Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 20 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (2007), σελ 87-94 ΔΥΣΚΟΛΙΕΣ ΧΕΙΡΙΣΜΟΥ ΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Αναστασιάδου Σοφία Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών, Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας, sofan@uom.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Σκοπός της παρούσας εργασίας αποτελεί η διερεύνηση της ικανότητας αναγνώρισης των στατιστικών δεδομένων και εννοιών μέσα σε διαφορετικά συστήματα αναπαράστασης και μετάβασης από το ένα σύστημα στο άλλο από μαθητές της Τετάρτης, Πέμπτης και Έκτης Δημοτικού. Διακόσοι δέκα επτά μαθητές του Δημοτικού Σχολείου κλήθηκαν να απαντήσουν σε δοκίμιο που περιλάμβανε 12 ασκήσεις μετάφρασης από ένα σύστημα αναπαράστασης σε άλλο. Για την ανάλυση των δεδομένων χρησιμοποιήθηκαν μέθοδοι της συνεπαγωγικής στατιστικής. Η επεξεργασία των αποτελεσμάτων κατάδειξε τόσο την αδυναμία χειρισμού περισσότερων από μια σημειωτικών αναπαραστάσεων όσο και την έλλειψη ικανότητας μετάφρασης από την πλειοψηφία των μαθητών της Τετάρτης και Πέμπτης Δημοτικού. Πιο συγκεκριμένα, η μεγαλύτερη δυσκολία των μαθητών αυτών εντοπίζεται στην ανάλυση και ερμηνεία των δεδομένων που παρουσιάζονται σε μορφή πίνακα ή διάγραμμα. Επιπλέον οι μαθητές της Τετάρτης και Πέμπτης Δημοτικού αντιμετωπίζουν τα διαφορετικά σημειωτικά συστήματα αναπαράστασης στατιστικών εννοιών ως ανεξάρτητα αντικείμενα μάθησης. Οι μαθητές της Έκτης Δημοτικού φαίνεται να έχουν αναπτύξει ικανότητες χειρισμού των διαφορετικών συστημάτων σημειωτικών αναπαραστάσεων των στατιστικών εννοιών και παρουσιάζουν ευχέρεια κατά τη μετάβαση από ένα σύστημα σε άλλο. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο λόγος για τον οποίο η θεωρία των αναπαραστάσεων κατέχει σημαντική θέση στο χώρο της διδακτικής των μαθηματικών και της στατιστικής είναι ότι οι αναπαραστάσεις θεωρούνται σύμφυτες με τα μαθηματικά και τη στατιστική (Kaput 1987, Goldin,1998; Αnastasiadou 2004; Αnastasiadou et al, 2007, Yerushalmy, M: 1997). Επικρατέστερος ορισμός του όρου «αναπαράσταση»μπορεί να θεωρηθεί αυτός που δίδεται από τον Kaput (1987) σύμφωνα με το οποίο η έννοια της αναπαράστασης περιλαμβάνει τις ακόλουθες 5 ολότητες: α. την ολότητα που - 87 -
αναπαρίσταται, β. την ολότητα που αναπαριστά, γ. τις συγκεκριμένες πτυχές της ολότητας της αναπαράστασης, που αναπαρίστανται, δ. τις συγκεκριμένες πτυχές της ολότητας που αναπαριστά, οι οποίες σχηματίζουν την αναπαράσταση και τέλος, ε. την αντιστοιχία ανάμεσα στις δύο ολότητες (Γαγάτσης κ.