Ανάλυση της κυματοδήγησης στις οπτικές ίνες με την ηλεκτρομαγνητική θεωρία

Ανάλυση της κυματοδήγησης στις οπτικές ίνες με την ηλεκτρομαγνητική θεωρία

Τρόποι διάδοσης ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων Στο κενό, τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα διαδίδονται έχοντας το ηλεκτρικό πεδίο Ε και το μαγνητικό Η ακριβώς εγκάρσια στον άξονα διάδοσης. Τα κύματα αυτά συμβολίζονται ως TEM (tranverse electric magnetic). Όταν μόνο το ηλεκτρικό πεδίο είναι κάθετο στον άξονα διάδοσης το κύμα συμβολίζεται ΤΕ. Όταν μόνο το μαγνητικό πεδίο είναι κάθετο στον άξονα διάδοσης το κύμα συμβολίζεται ΤΜ. Όταν στο κύμα και τα δύο πεδία έχουν συνιστώσες στον άξονα διάδοσης τότε συμβολίζεται ως ΕΗ, εάν η ηλεκτρική συνιστώσα στον άξονα διάδοσης υπερισχύει ΗΕ, εάν η μαγνητική συνιστώσα στον άξονα διάδοσης υπερισχύει

Τρόποι διάδοσης ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων Το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο που διαδίδεται σε μία ίνα αποτελείται απο επιμέρους κύματα που ονομάζονται τρόποι (modes). Οι τρόποι διάδοσης ενός κύματος παρουσιάζουν την ίδια χρονική μεταβολή αλλά διαφοροποιούνται ως προς την χωρική τους μεταβολή και την ταχύτητα διάδοσης. ` http://optical-waveguides-modeling.net/tutorial-waveguide-modes.jsp

Κυματική εξίσωση Έστω οτι έχουμε διάδοση μιας ακτίνας μέσα σε μια ίνα με κατεύθυνση διάδοσης z. Η ηλεκτρομαγνητική θεωρία (εξισώσεις Maxwell) μας δίνει την παρακάτω σχέση για την ηλεκτρική συνιστώσα E z Όπου n είναι ο δείκτης διάθλασης, ω η κυκλική συχνότητα, β η ταχύτητα διάδοσης, l είναι ακέραιος αριθμός που σχετίζεται με τον τρόπο του κύματος.

Εφαρμόζοντας την κυματική εξίσωση στην περιοχή του πυρήνα και του περιβλήματος αντίστοιχα και με οριακές συνθήκες που να εξασφαλίζουν διάδοση ισχύος στον πυρήνα και εξασθένηση στο περίβλημα έχουμε τις εξής λύσεις:

Διάγραμμα διασποράς οπτικής ίνας Απο τις λύσεις της κυματικής εξίσωσης προκύπτει το διάγραμμα διασποράς της ίνας. Στο διάγραμμα αυτό απεικονίζεται η σταθερά διάδοσης συναρτήσει της κανονικοποιημένης συχνότητας V για όλους τους τρόπους της ίνας. Στο διάγραμμα φαίνεται ο μαγικός αριθμός 2,405 που καθορίζει αν θα διαδίδεται μόνο ο τρόπος HE 11 ή περισσότεροι. O τρόπος HE 11 χαρακτηρίζεται θεμελιώδης και αντιστοιχεί στην ακτίνα που μεταδίδεται παράλληλα με το διαμήκη άξονα της ίνας.

Τύποι οπτικών ινών Μονότροπες πολύτροπες Γυάλινες - πλαστικές Βηματικού δείκτη - βαθμωτού δείκτη

Τυπικές τιμές παραμέτρων

Σύνοψη ειδών οπτικών ινών

Εξασθένηση Σκέδαση Απορρόφηση ισχύος από την ίνα ή από προσμίξεις Μικροκάμψεις, υγρασία, γήρανση κ.λ.π.

