ποσότητας προϊόντος Q. Οριακή Συνάρτηση Κόστους ΜC=dC/dQ: εκφράζει τη μεταβολή του κόστους που οφείλεται σε μικρή μεταβολή (κατά μία μονάδα) της παραγόμενης ποσότητας. Η ΜC ονομάζεται οριακό κόστος (marginal cost). Μέση Συνάρτηση Κόστους AC=C/Q: εκφράζει το κόστος ανά μονάδα προϊόντος. Η ΑC ονομάζεται μέσο κόστος (average cost) ΚΑΛΟΓΗΡΑΤΟΥ Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 3

4 Τυπικές Συναρτήσεις Μικροοικονομικής Ανάλυσης Συνάρτηση Εσόδων R=R(Q) (revenue function) : Εκφράζει τα συνολικά έσοδα R που δημιουργούνται από την πώληση μιας δεδομένης ποσότητας προϊόντος Q. Οριακή Συνάρτηση Εσόδων MR=dR/dQ: εκφράζει τη μεταβολή των εσόδων που οφείλεται σε μικρή μεταβολή (κατά μία μονάδα) της πωλούμενης ποσότητας. Η ΜR ονομάζεται οριακό έσοδο (marginal revenue). Μέση Συνάρτηση Εσόδων ΑR=R/Q: εκφράζει τα έσοδα ανά μονάδα προϊόντος. Η ΑR ονομάζεται μέσο έσοδο (average revenue) ΚΑΛΟΓΗΡΑΤΟΥ Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 4

5 Τυπικές Συναρτήσεις Μικροοικονομικής Ανάλυσης Συνάρτηση Χρησιμότητας U=U(x) (utility function), όπου x η ποσότητα κάποιου αγαθού, χρησιμοποιείται για να απεικονίσει τις προτιμήσεις του καταναλωτή σχετικά με τους συνδυασμούς των αγαθών που είναι διατεθειμένος να καταναλώσει. Η οριακή συνάρτηση ορίζεται ως MU=dU/dx και μετρά τη μεταβολή της χρησιμότητας λόγω μικρής μεταβολής στην κατανάλωση του x. Η ΜU ονομάζεται οριακή χρησιμότητα (marginal utility) ΚΑΛΟΓΗΡΑΤΟΥ Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 5

6 Οι συναρτήσεις προσφοράς και ζήτησης Από τις σημαντικότερες έννοιες στα οικονομικά προβλήματα είναι η προσφορά και η ζήτηση (supply and demand). Οι έννοιες αυτές χρησιμεύουν στον προσδιορισμό της τιμής και της ποσότητας ισορροπίας στην αγορά. Η προσφορά και η ζήτηση ενός αγαθού ή μιας υπηρεσίας θεωρούνται συναρτησιακές σχέσεις μιας σειράς μεταβλητών και πρωταρχικά, της τιμής. Η συνάρτηση ζήτησης (demand function) ενός αγαθού για μια ορισμένη χρονική περίοδο εξαρτάται από την τιμή του, αν υποθέσουμε ότι οι άλλοι προσδιοριστικοί παράγοντες (π.χ. οι προτιμήσεις τον καταναλωτών, οι τιμές των σχετιζομένων αγαθών, το εισόδημα κλπ) παραμένουν σταθεροί. ΚΑΛΟΓΗΡΑΤΟΥ Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 6

7 Η συνάρτηση ζήτησης Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε σε γραμμική μορφή την ακόλουθη συνάρτηση: Qd = a b P όπου Q d είναι η ζητούμενη ποσότητα (quantity demand) του αγαθού, Ρ είναι η τιμή τον αγαθού, α είναι μια σταθερά που μπορεί να θεωρηθεί ότι συμπεριλαμβάνει την επίδραση των άλλων παραγόντων που παραμένουν αμετάβλητοι, και b είναι η κλίση της συνάρτησης ζήτησης. Η κλίση είναι αρνητική, πράγμα που σημαίνει ότι για κάθε αύξηση (μείωση) της τιμής υπάρχει μείωση (αύξηση) της ζητούμενης ποσότητας. Η σχέση αυτή ονομάζεται νόμος της ζήτησης (law of demand) ΚΑΛΟΓΗΡΑΤΟΥ Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 7