α., 2001). Οι αναπαραστάσεις μπορούν να διαχωριστούν σε δυο κατηγορίες:α. τις σημειωτικές/ εξωτερικές αναπαραστάσεις και τις β. τις νοητικές/ εσωτερικές αναπαραστάσεις (Goldin, 1998). Ο Janvier (1987) προσδιορίζουν τις σημειωτικές αναπαραστάσεις ως τους όλους τους εξωτερικούς φορείς (σύμβολα, διαγράμματα, σχήματα κλπ), οι οποίοι έχουν στόχο να αναπαραστήσουν μια συγκεκριμένη μαθηματική ή η άλλη «πραγματικότητα». Απαραίτητες προϋποθέσεις, όμως, για την αποτελεσματική κατανόηση μιας στατιστικής έννοιας αποτελούν α) η ικανότητα για αναγνώριση της έννοιας σε μια ποικιλία ποιοτικά διαφορετικών συστημάτων αναπαράστασης και β) η ικανότητα μετάφρασης της έννοιας από ένα σύστημα σε άλλο (Lesh, et al., 1987). Η τελευταία προϋπόθεση, δηλαδή η ικανότητα μετάφρασης από ένα σύστημα αναπαράστασης μιας έννοιας σε άλλο διαδραματίζει σημαντικό ρόλο όχι μόνο για την εκμάθηση στατιστικών εννοιών αλλά και για την επίλυση στατιστικού προβλήματος (Ainsworth 2006, Gagatsis et al., 2002, 2004a, 2004b; Hitt, 1998; Janvier, 1987). Σύμφωνα με έρευνες, μαθητές και φοιτητές αντιμετωπίζουν αρκετές δυσκολίες σε αυτή τη διαδικασία, που επηρεάζουν τόσο την μάθηση των μαθηματικών όσο και την επίδοση των μαθητών στην επίλυση προβλήματος. Ο Duval ισχυρίστηκε (2002) ότι παρατηρείται μια στεγανοποίηση των διαφορετικών σημειωτικών συστημάτων αναπαράστασης σε διάφορες μαθηματικές έννοιες. Με τον όρο "στεγανοποίηση" εννοούμε ότι ο μαθητής εργάζεται σε ένα πεδίο αναπαράστασης χωρίς να είναι σε θέση να επικοινωνεί τις ιδέες του με επιτυχία σε ένα άλλο πεδίο αναπαράστασης. Επομένως, μια άλλη βασική επιδίωξη της διδασκαλίας μιας έννοιας πέρα από την κατανόησή της μέσα από τη δημιουργία πλούσιων και καλά οργανωμένων νοητικών αναπαραστάσεων, θα πρέπει να εστιάζεται στην ανάπτυξη της ικανότητας των μαθητών να περνούν από μια αναπαράσταση σε άλλη με συνέπεια και ακρίβεια, χωρίς αντιφάσεις (Duval 2002). 2. ΟΙ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΤΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ Από την εξέταση των Επιπέδων για τα Αναλυτικά Προγράμματα και την Αξιολόγηση στα σχολικά μαθηματικά (Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics), που προτείνονται από το Εθνικό Συμβούλιο Δασκάλων των Μαθηματικών στις Ηνωμένες Πολιτείες Αμερικής (ΝCTM, 2000) φαίνεται εξελικτικά η εμφάνιση της διαδικασίας μετάφρασης των αναπαραστάσεων ως αναπόσπαστου μέρους της διαδικασίας επίλυσης προβλήματος σε όλες τις τάξεις. Στο Νηπιαγωγείο και στις τάξεις Α και Β του Δημοτικού. σύμφωνα με το NCTM (2000), τα παιδιά καλούνται να αναπαριστούν τα προβλήματα με εικόνες που σχεδιάζουν ή ακόμα με τρισδιάστατα μοντέλα, όπως για παράδειγμα κύβους, - 88 -
μικρές πλάκες κλπ. Στις τάξεις Γ, Δ και Ε του Δημοτικού υποστηρίζεται ότι η διαδικασία μετάφρασης αποτελεί μια από τις σημαντικές στρατηγικές Επίλυσης Μαθηματικού Προβλήματος. Αναφορικά με την Στ τάξη του Δημοτικού επισημαίνεται ότι τα παιδιά πρέπει να είναι σε θέση να αναπαριστούν καταστάσεις προβλήματος και να κάνουν μεταφράσεις ανάμεσα στην προφορική, γραπτή, εικονική, γραφική και τρισδιάστατη μορφή. 