Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 7: Προσεγγιστική Λύση Εξισώσεων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
½ ½½ ¹ ½½ ¹ ½ µ (Ü 1 Ü 2 Ü ) = 0 ½½ ¹ ½µ (11 1) Ü 1 Ü 2 Ü ¹ ½ ý Ü 2 + Ý 2 = 1 ½ (11 1) (Ü+Ý) 2 = Ü 2 +2ÜÝ + Ý 2 sin 2 Ü+cos 2 Ü = 1 ½
¾ ý Ü ¹ Ü (Ü) = 0 ½½ ¹ ¾µ µ (Ü) = Ü + + 1 Ü + 0 R = 0 1 = 1 2 = 1 2 3 3 ¹ µ sin Ü = sin Ü = 2 + Ü = 2 + = 0 ±1 ±2 ( ) µ Ý () Ý Ý Ü = 0 Ý = Ý(Ü) = 1 2 Úµ ØÖÒ ÒÒØе Ü Ü = 0 Ü sin (Ü) = 0 (11 2) (11 1) (11 2) ý ý
ô (11 2) Ü ¾ Ü = 01 Ü = (Ü 1 ); = 1 2 Ü +1 = (Ü ); = 1 2 ½½ ¹ µ (11 3) (11 2) (11 3) Ü lim Ü Ü = 0 + ½½ ¹ ¾ ý Ô Ü +1 Ü +1 lim + Ü Ü = lim = ½½ ¹ µ Ô + Ô Ô ¹ Ô = 1 Ô = 2 Ô = 3 ½½ ¹ Ü +1 = (Ü ) = 0 1 Ô Ü = 0 1 Ô ½½ ¹ 0 ÙÔÖÐÒÖÐݵ Ü ¾ ý ý
ý ½½ ¹ ½ ô Ü = 1+3 ; = 1 2 1 Ü +1 1 = 3 1 Ü 1 = 3 Ü +1 1 +1 lim = lim = 1 + Ü 1 + 3 Ô = 1 = 13 ø µ Ü +1 = + Õ (+1) = 0 1 = Õ µ Ü +1 = 1+ 1 = 0 1 1 ( 1)! ½½½ ø (11 3) ¹ Ü Ü ô = Ü Ü ; = 0 1 µ (11 3) ý µ (11 3) ÖÓÙÒ¹Ó«ÖÖÓÖ µ ¹ 2 8 16 ¹ 32 64 128
2 8 16 2 141421356 2 14142135623730950 2 ¹ ¹ ³ ¹ ÕÙÒØÞØÓÒ ÖÖÓÖµ ¹ ÒÙ¹ ÑÖÐ ÖÖÓÖ µ (11 3) Á ô 0 ¹ µ Ü Ü 1 Ü Ü 1 Ü µ (Ü ) (Ü ) Ü Ü þ
ý µ Ü Ü 1 Ü Ü 0 ÁÁ (11 3) Æ ½¾ ½¾ ¹ ½ ÓÐÞÒÓµ ý [ ] Ü [ ] ()() 0 ( ) ý ý ½¾ ¹ ½ ØÓÒ ÑØÓµ ½¾ ¹ ½ ô (Ü) = Ü 3 +4Ü 2 10 = 0 [12] ½¾ ¹ ½µ 4
ý ½¾ ¹ ½ µ 1 = 1 = Æ ô 1 = 1 = = 1 2 Æ Ü = + ý (Ü ) = 0 ý Ü ËÌÇÈ 2 (Ü ) ( ) ( ) ý (Ü ) ( ) 0 Ü (Ü ) +1 = Ü +1 = +1 = +1 = Ü ý Ü 9 Ü = 13652230013 ½¾ ¹ ½ 10 20 + (10) 0 (20) 0 ½¾ ¹ ½ ½¾ ¹ ½ ÅÌÀÅÌÁ ½¾ ¹ ½ µ Ü Ü Ü¾¹½¼ Ò¾¼½¾Ü Áܼ ÈÖÒØÆÓ ÖÓÓØ Ò ÚÒ ÒØÖÚÐ ÈÖÒØ Ü Üµ ÓÜ µ»¾ýü Áݼ ÈÖÒØÊÓÓØ Ü Ò ÈÖÒØ ÈÖÒØ Æ Æ ÆÜ ÆÜ Þ Ü ÁÞ¼ Ü Ü ß ½ ÒÐ
