מושגי יסוד בטופולוגיה אלגברית

מושגי יסוד בטופולוגיה אלגברית 1

תוכן עניינים תוכן עניינים תוכן עניינים I הרצאות 5 1 מנהלות......................................... 5 2 חבורה יסודית...................................... 5 2.1 הגדרות ועובדות בסיסיות........................... 5 2.2 משפט ון קמפן................................ 9 2.3 תורת הקטגוריות............................... 13 2.3.1 קו גבולות............................. 14 2.4 מרחבי כיסוי גרסת ורשבסקי......................... 16 2.4.1 מרחבי כיסוי גרסת ציגלר.................... 20 2.5 מרחב כיסוי אוניברסלי............................. 23 2.6 תיאור קטגורי................................. 27 3 הומולוגיה........................................ 29 3.1 הומולוגיה סינגולרית.............................. 29 3.2 תכונות פונקטוריאליות............................. 32 3.3 חישוב הומולוגיה............................... 35 3.4 הומולוגיה יחסית................................ 37 3.5 משפט הכריתה Excision).......................... 39 3.5.1 סדרה מדויקת של מאייר ויטוריס................. 43 3.6 שקילות הומולוגיה סינגורלית וסימפליציאלית................. 49 3.7 הקשר בין X) Π 1 לבין X). H 1....................... 54 3.8 קירוב סימפליציאלי.............................. 57 3.9 משפט נקודת השבת של לפשץ......................... 59 4 קוהומולוגיה....................................... 62 4.1 הגדרת. Ext................................. 62 70...................................... Tor 4.2 4.3 קוהומולוגיה מצומצמת............................. 70 4.4 מכפלות כוס.................................. 71 II תרגולים 78 5 תרגול ראשון...................................... 78 5.1 מכפלה חופשית של חבורות.......................... 78 5.2 החבורה החופשית עם שני יוצרים....................... 79 5.3 קומפלקסי. CW............................... 79 5.4 סכומי טריז.................................. 80 6 תרגול שני........................................ 80 6.1 מכפלה ממוזגת................................ 80 7 תרגול שלישי...................................... 84 7.1 משפט נקודת השבת של בראוור ומסקנות................... 86 7.2 קו גבול הוא יחיד............................... 88 8 תרגול רביעי....................................... 88 8.1 עגיל הוואי.................................. 88 8.2 משטחים מגנוס. g.............................. 89 8.3 מרחבי כיסוי.................................. 90 9 תרגול חמישי...................................... 91 9.1 העתקות דק.................................. 91 9.2 קומפלקס קיילי................................ 94 10 תרגול שישי....................................... 94 10.1 הומולוגיה סימפליציאלית........................... 94 10.2 קומפלקסים................................ 95 2

תוכן עניינים תוכן עניינים 10.2.1 חישוב H n עבור הטורוס..................... 97 11 תרגול שביעי...................................... 98 11.1 סדרות מדויקות של קומפלקסי שרשראות................... 98 11.2 תת קומפלקסי תאים וקומפלקסי התאים הם זוגות טובים............. 101 12 תרגול שמיני...................................... 101 12.1 דרגה..................................... 101 12.2 הומולוגיה תאית................................ 103 13 תרגול תשיעי...................................... 105 13.1 הומולוגיה עם מקדמים............................. 107 14 תרגול עשירי...................................... 107 14.1 הומולוגיה עם מקדמים............................. 107 109................................... K G, 1) 14.2 15 תרגול אחד עשר.................................... 110 15.1 מכפלות טנזוריות............................... 110 16 תרגול שניים עשר.................................... 115 16.1 קוהומולוגיה סימפליציאלית.......................... 115 116...................................... Tor 16.2 III תרגילים 119 3

תוכן עניינים תוכן עניינים מרצה: פרופ' יעקב ורשבסקי מתרגל: מר יאיר חיות מסכם: עומר שכטר omer.shechtershtrudelmail.huji.ac.il ניתן בסמסטר אביב ה'תשע"ה באוניברסיטה העברית בירושלים אשמח מאוד לקבל תיקוני טעויות קלות כחמורות תודה לאור בן ארי טישלר, יסכה חדד ואהוד אדמון על תיקון שגיאות. 4

2 חבורה יסודית חלק I הרצאות 1 מנהלות בנושא ציון: 20% תרגילים. פרופ' ורשבסקי מחשב בצורה "לא ליניארית", יהיו בערך 13 תרגיל, אז על כל תרגיל ניתן לקבל 2%, שזה כולל בונוס. חשוב לו שבכל תרגיל לעשות 70% מהחומר, וזה שקול ללעשות 70% מהתרגילים. שעת קבלה: לא עושה, אבל אפשר לכתוב ולקבוע בדוא"ל. בקורס נלמד על מרחבים טופולוגיים ונגדיר אינווריאנטות כגון חבורה יסודית וחבורות הומוטופיה יותר גבוהות, וגם הומולוגיה וקוהומולוגיה. נסביר מדוע זה טוב. אם יישאר זמן נדבר גם על מעט נושאים מתקדמים בתורת הקטגוריות, "קבוצות סימפלקציאליות", שהן אובייקט דיסקרטי לגמרי עם תכונות מעניינות. ספר הקורס הוא האטצ'ר, וניתן להשיג אותו כאן http://www.math.cornell.edu/ hatcher/at/at.pdf המבחן: "כנראה אני אעשה משהו כמו חמש מתוך שבע, כי בארבע מתוך שש על כל טעות מורידים יותר נקודות. אני אשתדל לתת דברים קצרים. כדי לעזור אני בדרך כלל אפרסם על איזה מהתרגילים והמשפטים צריך לא לזכור הוכחות. החלק הראשון של ון קמפן יכול להיות לגיטימי, אבל כל ון קמפן לא. הרוב יהיה יישומי, או תרגילים כמו מה שראיתם, או משהו מאוד מאוד דומה. יכול להיות אם יהיה לי כוח אכניס שאלות שלא ראיתם, ואז הן בדרך כלל יותר קלות. אני אשתדל לכתוב משהו במפורש. קודם כל אני הבטחתי שכל תרגיל יהיה פחות או יותר שתי נקודות, ואם לא תהיה שביתה אז יהיו בטוח 14. המקסימום אמור להיות 25 נק', הנוסחה תהיה שציון מעל 20 יהיה עם מקדם חצי, ולכן המקסימום שאפשר יהיה לקבל הוא 25. אחר כך אם ארצה אוסיף, אולי לשלושים אם אתם רוצים, אבל איכשהו. בקשר לתרגולים, כל מה שהיה בהקשר להאטצ'ר, דוגמאות, אז צריך לראות מה האורך של הדוגמה. שאלה אמורה להיפתר בחצי שאלה, ולכן דוגמה ארוכה יותר מדיי לא תיכנס. בחלק של חבורה יסודית אני אשתדל לא לתת משהו יותר מדיי מסובך, כי זה חלק קצת מורכב, מכפלות חופשיות וכו', דברים לא טריוויאלים לא נעשה שם. בחלק השני, האם אני יכול לבקש מכם להוכיח סדרה ארוכה מדויקת? אני חושב שלא. רדיפת דיאגרמות היא טכניקה מאוד חשובה, אבל לזכור חצים וכן הלאה זה מסובך, אני אחשוב על זה". 2 חבורה יסודית נחזור במהירות על החומר מהקורס בטופולוגיה, בעיקר על החבורה היסודית והלאה. סיכום מפורט נכתב על ידי נחי אברהם בשנת ה'תשע"ד. 2.1 הגדרות ועובדות בסיסיות 1. נסתכל על זוגות A,X) כך ש X מרחב טופולוגי ו X A. דוגמאות נפוצות: א) = A ואז מדובר פשוט במרחב טופולוגי. ב) A היא נקודה ואז קיבלנו מרחב מנוקד. מורפיזם הגדרה :1 מורפיזם B) f : X, A) Y, היא העתקה רציפה f : X Y כך ש B.f A) פונקציה יהיו B) f, g : X, A) Y, שני מורפיזמים. אזי f) f g הומוטופי ל g ) אם קיימת העתקה רציפה הומוטופית F : I X Y כך ש B F I A) ולכל F 0, x) = f x) x X ו x ).F 1, x) = g באופן שקול, לכל t I נגדיר העתקה F t : X Y על ידי x).f t x) = F t, לעתים נכתוב f F g כשנרצה להדגיש באמצעות מה המורפיזמים הומוטופיים..1 אם B) f : X, A) Y, ו C g : Y, B) Z, מורפיזמים, אזי C) g f : X, A) Z, למה :2 א) יהיו B) f, g, h : X, A) Y, אם f g ו h g אזי f h הומוטופיה היא יחס שקילות). ב) אם B) f, f : X, A) Y, ו C g, g : Y, B) Z, כך ש f f ו g g אזי f.g f g הוכחה: 5

2.1 הגדרות ועובדות בסיסיות 2 חבורה יסודית א) אם f F g ו h g G אזי f H h כאשר: { F 2t 0 t 1 H t = 2 1 G 2t 1 2 t 1 וצריך רק להוכיח רציפות. מושאר כתרגיל..g f GT F t ההמשך כתרגיל. ב) f f Ft ו g g Gt אז f g הגדרה :3 נגיד שהעתקה B) f : X, A) Y, שקילות הומוטופית אם קיים A) g : Y, B) X, כך ש Y,B) f g Id ו X,A).g f Id קיימת שקילות הומוטפית בין מרחבים טופולוגיים, אם המרחבים שקולים הומוטופית. שקילות הומוטופית מסקנה 4: שקילות הומוטופית של A,X) היא יחס שקילות. הגדרה :5 נגיד ש B X, A) Y, שקולים הומוטופית אם קיימים מורפיזמים B) f : X, A) Y, ו A g : Y, B) X, כך ש Y,B) f g Id ו X,A).g f Id מרחב כוויץ הגדרה 6: נגיד ש X מרחב טופולגי כוויץ אם X X שקול הומוטופית לנקודה). דוגמה.1 :7 דוגמה: X R n קבוצה קמורה לא ריקה, אזי X כוויצה. יתר על כן, לכל,g, f : Y X אזי.f g ההומוטופיה תהיה הומוטופיה ליניארית X F : I Y על ידי F t, y) = 1 t) f y) + t g y) Id X g f : ומהטענה שהוכחנו f g = Id ולכן g X f וזה גורר שהמרחב כוויץ, כי עבור.X X 2. דוגמה: n S מעגל היחידה לא הומוטופי לנקודה). איך מוכיחים? זה יותר קשה, כדי להוכיח ששני מרחבים הומוטופיים פשוט בונים הומוטופיה. כדי להוכיח שהם לא, בדרך כלל משתמשים באינווריאנטים שנשמרים בהעתקות רציפות, ומראים שהם לא מתקיימים באחד משני המרחבים. מסילה הגדרה :8 לכל a, b X נסמן b})),p a,b = Mor I, {0, 1}), X, {a, ופירושו, {f f : [0, 1] X, f 0) = a, f 1) = b} אלו כל המסילות ב X המתחילות ב a ומסתיימות ב b. וגם נסמן P a = P a,a לתיאור מסילות שמתחילות ומסתיימות באותה נקודדה. מסילות הגדרה :9 לכל x).f, g P a,b נגיד ש g f אם קיימת הומוטופיה F : I I X כך שמתקיים: שקולות F u, 0) = a F u, 1) = b F 0, t) = f t) F 1, t) = g t) חבורה ת ה היסודי הגדרה 10: נסמן a,bx)/ Π 1,X),a} {b = P להיות החבורה של כל המסילות על כדי היחס שקילות. החבורה היסודית של מרחב טופולוגי תוגדר להיות / PaX) Π1.,X) a = 6

2 חבורה יסודית 2.1 הגדרות ועובדות בסיסיות הגדרה :11 לכל f P a,b נסמן ב { b [f], Π 1 X, {a, מחלקת השקילות של.f שרשור של הגדרה :12 אם f P a,b ו g P b,c נגדיר f g P a,c להיות השרשור של המסילות על ידי מסילות { f 2t) 0 t 1 f g) t) = 2 1 g 2t 1) 2 t 1 הגדרה :13 לכל f P a,b נגדיר f P b,a להיות t),f t) = f 1 המסילה ההופכית. למה :14 אם g g P b,c,f f P a,b אזי f g f g P a,c ו f.f.f g Gt F t הוכחה: אם f f Ft ו g g Gt אזי g f מסילה הופכית מסקנה 15: הפעולה משרה העתקה על מחלקות השקילות בחבורה היסודית: : Π 1 X, {a, b}) Π 1 X, {b, c}) Π 1 X, {a, c}) [f] [g] [f g] בפרט P a P a P a מגדיר העתקה : Π 1 X, {a}) Π 1 X, {a}) Π 1 X, {a}).[f] 1 := [ f ] חבורה עם פעולה והפכי המוגדר על ידי Π 1 X, a).1 טענה 16:.2 כל X) h P a,b מגדירה איזומורפיזם של חבורות b).β h : Π 1 X, a) Π 1 X,.3 כל העתקה רציפה f : X Y משרה הומומורפיזם של חבורות a)) f : Π 1 X, a) Π 1 Y, f לכל.g f) = g f העתקה רציפה אזי g : Y Z אם.a X הוכחה:.1 תהא e a : I a X מסילה קבועה, ותהי ] a [e =.[1] נרצה להוכיח: א) h) f g) h f g ב) f 1 f 1 f ג) 1 f f f 1 f נוכיח לצורך זאת למה יפה. הערה :17 R I קמורה. מטענה שהוכחנו מעלה, כל העתקה 1}) {0, I, f : I, {0, 1}) ולכן.Id f f 1) t) = γ t) = מההערה הזו נובעים בקלות a) ו b ). לדוגמה: { f 2t) 0 t 1 2 f 1) 1 2 t 1 אז נגדיר עכשיו העתקה 1) I, 0, γ : I, [0, 1]) על ידי { 2t 0 t 1 2 1 1 2 t 1 אזי.f 1 = f γ אבל γ Id ולכן.f γ) f Id) f ההוכחה של a) אפשר להוכיח באופן דומה. ההוכחה של c) מושארת כתרגיל לקורא החרוץ ונמצאת בסיכום של טופולוגיה). 7

2.1 הגדרות ועובדות בסיסיות 2 חבורה יסודית.2 מוגדר היטב לפי הלמה ) f f נובע ש h.h f h h f נובע שמדובר בהומומורפיזם על ידי [ ] [ ] h f h h g h = [ h f h h g h ] = [ h f h h ) g h ] = [ h f Id g h ] = [ h f g) h ] הראינו שמדובר בהומומורפיזם, כדי להוכיח שמדובר באיזומורפיזם נראה שקיימת העתקה הופכית. קל.β h β h = Id וגם β h לראות שמתקיים β h = Id.3 לכל X) γ P a נגדיר ) Y.f γ) = f γ P γa) זה מוגדר על מחלקות שקילות. הומומורפיזם טריוויאלי, כי ההעתקה הזו מעבירה שרשור לשרשור, ולכן זה טריוויאלי בהינתן 1. ו 2. f מסקנה :18 אם a)) f : X, a) Y, f שקילות הומוטופית, אזי a)) : Π 1 X, a) Π 1 Y, f איזומורפיזם של חבורות. תרגיל :19 אם f : X Y שקילות הומוטופית, אזי המסקנה נכונה גם כן לכל a X מתקיים : f a)) Π 1 X, a) Π 1 Y, f איזומורפיזם. פשוט קשר הגדרה :20 X נקרא פשוט קשר אם X קשיר מסליתית וגם {1} = a) Π 1 X, לכל.a X למה 21: X פשוט קשר, מתקיים:.1 לכל a, b X מתקיים a,b.p.2 כל f, g P a,b מקיימות.f g דוגמה :22 לכל a), Y )אזי b),x, b) Π 1 X Y, a, b)) = Π 1 X, a) Π 1 Y, ו = ) Y P a,b) X ) Y) P a X) P b הראשון איזומורפיזם של חבורות, השני איזומורפיזם של קבוצות). נסג, עיוונסג הגדרה 23: X מרחב טופולוגי, A X תת מרחב הווה אומר, תת קבוצה עם טופולוגיה מושרית).r A = כך ש Id r : X A אם קיים retract) נקרא נ ס ג A.1 F : רטרקט וקיימת הומוטופיה A אם deformation retract נקרא ע וּ וּ נ ס ג רטרקט עיוותי, A 2..F t A = Id A t I ולכל,F 1 = Id X,F 0 = כך ש r I X X לעתים גם r נקרא נסג. הערה :24 X i : A שיכון, r מקיים.r i = Id A אם r עיוונסג אזי.i r Id X בפרט, i) A X ו r שקילות הומוטופיות)..1 אם i : A X נסג, אזי a) i : Π 1 A, a) Π 1 X, היא חח"ע. למה 25: 2. אם i עיוונסג אזי i איזומורפיזם. הוכחה:.1 Id r i = ולכן r i = Id לכן i חח"ע..i הפכי של r איזומורפיזם של חבורות ו i לכן i r = Id ולכן i r = Id X.2 w n t) = כאשר φ n) = [w n ] הפועלת על ידי φ : Z Π 1 משפט :26 העתקה ) 0) 1,, 1 S 2πnt) cos 2πnt, sin היא איזומורפיזם של חבורות. 8

2.2 משפט ון קמפן 2 חבורה יסודית הוכחה: היות שרוב הכיתה ראתה, ההוכחה מקוצרת ומסתמכת על 2 עובדות שנוכיח בהמשך). תהי p : R S 1 העתקה המוגדרת על ידי 2πx).p x) = cos 2πx, sin אזי.p 1 1, 0)) = Z נשתמש בשתי עובדות:.p γ = ו γ γ 0) = כך ש 0 γ P 0, R) יש מסילה יחידה γ P 1,0) S.1 לכל מסילה ) 1.2 יתר על כן, אם γ 1 γ 2 אזי 1) 2 γ 1 1) = γ ו γ 1 γ 2. דוגמה: אם γ = w n אזי. γ t) = nt בפרט,. γ 1) = n כעת נותר לנו להראות שזה הומומורפיזם חח"ע ועל. מה שנעשה במקום זה, הוא לבנות העתקה הפכית שהיא ) P γ יש 1,0) S 1 הומומורפיזם של חבורות. נגדיר העתקה הפוכה ψ : Π 1 S 1, 1, 0) ) Z באופן הבא: לכל. γ 1) P 1 1, הרמה יחידה מהעובדות) R) γ P 0, המקיימת 0) 1, = 1) γ.p γ 1)) = לכן Z 0) γ P ) 1,0) S אל 1 יתר על כן, לפי העובדה השנייה, אם γ 1 γ 2 אזי 1) 2 γ 1 1) γ. ז"א, ההעתקה γ 1) Z מגדירה ההעתקה שנסמנה ψ. נרצה להוכיח שמדובר בהומומורפיזם ושהוא הפכי..ψ φ = Id לכן ψ φ n) = ψ [w n ]) = w n 1) = n לכן. w n t) = nt w γ1) 1) = γ נשים לב ש 1 ).w γ1) = p w 1) γ,γ = ניזכר ש p γ.φ ψ [γ]) = ψ γ 1)) = [ ] w γ1) ולכן הן מתחילות ומסתיימות באותה נקודה. R פשוט קשר, ולכן המסילות הומוטופיות. לכן [γ] φ ψ [γ]) = ולכן.φ ψ = Id בהינתן מסילות γ 1, γ 2 ב,S 1 אזי יש להן הרמה γ 1. γ 1, γ 2 הרמה שמתחילה ב 0 ב R ומסתיימת ב ]) 1.ψ [γ באופן דומה עם. γ 2 הרמה אפשרית אחרת של γ 2 היא מסילה γ 2 שמתחילה ב [ ψ [γ 1 ומסתיימת ב [.ψ [γ 1 ]) + ψ [γ 2 קיבלנו כי ]) 2.ψ [γ 1 ] [γ 2 ]) = ψ [γ 1 ]) + ψ [γ לכן הומומורפיזם. S 1 המעגל אינו הומוטופי לנקודה). לכן, לא כוויץ. מסקנה 27: הוכחה: אם X Y אזי ) Y Π 1 X) = Π 1 אבל {1}.Z בהמשך, לכל n נגדיר X) Π n ונוכיח כי Π n S n ) = Z ותמיד {e}.π n ) = החבורות האלו תמיד אבליות עבור > 2 n. מזה נסיק כי n S. הערת המסכם: בדיעבד זה לא קרה בקורס השנה). 2.2 משפט ון קמפן U α פתוחה ו a. U α השאלה היא מה הקשר בין בעיה :28 X מרחב טופולוגי,.X = α I U α,a X.Π 1 U α, a) לבין Π 1 X, a) תזכורת: יהיו G α חבורות. בתרגול הגדרנו מכפלה חופשית α G = G איברי G כמילים באלף בית של G). α תשובה: יהי i α : U α X שיכון, אזי i α משרה הומומורפיזם: α I i α ) : Π 1 U α, a) Π 1 X, a) ) α {i מגדירים הומומורפיזם יחיד } α I לכן לפי התכונה האוניברסלית של המכפלה החופשית Φ : α I Π 1 U α, a) Π 1 X, a) i α,β : U α U β i α,β להעתקה הזו יש גרעין טבעי שכולל את החיתוכים. לכל,α β יהי U α U α U β i α,β U α U β i β,α i β X i α נשים לב שמתקיים 9

2.2 משפט ון קמפן 2 חבורה יסודית i α i α,β = i β i β,α : U α U β X w לכן, לכל.i α i α,β ) = i β i β,α ) ) α i ולכן נקבל כי i α,β ) = i β ) i β,α ) ולכן Π 1 U β, והשני ב a Π 1 U α, השמאלי איבר ב a הגורם i α,β ) w) i β,α ) w) האיבר 1 Π 1 U α U β, a) ולכן המכפלה היא ב a. α I Π 1 U α, קיים w α,β ker Φ כי Φ פועלת על כל איבר במכפלה החופשית כ Φ α : Φ w α,β ) = i α ) iα,β ) w) ) i β ) i β,α ) w) 1) 1) = 1 N = כאשר 1) נובע מהתכונה האוניברסלית של המכפלה החופשית. נסמן ב w α,β α β, w 1 U α U β, a) זוהי תת חבורה נורמלית המוכלה ב a Π. 1 U) α,.1 אם U α U β קשיר מסילתית לכל α, β I אזי Φ על. משפט 29:.2 אם בנוסף U α U β U γ קשירים מסילתית לכל α, β, γ אזי.ker Φ = N מקרה פרטי: אם X = U 1 U 2 ו U α U β קשיר מסילתית, אזי Π 1 X, a) = Π1U1,a) Π1U2,a) / Π 1U 1 U 2,a) 2 n. זה נובע כי ניתן להסתכל על הספירה כאיחוד של הכל ללא הקוטב הצפוני, דוגמה = 0 :30 ) Sn 1 והכל ללא הקוטב הדרומי. קרי: U 1 = S n \ {0, 0,..., 0, 1} U 2 = S n \ {0, 0,..., 0, 1} U 1 הומיאומורפים, על ידי ההטלה, בדומה לספירה של ומתקיים.S n = U 1 U 2 נשים לב ש = U2 = Rn רימן). לכן מהמשפט נובע כי Π 1 S n ) = Π1U1) Π1U2) / = {1} Π. 1 זה כמובן לא נכון, כי התעלמנו מההנחות, ויש לזכור שהחיתוך צריך פשוט קשר, וזה S בפרט {1} = ) 1 לא תקף במקרה של S 1 כי R בלי נקודה אינו קשיר, ולכן לא קשיר מסילתית כי מטרי). מסקנה :31 לכל > 2 n מתקיים.R n R 2 הוכחה: נניח שקיים הומיאומורפיזם f : R 2 R n אזי f משרה הומיאומורפיזם של = 0) 0, \ 2 R.R n \ S וזה כבר לא נכון, כי הם לא שקולים הומוטופית, כי n 1 R n \ 0, 0,..., 0) ניזכר במשפט 29 ונוכיחו: 10

2 חבורה יסודית 2.2 משפט ון קמפן משפט 32 ון קמפן): X מרחב טופולוגי, X = U α כיסוי פתוח..a U α יהי a) G = 1 U α, המכפלה החופשית של החבורות היסודיות של הכיסוי הפתוח. אזי קיים הומומורפיזם טבעי Φ : G Π 1 X, a) Φ [γ α1 γ α2 γ αn ]) = [γ α1 γ α2 γ αn ] על ידי ומתקיים:.1 אם U α U β קשיר מסילתית לכל α, β I אזי Φ על..2 אם בנוסף U α U β U γ קשירים מסילתית לכל α, β, γ אזי = Φ ker. w α,β α β, w Π 1 U α U β, a) מקרה פרטי: אם X = U 1 U 2 ו U α U β קשיר מסילתית, אזי Π 1 X, a) = Π1U1,a) Π1U2,a) / Π 1U 1 U 2,a) דוגמה 33: יהיה X איחוד של שפות של שני משולשים המחוברים בצלע אחת כפי שמתואר באיור הבא: נסמן.U c = X\c,U b = X\b,U a = X\a מתקיים.U a, U b, U c S 1.1 b.x = U a U בנוסף, b.u a U החיתוך קשיר מסילתית, ולכן לפי ון קמפן Π 1 X) = Π1Ua) Π1U b)/ Π 1U a U b ) = Π1S1 ) Π 1S 1 )/{1} = Z Z = F 2.2 c X = U a U b U והחיתוך קשיר מסילתית וכוויץ באותו אופן כמו קודם). אזי לפי המשפט Π 1 X) = Π1Ua) Π1U b) Π 1Uc)/N = Z Z Z = F 3 אבל זה לא נכון כפי שראינו בסעיף הקודם. הסיבה שזה לא מתקיים היא כי החיתוך המשולש ) c U a U b U נקבל קבוצה הומוטופית לשתי נקודות. נתחיל להוכיח. החלק הראשון יהיה מאוד קל, והחלק השני יהיה פחות קל. פרופ' ורשבסקי: "אחד המשפטים היותר קשים בקורס" הערה 34: חלק מהקושי נובע מאי קיום אלגוריתם לפתרון בעיית המלה. בהינתן אוסף מלים בלתי אפשרי לדעת האם הן יוצרות את כל החבורה בהרבה מקרים..1 תהי a) f : I, 0, 1)) X, מסילה. X = U α כיסוי פתוח. לכן ) α I = f 1 U כיסוי פתוח של [1,0] מרציפות המסילה. לכן קיימת סדרה 0 = s 0 < s 1 < s 2 < < s m = 1 הוכחה: 11