Σκέδαση (scattering) Rayleigh, η πιο σημαντική στις οπτικές ίνες. Εκφράζεται μέσω του συντελεστή: όπου Κ R =0,8 ~1,0 (db/km).(μm) 4 a R =K R /λ 4 (db/km) Είναι συνάρτηση των συντελεστών n core -n clad, της διαμέτρου του πυρήνα και των υλικών νόθευσης της ίνας. Raman Brillouin Προϋποθέτουν μεγάλη ισχύ εντός της ίνας > 100mW. Δεν αποτελούν πρόβλημα επειδή οι οπτικές ισχείς δεν υπερβαίνουν τα λίγα mw

Απορρόφηση Προκαλείται από συντονισμούς σε ατομικό επίπεδο όπου ένα μέρος της οπτικής ισχύος μετατρέπεται σε θερμότητα. Διακρίνεται σε: Ενδογενή, από το ίδιο υλικό της ίνας Εξωγενή, από προσμίξεις κατά την διαδικασία κατασκευής της ίνας κυρίως απο ρίζες ΟΗ -

Συντελεστής εξασθένησης ίνας Ο συντελεστής εξασθένησης (attenuation coefficient) a f λαμβάνει υπόψη τους κυριότερους μηχανισμούς οπτικής εξασθένησης και εκφράζεται σε db/km: a f =K R /λ 4 +Κ a (λ)+κ m όπου ο όρος K R /λ 4 εκφράζει τις απώλειες λόγω σκέδασης Rayleigh, ο όρος Κ a (λ) εκφράζει την απορρόφηση (συνάρτηση του μήκους κύματος) ο όρος Κ m εκφράζει άλλες απώλειες (π.χ. λόγω γήρανσης)

Μεταβολή του συντελεστή εξασθένησης και παράθυρα ελάχιστης εξασθένησης Στην γραφική παράσταση διακρίνονται τα παράθυρα ελάχιστης εξασθένησης στις περιοχές: 850 nm, 1310 nm και 1550 nm http://www.invocom.et.put.poznan.pl/~invocom/c/p1-9/swiatlowody_en/p1-1_2_2.htm

Παράδειγμα Έστω ίνα με συντελεστή εξασθένησης a f =0,3dB/km σε μήκος λειτουργίας 1550 nm, να υπολογιστούν: α) Η απόσταση υποδιπλασιασμού L 1/2 της εισερχόμενης ισχύος β) Η απόσταση L 1% κατα την οποία η εισερχόμενη ισχύς μειώνεται στο 1% της εισερχόμενης. γ)αν η εισερχόμενη ισχύς είναι P in =1mW να υπολογιστεί η ισχύς μετα απο απόσταση L=100km. Λύση α) Όταν ένα μέγεθος σε db υποδιπλασιάζεται σημαίνει οτι η στάθμη του ελαττώνεται κατα 3 db διότι 10log(0,5) = -3. Άρα για να βρούμε την απόσταση στην οποία η εξασθένηση φτάνει τα 3 db κάνουμε την διαίρεση 3dB / 0,3 db = 10km

β) Όταν ένα μέγεθος σε db μειώνεται στο 1% (πολλαπλασιάζεται επι 0,01) σημαίνει οτι η στάθμη του ελαττώνεται κατα 20 db διότι 10log(0,01) = -20. Άρα για να βρούμε την απόσταση στην οποία η εξασθένηση φτάνει τα 20 db κάνουμε την διαίρεση 20dB / 0,3 db = 66,6km γ) Μετά απο απόσταση 100km η εξασθένηση είναι : A = 0,3dB/km, 100 km=30db H εισερχόμενη ισχύς είναι P in =1mW = 10 log (1mW/1mW) dbm = 0 dbm Άρα η ισχύς σε 100km θα είναι L 100km = 0dBm-30dB=-30dBm = 1μW

Παράδειγμα Έστω μια ίνα με συντελεστή εξασθένησης af = 0,3 db/km στην οποία εισέρχεται ισχύς Pin = 2mW. Εάν απαιτείται η εξερχόμενη ισχύς να είναι τουλάχριστον Pout=1μW, να υπολογιστεί το μέγιστο μήκος της ζεύξης. Λύση: Η ισχύς εισόδου ισούται με Pin = 2mW= 10log(2mW/1mW)=3dBm Η ισχύς εξόδου ισούται με Pout = 1μW= 10log(1μW/1mW)=-30dBm Άρα η μέγιστη συνολική εξασθένηση ισούται με 3 dbm - (-30dBm) = 33dB Για να βρούμε την απόσταση στην οποία η εξασθένηση φτάνει τα 33 db κάνουμε την διαίρεση 33dB / 0,3 db = 110km.

