Εργαστηριακή Άσκηση Εξαναγκασμένη Ταλάντωση Πακτωμένης Δοκού 1.Σκοπός Σκοπός της άσκησης είναι η μελέτη των εξαναγκασμένων μηχανικών ταλαντώσεων ενός κλασικού συστήματος πακτωμένης δοκού στο ένα άκρο. Θα μελετηθεί η ταλάντωση της δοκού για διάφορες συχνότητες και θα μελετηθεί η ταλάντωση της δοκού με την προσθήκη διάφορων πλακιδίων των οποίων το βάρος θα υπολογίζεται. Επίσης θα υπολογιστούν η μάζα, η σταθερά ελατηρίου και με βάση αυτα η πρώτη συχνότητα ταλάντωσης, ο συντελεστής ποιότητας του συστήματος και το μέγιστο πλάτος ταλάντωσης. 2. Θεωρία Δοκού Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται μια δοκός με τις βασικές ιδιότητες. Η διατομή της δοκού θεωρείται ορθογωνικού σχήματος γνωστών διαστάσεων και σταθερή σε όλο το μήκος της δοκού. Συνεπώς θεωρούνται γνωστά και σταθερά το εμβαδό Α και οι δευτεροβάθμιες ροπές αδράνειας Ι yy και Ι zz της διατομής. Επίσης θεωρείται ότι σε όλο το μήκος της δοκού, οι ιδιότητες του υλικού κατασκευής, δηλαδή η πυκνότητα ρ και το μέτρο Ελαστικότητας Ε, είναι γνωστά και σταθερά μεγέθη. Σχήμα 1. Πακτωμένη δοκός ορθογωνικής διατομής. Υπενθυμίζεται από την Μηχανική Παραμορφωσίμου Σώματος για τις δευτεροβάθμιες ροπές αδράνειας της ορθογωνικής διατομής ισχύουν: 2 1 3 Ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα y-y: I yy z da ( ) bh A 12 2 1 3 Ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα z-z: I zz y da ( ) b h A 12
3.Γενική Θεωρία Ένα κλασικό παράδειγμα αρμονικού ταλαντωτή είναι το σύστημα που αποτελείται από ένα ελατήριο και μια μάζα, η οποία εκτελεί ταλαντώσεις μικρού πλάτους. Στη συνέχεια θα μελετήσουμε πρώτα τις ελεύθερες ταλαντώσεις με μηδενική απόσβεση (ιδανικές) και ακολούθως τις ιδανικές εξαναγκασμένες ταλαντώσεις και τις εξαναγκασμένες ταλαντώσεις με απόσβεση. Σχήμα 2. Απλός αρμονικός ταλαντωτής, αποτελούμενος από μια μάζα Μ, συνδεδεμένη με ένα ελατήριο που είναι πακτωμένο στο ένα άκρο του. Η μάζα εκτελεί ταλαντώσεις μικρού πλάτους, που υποδεικνύεται με το διπλό βέλος. Το x παριστάνει την απομάκρυνση της μάζας από τη θέση ισορροπίας της. 3.1 Ελεύθερες αρμονικές ταλαντώσεις χωρίς απώλεια ενέργειας Η περίπτωση των αρμονικών ταλαντώσεων χωρίς απώλεια ενέργειας είναι ιδανική και ασφαλώς αποτελεί μια προσέγγιση της πραγματικότητας, όταν ένα σώμα εκτελεί ταλαντώσεις μικρού πλάτους και με πάρα πολύ μικρή απόσβεση. Έστω ότι η μάζα του σώματος είναι Μ, η σταθερά του ελατηρίου k και η θέση ισορροπίας του σώματος βρίσκεται στο σημείο x= (Σχήμα 2). Από την μαθηματική ανάλυση προκύπτει ότι η απομάκρυνση x της μάζας από την θέση ισορροπίας της περιγράφεται από την σχέση x xsin( t ) (1) oπου φ και x είναι η αρχική φάση και μετατόπιση αντιστοίχως και η ω, που δίνεται από την: k M (2) είναι η γωνιακή ή κυκλική συχνότητα των ταλαντώσεων που εκτελεί η μάζα. Η συχνότητα f είναι προφανώς:
f 1 2 2 k M (3) Όπως βλέπουμε στην ιδανική περίπτωση, η συχνότητα ταλάντωσης εξαρτάται μόνον από τις σταθερές k και Μ. 3.2 Ελεύθερες ταλαντώσεις με απόσβεση Σε ένα σύστημα με απώλειες οι ταλαντώσεις σιγά-σιγά σβήνουν. Μια συνηθισμένη περίπτωση ταλαντώσεων με απόσβεση είναι αυτή στην οποία η δύναμη τριβής, που προκαλεί τις απώλειες, είναι ανάλογη προς την ταχύτητα του σώματος. Στην ανάλυση που αναπτύσσεται θεωρούμε ότι η επιφάνεια πάνω στην οποία γίνεται η κίνηση του σώματος δεν προβάλει αντίσταση τριβής και ότι η τριβή δημιουργείται μόνον εξαιτίας της κίνησης του σώματος μέσα σε κάποιο μαγνητικό πεδίο ή ένα υγρό ή αέριο. Συνεπώς, για την δύναμη τριβής μπορούμε να γράψουμε τη σχέση dx F b dt (4) όπου το b αποκαλείται σταθερά τριβής. Συμβολίζουμε με γ την ποσότητα: b 2M (5) 3.3 Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις με απόσβεση-συντονισμός Για να διατηρηθεί το πλάτος των ταλαντώσεων σταθερό με το χρόνο, το σύστημα θα πρέπει να τροφοδοτείται με ενέργεια με τρόπο περιοδικό. Στα μηχανικά συστήματα αυτό επιτυγχάνεται με την άσκηση μιας περιοδικής δύναμης πανω στο σώμα (Σχ.1) συνήθως ημιτονικής μορφής, αν και αυτό δεν είναι απαραίτητο. Οι ταλαντώσεις που διεγείρονται στο σύστημα είναι τώρα εξαναγκασμένες. Ύστερα από ένα μεταβατικό στάδιο η διάρκεια του οποίου εξαρτάται από τις σταθερές του προβλήματος, οι ταλαντώσεις αυτές φθάνουν σε μια μόνιμη κατάσταση. Έστω ότι η εφαρμοζόμενη περιοδική δύναμη εχει την μορφή: F F cos( t ) (6) Από την αναλυτική μαθηματική επεξεργασία του προβλήματος προκύπτει ότι στη μόνιμη κατάσταση, η γενική λύση είναι περιοδική και έχει τη μορφή: όπου το πλάτος της ταλάντωση, Α, δίνεται από την σχέση x Acos( t ) (7)
F M (8) ( ) 4 2 2 2 2 2 Και η διαφορά φάσης, φ, μεταξύ της διεγείρουσας δύναμης και της μετατόπισης δίνεται από την tan 2 2 2 (9) Το πλάτος της ταλάντωσης γίνεται μέγιστο όταν ω ω όταν δηλαδή η συχνότητα διέργεσης είναι περίπου ίση με την φυσική συχνότητα, ω, του συστήματος. Η συχνότητα αυτή ονομάζεται συχνότητα συντονισμού και συμβολίζεται με το ω σ. Εξάλλου από την εξίσωση (9) προκύπτει ότι στην περίπτωση αυτή, φ=, με άλλα λόγια η απομάκρυνση της μάζας από την θέση ισορροπίας της βρίσκεται σε φάση με τη διεγείρουσα δύναμη. Ένα άλλο χρήσιμο μέγεθος που περιλαμβάνει τα μεγέθη ω και γ και χρησιμοποιείται ευρύτατα είναι ο συντελεστής ποιότητας Q του συστήματος, που εκφράζει τον ρυθμό με τον οποίο φθίνει η ενέργεια του ταλαντωτή και ορίζεται ως ο αριθμός των ακτινίων κατά τον οποίο πρέπει να ταλαντωθεί το σύστημα ώστε να μειωθεί η ενέργεια του κατά ένα παράγοντα e από την αρχική της τιμή. Έχουμε δηλαδή Q 2 (1) Οπου Ν ο αριθμός των ταλαντώσεων. Επειδή η ενέργεια του ταλαντωτή είναι ανάλογη προς το τετράγωνο του πλάτους, στο διάστημα αυτό το πλάτος των ταλαντώσεων έχει μειωθεί κατά e 1/2. Από τα παραπάνω προκύπτει επιπλέον ότι το Q μπορεί να υπολογιστεί από την σχέση: που, στην περίπτωση ασθενούς απόσβεσης, γίνεται: Q (11) 2 Q (12) 2 Μπορεί επιπλέον να αποδειχθεί ότι το Q ισούται και με το πηλίκο της συχνότητας συντονισμού δια του εύρους ζώνης συχνοτήτων Δf της καμπύλης συντονισμού (Σχήμα 2.6): Q f f (13) Υπενθυμίζουμε ότι Δf είναι το εύρος συχνοτήτων το οποίο ορίζεται ως Δf=f 2 -f 1, οπου f 1 και f 2 (Σχήμα 3) είναι οι συχνότητες δεξιά και αριστερά της συχνότητας