2.2 משפט ון קמפן 2 חבורה יסודית כך ש [s i, s i+1 ] f 1 U αi מקומפקטיות של 1].[0, יהי i+1] f i = f [si,s הצמצום של f לקטע a,fsi) h, i P זה אפשרי כי החיתוך קשיר מסילתית מהנחה. Uαi U αi+1 המתאים. לכל i נבחר ) כעת, ) αi.f i P fsi),fs i+1) U כעת לפי ההגדרת f f 0 f 1 f m 1 f 0 ) h 1 h 1 f1 ) ) h 2 h 2 hm 1 h m 1 fm 1 ) ) f 0 h 1 h1 f 1 h 2 h2... h m 1 f m 1 ) [f] = Φ f 0 h 1 ) h1 f 1 h 2 ) h2... h m 1 f m 1 ) ) לכן וסיימנו. 2. יש לנו העתקה a φ, : G N/ Π 1,X) וצריך להוכיח שזה חח"ע, קרי עבור שתי מסילות הומוטופיות, יש להן אותו מקור. נסתכל על "מלים לא מצומצמות" )) m,u 1,..., U m ; f 1,..., f קרי, המסילות f i ב U, i כאשר ) i f). i P a U) נגדיר יחס שקילות על הנוצר על ידי התנאים הבאים: א) אם f i Ui f i אזי אפשר להחליף f i ב i.f ב) אם i+1 U i = U אזי אפשר להחליף את i+1 f i, f ב i+1.f i f.u i,f i P a U i U i אזי אפשר להחליף U i ב ג) אם ) הערה :35 אם ) m U 1,..., U m, f 1,..., f m ) V 1,..., V m, g 1,..., g ביחס השקילות שהגדרנו. אזי נאמר כי ] m [f 1 f 2 f m ] = [g 1 g 2 g ב X ),P a כאשר ] m Φ [f 1 ], [f 2 ],..., [f m ]) = [f 1 f 2 f ו = ]) m Φ [g 1 ], [g 2 ],..., [g [g 1 g 2 g m ] טענה :36 גם ההפך נכון. אם ]) m Φ [f 1 ], [f 2 ],..., [f m ]) = Φ [g 1 ], [g 2 ],..., [g אזי.U 1,..., U m, f 1,..., f m ) V 1,..., V m, g 1,..., g m ) הערה 37: הטענה גוררת את המשפט. מושאר כתרגיל. פרופ' ורשבסקי: "ברור לכם שלא אתן את החלק השני במבחן, לכן אני משאיר לכם את זה להשתכנע". נניח שקיימת הומוטופיה F : I I X כך ש F t, 0) = g 1 g m ו.F t, 1) = f 1 f n כל שנותר לנו להראות הוא שהם זהים ביחס ל Φ. F רציפה לכן ) α I I = f 1 U) כיסוי פתוח ולכן קיימים s i, s i+1 ] v j, v j+1 ] כך שמתקיים 0 = v 0 < v 1 < < v l וגם = 1 0 = s 0 < s 1 < < s k = 1 ) i,j f 1 U מקומפקטיות. אפשר להניח ש 1 = k = s 0 < s 1 < < s 0 עידון של f 1 f m ושל g. 1 g m מה קורה אם הנקודות שלנו נמצאות בדיוק בחיתוך של ארבעת המלבנים? אפשר להזיז קצת את המלבנים כך שכל נקודה ב I 2 תהיה בלא יותר מ 3 מרובעים קטנים ונמספר אותם כמו בתמונה: נסמן כל מלבן בתור R i לדוגמה, המלבן שבאיור מסומן כ 1 ייקרא אצלנו R). 1 כך ש F. R) i ) U i תהא γ מסילה ב I I מהקדקוד השמאלי התחתון לקדקוד הימני העליון, אזי הצמצום F γ הוא לולאה שבסיסה R 1,..., R r המלבנים הראשונים r המסילה המפרידה את γ r תהא.F 1, ל 1 F 0, שכן היא מסילה מ 0,a מהאחרים העוברת בצלעותיהם ומתחילה מהקדקוד השמאלי התחתון אל הימני העליון. γ 0 היא הצלע התחתונה של I I ו γ m n היא הצלע העליונה. נעבור מ γ r ל 1+r γ על ידי מעבר דרך המלבן 1+r R. נכנה את הפינות של המלבנים R "קדקודים". r לכל קדקוד v עם F v) a נוכל לבחור מסילה h v ששוכנת בחיתוך של שני או שלושה U i,j המתאימים ל R ים r המכילים את v, זאת היות שהחיתוך הוא קשיר מסילתית. 12

2 חבורה יסודית 2.3 תורת הקטגוריות קטגוריה קיבלנו חלוקה ] γr F] על ידי הכנסת המסילות h v h v לתוך F γr בין כל שני קדקודים. בדומה להוכחה של חלק,1 בחירה שונה של h v לא משנה. נוכל לבחור שהחלוקה המתאימה ל γ 0 שקולה לחלוקה ] k [f 1 ] [f על ידי בחירת מסילה מתאימה h v לכל קדקוד v על הצלע התחתונה של I. I באופן דומה נוכל לבחור גם למסילה γ m n עם ] l.[g 1 ] [g היות שהחלוקות של ה γ r שקולות, קיבלנו שהחלוקות הכלליות שקולות וסיימנו. 2.3 תורת הקטגוריות בדומה לכך שפיתחנו את תורת החבורות כדי לא להוכיח טענות על כל חבורה בנפרד, אלא להוכיח משהו על מבנה כללי כך נפתח את תורת הקטגוריות כדי להוכיח טענות על קטגוריות ומורפיזמים באופן כללי. פרופ' ורשבסקי: "תורת הקטגוריות זה כ"כ כללי, עד שאם אתם כבר מצליחים להוכיח משהו, אז זה יהיה קל.... אתם לא תוכיחו שום דבר מהותי על כל אחד מהדברים." הגדרה 38: קטגוריה תהיה אוסף של:.1 אובייקטים oba.2 קבוצה של מורפיזמים B) Hom A, עבור.A, B Obj.3 לכל אובייקט A Obj קיים מורפיזם הזהות.Id A.4 לכל A, B, C Obj קיים מורפיזם הרכבה. עבור B) g Hom B, C),f Hom A, אזי קיים C) g f Hom A, כך שמתקיים: א) h). f,g,h f g) h = f g ב) Id B f = f = f Id A 1. קבוצות: Ob קבוצות מסומן Sets ו Hom העתקות בין קבוצות. דוגמה 39: 2. חבורות: Ob חבורות מסומן Grp ו Hom הומומורפיזם של חבורות. 3. חבורות אבליות: Ob חבורות אבליות מסומן Ab ו Hom הומומורפיזם של חבורות. 4. מרחבים טופולוגיים: Ob מרחבים טופולוגיים מסומן Top ו Hom העתקות רציפות..5 מרחבים טופולוגייםהומוטופיים: Ob מרחבים טופולוגיים מסומן HTop) ו = B) Hom A,.HomA,B)/.6 מרחבים טופולוגיים מנוקדים: A} Ob = {A, a) A T op a מסומן Top ו = B) Hom A,.Hom A, a), B, b)) הגדרה 40: תהא A קטגוריה. איזומורפיזם.1 B) f Hom A, נקרא איזומורפיזם אם קיים A) g Hom B, כך ש f g = Id A ו.g f = Id B חבורון 2. קטגוריה A תיקרא חבורון groupoid) אם כל מורפיזם הוא איזומורפיזם. דוגמה 41: א) לכל קטגוריה A קיימת תת קטגוריה A ism A כך ש ObA = ObA ism וגם Hom ObA ism A, B) = {f Hom ObA A, B) f is an isomorphism} והיא חבורון. ב) לכל A כנ"ל נגדיר A disc A כך ש ObA = ObA disc וגם { Hom ObA disc A, B) = A B Id A A = A 13

2.3 תורת הקטגוריות 2 חבורה יסודית החבורון.7 X מרחב טופולוגי. נגדיר קטגוריה X) Π 1 כך ש { X ObΠ 1 X) = X = {x וגם היסודי Hom Π1X) a, b) = Π 1 X, b, a) = P b,a/ Π 1 X, a, b) Π 1 X, b, c) Π 1 a, c) החלוקה בהומוטופיה היא כדי לאפשר הרכבה [f] [g] [g] [f] = g f) קטגוריה זו תיקרא החבורון היסודי. הזהות היא המסילה הקבועה. הערה 42: מדוע אנו צריכים את X) Π? 1 יש שתי תשובות: 1. יותר טבעי מ a Π 1,X) כי אין צורך לבחור נקודה. 2. יש לזה הכללות חשובות "חבורון אינסוף", שהוא מקרה פרטי של "קטגוריית אינסוף") ואידך זיל גמור. 2.3.1 קו גבולות הגדרה 43: תהי A קטגוריה. דיאגרמה ב A זה A i ObjA עם i I קבוצה אינדקס, וקבוצה של מורפיזמים.A j A i 1. דיאגרמה דיסקרטית, הכוללת רק אובייקטים ובלי מורפיזמים. דוגמה 44: 2. שלושה אובייקטים ושני מורפיזמים: A 1 A 2 A 3 3. שני אובייקטים ושני מורפיזמים p A 1 A 2 4. סדרה אינסופית של אובייקטים A 1 A 2 A 3 A 4... גבול ישר הגדרה :45 נגדיר את הגבול הישר להיות הזוג ) i A, g כאשר לכל i I ו ObjA A מוגדר.g i : A i A המקיים את שני התנאים הבאים: והדיאגרמה מתחלפת f.g i = g j.1 לכל A i A j בגבול מתקיים:.2 לכל זוג ) i B, h ו B h i : A i כך ש f h i = h j לכל f : A i A j קיים h : A B יחיד כך ש h i = h g i לכל.i I A i q g i f gj A A j.lim שם נרדף הוא קו גבול. והוא יסומן,lim דוגמה.1 :46 נסתכל על הדיאגרמה הדיסקרטית. A = Grp ו { I.D = {G α, α אזי D = G α בשל התכונה האוניברסלית של המכפלה החופשית. 2. בקטגוריה של המרחבים הטופולוגיים הדיסקרטיים, אזי איחוד זר הוא הגבול הישר. כנ"ל בקטגוריית הקבוצות. 14

2.3 תורת הקטגוריות 2 חבורה יסודית הערה 1. 47: הגבול הישר לא תמיד קיים, אבל הוא כן קיים בהרבה מהקטגוריות היפות. הוא קיים בקבוצות, בחבורות, במרחבים טופולוגיים אבל לא ב H-Top. 2. אם הגבול הישר קיים אזי הוא יחיד עד כדי איזומורפיזם יחיד. היחיד נובעת מכך שיש מורפיזם יחיד h, ולכן קיים לו הופכי והוא יהיה איזומורפיזם. פרופ' ורשבסקי: "כמובן שאני לא אבקש מכם להוכיח את זה במבחן, אבל חשוב מאוד להבין". יהי X מרחב טופולוגי קשיר מסילתית ויהי.α I,ϕ α : S 1 α X נגדיר מרחב Y = X α I D 2 α)/ α I x S 1 α x ϕ αx) בעיה :48 תהי.i : X Y,a X מה יודעים על a)?i : Π 1 X, a) Π 1 Y, סימון: I /0 1 = S 1 X לכן 0)) 1, α.[ϕ α ] Π 1 X, ϕ תהי x) h α P a,ϕα1,0)) אזי h α מגדיר איזומורפיזם β hα : Π 1 X, a) Π 1 X, ϕ α 1, 0))) β 1 h α [ϕ α ]) Π 1 X, a) β 1 β h hα : Π 1 X, a) Π 1 X, a) α לכן בחירה אחרת של h α אזי [α [ h α h ולכן זו תהיה העתקה צמודה. איברים צמודים לא באמת משפיעים על שום דבר, זו הצמדה על ידי כי בסוף אנחנו לוקחים את התת חבורה הנורמלית המקסימלית ומצמצים בה..1 a) i : Π 1 X, a) Π 1 Y, היא על. טענה 49: ker i = β 1 h α [ϕ α ]), α I.2 או בניסוח אחר של הטענה בהתאם להאטצ'ר): טענה 1. 50: אם Y מתקבל מ X על ידי צירוף 2 תאים כפי שתאר למעלה, אזי ההכלה X Y משרה הומומורפיזם על ) 0 Π 1 X, x 0 ) Π 1 Y, x וגרעינו הוא,N התת חבורה הנוצרת על ידי כל הלולאות.α לכל γ α ϕ α γ α 2. אם Y מתקבל מ X על ידי צירוף n תאים עבור > 2 n, אזי ההכלה X Y משרה איזומורפיזם.Π 1 X, x 0 ) = Π 1 Y, x 0 ) 3. לכל קומפלקס תאים קשיר מסילתית X ההכלה של ה 2 שלד X 2 X משרה איזומורפיזם.Π 1 X 2, x 0 ) = Π1 X, x 0 ) מסקנה 51: דוגמה לשימוש יפה. האם כל חבורה היא חבורה יסודית של איזשהו מרחב טופולוגי? התשובה היא כן. לכל חבורה G קיים קומפלקס תאי דו מימדי Y G עם קדקוד אחד a כך ש G Π. 1 Y) G ) = הוכחה: של המסקנה): נכתוב את G בצורה J G = a i, i I b j, j כך ש a i יוצרים. הווה אומר, a i יוצרים של G אזי היות שכל חבורה היא מנה של חבורה חופשית ניקח את החבורה החופשית על כל היוצרים.G = F Π נגדיר של החבורה ונחלק ביחסים) נוכל לכתוב. x i : F I G יהיו b j יוצרים של ker Π אזי j I/ b b j F I = Π 1 X, a) לכל.Π 1 X) = F I אזי.X 1 = {a} D1 i )/ i I D i a.x0 = a.x = i I S1 i נבחר מסילה ϕ j : S 1 X המייצגת את.b j נגדיר.Y = X D2 i )/ i I ϕ j אזי לפי הטענה Π 1 Y a, a) = Π1X,a) / ϕ j = G 15 הוכחה: של הטענה, בנוסח השני שלה):

2.4 מרחבי כיסוי גרסת ורשבסקי 2 חבורה יסודית 1. נגדיל את Y למרחב גדול יותר Z ש Y הוא עיוונסג שלו ויותר נוח לעבוד איתו כי נוכל להשתמש I {0} עם החלק התחתון S α בוון קמפן. המרחב Z מתקבל מ Y על ידי חיבור פסים מלבניים = I I מחובר לאורך γ α והחלק הימני I {1} מחוברים לאורך קשת ב α e 2 וכל החלק השמאלי I {0} של פסים שונים מחוברים יחדיו. החלקים העליונים לא מחוברים לכלום, ובכך יש לנו עיוונסג. דוגמה בציור. לכל תא e 2 α נבחר נקודה y α שלא על הקשת ש S α מחובר אליה. נגדיר α} A = Z\ α {y ו X B. = Z\X הוא עיוונסג של A ו B כוויץ. מכאן, שימוש בוון קמפן על הכיסוי,A B נותן לנו ש Z ) Π 1 איזומורפי למנה של A) Π 1 על ידי תת חבורה נורמלית הנוצרת על ידי התמונה של ההעתקה A).Π 1 A B) Π 1 ובייתר פירוט, נבחר נקודת בסיס z 0 A B ליד x 0 על הקטע הקטע שבו כל ה S α נחתכים, ונבחר לולאה δ α ב B A שבסיסה ב z 0 והיא תייצג איבר ב Π 1,Z) z 0 המתאימה ל [γ α ϕ α γ α ] Π 1 Z, x 0 על ידי הומומורפיזם משנה נקודת בסיס שלנו β h עבור h הקטע המחבר את z 0 ל x 0 בחיתוך של ה S. α כעת לסוף ההוכחה נבדוק ש Π 1 A),B z 0 נוצר על ידי הלולאות δ. α את זה.A α = A B) \ β α e2 β נעשה על ידי שימוש נוסף לוון קמפן, הפעם נכסה את A B על ידי הקבוות היות ש A α ניתנות לעיוונסג על מעגלים ב {,e 2 α\ {y α נקבל כי Π 1 A α, z 0 ) = Z נוצר על ידי,δ α וסיימנו. א) ההוכחה זהה רק עם תאים e n α במקום e. 2 α השוני היחיד הוא ש A α ניתנים לעיוונסג אל ספירות n 1 S ולכן = 0 ) α Π 1 A אם > 2 n ולכן = 0 B) Π 1 A וסיימנו. ב) נובע מ B על ידי אינדוקציה כאשר X סוף ממדי, ולכן X = X n עבור איזשהו n. כאשר X אינו סוף ממדי ההוכחה מעט שונה. f : I X לולאה עם בסיס x. 0 X 2 יש לה תמונה קומפקטית ולכן היא שוכנת ב ) X n עבור איזשהו n, מסעיף 2 של הטענה נובע כי f הומוטופית ללולאה ב.X 2 לכן ) 0 Π 1 X 2, x 0 Π1 X, x על. כדי להוכיח חח"ע, נניח ש f היא לולאה ב X 2 שהיא נולהומוטופית ב X על ידי ההומוטופיה F. : I I X ) יש לה תמונה קומפקטית השוכנת באיזשהו,X n ונוכל להניח כי > 2.n היות ש Π 1 X 2, x 0 Π1 X n, x 0 היא חח"ע מהסעיף הקודם, נקבל כי f נולהומוטופית ב X. 2 מרחב כיסוי 2.4 מרחבי כיסוי גרסת ורשבסקי הערה 52: הפרק הזה שהוכח בצורה מבולגנת ברובו מופיע בחלקו גם בסיכום של נחי אברהם משנה שעברה לטופולוגיה. הוא מופיע בהסכמתו גם בהמשך כתת פרק ואנו מודים לו על כך. הגדרה 53: יהא X מרחב טופולוגי. העתקת הכיסוי היא העתקה רציפה p : X X המקיימת 1. p היא על לא הכרחי, אבל נניח תמיד אלא אם כן ייאמר אחרת)..2 לכל x X קיימת סביבה פתוחה x U X כך ש p 1 U) = U α כך ש U p Uα : U α הומיאומורפיזם. X, p, מרחב הכיסוי ) נשים לב שכאשר אנחנו אומרים "כיסוי" או "מרחב כיסוי" הכוונה היא לזוג הסדור יחד עם העתקת הכיסוי. בעיה :54 יהי p : X X כיסוי והעתקה f : Y X העתקה רציפה, נשאל האם קיימת הרמה X) f : Y ועד כמה היא יחידה. טענה :55 יהי p : X X כיסוי, Y מרחב טפולוגי קשיר אינו איחוד זר של פתוחות). יהיו f 1, f 2 : Y X כך ש p f 1 = f = p f 2 כך שקיים y 0 Y שעבורו מתקיים ) 0 f 1 y 0 ) = f 2 y אזי f 1 = f 2. 16

2 חבורה יסודית 2.4 מרחבי כיסוי גרסת ורשבסקי {.Y 2 = y Y f 1 y) f לפי ההנחה { 2 y)} y)} Y1 = y Y f 1 y) = f 2 ו הוכחה: נתבונן בקבוצות y 0 Y 1 ז"א 1. Y נראה ש Y 1, Y 2 Y פתוחות וזרות ולכן בהכרח Y = Y 1 מקשירות. לכל y Y נבחר f y) U X פתוחה כך ש,p 1 y) = U α אזי U) f i y) p 1. נבחר Ũ 1, Ũ2 בין ה U α כך ש Ũ1 f 1 y) ו Ũ2 f 2 y). מההגדרה f 1, f 2 רציפות, Ũ1, Ũ2 X פתוחות. לכן קיימת סביבה y V Y כך ש Ũ1 f 1 V ) וגם f 2 V ) Ũ2. נראה שאם y Y 1 אזי V Y 1 ואם y Y 2 אזי היות ש p Ũ1.p f 1 V = p f 2 V ולכן לפי הנחה.Ũ1 = לכן Ũ2 f 1 y) = f 2 y) אזי y אם Y 1.V Y 2 היא חח"ע, מקבלים ש f 1 V = f 2 V ומכאן נובע כי.V Y 1 נניח ש y Y 2 אזי y) f 1 y) f 2 אבל y)) p Uα. f 1 y), f 2 y) p 1 f חח"ע ולכן y) f 1 y) f 2 ולכן Ũ 1 Ũ2 ולכן = Ũ2 Ũ 1 ולכן = ) V f 1 V ) f 2 ולכן ) y f 1 y ) = f 2 לכל y V ולכן.V Y 2 דוגמה p : R S 1.1 :56 הנתונה על ידי 2πx)) p x) = cos 2πx), sin היא כיסוי. לכל a S 1 נבחר a) b p 1 אזי p 1 S 1 \ {a} ) = k Z b + k, b + k + 1) p : b + k, b + k + 1) S 1 \ {a} p : S 1 S 1.2 הנתונה על ידי p z) = z n היא כיסוי. טענה :57 תהי p : X X כיסוי. בהינתן הומוטופיה F : I Y X ו X f : Y כך ש p f = F 0 אזי קיימת העתקה יחידה F : I Y X כך ש X F 0 = f : y ו F.p F = בהינתן הומוטופיה F t : Y X והרמה f : Y X של F 0 : Y X אז יש הרמה יחידה של כל ההומוטופיה F t עד להומוטופיה. מסקנה.1 :58 אם Y היא נקודה בודדת, אז בהינתן γ : I X מסילה ו 0 ) ã p 1 γ אזי הטענה אומרת שקיימת ויחידה הרמה של המסילה הזאת מסילה יחידה γ : I X כך ש ã γ 0) = ו γ.p γ = P α,, α נשים β X).2 תהי p : X X כיסוי, ו X a, b ו a ).ã p 1 יהיו X) α, β Pa,b ויהיו לב שהטענה לא אומרת כלום על הסוף של המסילה, רק על ההתחלה). אזי אם α β אזי 1) β α 1) = ו β. α פרופ' ורשבסקי: "לרוב מוכיחים קודם יחידות ואח"כ קיום, כי אז אפשר להדביק באופן מקומי. זה קורה לא מעט בטופולוגיה, אבל לא רק". הוכחה: נתחיל בהוכחת יחידות. נוכיח שאם F, G : I Y X כך ש p F = F = p G : I Y X וגם F 0 = G 0 = f אזי F = G, הווה אומר, y) F, y) = G, לכל,y Y הווה אומר, מספיק להראות עבור Y שהוא בדיוק נקודה. במצב כזה F, G : I X. אך לפי ההנחה 0) G F 0) =, בעוד I קשיר, ולכן לפי הטענה הקודמת מקבלים ש G F = שכן זוהי הרמה עם נקודת התחלה זהה. כעת נוכיח קיום. נראה את זה "מקומי ב y ". ופירושו, לכל y Y קיימת סביבה y V Y והרמה. ) FV = f V : V X מהתנאי הראשון. מהתנאי השני p F V 0 = F I V כך ש F V : I V X יהי X = U α כיסוי פתוח כך ש p 1 U α ) = U α מההגדרה של העתקת כיסוי. F : I Y X רציפה ולכן ) α I Y = F 1 U כיסוי פתוח. לכל t I,y Y קיימת סביבה y V y,t Y ו 0 > y,t ε כך ש t ɛ y,t, t + ε y,t ) V t,y F 1 U α עבור α מסויים. I קומפקטי ולכן קיימת סדרה 0 = t 0 < t 1 < < t n 1 < t n = 1 ו y V y Y כך ש [t i, t i+1 ] V y F 1 U α עבור α מסוים למה? תרגיל). נניח ש F [t 0, t 1 ] V ) U 0 אזי p 1 U) = U α 17

2.4 מרחבי כיסוי גרסת ורשבסקי 2 חבורה יסודית p : Uα U0 כעת נקבל כי p f V = F 0 V : V U 0 f V : V p 1 U 0 ) = U α לכן אבל קיימת נקודה y, V קרי f y) U α ועל ידי הקטנה של V קרי, בחירת מרכיב קשירות מסויים) אפשר להניח ש f V ) U α. קודם נמצא את ההעתקה. F V [0,t1] V : V X ולכן נוכל להגדיר את ההעתקה הזאת על ידי [0, t 1 ] V F U 0 p 1 Ft נבנה העתקה = F V [ti,t i+1] V אחרי שבנינו את X כעת נמשיך לבנות כך על ידי אינדוקציה. 1+i F כך ש : [t i+1, t i+2 ] V X F i+1 ti+1 = F t ti+1 U α p F i+1 = F [ti+1,t i+2] V בשלב זה נקטעה ההוכחה והקורא מתבקש להשלימה. כעת, בהתאם לקיום, לכל y Y קיימת סביבה y V Y והעתקה F y : I V y X זוהי המקבילה של F V שנובעת מרצונו של פרופ' ורשבסקי לשנות סימונים באמצע הוכחות) כך ש ) Fy = f Vy F Vy = p F y 0 לכל y 1, y 2 Y נתבונן ב V y1 V y2 החיתוך יכול להיות ריק, זה לא משנה לנו). נסתכל על F y1 VY1 V y2, Fy2 Vy1 V y2 : I V y1 V y2 ) X שתיהן מקיימות ) p Fyi Vy1 V y2 = p F ) yi Vy1 V y2 = F Vy1 V y2 ובאופן דומה ) Fyi Vy! V y2 = = f Vy1 V y2 0 I Y = y Y I V y ולכן Y = y Y V היות ש y F y1 Vy1 V y2 = F y2 Vy1 V y2 ולכן לפי היחידות מקבלים ש וקיימת העתקה יחידה F : I Y X כך ש y Y F I Vy = F y ונשאר להראות ש F p F = ו f F 0 = אבל זה נובע מהשוויונות בהתחלה. לכל y Y מתקיים p F ) ) y) = p F Vy y) = ) F Vy y) = F y) הוכחה: של מסקנה.2 תהי F t : I X הומוטופיה ב X ) P a,b כך ש α F 0) = ו β F 1) = הומוטופיה שמעידה על כך. תהי F t : I X הומוטופיה יחידה כך ש p F t = F t ו α F 0 = קיימת ויחידה לפי הטענה 18

