ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα: 2-Δ συνεχή σήματα Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
ÃÐÓ 3 ¾¹ ÙÒÕ ÑØ Å ÙÒÕ Ò ÑÔÓÖ Ò ÔÖ Ø Ô Ò ¾¹ ÙÒÕ Ñ Ð Ô Ñ ÙÒÖ¹ Ø f(x, y)º ÁØÖ Ñ ØÒ ÔÜÖ ØÛÒ ÑØÛÒ Ò Ó ÑØ ÕÑØ Ñ Fourier, ÔÓÙ ØÒ ÔÖ Ø ØÛÒ ÑØÛÒ ØÓ ÔÓ ØÛÒ ÙÕÒÓØØÛÒº Ç ÑØ ÕÑØ Ñ Fourier Ò ¾¹ ÙÒÕÓ ÑØÓ Ø Û Ü F(u, v) = F[f(x, y)] = f(x, y)e j2π(ux+vy) dxdy. (3.1) ÁÒ ÙÒ ÔÖÜ ØÓÙ ÑØ ÕÑØ ÑÓ Ò ÔÖÜ ØÓÙ ÓÐÓÐÖôÑØÓ Ø³ ÔÐÙØÓ ØÑ f(x, y) dxdy <. Ç ÒØ ØÖÓÓ ÑØ ÕÑØ Ñ Fourier Ø Û Ü f(x, y) = F 1 [F(u, v)] = F(u, v)e j2π(ux+vy) dudv. (3.2) Ò (x, y) Ò Ó ÙÒØØÑÒ ØÓ ¾¹ ÕôÖÓ ØØ (u, v) Ò ÙÕÒØØ ØÓ ÕôÖÓº À ÑÓÒ ÑØÖ Ø ÙÕÒØØ Ò ÒØ ØÓÕ Ø ÑÓÒ ÑØÖ ØÛÒ ÔÓ Ø ÛÒ ØÓ ÔÔÓ ØÛÒ (x, y)º ÈÓÐ ÙÕÒ ÑÛ ÓÒ ÔÖØ ÑØ ÒÛÒ Ó ÙÒØØÑÒ (x, y) ÒÓÒÓÔÓÓÒØ Û ÔÖÓ Ø ÛÒ Ö Ñ³ ÔÓØÐ Ñ Ó ÙÕÒØØ (u, v) Ò ÑØÖôÒØ ÐÓÙ Ò ÑÓÖ Ø ÛÒ Ö º Ø ÑÐØ Ø Ó Ø ÑØÓÐÝ Ó Ø ÙÑÔÖÓÖ ÖÑÑôÒ Ù ØÑØÛÒ ÔÜÖ ¾¹ ÙÒÕôÒ ÑØÛÒ Ò ÔÓÐ ÕÖ Ñ Û Ø ¾¹ ØÒÓÑ Dirac lim ǫ 0 δ(x, y) = 0, x + y 0 (3.3) ǫ ǫ ǫ ǫ δ(x, y)dxdy = 1 (3.4) Ç ÑØ ÕÑØ Ñ Fourier Ø ØÒÓÑ Dirac Ò Ó Ñ Ø ÑÓÒ Ð Ø ÙÕÒØØ F[δ(x, y)] = 1 (3.5) À ØÒÓÑ Dirac ÑÔÓÖ Ò Ö Ø ÐÝ Ò ÑØÓ Ô Ò Ñ f(x, y )δ(x x, y y )dx dy = f(x, y) (3.6) ÓÒØ Ø ÙÒÕ ÑÖ ØØ ØÓÙ ÑØ ÕÑØ ÑÓ Fourier (Ü Û 3.1) 7
1. ÅØØÔ F[f(x x 0, y y 0 )] = e j2π(x 0u+y 0 v) F(u, v) (3.7) 2. ÈÖ ØÖÓ F[f(y, x)] = F(v, u) (3.8) 3. ÕÛÖ ÑØØ Ò f(x, y) = f 1 (x)f 2 (y), ØØ F(u, v) = F 1 (u)f 2 (v) (3.9) ÔÓÙ F 1 (u) ÒØ ØÓÕ F 2 (v)µ Ò Ó ÑØ ÕÑØ Ñ Fourier Ø f 1 (x) ÒØ ØÓÕ f 2 (y)µº 4. ÐÐ ÐÑ 5. ÈÖô F[f(ax, by)] = 1 ab F(u a, v b ) (3.10) F[f x (x, y)] = j2πuf(u, v) F[f y (x, y)] = j2πvf(u, v) (3.11) 6. ËÙÒÐÜ À ¾¹ ÙÒÐÜ Ø h(.,.) Ñ ØÒ f(.,.) ÓÖÞØ Û ÓÐÓÛ g(x, y) = h(x, y )f(x x, y y )dx dy (3.12) Ç ÑØ ÕÑØ Ñ Fourier G(u, v) Ø g(x, y) Õ Û Ü ÔÓÙ H(u, v) Ò Ó ÑØ ÕÑØ Ñ Fourier Ø h(x, y). 