συντονισμού που αντιστοιχούν σε τιμές του πλάτους ταλάντωσης ισες με το 1/ 2 =,77 της μέγιστης τιμής του. Από την εξίσωση 13 προκύπτει ότι όσο πιο οξεία είναι η καμπύλη συντονισμού (μικρότερο Δω), τόσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του Q. Αυτό άλλωστε δικαιολογεί και την ονομασία του, γιατί μια οξεία καμπύλη συντονισμού υποδεικνύει ότι το σύστημα κάνει επιλογή στενής περιοχής συχνοτήτων και είναι επομένως καλής ποιότητας. (α) (β) Σχήμα 3. Κανονικοποιημένες καμπύλες α) του πλάτους Α και β) της φάσης φ της ταλάντωσης. Στο σχήμα 3 δίνονται οι κανονικοποιημένες καμπύλες του πλάτους της ταλάντωσης Α(ω)/Α max και της φάσης φ, ως συνάρτηση της συχνότητας, για δύο ταλαντωτές που έχουν την ίδια ιδιοσυχνότητα ω αλλά διαφορετικό συντελεστή ποιότητας, Q. Μπορεί ακόμα να δειχθεί ότι στο συντονισμό το μέγιστο πλάτος της ταλάντωσης Α max, συνδέεται με το Q και με το πλάτος της ασκούμενης ταλάντωσης, F, με την σχέση: F F Q max 2 M k (14) όπου k είναι σταθερά ελατηρίου. 4. Μη εξαναγκασμένη ταλάντωση ελεύθερου άκρου πακτωμένης δοκού κατά τον άξονα y-y, χωρίς απόσβεση
Έστω η παρακάτω πακτωμένη δοκός: όπου Ε το μέτρο ελαστικότητας (σε GPa), L το μήκος της δοκού (σε m), ρ η πυκνότητα του υλικού της δοκού (σε kg/m 3 ) και Ι η ροπή αδρανείας κατά τον άξονα y-y (σε m 4 ). Η τελευταία είναι γνωστό από την παράγραφο 2 πως δίνεται από τον 2 1 3 τύπο ( I yy z da ( ) bh ), όπου b το πλάτος της δοκού και h το ύψος της. A 12 Ας θεωρηθεί πως το ελεύθερο άκρο της πακτωμένης δοκού υπόκειται σε ελεύθερη ταλάντωση κατά τον άξονα y-y λόγω αρχικής επιβολής δύναμης V στο ελεύθερο άκρο της δοκού: Εδώ Μ είναι ροπή που ασκείται στο ελεύθερο άκρο λόγω της δύναμης V με κέντρο περιστροφής το πακτωμένο άκρο της ράβδου, R και Μ R είναι η αντίδραση και η ροπή αντίδρασης της πάκτωσης αντίστοιχα και y είναι η μετατόπιση του ελεύθερου άκρου κατά τον άξονα y-y. Η σταθερά ελατηρίου της δοκού στην περίπτωση αυτή δίνεται από την σχέση: K 3EI 3 L (15) φυσική συχνότητα f της δοκού δίνεται μετά από ισολογισμό ενέργειας από την σχέση: f 3.5156 2 EI L 4 (16) Έστω τώρα ότι στο ελεύθερο άκρο της δοκού τοποθετείται πρόσθετη μάζα m add :
Στην περίπτωση αυτή η φυσική συχνότητα του συστήματος επηρεάζεται από την προστιθέμενη μάζα και δίνεται από την σχέση: f 1 3EI 2.2235 L madd L 3 (17) 5. Πειραματική Διάταξη και Περιγραφή Σχήμα 4. Πειραματική Διάταξη Σχήμα 5. Αναλυτική συνδεσμολογία επιταχυνσιομέτρου και δονητή(shaker) στη δοκό
