Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 10: Μέθοδος Ελάχιστων Τετραγώνων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
ý º½ º½º½ ¹ º ¹ Ø ÔÔÖÓÜÑØÓ Ø Øص ص º º½ ¹ ½µ Ë = {(Ü Ý ) = 1 2 } º½ ¹ ½µ ô Ý = (Ü ) = 1 2 º º º½º¾ Á 1 ô Ë (41 1) 1 È 1 (Ü) = È(Ü) = Ü+ º½ ¹ ¾µ ½
¾ º ýº y 2 2 1 2 3 4 5 6 7 x 4 º½ ¹ ½ Ë = {(015)(10)(325)(6 15)}º µ 1 ¹ µ 2 ¹ µ º ý (Ü Ý ) Ë Ý Ý = È (Ü ) = Ü + = Ý Ý = Ý (Ü + ) = 1 + + = Ý 1 (Ü 1 + ) + + Ý (Ü + ) º½ ¹ µ = ( ) º (41 3) º = 0 = 0 º½ ¹ µ
(41 4) ½ º ÖØ Ð Ø ÕÙÖ ÑØÓµ (41 3) = 2 1 + + 2 = [Ý 1 (Ü 1 + )] 2 + +[Ý (Ü + )] 2 º½ ¹ µ º (41 5) = 2 (Ý Ü ) Ü = 0 =1 = 2 (Ý Ü ) = 0 =1 Ü 2 + Ü = =1 =1 {}}{ Ü + Ü 0 = =1 =1 Ü Ý =1 Ý º½ ¹ µ =1 (41 6) ÓÖÑÐ ÕÙØÓ µ = ( ( )( ) Ü Ý ) Ü Ý =1 =1 =1 ( ) ( ) Ü 2 2 º½ ¹ µ Ü =1 =1 ½ ô º = Ü1 Ü = 0 = 1 1 = = 0 º
º ýº º½ ¹ ½ º½ ¹ ½ Ü Ý Ü Ý Ü 2 ½ ¹¼º ½º¾ ¹¼º ¼º¾ ¾ ¼º ¾º¼ ¼º ¼º¼ ¼º ½º¼ ¼º ¼º ½º ¹½º¼ ¹½º ¾º¾ ¾º¼ º¾ ¹¼º º¼ ( )( ( Ü 2 )( ) Ý ) Ü Ý Ü =1 =1 =1 =1 = ( ) ( ) Ü 2 2 º½ ¹ µ Ü =1 =1 º½ ¹ ½ 1 Ü ¹¼º ¼º ¼º ½º Ý ½º¾ ¾º¼ ½º¼ ¹½º¼ º (41 7) (41 8) º½ ¹ ½º = 4 ( 08) 2 (32) 4 (308) 2 2 = (308) (32) ( 08) 2 4 (308) 2 2 È(Ü) = 11539 Ü +13769 º º½ ¹ ¾µº 11539 13769
2.0 y 1.5 1.0 0.5 0.5 0.5 1.0 1.5 x 0.5 1.0 º½ ¹ ¾ º½ ¹ ½º Ý = 11539 Ü +13769 º½ ¹ ¾ ø 1 (Ü Ý ) º½ ¹ º º (41 8) (41 8) = 10 4859487 562933 738373 10 3805423 562933 2 11044 = 3805423 738373 562933 4859487 10 3805423 562933 2 11667 È(Ü) = 11044 Ü +11667 º º½ ¹ µº º½º ÁÁ ѹ Ë (41 1) ѹ È Ñ (Ü) = 0 + 1 Ü+ + Ñ Ü Ñ Ñ ¹ ½ º½ ¹ µ