2 חבורה יסודית 2.4 מרחבי כיסוי גרסת ורשבסקי מקודם). נשאל מה אנחנו יודעים עכשיו. 0) t t F מסילה ב X שהיא הרמה של המסילה הקבועה a ומתחילה ב F 0 0) = α 0) = α לכן F t 0) = ã לכל.t בצורה דומה 1) t t F היא מסילה קבועה b). b p 1 בנוסף, F 1 : I X היא הרמה של F 1 = β שמתחילה ב ã לכן F 1 = β. לכן β 1) = b = ã 1) ו α β על ידי F. Imp חח"ע, ו = p : Π 1 X, ã ) ) מסקנה :59 אם a) p : X, ã X, כיסוי, אזי a) Π 1 X, { ) } [γ] Π 1 X, a) γ P a x), γ Pã,x X, γ 1) = ã הוכחה: נשים לב שלכל x) γ Pã היא הרמה של.p γ לכן אם x) ã, β Pã מקיימות p α p β אזי α β לפי המסקנה הקודמת ז"א, p חח"ע). אם גם γ = p γ וגם x) γ Pã אזי Imp.[γ] p [ γ]) זה הכיוון הראשון. בכיוון השני, תהי Imp [γ] אזי γ p α עבור x).ã pã לכן γ 1) = α 1) = ã מהמסקנה הקודמת.,X X קשירים מסילתית, אזי לכל נקודה b X יש התאמ חח"ע ) מסקנה :60 יהי a) p : X, ã X, כיסוי, ועל קנונית. מההגדרה / a,bx,π 1 X, a, b) = P אזי b) Π1X,a,b) /p 8Π 1 X,ã) p 1 זוהי מנה של קבוצה בפעולה של חבורה. במקרה ש b a = זוהי בדיוק חבורת המנה. Pã, γ ההרמה שלה. נגדיר b) ϕ : P a,b X) p 1 על ידי X) הוכחה: יהי X),γ Pa,b ויהי 1) γ ϕ. γ) =: נצטרך להראות שזה תלוי רק במחלקת השקילות של המסילה, וזה נכון מהמסקנה שלפני הקודמת. לכן ϕ מגדירה העתקה b).ϕ : Π 1 X, a, b) p 1. b = γ 1) = ϕ [p γ]) קשיר מסילתית). אזי X שכן γ Pã, b X) לכל b) b p 1 נבחר נניח ) 2 ϕ γ 1 ) = ϕ γ אזי 1) 2, γ 1 1) = γ זה אומר שהם מתחילים ומסתיימים באותה נקודה. 1 γ γ := γ 1 אזי, γ 1 γ γ 2 אבל כל אחת מהן היא הרמה, ולכן 2 Pã X) נגדיר γ 1 p γ) γ 2 ולכן [γ 1 ] [γ 2 ] Π1X,a,b) /p Π 1X,a) פרופ ורשבסקי: "ולהפך דומה, אבל יותר קל" קשיר סילתית ת מ מקומי הגדרה 61: מרחב טופולוגי Y ייקרא קשיר מסילתית מקומית אם לכל y Y ולכן y V Y פתוחה קיימת y U V Y כך ש U פתוחה וקשירה מסילתית. ) טענה :62 יהי a) p : X, ã X, כיסוי, ו a f : Y, b) X, כך ש Y קשיר מסילתית, וקשיר מסילתית )) ).f Π 1 Y, b)) p מקומית. אזי קיימת הרמה f : Y, b) X, ã אם ורק אם Π 1 X, ã הוכחה: הכיוון הראשון הוא טריוויאלי, אם קיימת הרמה f f = p לכן f f = p ולכן Imp.Imf בכיוון השני, נניח שההכלה מתקיימת. לכל y Y נבחר ) Y γ P b,y אזי f γ) P a,fb) X ויהי f הרמה של γ) f. אנחנו רוצים להוכיח קודם כל ש X f γ 1) אינה תלויה ב γ, ושהעתקה ) γ Pã, X 19

2.4 מרחבי כיסוי גרסת ורשבסקי 2 חבורה יסודית f γ), f γ ) P a,fb) X) מסילה אחרת, אזי γ P b,y Y ) היא ההרמה שחיפשנו. אם f y) f γ 1) f γ γ 1) = f γ) f γ ) 1 Pa X) 1 γ.γ בנוסף לכן ) Y P b לכן, מההנחה: f γ γ 1) Imf Imp [f γ)] = f γ γ 1) = [ f γ) f γ ) ] 1 Π 1 X, a) [ f γ) f γ ) ] 1 [ f γ )] )) [ p Π 1 X, ã f γ )] אבל לכן. f y) := f γ 1) על ידי f : Y X נגדיר. f γ 1) = f γ לכן לפי ההוכחה של המסקנה הקודמת מקבלים ש 1 ) אזי f מקיימת p f = f ו ã f b) = על ידי לקיחת מסילה קבועה. ניתן להראות ש f רציפה. נבחר y V p 1 U) לפי ההנחה קיימת סביבה.p : Uα U,p 1 U) = f γ) p 1 U) = U α U α פתוחה כך ש f y) U X שהיא קשירה מסילתית. נבחר ) Y,γ P a,y ונבחר f y) Ũ כך ש U.p : Ũ לכל z V נבחר מסילה ) V.α P y,z אזי ) Y.γ α P b,z אזי f γ) = f ולכן α) f α) = p 1 f, לכן γ Pã, fy) X) α) f γ α) = f γ) f אזי f z) = f γ α 1) = f α) 1) = p 1 f a) 1)) = p 1 f z)) לכן ) V f V = p 1 f רציפה. 2.4.1 מרחבי כיסוי גרסת ציגלר הערה 63: על פי סיכומו של נחי אברהם את הרצאותיה של פרופ' תמי ציגלר בקורס מבוא לטופולוגיה משנה שעברה. מרחבי כיסוי הגדרה: יהיו,E X מרחבים טופולוגיים. אומרים שהעתקה רציפה ועל p : E X היא העתקת כיסוי, אם לכל x X קיימת סביבה פתוחה U X המכילה את x, כך ש- E p 1 U) היא איחוד זר של פתוחות.U מהווה הומאומורפיזם על p Vα : V α U הצמצום,α כך שלכל,{V α } α במקרה שקיימת העתקת כיסוי, אומרים ש- E הוא מרחב כיסוי של X. דוגמה: R מרחב כיסוי של,S 1 עם העתקת הכיסוי p : R S 1 המוגדרת 2πs)).s cos 2πs), sin האיור הבא ממחיש זאת: 20

2.4 מרחבי כיסוי גרסת ורשבסקי 2 חבורה יסודית קל לראות שלכל x, 0 S 1 נוכל לבחור את U S1 להיות למשל קטע פתוח באורך 1 3 סביב x 0 על המעגל, ונקבל שהקבוצה 1 p x) 0 ) R היא איחוד הקטעים באורך 1 3 סביב x ים 0 כל הדרך עד למעלה. כל קטע כזה ב- R הוא איזשהו קטע פתוח סביב x 0 כלשהי, ולכן הומאומורפי ל- U. הגדרה: נניח כי p : E X העתקת כיסוי, ונניח כי X קשיר מסילתית וכי E מרחב פשוט קשר. כלומר E) π 1 טריוויאלית. אומרים כי E הוא מרחב כיסוי אוניברסלי של X עד כדי הומאומורפיזם), אם לכל העתקת כיסוי.p q = p המקיימת q : E E אחרת, קיימת העתקת כיסוי p : E X במילים אחרות, הדיאגרמה הבאה מתחלפת: E q E p X p הרמה הגדרה: נניח כי מרחב טופולוגי E הוא מרחב כיסוי של מרחב טופולוגי X על ידי העתקת כיסוי p. : E X יהי Y מרחב טופולוגי כלשהו ותהי f : Y X העתקה רציפה. אומרים שהעתקה f : Y E היא הרמה של,f אם מתקיים.p f = f במילים אחרות, הדיאגרמה הבאה מתחלפת: Y f f E X p משפט: יהי E מרחב כיסוי של מרחב X על ידי העתקת כיסוי p. : E X אזי לכל מסילה f : I X המתחילה ב- x 0 ולכל ) 0, x 0 p 1 x קיימת ויחידה הרמה למסילה f : I E המתחילה ב-. x 0 הוכחה: תהי f : I X מסילה שבסיסה.x 0 X קיום: יהי x 0 E המקיים.p x 0 ) = x 0 מהגדרת העתקת כיסוי, לכל x X יש סביבה פתוחה.X המהווה כיסוי פתוח של U = {U x } x X U x מתאימה. ניקח את האוסף 21

2.4 מרחבי כיסוי גרסת ורשבסקי 2 חבורה יסודית ניקח חלוקה של הקטע I מהצורה = 1 n = s 0 < s 1 <... < s,0 ונדאג שהיא תהיה מספיק חזקה כך שכל תת קטע ] i+1 [s i, s יהיה מספיק קטן כך שיתקיים f [s i, s i+1 ]) U i לאיזו.U i U 1 כעת נגדיר את ההרמה f : I E בתהליך אינדוקטיבי: תחילה נגדיר f 0) = x 0. נניח באינדוקציה כי f מוגדרת על איחוד קטעי החלוקה ] i.[0, s מתקיים,f [s i, s i+1 ]) U i ומהיות p העתקת {V β } β כך שלכל β מתקיים p Vβ : V β U i הומאומורפיזם. כיסוי נובע שקיים ל- p 1 U) i כיסוי,V {V β } β ולכן נוכל להגדיר f [si,s i+1] = p V ) 1 f. מהיות מתקיים כי V f s i ) לאיזו V p הומאומורפיזם נובע שההעתקה נותרת רציפה. ברור מההגדרה שאכן מתקיים p f = f על כל I, שכן שוויון זה מתקיים מקומית לכל s I מבניית f. יחידות: גם זאת נראה באינדוקציה. נניח כי f, f : I E זוג הרמות של f : I X שבסיס שתיהן הוא x 0 E המקיים,p x 0 ) = x 0 כלומר 0) f f 0) =. נניח אינדוקטיבית כי f f = על איחוד קטעי החלוקה ] i.[0, s בהינתן ) i V p 1 U בסימוני מקודם, הגדרנו f [si,s i+1] = p V ) 1 f. מההנחה כי f הרמה של f נובע כי p f = f בפרט על ] i+1.[s i, s אבל V p היא הומאומורפיזם, ולכן נסיק. f = p V ) 1 f = f משפט: יהי E מרחב כיסוי של מרחב X על ידי העתקת כיסוי p. : E X אזי לכל הומוטופיה F : I I X המתחילה ב- x 0 ולכל ) 0, x 0 p 1 x קיימת ויחידה הרמה להומוטופיה F : I I E המתחילה ב-. x 0 הוכחה: תהי F : I I X הומוטופיה שבסיסה.x 0 X כלומר.F 0, t) = x 0 קיום: יהי x 0 E המקיים.p x 0 ) = x 0 מהגדרת העתקת כיסוי, לכל x X יש סביבה פתוחה.X המהווה כיסוי פתוח של U = {U x } x X U x מתאימה. ניקח את האוסף = 1 m = s 0 < s 1 <... < s 0 כך שאם נתונים שני עותקים של I, אז נבחר חלוקות של שניהם 0 = t 0 < t 1 <... < t n = 1 נסמן ] j+1 I i J i =: [s i, s i+1 ] [t j, t מתקיים כי F I i J j ) U ij לאיזו.U ij U 2 כעת נגדיר את ההרמה F : I E בתהליך אינדוקטיבי, והפעם האינדוקציה תהיה לא על קטעים אלא על ריבועים. כלומר: תחילה נגדיר F 0, 0) = x 0, ואז נגדיר את I i J 1 לפי הסדר I i J n וכן הלאה עד שנגדיר את,i = 1,..., m לפי הסדר I i ואז נגדיר את J 2 i = 1,..., m לפי הסדר.i = 1,..., m F I i0 J j0 ) מתקיים כי. I נניח באינדוקציה כי F מוגדרת על האיחוד 1 i i 0 1 i J j 1 j j 0 1 {V β } β כך שלכל β מתקיים p 1 U i0j 0 כיסוי U, i0j 0 ומהיות p העתקת כיסוי נובע שקיים ל- I i0 J j0 =: [s i0, s i0+1] נזכור F s i0, t j0 ) V הומאומורפיזם. מתקיים כי p Vβ : V β U i0j 0 p V מהיות. F Ii0 J j0 = p V ) 1 F ולכן נוכל להגדיר,V {V β } β j0+1] [t j0, t לאיזו הומאומורפיזם נובע שההעתקה נותרת רציפה. ובאותו אופן גם כאן קל לראות כי p. F = F יחידות: נניח כי F, F : I I E זוג הרמות של.F : I X נשים לב שלכל s I מתקיים F, F : I {t} E הן מסילות המהוות הרמה של המסילה,F : I {t} X ולכן היחידות נובעת מהמשפט הקודם. מסקנה: נניח כי ) 0 p : E, e 0 ) X, x העתקת כיסוי, כלומר e 0 x 0 תחת,p אזי ההעתקה המושרית ) 0 p : π 1 E, e 0 ) π 1 X, x היא הומומורפיזם חח"ע. 1 נימוק: האוסף } ) X { f 1 U) מהווה כיסוי פתוח של I. הראינו שלמרחב מטרי קומפקטי סדרתית, לכל כיסוי פתוח יש מספר x X לבג. כלומר מספר < ε 0 כך שכל כדור פתוח ברדיוס ε מוכל בקבוצה כלשהי מהכיסוי. נבחר אם כך חלוקה = 1 n = s 0 < s 1 <... < s 0 2 כך שאורך כל אינטרוול הוא, ε ונקבל שלכל i מתקיים [s i, s i+1 ] ) לאיזו.U i U כלומר.f [s i, s i+1 ]) U i si+1 +s B i ε f 2 1 U i ) 2 מאותו נימוק כמקודם, שכן גם I I מרחב מטרי קומפקטי סדרתית. 22

2 חבורה יסודית 2.5 מרחב כיסוי אוניברסלי הוכחה: ראינו כבר שההעתקה המושרית המתקבלת על ידי f p f היא הומומורפיזם. נראה את החח"ע על ידי כך שנראה כי הגרעין טריוויאלי. נניח כי p f C x0 על ידי ההומוטופיה.F : I I X נרים אותה להומוטופיה F : I I E, ומיחידות ההרמה נסיק. f C e0 2.5 מרחב כיסוי אוניברסלי אוניברסליכיסוי הגדרה 64: כיסוי p : X X נקרא כיסוי אוניברסלי אם X פשוט קשר. פשוט קשר מקומי למחצה הגדרה 65: מרחב טופולוגי X נקרא פשוט קשר מקומי למחצה connected) semi locally simply אם לכל [x] γ הווה אומר, לכל.Im Π 1 U, x) Π 1 X, x)) = כך ש { 1 } x U X קיימת סביבה x X U) P x ב X. בעברית, לכל נקודה יש סביבה כך שלכל מסילה בסביבה הומוטופית למסילה הקבועה. משפט 66: יהי X מרחב טופולוגי שהוא קשיר מסילתית וקשיר מסילתית מקומית. אז ל X יש כיסוי אוניברסלי אם ורק אם X פשוט קשר מקומי למחצה. הוכחה: נניח שקיים כיסוי אוניברסלי.p : X X יהי,x X נבחר x U כך ש p 1 U) = U α U. נבחר Ũ X כך ש U.p : Ũ יהי U) γ P x נגדיר ו U α ) γ := p 1 γ) P p 1 x) Ũ אבל Ũ X ו X פשו קשר ולכן } x) γ { p 1 ב X ולכן γ = p γ) p { p 1 x) }) = {x} להפך, נניח ש X הוא כנ"ל ונבחר a. X ורוצים לבנות X כקבוצה. X = b X Π 1 X, a, b) = b X P a,b X)/ = Pa, X) / נגדיר טופולוגיה על X כך שבסיס של פתוחות של [γ] X אלו הקבוצות מהצורה [γ] U כך ש X γ 1) U כך ש U פתוחה ו U [γ] = { [γ h] h P γ1), U) } צריך לבדוק שזה אכן בסיס של פתוחות, ש p העתקה רציפה, ש p כיסוי וש X פשוט קשר.,U [γ] = U זאת שכן אם γ = γ h אזי לכל X) h P h1), מתקיים כי הערה :67 אם [γ] [ γ ] U אזי ] [γ [ γ h h )] [ = γ h ] U [γ ] U. הכיוון השני של ההערה מושאר כתרגיל. לכן [[γ] [γ ] U ההוכחה שזה בסיס נובעת ישירות מההערה והבנייה. ) p ולכן p רציפה. ההוכחה ש p רציפה נובעת מכך ש U U [γ] ההוכחה ש p כיסוי, קודם כל p 1 U) = b U γ P a,b U) U) p 1 זה אוסף איברים מהצורה [γ] כאשר U),γ P a,b אבל b U ולכן [γ].[γ] U לא מספיק לנו איחוד, אלא איחוד זר, ולכן לכל b X נבחר b U X כך ש { 1 } = b)),im Π 1 U, b) Π 1 X, קרי מתקיים התנאי של פשוט קשר מקומי למחצה. X קשיר מסילתית מקומית לכן ניתקן להקטין את U כך ש U.p : U [γ] נראה ש U. α p : U α קשירה מסילתית. נראה ש p 1 U) = U α ו U U [γ] 23

2.5 מרחב כיסוי אוניברסלי 2 חבורה יסודית.1 על: לכל c U נבחר U) h P γ1),c שקיים כי U קשירה מסילתית. אזי.p [γ h]) = h 1) = c [.2 חח"ע: נניח ש ]) h p [γ h]) = p γ וזה אם ורק אם.h 1) = h 1) =: c נקבל כי 1 h h היא כוויצה ב X. c?) נכונה גם עבור b ולכן לפי ההנחה תרגיל: למה ההנחה שתקיפה עבור P 1)γ U) לכן {}}{ h h 1) X {}}{ h h U h h γ h γ ולכן חח"ע. לכן 3. רציפה: הוכחנו. 4. הופכית רציפה: תרגיל. U [γ] = U וזה גורר כי [γ ] אזי U [γ] U לפי ההערה אם ] [γ p 1 U) = U [γ] = U [γ] ולכן כיסוי. נוכיח ש X פשוט קשר. יהי X) [γ] X,γ P a, ולכל s I נגדיר γ s t) = γ st) : I X אזי.γ ונקבל s) s γ מסילה בין [γ] לבין ] a [γ 0 ] = [1 המסילה הקבועה ב X ).P a מדוע s P a,γs) ) X) {1} = ] [1a?Π 1 X, מספיק להראות ש )) {1} = p Π 1 X, [1a ] Π 1 X, a) ) ])) [1a,γ p Π 1 X, אנו רוצים להוכיח ש γ הומוטופית לקבועה). תהא γ P 1a, X הרמה תהי של,γ אזי ] s. γ s) = [γ לפי מסקנה קודמת של הטענה γ היא מסילה סגורה, הווה אומר, = 0) γ [1 a ] =.γ 1 a ולכן קיבלנו כי γ 1) = [γ] ).1 יהי a) p : Y, b) X, כיסוי, a) f : X, ã X, כיסוי אוניברסלי. אזי ) X, ã מסקנה 68:! f f p Y, b) X, a).f = p כך ש f f ) כלומר קיים ויחיד b) X, ã Y, : ) ) ).2 אם a) pi : Xi, ã i X, שני כיסויים אוניברסליים אזי קיים איזומורפיזם f : X1, ã 1 X2, ã 2 יחיד כך ש.p 2 f = p 1 הוכחה: f קיים ויחיד לפי המשפט הקודם. ).1 X פשוט קשר ולכן Imp f Π 1 X, ã = {1} ולכן ) ).2 לפי מסקנה 1 קיים f : X1, ã 1 X2, ã 2 כנ"ל כך ש.p 2 f = p 1 באותו אופן קיים גם ) ) g : X2, ã 2 X1, ã 1 כך ש.p! g = p 2 כעת, לפי היחידה במסקנה הקודמת מקבלי כי.f g = Id וגם g f = Id 24

2 חבורה יסודית 2.5 מרחב כיסוי אוניברסלי פעולה דיסקרטית, פעולה חופשית הגדרה 69: תהי G חבורה הפועלת על מרחב טופולוגי X. נגיד שפעולה היא דיסקרטית וחופשית אם לכל.1 g G לכל g U) U = כך ש x U X קיימת סביבה x X למה 70: אם G פועלת על X דיסקרטית וחופשית אזי העתקת המנה q : X X G/ = Y היא כיסוי. הערה 71: העתקת המנה אמורה להיות מסומנת G\X או משהו בסגנון, בשל הפעולה השמאלית של החבורה. הוכחה: לכל x X נבחר x U X כך שלכל g G 1 מתקיים = U.g U) אזי p 1 p U)) = g G g U) {p U)} U קבוצות פתוחות של Y כי U)) p 1 p פתוחה וזה כיסוי. לכן ) טענה :72 יהי a) p : X, ã X, כיסוי אוניברסלי, אזי: 1. יש איזומורפיזם טבעי של חבורות Π 1 X, a) ) } = Aut X X := {f : X X p f = p G = Aut X פועלת על X דיסקרטית וחופשית. בנוסף, X) X = X/Aut X על ידי איזומורפיזם X).2 קנוני. ) F1 Aut X X p 1 a) F2 Π 1 X, a) הוכחה: 1. נסתכל בהעתקות של קבוצות: ϕ Aut X נעתיק ל ã ) ϕ. נטען שזו ההעתקה חח"ע ועל. X) כאשר ההעתקה הראשונה היא לכל γ Pã, b נעתיק ל [ γ ) p] וגם היא חח"ע ועל. X) ההעתקה השנייה תהיה לבחור a) b p 1 ונבחר ש b,ϕ ã) = כפי X) ϕ Aut X יחידה כך F 1 חח"ע ועל נובע מכך שלכל a) b p 1 קיימת שנובע ישירות מהמסקנה השנייה.,F 2 הייתה לנו העתקה a) Π 1 X, a) p 1 וזו ההעתקה ההופכית לה,) ולכן חח"ע ועל. נראה כי זה הומומורפיזם. הווה אומר ) 2.F γ 1 γ 2 ) = F γ 1 ) F γ יהי ) X), γ 2 Pã,ϕ2ã) אזי γ1 Pã,ϕ1ã) X ונקח ) ϕ 1 γ 2 ) P γ1ã),ϕ 1ϕ 2ã) X ) γ 1 ϕ 1 γ 2 ) Pã,ϕ1ϕ 2ã) X ולכן ולכן F ϕ 1 ϕ 2 ) = p [ γ 1 ϕ 1 γ 2 )]) = [p γ 1 )] [pϕ 1 γ 2 )] = [p γ 1 )] [p γ 2 )] = F ϕ 1 ) F ϕ 2 ) 25

2 חבורה יסודית 2.5 מרחב כיסוי אוניברסלי.2 יהי p : X X אזי לפי הגדרה לכל g G מתקיים כי p p g = לכן p משרה העתקה X/G X שהיא רציפה מהגדרת טופולוגיית המנה). בנוסף X/G X חח"ע על ידי b) p 1 מסלול אחד של G p פתוחה כי p פתוחה כי היא כיסוי. עבור כל b X כי b).aut X X) p 1 ) הערה :73 האיזומורפיזם בין a) Aut X X Π 1 X, תלוי בנקודה a).ã p 1 אם נבחר נקודה אחרת a) b p 1 אזי מתקיים Fã ϕ) = γ 1 F b ϕ) γ. γ = p ו γ ) γ Pã, b X) כאשר מסקנה 74 תורת גלואה עבור כיסויים): יהי X מרחב טופולוגי קשיר מסילתית, קשיר מסילתית מקומית ופשוט קשר מקומי למחצה. אז יש התאמה חח"ע ועל בהינתן a X כלשהו: {p:y,b) X,a) p is a connected cover}/ A {H Π 1 X, a)} עם ההתאמה p p Π 1 Y, b) Π 1 X, a)) הוכחה: כיוון אחד כבר בנינו העתקה. בכיוון השני, נבנה את ) ההעתקה ההפוכה ל A. נבחר כיסוי אוניברסלי, שקיים כי X מקיים את התנאים במשפט הקיום a) p : X, ã X, ותהא a) H Π 1 X, תת חבורה, X) H Aut X ונגדיר Y := X/H עם b Y תמונה של.ã נזכיר אזי מחלק 1 של הטענה הקודמת, X דיסקרטית חופשית לכן גם H תפעל כך, ולכן העתקת המנה X Y הוא כיסוי, X) Aut X פועלת על ש מהלמה הקודמת. q X Y = X/H p! X = X/G העתקת המנה זה כיסוי. אזי p כיסוי... בשלב זה פרופ' ורשבסקי לא היה בטוח באילו דרישות הכרחיות, והציב את השאלה הבאה: X f g מרחבים קשירים. אם g f כיסוי ו?= f אזי g כיסוי. מהו "?". מושאר כתרגיל. בעיה :75 יהי Y Z Ũ)) הוכחה: אם U X כך ש p 1 U) = U α אזי. p 1 = g G [g] g מדוע אלה העתקות הפוכות? יהי a) p : Y, b) X, כיסוי קשיר a).h p,i := p Π 1 Y, b)) Π 1 X, Ỹ, b) אנחנו רוצים להוכיח ש X,ã)/H,Y) b = וזה נובע ישירות מחלק 2 של הטענה הקודמת. יהא b,y) כיסוי אוניברסלי. אזי ההרכבה Ỹ, b) Y, b) X, a) גם כיסוי אוניברסלי כי Ỹ הם איזומורפיים, ולכן פשוט קשר, והרכבה של כיסויים היא כיסוי). הוכחנו שכל שני כיסויים אוניברסליים Π 1 Y, b) = p Π 1 Y, b)) =: H 26

2.6 תיאור קטגורי 2 חבורה יסודית לכן לפי החלק השני של הטענה הקודמת,,Y). b = Ỹ), b)/h להפך, אם a) H Π 1 X, תת חבורה, ו X/H X p Y := אזי b)).h = p Π 1 Y, יהי X) γ P a עם.γ Pã, X) a).[γ] Π 1 X, רוצים להוכיח כי [γ] H אם ורק אם b)).[γ] p Π 1 Y, נבחר הרמה נזכיר ש [γ] H γ 1) = h ã) ) Π 1 X, a) Aut X X h H Aut X מסוים. תהא העתקה X) עבור [γ] {ϕ ϕ ã) = γ 1)} וגם b)) [γ] P Π 1 Y, אם ורק אם הרמה X) γ ϕ p b, של γ היא סגורה ז"א אומרת γ ϕ 1) = b ומכאן ã) q γ 1)) = q ã) γ 1) = h עבור. h H לכן יש התאמה {p:y,b) X,a) p is a connected cover}/ {H Π 1 X, a)} מסקנה 76: יש התאמה חח"ע ועל בין / X covers} {p:y לבין {H Π1X,a)} /conj. הוכחה: תרגיל. 2.6 תיאור קטגורי פונקטור הגדרה :77 יהיו A, B קטגוריות. פונקטור F : A B הוא כלל שלכל A obja מתאים.F A) objb F A1,A 2 כך שלכל A מתקיים כי לכל A 1, A 2 obja מתאים העתקה ) 2 : Hom A A 1, A 2 ) Hom B B 1, B.F g f) = F g) F ו f ) F Id A ) = Id F A) מורפיזם של הגדרה :78 יהיו 2 F, G : A B פונקטורים. מורפיזם של פונקטורים או העתקה טבעית ϕ : F G פונקטורים היא אוסף של מורפיזמים A)) ϕ A) Hom B F A), G "פונקטוריאליים ב A ". הווה אומר, לכל f ) 2 Hom A A 1, A הדיאגרמה הבאה מתחלפת. ϕa 1) F A 1 ) G A 1 ) F f) ϕa 2) Gf) F A 2 ) G A 2 ) איזומורפיזם הגדרה :79 G ϕ : F נקרא איזומורפיזם של פונקטורים אם A) ϕ איזומורפיזם ב B לכל.A obja של פונקטורים הגדרה שקולה היא שקיים ϕ : G F אם ϕ ϕ = Id ו Id.ϕ ϕ = שקילות של הגדרה 80: פונקטור F : A B נקרא שקילות של קטגוריות אם קיים פונקטור G : B A כך ש קטגוריות.G F = Id A ו F G = = Id B A = Vec f k המרחבים הוקטוריים הסוף ממדיים מעל.k תהא B קטגוריה דוגמה 81: יהא k שדה ותהא שהאובייקטים שלה הם המספרים הטבעיים ולכל,m n N נגדיר Hom B n, m) = Mat m n k) = Hom k k n, k m ) אזי יש פונקטור טבעי F : B A המוגדר על ידי F. n) = k n זוהי שקילות קטגורית. 27

