تحلیل مدار به روش جریان حلقه

تحلیل مدار به روش جریان حلقه برای حل مدار به روش جریان حلقه باید مراحل زیر را طی کنیم: مرحله ی 1: مدار را تا حد امکان ساده می کنیم)مراقب باشید شاخه هایی را که ترکیب می کنید مورد سوال مسئله نباشد که در اینصورت پس از حل مسئله دوباره باید آنها را از هم جدا کنید.( مرحله ی 2: برای هر حلقه یک جریان در جهت حرکت عقربه های ساعت در نظر می گیریم. مرحله ی 3: برای هر حلقه یک KVL می نویسیم. نکته: بعضی از شاخه ها بین دو حلقه مشترک اند بنابراین هنگام گذر از این شاخه ها جریان شاخه ی مشترک از تفاضل جریان دو حلقه ی مجاور بدست می آید. نکته: عالمت ولتاژ برای تمام مقاومتها مثبت خواهد بود اما عالمت منابع تغذیه ی ولتاژ وابسته به جهت KVL است که به کدام سر منبع وارد می شود. اگر در جهت حرکت به مثبت منبع ولتاژ برسیم ولتاژ آن را با عالمت مثبت و اگر به منفی منبع ولتاژ برسیم ولتاژ آن را با عالمت منفی در معادله منظور می کنیم. مرحله ی 4: به تعداد حلقه های مسئله معادله تشکیل می دهیم. )دو معادله و دو مجهول یا سه معادله و سه مجهول به هر حال با حل معادالت تشکیل شده مجهوالت که همان جریان حلقه ها هستند بدست می آیند.( هنگامی که جریان حلقه ها محاسبه شد می توانیم ولتاژ و توان تمامی عناصر مدار را بدست آوریم. مثال 1 : در شکل مقابل توان مقاومتها را بدست آورید. مرحله ی 1: مدار نیازی به ساده کردن ندارد. 14 V 5Ω 3 V مرحله ی 2:

14 V I 1 5Ω I 3 V 2 KVL1): 14 + 3I 1 + 5(I 1 I 2 ) = 0 مرحله ی 3: I 1 KVL2):5(I 2 I 1 ) + 4I 2 3 = 0 در حلقه ی یک برای شاخه ی مشترک ابتدا جریان I 1 را می نویسیم و جریان I 2 که خالف است را از آن کم می کنیم. یعنی ) 2 I) 1 I اما برای حلقه ی دوم هنگامی که به شاخه ی مشترک (I 2 I 1 ) I 1 می رسیم ابتدا جریان I 2 و سپس جریان را می نویسیم. یعنی مرحله ی 4: معادالت بدست آمده را در یک دستگاه دو معادله و دو مجهول حل می کنیم: KVL1): 14 + 3I 1 + 5(I 1 I 2 ) = 0 14 + 3I 1 + 5I 1 5I 2 = 0 KVL2):5(I 2 I 1 ) + 4I 2 3 = 0 5I 2 5I 1 + 4I 2 3 = 0 5 8I 1 5I 2 = 14 40I 1 25I 2 = 70 8 5I 1 + 9I 2 = 3 40I 1 + 72I 2 = 24 با جمع کردن دو طرف معادالت فوق به معادله ی زیر می رسیم: 47I 2 = 94 I 2 = 2 مقدار I 2 را در یکی از معادالت فوق قرار می دهیم: 8I 1 5(2) = 14 8I 1 = 10 + 14 = 24 8I 1 = 24 I 1 = 3 توجه: مراحل کامل حل اینگونه معادالت در جزوه ی ریاضی موجود است با مراجعه به صفحه ی اصلی سایت آن را دانلود کنید. = 3 1 I فقط جریان منبع ولتاژ 14 ولت و مقاومت است و از آنجایی که عالمتش مثبت است می فهمیم که جهتش همان است که در نظر گرفته شده است. = 2 2 I نیز فقط جریان منبع ولتاژ 3 ولت و مقاومت است و از آنجایی که عالمتش مثبت است می فهمیم که جهتش همان است که در نظر گرفته شده است.