3. Η ΕΡΕΥΝΑ Πειραματικός πληθυσμός-δοκίμιο. Στην έρευνα πήραν μέρος διακόσοι δέκα επτά μαθητές του Δημοτικού Σχολείου της Κεντρικής Μακεδονίας, 70 από την Δ, 73 από την Ε και 74 από την ΣΤ Δημοτικού. Το δοκίμιο απαρτίζεται από 12 ασκήσεις με υπο-ερωτήματα που αφορούσαν τις έννοιες του πίνακα συχνοτήτων, του εικονογράμματος, σημειογράμματος, ραβδογράμματος, χρονογράμματος και των εφαρμογών τους στην επίλυση προβλημάτων της καθημερινής ζωής. Οι ασκήσεις/ μεταβλητές κωδικοποιούνται από το κεφαλαίο γράμμα V (μεταβλητή), ακολουθεί ο αριθμός που δείχνει τον αριθμό της άσκησης, το πρώτο μικρό γράμμα που συμβολίζει την υποερώτηση της άσκησης (αν υπάρχει). Στη συνέχεια εμφανίζεται το γράμμα (ή γράμματα) που παριστά το είδος της αρχικής αναπαράστασης (π.χ. r=αναπαράσταση, t=πίνακας, g=γραφική, v=λεκτική,) και τέλος το γράμμα που παριστά το είδος της τελικής αναπαράστασης. Η επιτυχία στα έργα βαθμολογήθηκε ως εξής: 1=ορθή μετάφραση/ απάντηση, 0=λανθασμένη απάντηση ή καμία απάντηση. 1 η Άσκηση:Στην πρώτη άσκηση αυτή δίνετε το εικονόγραμα και ζητείται η κατανόησή του, η άντληση πληροφοριών από αυτό και ορθό πέρασμα των πληροφοριών σε πίνακα, (V1 a gt) οι oποίες μας επιτρέπουν να βγάζουμε συμπεράσματα (V1 b gv). 2 η Άσκηση: Η 2 η άσκηση προτείνει ανάγνωση πίνακα, άντληση πληροφοριών από αυτόν και μετατροπή σε λεκτική αναπαράσταση(v2 a tv) και γραφική αναπαράσταση, αναπαράσταση ραβδογράμματος, (V2 b tg). 3 η Άσκηση:Η 3 η άσκηση προτείνει ανάγνωση πίνακα, άντληση πληροφοριών από αυτόν και μετατροπή σε γραφική αναπαράσταση (V3 a tg). Επιπλέον από τη στατιστική έρευνα παρουσιασμένη σε μορφή πίνακα αντλούμε χρήσιμες πληροφορίες που μας επιτρέπουν να βγάζουμε συμπεράσματα και να κάνουμε προβλέψεις (V3 b tv). 4 η Άσκηση: H 4 η άσκηση προτείνει μετατροπή λεκτικής αναπαράστασης σε γράφημα (V4 a vg) και σε (V4 b vt). 5 η Άσκηση H 5 η άσκηση προτείνει σύγκριση των ειδών διαφορετικών γραφικών παραστάσεων, γραμμή, σημειόγραμμα και ραβδόγραμμα και μετατροπή σε λεκτική αναπαράσταση (V5gv). - 89 -
6 η Άσκηση: H 6 η άσκηση προτείνει σύγκριση των ειδών διαφορετικών γραφικών παραστάσεων, ραβδόγραμμα και καμπύλη και μετατροπή σε λεκτική αναπαράσταση (V6gv). 7 η Άσκηση: Η επόμενη άσκηση προτείνει άντληση πληροφοριών από ένα χρονόγραμμα και μετατροπή της συγκεκριμένης γραφικής αναπαράστασης αρχικά σε λεκτική (V7 a gv) και έπειτα σε αναπαράσταση πίνακα (V7 b gt). 8 η Άσκηση: Η άσκηση 8 αφορά στην μετατροπή λεκτικής μορφής σε διαγραμματική (ραβδόγραμμα) (V8vg). 9 η, Άσκηση: Η 9 η άσκηση προτείνει ανάγνωση δύο γραφημάτων, άντληση πληροφοριών από αυτά και μετατροπή σε λεκτική αναπαράσταση (V9gv). 10 η, Άσκηση:Η 10 η άσκηση προτείνει ανάγνωση ενός γραφήματος, άντληση πληροφοριών από αυτόν και εξαγωγή συμπερασμάτων δηλαδή προτείνει μετατροπή γραφικής σε λεκτική αναπαράσταση (V10gv). 11 η, Άσκηση: Η 11 η άσκηση προτείνει άντληση πληροφοριών από πίνακα συχνοτήτων που μας επιτρέπει να βγάζουμε συμπεράσματα και να κάνουμε προβλέψεις (V11tv). 