8 Η συνάρτηση προσφοράς Η συνάρτηση προσφοράς (supply function) ενός αγαθού (ή υπηρεσίας) για μια ορισμένη χρονική περίοδο, γράφεται: Q = c+ d P s όπου Q s είναι η προσφερόμενη ποσότητα (quantity supplied) του αγαθού, η οποία εξαρτάται από την τιμή του και από μια σειρά άλλους προσδιοριστικούς παράγοντες τους οποίους υποθέτουμε σταθερούς και τους συμβολίζουμε με το γράμμα c. Ο συντελεστής d συμβολίζει την κλίση της συνάρτησης προσφοράς που είναι θετική, πράγμα που σημαίνει ότι για κάθε αύξηση (μείωση) της τιμής ενός αγαθού ή μιας υπηρεσίας οι παραγωγοί αυξάνουν (μειώνουν) την προσφερόμενη ποσότητα. ΚΑΛΟΓΗΡΑΤΟΥ Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 8

9 Συνθήκη Ισορροπίας Αυτή η σχέση ανάμεσα στην τιμή και στη ζητούμενη ποσότητα λέγεται νόμος της προσφοράς (law of supply). Ισορροπία στην αγορά υπάρχει, όταν η ζητούμενη ποσότητα είναι ίση με τη προσφερόμενη ποσότητα. Συμβολικά, η συνθήκη ισορροπίας γράφεται: δηλαδή, Q d = Q s a+ c = + ή P = = Pe b+ d a b P c d P όπου Ρ e είναι η τιμή ισορροπίας (equilibrium price). Αν αντικαταστήσουμε την Ρ e, είτε στη συνάρτηση ζήτησης είτε στη συνάρτηση προσφοράς, λαμβάνουμε την ποσότητα ισορροπίας (equilibrium quantity) Q e ΚΑΛΟΓΗΡΑΤΟΥ Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 9

10 Συναρτήσεις Παραγωγής Το παραγόμενο προϊόν (ή καλύτερα η ποσότητα του παραγόμενου προϊόντος) εξαρτάται από τις εισροές (inputs) ή αλλιώς παραγωγικούς συντελεστές (factor of production). Συνήθως χρησιμοποιούμε δύο (2) συντελεστές παραγωγής K κεφάλαιο (Capital) και L εργασία (Labor). Την ποσότητα παραγόμενου προϊόντος τη συμβολίζουμε με Q. Συνεπώς η γενική μορφή της συνάρτησης παραγωγής είναι Q(K,L)=f(K,L) και μας δείχνει το επίπεδο παραγωγής για δεδομένους συνδυασμούς των παραγωγικών συντελεστών ΚΑΛΟΓΗΡΑΤΟΥ Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 10

11 Συναρτήσεις Παραγωγής Για παράδειγμα αν έχουμε τη συνάρτηση παραγωγής Q(K,L)=100K 1/3 L 1/2 για K=27 και L=100 μονάδες κεφαλαίου και εργασίας αντίστοιχα η ποσότητα του παραγόμενου προϊόντος είναι Q(27,100) = / /2 = 100 (3 3 ) 1/3 (10 2 ) 1/2 = = 3000 Ένα ερώτημα που προκύπτει τώρα είναι πόσο θα μεταβληθεί η παραγωγή αν οι εισροές διπλασιαστούν, τριπλασιαστούν ή γενικότερα μεταβληθούν με τον ίδιο ρυθμό. Για Κ=2Κ και L=2L έχουμε: Q(2K,2L)= 100 (2K) 1/3 (2L) 1/2 = /3 K 1/3 2 1/2 L 1/2 = /3 2 1/2 K 1/3 L 1/2 = = /3+1/2 K 1/3 L 1/2 = /6 K 1/3 L 1/2 = 2 5/6 Q(K,L) ΚΑΛΟΓΗΡΑΤΟΥ Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 11

12 Ομογενείς Συναρτήσεις Οι συναρτήσεις με την ιδιότητα: ( λ, λ ) = λ n (, ) f x y f xy ονομάζονται ομογενείς συναρτήσεις βαθμού n (homogeneous function of degree n). Αν n=1 η συνάρτηση ονομάζονται γραμμικά ομογενής. Αν n=0 η συνάρτηση μπορεί να γραφεί ως συνάρτηση του λόγου των μεταβλητών της. ΚΑΛΟΓΗΡΑΤΟΥ Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 12