2.6 תיאור קטגורי 2 חבורה יסודית הגדרה 82: תהא G חבורה. תהי G Set קטגוריה של קבוצות עם פעולה של G מימין. X מרחב טופולוגי, יהי X) cov קטגוריה של כיסויים של X. לגבי המורפיזמים "ברור". דוגמה :83 אם p : Y X מרחב כיסוי ו X a אזי על a) p 1 יש פעולה טבעית של a),π 1 X, על Pã, γ אזי X) ידי הרמת המסילה ולקיחת הסוף. אכן, אם a) γ Pa X) ã, p 1 נרים ונקבל 1) γ a [γ] := היא פעולה ימנית. זה מגדיר פונקטור cov X) Π 1 X, a) Set תרגיל). משפט 84: יהי X מרחב טופולוגי קשיר מסילתית, קשיר מסילתית מקומית ופשוט קשר מקומי למחצה, אזי הפונקטור מהדוגמה הקודמת מקטגוריית הכיסויים לקטגוריית הפעולות של החבורה היסודית על קבוצות מגדיר שקילות של קטגוריות. הוכחה: נבנה פונקטור בכיוון השני. נבחר כיסוי אוניברסלי של X שקיים ממשפט הקיום. לכל a s Π 1,X) ו X.[γ] Π 1 X, a) b או s, b) s [γ] 1, [γ] b) נגדיר X/ Ys := S כאשר לכל s S יתקיים באופן שקול b).s [γ], b) s, [γ] 28

3 הומולוגיה... n+1 C n n Cn 1 C 0 0 3 הומולוגיה קומפלקס שרשראות הגדרה 85: קומפלקס שרשראות הוא סדרה כך שכל C n חבורה אבלית, כל i הומומורפיזם ו 0 = n+1 n n וזה שקול ללהגיד ש.Im n+1 ker n בנוסף, לכל C n בסדרה נגדיר n 1.H n C) = ker n /Im החבורה C) H n תיקרא הומולוגיה של קומפלקס.C. המטרה שלנו היא לכל מרחב טופולוגי X לבנות קומפלקס שרשראות X) C. ולהגדיר X)).H n X) = H n C. הומולוגיה סימפלקס n ממדי 3.1 הומולוגיה סינגולרית הגדרה 86: סימפלקס n ממדי קמור של + 1 n נקודות ב 1+n R שאינן נמצאות על אותו על מישור. דוגמה 87: הסימפלקס הסטנדרטי: { n = [e 0,..., e n ] = t 0,..., t n ) R n+1 } t i = 1 t i 0 הערה :88 לכל סימפלקס ] n [v 0,..., v יש הומיאומורפיזם קנוני ] n. n [v 0,..., v n = n n ) = n [v 0..., v i 1, 0, v i+1,..., v n ] i=0 יהי n ) n הפנים של n אזי זה הסימפלקס ה 1 n ממדי כפאה של. n הגדרה :89 לכל 0 n נגדיר X) X n = Map cont n, קבוצת הסימפלקסים הסינגולריים ה n ממדים. נגדיר C n X) = σ X n חבורה אבלית חופשית הנפרשת על ידי.X n נגדיר X) n : C n X) C n 1 על Zσ ידי הנוסחה הבאה: n n σ) = 1) i σ [v0,..., ˆv i,...,v n] i=0 לכל,σ X n הווה אומר, n.σ : n X נקראת העתקת השפה. באופן כללי נגדיר ) n nσ σ := n σ n σ) 1 σ) = σ v1 σ v0 1 σ) = σ [v1,v 2] σ [v0,v 2] + σ [v0,v 1] כאשר n σ מספר שלם. תרגיל 90: זה אכן הומומורפיזם של חבורות. דוגמה :91 אם σ : [v 0, v 1 ] X אזי אם σ : [v0, v1, v2] X אזי למה :92 }., X) {C. הוא קומפלקס שרשראות, ז"א = 0 n+1. n 29

3 הומולוגיה 3.1 הומולוגיה סינגולרית הוכחה: לכל n+1 σ X נוכיח כי = 0 σ) n n+1 ומליניאריות זה מספיק. לפי הגדרה נקבל: n+1 ) n n+1 σ) = n 1) i σ [v0,..., ˆv i,...,v n] = = = i=0 i=0 n+1 1) i ) n σ [v0,..., ˆv i,...,v n] n+1 n+1 1) i 1) j σ [v0,..., ˆv j,..., ˆv i,...v n] + 1) i 1) j 1 σ [v0,..., ˆv i,..., ˆv j,...v n] i=0 j<i 0 i j n+1 i=0 j>i 1) i+j 1 + 1) i+j) σ [v0,..., ˆv i,..., ˆv j,...,v n] הומולוגיה הגדרה :93 נגדיר X)) H n X) := H n C. ההומולוגיה ה n ית הסינגולרית של.X סינגולרית טענה.1 :94 אם X = X n איחוד זר) אזי ) α.h n X) = H n X.2 אם X לא ריק וקשיר מסילתית אזי.H 0 X) = Z.3 אם = X נקודה) אזי לכל > 0 i מתקיים = 0 X).H i הגדרה 95: אם A α חבורות אבליות אז A =: A α הוא קו גבול של הדיאגרמה הדיסקרטית, זאת אומרת, איברי A הם סדרות של a α A α ששונים מאפס רק במספר סופי של פעמים והפעולה היא קואורדינטה קואורדינטה. C n X) = ולכן X n = X α ) n 1. נשים לב שכל n מרחב טופולוגי קשיר מסילתית ולכן לכל n. C i X α ) וכל אחד מהם הוא למעשה n : C n X) C n 1 גם נשים לב ש X ). C n X α ) ניזכר באיך שהגדרנו את העתקת השפה ונקבל ש n CnX α) = n X m ) = n X) = n X α ) C. X), ) = C. X α ), ) הוכחה: ולכן זהו קומפלקס ולכן ) H n X) = H n C. X), ) = H n C, Xα ), ) = H n C. X α ), ) = H n X α ).2 לכל X נגדיר העתקה.ε : C 0 X) Z הערה :96 xx.c 0 X) = x X n ) ε nx x = n x Z על ידי אזי H 0 X) = co ker 1 = C0X) /Im 1 30

3 הומולוגיה 3.1 הומולוגיה סינגולרית ההעתקה ε היא על כי יש משהו המעתק ל 1. נראה ש ε Im 1 = ker ומכאן יינבע מהנוסחה ש σ : [v 0, v 1 ] X וזה כי לכל ε 1 = בכיוון הראשון ) זה שקול ללכתוב ש 0.H 0 X) = Z ε 1 σ) = ε σ v1 σ v0 ) = 1 1 = 0 X.x 0 X ונבחר x i = σ i 0 ) X נגדיר.C 0 והוא גם ב X ) m בכיוון השני, i=1 n ix i ker ε קשיר מסילתית ולכן לכל i קיימת מסילה τ i : [v 0, v 1 ] X העתקה שמתחילה ב x 0 ומסתיימת ב.x i אזי τ i v 1 ) = x i τ i v 0 ) = x0 ni σ i = i ni τ i ) אזי וסיימנו. הערה, זו אחת משתי הוכחות שפרופ' ורשבסקי נתן, השנייה מתחילה אותו הדבר ונגמרת כך: 1 ni σ i ) = n i 1 σ i ) = n i x i x 0 ) = ) ) ) ni x i ni x 0 = ni x i כאשר השוויון האחרון נובע מההנחה כי n i x i ker ε..3 אם = X אזי } n X n = {σ לכל 0 n כי יש רק העתקה יחידה מ n לנקודה. לכן C n X) = Zσ = Z C. X) : Zσ n Zσ n 1... לכל n. מכאן: n σ n ) = = = n i) i σ n [] i=0 n ) i) i σ n 1 i=0 { σ n 1 n is even 0 n is odd וגם ולכן ההעתקה i היא חצי מהפעמים עם תמונה {0} ולכן: { Zσ n n is odd ker n = Im n+1 = 0 n is even ולכן = 0 n אם n אי זוגי ו n איזומורפיזם אם n זוגי. הומולוגיה מצומצמת הגדרה 97: לכל מרחב טופולוגי X נתבונן בקומפלקס מורחב C n X) C n 1 X) C 0 X) ε Z 0 31

3 הומולוגיה 3.2 תכונות פונקטוריאליות H n X) =: H n להיות ההומולוגיה המצומצמת. הכול נשאר אותו הדבר פרט למקום ה 0 : Ci X)) נגדיר n>0 Hn X) = H n X) H 0 X) = ker ε /Im 1 תרגיל :98 Z H 0 X) = H 0 X) ובפרט, לכל n מתקיים = 0 ) Hn כאשר פירושו נקודה). 3.2 תכונות פונקטוריאליות מורפיזם של הגדרה :99 יהי B A, קומפלקסים. מורפיזם B F : A זו דיאגרמה מתחלפת: קומפלקסים n+1... A n+1 A n n 1 n A n 1... f n+1 f n f n 1 n+1... B n+1 B n n 1 n B n 1... ומתקיים כי fn 1 n = n fn לכל.n N הומוטופיה הגדרה :100 B f, g : A מורפיזמים נקראות הומוטופיות אם קיים אוסף הומומורפיזמים של חבורות של P : A B +1 קומפלקסים P = {P n : A n B n+1 } n P + P = f g כך שמתקיים: וגם n+1... A n+1 A n A n 1...... B n+1 B n B n 1... n n 1 g g n+1 f n+1 g n 1 n f n f n 1 P n P n 1 n+1 n n 1.1 כל מורפיזם B f : A משרה הומומורפיזם למה 101: H n f ) : H n A ) H n B ).2 אם g f אזי לכל n N מתקיים ) g.h n f ) = H n הוכחה:.1 אם B f : A אזי f מקיימים f n ker n A)) ker n B) f n Im n+1 A)) Im n+1 B) מההגדרה הקודמת x). n f n x) = f n 1 n לכן אם x ker n אזי אגף ימין שווה לאפס ולכן אגף שמאל שווה לאפס. לכן f n משרה העתקה ) B H n A ) H n שכן מהגדרה זו בעצם העתקה.H n f ) [x]) = [f n x)] אזי x ker n A) עבור. ker na) /Im n+1a) ker nb) /Im n+1b) 32

3 הומולוגיה 3.2 תכונות פונקטוריאליות.2 נניח ש g f הומוטופיה ויהי P i הומוטופיה, אזי לכל x ker n מתקיים מהנוסחה בחלק הקודם של ההוכחה: f n x) g n x) = P n x) + P n x) = P n x) Im H n f ) [x]) = [f n x)] = [g n x)] = H n g ) [x]) ולכן לכל x ker n נקבל כי טענה :102 Ab H n : Top הוא פונקטור. הווה אומר, לכל f : X Y מורפיזם בין מרחבים טופולוגיים משרה הומומורפיזם ) Y H n f) : H n X) H n הומומורפיזם של הומולוגיות כך ש: H n Id) = Id H n f g) = H n f) H n g) הוכחה: כל f : X Y מגדירה העתקה f n : X n Y n כאשר X).X n = Map n, ולכן f n σ) = f σ העתקה מהסימפלקס ל.Y לכן f משרה הומומורפיזם של חבורות אבליות ) Y f n : C n X) C n על ידי ) f n nσ σ := n σ f σ) f, = f n ) n זה מורפיזם של קומפלקסים, הווה אומר f f = הווה ההעתקה ) Y : C X) C אומר לכל X) σ C מתקיים σ)) f n n σ)) = n f n ומהנוסחה של ההעתקה מתקיים: ) f n 1 n σ) = f n 1 1) i σ [v0,..., ˆv i,...,v n] = 1) i ) f n 1 σ [v0,..., ˆv i,...,v n] = 1) i f n 1 σ) [v0,..., ˆv i,...,v n] = 1) i f n σ) [v0,..., ˆv i,...,v n] = n f n σ)) כעת, ממה שהוכחנו ומהלמה הקודמת נובע ש f משרה H n f) := H n f. ) : H n C. X)) H n C. Y )) הומומורפיזם של הומולוגיות. משפט :103 אם f g : X Y אזי ) Y f g : C X) C ולכן X) H n f) = H n g) : H n.h n Y ) הוכחה: נתבונן ב I n עבור = 1 n זה ריבוע דו ממדי, עבור = 2 n זו מעיין מנסרה משולשת תלת ממדית ועבור > 2 n מושאר לדמיון הקורא). המוגדר על ידי { n I = t 0,..., t n ) ; s 0 s 1 0 t i } t i = 1 33

3 הומולוגיה 3.2 תכונות פונקטוריאליות נסמן n {0} = [v 0,..., v n ] n {1} = [w 0,..., w n ] אלו הם ה "סימפלקס העליון" וה "סימפלקס התחתון". נטען שבעזרתם נוכל לכתוב: n I = n [v 0,..., v i, w i,..., w n ] i=0 כאשר מה שבסוגריים הוא סימפלקס + 1 n ממדי. מדוע הטענה נכונה? נכתוב [v 0,..., v i, w i,..., w n ] = {t 0,..., t n ) ; s n I t i + + t n s t i 1 + t i + + t n } למה? מהגדרת הקמור, אבל מושאר כתרגיל). נמשיך בהוכחה. תהי F : X I Y הומוטופיגה כך ש f F 0 = ו g F 1 = ונגדיר ) Y p n : C n X) C n+1 על ידי הנוסחה הבאה: לכל σ : n X נגדיר p n σ) = n i=0 1) i ) F σ Id) [v0,...,v i,w i,...,w n] כאשר σ Id : n I X I ולכן,F σ Id) : n I Y לכן האיבר באגף ימין הוא איבר ב n+1.y נראה ש p + p = f n g n ומכאן ינבע ש g.f נחשב: σ = n 1) j σ [v0,..., ˆv j,...v n] j=0 p σ) = = n j=0 j=0 1) i p ) σ [v0,..., ˆv j,...,v n] n 1) j 1) i F σ Id) [v0,...,v i,w i,...,ŵ j,...,w n]+ i<j n 1) j 1) i 1 F σ Id) [v0,..., ˆv j,...,v i,w i,...,w n] i>j j=0 p + p) σ) = p σ) = 1) i 1) j F σ Id) [v0,..., ˆv j,...v i,w i,...,w n] + i j i 1) i 1) j+1 F σ Id) v0,...,v i,w i,...,ŵ j,...,w n) i j i כעת נסכום את שני הביטויים: F σ Id) [v0,...,v i 1,w i,...,w n] F σ Id) [v0,...,v i,w i+1,...,w n]) i Telescopic sum = F σ Id) [w0,...,w n] F σ Id) [v0,...,v n] = F σ {0}) F σ {1}) = F 1 σ) F 0 σ) = g f 34

3 הומולוגיה 3.3 חישוב הומולוגיה מסקנה :104 אם f : X Y שקילות הומוטופית, אזי ) Y H n f) : H n X) H n איזומורפיזם לכל.n N הוכחה: לפי הנחה קיים g : Y X כך ש Id f g ו Id,g f ולכן מהמשפט כהומוטופיות הן משרות אותה ההעתקה על הומולוגיה: H n f) H n g) = H n f g) Theorem = H n Id) = Id ובצורה דומה גם H n g) H n f) = Id ולכן נקבל כי f) H n איזומורפיזם עם הופכית g).h n 3.3 חישוב הומולוגיה הרעיון הוא כמו שעשינו בון קמפן שם ידענו לחשב על מרחבים מסויימים ועל ידי הידע שאיך מרחבים מתקבלים ממרחבים פשוטים יותר ידענו לחשב אותם, כך נלמד פה הומולוגיה של מרחבים פשוטים. בעיה :105 בהינתן A X מה הקשר בין X) H A),H ו A /?H X סדרה מדויקת דוגמה :106 נקח את D n ונסתכל על, D n אזי. Dn / D n = S n הומולוגיה של D n אנחנו יודעים, שכן הוא כוויץ ולכן טריוויאלי. מכאן, כדי לחשב את ההומולוגיה של S n מספיק לחשב את ההומולוגיה של 1 n S, שכן 1 n D. n = S באינדוקציה יהיה לנו מספיק לחשב רק את ההומולוגיה של S 0 שזה שתי נקודות. הגדרה 107: סדרה מדויקת היא סדרה f n f n 1 f n 2... A n An 1 An 2... ומתקיים. n Imf 1+n = ker f n נאמר שהסדרה מדויקת ב n אם ורק אם התנאי מתקיים רק עבור n מסוים. הערה :108 ההכלה Imf n+1 ker f n היא אם ורק אם A קומפלקס. ההכלה n+1 ker f n Imf היא אם ורק אם = 0 ) A. n H n.1 B A f 0 מדויקת אם ורק אם f חח"ע. דוגמה 109: 0.2 B A f מדויקת אם ורק אם f על. 0.3 B A f 0 מדויקת אם רק אם f איזומורפיזם. סדרה קצרה.4 סדרה קצרה מדויקת: 0 C A f B g 0 מדויקת אם ורק אם f חח"ע, g על וגם g משרה מדויקת איזומורפיזם של. B /A C משפט :110 יהיו C A B, קומפלקסי ו 0. C A. B. 0 סדרה קצרה מדויקת של קומפלקסים משרה סדרה ארוכה מדויקת של הומולוגיות: H n+1 C) H n A) H n B) H n C) H n 1 A)... זוג טוב הוכחה: הוכח בתרגול. ניזכר במושג "זוג טוב" שהוגדר בתרגול הגדרה 111: בהינתן X מרחב טופולוגי, A,X) כאשר A X הוא זוג טוב אם A סגורה ויש סביבה A U X ש A הוא עיוונסג שלה. משפט 112: אם X מרחב CW ו X A תת מרחב סגור, אזי A,X) זוג טוב. דוגמה :113 ) n D n, D זוג טוב. ההוכחה היא על ידי {0} \ n.u = D 35

3 הומולוגיה 3.3 חישוב הומולוגיה... משפט 114: לכל זוג טוב A,X) יש סדרה קצרה מדויקת "טבעית" δ H n A) i H n X) π H n X /A) δ H n 1 A) H n S m ) = { 0 n m Z n = m כאשר i : A X ו A /.π : X X מסקנה 115: H n S 0 ) = הוכחה: של המסקנה): נתחיל מהפשוט ביותר: { H n S 0 ) = H n ) H n ) = 0 n 0 H 0 S 0 ) = ker ε : H 0 X) Z) = Z n = 0 היות שמדובר באיחוד של שתי נקודות זרות. { H 0 S m 0 0 m ) = Z 0 = m מקשירות. מסקנה 116: לפי הדוגמה, 1 n D n, S זוג טוב. כאשר > 0 n לפי המשפט קיימת סדרה ארוכה מדויקת: H n D n ) H n Dn /S n 1 ) H n 1 S n 1 ) H n 1 D n ) H 0 S n 1 ) H 0 D n ) H 0 S n ) 0 H אנחנו יודעים כי n D ולכן {0} = ) n. H n D n ) = H מכאן, ההעתקה ) n 1 m S n ) = H m Dn /S 1 m H היא איזומורפיזם, ממדויקות. בפרט S n ) H n S n ) = H n 1 S n 1 ) =... = H0 S 0 ) = Z H n+k S n ) = H n+k 1 S n 1 ) =... = Hk S 0 ) = {0} H m S m+k ) = H m 1 S m+k 1 ) =... = H0 S k ) = 0 וגם, לכל > 0 k וגם, לכל > 0 k לכל n m מקבלים S n S m ו n.s. H ) n S k = {0} אבל Hn S n ) = Z. H n ) = {0} אבל H n S n ) = Z מסקנה :117 לכל n m מתקיים.R n R m הוכחה: אם R n = R m אזי \ m R n \ = R וגם S n 1 R n \ R m \ S m 1 ולכן n = m מהמסקנה הקודמת. 36

3 הומולוגיה 3.4 הומולוגיה יחסית 3.4 הומולוגיה יחסית יהי X מרחב טופולוגי, A X תת מרחב לא בהכרח סגור!), אזי X מגדיר לנו קומפלקס X) C ו A מגדיר לנו קומפלקס A).C אזי X),C n A) C n שכן C n מוגדר על ידי העתקות מהסימפלקס, וכל העתקה רציפה מהסימפלקס ל A היא גם העתקה רציפה מהסימפלקס ל X ולכן תת מרחב. בנוסף, X) n X) : C n X) C n 1 מקיים: n X) CnA) = n A) מדוע? שכן n σ) = 1) i σ... אבל אם A) σ C n אזי σ. : n A X ולכן אם יש לנו העתקה כזו לתוך A, אזי הצמצום שלה הוא לתוך A. הגדרה 118: נגדיר na) C, n,x) A = CnX) C/ זהו צירוף ליניארי של העתקות מהסימפלקסים שתמונתן לא ב A. אזי X) n : C n X) C n 1 משרה הומומורפיזם A) n : C n X, A) C n 1 X, על ידי n [x]) := [ n x)] Cn 1X) /C n 1A) לכל X).x C n היות ש 0 = 2 על X) C n מקבלים = 0 2 על A).C n X, מסקנה 119: ומולוגיה ת ה יחסי C X, A) = { C n X, A) C 0 X, A) 0} H n X, A) := H n C X, A)) קומפלקס. נגדיר את ההומולוגיה היחסית להיות 1. לכל זוג A,X) יש סדרות ארוכה מדויקת H n A) H n X) H n X, A) H n 1 A)... H n A) H n X) H n X, A) H n 1 A) H n 1 X)... משפט 120: וגם.2 לכל B A X יש סדרה ארוכה מדויקת H n A, B) H n X, B) H n X, A) H n 1 A, B)... הוכחה: 1. לפי הבנייה יש לנו סדרה קצרה מדויקת של קומפלקסים 0 C A) C X) C X, A) 0 לכן לפי המשפט מהתרגול יש סדרה ארוכה מדויקת H n C A)) H n C X)) H n C X, A)) H n 1 C A))... וזו הסדרה הראשונה של 1. גם הסדרה 0 C A) C X) C A, B) 0 מדויקת. 37

3 הומולוגיה 3.4 הומולוגיה יחסית 2. נשתמש בסדרה המדויקת 0 C A, B) C X, B) C X, A) 0 אבל זו בעצם הסדרה 0 C A) /C B) C X) /C B) C X) /C A) 0 והסדרה הזו מדויקת ממשפט האיזומורפיזם השלישי. נכתוב נוסחה ל A ).δ : H n X, A) H n 1 יהי /Im... α H n X, A) = ker nx,a) ולכן נבחר נציג ב X ) α C n של.α לפי הנחה A). n α) C n 1 אזי A) n α) ker n 1 כי = 0 n n 1 ונגדיר δ α) := [ n α)] H n 1 A) תרגיל 121: מדוע זה לא תלוי בבחירה של α? מדוע זה מתאים להגדרה של δ מהמשפט בתרגול? פרופ' ורשבסקי: "זה תרגיל לא כל כך חשוב..." מסקנה :122 לכל n N מתקיים כי ) X, Hn X) = H n והאיזומורפיזם הוא קנוני. הוכחה: אם = A אזי לכל n N מתקיים {0} = A). H n לכן מהסדרה המדויקת השנייה ב 1 של המשפט, מקבלים ש A. H n X) H n X, H m D n, D n ) = { Z n = m 0 n m מסקנה 123: הוכחה: n D ולכן לכל m N מתקיים {0} = ) n. H m D מכאן: H m D n, D n ) = H m 1 S n 1 ) { Z n = m = 0 n m טענה.1 :124 אם B) f : X, A) Y, העתקה רציפה מ X ל Y המעתיקה את A ל B ) אזי f משרה הומומורפיזם של חבורות B).f : H n X, A) H n Y,.2 אם B) f, g : X, A) Y, וגם f g כאשר ההומוטופיה מעבירה את A ל B ). אזי g.f = הוכחה:.1 f משרה העתקה ) Y f : C X) C כך ש B ) f C A)) C ומתקיים: n σ X f σ) Y ולכן f משרה הומומורפיזם B) C X, A) C Y, ולכן B)).H n C X, A)) H n C Y,.2 אם F הומוטופיה בין f לבין g אזי F משרה הומוטופיה ) Y P. : C n X) C n+1 בין : g f, ) Y. P + P = f g,c. X) C. לפי הבנייה של P היא מקיימת P C A)) C +1 B) לכו משרה העתקה B) P C X, A)) C +1 Y, שהיא הומוטופיה בין B).f, g : C. X, A) Y, לכן g f ומתקיים ) g.h n f ) = H n f 38

3 הומולוגיה 3.5 משפט הכריתה Excision) 3.5 משפט הכריתה Excision) משפט :Excision) 125 בהינתן מרחב טופולוגי X ו X Z A כך ש A.Z אזי השיכון X\Z, A\Z) X, A) משרה איזומורפיזם H n X\Z, A\Z) H n X, A) הערה 126: ברוב המקרים נעבוד עם המקרה בו Z סגורה ו A פתוחה. משפט :Excision) 127 אם A, B X מקיימים A B = X אזי השיכון A) B, A B) X, משרה איזומורפיזם H n B, A B) H n X, A) הערה :128 שני המשפטים שקולים. נקח A = B ונגדיר.B = X\Z ולכן Z = X\B ומכאן B = X\Z וגם X\B Z A A B = X.Z = ולכן.A B = A\Z פרופ' ורשבסקי: "אני כותב X Z ולא את הסימון הרגיל, כי הוא מתלכד עם הסימון של המנה. מי שהמציא את הסימון הזה... זה הסימון הכי גרוע במתמטיקה. אני משתמש ב ". מסקנה :129 אם A) X, זוג טוב אזי ההטלה /A) q : X, A) X /A, A משרה איזומורפיזם q : H n X, A) H n X /A, A /A) = H n X /A, ) 1) = H n X /A) כאשר 1) נובע מהמשפט הקודם שהוכחנו בנוגע להומולוגיה של מרחב עם נקודה. הוכחה: יהי A U X פתוחה כך ש U A עיוונסג. נתבונן בדיאגרמה הבאה: /A) X /A\ A /A, U /A\ A X, A) X, U) X\A, U\A) X /A, A /A) X /A, U /A) X /A\ A /A, U /A\ A /A) זה משרה דיאגרמה מתחלפת של חבורות: H n X, A) 1 H n X, U) H n X\A, U\A) q 2 4 H n X /A, A /A) H n X /A, U /A) H n X /A\ A /A, U /A\ A /A) 3 נראה ש 1 ) 4 ) איזומורפיזם ולכן q. לפי המשפט שעומד מעט נוכיח, העתקות 2)+3) איזומורפיזמים. אם A U עיוונסג אזי A) A, A) U, ונתונים A) i : A, A) U, וגם A).r : U, A) A, מזה נובע ש Id.i r לכן A) H n U, A) = H n A, אבל H n A, A) = H n C. A, A)) = 0 כי = 0 A) C., כעת, לפי המשפט האחרון שהכוחנו, קיימת סדרה ארוכה מדוייקת: 0 = H n U, A) H n X, A) 1) H n X, U) H n 1 U, A) = 0 ולכן 1) איזומורפיזם. A U עיוונסג, ולכן A A/ U A/ גם כזה. כעת, כמו בהוכחה של 1) מקבלים את 4). 39