ý fx 10 5 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 x 5 ½¾ ¹ ½ ½¾ ¹ ½ (Ü) = Ü 3 + 4Ü 2 10 ½¾ ¹ ½ ½¾ ¹ ½ Ü (Ü ) ½ 10 20 + ½ ¾ ¾ 10 15 + ½¾ ¹½ 125 15 + ½ ¼½¾½½ ½ ½ ¼ ½ ¾ ½ ½½¾ ¹¼¼¼½ ¾¼ ½ ¾¾ ½ ¾ ½ ½ ¾¾ ¼ 6717413 10 6
½¾ ¹ ¾ ½¾ ¹ ¾ (Ü) = Ü 5 Ü 2 +2Ü 1 = 0 Ü (Ü ) ½ 00 10 + ¼ ¹¼¾½ ¾ 05 10 + ¼ ¼½¼ 05 075 + ¼¾ ¹¼¼¾ ¾¼ ¼¼½ ¼¼ ¼ ¼ ¼ 1405212 10 6 ½¾ ¹ ¾ ø (Ü) = Ü 5 Ü 2 +2Ü 1 = 0 ½¾ ¹ ¾µ (Ü) = Ü 3 +2Ü 2 +10Ü 20 = 0 ½¾ ¹ ¾µ [01] [12] ½¾ ¹ ¾ ½¾ ¹ gx 1.0 0.5 hx 15 10 0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x 5 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 x 1.0 µ 5 µ ½¾ ¹ ¾ ½¾ ¹ ¾ µ (Ü) = Ü 5 Ü 2 +2Ü 1 µ (Ü) = Ü 3 +2Ü 2 +10Ü 20
½¼ ý ½¾ ¹ ½¾ ¹ ¾ (Ü) = Ü 3 +2Ü 2 +10Ü 20 = 0 Ü (Ü ) ½ 10 15 + ½¾ ¾ ¾ 10 15 + ½¾ ¹¾¾½ 125 15 + ½ ¼½ ¼ ¾¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ 6648612 10 6 ½¾ ¹ ½ ý Ü ½¾ ¹ ½¹½¾ ¹ ½¾½ Ü ½¾ ¹ ¾ µ ô [ ] Ü [ ] ()() 0 Ü = 1 2 Ü Ü 2 ; = 1 2 ½¾ ¹ ½µ (12 1) ½¾ ¹ ½ Ü 20 Ü 2 1 2 20 9536743 10 7
½½ ½¾ ¹ ½ Ü 20 Ü = 1365230013 1365234375 4064141 10 7 (12 1) ½¾ ¹ ô ½¾ ¹ ½ = 10 9 Ü Ü 2 = 2 10 9 2 10 9 10 9log 10 2 2989735 30 (12 1) ý ½ Ü 4 2Ü 3 4Ü 2 +4Ü+4 = 0 [02] = 10 2 ¾ Ü 5 7 = 0 7 15 = 10 4
½¾ ý Ü 3 Ü 1 = 0 [12] = 10 4 ½¾ ¹ ½ ½¾ ¹ ½ Å̹ Ä ½ ô (Ü) = 0 Ü = (Ü) ½ ¹ ½µ ý Ü (Ü) = 0 (Ü) = Ü (Ü) (Ü ) = Ü (Ü ) = 0 (Ü ) = Ü Ü (Ü) Ü 0 (Ü ) (11 3) (13 1) Ü +1 = (Ü ); = 0 1 ½ ¹ ¾µ (Ü ) = lim + (Ü ) = lim + Ü +1 = Ü Ü Ü ÔÓÒØ ØÖØÓÒµ ý ½ ¹ ½