13 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Να εξετασθεί ως προς τα ακρότατα η συνάρτηση f (x) = x 3 + 6x 2-15x 5 f (x)=3x 2 +12x-15 f (x)=0=>x=-5 ή x=1 f (x)=6x+12 f (-5)=-18<0 f (1)= 18>0 ΚΑΛΟΓΗΡΑΤΟΥ Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 13

14 ΜΕΣΟ ΠΡΟΪΟΝ ΟΡΙΑΚΟ ΠΡΟΪΟΝ Από τη μικροοικονομική θεωρία γνωρίζουμε ότι για οποιαδήποτε συνάρτηση παραγωγής το μέσο προϊόν γίνεται μέγιστο όταν ισούται με το οριακό προϊόν. Έστω η συνάρτηση παραγωγής Q(L) όπου έχουμε υποθέσει ότι οι άλλοι συντελεστές παραγωγής παραμένουν σταθεροί και το προϊόν είναι συνάρτηση μόνο του συντελεστή εργασία. Τότε γνωρίζουμε ότι το μέσο προϊόν (ΑΡ) και το οριακό προϊόν (ΜΡ) ορίζονται ως εξής: ΚΑΛΟΓΗΡΑΤΟΥ Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 14

15 ΜΕΣΟ ΠΡΟΪΟΝ ΟΡΙΑΚΟ ΠΡΟΪΟΝ για να μεγιστοποιείται το AP θα πρέπει να μηδενίζεται η πρώτη παράγωγος του δηλαδή: ή οπότε ΚΑΛΟΓΗΡΑΤΟΥ Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 15

16 Οι συναρτήσεις εσόδων, εξόδων και κερδών Η βασική εξίσωση για μια επιχείρηση είναι Κέρδη = Συνολικά Έσοδα - Συνολικά Έξοδα θα συμβολίζουμε τα κέρδη με π (profit), τα συνολικά έσοδα με TR (Total Revenue) και τα συνολικά κόστη με TC (Total Cost). Τότε μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση: π = TR TC (ή π=r-c). Συνολικά Έσοδα Ας υποθέσουμε ότι μια επιχείρηση παράγει ένα προϊόν τότε τα συνολικά έσοδα είναι το γινόμενο της τιμής με την ποσότητα TR = P.Q ΚΑΛΟΓΗΡΑΤΟΥ Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 16

17 Παράδειγμα Έστω ότι η ποσότητα συνδέεται με την τιμή μέσω της γραμμικής συνάρτησης ζήτησης P=100-2Q τότε τα συνολικά έσοδα μπορούν να εκφρασθούν σαν συνάρτηση της ποσότητας TR(Q) = P.Q = Q.(100-2Q) = 100Q - 2Q 2 αυτή η συνάρτηση είναι πολυωνυμική δευτέρου βαθμού. Παρατηρούμε ότι 1. Η συνάρτηση παίρνει την τιμή μηδέν αν η τιμή είναι ίση με το μηδέν (100-2Q = 0) ή αν η ποσότητα είναι ίση με μηδέν (Q = 0). 2. Η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο όταν η ποσότητα είναι ίση με 25 μονάδες και ΚΑΛΟΓΗΡΑΤΟΥ Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 17

18 Συνολικά Έξοδα Το συνολικό κόστος (TC) για την παραγωγή ενός προϊόντος απαρτίζεται από το σταθερό κόστος (FC Fixed Cost) και το μεταβλητό κόστος το οποίο ορίζεται ανά μονάδα προϊόντος (VC Variable Cost). Το μεταβλητό κόστος μπορεί να είναι σταθερό ανά μονάδα προϊόντος ή μεταβλητό. Στην δεύτερη περίπτωση θα είναι συνάρτηση της ποσότητας VC(Q). Εδώ θα ασχοληθούμε με την περίπτωση που το μεταβλητό κόστος ανά μονάδα προϊόντος είναι σταθερό. TC= FC + VC(Q) Το σταθερό κόστος είναι ανεξάρτητο από την ποσότητα. Ένα άλλο μέγεθος το οποίο μας ενδιαφέρει είναι το μέσο κόστος ανά μονάδα προϊόντος (AC Average Cost). Το μέγεθος αυτό μας δείχνει πως μοιράζεται το συνολικό κόστος σε κάθε μονάδα προϊόντος. AC=TC/Q ΚΑΛΟΓΗΡΑΤΟΥ Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 18