3 הומולוגיה 3.5 משפט הכריתה Excision) מסקנה :130 יהי X קומפלקס A, B X,CW ו A תת קומפלקסים סגורים) כך ש B X = A אזי H n B, B A) H n X, A) הוכחה: אם = B,A ולכן,X = A B אזי הכול טריוויאלי. B) C X) = C A) C ולכן B) C X, A) = C ולכן H n B) = H n C B)) = H n C X, A)) = H n X, A) H n X, A) H n X /A) = H n B /B A) = H n B, B A) אם B A אזי זאת שכן X/A = A B) /A = B /B A השתמשנו בכך שזה קומפלקס CW ולכן מדובר בזוג טוב. 0 A B f C D 0 הערה 131: הסדרה מדוייקת, אם f איזורמופיזם, אז = 0 D,A. אם B = C איזומורפים אז לאו דווקא. מסקנה :132 אם ) i X i, a זוגות טובים כאשר } i {a נקודות), אזי H n Xi, a i )) Hn X i ) Xi, a i ) = Xi) / a i) הוכחה: ניזכר שסכום טריז הוא היות שמדובר בזוג טוב, אזי גם ) i X ) i, a זוג טוב. לכן ) H n Xi, a i ) = H n Xi / a i) = H n X i, a i ) = H n X i, a i ) = H n X i ) הומולוגיה מקומית הגדרה 133: יהא X מרחב טופולוגי, x X נקודה סגורה). ההומולוגיה המקומית של המרחב והנקודה הוא.H n X, X\ {x}) הערה 134: אם x U X סביבה פתוחה, אזי השיכון U X משרה איזומורפיזם של חבורות H n U, u\ {x}) H n X, x\ {x}) הוכחה: זה ישירות מהמשפט הקודם. הערה :135 אם f : X Y הומיאומורפיזם, אזי לכל x X מתקיים H n X, X\ {x}) H n Y, Y \ {f x)}) 40

3 הומולוגיה 3.5 משפט הכריתה Excision) H n R m, R m \ {x}) = { Z n = m 0 n m דוגמה 136: הוכחה: ולכן m 1) R m, R m \ {x}) R m, S H n R m, R m \ {x}) = H n R m, S m 1) ומתקיים 0 = H n R m ) H n R m, R m \ {x}) H n 1 R m \ {x}) = H n 1 S m 1 ) = H n 1 R m \ {x}) { Z m n 1 0 m = n 1 H n 1 R m ) = 0 ומתקיים מסקנה :137 אם,V R n,u R m פתוחות כך ש U V = אזי.m = n הוכחה: אם f : V U איזומורפיזם, אזי לכל x V מתקיים כי {x}) H n V, V \ ו { x ) H n U, U\ {f איזומורפיות. כעת מתקיים: { Z = H n R n, R n \ {x}) = H n U, U\ {f x)}) = H n V, V \ {x}) Z n = m = 0 n m 0 C. A) C. X) C. X, A) 0 טבעיות: 1. לכל A,X) יש סדרה.2 אם B) f : X, A) Y, אזי זה משרה דיאגרה מתחלפת 0 C. A) C. X) C. X, A) 0 0 C. B) C. Y ) C. Y, B) 0 נותנת דיאגרמה מתחלפת נוספת:... H n A) H n X) H n X, A) H n 1 A) H n B) H n Y ) H n Y, B) H n B) וזה בשל הפונקטוריאליות של ההעתקות. 41

3 הומולוגיה 3.5 משפט הכריתה Excision) כעת נדבר על המשפט שראינו את המסקנות הרבות הנובעות ממנו. מה אנחנו רוצים להראות? פרופ' ורשבסקי: "זה משפט מאוד ארוך, אבל... במתמטיקה יש הוכחות ארוכות..." U = {U i } i I אוסף של קבוצות כך ש Ui.X = נגדיר הגדרה 138: X מרחב טופולוגי, Cn U X) = C n U i ) C n X) i I קרי, התת חבורה אבלית הנוצרת על ידי היוצרים C n U i ) = Zσ Zσ = C n X) σ U i) n σ X n אזי X) : C n X) C n 1 ומקיימת ) i C n U i )) C n 1 U ולכן X) C U n X) ) C U n 1. הווה אומר, X) C U X) C תת קומפלקס. נגדיר H U n X) := H n C U X) ) ו X ) i : C U X) C משרה הומומורפיזם של חבורות X).H U n X) H n U = {U i } i I כך ש X = U i ויהי X) i : C U X) C שיכון, אזי i הוא "עיוונסג" טענה 139: תהא בהקשר הזה, ופירושו) קיים מורפיזם X) ρ : C X) C U והומוטופיה X) D : C X) C +1 כך ש Id ρ i = וגם.Id i ρ = D + D יתר על כן, לכל i I יתקיים ) i.d C U i )) C +1 U C U n X) = C n A + B) := C n A) + C n B) C n X) דוגמה :140 אם B} A B = X,U = {A, אזי הוכחה: נוכיח את הניסוח השני של המשפט. מספיק לבנות הומומורפיזם B) ρ : C X, A) C B, A כך שמתקיים ρ i Id i ρ = Id ולכן H n i ) Hn ρ) = H n Id) = Id H n איזומורפיזם. i וגם בכיוון השני, ולכן ) כעת, לפי הטענה, קיים B) ρ : C X) C A + והעתקה X) D : C X) C +1 כך ש Id ρ i = ו D i ρ = D +.1 אזי, A),ρ C A)) C כי ρ על תמונת i היא זהות, והיות ש A ) C בתמונת i. לכן ρ משרה הומומורפיזם של קומפלקסים C X, A) = C X) /C A) C A+B) /C A) = C A)+C B) /C A) = C B) /C A) C B) = C B) /C A B) = C B, A B) גם X) D : C X) C משרה העתקה A).D : C X, A) C X, מהתנאי i ρ = D + D 1 נובע כי ρ i Id וגם D + D = Id i ρ ומכאן נובע.i ρ Id 42

3 הומולוגיה 3.5 משפט הכריתה Excision) 3.5.1 סדרה מדויקת של מאייר ויטוריס משפט 141: אם B X = A אזי יש סדרה ארוכה מדויקת טבעית) H n A B) H n A) H n B) H n X) H n 1 A B)... דוגמה 142: ניתן לכסות את S 1 בשתי קבוצות פתוחות. A השני שליש העליונים ו B השני שליש התחתונים. נקבל כי A שקול הומוטופית לנקודה, B שקול הומוטופית לנקודה ו B A הומוטופית לשתי נקודות. מכאן ניתן לשחזר את ההומולוגיה של הכול. הוכחה: נתבונן בסדרה קצרה מדויקת של קומפלקסים. 0 C. A B) ϕ C. A) C. B) ψ C. A + B) 0 ϕ x) = x 1 x) כאשר ההעתקות מוגדרות על ידי ψ x, y) = x + y וישירות מתקבלת סדרה ארוכה מדויקת על ההומולוגיות. H n C A B)) H n C A) C B)) H n C A + B)) H n 1 C A B))... H n C A + B)) = H n X) אבל ממשפט הכריתה אנו יודעים כי: מה לגבי H n? נסתכל על הסדרה הארוכה המדויקת 0 C A B) C A) C B) C A + B) 0 Z x x, x) Z Z x,y) x+y Z 0 ונקבל מסקנה :143 ההעתקה X) i : C U X) C משרה איזומורפיזם X).H U n X) H n חלוקה בירצנטרית הוכחה: של הטענה. הרעיון הוא בהינתן σ : n X אנחנו רוצים, n U i אבל לא כולם בהכרח נכנסים ל U, i אבל אנחנו בעצם מעתיקים ל X ) C, Ụ וזהו צירוף ליניארי, ולכן מספיק להסתכל על צירוף ליניארי של הסימפלקסים. נתחיל בהוכחה. 1. חלוקה בירצנטרית של סימפלקסים. נזכיר שסימפלקס הוא { [v 0,..., v n ] = ti v i t i 0 } t i = 1 כאשר n+1 v 0,..., v n R ולא על ישר אחד. נגדיר את מרכז כובד של ] n [v 0,..., v שהוא b = 1 n + 1 v i [v 0,..., v n ] [v 0,..., v n ] = n+1)! [b, w 1,..., w n ] חלוקה של ] n [v 0,..., v היא כאשר זהו איחוד על!1 + n) ויש פה קשר הדוק לאיברים של החבורה הסימטרית, ו b הוא מרכז הכובד ו [ [w 1,..., w n שייך לחלוקה של ] n [v 0,..., ˆv i,..., v ומכאן אנו מבינים שנגדיר זאת באינדוקציה). 43

3 הומולוגיה 3.5 משפט הכריתה Excision) א) במקרה = 0 n נקבל ] 0.[v 0 ] = [v ב) במקרה = 1 n נקבל ] 0.[v 0, v 1 ] = [b, v 1 ] [b, v ג) במקרה = 2 n נקבל [v 0, v 1, v n ] = [v 012, v 12, v 2 ] [v 012, v 12, v 1 ]... כאשר הם מתאימים לאיברים 012) ו 021 ) בהתאמה. נסמן ב { {b, w 1,..., w n השייך לחלוקה בירצנטרית ]) n.b [v 0,..., v 2. באינדוקציה נסמן B m [v 0,..., v n ]) = B [w 0,..., w n ]) w 0,...,w n) B m 1[v 0,...,v n]) וכל חלוקה תהיה ל 2 n חלקים. כמו בציור הבא: למה :144 יהי n = U i כיסוי פתח, אזי קיים m כך שלכל ) n [w 0,..., w n ] B m מוכל ב U i עבור i מסויים. לדוגמה, עבור = 1 n נתון U i = 1] [0, אזי קיים m כך שלכל k קיים i כך. [ ] k 2, k+1 ש m 2 m Ui הוכחה: הוכחה: מושארת כתרגיל בטופולוגיה קבוצתית..3 יהי Y R m קבוצה קמורה, נסמן { ) σ : n σ ti v i = t i σ u i ) } t i = 1 = C n U) cont n, Y ) = Y n העתקות אפיניות). נשים לב שיש התאמה חד חד ערכית ועל בין ) Y l n לבין } Y {[y 0,..., y n ] y והם כל ה.σ : n Y נגדיר Zσ =: lc n Y ) C n Y ) σ l ny ) כאשר C אלו שרשראות ו lc שרשראות ליניאריות. אזי ) Y : C n Y ) C n 1 מקיימת ) Y lc n Y )) lc n 1. זה אומר שאם σ : n Y ליניארית אזי n] σ [v0,..., ˆv i,...,v ליניארית 44

3 הומולוגיה 3.5 משפט הכריתה Excision) שפה של שרשרת ליניארית היא שרשרת ליניארית). לכן ) Y) lc n Y) ) C, תת קומפלקס. נפרט כעת את הבנייה, לכל y Y נגדיר הומוטופיה ) Y p y : lc. Y ) kc.+1 על ידי p y [v 0,..., v n ]) := [y, v 0,..., v n ] זו מעיין "העתקת חרוט", לקחנו סימפלקס n ממדי והוספנו לו נקודה קיבלנו סימפלקס מממד אחד יותר גדול. 0 Id p y + p y = מדוע? p y [y 0,..., y n ]) = [y, v 0,..., v n ]) = [v 0,..., v n ] + n ) p y [v 0,..., v n ]) = p y 1) [v 0,..., ˆv i,..., v n ] = i=0 n 1) i+1 [y, v 0,..., ˆv i,..., v n ] i=0 ובכיוון השני n 1) i [y, v 0,..., ˆv i,..., v n ] p y הומוטופיה 0.Id נגדיר X) S : C n X) C n כאשר ואכן סכומם מצטמצם. זאת אומרת, λ b) Y נגדיר λ lc n Y ),h ולכל > 0 S lc0y ) = Id ידי על מגיע מ subdivision ) S ו :λ : n Y S λ) = p λb) S λ)) היות ש U ) λ lc n אזי ) Y λ lc n 1 ומכאן ) Y S λ) lc n 1 וזה מוגדר באינדוקציה. נטען כי אם ] n λ = [v 0,..., v עם v i Y אזי S λ) = ±1) [λ b), w 1,..., w n ] [λb),w 1,...,w n] Bλ) את הטענה מוכיחים באינדוקציה. אם = 0 n מתקיים טריוויאלית. אם > 0 n, נסתכל על λ ונקבל את השפה: i=0 λ = ±1) [v 0,..., ˆv i,... v n ] S λ) induction = ±1) simplexes of divisions of n ) ולכן מהגדרה S λ) = p λb) S λ)) = ±1) p λb)... ) B λ) וזה מסיים את הטענה. n עבור = 0. S λ) = S λ) מתקיים λ lc n X) מורפיזם של קומפלקסים. לכל S = S.4 מתקיים טריוויאלית. עבור > 0 n מתקיים S λ) = p λb) S λ)) = Id pλb) ) S λ)) = S λ) p λb) S λ) induction = S λ) p λb) S λ) 2 =0 = S λ) 45

3 הומולוגיה 3.5 משפט הכריתה Excision).5 נבנה הומוטופיה ) Y T : lc Y ) lc +1 כך ש S.T + T = Id נגדיר ראשית ) Y T 0 : lc 0 ) Y lc 1 על ידי := 0 0.T לכל > 0 n ו λ lc n Y נגדיר T λ) = p λb) λ T λ) יש תיאור גיאומטרי בספר של האטצ'ר. נוכיח כעת כי T מקיימת.T + T = Id S עבור = 0,n :n ומתקיים ישירות מהבנייה. עבור > 0 λ lc 0 Y ) T λ = p λb) λ T λ) p=id p = λ T λ) p λb) λ T λ) = λ T λ p λb) Id T ) λ) induction Id T =T +S = λ T λ p λb) S + Id) λ)) = λ T λ p λb) S λ) = Id T S) λ).6 X מרחב טופולוגי כמו בטענה ונגדיר X),S : C X) C לכל.σ : n X אפשר לכתוב את זה בצורה הבאה: n Id n σ X נגדיר S σ) = σ S Id n)) כאשר ) n Id n lc n ולכן S Id n) lc n n ) C n n ) ומתקיים σ : C n n ) C n X) נטען כי לכל X) σ C n מתקיים σ). S σ) = S כדי להוכיח נחשב: S σ)) = σ S Id n))) = σ S Id n)) = σ S Id n)) 1) = σ S 1) i n i = 1) i σ S n i ) Definition = i 1) i S ) σ n i i ) = S 1) i σ n i i } {{ } = σ = S σ).[v 0,..., ˆv i,... v n ] הסימפלקס של היא השפה ה i n i ) כאשר 1) 46

3 הומולוגיה 3.5 משפט הכריתה Excision).7 נגדיר העתקה X) T : C n X) C n+1 על ידי אותה נוסחה כמו קודם: D m = T σ) = σ T Id n)) m 1 i=0 D m + D m = T S i : C X) C +1 X) S=S = = = = m T S i + T S i i=0 m T S i + T S i i=0 m T + T ) S i i=0 m Id S) S i i=0 m S i S i+1) i=0 Telescopic Sum = Id S m אזי. T + T = Id S.8 לכל 0 m נגדיר ובפרט = 0 0.D 1 = T,D אזי.9 יהי,σ : n X אזי X = U i משרה כיסוי פתוח ) i, n = σ 1 U ומהלמה שהוכחנו בהתחלה קיים m כך שלכל λ) [w 0,..., w n ] B מוכל ב.σ 1 U i יהי σ) m ה m הקטן ביותר המקיים את הלמה. S σ) = σ S Id n)) = ±1) σ τ) C n X) τ BId n ) נגדיר כעת X) D : C X) C +1 על ידי σ) D σ) := D mσ) ונגדיר X) ρ : C X) C על ידי σ ρ σ) = D σ) + D σ) D mσ) σ) + D mσ) σ) = σ S mσ) σ) נרצה כעת להוכיח כי את ארבעת התנאים הבאים: X).ρ σ) C U n לכל σ X n מתקיים D σ) + D σ) = D mσ) σ) + D mσ) σ) + [ D σ) D mσ) σ) ] = σ S mσ) σ) + D σ) D mσ) σ) ) = σ ρ σ) לכן 47

3 הומולוגיה 3.5 משפט הכריתה Excision) ולכן ρ σ) = S mσ) σ) + D mσ) σ) D σ) וקיבלנו נוסחה עבור σ),ρ ומתקיים ישירות X).ρ σ) C U n D mσ) D σ) = = = n 1) i D mσ) σ i ) D σ i ) ) i=0 n 1) i D mσ) σ i ) D mσi) σ i ) ) i=0 n 1) i T S j σ i ) i=0 mσ i) j mσ) 1 ולכן X).T C U n X) ) C U n פרופ' ורשבסקי: "כל השאר הוא 2 שורות, תסתכלו בספר" א) ρ. ρ = ב).ρ i = Id ג). D + D = 1 i ρ הערה :145 הגדרנו העתקה ) n T : lc n n ) lc n+1 והגדרנו X) T : C n X) C n+1 על ידי T σ) = σ T Id n ))) X f : הדיאגרמה מתחלפת וטענו כי X).T Cn U X) ) Cn U מדוע? כי לכל X C n X ) T C n+1 X ) f C n X) T f C n+1 X) n X X בפרט, לכל U X מתקיים T C n U)) C n+1 U) C n+1 X) ואז Cn U i ) = C U n X) מליניאריות, ואז מקבלים T C U n X) ) C U n+1 X) 48

3 הומולוגיה 3.6 שקילות הומולוגיה סינגורלית וסימפליציאלית 3.6 שקילות הומולוגיה סינגורלית וסימפליציאלית למה 146 למת החמש): תהי A i B j C k D l E α β γ δ ɛ A i B j C k D l E דיאגרמה מתחלפת עם שורות מדויקות. 1. אם β ו δ על ו ɛ חח"ע אזי γ על. 2. אם β ו δ חח"ע ו α על אזי γ חח"ע..3 אם α, β, δ, ɛ איזומורפיזם אזי גם γ איזומורפיזם. הערה 147: לרוב השימושים של הלמה, צריכים רק את 3, שנובע ישירות מ 1 ומ 2. הוכחה: נוכיח באמצעות רדיפת דיאגרמות: כל מספר מונצח בדרך אחרת, יש שעל ידי למות, ויש שברחובות. אילוסטרציה..1 יהיה C,c נסתכל על ) c,d = k נסתכל על ) d d = δ 1 אפשרי כי δ על). יהי d) e = l ואז על e),e = ɛ אבל היות שהדיאגרמה מתחלפת נובע ש )) c,e = l k אבל זו סדרה מדוייקת ולכן c C ממדויקות, ולכן קיים d ker l = Imk ולכן e = l d) אבל,e חח"ע ולכן = 0 ɛ אבל,e = 0 כך ש d..k c) = נסתכל על,γ c) = c אם c c = סיימנו, אחרת נסתכל על ההפרש c. c k c) = k γ c)) = δ k c)) = δ d) = d ולכן Imj. c c ker k = לכן, קיים B b כך ש c j b ) = c אבל β על ולכן קיים b B כך ש b.β b) = נגדיר b) x = c j ומתקיים γ x) = γ c) γ j b)) = c j β b)) = c c c ) = c כנדרש. 2. הוכחה באותו אופן. כתיבתה מושארת כתרגיל לקורא היא גם נמצאת בספר). 3. נובע משילוב של 1 ו 2. מסקנה :148 יהי B).f : X, A) Y, אם ) Y n N f : H n X) H n וגם B) f : H n A) H n אזי B) f : H n X, A) H n Y, גם איזומורפיזם. 49

3 הומולוגיה 3.6 שקילות הומולוגיה סינגורלית וסימפליציאלית 0 C. A) C. X) C. X, A) 0 הוכחה: f משרה דיאגרמה מתחלפת. 0 C. B) C. Y ) C. Y, B) 0 ועל ידי הוספת עוד שלב מימין של 1 n H נקבל שהדיאגרמה מקיימת את תנאי למת החמישה, ולכן יש איזומורפיזם. 0 A B C 0 α β γ הערה 149: באופן יותר כללי: 0 A B C 0 בהינתן דיאגרמה כנ"ל, אם שתיים מתוך,α,β γ משרים איזומורפיזם על H, n אזי גם השלישי. תזכורת: יהי X קומפלקס, אזי X) X) C כאשר השמאלי הוא הקומפלקס על מבנה ה והימני הוא כל השרשראות. לכל A X תת קומפלקס הגדרנו X) A) ונגדיר X, A) := X) / A) X, A) C X, A) H n C. X, A) ) = H n X, A) H n X, A) אזי יש הומומורפיזם של קומפלקסים, למעשה שיכון משרה הומורמופיזם משפט :150 ההעתקה A) H n X, A) H n X, היא איזומורפיזם. הוכחה: 1. מקרה 1: = A ו X סוף ממדי. לכל k נגדיר X k X השלד ה k ממדי. נקבל את הדיאגרמה 0 A) X) X, A) 0 0 C B) C Y ) C Y, B) 0 אזי לפי למת החמש אם 2 מהעתקות האנכיות הן איזומורפיזם, אזי גם השלישית. מספיק להראות ש X ) Hn X) H n איזומורפיזם לכל X ולכן גם עבור.X = A כעת, כמסקנה נוספת מהמשפט ).H X = X n עבור n מסויים, לכן X k k 1) H X k, X אזי יודעים עבור H ) X ו k 1 עבור מהמסקנה ומאינדוקציה מספיק להראות X k, X k 1) Hn X k, X k 1) H n נזכיר ש n X k, X k 1) = nxk )/ nx k 1 ) = Zσ σ X k ) n Xk 1 ) n = { 0 n k σ X Zσ n = k n 50

3 הומולוגיה 3.6 שקילות הומולוגיה סינגורלית וסימפליציאלית לכן 1 k X k, X הוא קומפלקס שרק אחד האיברים הוא לא אפס, ולכן H n { X k, X k 1) = n X k, X k 1) 0 n k = σ X Zσ n = k n H n X k, X k 1) = מכאן, היות ש k 1) X k, X זוג טוב. H n 1 X k/x k 1 ) = Hn n )/ n )) = H n σ X k, k) = σ X n H n k, k) למה :151 ההעתקת הזהות ) n Id n C n משרה יוצר של.H n n, n ) = H n S n ) = Z הוכחה: נמשיך ההוכחה בהינתן הלמה. נתבונן במורפיזם של זוגות α X k e α, α X U e α ) X k, X k 1) H n e α, e α ) 3 H n X k, X k 1) מושרית מהמבנה. זה משרה דיאגרמה מתחלפת 2 1 4 H n e α, e α ) H n e α, e α ) והדיאגרמה הזו קיימת כי "הכול פונקטוריאלי" תודה פרופ' ורשבסקי). נרצה להוכיח ש 1 הוא איזומורפיזם, מספיק להראות ש 4,3,2 איזומורפיזמים. 2 הוא איזומורפיזם לפי Hn היא איזומורפיזם. אם k n אזי שני k, k 1) הלמה מספיק להראות ש k) H n k, הצדדים הם 0. אם n = k אזי שני הצדדים איזומורפים ל Z, ולפי הלמה יוצר עובר ליוצר). 3 איזומורפיזם כי כל k 1) e α, e α ) =. X k, X., ומסיבה דומה גם 4 איזומורפיזם. למה :152 ) n Id n H n n, הוא יוצר. הוכחה: נוכיח באינדוקציה על.n עבור = 0,n H n n, n ) = H 0, ) ולכן ברור. עבור > 0 n, יהי λ n איחוד של פאות פרט ל 1. נתבונן בהעתקות הבאות H n n, n ) δ H n 1 n, λ) H n 1 n 1 1) 2) }{{}, n 1 = n \λ כאשר B מתקבלת מההעתקה λ) n 1, n 1) n,. כעת, A B X הוכחנו כי H n B, A) H n X, B) }{{} =0 H n X, A) δ H n 1 B, A) H n 1 X, B) }{{} =0 H n n, λ) = H n λ, λ) = 0 1) היא איזומורפיזם כי כי λ עיוונסג של. 2) גם איזומורפיזם, כי 51

3 הומולוגיה 3.6 שקילות הומולוגיה סינגורלית וסימפליציאלית H n 1 n, λ) 4) H n 1 /λ) 2) H n 1 n 1, n 1) 3) H n 1 n 1 / n 1 ) 5) הדיאגרמה מתחלפת מפונקטוריאליות. 4) 3) לפי משפט הכריתה. 5) הוא איזומורפיזם היות ש n 1 Id n 1 H יוצר, לכן מספיק להראות n 1, n 1) לפי הנחת האינדוקציה. n 1 / n 1 = n /λ ש 1) Id n) = ± 2) Id n 1) וזה נובע מההגדרה של δ מדוע? מושאר כתרגיל) δ Id n) = 1) i n i n ) H n n, λ) i { } = 1) i n i n ) n i = n \λ הגדרה :153 העתקה f : X Y נקראת שיכון אם f משרה הומיאומורפיזם f : X f X) Y עם הטופולוגיה המושרית..i לכל H i טענה.1 :154 לכל שיכון h : D k S n מתקיים ש 0 = k)) S n \h D.2 לכל שיכון h : S k S n עם k < n מתקיים H i S n \h { S k)) Z i = n k 1 = 0 i n k 1 שיכון מסקנה 155 משפט ז'ורדן): אם C R 2 עקום פשוט, הווה אומר 1 C, = S אזי ל C \ R 2 יש שני מרכיבי קשירות. H 0 ולכן ל C \ S 2 יש S 2 \C ) = = לכן Z 2, H 0 הוכחה: של המסקנה), לפי הטענה השנייה, S 2 \C ) = Z 2 מרכיבי קשירות לפי החזקה של Z). לכן ל \ C \ R 2 C\ = S 2 יש גם שני מרכיבי קשירות. הוכחה: של הטענה) S n \h D k) = S n \ = R n.1 באינדוקציה על.k עבור = 0,k,D 0 = אזי עבור > 0 k, נחליף D k ב I k הקטע [1 k,0]), שכן הם הומיאומורפים. נניח בשלילה ש α C כך ש δ\imδ.α ker נחלק עכשיו את i S n \h I k)) 0 k)) Hi S n \h I ולכן קיים הקובייה לשני חלקים, יהי [ A = S n \h I k 1 0, 1 ]) 2 [ ]) 1 B = S n \h I k 1 2, 1 A B = S n \h I k 1 { }) 1 2 אזי 52