12 η άσκηση: Τέλος, η 12 η άσκηση αφορά στην μετατροπή λεκτικής αναπαράστασης σε πίνακα (V12 a vt) και σε γράφημα (V12 b vg). Υποθέσεις της έρευνας. Η έρευνα αυτή προσπαθεί να διερευνήσει την ικανότητα αλλαγής πεδίου αναπαράστασης για διάφορες στατιστικές έννοιες, οι οποίες διδάσκονται στην Δ, Ε, και ΣΤ τάξη του Δημοτικού Σχολείου. Οι υποθέσεις της έρευνας είναι οι εξής: Υ.1. Η επίδοση των μαθητών διαφοροποιείται ανάλογα με το είδος της αρχικής αναπαράστασης. Υ.2. Οι μαθητές των τριών τελευταίων τάξεων του Δημοτικού Σχολείου χειρίζονται τις μεταφράσεις όλων των διαφορετικών ειδών αναπαραστάσεων με την ίδια επιτυχία, δηλαδή δεν εμφανίζεται το φαινόμενο της στεγανοποίησης. Υ.3. Η επίδοση των μαθητών διαφοροποιείται ανάλογα με την ηλικία των μαθητών. Στατιστική επεξεργασία των αποτελεσμάτων. Για την ανάλυση των δεδομένων της έρευνας χρησιμοποιήθηκε η ανάλυση του Gras (Gras et al., 1997) και Lerman (1981), η οποία παρέχει τη δυνατότητα διαμερισμού των μεταβλητών της έρευνας, ταξινόμησης των μεταβλητών αυτών και εντοπισμού συνεπαγωγής ανάμεσα στις μεταβλητές ή τις κλάσεις μεταβλητών. Από τη συνεπαγωγική ανάλυση του Gras χρησιμοποιήθηκαν το διάγραμμα ομοιότητας, το ιεραρχικό διάγραμμα και το συνεπαγωγικό διάγραμμα. Στο διάγραμμα ομοιότητας οι ερωτήσεις (V1 a gt), (V1 b gv), (V2 a tv), (V2 b tg), (V3 a tg), (V3 b tv), (V4 a vg), (V4 b vt), (V5gv), (V6gv), (V7 a gv), (V7 b g),. (V8vg), (V9gv), (V10gv), (V11tv), (V12 a vt), (V12 b vg), που χρησιμοποιήθηκαν στην έρευνα ομαδοποιούνται σύμφωνα με την ομοιότητα - 90 -
απάντησής τους από τα υποκείμενα. Το ιεραρχικό δενδροδιάγραμμα παρουσιάζει, κατά σειρά προτεραιότητας, τις συνεπαγωγές που υπάρχουν ανάμεσα σε ερωτήσειςμεταβλητές και κλάσεις μεταβλητών. Τέλος, το συνεπαγωγικό διάγραμμα δείχνει τις συνεπαγωγικές σχέσεις που υπάρχουν ανάμεσα σε μεταβλητές ή κλάσεις μεταβλητών. 4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Τα αποτελέσματα έδειξαν διαφοροποίηση στην ικανότητα χειρισμού κάθε είδος αναπαράστασης. Η μετάφραση που ευνοείται περισσότερο από όλες τις υπόλοιπες ήταν η μετάβαση από λεκτική αναπαράσταση σε διαγραμματική μορφή, αφού παρουσιάζει το μεγαλύτερο ποσοστό επιτυχίας και στις τρις τελευταίες τάξεις του Δημοτικού Σχολείου. Δ Δημοτικού: Παρατηρήσεις στο συνεπαγωγικό διάγραμμα 1. Το συνεπαγωγικό διάγραμμα 1 δείχνει τις συνεπαγωγικές σχέσεις μεταξύ των μεταβλητών. Παρατηρούμε ότι το έργο V12 a gv είναι πολύ σημαντικό, γιατί η επιτυχία σε αυτό συνεπάγεται την επιτυχία σε άλλα 2 έργα. Αυτό σημαίνει ότι όσοι μαθητές που έλυσαν το πρώτο μέρος του δωδέκατου έργου έλυσαν και το δεύτερο του ίδιου έργου και το δεύτερο μέρος του τέταρτου έργου. Πιο συγκεκριμένα όπως φαίνεται από το συνεπαγωγικό διάγραμμα των απαντήσεων όταν οι μαθητές καταφέρνουν να αναγνωρίζουν και να κατανοούν τις πληροφορίες σε