19 Παράδειγμα. Για την έκδοση ενός βιβλίου απαιτείται σελιδοποίηση και η παραγωγή του σε τσίγκους πριν από την εκτύπωση. Το κόστος για την σελιδοποίηση και δημιουργία των τσίγκων αναπαραγωγής ενός βιβλίου είναι Το κόστος εκτύπωσης και βιβλιοδεσίας ενός βιβλίου είναι 2. Άρα το σταθερό κόστος είναι FC=2.000 ενώ το μεταβλητό κόστος ανά μονάδα είναι VC = 2. Άρα κόστος ανά βιβλίο είναι TC(Q) = Q, ενώ το μέσο Q AC (Q) ΚΑΛΟΓΗΡΑΤΟΥ Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 19

20 Σχετικά με το ρυθμό μεταβολής του μέσου κόστους εξετάζουμε την πρώτη παράγωγο η οποία είναι αρνητική άρα η συνάρτηση του μέσου κόστους είναι φθίνουσα, συνεπώς όσο αυξάνεται η ποσότητα μειώνεται το μέσο κόστος. Αν τώρα η τιμή του βιβλίου στην αγορά είναι ίση με 10 ευρώ, τότε τα συνολικά έσοδα από την πώληση Q βιβλίων είναι: TR(Q)=P.Q =10.Q Η ποσότητα νεκρού σημείου (break even point) είναι η ποσότητα για την οποία τασυνολικά έσοδα είναι ίσαμε τα συνολικά έξοδα, δηλαδή: TC(Q)=TR(Q)=> Q=10Q=> Q=250 Άρα για να δημιουργηθούν κέρδη από την πώληση του βιβλίου θα πρέπει να πουληθούν περισσότερα από250 βιβλία. ΚΑΛΟΓΗΡΑΤΟΥ Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 20

21 Σε μια περισσότερο ρεαλιστική περίπτωση η τιμή, είναι συνάρτηση της ζήτησης. Ας θεωρήσουμε ότι η συνάρτηση ζήτησης είναι: P = 47-0,1 Q τότε τα συνολικά έσοδα είναι TR(Q)=P.Q = (47-0,1Q).Q = 47.Q 0,1Q 2 άρα το κέρδος είναι: π(q)=tr(q)-tc(q)=47.q 0,1Q 2 - ( Q)=> π(q)=-0,1q Q 2000 Για να βρούμε την ποσότητα νεκρού σημείου λύνουμε την π(q)=0 και βρίσκουμε Q=50 και Q=400. Για να βρούμε το σημείο που έχουμε το μέγιστο κέρδος βρίσκω την πρώτη παράγωγο π (Q)=-0,2 Q+45 και έχω Q=225 π (Q)=-0,2<0 ΚΑΛΟΓΗΡΑΤΟΥ Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 21

22 Ισορροπία του μονοπωλητή Έστω μια μονοπωλιακή αγορά και έστω ότι η καμπύλη ζήτησης είναι η εξής q=400 20p, όπου p η τιμή και q η ποσότητα προϊόντος αντίστοιχα. Έστω επίσης ότι το κόστος για τον παραγωγό είναι C=5q+q 2 /100. Να βρεθεί η τιμή στην οποία θα πρέπει να πουλά ο μονοπωλητής τα προϊόντα του για να έχει μέγιστο κέρδος. Ποιά ποσότητα προϊόντος θα πουλήσει. Το κέρδος του μονοπωλητή π είναι ίσο με το έσοδο (R) μείον το έξοδο (C), δηλ. π = R C. Το έσοδο είναι: R(q) = p q =(20 20)q ΚΑΛΟΓΗΡΑΤΟΥ Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 22

23 Ισορροπία του μονοπωλητή Συνεπώς μπορώ να γράψω το κέρδος σαν συνάρτηση της ζητούμενης ποσότητας (θα μπορούσα να το γράψω και σαν συνάρτηση της τιμής) ως εξής: Βρίσκουμε την παράγωγο Γενικά τα κέρδη του μονοπωλητή μεγιστοποιούνται όταν το οριακό έσοδο ισούται με το οριακό έξοδο ΚΑΛΟΓΗΡΑΤΟΥ Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 23