3 הומולוגיה 3.6 שקילות הומולוגיה סינגורלית וסימפליציאלית A B = S n \h I k)) מדה מורגן. כעת, לפי מאייר ויטוריס, קיימת הסדרה המדויקת הבאה: H i+1 A B) H i A B) 1) H i A) H i B) }) { k 1.S n \h I לכן 1) 1 = 2 S n \h I k 1) מאינדוקציה, שכן, H i+1 נטען כי = 0 B) A ההעתקה חח"ע ממדויקות, ולכן, בהינתן B) α H i A 0 או ש Im CiB) α CiA) / או ש / α.im על ידי אותם שיקולים קיימת סדרה של קטעים I m I 2 I 1 = 1 m I וגם Im.α Sn \hi k 1 I m) / מהלמה של קנטור נובע כי {y} I m = נקודה. לכן 2 כך ש m S n \h I k 1 ) I m = S n \h I k 1 {y} ) m אבל, α לא שפה באף אחד מהקטעים, ולכן Im α S n \hi k 1 I m) / אם... 2 U 1 U קבוצות, H פתוחות,,Z = U i אזי ) i.c i Z) = C i U לפי הנחת האינדוקציה, = 0 )) {y} i S n \h I k ו α ker ולכן Im α בסתירה..2 באינדוקציה על.k עבור = 0,k,S n \h S 0) = R n \ { } לכן H i R n \ { }) = H i S n 1 ) { Z i = n 1 = 0 i n 1 A = S n \h D+ k ) B = S n \h D k ) A B = S n \h S k) A B = S n \h S k 1) עבור > 0,k נקח k.s k = D k + D נגדיר כעת, לפי מאייר ויטוריס, קיימת הסדרה המדויקת הבאה: H i+1 A) H i+1 B) H i+1 A B) H i A B) H i A) H i B) H i S n \h S k)) = אבל לכל H i A) = H i B) = 0,i. לכן ממדויקות קיבלנו איזומורפיזם. H i+1 S n \h { { S k 1)) Z i + 1 = n k 1) 1 Z i = n k 1 = = 0 otherwise 0 otherwise משפט :156 אם U R n קבוצה פתוחה ו h : U R n שיכון, אזי h U) R n פתוחה. 53

3 הומולוגיה 3.7 הקשר בין X) Π 1 לבין X) H 1 פרופ' ורשבסקי: "אני יודע מה אתם עומדים להגיד לי, אבל זה לא ברור" הוכחה: יהי x, U נרצה להוכיח כי U) h מכילה סביבה פתוחה של x) U R n h. פתוחה ולכן קיים דיסק.x D n ) D n U מספיק להוכיח כי h D n \ D n ) R n היא פתוחה. לפי חלק 2 של הטענה הקודמת, H 0 S n \h D n )) = Z. לכן, ל S n \h D n יש שתי מרכיבי קשירות מסילתית. מצד שני, S n \h D n ) injective = S n \h D n )) h D n \ D n ) אבל ) n h D n \ D קשירה מסילתית כי h רציפה. ) n S n \h D קשירה מסילתית כי = 0 )) n H 0 S n \h D. לכן ) n h D n \ D n ) S n \h D מרכיב קשירות מסילתית, לכן ) n h D n \ D היא פתוחה ב S n \h D n ולכן ב S. n יריעה הגדרה 157: יריעה טופולוגית היא מרחב טופולוגי האוסדורף X כך שלכל x X יש סביבה פתוחה U. = R n טופולוגית מסקנה 158: אם M יריעה קומפקטית מממד n ו N יריעה קשירה מממד n נשים לב, קשירה אם ורק אם קשירה מסילתית) ו N h : M שיכון אזי h : M N הומיאומורפיזם. הוכחה: h M) N סגורה כי היא תת קבוצה קומפקטית של מרחב טופולוגי האוסדורף. h M) N פתוחה לפי המשפט הקודם + תרגיל קל לקורא). N קשירה, לכן לא יכול להיות ש N h M) ולא הכול, ולכן h, M) = N אבל משיכון נקבל הומיאומורפיזם על התמונה. 3.7 הקשר בין X) Π 1 לבין X) H 1 הגדרה 159: לכל חבורה G נסמן ב [ G,G ]/ G, ab =: G המנה האבלית המקסימלית. מתקיימת התכונה f המקיימת האוניברסלית אם A חבורה אבלית ו A f : G אזי קיימת ויחידה העתקה : G ab A f = f q כאשר q היא העתקת המנה. דוגמה :160 X מרחב טופולוגי קשיר מסילתית,,x X אזי x) Π 1 X, חבורה ולכל y X מתקיים כי y) Π 1 X, x) = Π 1 X, והאיזומורפיזם תלוי במסילה. Π 1,X) x ab לא תלוי במסילה. לכן מקובל להשמיט את הערה :161 ההומורפיזם המושרה Π 1 X, y) ab הנקודה ולסמן.Π 1 X) ab פרופ' ורשבסקי: "טכנית, אתם לא צריכים לדעת את ההערה הזאת". הערה :162 כל מסילה γ : I X מגדירה איבר X).X 1 C 1 אם γ מסילה סגורה, קרי 1) γ γ 0) = אזי. γ = γ 1) γ 0) = 0 כי γ h = ker משפט.1 :163 ההעתקה ] h P x X) γ [γ מגדירה הומומורפיזם של חבורות מ X ) Π 1 ל X ),H 1 ונסמן את ההומומורפיזם הזה ב h..2 אם X קשיר מסילתית אזי h על, ולכן הוא איזומורמופזים X).Π 1 X) H 1 ראשית, ניתן בהם סימנים. יהיו X}.f, g X 1 = {paths in נסמן f g אם 0) g f 0) = ו 1 ) f 1) = g והן הומוטופיות. בנוסף, נסמן f h g אם Im.f g הערה 1. 164: תהי f = x המסילה הקבועה, אזי f מסילה סגורה, לכן ker f. h יתר על כן, יהי σ 2 {x} X סימפלקס דו ממדי קבוע, אזי σ = σ [v1,v 2] σ [v0,v 2] + σ [v0,v 1] = f h f h + f h = f h ולכן Im f h ולכן X) [f h ] H 1 איבר היחידה. 54

3 הומולוגיה 3.7 הקשר בין X) Π 1 לבין X) H 1.2 אם f g אזי,f h g שכן עבור F : I I X כך ש f F, 0) = ו g.f, 1) = נגדיר σ 1 = F [v0,v 1,v 3] X 2 σ 2 = F [v0,v 2,v 3] נחשב כעת את ההומולוגיה: σ 1 = F [v1,v 3] F [v0,v 3] + F [v0,v 1] = {f 1)} F [v0,v 1] + f σ 2 = F [v2,v 3] F [v0,v 3] + F [v0,v 2] = g F [v0,v 3] + {f 0)} ולכן σ 1 σ 2 ) = f g) + {f 1)} {f 0)} ולכן f g) = σ 1 σ 2 ) + {f 1)} {f 0)} Im 2 orthognal projection σ : 1 f g X σ = σ [v1,v 2] σ [v0,v 2] + σ [v0,v 1] = g g f + f.[f g] h תהא = [f] h [g] h.3 אם 0) g f 1) = אזי אזי,[f] h כנדרש. [g f] h + [g] h זאת אומרת = 0.4 לכל מסילה f : I X מתקיים כי.f 1 h f זאת כי 1 3) 1 2) f + f h f f h {f 0)} 1) h {0}.1 לפי הערה,2 ההעתקה ] h γ [γ משרה ההעתקה X) Π 1 X, x) H 1 ולפי הערה 3 זהו הומומורפיזם של חבורות..2 היות ש X ) H 1 חבורה אבלית, אזי X) h : Π 1 X, x) H 1 משרה הומומורפיזם ab h ab : Π 1 X, x) X) H. 1 נרצה להוכיח כי h ab הוא איזומורפיזם, נעשה זאת על ידי בניית העתקה בכיוון ההפוך. לכל הוכחה: 55

3 הומולוגיה 3.7 הקשר בין X) Π 1 לבין X) H 1 C 1 באופן הבא. איבר ב X ) s : C 1 X) Π 1 X, x) ab נגדיר.f y P x,y X) נבחר מסילה y X הוא מהצורה n σ σ. בהינתן,x X תהא σ להיות מסילה המחברת בין 0) f ל 1 ).f כעת: [ ] s σ) = f σ0) σ f 1 σ1) Π 1 X, x) ) s nσ σ = n σ s σ) ונגדיר.{f y } y X טענה :165 א) אם ker n α σ אזי σ) s n α לא תלוי ב ב) אם Im n α σ אזי = 0 σ).s n α ג).h ab s = Id,s h ab = Id הוכחה: א) נבחר y 0 X ותהי X) f y P x,y מסילה אחרת ויהי.ker α = n α σ אנחנו רוצים להוכיח כי α) s לא תשתנה אם נחליף את f y ב y f. ] s f σ) = [f σ0) σ f σ1) [ ) ) )] = f σ0) f 1 σ0) f σ0) σ f 1 σ1) f σ1) f 1 σ1) = [ ] [ ] [ ] γ σ0) fσ0) σ f σ1) γσ1) = [ ] γ σ0) sf σ) [ ] γ σ1) s f nα σ) ) = s f nα σ + [ ] [ ]) n α γσ0) γσ1) ) nα σ = n α σ 1) σ 0)) לכן וגם.s f α) = s f a) ומכאן n α σ [ γ σ0) ] [ γσ1) ]) אם = 0 σ) nα אז = 0 ב) אם Im α אזי = 0 α).s יהי σ : [v 0, v 1, v 2 ] X אזי σ = σ [v1,v 2] σ [v0,v 2] + σ [v0,v 1] ואחרי הפעלת s נקבל [ ] [ ] [ ] s σ) = f σv1) σ [v1,v 2] f 1 σv 2) f σv0) σ [v0,v 2] f 1 σv 2) + f σv0) σ [v0,v 1] f 1 σ1) σ [v0,v 2] σ [v0,v 1] σ [v1,v 2] אנו יודעים כי [ ] f σv1) σ [v0,v 2] f 1 σv 2) = = = ולכן [ ] f σv1) σ [v0,v 1] σ [v1,v 2] f 1 σv 2) [ ] f σv1) σ [v0,v 1] f 1 σ1) f σ1) σ [v1,v 2] f 1 σv 2) [ ) )] f σv1) σ [v0,v 1] f 1 σ1) f σ1) σ [v1,v 2] f 1 σv 2) 56

3 הומולוגיה 3.8 קירוב סימפליציאלי כמו כן s h ab [γ]) = γ לכל X).γ P x נחשב h ab s α) = [α] h ab s α) = [ ]) n σ f σ0) σ f 1 σ1) 2) = n σ σ) + [ ] [ ]) n α fσ0) fσ1) = α והסכום מתאפס היות ש α בגרעין כמו בסעיף הקודם. 3.8 קירוב סימפליציאלי הגדרנו בעבר קומפלקס כמרחב טופולוגי האוסדורף X יחד עם משפחה של העתקות σ α : hα) X המקיימות: hα)) σ α : היא חח"ע ועל. X.1.2 לכל פאה hα) F קיים σ β : hβ) X כך ש.σ β = σ α F.α פתוחה לכל σ 1 α U) hα) פתוחה U X.3 קומפלקס סיפליציאלי המבנה הזה טוב לחישובים אך מבחינה תיאורטית הוא נראה מעט בעייתי. ננסה לשפרו מעט, מבחינת ההגדרה. הגדרה 166: קומפלקס נקרא קומפלקס סימפליציאלי אם כל σ α : hα) X היא חח"ע. 1. קומפלקס סימפליציאלי הוא גם "מרחב שילוש". זהו מרחב המחולק לסימפליקסים. הערה 167: 2. קומפלקס סימפליציאלי סופי קרי, עם מספר סופי של סימפלקסים) K הומיאומורפי לתת קומפלקס של.K הוא מספר הקדקודים של כאשר K 0, K0 הגדרה 168: תזכורת: לכל הגדרנו חלוקה בריצנטרית). יהי X קומפלקס, אזי החלוקה הבריצנטרית מגדירה מבנה אחר על X על ידי העתקות מהצורה σ α F כאשר σ α : hα) X סימפלקס ו F מתקבל מ hα) על ידי חלוקה בריצנטרית. X קומפלקס סימפליציאלי. למה 169: אם X הוא קומפלקס ו X חלוקה בריצנטרית של X אזי הוכחה: נרצה להראות שההעתקה חח"ע. תהא hα) [b, u 1,..., u n ] = F ונסתכל על ההעתקה.σ α F נניח בשלילה שזה לא חח"ע y).σ α F x) = σ α F לפי ההגדרה, α σ חח"ע ו = ) α σ α ) σ ולכן x, y F = [u 1,..., u n ] ומסיימים באינדוקציה. הגדרה :170 L K, קומפלקסים סימפליציאלים, העתקה f : K L נקראת סימפליציאלית אם לכל σ, K),Sym לכל L) f σ) Sym ו σ ) f σ : σ f היא ליניארית, זאת אומרת ) f ti v i = t i f v i ) העתקה סימפליציאלית בפרט, העתקה סימפליציאלית נקבעת כל ידי f 0.f 0 = f K 0 : K 0 L 0 מגדירה העתקה סימפליציאלית אם לכל K) σ Sym קיים L) τ Sym כך ש.f 0 σ 0) = τ 0 57

3 הומולוגיה 3.8 קירוב סימפליציאלי משפט 171 קירוב סימפליציאלי): יהיו,K L קומפלקסים סימפליציאלים, K קומפלקס סימפליציאלי סופי ו g : K L קיימת העתקה K העתקה רציפה, אזי אחרי חלוקה בריצנטרית חוזרת של f : K L סימפליציאלית כך ש g f. הערה 172: אם,K L קומפלקסים סימפליציאלים סופיים, יש מספר סופי של העתקות סימפליציאליות K L אבל יכול להיות מחלקות הומוטופיה של העתקות S. 1 S 1 כוכב סגור, הגדרה 173: יהי K קומפלקס סימפליציאלי, לכל K) σ Sym נגדיר את הכוכב הסגור של σ להיות כוכב פתוח Stσ = τ τ SymK) σ τ stσ = τ SymK) σ τ τ ואת הכוכב הפתוח של σ להיות.Stσ = stσ.1 תרגיל 174: 2. stσ K, = σ K לקומפלקס יש כיסוי פתוח על ידי כוכבים פתוחים. למה :175 יהי X קומפלקס סימפליציאלי, u 1,..., u n X 0 אזי X) [u 1,..., u n ] Sym אם ורק אם. Stu i = st [u 1,..., u n ] הזה במקרה Stu i stui = τ = u τ [u 1,...,u n] τ τ = st [u 1,..., u n ] הוכחה: מתקיים ולכן הלמה לא נכונה אם מחליפים את st מוחלף ב St. הוכחה: של המשפט). ציינו ש K, N לכן קיימת מטריקה d על K כך ש σ d המטריקה הרגילה עבור כל K).σ Sym ישנו כיסוי פתוח,L = w L stw 0 והוא מגדיר כיסוי פתוח stw) K.K = w L f 1 קומפקטי, יהי > 0 ε מספר לבג של הכיסוי של K 0 תזכורת: מספר לבג של קבוצה הוא > 0 ε כך שלכל Y K כך ש ε diam Y) ) < מוכל באחת ה stw ) f). 1.diam [w]) n אם n סימפלקס ו [w] B n אזי ) n n+1 diam.diam σ) < ε 2 זו אחרי חלוקה בריצנטרית חוזרת של K ניתן להניח שלכל K) σ Sym מתקיים כי החלוקה שאנחנו צריכים. לכל,v K 0 מתקיים.diam Stv) < ε לכן, לפי בחירת ε קיימת נקודה g 0 v) L כך ש ) v).stv f 1 stg 0 זה מגדיר העתקה.g 0 : K 0 L 0 נשאר לבדוק ש g 0 ניתנת להרחבה להעתקה סימפליציאלית, וש f.g [ כדי להוכיח שהיא ניתנת להרחבה, אזי עבור K) [u 1,..., u n ] Sym יתקיים ] ) n g 0 u 1 ),..., g 0 u L),Sym אבל זה נובע מהלמה הקודמת שהוכחנו. מדוע? σ Stu i ולכן ) i.f σ) f Stu אבל אנחנו ידועים ש ) v),stv f 1 stg 0 ולכן ) i f Stu i ) stg 0 u ולכן ) i f σ) stg 0 u ובפרט = ) i stg 0 u וכעת נוכל להפעיל את הלמה ולקבל L) [ g 0 u 1 ),..., g 0 u n ) ] Sym. לכן g 0 מגדירה העתקה סימפליציאלית.g : K L g רציפה, כי g σ רציפה כי קבוצה פתוחה ב קומפלקס אם היא פתוחה ביחס לכל סימפלקס), וזאת כי ) i.g t i u i ) = t i g 0 u הוכחה: נבנה את ההומוטופיה.f g מספיק לבנות הומוטופיה : σ F [u 1,..., u n ] I L לכל K).[u 1,..., u n ] Sym לכל ] n x [u 1,..., u אזי f x) st g 0 u 1 ),..., g 0 u n ) ) = τ 0 לכן קיים f x) τ, [ g 0 u 1 ),..., g 0 u n ) ] τ וגם לפי ההגדרה.g x) [ g 0 u 1 ),..., g 0 u 1 ) ] τ לכן אפשר להגדיר F x, t) = t f x) + 1 t) g x) 58

3 הומולוגיה 3.9 משפט נקודת השבת של לפשץ כי מדובר בקטע בתוך τ שהוא קמור. תרגיל 176: יש להראות שזו באמת ההעתקה, ו Stσ σ עיוונסג. 3.9 משפט נקודת השבת של לפשץ הגדרה :177 יהי ϕ : Z n Z n הומומורפיזם, אזי ϕ הוא בעצם Z) M ϕ M n ולכן Traceϕ := TraceM ϕ : a ii Z הגדרה :178 תהי A חבורה אבלית נוצרת סופית, אזי A = Z n A tor כאשר A tor = {a A ord a) < } וזה אינו איזומורפיזם קנוני. נגדיר tf) A tf := A /A tor עבור.torison free אזי A tf = Zn ויש סדרה מדויקת 0 A tor A A tf 0 הצעה 179: אם ϕ : A A הומומורפיזם, הוא מעביר איבר מסדר סופי לאיבר מסדר סופי, ולכן ϕ מקיים,ϕ A tor ) A tor ולכן משרה הומומורפיזם.ϕ : A tf A tf נבחר איזומורפיזם ψ : Z n A tf אזי ϕ נותנת לנו איזומורפיזם.ψ 1 ϕ ψ : Z n Z n נגדיר Traceϕ := Trace ψ 1 ϕ ψ ) Z תרגיל 180: Traceϕ לא תלוי ב ψ. הגדרה 181: יהי X מרחב CW סופי, אזי X) H i היא חבורה אבלית נוצרת סופית לכל i. כל f : X X מספר לפשץ רציפה משרה X) H i f) : H i X) H i ונגדיר את מספר לפשץ להיות lef f) := dim X i=0 1) i Trace f, H i X)) Z דוגמה 182: אם f, = Id העקבה היא n ולכן העקבה של ϕ היא ה rank ומתקיים כי X).lef f) = χ משפט 183: יהי X קומפלקס סימפליציאלי או נסג שלו) ויהי f : X X כך ש 0 f),lef אזי ל f יש נקודת שבת. פרופ' ורשבסקי: "כל תת מרחב סביר של R n הוא כזה. למעשה כל מרחב סביר מקיים את התנאים שבמשפט. זה בנספח להאטצ'ר" H i X) = { 0 i 0 Z i = 0 דוגמה.1 :184 n.x := n = D אזי ולכן H 0 f) = Id כי הוא מעביר נקודה לנקודה), ולכן = 1 f).lef לכן משפט לפשץ גורר את משפט בראוור. 59

3 הומולוגיה 3.9 משפט נקודת השבת של לפשץ H i X) = { 0 i 0, n Z i = 0, n.2 n,x = S אזי אזי H 0 f) = Id ו f.h n f) = deg לכן lef f) = 1 1) n deg f אם = n+1 deg f) 1) 1 ),deg אזי 0 f) lef ואז יש ל f נקודת שבת..3 n X = CP ויהי C) A M n+1 אזי n+1 A : C n+1 C ו.ϕ A : CP n CP n ההומולוגיה היא { H i CP n Z i {0, 2,..., 2n} ) = 0 othewise לכל i מתקיים H i ϕ A ) = Id למה? מושאר כתרגיל) ולכן + 1 n lef ϕ A ) = כי יש רק איברים זוגיים) ולכן יש נקודות שבת, ומכאן ל A יש וקטור עצמי וזה שקול לכך שלכל פולינום מרוכב יש שורש..4 n,x = RP ההומולוגיה היא: Z i = 0 i = n and is odd H i RP n ) = Z/2Z... 0... יהי n זוגי ו ϕ = ϕ A כמו בדוגמה הקודמת. אזי 0 1 = ) A lef ϕ) ולכן יש נקודות שבת, ולכן ל A יש וקטור עצמי, ולכן לכל פולינום אי זוגי ממשי יש שורש. הוכחה: נוכיח שאם ל f אין נקודות שבת, אזי מספר לפשץ של f הוא אפס. בשלב הראשון מספיק להניח ש X הוא קומפלקס סימפליציאלי. נניח ש X הוא נסג של קומפלקס סימפליציאלי K. זאת אומרת i, : X K r : K X כך ש.r i = Id X כל f : X X מגדירה העתקה K X r g f K i X אזי מספר הנקודות שבת של f שווה למספר נקודות השבת של g, ומכאן g),lef f) = lef כי Trace g, H i K)) = Trace i f r) = Trace r }{{} i f Id = Trace f) לפי הנחה ל f אין נקודות שבת ולכן ל g אין נקודות שבת ולכן = 0 g).lef f) = lef עתה נוכיח עבור קומפלקס סימליציאלי מדרגה סופית. יהא X כזה, כאשר X n X שלד n ממדי. מקרה פרטי: נניח ש f X n ) X n לכל n ובנוסף לכל X) σ Sym מתקיים כי = σ f.f σ) מגדירה העתקה של זוגות, n 1) X n, X n 1) X n, X ולכן f מגדירה העתקה n 1) f : H n X n, X X n /X n 1 = נסתכל על.n לכל Trace f, H n X n, X n 1)) n 1).H n X n, X נראה ש 0 = H n X n, X n 1) Hn Xn /X n 1 ) = H n σ SymX) S n = Z SymX) σ SymX) Sn. לכן ולכן SymX) f : σ,τ SymX) ZSymX) Z ונגדיר ) στ M f a ומתקיים = ) f Trace f) = Trace M a σσ. נראה שלכל σ מתקיים כי = 0 σσ.a לפי ההגדרה ) n a στ : Hn S n ) H n S מושרית העתקה של זוגות: f στ : n, n ) σ X n, X n 1) f X n, X n 1) ) X n /X n 1 τ n), Xn 1 /X n 1 = τ n / n, ) 60

3 הומולוגיה 3.9 משפט נקודת השבת של לפשץ זאת אומרת, a στ Id = H n f στ ) : H n n, n ) }{{} = H ns n ) H n S n, ) }{{} = H ns n ) τ f σ) τ σ שכן הסימפלקס נשלח אם τ = σ היות ש = σ f σ) מקבלים ש = ) n,f σσ שכן לאיחוד של סימפלקסים אחרים, אבל את כל הסימפלקסים האחרים כיווצנו). לכן = 0 ) σσ a στ Id = H n f) ומכאן, לכל σ מתקיים כי = 0 σσ.a הוכחנו למה, הטוענת שעבור קומפלקס של חבורות אבליות נוצרות סופית מהצורה d 0 C n d n 1 n Cn 1 C0 0 אז תהי C f : C העתקה הומפלקסים, אזי מתקיים השוויון 1) i Trace A, C i ) = 1) i Trace f, H i C)) הערה 185: אם f = Id אזי נקבל ש dim Trace = וזה ראינו בתרגיל על מאפיין אוילר. ראינו בתרגול שקיים קומפלקס C Hn X n, X n 1) H n 1 X n 1, X n 1)... ) כך ש X ).H n C ) = H n לכן lef f) = 1) i Trace f, H i X)) = lemma = = 0 1) i Trace f, H i C )) 1) i Trace f, H i X i, X i 1)) את השוויון בסוף חישבנו בשלב הקודם לפני ציון הלמה. מקרה פרטי גורר מקרה כללי: נראה כעת שקיים עידון שעוזר על ידי חלוקה בריצנטרית, נסמנו L של.g σ) σ = ו g כך ש f g : K L והעתקה סימפליציאלית L של K נסתכל על עידון.X כדי להוכיח זאת, נבחר מטריקה d על X כמו שמשפט הקירוב. לפי ההנחה, f x) x לכל x, לכן > 0 x) X.d f x), קומפקטי, לכן קיים > 0 ε כך ש ε d f x), x) לכל.x X נבחר עידון L של 2 מתקיים,diam St Lσ) < ε 4 וזאת על ידי כך ש ε.diam σ) < לפי משפט הקירוב v כך שלכל L0 X קיים עידון K של L והעתקה סימפליציאלית g : K L כך ש f.g נטען כי = σ,g σ) מדוע? לפי הבנייה σ)) f σ) St g ממה שהוכחנו על הכוכב. נבחר x, y σ כך ש x.g y) לפי הנחה,d f x), x) ε ונטען כי d g y), f x)) < ε זאת כי y σ ולכן σ)), g y) g σ) St g ובאופן דומה σ)),f x) f σ) St g אבל St g σ)) Stσ ולכן d g y), f x)) diam St σ)) < ε ומזה מסיקים ש x.g y) זה נכון לכל שתי נקודות x, y בסימפלקס, ומכאן = σ.g σ) נעבור לסוף ההוכחה. K מהטענה עידון של,L לכן g.l n K n סימפליציאלית ולכן n g K n ) L.K n לכן g K n ) K n וגם = σ.g σ) נתקלנו כבר במקרה הזה, והוכחנו שמתקיים = 0 g).lef אבל,lef f) = lef g) לכן,f g 61

4 קוהומולוגיה 4 קוהומולוגיה הגדרה 186: G חבורה אבלית, X מרחב טופולוגי. נגדיר C n X; G) = Hom Ab C n X), G) = Func X n, G) X n = Func Cont n, X) C n X, G) dn+1 C n 1 X, G) d n+1 f) = f n+1 כאשר נגדיר העתקה על ידי d n+1 f) = n i=0 1) i f ) σ [v0,..., ˆv i,...,v n+1] או במפורש היות ש 0 = 2 n נקבל כי גם = 0 n d. 2 נגדיר את קומפלקס הקו שרשראות ) C X, G) = 0 C 0 X, G) d0 C 1 X, G) d1 C 2 X, G)... קומפלקס קו שרשראות קוהומולוגיה נגדיר את חבורת הקוהומולוגיה על ידי H n X, G) = ker dn /Imd n 1 כעת יש לנו שתי אפשרויות: 1. להוכיח שכל מה שנכון עבור H i נכון גם כאן..2 למצוא קשר בין X) H i לבין G).H i X, אנחנו נבחר באפשרות השנייה. אנחנו נוכיח משפט הקובע כי H n X, G) = Hom H n X), G) Ext H n 1 X), G) 4.1 הגדרת Ext רזולוציה חופשית הגדרה 187: תהי H חבורה אבלית. רזולוציה חופשית של H היא סדרה מדויקת f 3 f 2 f 1 f 0 F 3 F2 F1 F0 H 0 כך שכל F n היא חבורה אבלית חופשית. למה 1. 188: לכל חבורה אבלית יש רזולוציה חופשית. 62