πολύ ικανοποιητικό βαθμό από λεκτικές αναπαραστάσεις του στατιστικού προβλήματος, να τις μετατρέπουν σε γραφική αναπαράσταση. Δεν υπάρχει όμως καμία ένδειξη ότι μπορούν με επιτυχία να χειριστούν άλλου είδους αναπαραστάσεις. Συνεπαγωγικό διάγραμμα 1: Δ Δημοτικού V4avg V8vg V12avt V12bvg V4bvt Graph : C:\Documents and Settings\Σοφία\Desk top\chic 99 95 90 3.5 85 a France\1. MODE.RESULTS\esi 05 D CLASS.csv Ε Δημοτικού: Παρατηρήσεις στο συνεπαγωγικό διάγραμμα 2.Η κλάση των ερωτήσεων του ερωτηματολογίου χωρίζεται σε τρεις ομάδες. Η πρώτη ομάδα, από αριστερά προς τα δεξιά, αποτελείται από τις μεταφράσεις αναπαράστασης πίνακα σε λεκτική αναπαράστασης, η δεύτερη απαρτίζεται από μεταφράσεις λεκτικής αναπαράστασης σε γραφική και αναπαράσταση πίνακα (που ήταν πιο απλά έργα). Τέλος, η τρίτη ομάδα σχηματίζεται από μεταφράσεις γραφικής αναπαράσταση σε λεκτική. Τα έργα αυτά ήταν και τα δυσκολότερα για τους μαθητές αυτής της τάξης - 91 -
καθώς τους ζητούσαν να κατανοήσουν τις πληροφορίες των γραφημάτων και να τις ερμηνεύσουν κάνοντας προβλέψεις. Συνεπαγωγικό διάγραμμα 2: Ε Δημοτικού V2atv V2btg V3btv V3atg V4avg V7agv V11tv V4bvt V8vg V12avt V9gv V6gv V10gv V1agv Graph : C:\Documents and Settings\Σοφία\Desktop\CHIC 3.5 a France\1. MODE.RESULTS\esi 05 E CLAS S.csv 99 95 90 85 ΣΤ Δημοτικού:Παρατηρήσεις στο συνεπαγωγικό διάγραμμα 3. Η πρώτη και δεύτερη υπόθεση της έρευνας δεν φαίνεται να επαληθεύεται για τα παιδιά της ΣΤ Δημοτικού. η επιτυχία στα διάφορα έργα είναι ανεξάρτητη από την αρχική ή τελική πηγή αναπαράστασης. Η επιτυχία ανάμεσα σε διαφορετικά έργα αναπαράστασης καθώς και η επιτυχής μετάβαση από ένα πεδίο αναπαράστασης σε άλλο δείχνουν ότι οι μαθητές έχουν αναπτύξει ικανότητες ευέλικτης μετάβασης. Μια πιθανή εξήγηση είναι ότι οι μαθητές αυτής της τάξης που είναι μεγαλύτεροι ηλικιακά μπορούν να αναγνωρίσουν μια στατιστική έννοια μέσα σε ποικίλα πεδία αναπαραστάσεων και τη χειριστούν με άνεση. Έχουν αναπτύξει δηλαδή τις γνωστικές στρατηγικές επίλυσης στατιστικού προβλήματος οι οποίες είναι ανεξάρτητες από τα διάφορα πεδία αναπαραστάσεων. Συνεπαγωγικό διάγραμμα 3: ΣΤ Δημοτικού V6gv V12bvg V1agt V11tv V10gv V12avt V4bvt V7agv V7bg V3btv V2btg V4avg Graph : C:\Documents and Settings\Σοφία\Desktop\CHIC 3.5 a France\1. MODE.RESULTS\esi 99 95 90 85 07.csv 5. ΣΥΖΗΤΗΣΗ H παρούσα ερευνητική εργασία διερευνώντας το ρόλο των αναπαραστάσεων, και την μετάφρασή τους, που αποτελεί μια εξαιρετική σημαντική δεξιότητα, μελετά την επίδρασή τους στην επίλυση στατιστικού προβλήματος. Πιο συγκεκριμένα, εξετάζεται η επίδοση μαθητών Δ, Ε, ΣΤ Δημοτικού Σχολείου, η συμπεριφορά τους στις συγκεκριμένες αναπαραστάσεις κατά την επίλυση και οι σχέσεις συνεπαγωγής ανάμεσα στα έργα της έρευνας. - 92 -