24 Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Για την εύρεση των ακροτάτων, αντίστοιχα με τις συναρτήσεις μιας μεταβλητής, βρίσκω πρώτα τα κρίσιμα σημεία. Βρίσκω τις μερικές παραγώγους πρώτης τάξης Λύνω τις συνθήκες πρώτης τάξης Για να χαρακτηρίσουμε τα σημεία αυτά σαν τοπικά μέγιστα ή ελάχιστα παίρνουμε τον πίνακα του Hess στο σημείο αυτό και αν αυτός είναι: θετικά ορισμένος το σημείο είναι τοπικό ελάχιστο αρνητικά ορισμένος το σημείο είναι τοπικό μέγιστο Αν ο πίνακας του Hess δεν είναι ορισμένος τότε η συνάρτηση δεν παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο αυτό. ΚΑΛΟΓΗΡΑΤΟΥ Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 24

25 Παράδειγμα Δύο Μεταβλητές Να μελετηθεί ως προς τα ακρότατα η συνάρτηση: f(x,y)=x 2 +2y 2-4x+4y 3 Συνθήκες πρώτης τάξης: Έχουμε λοιπόν ένα κρίσιμο σημείο το (2,-1) Ο πίνακας του Hess είναι: Τώρα H 1 =2>0, και H 2 =8>0, συνεπώς ο πίνακας είναι θετικά ορισμένος και το σημείο (2,-1) είναι τοπικό ελάχιστο. ΚΑΛΟΓΗΡΑΤΟΥ Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 25

26 Συναρτήσεις Προσφοράς και Ζήτησης με περισσότερες από 2 μεταβλητές Έστω ότι έχουμε δύο (2) αγαθά και η ζήτηση του κάθε αγαθού εξαρτάται όχι μόνο από την τιμή του αλλά και από την τιμή του άλλου αγαθού. Έστω ότι έχουμε γραμμικές συναρτήσεις ζήτησης. α 11 <0 έτσι ώστε όταν αυξάνεται η τιμή του προϊόντος να μειώνεται η ζήτηση για αυτό. α 12 >0 αν τα αγαθά είναι υποκατάστατα δηλαδή όταν η τιμή του αγαθού 2 αυξάνεται, τότε οι καταναλωτές θα ζητήσουν περισσότερο αγαθό 1 ΚΑΛΟΓΗΡΑΤΟΥ Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 26

27 α 12 <0 αν τα αγαθά είναι συμπληρωματικά, δηλαδή, όταν η τιμή του αγαθού2 αυξάνεται οι καταναλωτές θα ζητήσουν λιγότερο αγαθό 1 b 1,b 2 >0 υπάρχει θετική ζήτηση, αν οι τιμές των αγαθών είναι μηδενικές Αντίστοιχα α 22 <0 και α 21 >0 για υποκατάστατα αγαθά, α 21 <0 για συμπληρωματικά αγαθά Από την άλλη πλευρά έστω ότι τα αγαθά παράγονται από δύο ανεξάρτητους παραγωγούς και ότι οι συναρτήσεις προσφοράς είναι: Το σημείο ισορροπίας βρίσκεται από: ΚΑΛΟΓΗΡΑΤΟΥ Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 27

28 Παράδειγμα Δίνονται οι ακόλουθες συναρτήσεις ζήτησης για δύο (2) αγαθά: οι συναρτήσεις προσφοράς είναι:, Τα αγαθά είναι υποκατάστατα. Για να βρούμε τις τιμές ισορροπίας εξισώνουμε την προσφορά με τη ζήτηση Τελικά βρίσκουμε Ρ 1 = 4 και Ρ 2 = 3 Τα παραπάνω γενικεύονται για 3 ή και για περισσότερες μεταβλητές (n) ΚΑΛΟΓΗΡΑΤΟΥ Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 28