4 קוהומולוגיה 4.1 הגדרת Ext.2 יהיו F F, רזולוציה חופשיות של H H, בהתאמה. אזי כל הומומורפיזם H α : H ניתן להרחיב עד לדיאגרמה מתחלפת... F 2 F 1 F 0 H α 2 α 1 α 0 α... F 2 F 1 F 0 H 3. בסימונים של הסעיף הקודם כל ה α הם הומוטופיות קרי ההרחבה ב ב' היא יחידה עד כדי הומוטופיה). הוכחה: את כל המקרים נוכיח באינדוקציה. 1. בהינתן הסדרה המדויקת, f 0 צריכה להיות על, ולכן זו מנה של חבורה חופשית. אבל לפי משפט, כל חבורה היא מנה של חבורה חופשית, לכן קיימת f 0 : F 0 H כאשר F 0 חופשית ) F 0 = s S ו s f 0 s) = וגם נבחר S H קבוצת יוצרים, אפשר לקחת לדוג' S = H ונגדיר Zs.f 0 n s s) := n s f s) כעת, עבור f 1 : F 1 ker f 0 כך ש F 1 חופשית. לכן,Imf 1 = ker f 0 ונמשיך כמו קודם באינדוקציה..2 שוב באינדוקציה, "השלב ה 1 " הוא.α נניח שבנינו את α 1, α 0,..., α i ונרצה לבנות את i+1.α רוצים למצוא i+1 α i+1 : F i+1 F כך ש f i+1 α i+1 x) = α i f i+1 x) נבחר בסיס } α x} של 1+i F ומספיק לבדוק שלכל x α מתקיים f i+1 α i+1 x α ) = α i f i+1 x α ) מספיק לבדוק ש i α i f i+1 x α ) Imf i+1 = ker f כי F מדויקת. אבל, מדיוק, מתקיים: f i+1 α i f i+1 ) = α i 1 f i f i+1 = 0.3 יהיו α α, שתי העתקות F F ויהי α,β = α רוצים להוכיח כי α α זאת אומרת קיימים הומומורפיזמים i+1 λ i : F i F כך ש f β i = α i α i = f i+1 λ i + נוכיח באינדוקציה. בסיס האינדוקציה הוא כאשר = 0 0 λ 1 = λ F i+1 F i F i 1 ובסיס האינדוקציה מתקיים. נניח שבנינו i 1,λ 1, λ 0,..., λ נרצה לבנות i+1 λ i : F i F המקיימת F i f i+1 λ i = β i λ i 1 y := β i x) λ i+1 f i x) Imf i+1 = ker f i F i f i F i 1 β i β i 1 λ i λ i 1 f i+1 f i x F i חופשית ולכן מספיק להוכיח שלכל F i אם כן, נגדיר x).λ i x) := ỹ f i+1 אבל f i β i λ i 1 f i ) = f i β i f i λ i 1 f i Induction = f i β i β i 1 λ i 1 f i 1 ) f i = f i β i β i 1 f i λ i 1 f i 1 f i = 0 λ i 1 0 = 0 63

4 קוהומולוגיה 4.1 הגדרת Ext הגדרה :189 יהיו G, H חבורות אבליות. נבחר רזולוציה חופשית F של.H נתבונן בסדרה G) Hom F, סדרה שבמקום ה i נמצא G) :Hom F i, Ext 0 Hom F 0, G) Hom F 1, G)... F i קומפלקס ולכן = 0 2,d מכאן נובע כי G) Hom F, קומפלקס עם = 0 2 d תרגיל קל). נגדיר Ext i H, G) := H n Hom F, G)) i 0 Hom H 3, G) g f g למה.1 :190 תהי 0 H3 H 1 H2 סדרה מדויקת, אזי לכל G הסדרה f Hom H 2, G) היא מדויקת. Hom H 1, G) 2. אם f חח"ע ו H 3 חןפשית אזי f על. אינו תלוי ב F. Ext i H, G).1 משפט 191: Ext 0 H, G) = Hom H, G).2.3 אם H חופשית, אזי = 0 G) Ext i H, לכל > 0.i.i לכל > 1 Ext i H, G) = 0.4.5 כל הומומורפיזם f : G 1 G 2 משרה הומומורפיזם ) 2.Ext i H, G 1 ) Ext i H, G.6 כל הומומורפיזם H 1 H 2 משרה הומומורפיזם בכיוון ההפוך G).Ext i H 2, G) Ext i H 1, הוכחה: 7. ישנה סדרה ארוכה מדויקת ביחס ל H כש G קבועה, וישנה סדרה ארוכה מדויקת ביחס ל G כש H קבועה. F F, שתי רזולוציה חופשיות של H. רוצים להוכיח שקיים איזומורפיזם קנוני לא תלוי באף.1 יהיו H. לפי הלמה הקודמת, קיים הומומורפיזם Hom בחירה) בין G)) H i Hom F, לבין G)) i F, F α : F המרחיב את.Id H : H H גם לפי הלמה, קיימת ההעתקה F β : F המרחיבה את α β : F F.Id H : H H העתקה המרחיבה את,Id H אבל ישנה עוד העתקה המרחיבה.Id F הלמה טוענת ששתי העתקות המרחיבות אותו הדבר הן הומוטופיות, לכן את הזהות, והיא α β Id F ובצורה דומה עבור F.β α Id מכאן, F α : F מגדירה הומומורפיזם, ) Hom α, G) : Hom F, G Hom F, G) ובנוסף β מגדירה הומומורפיזם ) Hom β, G) : Hom F, G) Hom F, G נסמן את ההעתקות האלו α ו.β נטען כי β α Id וגם ) β.β α = α γ i δ i = b P + P a) ולכן γ P נסתכל על B γ P δ : A אז ) A δ : B ) ומכאן γ i δ i = b P + P a) ולכן משני הדברים האלה נקבל P = P b + a β α = α β) Id = Id 64

4 קוהומולוגיה 4.1 הגדרת Ext H i α β ) = H i α }{{} ) H i β ) : H i F ) H i F ) =H i Id)=Id כנ"ל גם עבור β.α לכן זאת אומרת ) α H i ו β H i הפוכים זה לזה. מסקנה, כל F α : F המרחיבה את Id H מגדירה.H i α ) : H לכן בהינתן הרחבה אחרת α היא הומוטופית לקודמת, איזומורפיזם ) F F ) i H i ).H i α ) = H α i ולכן α α ) ומכאן α α 2. בהגדרת הרזולוציה הגדרנו הסדרה המדויקת 0 H F. 1 F 0 לכן לפי הלמה הקודמת, הסדרה 0 f Hom H, G) 0 מדויקת לכן Hom F 0, G) f 1 Hom F 1, G) Hom H, G) = ker f 1 = H 0 Hom F 0, G)) = Ext 0 H, G).i לכל > 0 H i F ) לכן = 0.H רזולוציה של F = 0 H 0) חופשית ולכן H.3 4. נשתמש בעובדה הבאה: עובדה 192: אם A חבורה אבלית חופשית ו A B תת חבורה אזי B חופשית. מסקנה 193: לכל חבורה יש רזולוציה חופשית באורך 2. מדוע? אם יש העתקה על f 0 : F 0 H מתקיים כי ker f 0 חופשית, לכן 0 H ker f 0 F 0 0 רזולוציה חופשית. לכן = 0 ) F Ext i H, G) = H i לכל > 0.i.5 אם יש G 1 G 2 אז מתקבל ) 2 Hom F, G 1 ) Hom F, G ומזה מושרה הומומורפיזם על קוהומולוגיה..6 יהי A H 1 ו B H 2 רזולוציות חופשיות. ההעתקה H 1 H 2 משרה הומומורפיזם B A יחיד עד כדי הומוטופיה) ומכאן נקבל G Hom B), G Hom A), יחיד עד כדי הומוטופיה) וזה משרה הומומורפיזם של קוהומולוגיה שהוא יחיד. דוגמה 194: /nz H. = Z נבחר רזולוציה, והיא תהיה די קלה: 0 Z n Z Z /nz 0 F = Hom F, G) = ) 0 Z n Z 0 Hom Z, G) = G ) 0 G n G 0 0 i > 0 Ext i Z /nz, G) = H i Hom F, G)) = G/n G i = 1 G [n] = {g G g n = 0} i = 0 ומכאן ולכן לכן ומכאן 65

4 קוהומולוגיה 4.1 הגדרת Ext הערה 195: מהמשפט, החל מעתה נסמן G Ext,H) G = Ext 1,H) שכן מעל 1 זה טריוויאלי, ועבור 0 זה.Hom H, G) משפט 196: אם C קומפלקס שרשראות כך ש C i חבורה אבלית חופשית לכל i. אזי יש סדרה מדויקת מתפצלת 0 Ext H n 1 C), G) H n C, G) }{{} Hom H n C), G) 0 H n HomC,G)) H n C, G) = Ext H n 1 C), G) Hom H n C), G) בפרט דוגמה 197: אם X מרחב טופולוגי, X) C כמו קודם, אזי X) C i חופשית אזי יש סדרה מדויקת מתפצלת 0 Ext H n 1 X), G) H n X, G) Hom H n X), G) 0 0 C 0 X, G) d0 C 1 X, G)... דוגמה = 0.1 :198.n H 0 X, G) = ker d 0 C 0 X, G) = Func X 0, G) = Func X, G) C 1 X, G) = Func X 1, G) = Func P X), G) כאשר ב X ) P הכוונה למסילות ב X. ϕ C 0 X, G) ; ϕx G המוגדרת על ידי d 0 ϕ) γ) = ϕ γ 1)) ϕ γ 0)) ולכן ker d 0 הם כל הלולאות שקבועות על מרכיבי הקשירות המסילתית. מצד שני H 0 X) = Zα α Π 0X) Hom H 0 X), G) = Func Π 0 X), G) = Func H 0 X, G), G ) ולכן = 1.2.n H 0 X) חופשית ולכן = 0 G) Ext H 0 X), ולכן לפי המשפט H X, G) = Hom H 1 X), G) = Hom Π 1 X), G) 66

4 קוהומולוגיה 4.1 הגדרת Ext 3. לפי "אינדוקציה של מהנדסים", אחרי שהוכחנו ל 0 ול 1, אפשר להסיק שזה נכון כך לכל n. N דוגמה :199 H חבורה אבלית נוצרת סופית. כלומר,.H = Z n H tor נסתכל על Z).Hom H, מתקיים Hom H, Z) = Hom Z n, Z) Hom H tor, Z) = Z n 0 = Z n זה איזומורפיזם לא קנוני, אבל בשביל חישובים זה מספיק טוב. כעת נחשב את ה Z.Ext,H) Ext H, Z) Z n fact = Ext Z n, Z) Ext H tor, Z) is free = 0 Ext H tor, Z) H tor = Z/n i Z = 0 i Z/n iz = H tor קיבלנו H = Hom H, Z) Ext H, Z) מסקנה :200 אם X מרחב טופולוגי כך ש X ) H i נוצר סופית לכל,i אזי tr H i X, Z) = H i X).H i 1 X) tor משפט 201: נמשיך עם המשפט מרובה הסעיפים מקודם. G Ext i,h) נותנת סדרה ארוכה מדוייקת ביחס ל H ו G. זאת אומרת:.7 אם 0 3 H 1 H 2 H 0 מדוייקת אזי Ext i H 3, G) Ext i H 2, G) Ext i H 1, G) Ext i+1 H 3, G)....8 אם 0 3 G 1 G 2 G 0 מדוייקת אזי Ext i H, G 1 ) Ext i H, G 2 ) Ext i H, G 3 ) Ext i+1 H, G 1 )... ) 3 F). נרצה לטעון שהרזולוציה החופשית המתאימה H 3,F 1 ).7 נבחר רזולוציות חופשיות H 1 ) 1 F). נבנה אותה כך שהדיאגרמה הבאה מתחלפת F 3 ) ל H 2 היא 0 H 1 H 2 H 3 0 הוכחה: 0 F 1 ) F 2 ) F 3 ) 0 אם זה אכן המקרה אז נקבל הסדרה המדויקת הבאה 0 Hom F 3 ) G) Hom F 2 ), G) Hom F 1 ), G) 0 67

4 קוהומולוגיה 4.1 הגדרת Ext ) 2 F באינדוקציה. ) 3 Hom F)) חופשית, ולכן הסדרה מתפצלת. נבנה את וזאת כי G, f 0 H 1 H 2 H 3 0 α γ β 0 F 1 ) 0 F 1 ) 0 F 3 ) 0 F 3 ) 0 0 β הרמה של β : F 3 ) 0 כך שהדיאגרמה מתחלפת. נקח H 2 γ : F 1 ) 0 F 3 ) 0 נרצה לבנות H 2 אפשרי להרים כי זו חבורה חופשית וההעתקה היא על) ונגדיר γ x, y) = f α x)) + β y) g כעת, לפי למת הנחש יש סדרה מדויקת 0 ker α ker γ ker β co ker α co ker γ co ker β 0 אבל α על ולכן = 0 α,co ker ומהגדרת β נקבל כי = 0 β.co ker מדיוק נקבל כי = 0 γ.co ker לכן קיבלנו סדרה קצרה מדויקת ומכאן γ על. לכן נקבל את הדיאגרמה המדוייקת הבאה: f 0 H 1 H 2 H 3 0 α γ β 0 F 1 ) 0 F 1 ) 0 F 3 ) 0 F 3 ) 0 0 g 0 ker α ker γ ker β 0 0 F 1 ) 1 F 2 ) 1 F 3 ) 1 0 ומכאן אפשר פשוט להמשיך באינדוקציה באותה דרך כמו שעשינו..8 יהי F H רזולוציה חופשית. )) α.ext i H, G α ) = H i Hom F, G סדרה 2 G 1 G 0 0 3 G משרה סדרה מדויקת של קומפלקסים 0 Hom F, G 1 ) Hom F, G) Hom F, G 3 ) 0 0 Hom F i, G 1 ) Hom F i, G) Hom F i, G 3 ) 0 שמשרה סדרות קצרות מדויקות מדוייקת כי F i חופשית. לכן זו סדרה ארוכה מדויקת על H. i משפט 202 משפט המקדמים האוניברסליים): יהי C קומפלס כך שכל C i חבורה אבלית חופשית, אזי לכל חבורה אבלית G יש סדרה מדויקת מתפצלת 0 Ext H i 1 C), G) H i C, G) Hom H i G), G) 0 יתר על כן, היא פונקטוריאלית ב C. מסקנה 203: יהי D α : C הומומורפיזם של קומפלקסים עם כל חבורות חופשיות..1 אז α משרה העתקות D) H i α) : H i C) H i ו G.H i α, G) : H i D, G) H i C,.2 יתר על כן, אם α) H i איזומורפיזם לכל α אזי G) H i α, איזומורפיזם לכל.i 68

4 קוהומולוגיה 4.1 הגדרת Ext הוכחה: של המסקנה). את 1 ראינו כבר, לכן נוכיח את 2. לפי המשפט α משרה דיארגרמה מתחלפת. 0 Ext H i 1 C), G) H i C, G) Hom H i C), G) 0 1 3 2 0 Ext H i 1 D), G) H i D, G) Hom H i D), G) 0 כאשר 1) ו 2 ) משרים α) H i איזומורפיזם, ולכן לפי למת החמש 3) איזומורפיזם. ונגדיר Z n = ker n C n ו B n = Im n+1 C n ולכן n+1 הוכחה: של המשפט) Cn 1 C n+1 Cn n יש סדרות מדויקות 0 Z n+1 C n+1 B n 0 היות ש C n חופשיות אזי גם 1+n B n, Z חופשיות. מסדרה מדויקת של חבורות אפשר לקבל סדרה מדויקת של 0 Z n+1 C n+1 B n 0 הוכחה: 0 0 0 Z n C n B n 1 0 קומפלקסים. ולכן 0 0), B Z, 0) C, ) 0 מדויקת. לכל חבורה אבלית C נסמן G) C = Hom C, נפעיל ונקבל סדרה של קומפלקסים 0 B, 0) C, ) Z, 0) 0 אזי היא מדויקת כי כל החבורות חופשיות. נשים לב ש H i Z ) = Z i ו i 1 H i B ) = B ולכן נקבל סדרה ארוכה מדויקת H i 1 Z ) δi 1 H i B ) H i C ) H i Z ) δi H i+1 B ) 0 co ker δ i 1 H i C ) ker δ i 0 לכן מקבלים סדרה מדויקת למה? מושאר כתרגיל על ההגדרות של סדרה מדויקת). נטען שהסדרה הזו היא למעשה הסדרה שאנחנו רוצים להוכיח. נחקור את ההעתקה.δ i : Zi B i היא מושרית מהשיכון η i : B i Z i ההוכחה מושארית כתרגיל). ניזכר כי H i C) = Zi B/ i ולכן ישנה הסדרה הקצרה המדויקת η i 0 B i Zi H i C) 0 וזוהי למעשה רזולוציה חופשית של C) H. i לכן ) Ext i H i C), G) = H 0 i Zi δ i Bi 0 Ext 0 = Hom H i C), G) = ker δ i ולכן Ext H i C), G) = co ker δ i צריך להראות עתה מדוע זה מתפצל, הסיבה להתפצלות היא כי 0 1 n Z n C n B 0 מתפצלת בשל חופשיות החבורות. 69

4 קוהומולוגיה Tor 4.2 Tor 4.2 הגדרה :204 לכל חבורות אבליות H, G נבחר רזולוציה חופשית 0 H F ונגדיר Tor i H, G) = H i F G) Tor טענה 205: התכונות של Tor הן: 1. ה Tor לא תלוי בבחירת F..i לכל > 1 Tor i H, G) = 0.2 H חופשיות יש פה למעשה שתי טענות). זאת שכן אם G או H אם i לכל 0 Tor i H, G) = 0.3 חופשית אז זה כמו ב Ext, אם G חופשית אזי טינזור עם G מעביר סדרות מדויקת למדויקות. משפט 206: C קומפלקס, C i חבורות חופשיות לכל G i, חבורה אבלית, אזי יש סדרה מדויקת 0 H n C) G H n C G) Tor H n 1 C), G) 0 מסקנה 207: יהי X מרחב טופולוגי, G חבורה אבלית, אזי יש סדרות מדויקת מתפצלות 0 Ext H n 1 X), G) H n X, G) Hom H n X), G) 0 0 H n X) G H n X, G) Tor H n 1 X), G) 0 הומולוגיה מצומצמת 4.3 קוהומולוגיה מצומצמת הגדרה 208: ההומולוגיה המצומצמת תוגדר להיות ) C X, G) = Hom C X), G H ) n X, G) = H n C X, G) לכל > 0 n מתקיים כי G) H n X, G) = H n X, אבל עבור = 0 n מתקיים H 0 X, G) = {f:x G f constant on connected parts}/{constant functions} 0 C n X, A, G) }{{} ={ϕ:x n G ϕ An =0} קוהומולוגיה יחסית הגדרה 209: קוהומולוגיה יחסית עבור A,X) זוג, נגדיר 0 C n A) C n X) C n X, A) 0 מדוייקת ומתפצלת. נפעיל Hom ונקבל C n X, G) }{{} C n A, G) }{{} 0 ={ϕ:x n G} ={ϕ:map n,a) G} H n X, A, G) = H n C X, A, G)) H n X, A, G) H n X, G) H n A, G) H n 1 X, A, G) ונגדיר וזה משרה סדרה ארוכה מדויקת 70

4 קוהומולוגיה 4.4 מכפלות כוס טענה :210 לכל B) f : X, A) Y, משרה העתקה G).f : H n Y, B, G) H n X, A, טענה :211 אם B) f : H n X, A) H n Y, היא איזומורפיזם לכל n אזי f איזומורפיזם, מלמת החמש ומשפט המקדמים האוניברסליים. טענה :212 אם B) f g : X, A) Y, אזי g.f = 4.4 מכפלות כוס בפרק זה נסביר "למה קוהומולוגיה יותר טובה מהומולוגיה", או במלים אחרות, למה ללמוד את אותו הדבר אבל הפוך. מסתבר שלקוהומולוגיה יש מבנה נוסף, והוא של מכפלה, מה שמוסיף לעבודה איתה. יהי R חוגי, נגדיר העתקה C k X, R) }{{} =FunX k,r) C l X, R) }{{} =FunX l,r) C k+l X, R) }{{} FunX k+l,r) ψ, ϕ) ψ ϕ) σ) = ψ ) σ v0,...,v k )) ϕ σ vk,...,v k+l ) על ידי כאשר כרגיל σ : k+l X d ψ ϕ) = dψ ϕ + 1) k ψ dϕ) למה :213 לכל R) ψ C k X, ו R ϕ C l X, אזי dψ ϕ) σ) = dψ) ) σ [v0,...,v k+1 ]) ϕ σ [vk+1,...v k+l+1 ] = k+l 1) i ψ ) σ [v0..., ˆv i,...,v k+1 ]) ϕ σ [vk+1,...,c k+l+1 ] i=0 הוכחה: 1) k ψ dϕ) σ) = 1) k ψ ) σ [v0,...,v k ]) dϕ σ [vk,...,v k+l+1 ] k+l+1 = 1) k i=k 1) i k ψ ) σ [v0,...,v k ]) ϕ σ [vk,..., ˆv i,...,v k+l+1 ] dψ ϕ) σ) + 1) k ψ dϕ) σ) = ψ σ) σ) משני אלה נקבל זאת שכן ψ ϕ) σ) = = k+l+1 i=0 1) i ψ ϕ) ) σ [v0,..., ˆv i,...v k+l+1 ] k 1 1) i ψ σ [vo,..., ˆv i,...,v k+1 ]) ϕ σ [vk+1,...,v k+l+1 ]) + i=0 k+l+1 i=k+1 1) i ψ ) σ [v0,...,v k ]) ϕ σ [vk,..., ˆv i,...,v k+l+1 ] 71

4 קוהומולוגיה 4.4 מכפלות כוס ולכן הפיתוח של σ) dψ ϕ יחד עם הפיתוח של σ) 1 ) k ψ) dϕ) נקבל את הפיתוח האחרון עם איבר חסר. מדוע? כי בראשון יש + 2 k איברים ובשני יש + 2 l איברים, ובשלישי יש + 2 l k + איברים, אבל יש הצמטמצמות..1 אם R) ψ Z k X, כאשר Z k = ker d ו R ϕ Z l X, אזי ψ ϕ ker d כי מסקנה 214: d ψ ϕ) = dψ ϕ + 1) k ψ dϕ = 0 + 0 = 0.2 אם R) ψ Z k X, ו R ϕ B l X, או ψ Imd ו d ϕ ker אזי.ψ ϕ Imd זאת כי אם = 0 dψ אזי dτ = ϕ כמקור, אזי מתקיים ψ ϕ = ψ dτ = 1) k d ψ τ) dψ τ) ψ dτ = 1) k d ψ τ) Imτ ולכן א) R) : C k X, R) C l X, R) X k+l X, משרה העתקה על קהומולוגיה : H k X, R) H l X, R) H k+l X, R) [ψ] [ϕ] [ψ ϕ] R) H X, הגדרה :215 נגדיר H X, R) = n H n X, R) עם כפל ψ ϕ) ψ ϕ לכל ϕ H l ו ϕ H k ונרחיב על ידי ליניאריות. שבוע המודעות לחשיבות מכפלת הכוס. אילוסטרציה. למה :216 הכפל הוא אסוציאטיבי. זאת אומרת, לכל R) ϕ i C ki X, מתקיים ϕ 1 ϕ 2 ) ϕ 3 = ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 ) מסקנה :217 R) H X, חוג עם יחידה R) H 0 X,.1 72

4 קוהומולוגיה 4.4 מכפלות כוס H k X, A, R) H l X, A, R) H k+l X, A, R) טענה 218: לכל A,X) ההעתקה משרה H k X, A, R) H l X, R) H k+l X, A, R) H k X, R) H l X, A, R) H k+l X, A, R) מדוע? זה נכון עבור C: C k X, A, R) = {ϕ : X k R ϕ AK = 0} : C k X) }{{} ψ C l X) C k+l X) }{{} ϕ משרה אם R) ψ C k X, A, או R) ϕ C l X, A, אז R).ψ ϕ C k+l X, A, טענה 219: אם,A B X פתוחות או X מרחב CW ו,A B תת מרחבים. אזי משרה העתקה H k X, A, R) H l X, B, R) H k+l X, A B, R).C k A + B) = σ A k B k הוכחה: נגדיר X) C k A + B) = C k A) + C k B) C כמו קודם, כי Zσ הערה :220 נזכיר כי,A B) k A k B k אגף שמאל מכיל יותר איברים מצד ימין. לכן B).C k A + B) C k A נגדיר R).C k A + B) = Hom C k A + B), בנוסף נגדיר C k X, A + B, R) = ker C k X, R) C k A + B, R) ) C k X, A, R) C l X, B, R) C k+l X, A + B, R) ולפי הגדרה, ההעתקה משרה העתקה מכאן אנחנו מקבלים שתי סדרות מדויקות של קומפלקסים: 0 C k X, A + B, R) C k X, R) C k A + B, R) 0 = 0 C X, A B, R) C X, R) C A B, R) 0 והדיאגרמה מתחלפת. נגדיר H k X, A + B, R) = X k C X, A + B, R)) H k X, A, R) H l X, B, R) H k+l X, A + B, R) 1) משרה העתקה H k+l X, A B, R) ונטען ש 1 ) בהנחות הנ"ל היא איזומורפיזם. בהתאם לדיאגרמה המתחלפת מקודם, נקבל דיאגרמה מתחלפת חדשה: H k 1 X, R) H k 1 A + B, R) H k X, A + B, R) H k X, R) H k A + B, R) = = H k 1 X, R) H k 1 A B, R) H X, A B, R) H X, R) H A B, R) 73

4 קוהומולוגיה 4.4 מכפלות כוס לפי למת החמש, מספיק להראות ש R H k A B, R) H k A + B, היא איזומורפיזם. מוגדרת העתקה B),i : C A + B) C A וראינו בשני מקרים ש i משרה איזומורפיזם על הומולוגיה משפט הכריתה). לכן, לפי מסקנה של משפט המקדמים האוניברסליים ההעתקה i משרה איזומורפיזם R) H k i) : H k A B,.H k A + B, R) למה :221 כל העתקה רציפה f : X Y משרה הומומורפיזם של חוגים R).f : H Y, R) H X, הוכחה: נראה שלכל R) ϕ C l Y, R),ψ C k Y, מתקיים ϕ).f ψ ϕ) = f ψ) f אכן, לכל σ : k+l X מתקיים f ψ ϕ) σ) = ψ ϕ) f σ) = ψ ) f σ [v0,...,v k ]) ϕ f σ [vk,...,v k+l ] = f ψ) σ [v0,...,v k ]) f ϕ) ) σ [vk...,v k+l ] = f ψ) f ϕ) σ) מסקנה :222 אם X Y אזי R) H X, R) = H Y, כחוגים. משפט :223 אם R חוג קומוטטיבי, אזי לכל A) X, וכל R) β H m X, A, R),α H n X, A, מתקיים α β = 1) nm β α וזה אם ורק אם R) H n = H X, A, וסופר קומוטטיבי). הוכחה: לפשטות נניח =.A נשים לב שאם R) ψ C n X, ו R ϕ C m X, אזי ψ ϕ) σ) = ψ ) σ [v0,...,v n]) ϕ σ [vn,...,v n+m] ϕ ψ) σ) = ϕ ) σ [v0,...,v m]) ψ σ vm...,v m+n ) nn+1).ε n = 1) לכל σ : n X נסמן σ : n X על ידי: 2 1... n לכל n נגדיר = sign n... 1 [v n,..., v 0 ] n X [v 0,..., v n ] n σ σ ונגדיר X) ρ : C n X) C n על ידי.ρ σ) = ε n σ למה :224 X) ρ : C X) C מורפיזם של קומפלקסים. ז"א,.ρ = ρ הוכחה: נחשב: ρ σ) = ε n σ) = ε n σ n = ε n 1) i ) σ [v0,..., v n i,...,v ˆ n] i=0 n = ε n 1) i σ [vn,..., i=0 n = ε n 1) i σ i=0 v n i,...,v ˆ 0] 74