جریان مقاومت 5Ω از جمع جبری جریانهای I 1 و I 2 بدست می آید. نکته: جبر در ریاضیات به معنی عالمت است و منظور از جمع جبری همان جمع با رعایت عالمت است. توجه: اگر در شکل فوق دقت کنید مشاهده خواهید کرد که در مقاومت 5Ω جریان 3A و روبه پایین است. در ضمن جریان A 2 و روبه باال است. یعنی جهت جریان های I 1 و I 2 مخالف هم است و باید از هم کم شوند. در این شاخه I1=3A I=1A 5Ω 5Ω I2=2A یعنی: 1 = 2 3 = 5Ω I در ضمن جهت جریان در این شاخه را جریان بزرگتر یعنی 3A تعیین می کند که روبه پایین است. دقت: در هر شاخه فقط یک جریان جاری است و این جریان ممکن است حاصل 2 یا چند جریان هم جهت یا خالف جهت هم باشد. نکته: حضور منابع همیشه باعث افزایش جریان در شاخه ها نمی شوند بلکه مانند این سوال ممکن است حتی اثر یکدیگر را نیز در یک شاخه خنثی کنند. P = 3 (3) 2 = 27 P 5Ω = 5 (1) 2 = 5 P = 4 (2) 2 = 16 6Ω مثال 2 : در شکل مقابل توان تمام عناصر را بدست آروید. I 1 I 2 29 V 51 V 29 + 4I 1 + 3(I 1 I 2 ) = 0 KVL در حلقه ی اول:

3 (I 2 I 1 ) + 6I 2 51 = 0 KVL حلقه ی دوم: 3 7I 1 3I 2 = 29 21I 1 9I 2 = 87 7 3I 1 +9I 2 = 51 21I 1 + 63I 2 = 357 54I 2 = 270 I 2 = 5 7I 1 3(5) = 29 7I 1 = 14 I 1 = 2 I 1 توجه: عالمت I 1 منفی شد یعنی اینکه جهت خالف جهت گرفته شده در صورت مسئله است. توجه: هیچ گاه با جریان منفی کار نکنید. به سادگی می توانید جهت آن را عوض کنید و عالمتش را مثبت کنید. 29 V I 1 = 2 29 V I 1 = 2 I1=-2A I1=2A I=7A دقت: مقدار جریان در شاخه ی I2=5A I2=5A به صورت مقابل محاسبه می شود. نکته ی بسیار مهم: نمی توانیم توان مقاومت را از جمع توان های ناشی از و بدست آوریم. یعنی نمی توانیم به صورت زیر عمل کنیم: P = 3 (2) 2 = 12 P = 3 (5) 2 = 75 توان ناشی از جریان : 2A توان ناشی از جریانA : 5 و حاال اگر دو توان محاسبه شده را با هم جمع کنیم عدد 78 بدست می آید در حالی که باید توان مقاومت را به این صورت بدست آوریم:

P = 3 (7) 2 = 147 P = 4 (2) 2 = 16 P 6Ω = 6 (5) 2 = 150 منبع ولتاژ P = 29 2 = 58 منبع ولتاژ P = 51 5 = 255 توان مقاومت : توان مقاومت : 6Ω توان منبع ولتاژ : 22 V توان منبع ولتاژ : 51V 5Ω مثال 3 : با استفاده از روش جریان حلقه 5 A 10Ω 20 V توان مقاومت 11Ω را محاسبه کنید. نکته: از آنجایی که هدف از زدن KVL بدست آوردن جریان حلقه است هرگاه در حلقه ای منبع جریان وجود داشته باشد حق زدن KVL در آن را نداریم. زیرا جریان آن حلقه مشخص است و لزومی ندارد در جایی که جریان مشخص است KVL زده شود. حل: در حلقه ی سمت راست می توانیم KVL بزنیم: 10(I 2 I 1 ) + 5I 2 20 + 5I 2 = 0 در حلقه ی سمت چپ نیازی به زدن KVL نیست چون مقدار جریان این حلقه کامال مشخص است. I 1 = 5A یعنی : توجه : به جهت چرخش Iو 1 جهت فلش جریان)جهت چرخش جریان( توجه کنید. هنگامی که جریان از مسیر منبع جریان می گذرد هر دو هم جهت هستند پس عالمت آن مثبت است. اما اگر خالف جهت هم باشند عالمت جریان منفی خواهد بود. 10(I 2 5) + 5I 2 20 + 5I 2 = 0 10I 2 50 + 5I 2 20 + 5I 2 = 0