29 Το πρόβλημα της επιχείρησης που παράγει περισσότερα του ενός αγαθά Οι τιμές των αγαθών είναι δεδομένες και σταθερές Θεωρούμε μια επιχείρηση η οποία παράγει δύο αγαθά (αγαθό I και αγαθό II) τα οποία είναι εξαρτημένα στην παραγωγή τους δηλαδή το κόστος παραγωγής είναι συνάρτηση των δύο αγαθών, έστω C(Q 1,Q 2 ) όπου Q 1 και Q 2 οι ποσότητες που παράγονται από κάθε αγαθό. Έστω p 1 και p 2 οι τιμές των αγαθών αντίστοιχα οι οποίες θεωρούνται σταθερές και δεδομένες. Η επιχείρηση θέλει να βρει το βέλτιστο συνδυασμό ποσοτήτων που πρέπει να παράγει από κάθε αγαθό έτσι ώστε να μεγιστοποιήσει τα κέρδη της. ΚΑΛΟΓΗΡΑΤΟΥ Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 29

30 Το πρόβλημα της επιχείρησης που παράγει περισσότερα του ενός αγαθά Το κέρδος είναι ίσο με το συνολικό έσοδο μείον το συνολικό έξοδο, δηλαδή: π(q 1,Q 2 )=R(Q 1,Q 2 )-C(Q 1,Q 2 )=P 1 Q 1 +P 2 Q 2 -C(Q 1,Q 2 ) Παίρνουμε συνθήκες πρώτης τάξης και έχουμε ότι Για να έχουμε μεγιστοποίηση πρέπει: ΚΑΛΟΓΗΡΑΤΟΥ Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 30

31 Παράδειγμα Έστω P 1 =4 χ.μ. και P 2 =5 χ.μ. οι τιμές δύο αγαθών που παράγει μια επιχείρηση και έστω η συνάρτηση κόστους, όπου Q 1 και Q 2 οι παραγόμενες ποσότητες από κάθε αγαθό. Να βρεθεί ο συνδυασμός ποσοτήτων που πρέπει να παράγει η επιχείρηση από κάθε αγαθό έτσι ώστε να μεγιστοποιηθούν τα κέρδη της. Η συνάρτηση κέρδους είναι: ΚΑΛΟΓΗΡΑΤΟΥ Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 31

32 Παράδειγμα Οι μερικές παράγωγοι του κέρδους είναι: Για το κρίσιμο σημείο έχουμε: ή Οι μερικές παράγωγοι δεύτερης τάξης είναι: Ο πίνακας του Hess είναι, άρα το σημείο είναι τοπικό μέγιστο ΚΑΛΟΓΗΡΑΤΟΥ Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 32

33 Θεωρία Παραγωγής Ας υποθέσουμε ότι ένα προϊόν παράγεται σύμφωνα με μια συνάρτηση τύπου Cobb-Douglas από τους παραγωγικούς συντελεστές κεφάλαιο (K) και εργασία (L) ως εξής: Q(K,L) = AK a L β, α,β> 0 Η συνάρτηση παραγωγής δίνει την συνολική παραγωγή από την απασχόληση των συντελεστών παραγωγής Κεφάλαιο-Εργασία. Η μερική παράγωγος της Q ως προς Κ συμβολίζει την οριακή παραγωγικότητα του παραγόμενου προϊόντος Q ως προς τον συντελεστή κεφάλαιο όταν ο συντελεστής εργασία παραμένει σταθερός. ΚΑΛΟΓΗΡΑΤΟΥ Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 33

34 Θεωρία Παραγωγής Έστω επίσης r και l η τιμή μιας μονάδας κεφαλαίου και μιας μονάδας εργασίας αντίστοιχα. Τέλος έστω p η τιμή μιας μονάδας προϊόντος. Τότε το κέρδος από την πώληση του προϊόντος (έσοδο- έξοδο) δίνεται από τη συνάρτηση: θέλουμε να δούμε αν υπάρχει κάποια συγκεκριμένη ποσότητα προϊόντος για την οποία μεγιστοποιείται το κέρδος. Έτσι θα υπολογίσουμε τις μερικές παραγώγους πρώτης τάξης προκειμένου να εντοπίσουμε τα κρίσιμα σημεία. ΚΑΛΟΓΗΡΑΤΟΥ Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 34

35 Για να βρούμε τα κρίσιμα σημεία θέτουμε τις πρώτες μερικές παραγώγους ίσες με το μηδέν και έχουμε ότι: διαιρώντας κατά μέλη προκύπτει ότι ή Η συνθήκη λέει ότι ο λόγος των συνολικών αμοιβών εργασίας προς κεφαλαίου (wl/rk) είναι ίσος με το λόγο των ελαστικοτήτων εργασίας προς κεφαλαίου (β/α). Για το χαρακτηρισμό των κρίσιμων σημείων θα πάρουμε τις παραγώγους δεύτερης τάξης δηλαδή: ΚΑΛΟΓΗΡΑΤΟΥ Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 35