Για την διεξαγωγή της Άσκησης χρησιμοποιείται μια δοκός ύψους h, πλάτους b και μήκους L που είναι πακτωμένη στην μία άκρη της με βάση τοποθετημένη σε στέρεα επιφάνεια, ένας δονητής, μια γεννήτρια, ένα επιταχυνσιόμετρο, πλακίδια μαζας m και ενας ψηφιακός παλμογράφος (Σχήμα 4). Στην ελεύθερη άκρη της δοκού έχει τοποθετηθεί μαγνήτης ο οποίος εδράζεται στη κάτω επιφάνεια καθώς και ένα επιταχυνσιόμετρο οσο πιο κοντά γίνεται στο ακρο της δοκού για την παραλαβή του σήματος εξόδου. Τις εξαναγκασμένες ταλαντώσεις τις διεγείρει ένας δονητής, ο οποίος τροφοδοτείται από μία γεννήτρια της οποίας το σήμα δίνεται στο κανάλι 1 του ψηφιακού παλμογράφου ώστε να μπορούμε να μεταβάλουμε το πλάτος και την συχνότητα του σήματος εισόδου. Επιπλέον στο πάνω μέρος του δονητή έχει τοποθετηθεί ένας δεύτερος μαγνήτης με κατάλληλη μηχανουργική κατεργασία. Στο πείραμα ο δονητής είναι τοποθετημένος συμμετρικά με το πρώτο μαγνήτη σε κατάλληλη απόσταση μεταξύ τους ώστε όταν ο δονητής είναι ενεργός να μην έχουμε επαφή.ο δονητής μεταφέρει την εξωτερική δύναμη στη δοκό εξαιτίας της μεταβολής της μαγνητικής δύναμης η οποία μεταβάλλεται επηρεάζοντας την συχνότητα της ταλάντωσης του (Σχήμα 5). Το επιταχυνσίομετρο είναι συνδεμένο με ενισχυτή ο οποίος στην συνέχεια συνδέεται με τον ψηφιακό παλμογράφο στο καναλι 2 δίνοντας έτσι το σήμα εξόδου. Η ενίσχυση του σήματος εξόδου γίνεται σύμφωνα με τις οδηγίες λειτουργίας του επιταχυνσιομέτρου.
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Πιεζοηλεκτρικό επιταχυνσιόμετρο Το πιεζοηλεκτρικό επιταχυνσιόμετρο ανήκει στην ευρύτερη κατηγορία των μεταλλακτών (transducers) μετρήσεων, δηλαδή των διατάξεων οι οποίες ευαισθητοποιούνται από ένα μετρούμενο μέγεθος, και αφού το μετατρέψουν (transduse), παρέχουν στην έξοδό τους άλλο φυσικό μέγεθος, προσφορότερο να αξιοποιηθεί στη συνέχεια. Επειδή σχεδόν πάντα, προσφορότερο προς αξιοποίηση φυσικό μέγεθος θεωρείται κάποιο ηλεκτρικό μέγεθος (τάση, ένταση), οι μεταλλάκτες μετρήσεων μετατρέπουν το τροφοδοτούμενο στην είσοδό τους σήμα (Ι in ) από το μετρούμενο φυσικό μέγεθος, σε ηλεκτρικό σήμα στην έξοδό τους (I out ). Κάθε μεταλλάκτης χαρακτηρίζεται από την χαρακτηριστική εξίσωση λειτουργίας του: I out = f (I in ) ενώ χαρακτηριστικότερο μέγεθος ενός μεταλλάκτη είναι η ευαισθησία του (sensitivity), η οποία ορίζεται από την σχέση: η = d(i out ) / d(i in ) Το πιεζοηλεκτρικό επιταχυνσιόμετρο είναι ένας μεταλλάκτης μετρήσεων ο οποίος δέχεται ως σήμα εισόδου επιτάχυνση α και το μετατρέπει στην έξοδό του σε ηλετρική τάση v. Η αρχή λειτουργίας του βασίζεται σε στο λεγόμενο πιεζοηλεκτρικό φαινόμενο που παρατηρήθηκε από τους Pierre και Jacques Curie το 188, και κατά το οποίο συγκεκριμένα υλικά (μονοκρυσταλλικά υλικά, κεραμικά υλικά κ.α) εμφανίζουν στα άκρα τους ηλεκτρικό δυναμικό όταν υπόκεινται σε μηχανική τάση, ενώ αντίστροφα αλλάζουν τις διαστάσεις τους όταν τίθενται υπό ηλεκτρική τάση. Η διάταξη ενός πιεζοηλεκτρικού επιχαχυνσιομέτρου παρουσιάζεται στο ακόλουθο σχήμα: Σχήμα 1 παρα. Διάταξη πιεζοηλεκτρικού επιταχυνσιομέτρου