½ ý ½ ¹ ½ µ Ü 0 Æ = 1 2 Æ Ü = (Ü 0 ) (Ü) = 0 Ü 1 Ü 0 Ü ËÌÇÈ Ü 0 = Ü ýþ ½ ¹ ½ (Ü) Ü 0 ½ ¹ ½ ô (Ü) = Ü 3 +2Ü 2 +10Ü 20 = 0 Ü ( Ü 2 +2Ü+10 ) = 20 (13 1) Ü = (Ü) = 20 Ü 2 ½ ¹ µ +2Ü+10 (13 3) (13 2) Ü +1 = 20 Ü 2 +2Ü ; = 0 1 ½ ¹ µ +10 þ ½¾ ¹ ¾ (Ü) = 0
½ ý ½ ¹ ½ ½ ¹ ½ Ü Ü ½ ½ ½ ½½ ½ ¾ ½¾ ¼½ ½ ½¾ ½ ½¼¾ ½¼ ½ ¾¼ ½ ¼ ¼ ý Ü 0 = 1 (13 4) = 0; Ü 0+1 = Ü 1 = 20 Ü 2 0 +2Ü 0 +1 = 20 1 2 +2 1+10 1538461538 = 1; Ü 1+1 = Ü 2 = = 20 Ü 2 1 +2Ü 1 +1 20 1538461538 2 +2 1538461538 +10 1295019157 ý ½ ¹ ½ 9 20 Ü = 1368808075 9 Ü = 1368808108 Ü Ü = 33 10 8 315 10 7 ½¾ ¹ ¾ ½¾ ¹ µ ½ ¹ ½ ÅÌÀÅ̹ Á ½ ¹ ½ ÅÌÄ ½ ¹ ¾
½ ½ ¹ ½ ÅÌÀÅÌÁµ Ü ¾¼» ܾ ¾Ü ½¼µ Ò¾¼Ü½ÈÖÒØ Ü ÓÝÜ ÈÖÒØ ÆÝ ½¼ ÜÝ ß ½ ÒÐ ½ ¹ ¾ ÅÌĵ ܽ ÓÖ ½¾¼ ݾ¼» ܾ ¾ Ü ½¼µ ÜÝ ÓÖÑØ ÐÓÒ Ý Ò ½ ¹ ¾ ô (Ü) = Ü 2 4Ü+3 = 0 Ü 1 = 1 Ü 2 = 3 ½ ¹ µ ô ¹ (13 5) (13 1) 1 (Ü) = 3 4Ü 2 (Ü) = 3 4 Ü 3(Ü) = Ü2 +3 4 4 (Ü) = Ü2 3 2(Ü 2) ý (13 2) ) ) Ü +1 1 = 1 (Ü 1 = 4Ü 1 3 Ü+1 2 = 2 (Ü 2 = 3 4 Ü2 ) Ü +1 3 = 3 (Ü 3 = ( Ü 3 ) 2 +3 4 ) Ü +1 4 = 4 (Ü 4 = ( Ü 4 ) 2 3 2 ( Ü 4 2) Ü 0 = 45 ½ ¹ ¾ 1 3 2 1 3 4 3
½ ý ½ ¹ ¾ ½ ¹ ¾ Ü ; = 1 2 3 4 Ü 1 Ü 2 Ü 3 Ü 3 ½ ½ ¼¼¼ ½ ¼ ¾ ¾¼ ¹½¼¼ ¼¼ ½ ¼ ¼¼¼ ¼ ¼ ¼¼¼ ½¼ ¼¼ ½¼¼¼ 1155 10 22 ¼¼¼ ý ½ ô Ü 4 +2Ü 2 Ü 3 = 0 ) Ü = ( 3+Ü 2Ü 2) 14 ) Ü = [( 3+Ü Ü 4) 2 ] 12 ) Ü = ( ) 3+Ü 12 Ü 2 Ú) Ü = 3Ü4 +2Ü 2 +3 +2 4Ü 3 +4Ü 1 ý Ü 0 = 1 Ü 5 7 15 Ü 5 7 = 0 ( ) 12 ) Ü +1 = 1+ 7 Ü3 Ü 2 ) Ü +1 = Ü Ü5 7 5Ü 4 ) Ü +1 = Ü Ü5 7 Ü 2 Ú) Ü +1 = Ü Ü5 7 12 ý Ü 0 = 1 Ü 2 Ü = 0 [131] = 10 4