Διασπορά (dispersion) Είναι το φαινόμενο της χρονικής διαπλάτυνσης ενός σήματος πληροφορίας καθώς διαδίδεται, λόγω της διαφορετικής ταχύτητας μετάδοσης των διαφόρων τμημάτων του σήματος. Διακριτοί παλμοί Οριακά διακριτοί Μη διακριτοί (διασυμβολική παρεμβολή intersymbol interference)

Διατροπική διασπορά (intermodal dispersion) Η διατροπική διασπορά εμφανίζεται μόνο στις πολύτροπες οπτικές ίνες. Ο κάθε τρόπος ακολουθεί διαφορετικό δρόμο προτού φτάσει στην έξοδο και φτάνει σε διαφορετικό χρόνο. Στην έξοδο, το σήμα προκύπτει από την υπέρθεση των διαφορετικών τρόπων με αποτέλεσμα το σήμα να παρουσιάζει μεγαλύτερη χρονική διάρκεια σε σύγκριση με το σήμα εισόδου. Η διατροπική διασπορά D δ για πολύτροπες ίνες βηματικού δείκτη υπολογίζεται από τον τύπο: όπου, και τ δ = n core Δ c Δ= ΝΑ 2 2n core D δ = τ δ. L (ps) ο συντελεστής διατροπικής διασποράς η γνωστή παράμετρος Δ

Ενδοτροπική διασπορά (intramodal dispersion) Η ενδοτροπική διασπορά εμφανίζεται τόσο στις πολύτροπες όσο και στις μονότροπες ίνες. Οφείλεται κυρίως στην εξάρτηση του δείκτη διάθλασης της ίνας από το μήκος κύματος του οπτικού σήματος. Το μήκος κύματος δεν είναι απόλυτα καθορισμένο αλλά καταλαμβάνει συνήθως μια περιοχή γύρω από το κεντρικό μήκος λειτουργίας (λ 0 - Δλ / 2 έως λ 0 +Δλ/2) Διακρίνεται σε δύο συνιστώσες: Την διασπορά υλικού (material dispersion), η οποία διαμορφώνεται απο τη μεταβολή της νόθευσης του υλικού της ίνας. Την κυματοδηγητική διασπορά (waveguide dispersion), η οποία διαμορφώνεται απο τον τρόπο (profil) που αλλάζει ο δείκτης διάθλασης μεταξύ πυρήνα και περιβλήματος. Η ενδοτροπική διασπορά υπολογίζεται απο τον τύπο: D ε =τ ε.δλ. L (ps) Όπου τ ε = τ ευ +τ εκ (ps/nm.km) o συντελεστής ενδοτροπικής διασποράς Και εκφράζει την χρονική διαπλάτυνση των παλμών σε σχέση με το μήκος της ζέυξης και το φασματικό έυρος του πομπού Δλ. Σημειώνουμε οτι για μικρές τιμές διασποράς πρέπει να έχουμε πομπούς με μικρό εύρος Δλ. Τέτοιοι πομποί είναι οι τύπου laser.

Ενδοτροπική διασπορά (intramodal dispersion) Ο συντελεστής ενδοτροπικής διασποράς παίρνει: θετικές τιμές στην περίπτωση που η καθυστέρηση αυξάνεται με το μήκος κύματος στο διάστημα Δλ. Αρνητικές τιμές στην περίπτωση που η καθυστέρηση μειώνεται στο διάστημα Δλ. 0 στην περίπτωση που η καθυστέρηση δεν μεταβάλλεται στο διάστημα Δλ.