º ýº º½ ¹ ¾ º½ ¹ ¾ Ü Ý Ü Ý Ü 2 ½ ¾º¼ º ½¾ º½¼ º ½ ¾ ¾º ¼ º¾ º¼ º ½¾ º¼½¾ º¼¼ ½º¼¼½ º¼¾ º¼¾ º ¼º½¼ ¾¾º½ º¼½ º½ ½º ¾ ¼º¾ º¼ º¼½ ½º º½ º¾¾ º º¾¼ º½ º ½ ½½º¼½ º¾ ½º¾ º º½ º º¾½ ½¼ º ¼¼ ½¾º¾ ½½º¼¼ º½¾½ º¾ º º ¼º¾ 12 10 y 8 6 4 6 8 10 x º½ ¹ º½ ¹ ¾º Ý = 11044 Ü +11667
Á 0 1 Ñ ¾ = 2 1 + + 2 = [Ý 1 È Ñ (Ü 1 )] 2 + +[Ý È Ñ (Ü )] 2 º ø 1 (41 4) = 0 = 0 1 Ñ º½ ¹ ½¼µ ý (41 10) Ñ + 1 Ñ + 1 0 1 Ñ 0 Ü 0 + 1 Ü 1 + + Ñ Ü Ñ = =1 =1 =1 0 Ü 1 + 1 Ü 2 + + Ñ Ü Ñ+1 = =1 =1 =1 Ý Ü 0 =1 Ý Ü 1 =1 º º½ ¹ ½½µ 0 Ü Ñ =1 + 1 =1 Ü Ñ+1 + + Ñ =1 Ü 2Ñ = Ý Ü Ñ =1 ¾ þ ýº ¾ º º (41 10) Ñ =1 Ü+ 0 =0 º = 2 =1 ÝÜ + 2 Ñ =0 =1 Ü+ = = Ñ =1 ÝÜ = 0 1 º
º ýº º½ ¹ ½ µ Ü 0 =1 Ü 1 =1 º Ü Ñ =1 Ü 1 =1 Ü 2 =1 =1 º Ü Ñ+1 Ü Ñ =1 Ü Ñ+1 =1 º =1 Ü 2Ñ º½ ¹ ½¾µ º (41 11)º µ ý (41 11) Ü = 12 º µ Ë È Ñ (Ü) = =1 3 (41 10) º º º½ ¹ 2 º½ ¹ ½º º = 4 (41 9) Ñ Ñ 4 1 Ñ = 2º ô È 2 (Ü) = 0 + 1 Ü+ 2 Ü 2 þ ÓÐ Ý ýº ¾ º º
º½ ¹ º½ ¹ ¾ Ü Ý Ü Ý Ü 2 Ü 3 Ü 4 Ü 2 Ý ¹¼º ½º¾ ¹¼º ¼º¾ ¹¼º½¾ ¼º¼¾ ¼º ¼ ¼º ¾º¼ ¼º ¼º¼ ¼º¼¾ ¼º¼¼½ ¼º½ ¼º ½º¼ ¼º ¼º ¼º ¼º¾¼½ ¼º ½º ¹½º¼ ¹½º ¾º¾ º º¼¾ ¹¾º¾ ¾º¼ º¾ ¹¼º º¼ º¾ º ¾ ¹½º¾ º (41 11) 0 Ü 0 + 1 Ü 1 + 2 Ü 2 = Ý Ü 0 =1 =1 =1 =1 0 Ü 1 + 1 Ü 2 + 2 Ü 3 = Ý Ü 1 =1 =1 =1 =1 0 Ü 2 + 1 Ü 3 + 2 Ü 4 = =1 =1 =1 º½ ¹ Ý Ü 2 =1 4 0 + 20 1 + 308 2 = 32 20 0 + 308 1 + 362 2 = 08 308 0 + 362 1 + 53732 2 = 128 ý º º½ ¹ µ È 2 (Ü) = 14583 Ü 2 +03045 Ü +17707 = 5 =1 [Ý È 2 (Ü )] 2 276 04 2 º º