ÆÛØÓÒ ½ ½ ÆÛØÓÒ ÆÛØÓÒ¹ÊÔ ÓÒ ÆÛØÓÒ (Ü) = 0 ¹ ÌÝÐÓÖ ô [ ] [ ] ý [ ] ÌÝÐÓÖ (Ü) ()+(Ü ) ()+ (Ü )2 () 2 Ü = Ü (Ü ) = 0 0 = ()+(Ü ) ()+ (Ü ) 2 () ½ ¹ ½µ 2 ÆÛØÓÒ (14 1) Ü (Ü ) 2 Ü 0 ()+(Ü ) () Ü () ½ ¹ ¾µ () (14 2) (13 1) Ü = (Ü) (13 2) Ü +1 = Ü (Ü ) ; = 0 1 ½ ¹ µ (Ü ) ÂÇËÈÀ ÊÈÀËÇÆ ½¹½½µ ËÖ ÁË ÆÏÌÇÆ ½ ¹½¾µ ÈÖÒÔ ½ ÄÒÞ ½
½ ý ý ½ ¹ ½ ÆÛØÓÒµ Ü 0 Æ = 1 2 Æ Ü = Ü 0 (Ü 0) (Ü 0 ) (Ü) = 0 Ü 1 Ü 0 Ü ËÌÇÈ Ü 0 = Ü ýþ Ü (Ü) = 0 ÆÛØÓÒ ý ½ ¹ ½ ½ ¹ ½ µ Ü 0 µ ½¾ ½ ÆÛØÓÒ ½ ¹ ½ ô ½¾ ¹ ¾ ½ ¹ ½µ (Ü) = Ü 3 +2Ü 2 +10Ü 20 = 0 (Ü) = 3Ü 2 +4Ü+10 (14 3) Ü +1 = Ü Ü3 +2Ü2 +10Ü 20 3Ü 2 +4Ü +10 = 2( Ü 3 + Ü2 +10) 3Ü 2 +4Ü +10 ; = 0 1 ½ ¹ µ
ÆÛØÓÒ ½ ½ ¹ ½ ½ ¹ ½ ÆÛØÓÒ Ü 0 = 1 Ü Ü ¼ ½½½ ¼ ½ ¼ ½¼ ½ ½ ½ ½ ¼ ½¼ ¾ ½ ¼ ½ ý Ü 0 = 1 (14 4) = 0; Ü 0+1 = Ü 1 = 2( Ü 3 0 + Ü2 0 +10) 3Ü 2 0 +4Ü 0 +10 = 2( 1 3 +1 2 +10 ) 3 1 2 +4 1+10 1411764706 = 1; Ü 1+1 = Ü 2 = 2( Ü 3 1 + Ü2 1 +10) 3Ü 2 1 +4Ü 1 +10 = 1369336471 ý ½ ¹ ½ 9 4 Ü = 1368808075 20 ½ ¹ ½ 9 Ü = 1368808108 Ü Ü = 33 10 8 315 10 7 ½¾ ¹ ¾ ½¾ ¹ µ Ü 0 = 1375 3 ½¾ ¹ ¾ ½¾ ¹ ¾µ ½ ¹ ¾ 6 2 Ü = 1368808 µ ý ½¾ ¹ ½
¾¼ ý ½ ¹ ¾ ½ ¹ ½ ÆÛØÓÒ Ü 0 = 1375 ¼ ½ ¾ Ü ½ ½ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¹ ½ ¹ ¾ ÆÛØÓÒ Ü Ü ¼ ¾¾ ¾¾ ¼ ½ ¾¾ ½½½ ½½½ ¾¾ ¼ ¾ ¾¾ ¼ (Ü) = Ü 2 = 0 (Ü) = 2Ü (14 3) Ü +1 = 1 (Ü + ) ; = 0 1 ½ ¹ µ 2 Ü ½ ¹ ¾ ô 5 (14 5) = 5 Ü 0 = 2 ½ ¹ 4 9 ½ ¹ ½ ½ ¹ ¾ ½ ¹ ¾ ÅÌÀÅÌÁ ÅÌÄ (14 6)