Με βάση τα αποτελέσματα της έρευνας προέκυψε ότι οι μαθητές της Δ τάξης του Δημοτικού Σχολείου φαίνεται ότι μπορούν να χειρίζονται με διαφορετικό βαθμό επιτυχίας διάφορες μορφές αναπαράστασης ενός στατιστικού προβλήματος. Πιο συγκεκριμένα, οι μαθητές χειρίζονται με επιτυχία έργα από λεκτική μορφή σε διάγραμμα, καθώς τα έργα που απαιτούν τις συγκεκριμένες μεταφράσεις συγκεντρώνουν τα μεγαλύτερα ποσοστά επιτυχίας. Από την άλλη, οι μαθητές δεν κατάφεραν να προσδιορίσουν με επιτυχία τη μετάβαση αναπαράστασης πίνακα σε λεκτική και διαγραμματική μορφή, καθώς και τη μετάβαση από γραφική σε λεκτική και αναπαράστασης πίνακα, καθώς τα συγκεκριμένα έργα εμφανίζουν τα χαμηλότερα ποσοστά επιτυχίας. Οι μαθητές της Ε Δημοτικού αντιμετωπίζουν τα έργα ανάλογα με την αρχική πηγή αναπαράστασης, πίνακα, λεκτική, γραφική. Το γεγονός αυτό φαίνεται να επαληθεύει την πρώτη υπόθεση της έρευνας. Όμως η κατανόηση ενός εννοιολογικού περιεχομένου βασίζεται στο συντονισμό τουλάχιστο δύο καταγραφών αναπαράστασης και η μάθηση και η κατανόηση μιας στατιστικής έννοιας είναι δυνατό να επιτευχθεί μόνο όταν υπάρχει ταυτόχρονη εμπλοκή, συνδυασμός ή συνύπαρξη δύο τουλάχιστον πεδίων αναπαράστασης της έννοιας από τους μαθητές.. Τα αποτελέσματα δείχνουν ένα μέρος αυτών των δυσκολιών που έχουν οι μαθητές της Δ και Ε Δημοτικού. Ο σαφής διαχωρισμός των έργων του ερωτηματολογίων είναι ένας ισχυρός δείκτης αυτών των δυσκολιών. Αυτό δείχνει ότι δεν επαληθεύεται η δεύτερη υπόθεση της έρευνας, και ότι η "στεγανοποίηση" μεταξύ δύο διαφορετικών πεδίων σημειωτικής αναπαράστασης στατιστικών εννοιών προκαλεί δυσκολίες στην κατανόησή της και στην επιτυχή μεταφορά από ένα πεδίο σε άλλο. Οι μαθητές της ΣΤ Δημοτικού φαίνεται να έχουν τις ικανότητες και τις γνωστικές δεξιότητες που χρειάζονται για να αναγνωρίσουν μια στατιστική έννοια σε μια ποικιλία ποιοτικά διαφορετικών συστημάτων αναπαράστασης καθώς και να μεταφράσουν την έννοια από το ένα σύστημα στο άλλο. ABSTRACT The present study aimed to examine the role of representations in solving statistical problems and to investigate, third, fifth and sixth grade students translation ability and its relation to problem solving ability. A test sample consisted of 12 translation exercises in the different fields of representations- verbal, tabular, graphical and algebraic, was administered to 217 pupils. Results revealed the differential effects of each form of representation on pupils performance and the improvement of performance with age. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Ainsworth, S.: 2006. DeFT: A conceptual framework for considering learning with multiple representations, Learning and Instruction 16, 183-198. Anastasiadou, S. (2004). Teacher s opinions about Statistics and probability in primary level. In the journal Quaderni di Ricerra in Didactica, no 14. Anastasiadou, S., Gagatsis A. (2007). Exploring the effects of representations on the learning of statistics in Greek primary school. Proceedings of CERME 5 (Working - 93 -