20I 2 70 = 0 20I 2 = 70 I 2 = 70 = 3.5 20 توجه: جریان I 1 فقط در منبع جریان و مقاومت جاری است. جریان I 2 فقط در منبع ولتاژ 21 ولت و مقاومت های 5Ω جریان دارد. اما در مقاومت 11Ω هم جریان مشترک است.( I 1 و هم جریان I 2 جاری است. )زیرا مقاومت 11Ω بین دو حلقه I1=5 10Ω I=1.5 10Ω P 10Ω = 10 (1.5) 2 = 10 2.25 = 22.5 I2=3.5 مثال 4 : با استفاده از روش جریان حلقه توان مقاومت 2Ω را حساب کنید. 2Ω 10 V 5 A 20 V نکته: هرگاه در مسیر زدن KVL به منبع جریان برخورد کنیم باید از زدن KVL صرف نظر کنیم. نکته: جریان های I 2 و I 1 در هر صورت باید در نظر گرفته شوند چه آن حلقه قابلیت KVL داشته باشد و چه نداشته باشد. دقت: در اینگونه موارد باید یک KVL به گونه ای بزنیم که هر دو حلقه را در بر گیرد.)نام این حلقه ی بزرگ اب رحلقه است.( KVL1) 10 + 2I 1 + 3I 2 + 20 = 0 2I 1 + 3I 2 = 10 به معادله ی فوق دقت کنید. دو مجهول دارد و بنابراین قابل حل نیست. به یک معادله ی دیگر نیاز داریم. به سراغ منبع جریان می رویم و معادله ی دوم را از روی آن می نویسیم.

و 6 KVL2) I 2 I 1 = 5? باید به این صورت عمل کنیم: زیرا: اوال ( مقدار جریان شاخه ی مشترک کامال مشخص است. I 2 ثانیا ( این جریان ناشی از جریان های I 1 است. و ثالثا ( منبع جریان با I 2 جریان هم جهت است. 2I 1 + 3I 2 = 10 2I 1 + 3I 2 = 10 2I 1 + 3I 2 = 10 I 2 I 1 = 5 2 I 1 + I 2 = 5 2I 1 + 2I 2 = 10 5I 2 = 0 I 2 = 0 I 1 + I 2 = 5 I 1 + 0 = 5 I 1 = 5 P 2Ω = 2 ( 5) 2 P 2Ω = 2 25 = 50 توجه: البته می توانستیم با جابجایی دو شاخه ی سمت چپ و سمت راست از حالت اب ر حلقه خارج شویم. مثال 5 : در شکل مقابل به روش جریان حلقه 8 A 12Ω 6Ω 12 V مطلوبست: الف( محاسبه ی توان منبع ولتاژ 1Ω ب( نوع توان منبع را با هم موازی می کنیم و مقاومتهای 12Ω ابتدا مدار را ساده می کنیم.) یعنی مقاومتهای Ω و 1Ω را با هم سری می کنیم.( 8 A I1 I2 12 V

طبق نکات گفته شده نباید در حلقه ی اول KVL بزنیم در ضمن جهت I 1 با جهت منبع جریان متفاوت است پس داریم: 8 = 1 I در حلقه ی KVL I 2 می زنیم: 4(I 2 I 1 ) + 4I 2 12 = 0 4(I 2 ( 8)) + 4I 2 12 = 0 4(I 2 + 8) + 4I 2 12 = 0 4I 2 + 32 + 4I 2 12 = 0 8I 2 = 20 I 2 = 2.5 I1=-2.5 12 V I1=+2.5 12 V منبع ولتاژ P = 12 2.5 = 30W این منبع مصرف کننده است بنابراین عالمت توان آن باید مثبت باشد. لطفا برای فهم کامل موضوع مربوط به توان منابع جزوه ی مربوطه را از سایت دانلود نمایید.