ÆÛØÓÒ ¾½ ½ ¹ ½ ÅÌÀÅÌÁµ Ü Ò¹½µÜ»Ü Ò¹½µµ»Ò Ò¾¾Ü½Ñ Ñ ÈÖÒØ Ü ÓÝÜ ÈÖÒØ ÆÝ ½¼ ÜÝ ß ½ ÑÐ ½ ¹ ¾ ÅÌĵ Ò¾¾Ü½ ÓÖ ½ Ý Ò¹½µ Ü»Ü Ò¹½µµ»Ò ÜÝ ÓÖÑØ ÐÓÒ Ý Ò ¹ ¹ (Ü) = Ü = 0 (Ü) = Ü 1 Ü +1 = 1 ½ ¹ ¾ [ ( 1)Ü + Ü 1 ] ; = 0 1 ½ ¹ µ µ ÆÛØÓÒ Ü 0 (14 3) (Ü ) 2 ¹ ô Ü 0 µ ý ÆÛØÓÒ Ü Ü 0 (Ü ) 0 ½½ ¹ µ
¾¾ ý µ ô ÆÛØÓÒ (Ü) ¹ ¹ ½½ (Ü) (Ü ) (Ü ) = lim Ü Ü Ü Ü ô Ü = Ü 1 (Ü ) (Ü 1) (Ü ) = (Ü ) (Ü 1 ) Ü 1 Ü Ü Ü 1 (14 3) Ü +1 = Ü (Ü )(Ü Ü 1 ) (Ü ) (Ü 1 ) = 1 2 ½ ¹ µ (14 7) ÒØ ÑØÓµ ý ½ ¹ ¾ ½ ¹ ô (Ü) = cos Ü Ü = 0 Ü 0 = 05 Ü 1 = 4 (14 7) Ü +1 = Ü (cos Ü Ü )(Ü Ü 1 ) (cos Ü Ü ) (cos Ü 1 Ü 1 ) = 1 2 ½ ¹ Ü 5 7 Ü 3 ½ ¹ ½
ÆÛØÓÒ ¾ ý ½ ¹ ¾ µ Ü 0 Ü 1 Æ Ý 0 = (Ü 0 ) Ý 1 = (Ü 1 ) = 12 Æ Ü = Ü 1 Ý 1(Ü 1 Ü 0 ) Ý 1 Ý 0 (Ü) = 0 Ý 1 Ý 0 Ü ËÌÇÈ Ü 0 = Ü 1 Ý 0 = Ý 1 ýþ ½ ¹ ½ ¹ Ü Ü ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ½¾ ¾ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ½
¾ ý ½ ¹ ½ ý ÆÛØÓÒ ÆÛØÓÒ ý ¹ ½¾ ÆÛØÓÒ ÆÛØÓÒ Ü (Ü) = 0 ½ ¹ ½ Ü (Ü) = 0 Ô (Ü ) = (Ü ) = = (Ô 1) (Ü ) = 0 (Ô) (Ü ) 0 ½ ¹ µ Ü = 1 (Ü) = (Ü 1) 2 = 0 Ô = 2 Ü = 2 (Ü) = (Ü+2) 3 = 0 Ô = 3 ÆÛØÓÒ ½ ¹ ½ ý Ü (Ü) = 0 ¹ Ô ÆÛØÓÒ Ü (Ô 1)Ô ½ ¹ ÆÛØÓÒ 1 (Ü) = Ü 2 1 = 0 Ü = 1 1 2 (Ü) = (Ü 1) 2 Ü = 1 Ô = 2
ÆÛØÓÒ ¾ ½ ¹ ½ ¹ ÆÛØÓÒ 1 (Ü ) 2 (Ü ) ¾¼ ¼ ¾¼ ½¾ ½ ½ ½¼¾ ¾ ½¾ ½¼¼¼ ¼ ½½¾ ½¼ ½¼¾ ½¼ ½¾ Ü 0 = 2 ½ ¹ ½ 1 (Ü) = 0 µ 2 (Ü) = 0 12 ËÖÓÖ Ü +1 = Ü Ô (Ü ) (Ü ) ½ ¹ µ ËÖÓÖ Ô (Ü) = 0 (3) (Ü) Ü ÆÛØÓÒ Ü (Ü) = (Ü) (Ü)