Όπως φαίνεται στο σχήμα, εντός της διατάξεως είναι τοποθετημένο σε μορφή δίσκου καταλληλο πιεζοηλεκτρικό υλικό (συνήθως χαλαζίας - quartz), ενώ τοποθετημένος επάνω του βρίσκεται μεταλλικός κύλινδρος κατάλληλης μάζας. Ο κύλινδρος συμπιέζει με συγκεκριμένη μηχανική τάση το πιεζοηλεκτρικό υλικό μέσω στελέχους που περιλαμβάνει ελατήριο κατάλληλης προφόρτησης. Με τον τρόπο αυτό το επιταχυνσιόμετρο παράγει στην έξοδο μια τιμή τάσης που αντιστοιχεί στο καλιμπράρισμα της διάταξης. Η τάση εξόδου ενισχύεται από κατάλληλο μικροενισχυτή. Όταν το σώμα, επάνω στο οποίο είναι τοποθετημένο το επιταχυνσιόμετρο, επιταγχύνεται με επιτάχυνση α, τότε λόγω αδράνειας του μεταλλικού κυλίνδρου, αναπτύσσεται επάνω στο πιεζοηλεκτρικό στοιχείο δύναμη: F = m κυλ. * a όπου, m κυλ. η μάζα του μεταλλικού κυλίνδρου, και το πιεζοηλεκτρικό στοιχείο παράγει τάση με τιμή ανάλογη της τιμής της δύναμης F άρα ανάλογη της επιτάχυνσης α. Επομένως, μέσω της μέτρησης της αναπτυσσόμενης ηλετρικής τάσης, παρέχεται ακριβής μέτρηση της επιτάχυνσης. Τα κύρια πλεονεκτήματα των πιεζοηλεκτρικών επιταχυνσιομέτρων είναι: Εξαιρετικά μεγάλη ευαισθησία μέτρησης. Εξαιρετική γραμμικότητα μέτρησης. Μεγάλο έυρος μετρούμενων συχνοτήτων. Είναι αυτοδιεγειρόμενα, δεν χρειάζονται εξωτερική πηγή ρεύματος. Εξαιρετικά μικρή μάζα. Δεν περιλαμβάνουν κινούμενα μέρη, άρα παρουσιάζουν υψηλή αξιοπιστία. Τα κύρια μειονεκτήματα τους είναι: Συγκεκριμένο θερμοκρασιακό εύρος λειτουργίας (για χαλαζία έως 5 ο C). Ευαίσθητα σε χτυπήματα. Στην παρούσα εργαστηριακή άσκηση έχει χρησιμοποιηθεί πιεζοηλεκτρικό επιταχυνσιόμετρο χαλαζία της εταιρείας PCB Piezotronics, μοντέλο 353B17, με ευαισθησία 1.2 mv/(m/s²).
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β ΦΥΛΛΟ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΠΑΚΤΩΜΈΝΗΣ ΔΟΚΟΥ (Β εξάμηνο ακαδ. έτους 212-13) 1. Μετρήστε το μήκος L, πλάτος b και ύψος h της ελεύθερης δοκού (σε m) : 2. Μετρήστε την μάζα της δοκού (σε kg) : M = ρ V, όπου V ο όγκος της δοκού και ρ = 27 kg/m 3 η πυκνότητα του αλουμινίου 3. Υπολογίστε την σταθερά ελατηρίου της δοκού : K = 3EI / L 3, όπου Α η διατομή της δοκού, Ε το μέτρο ελαστικότητας (για αλουμίνιο Ε = 69 GPa), Ι η ροπή αδρανείας της δοκού και L το μήκος της 4. Υπολογίστε την φυσική συχνότητα f από την σχέση (16) :
5. Συγκρίνετε την ευρεθείσα συχνότητα f με την μετρούμενη πειραματικά συχνότητα συντονισμού : 6. Υπολογίστε τον συντελεστή ποιότητας της ταλάντωσης από την σχέση (12) : 7. Εάν υποτεθεί χρόνος διέγερσης δοκιμίου για χρόνο t = 2s, με τιμή συχνότητας ίσης με την φυσική συχνότητα της δοκού, ποιος είναι ο αριθμός των εξανακασμένων ταλαντώσεων Ν στον χρόνο αυτόν; 8. Υπολογίστε το μέγιστο πλάτος ταλάντωσης με χρήση της σχέσεως (14) : 9. Μετρήστε τις διαστάσεις του προστιθέμενου χαλύβδινου σώματος (σε m) και υπολογίστε την τιμή της μάζας του m add (σε kg) L add (μήκος σώματος), b add (πλάτος σώματος), h add (ύψος σώματος), ρ = 787 kg/m 3 η πυκνότητα του αλουμινίου
1. Υπολογίστε την φυσική συχνότητα ταλάντωσης του συστήματος δοκόςπροστιθέμενη μάζα, από την σχέση (17) 11. Περιγράψτε τις συνθήκες εμφάνισης του φαινομένου του συντονισμού κατά την διάρκεια του πειράματος 12. Αναφέρετε τους λόγους για τους οποίους το σήμα στο κανάλι 2 του παλμογράφου δεν είναι καθαρό