Διασπορά τρόπου πόλωσης (polarization mode dispersion PMD) Ο θεμελιώδης τρόπος ΗΕ 11 αποτελείται από δύο επιμέρους τρόπους ΗΕ 11x και HE 11y με ηλεκτρικά διανύσματα κάθετα μεταξύ τους. Στην περίπτωση που η ίνα παρουσιάζει τέλεια κυλινδρική συμμετρία ισχύει οτι β x =β y. Σε αυτή την περίπτωση οι επιμέρους τρόποι συμπεριφέρονται ως ένας εννιαίος. Στην πράξη υπάρχουν γεωμετρικές και υλικές ατέλειες και η ίνα δεν είναι απόλυτα συμμετρική ως προς τον διαμήκη άξονα. Σε αυτή την περίπτωση β x β y και οι ταχύτητες μετάδοσης των δυο τρόπων διαφέρουν δημιουργώντας διασπορά που είναι γνωστή ως διασπορά τρόπου πόλωσης (polarization mode dispersion PMD). H διασπορά τρόπου πόλωσης είναι αισθητή σε ρυθμούς μετάδοσης > 2,5Gbps. Για να αντιμετωπιστεί το πρόβλημα της διασποράς πόλωσης έχουν δημιουργηθεί τεχνικές που συντηρούν μόνο την μία απο τις ορθογώνιες πολώσεις του ΗΕ 11 όπως. Ίνες ελλειπτικού πυρήνα ή ελλειπτικού περιβλήματος. Ίνες PANDA και BOW-TIE στο περίβλημα των οποίων έχουν προστεθεί υλικά για τη δημιουργία μηχανικών πιέσεων και την επιλεκτική καταστολή της μιας από τις δύο πολώσεις.

Συνολική Διασπορά Πολύτροπες ίνες Λόγω χαμηλών ρυθμών μετάδοσης D P = 0 (διασπορά πόλωσης) Η συνολική διασπορά ισούται με: D m =(D 2 δ + D 2 ε ) 2 ( ps) 1 Μονότροπες ίνες Ισχύει D δ =0 Η συνολική διασπορά ισούται με: Για rate < 2,5Gbps D S D ε D S =(D 2 ε + D 2 P ) 2 ( ps) 1

Επιτεύξιμος ρυθμός μετάδοσης Τα φαινόμενα διασποράς επιτείνουν την διασυμβολική παρεμβολή και σχετίζεται με τον μέγιστο ρυθμό μετάδοσης που μπορεί να επιτευχθεί. Αν αγνοήσουμε τις καθυστερήσεις του πομπού και του δέκτη ισχύουν οι προσεγγιστικές σχέσεις: Β max R max 0,2 / D (bps)

Ίνες μετατοπισμένης διασποράς

Ίνες επίπεδης διασποράς

Τυπικές παράμετροι οπτικών ινών

Τυποποίηση οπτικών ινών

Υπολογίστε τη διατροπική διασπορά D δ σε πολύτροπη ίνα βηματικού δείκτη διάθλασης με n core =1,5 και n clad =1,497, για μήκος ζεύξης L=10km. Υπολογίστε την ενδοτροπική διασπορά D ε, όταν η χρησιμοποιούμενη οπτική πηγή έχει φασματικό εύρος Δλ =50nm και ο συντελεστής τ ε = 20ps/(nm.km) Να υπολογιστεί ο μέγιστος ρυθμός μετάδοσης R max για την παραπάνω ζεύξη Λύση: α) Δ=(n core -n clad )/n core =0,002 τ δ =n core Δ/c = 10-11 s/m=10 4 ps/km D δ =τ δ L=10 5 ps

β) D ε =τ ε Δλ L = 10 4 ps γ) D = (D δ2 +D ε2 ) 1/2 D δ =10 5 ps=10-8 s Rmax 0,2 / D = 20 Mbit/s

Παράδειγμα Ο συντελεστής ενδοτροπικής διασποράς σε μονότροπη ίνα ισούται με τ ε =20ps/nm.km και η ζεύξη χρησιμοποιεί οπτικό πομπό με Δλ=5nm. Να υπολογιστεί η διατροπική διασπορά δ ανα μονάδα μήκους της ίνας και το μέγιστο επιτεύξιμο γινόμενο (RL)max της ζεύξης. Η ενδοτροπική διασπορά ανα μονάδα μήκους ισούται με δ = τ ε.δλ = 100ps/km = 10-10 s/km (R.L) max = 0,2 / δ =200 (Μbit/s).km