¾ ý ÆÛØÓÒ (Ü ) (Ü ) Ü +1 = Ü [ (Ü )] 2 ; = 0 1 ½ ¹ ½¼µ (Ü ) (Ü ) ÆÛ¹ ØÓÒ ÑÓ ÆÛØÓÒ³ ÑØÓµ (14 10) ½ ¹ ÆÛØÓÒ (Ü) = Ü 3 +4Ü 2 10 = 0 Ü = 136523001 ÆÛØÓÒ Ü +1 = Ü Ü3 +4Ü2 10 3Ü 2 +8Ü ÆÛØÓÒ Ü +1 = Ü ( Ü 3 +4Ü2 10)( 3Ü 2 +8Ü ) ( 3Ü 2 +8Ü ) 2 ( Ü 3 +4Ü2 10) (6Ü +8) ý Ü 0 = 15 ½ ¹ ½ ¹ ô (Ü) = ( Ü 2 sin Ü ) 2 = 0 2 Ü 0 = 2 ½ ¹
ÆÛØÓÒ ¾ ½ ¹ ½ ¹ ÆÛØÓÒ ÆÛØÓÒ ÆÛØÓÒ ½ ½ ½ ¾ ½ ¾ ¾¼½ ½ ½ ½ ¾ ¼¼½ ½ ¾ ¼¼½ ½ ¹ ½ ¹ ÆÛØÓÒ ËÖÓÖ ÆÛØÓÒ ÆÛØÓÒ ËÖÓÖ ½ ½¼ ¾¼ ½¼½ ¾ ½ ½¼½¼¼ ½ ½¼ ½½ ½ ½ ½ ½ ½¼ ½ ½ ½ ½
¾ ý ý ½ ÆÛØÓÒ = 10 5 Ü 0 ) Ü cos Ü = 0 Ü [0 2] ) Ü 3 Ü 1 = 0 [12] ) Ü 3 +3Ü 2 1 = 0 [ 40] Ú) Ü 02sin Ü 08 = 0 [0 2] ¾ (14 6) 7 15 = 10 8 2 ½ ËÖÓÖ ÆÛØÓÒ Ü 2 +2Ü Ü + 2Ü = 0 Ü 0 = 0 = 10 3
ý ý ý ½ ½ ô Æ ½ ¹ ½ µ : Æ : () ½ ¹ ½µ Æ (1 1) ¾ () ¹ = () Æ R ½ ý ¾ ý ¾
¼ ý ½ ¹ ¾ Æ R ½ ¹ ½ ô = 2 +1 1 2 ½ ¹ ½ 1 2 1 5 2 +1 ½ ¾ 1 0 ½½ ô ( ) ( ) Æ Æ
ý ½ ( ) = ( ) = ( )+( ) = ( + ) ( )( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) 0 ( ) = ( ) R ý ( ) = ( ) ¹ 2 ( ) = ( ) ( ) = ( ) ½ ¹ ½ ½¾ ½ ¹ ( ) Æ Æ ¹ ½ ¹ ( ) Æ Æ ¹ ½ ¹ ( ) Æ Æ
¾ ý ( ) Æ [ ] ½ ¹ ¾ = 1 Æ 0 = 1 1 [01] ½ ¹ ( ) Æ Æ ½ ¹ ½ ½ ¹ = 2 cos5 + sin2 2 +1 Æ 2 cos5 + sin2 2 +1 2 Æ 2 + 2 +1 22 2 +1 2
ý ½ ô ( ) Æ ½ ¹ +1 Æ ½ ¹ +1 Æ ½ ¹ Æ +1 ½ ¹ ½¼ +1 Æ ½ ¹ ½½ +1 = Æ ( ) Æ ½ ¹ ½ ¹ ½ ¹ ½ ¹ ½¼ ½ ¹ ½ ½ ¾ ý ( ) Æ 1 Æ ( ) ø ( ) Æ 1 Æ ( )
ý ( ) Æ µ = +1 µ +1 µ ¹ ½ ¹ = +1 Æ = +1 = +1 +2 +1 = 2 ( +1)( +2) 0 +1 Æ ½ ¹ ¾ ý ( ) Æ Æ ½ ¹ ½¾ µ ô Ü 0 R 0 Ü 0 (Ü 0 ) (Ü 0 ) (Ü 0 Ü 0 + ) ¾ ¾ ¹ ½ µ ( ) Æ