½¼ º ýº 2.0 y 1.5 1.0 0.5 0.5 0.5 1.0 1.5 x 0.5 1.0 º½ ¹ º½ ¹ ¾º È 2 (Ü) = 14583 Ü 2 +03045 Ü +17707 º½ ¹ ½µ Ý = 11539 Ü +13769 ý ½º ô Ü ¼º¼¼ ¼º½¼ ¼º¾¼ ¼º¼¼ ¼º¼ ¼º¼¼ Ý ½º¾ ½º¼ ¾º¼¾¼ ¹½º¼ ¹¾º ¼º µ 1 2 µ º ¾º ø Ü ¼º ¼º ¼º ½º ½º ¾º¾ º Ý ¼º¼ ¼º¼ ¼º¾¼ ½º¼ ½º º½ º¼
½½ ý º ýº º ¹ÑÐ ÖØ Ó ØØºÖ ÍÊÄ ØØÔ»»Ù Ö ºØغֻÖØ Ó»
þ ½ º þº ½µ ý ý ý ÁËÆ ß¼ß¾ß¼¾¾ßº ¾ ýº ¾¼½½µ ýº ý ÁËÆ ß¼ß ½ßߺ ýº ¾¼¼¾µ ý ýº ý ÁËÆ ¼ß ½ß ß»ß¼ß ½ß ߺ º» ÅÌÄ ÁËÆ ß¼ß ßߺ ÙÖ ÊÖ Äº Ö Âº ÓÙÐ ¾¼¼¼µ ÆÙÑÖÐ ÐÝ Ø ºµ ÖÓÓ»ÓÐ ÁËÆ ß¼ß ß ¾½ß¾º ÓØ Ëº º ÖÐ ÓÓÖ ½½µ ÐÑØÖÝ ÆÙÑÖÐ ÐÝ ÐÓÖØÑ ÔÔÖÓ Ö ºµ ÅÖÛ¹ÀÐÐ ÓÓ ÓÑÔÝ ÁËÆ ß¼ß¼ß¼½¾ßº Ó º ËÙѳ ÇÙØÐ ß ÅØÑØ ¾¼¼µ ÁËÆ ß¼ß½ß¼¼¼ßº ÃÐÐ º Ø Ó ½µ ÁØÖÓÙØÓ ØÓ ÆÙÑÖÐ ÐÝ ¾ ºµ ÂÓ ÏÐÝ ² ËÓ ÁËÆ ¼ß½ß¼¼¾ ß¾º ÄÖ Â«ÖÝ Âº ¾¼¼µ ÆÙÑÖÐ ÐÝ ËØ ÓÑÔÙع ØÓ Ó Ï ÐÝ ÁËÆ ß¼ß¾¼½ß ߺ ½
½ º ýº ½¼ ËØÞÑ Åº ¾¼¼¾µ ÆÙÑÖÐ ÐÝ ÅØÑØÐ ÁØÖÓÙ¹ ØÓ ÐÖÓ ÈÖ ÇÜÓÖ ÁËÆ ß¼ß½ß¼¾ß½º ½½ ËØÓÖ ÂÓ ÙÐÖ ÊÓÐ ¾¼¼¾µ ÁØÖÓÙØÓ ØÓ ÆÙÑÖРй Ý Ö ºµ ËÔÖÖ ÁËÆ ß¼ß ß¾ß º ½¾ ËÐ º ÅÝÖ º ¾¼¼ µ ÁØÖÓÙØÓ ØÓ ÆÙÑÖÐ ÐÝ ÑÖ ÍÚÖ ØÝ ÈÖ ÁËÆ ß¼ß¾½ß¼¼ßº ØØÔ»»ºÛÔºÓÖ»Û»Å È ØØÔ»»ÕÛÓÖкÔÑغÖٻܺØÑ ØØÔ»»ÑØÛÓÖкÛÓÐÖѺÓÑ» ØØÔ»»ÓѺ ÔÖÖº»
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Αθήνας, Αθανάσιος Μπράτσος, 2014. Αθανάσιος Μπράτσος. «Μαθηματικά ΙΙΙ. Ενότητα 10: Μέθοδος Ελάχιστων Τετραγώνων». Έκδοση: 1.0. Αθήνα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: ocp.teiath.gr. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: Το Σημείωμα Αναφοράς Το Σημείωμα Αδειοδότησης Τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων Το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 2