Group 1), Larnaca, Cyprus. Available on line http://cerme5.crm.es/papers%20definitius/1/anastasiadou.pdf. Γαγάτσης, Α., Μιχαηλίδου, Ε., Σιακαλλή, Μ. (2001). Θεωρίες αναπαράστασης και μάθηση των μαθηματικών. Λευκωσία: Erasmus IP1- Πανεπιστήμιο Κύπρου. Duval, R.: 2002. The cognitive analysis of problems of comprehension in the learning of mathematics, Mediterranean Journal for Research in Mathematics Education 1(2), 1-16. Gagatsis, A., Elia, I. and Mougi, A.: 2002. Multiple Representations in Developing Mathematical Relationships, Scientia Paedagogica Experimentalis XXXIX (1), 9 24. Gagatsis, A. and Elia, I.: 2004a. The effects of different modes of representations on mathematical problem solving, in M. Johnsen Hoines and A. Berit Fuglestad (eds.), Proceedings of the 28 th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Vol. 2, Bergen University College, Bergen, Norway, pp. 447-454. Gagatsis, A. and Shiakalli, M.: 2004b. Ability to translate from one representation of the concept of function to another and mathematical problem solving, Educational Psychology 24(5), 645-657. Goldin, G.A.: 1998. Representational systems, learning, and problem solving in mathematics, Journal of Mathematical Behavior 17(2), 137-165. Gras, R., Peter, P., Briand, H., Philippé, J. (1997). Implicative Statistical Analysis. In C. Hayashi, N. Ohsumi, N. Yajima, Y. Tanaka, H. Bock, Y. Baba (Eds.). Proceedings of the 5 th Conference of the International Federation of Classification Societies (Volume 2, pp. 412-419). Tokyo, Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag. Hitt, F.: 1998. Difficulties in the articulation of different representations linked to the concept of function, Journal of Mathematical Behavior 17(1), 123-134. Janvier, C.: 1987. Representation and understanding: The notion of functions as an example, in C. Janvier (ed.), Problems of representation in the teaching and learning of mathematics, Lawrence Erlbaum Associates, Hillsdale, N.J., pp. 67-72. Kaput, J. (1987). Representation and problem solving: methodological issues related to modelling. In E.A. Silver (Ed.), Teaching and Learning Mathematical Problem Solving:Multiple Research Perspectives (pp. 381-398). Hillsdale, NJ: Erlbaum. Lerman, I. C.: 1981. Classification et analyse ordinale des données, Dunod, Paris. Lesh, R., Post, T. and Behr, M.: 1987. Representations and translation among reprensentations in mathematics learning and problem solving, in C. Janvier (ed.), Problems of Representation in the Teaching and Learning of Mathematics, Lawrence Erlbaum, Hillsdale, NJ, pp. 33-40. NCTM.: 2000. Principles and standards for school mathematics, NCTM, Reston, Va. Yerushalmy, M: 1997. Designing representations: Reasoning about functions of two variables, Journal for Research in Mathematics Education 27(4), 431-466. - 94 -