ý lim + = lim = 0 0 = 0 () 0 () ¾ ¹ ¾µ = 0 lim = 0 ( ) ý ¾ ¹ ½ Æ = ( ) Æ ¾ ¹ ½ lim = lim( ) = 0 ¾ ¹ µ = 1 Æ 0 0 = 0 () 1 0 = [1] + 1 = 0 () 0 () 1 1 = 1 = 1 0 ¾ ¹ ¾ = 2 2 +1 Æ 1 2 1 = 2 +1 1 = +1 2 +1 2 0 2 0 = 0 () 2 0 = [2] + 1 = 0 () 0 () 2 2 1 lim = 1 lim ÐÑ lim +
ý ¾ ¹ = ( 1) Æ R Ü µ 0 = 12 0 Æ ( 1) Ü 12 0 0 0 +1 ( 1) 0 Ü 12 ( 1) 0+1 Ü 12 ( 1) 0+1 ( 1) 0 ( 1) 0+1 Ü + ( 1) 0 Ü 1 2 + 1 2 = 1 ( 1) 0+1 ( 1) 0 1 ( 1) 0+1 ( 1) 0 = 2 R Á ( ) Æ ÁÁ ý Æ R ¾ ¹ ½ + ¾ ¹ µ ÁÁ ý ( ) ( + ) ÁÁÁ ¹ ½¹¾
ý 1 Æ ( ) ÁÎ ¹ ý ¾ ¹ ½ ý lim = R lim( ) = ¾ ¹ µ Î ý ( ) Æ ( ) Æ 1 Æ 0 ( ) ¾ ¹ ô sin5 = 2 +3 +1 = sin5 2 +3 +1 1 2 +3 +1 1 2 +3 1 3 1 0 lim = 0 ¾ ¹ ¾ ý Æ ( ) ( ) ÎÁ ý 0 lim = lim = lim = µ
ý ÎÁÁ ý ( ) ( ) Æ ¾ ¹ ý lim = Æ ¾ ¹ ý lim = Æ ÎÁÁÁ ( ) lim 2 = lim 2 1 = lim = Á ø lim = lim = lim( + ) ¾ ¹ ½ lim( + ) = + ¾ ¹ µ µ Á lim( 1 + 2 + + ) = lim 1 +lim 2 + +lim ¾ ¹ µ µ (2 7) µ Á
ý ø lim = lim = lim( ) lim( ) = ¾ ¹ µ ¾ ¹ ý lim = lim = lim( + ) = + ¾ ¹ µ R µ Á ø lim = lim = lim( ) lim( ) = ¾ ¹ ½¼µ ¾ ¹ ¾ µ Á lim( 1 2 ) = lim 1 lim 2 lim ¾ ¹ ½½µ ¹ = = 12 lim = lim( ) = (lim ) = Æ ¾ ¹ ½¾µ µ (2 11) Á ÁÁ ø lim = lim = 0 0 lim( ) lim = ¾ ¹ ½ µ
¼ ý ¾ ¹ ô = 2 + +5 3 2 +1 = 1+ 1 + 5 2 3+ 1 2 1 ¾ ¹ ½µ 1 2 Áµ Á ( ) 1 3 ( ) ÁÁ 13 ¾ ¹ µ ÁÁ lim( ) lim lim µ 0 lim = 0 lim( ) = (lim ) = ¾ ¹ ½µ (2 12) ÁÁÁ ý lim = lim lim = ¾ ¹ ½µ ¾ ¹ µ ÁÁÁ 0 lim = 0 lim = = 0 lim = 0 lim = 0 lim = 0 ¾ ¹ ½µ
ý ½ ÁÎ ø lim = lim = = lim ¾ ¹ ½µ ¾ ¹ µ ý ÁÎ lim ( ) Æ µ 0 Æ lim = lim = lim Æ ¾ ¹ ½µ ¾ ¹ ½ ô lim = 0 = Æ 1 ¾ ¹ ¾ ý R 1 lim = = 0 ¾ ¹ ô ( ) Æ 0 Æ +1 1 lim = 0 ¾ ¹ Ü R lim Ü! = 0 ¾ ¹ ý R = lim = 1 lim = 1 ý ¾ ¹ ½ R