7. ÛØÖ ÒÑÒÓ G(u, v) = H(u, v)f(u, v) (3.13) f(x, y)g (x, y)dxdy = F(u, v)g (u, v)dudv (3.14) ÓÒØ Ñ Ø ÙÒÕ Ó ÑØ ÕÑØ ÑÓ Fourier ØÖôÒ ÕÖØÖ ØôÒ ÙÒÖØ ÛÒº 1. Å Ø ÙÒÖØ F[e j2π(u 0x+v 0 y) ] = δ(u u 0, v v 0 ) (3.15) 2. ÇÖÓôÒÓ ÔÖÐÐÐÔÔÓ À ÙÒÖØ ÓÖÓôÒÓÙ ÔÖÐÐÐÔÔÓÙ ÓÖÞØ Û Ü ÌØ ÕÓÙÑ Π 2 (x, y) = { 1 Ò x 0, 5 y 0, 5 0 Ò x > 0, 5 Ø y > 0, 5 F[Π 2 (x, y)] = sinπu sinπv πu πv (3.16) (3.17) 8
3. ËÙÒÖØ Gauss F[e π(x2 +y 2) ] = e π(u2 +v 2 ) (3.18) 1. ÖØ ØÓÙ ÑØ ÕÑØ ÑÓ Fourier ØÛÒ ÑØÛÒ a) sin 2πxη 1 cos2πyη 2 b) cos 2π(xη 1 + yη 2 ) 2. Ò F(u, v) Ò Ó ÑØ ÕÑØ Ñ Fourier ØÓÙ ¾¹ ÑØÓ f(x, y) Ò ÙÖÓÒ Ó ÑØ ÕÑØ ÑÓ Fourier ØÛÒ Ó ÔÖôØÛÒ ÑÖôÒ ÔÖôÛÒ ØÓÙ f(x, y)º Ç ÄÔÐ Ò ØÐ Ø ÓÖÞØ Û ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ó ØÖÛÒ ÑÖôÒ ÔÖôÛÒ Û ÔÖÓ Ø Ó ÑØÐغ ÈÓ Ò Ó ÑØ ÕÑØ Ñ Fourier Ø ÄÔÐ Ò ØÓÙ f(x, y); 3. ÇÖÞØ ØÓ ÞÓ Ñ ÛÒ ØÑôÒ ØÓÙ ¾¹ ÑØÓ f(x, y) Û ÓÐÓÛ (x 0, y 0 ) = ( xf(x, y)dxdy, yf(x, y)dxdy) ÌÓ ÓÒÑÓ ÕÛÖ ÖÓ ¾¹ ÑØÓ ÓÖÞØ Û Ü E χ = ((x x 0) 2 + (y y 0 ) 2 ) f 2 (x, y)dxdy f2 (x, y)dxdy Ò F(u, v) Ò Ó ÑØ ÕÑØ Ñ Fourier ØÓÙ ÑØÓ f(x, y) ÓÖÞØ ØÓ ÓÒÑÓ ÖÓ ÙÕÒÓØØÛÒ ØÓÙ ÑØÓ E ν = ((u u 0) 2 + (v v 0 ) 2 )F 2 (u, v)dudv F 2 (u, v)dudv ÔÓÙ Ø ÞÓ u 0, v 0 µ ÓÖÞØ ÔÛ ÔÖÔÒÛ ØÓ F(u, v)º Æ ÙÖ ØÓ ÓÒÑÓ ÕÛÖ ÖÓ ØÓ ÓÒÑÓ ÖÓ ÙÕÒÓØØÛÒ ØÓÙ ÑØÓ f(x, y) = exp( π(x 2 + y 2 )) 9
Σημειώματα Σημείωμα αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Κρήτης, Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας «Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων - 2-Δ συνεχή σήματα». Έκδοση: 1.0. Ηράκλειο 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://www.csd.uoc.gr/~hy471/ Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση, Όχι Παράγωγο Έργο 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Κρήτης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.