36 Δηλαδή για τα πρόσημα των οριζουσών ισχύει ότι: η H 1 έχει TO πρόσημο του (α - 1), η H 2 έχει TO πρόσημο του (1 - α - β). Για να είναι το κρίσιμο σημείο τοπικό μέγιστο πρέπει να ισχύει H 1 <0 και H 2 >0 δηλαδή α<1 και α+β<1, όμως αρκεί να ικανοποιείται η δεύτερη ανισότητα αφού α, β > 0. Για να είναι το κ. σ. τοπικό ελάχιστο πρέπει να ισχύει H 1 >0 και H 2 >0 δηλαδή α>1 και α+β<1, αυτό όμως είναι αδύνατο αφού β>0. ΚΑΛΟΓΗΡΑΤΟΥ Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 36

37 Φθίνουσες αποδόσεις κλίμακας (α+β<1) Η συνάρτηση εξόδων R(K,L) είναι ομογενής πρώτου βαθμού. Δηλαδή αν διπλασιαστούν οι ποσότητες των παραγωγικών συντελεστών θα διπλασιαστούν και τα έξοδα. Από την άλλη πλευρά όμως έχουμε α+β<1 δηλαδή το έσοδο είναι ομογενής συνάρτηση βαθμού μικρότερου της μονάδας. Συνεπώς σε μια αύξηση των παραγωγικών συντελεστών τα έξοδα αυξάνονται με μεγαλύτερο ρυθμό από τα έσοδα με αποτέλεσμα να μειώνονται τα κέρδη. ΚΑΛΟΓΗΡΑΤΟΥ Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 37

38 Σταθερές αποδόσεις κλίμακας (α+β=1) Η συνάρτηση κέρδους π(k,l) είναι ομογενής πρώτου βαθμού, γιατί τόσο το έξοδο όσο και το έσοδο είναι ομογενείς συναρτήσεις πρώτου βαθμού: Δηλαδή αν διπλασιαστούν οι παραγωγικοί συντελεστές K, L θα διπλασιαστούν τα έσοδα και τα έξοδα και τελικά θα διπλασιαστούν τα κέρδη. Συνεπώς όσο περισσότερες μονάδες παραγωγικών συντελεστών χρησιμοποιούνται τόσο περισσότερο προϊόν παράγεται και τόσο ανάλογα μεγαλύτερο γίνεται το κέρδος. ΚΑΛΟΓΗΡΑΤΟΥ Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 38

39 Αύξουσες αποδόσεις κλίμακας (α+β>1) Αν αυξηθούν οι ποσότητες των παραγωγικών συντελεστών που χρησιμοποιούνται τα έσοδα αυξάνονται με γρηγορότερο ρυθμό από ότι τα έξοδα και συνεπώς αυξάνονται και τα κέρδη. Παράδειγμα Έστω η συνάρτηση παραγωγής τύπου Cobb-Douglas κάποιου προϊόντος Q(K,L)=6K 1/3 L 1/3 με δύο παραγωγικούς συντελεστές κεφάλαιο (Κ) και εργασία (L). Δίνεται ότι η τιμή πώλησης του προϊόντος αυτού είναι p=12 χ. μ., το κόστος ανά μονάδα εργασίας w=2 χ,μ, και το κόστος ανά μονάδα κεφαλαίου είναι r=6 χ.μ.. Να βρεθούν οι ποσότητες κεφαλαίου και εργασίας που μεγιστοποιούν το κέρδος. ΚΑΛΟΓΗΡΑΤΟΥ Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 39

40 Βιβλιογραφία 1. Jacques Ian, Mathematics for Economics and Business, Addison Wesley (1995) 2. Ξεπαπαδέας Α., Μαθηματικές Μέθοδοι στα Οικονομικά, Gutenberg (2007) 3. Τσουλφίδης Λ., Μαθηματικά Οικονομικής Ανάλυσης, Gutenberg (2002) ΚΑΛΟΓΗΡΑΤΟΥ Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 40