4 קוהומולוגיה 4.4 מכפלות כוס n ) ρ σ) = ρ 1) i σ [v0,..., ˆv i,...,v n] i=0 n ) = ε n 1 1) i σ [v0,..., ˆv i,...,v n] i=0 = ε n 1 1) i σ [vn,..., ˆv i,...,v 0] C X).ρ Id הוכחה: "כותבים הומוטופיה". טענה 225: הוכחה: כעת נטען כי ρ ψ) ρ ϕ) = 1) nm ρ ϕ ψ) בהינתן R) ψ C n X, ו R ϕ C m X, מתקיים ρ ψ) ρ ϕ)) σ) = ρ ψ) σ [v0,...,v n]) ρ ϕ) ) σ [vn,...,v n+m] = ε n ψσ [vn,...,v 0]) εm ϕ ) σ [vn+m,...,v n] ρ ϕ ψ) σ) = ε n+m ϕ ψ) ) σ [vn+m,...,v 0] )) = ε n+m ϕ σ [vn+m,...,v n]) ψ σ [vn,...,v 0] ε n+m ε n ε m = 1) nm בכיוון השני וההבדל הוא בסימנים בלבד. ומתקיים מדוע? כי n + m) n + m + 1) 2 = = n n + m + 1) + 2 n n + 1) + nm 2 2 m n + m + 1) 2 + m m + 1) 2 + nm 2 כעת, נבחר,ϕ ψ כך ש [ ψ ] α = ו [ ϕ ] β = כמחלקות שקילות בקהומולוגיה). אזי α β = [ψ] [ϕ] = [ψ ϕ] ρ Id = [ρ ψ ϕ)] = [ρ ϕ) ρ ψ)] 1) nm = [ρ ϕ] [ρ ψ] 1) nm = [ϕ ψ] 1) nm = 1) nm β α 75 דוגמה.1 :226 אם = X אזי R).R = H X,

4 קוהומולוגיה 4.4 מכפלות כוס α 2 R = H 2 S 1, R ) = ולכן H 1 S 1, R ) = ו αr H 0 S 1, R ) = R זאת כי.H S 1, R ) = R[α] /α 2 ).2.0.3 נסתכל על ) n+1 H RP n, Z /2Z) = Z /2Z[α]/α כאשר = 1 α.deg.deg α עם = 1 H RP, Z /2Z) = Z /2Z [α].4.deg α עם = 2 H CP n, Z) = Z[α] /α n+1 ).5.deg α עם = 2 H CP, Z) = Z [α].6 הוכחה: 1. קל. H 0 S 1 ) = Z וגם H 1 S.2 משיקלוי מימד ) R.H 0 S 1, R ) H 1 S 1, R ) = H S 1, ומתקיים כי = Z ) 1 ומזה נובע כי H 1 S 1, R ) = R לדוג', ממשפט המקדמים האוניברסליים, כי Z חופשית ולכן אין.Ext.3 ראינו כי H i RP n, Z /2Z) = Z /2Z כי הקומפלקס התאי בכל מקום היה Z /2Z ו היה לפעמים 2.H RP n, Z /2Z) = n צריכים להראות כי ולפעמים,0 וב 2Z / Z זה תמיד.0 לכן /2Z) i=0 Hi RP n, Z RP i RP n נזכור כי. Z יוצר ופירושו, במקרה הזה, הוא לא,0 כי אנחנו ב 2Z / α H 1 RP n, Z /2Z) משרה איזומורפיזם i) H j RP n ) H j RP לכל j i.0 את ) n H j RP אפשר לחשב על ידי 0 H a RP a, RP a 1) 0 לכל a n,0 באופן דומה אפשר לחשב את i) H j RP עבור a i.0 מכאן נקבל כי = ) n H j RP.0 α β אזי 0 β H n 1 RP n ו 0 α H 1 RP n ) לכן מספיק להראות שאם.H i RP i) נסמן )} n.rp n i = {0,..., 0, x i,..., x n )},RP i = {x 0,..., x i, 0..., 0)},RP n = {x 0,... x, נשים לב שמתקיים 0},... 0, 0, 1,... {0, = n i RP i RP כאשר ה 1 הוא במקום ה i. נגדיר U = {x x i 0} RP n ולכן U = R n על ידי ) n a 1,..., a n ) a 1,..., a i, 1, a i+1,..., a ומעתה נזהה את U עם R n על ידי האיזומורפיזם הזה לכל האורך. כעת נשים לב: U RP i = R i R n R n RP n i = R n i R n R i R n i = 0 R n כעת נתבונן בדיאגרמה: H i RP n ) H n i RP n ) H n RP n ) H i RP n, RP n RP n i) h n i RP n, RP n RP i) H n RP n, RP n ) H i R n, R n R n i) H j R n, R n R n i) H n R n, R n ) 1) 2) 3) 4) 5) 6) מספיק להראות ש 5 ) = 2) איזומורפיזמים ולכן 6) מעתיק יוצר יוצר ליוצר. בנוגע ל 5 ) זהו איזומורפיזם לפי משפט הכריתה. זאת כי { } \ n.r n \ { } R n = R בנוגע ל 3 ) מתקיים כי { } \ n,rp n 1 RP יתר על כן i 1 RP n \RP n i RP יש עיוונסג מאגף ימין לאגף שמאל). בנוסף, { } \ n RP n 1 RP משרה איזומורפיזם n 1) H a RP n \ { }) H a RP לכן לפי למת החמש נקבל איזומורפיזם: 76

4 קוהומולוגיה 4.4 מכפלות כוס H n RP n, RP n \ ) H n RP n, RP n 1) H n RP n ) ולכן יש איזומורפיזם. 2) ו 4 ) לא נראה משיקולי זמן. הגדרה 227: לכל,X Y נגדיר : H i X, R) H j Y, R) H i+j X Y, R) ובהינתן ההטלות p 1 : X Y X ו p 2 : X Y Y נגדיר α β = p 1α p 2β H i R n, R n \R j) H i R n, R n \R i) H n R n, R n \ {0}) ויש דיאגרמה מתחלפת: H i I i, I i) H j I j, I j) H n I n, I n ) מספיק להראות ש 0 β α אם 0 β.α, H i A) H j Y ) H i+j A Y ) Id H i+j X, A) H j Y ) H i+j+1 X Y, A Y ) למה 228: הדיאגרמה הבאה מתחלפת בהינתן A),X Y כאן תם השיעור האחרון. 77

5 תרגול ראשון חלק II תרגולים 5 תרגול ראשון 5.1 מכפלה חופשית של חבורות בהינתן שתי חבורות,G H נרצה חבורה שתכיל את שתיהן. אפשר להציע את המכפלה של שתי החבורות G. H ההצעה הזו מאוד טבעית בהקשר של חבורות אבליות, אך בהקשר של חבורות לא אבליות זו לא הצעה טבעית, במובן שהוספנו קשר לא הכרחי בין אברי G לאיברי H. כי כל איבר מהצורה 1,g) מתחלף עם איבר מהצורה h,1). נרצה מבנה בו הם לא בהכרח יתחלפו אחד עם השני. נגדיר כעת את המכפלה החופשית, והיא תהיה הרבה יותר גדולה. מה שכן, נקבל איתה תכונה אוניברסלית שאומרת שאם יש שיכונים לתוך G ו H מאיזושהי חבורה, אז יש גם למכפלה החופשית באופן טבעי. מלים הגדרה 229: α G חבורה, α I קבוצת אינדקס. נגדיר את Ω להיות אוסף כל המלים באלף בית של מצומצמות }) Gα α I G α \ {1 כך ש w = g 1 g 2 g n עבור g i G αi כך שלכל.αi α i+1 1 i n ייקרא אוסף המלים המצומצמות. עבור מלה כללית σ באלף בית המקיימת σ = g 1 g 2 g n אם g i, g i+1 G α אז המלה σ = g 1 g 2 g i 1 g i g i+1 ) g i+2 g n תיקרא צמצום של.σ אם = 1 i+1 g i g אז.σ = g 1 g 2 g i 1 g i+2 g n אמרנו "צמצום" ולא "הצמצום", כי יש הרבה צמצומים. הערה 230: לכל מלה, ניתן להגיע ממנה אל מלה מצומצמת על ידי סדרה סופית של פעולות צמצום. נגדיר על המלים המצומצמות מבנה של חבורה. עבור,σ τ Ω נגדיר σ τ להיות המלה המצומצמת המתקבלת מצמום של השרשור של σ ו τ. טענה 231: פעולת השרשור והצמצוםם מגדירה מבנה של חבורה על Ω. נגדיר לכל } Gα g G α \ {1 את הפונקציה L g : Ω Ω על ידי "בערך" :L g σ) = g σ g σ = ɛ The empty word g σ σ = g 1 g n g 1 / G α L g σ) = g 1 g n σ = g 1 g 1 g n ɛ σ = g 1 g g 1 ) g 2 g n g 1 G α g 1 g 1 1 L L g 1 = וגם.L g L h = L gh בנוסף, אם τ צמצום של ישירות מטבלת הפעולה נקבל כי L g הפיכה על ידי g σ נקבל כי τ) L g σ) = L g זאת באמצעות אינדוקציה על מספר הצמצומים. α G α הוא אוסף המלים המצומצמות באלף בית }) Gα G α \ {1 עם פעולת השרשור והצמצמום. G 0. G α היא תת חבורה של G α הגדרה 232: טענה 233: משפט 234 התכונה האוניברסלית של המכפלה החופשית): עבור G α חבורות, מתקיים: G α G 1 ϕ 0 ϕ 1! ϕ. H ϕ α G α 78

5 תרגול ראשון 5.2 החבורה החופשית עם שני יוצרים בהינתן העתקות ϕ, α : G α H התכונה האוניברסלית של המכפלה החופשית קובעת שקיימת העתקה יחידה ϕ : G α H כך שלכל α מתקיים.ϕ Gα = ϕ α הוכחה: עבור.σ = g 1 g 2 g n לכן ) n ϕ σ) = ϕ α1 g 1 ) ϕ α2 g 2 ) ϕ αn g וזה עובד בדיוק בשל החופשיות של המכפלה. 5.2 החבורה החופשית עם שני יוצרים a n1 b n2 a n3 איברים במכפלה יהיו מהצורה.Z = {a n n Z} נסתכל על השלמים בצורה כפלית.Z Z b nm. דרך נוחה לחשוב על החבורה הזו הוא על ידי הציור 5.3 קומפלקסי CW קומפלקס תאי אנחנו עומדים לבנות מרחבים יחסית מורכבים מתוך מרחבים פשוטים יחסים, במקרה הזו מתוך הכדורים ה n מימדיים. הרעיון: נתחיל מנקודות, ונחבר אותן בקווים. אין לנו בעיה שקו יתחיל וייגמר באותה נקודה. הגדרה 235: נתחיל מ X 0 שהוא מרחב דיסקרטי. נבחר בשלב ה n אוסף של העתקות רציפות n ϕ n α : Dα 1 n X כאשר Dα n הומיאומורפי לכדור ה n ממדי. X n = Xn 1 D n α ) /ϕ n α x) x באופן כללי U X היא פתוחה אם ורק אם U X n פתוחה לכל n. הגדרה 236: P R n P R n = Rn+1 \{0}/x λx טענה :237 /x x.p R n = Sn ל P R 2 יש מבנה של קומפלקס תאי עם תא אחד מכל ממד.0, 1, 2 הוכחה: ϕ 2 : D 2 X 1 על ידי S 1 P R 1 על ידי ההעתקה שמאחדת נקודות אנטיפודיות). עובדה :238 באופן כללי אפשר לבנות את P R n על ידי איחוד תאים מכל ממד m e 0 e 1 e כאשר.x x המזהה ϕ m על ידי העתקה המנה ϕ m : e m X n 1 = P R על ידי n 1 הוא תא n ממדי. e n 79

6 תרגול שני 5.4 סכומי טריז 5.4 סכומי טריז סכום טריז הגדרה :239 נניח X, Y מרחבים ונבחר x 0 X ו.y 0 Y נגדיר.X Y = X Y /x 0 y 0 איחוד זר הוא טריוויאלית לא קשיר, ולכן נדביק אותם בנקודה. נניח X קומפלקס,CW ננסה להבין מהו 1 n. Xn X/ נקבל: X n /X n 1 = α S n מכפלה ממוזגת 6 תרגול שני 6.1 מכפלה ממוזגת ניקח את המרחב ונחלק אותו לשתי קבוצות פתוחות,,A. B כל מסילה במרחב שלנו X מתפרקת לחלק שלה ב A או לחלק שלה ב B, ובל נשכח את החלק ב B A. נרצה אובייקט שיתייחס לעובדה שלולאות ב B A נמצאות גם ב A וגם ב B ויתייחס אליהם כזהות, ולא יסתכל על החבורות היסודיות שלהן בנפרד. הגדרה 240: נניח ש L,G,H חבורות. L λ µ G H λ x) µ x) שנוצרת על ידי האיברים 1 G H התת חבורה הנורמלית של K L = G L H = G H /K L נגדיר את 1 x) λ x) µ L).x נגדיר את להיות המכפלה הממוזגת Amaglamation) של,G H ביחס ל L. הערה 241: נרצה בעצם לזהות את האיברים x) λ עם x) µ כאותו איבר. משפט 242 התכונה האוניברסלית של מכפלה ממוזגת): בהינתן הדיאגרמה הבאה: λ G p L G L H! τ A µ q φ ψ H אזי מכפלת התצרוכת G L H גורמת לכך שקיימת ויחידה ההעתקה τ והדיאגרמה מתחלפת. ופירושו שלא משנה באיזה מסלול נבחר במערכת המורפיזמים נגיע לאותו המקום. p g) = { [g] g 1 [ɛ] g = 1 הערה 243: p מוגדרת באופן הבא. עבור g: G באופן דומה q: q h) = { [h] h 1 [ɛ] h = 1 80

6 תרגול שני 6.1 מכפלה ממוזגת G p q φ G H ψ! τ A ϕ λ x)) = ψ µ x)) p λ x)) = q µ x)) לכל x L מתקיים שכן אנחנו רוצים שיתקיים יתקיים ב H.G L הוכחה: נסתמך על תכונה אוניברסלית שנוכיח עוד מעט H נציב בתוך הדיאגרמה הזו את,φ ψ מהדיאגרמה שאנחנו רוצים להוכיח. מההתחלפות של הדיאגרמה נסיק שהגרעין של τ מכיל את.K L עבור x L צריך להסביר למה.p λ x)), q µ x) 1) ker τ נשתמש בנתון העיקרי שלנו לגבי τ : τ p y)) = φ y) τ q z)) = ψ z) ונתון לנו מהדיאגרמה המקורית φ λ = ψ µ לכן נרצה להציב x) y = λ ו x ).z = µ נקבל τ p λ x))) = τ p y)) = φ y) = φ λ x)) τ q µ x))) = τ q z)) = ψ z) = ψ µ x)) ושמתקיים השוויון φ λ x)) = ψ µ x)) לכן.K L ker τ הערה 244: הוכחנו ש τ K L ker כדי שההעתקה τ תהיה מוגדרת היטב. לכן יש τ : G H K/ L A המוגדר על ידי x) τ. [x]) = τ נראה שזה מממש את ההתחלפות של הדיאגרמה. נוכל כעת לסמן φ = τ p ו q.ψ = τ φ g)? = τ p g)) = τ p g)) = φ g) ובאופן דומה עבור ψ. 81

6.1 מכפלה ממוזגת 6 תרגול שני G H p q φ G H ψ משפט 245 התכונה האוניברסלית של מכפלה חופשית): הדיאגרמה הבאה מתחלפת:! τ A הוכחה: נגדיר את τ על } H G H\ {1 G, 1 על ידי τ x) = { φ x) ψ x) x G x H עבור מלה כלשהי נגדיר τ g 1 g 2... g n ) = τ g 1 ) τ g 2 )... τ g n ) נוכיח כי τ לא תלויה בצמצומים. מרגע שנוכיח את זה סיימנו, שכן נוכל להגדיר את τ למלים מצומצמות, והחבורה שלנו פועלת כשרשור וצמצום, והצמצום לא משפיע על τ אזי τ פועלת בהתאם לפעולת החבורה. =ĝ i {}}{ נניח.σ = g 1 g i 1 g i g i+1 g m ונגדיר.σ = g 1 g i 1 g i g i+1 ) g i+1 g m נניח ש 1 i :ĝ τ σ) = τ g 1 ) τ g i ) τ g i+1 ) τ g m ) היות ש i+1 g i, g מאותה חבורה בה"כ G אזי ) i τ g i ) = φ g וגם ) i τ g i ) = φ g ולכן τ g i ) τ g i+1 ) = φ g i g i+1 ) = φ ĝ i ) = τ ĝ i ) דוגמה 246: קשיר טורוס. נחפף קצת את החלק הטופולוגי ונדגיש את החלק האלגברי). ותהי מסילה שמלפפת את עצמה סביב הטורוס K המבצעת n סיבובים סביב המעגל הגדול לכל m סיבובים סביב המעגל הקטן. ניזכר שהטורוס הוא בעצם S. 1 S 1 נסתכל על k : S 1 S 1 S 1 המוגדרת על ידי אנחנו מתעניינים ב K \ R 3 כאשר k z) = z n, z m ) נצטרך ש n.m זרים, אחרת נעשה את אותו המסלול כמה פעמים. k) K. = Im זהו המרחב התלת ממדי ללא מסילה חד ממדית. 82

6 תרגול שני 6.1 מכפלה ממוזגת 1 כאשר זו הספירה התלת ממדית, אבל נתייחס אליה בתור = 3 S R 3 \K ) = 1 טענה :247 ) \K S 3 חד נקודתית של.R 3 קומפקטיפיקציה R 3 { } עובדה,S 3 = S 1 D 2 D 2 S 1 :248 זה נובע מכך ש S 3 = D 4 = D 2 D 2) = S 1 D 2 D 2 S 1 מסיבות גיאומטריות זה עובד, זה אנלוגי לכלל לייבניץ). הוכחה: של הטענה) נפעיל את ון קמפן. S, 3 U\ = R 3 ולכן באמצעות הזיהוי של S 3 כקומפקטיפיקציה חד נקודתית. נגדיר A = U ו K \.A B = R 3 \ {p} S 2,B = S 3 \ { } כעת נוכל להשתמש במשפט ון קמפן: π 1 S 3 \K ) = π1 A) π1a B) π 1 B) = π 1 B) = π 1 R 3 \K ) שעובר מבעד לחור המרכזי בטורוס ונחלק ביחס S 1 ) שכן A פשוטת קשר והחיתוך טריוויאלי.) נדמיין גליל I z, 1) z e 2πi המעגלים הבסיסיים של הטורוס z, 0) z e 2πi ו 2, 1 n, 0) השקילות שמוגדר על ידי מזדהים בסיבוב). ההוכחה על ההומוטופיה לטורוס נעשתה בנפנופי ידיים, בדומה להאטצ'ר שמנפנף בידיו. נחלק את הגליל לשתי קבוצות,.A, B מתקיים A S 1 B וגם : A B S 1 π 1 S 3 \K ) = π =Z =Z 1 A) π1a B) π 1 B) =Z x mx Z Z G = a, b a m = b n x nx Z המרכז של G הוא } Z { a m k k Z } = { b n k k, כי כל.σ = a m1 b n1 G נוכל להניח ש m 1 < n 0 על ידי שינוי.m 1 אם 0 1 n אזי bσ σb כי שתיהן מלים מצומצמות המתחילות באותיות שונות. מתקיים 83

7 תרגול שלישי G/ZG) = Z m Z n והאיברים היחידים מסדר סופי ב H G הם האברים מסדר סופי של G או האיברים מסדר סופי ב H. הסדר המקסימלי שיכול להתקבל הוא {m.max,n} בלי הגבלת הכלליות n, < m לכן הסדר המקסימלי של איבר מסדר סופי ב Z n Z m הוא m והסדר הבא בתור שאינו מחלק של m הוא n. מהזרות אפשר לשחזר בצורה מלאה את הזוג,n. m יאיר חיות, המתרגל: "הסוף היה זוועה. שאלות?" 7 תרגול שלישי תזכורת: k : S 1 S 1 S 1 והסתכלנו על ) m,k z) = z n, z הגדרנו את k) K = Im והסתכלנו על.R 3 \K בפעם הקודמת ראינו Π 1 R 3 \K ) = Π1 S 3 \K ) S 3 = D 4 = D 2 D 2) = S 1 D 2 D 2 S 1 וחישבנו ומצאנו כי נסתכל על S 1 I שהוא גליל ריק. נסובב את הצד העליון n פעמים ואת התחתון m פעמים. אנחנו רוצים לקחת את המרחב הזה, תוך כדי שאנחנו לא נוגעים במסילה הסגולה המסילה המסתלסלת בין הטבעות: ננסה ליצור עיוונסג בין S 3 K\ ולקבל מרחב אחר פשוט יותר. נגדיר מסילה k על ידי ) m kכך z) = ξz n, z z, w כך ש 1 z, w) C C עבור.K K = ו K = Im k ) גדול מספיק. p עבור ξ = e 2πi ש p עם = 1 z או = 1 w 84

7 תרגול שלישי נסביר בנוגע לגבי הטורוס הפנימי. הוא S, 1 D 2 כאשר D 2 הוא זוגות המספרים המרוכבים שסכומם 1, המרכז של הדיסק הוא הנקודה 0,0). נסתכל על נקודה מהצורה 0,a), נוכל לחשוב עליה על ידי 0, n z) ויש n בחירות לגבי מיהו z מהמשפט היסודי של האלגברה). נרצה למתוח קו מהנקודה הזו אל הנקודה המקבילה לה מהציר השני ) m,0). z כאן נעבור בהכרח דרך K מהגדרה, ולכן נעביר קו בין 0, n ξz לבין ) m,0). z נגדיר את הקו על ידי { ξz n, 2t z m ) t 1 2 ξz n 2 2t), z m ) 1 2 t 1 ובעצם הגדרנו לכל 0,a) n קווים שיוצאים ממנו, ו b,0) הגדרנו m קווים שיוצאים אליו. נטען שהמרחב שלנו הוא עיוונסג של איחוד הקטעים האלה. נסתכל על a ספציפי, הקשר K חותך את המעגל בתמונה n פעמים, ואנחנו העברנו קווים דר הנקודות של K שהן בדיוק הזזה של הקשר המקורי K, עכשיו די ברור שאפשר מהבנייה שכן בחתך הדו ממדי הוא נראה כמו \ 2 R) נוכל לדחוף אותו אל הקווים האלה בציור. מבחוץ נוכל להפוך את הקואורדינטות וגם שם יהיה היפוך של התמונה. קיבלנו שהמרחב מהתמונות הראשונות הוא עיוונסג של הגליל שהחלק העליון שלו מודבק n פעמים והחלק התחתון מודבק m פעמים, נכנה את המרחב הזה X. m,n מהי החבורה היסודית שלו? קיבלנו כי A S 1 ו B S 1 וגם.A B S 1 אם נקח לולאה בתוך A B ונסתכל איך היא נראית מבחינת איבר בחבורה היסודית של A. כל איבר בחבורה היסודית של A ניתן להציג אותו כעלייה לחלק העליון של הגליל, סיבוב מספר מסוים של פעמים וחזרה למטה. נסתכל על A) i. A : Π 1 A) B Π 1 נקבל.i A 1) = n באותו אופן i B 1) = m ומתקבל הדיאגרמה הבאה: Z n Z Π 1 X m, n) m Z 85

7 תרגול שלישי 7.1 משפט נקודת השבת של בראוור ומסקנות נראה מה קיבלנו: נקח a מה Z למעלה ו b מה Z למטה ונקבל: ונכנה אותה G. איבר כללי הוא מהצורה Π 1 X) = a, b a n = b m Z G) = a n = b m x = a n0 b m0 a n1 כאשר 1 m < m 0 0 ו 1 m < m 1 < 0 וכדומה. נקבל יאיר חיות כותב על הלוח: "נפנופי ידיים: אם 0 0 n נכפול ב b. אם = 0 0 n נכפול ב a " G/ZG) = a, b a n = b m = 1 = Z /nz Z /mz עבור איבר כללי y Z /nz Z /mz מה הסדר שלו? או שהוא אינסופי או שהוא 1 g y = g z כאשר.z Z /nz Z /mz מכאן נסיק, שאם נסתכל על /ZG)} max {k k is finite order of element in G וזה {n.max,m} אם נסתכל על המקסימום של הסדרים הסופיים של איבר במנה שאינו מחלק של k אזי הוא יהיה {n.min,m} מה אנחנו מסיקים? אנחנו מסיקים שקשרי הטורוס מוגדרים בצורה חח"ע על פי מספר הסיבובים שהם עושים סביב הציר הגדול וסביב הציר הקטן. זו תוצאה יפה שקשה להוכיח אותה ישירות בכלים טופולוגיים שהם לא טופולוגיה אלגברית. 7.1 משפט נקודת השבת של בראוור ומסקנות משפט 249 משפט נקודת השבת של בראוור): f : D 2 D 2 רציפה, אזי קיים x D 2 כך ש x.f x) = הוכחה: נניח בשלילה שלא. נעבור קו בין x) f ל x ונראה איפה הוא פוגש את שפת הדיסק, נסמנה ב x ) r. נוכיח כי x) r היא פונקציה רציפה. נחפש 1 t כך ש 1 = 2 t 2. f x) 1 t) + x זו משוואה ריבועית ב t. בנוסחת השורשים יש רק פונקציות רציפות ולכן t היא פונקציה רציפה של x ולכן r רציפה. אם x S 1 אזי r x) = x ולכן r הוא נסג מ D 2 ל S 1 S 1 id D 2 r Π ) 1 D ולכן r היא הפונקציה 2 מתקיים כי r i = id S 1 ולכן נקבל ש.r i = id Π1S 1 ) = id Z אבל {1} = הקבועה, ולכן ההרכבה אינה הזהות על Z. בסתירה. משפט 250 המשפט היסודי של האלגברה): לכל פולינום עם מקדמים ב C שאיננו קבוע יש שורש ב C. 86