¾ ý ¾ ¹ ý ( ) Æ lim ¾ ¹ ý ( ) Æ lim ý ý ¹ÑÐ ÖØ Ó ØØÖ ÍÊÄ ØØÔ»»Ù Ö ØØÖ»ÖØ Ó»
þ ½ þ ½µ ý ý ý ÁËÆ ß¼ß¾ß¼¾¾ß ¾ ý ¾¼½½µ ý ý ÁËÆ ß¼ß ½ßß ý ¾¼¼¾µ ý ý ý ÁËÆ ¼ß ½ß ß»ß¼ß ½ß ß» ÅÌÄ ÁËÆ ß¼ß ßß ÙÖÒ ÊÖ Ä Ò Ö Â ÓÙÐ ¾¼¼¼µ ÆÙÑÖÐ ÒÐÝ Ø µ ÖÓÓ»ÓÐ ÁËÆ ß¼ß ß ¾½ß¾ ÓÒØ Ë ÖÐ ÓÓÖ ½½µ ÐÑÒØÖÝ ÆÙÑÖÐ ÒÐÝ Ò ÐÓÖØÑ ÔÔÖÓ Ö µ ÅÖÛ¹ÀÐÐ ÓÓ ÓÑÔÒÝ ÁËÆ ß¼ß¼ß¼½¾ß ÓÒ ËÙѳ ÇÙØÐÒ ß ÅØÑØ ¾¼¼µ ÁËÆ ß¼ß½ß¼¼¼ß ÃÒÐÐ ØÒ ÓÒ ½µ Ò ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÓ ÆÙÑÖÐ ÒÐÝ ¾Ò µ ÂÓÒ ÏÐÝ ² ËÓÒ ÁËÆ ¼ß½ß¼¼¾ ß¾ ÄÖ Â«ÖÝ Â ¾¼¼µ ÆÙÑÖÐ ÒÐÝ Ò ËÒØ ÓÑÔÙع ØÓÒ ÓÒ Ï ÐÝ ÁËÆ ß¼ß¾¼½ß ß
ý ½¼ ËØÞÑÒ Å ¾¼¼¾µ ÆÙÑÖÐ ÒÐÝ ÅØÑØÐ ÁÒØÖÓÙ¹ ØÓÒ ÐÖÒÓÒ ÈÖ ÇÜÓÖ ÁËÆ ß¼ß½ß¼¾ß½ ½½ ËØÓÖ ÂÓ ÙÐÖ ÊÓÐÒ ¾¼¼¾µ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÓ ÆÙÑÖÐ Òй Ý Ö µ ËÔÖÒÖ ÁËÆ ß¼ß ß¾ß ½¾ ËÐ Ò ÅÝÖ ¾¼¼ µ Ò ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÓ ÆÙÑÖÐ ÒÐÝ ÑÖ ÍÒÚÖ ØÝ ÈÖ ÁËÆ ß¼ß¾½ß¼¼ß ØØÔ»»ÒÛÔÓÖ»Û»ÅÒ È ØØÔ»»ÕÛÓÖÐÔÑÒØÖÙ»ÒÜØÑ ØØÔ»»ÑØÛÓÖÐÛÓÐÖÑÓÑ» ØØÔ»»ÓÑ ÔÖÒÖ»
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Αθήνας, Αθανάσιος Μπράτσος, 2014. Αθανάσιος Μπράτσος. «Μαθηματικά ΙΙΙ. Ενότητα 7: Προσεγγιστική Λύση Εξισώσεων». Έκδοση: 1.0. Αθήνα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: ocp.teiath.gr. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: Το Σημείωμα Αναφοράς Το Σημείωμα Αδειοδότησης Τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων Το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 2