Πιθανότητες ΣΤ Δημοτικού

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Διδακτική των Μαθηματικών Χειμερινό εξάμηνο ακαδ. έτους 2012-2013 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Πιθανότητες ΣΤ Δημοτικού Σοφία Άιζενμπαχ Α.Μ. 5898 Πάτρα, Ιανουάριος 2013

2 Σχεδιασμός μαθήματος-πιθανότητες ΣΤ Δημοτικού Τάξη: ΣΤ Δημοτικού Θεματική περιοχή: Στοχαστικά μαθηματικά Ενότητα διδασκαλίας: Πιθανότητες Ενδεικτική διάρκεια: 3 διδακτικά δίωρα Στόχοι [Με βάση το Νέο Πιλοτικό Πρόγραμμα Σπουδών για τα Μαθηματικά της Υποχρεωτικής Εκπαίδευσης (2011)] Στο τέλος της διδασκαλίας οι μαθητές θα μπορούν: 1. να περιγράφουν το δειγματικό χώρο ενός πειράματος τύχης δύο σταδίων. 2. να υπολογίζουν την πιθανότητα ενός ενδεχομένου ως κλάσμα (P(E) = ) και ως ποσοστό. 3. να συγκρίνουν την υπολογισμένη πιθανότητα με τη σχετική συχνότητα των αποτελεσμάτων που προκύπτουν από την πραγματοποίηση ενός πειράματος τύχης. Προαπαιτούμενα Σύμφωνα με το Νέο Πιλοτικό Πρόγραμμα Σπουδών για τα Μαθηματικά της Υποχρεωτικής Εκπαίδευσης (2011), οι μαθητές της ΣΤ Δημοτικού έχουν μάθει σε προηγούμενες τάξεις: να περιγράφουν το δειγματικό χώρο σε πειράματα τύχης ενός σταδίου. να χαρακτηρίζουν ένα παιχνίδι τύχης δίκαιο-άδικο (τριών ή περισσότερων ενδεχομένων). να εκτιμούν την πιθανότητα ενός ενδεχομένου σε κλίμακα με εύρος από αδύνατο ενδεχόμενο έως βέβαιο ενδεχόμενο. να διερευνούν τη σχετική συχνότητα εμφάνισης ενός ενδεχομένου κατά την επανάληψη ενός πειράματος. να υπολογίζουν την πιθανότητα ενός ενδεχομένου χρησιμοποιώντας κλάσματα. Επιπλέον, σύμφωνα με το Πρόγραμμα Σπουδών (2011) οι μαθητές μαθαίνουν στη ΣΤ Δημοτικού να μετατρέπουν κλασματικούς αριθμούς σε ποσοστά. Έτσι, λοιπόν, η διδασκαλία των ποσοστών θα πρέπει να προηγηθεί της διδασκαλίας για τις πιθανότητες που προτείνεται σε αυτόν το σχεδιασμό.

3 Σχεδιασμός μαθήματος-πιθανότητες ΣΤ Δημοτικού 1 ο διδακτικό δίωρο Δραστηριότητα 1 - Πιθανώς Υλικό για τους μαθητές Σχόλια 2 ο διδακτικό δίωρο Δραστηριότητα 2 - Κερδίζοντας το λόττο! Υλικό για τους μαθητές Σχόλια 3 ο διδακτικό δίωρο Δραστηριότητα 3 - Παίζουμε με το αστέρι των πιθανοτήτων Υλικό για τους μαθητές Σχόλια Δραστηριότητα 4 - Έξυπνες ερωτήσεις! Υλικό για τους μαθητές Σχόλια Αξιολόγηση Δραστηριότητα Αξιολόγησης (για επαναληπτικό μάθημα, τεστ ή εργασία στο σπίτι) Υλικό για τους μαθητές Σχόλια

4 Σχεδιασμός μαθήματος-πιθανότητες ΣΤ Δημοτικού Δραστηριότητα 1 - Πιθανώς Υλικό για τους μαθητές: Μοιραστείτε σε ομάδες των τεσσάρων ατόμων. Αποφασίστε ως ομάδα αν διαφωνείτε ή συμφωνείτε με κάθε μία από τις προτάσεις που αναγράφονται στις κάρτες που σας δόθηκαν. Γιατί διαφωνείτε ή συμφωνείτε με κάθε μία από τις προτάσεις; Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε και παραδείγματα. Παρουσιάστε προφορικά στην τάξη τις θέσεις της ομάδας σας! Ο πιο δύσκολος αριθμός να ρίξεις σε ένα ζάρι είναι το 6. Ένα παιχνίδι είναι δίκαιο όταν το παίζεις σωστά χωρίς να παραβιάζεις τους κανόνες. Καθώς θα επιστρέφω από το σχολείο στο σπίτι, είναι σίγουρο ότι θα συναντήσω στη διαδρομή κάποιον γνωστό μου. Δεν βρέχει ποτέ κατά τη διάρκεια των καλοκαιρινών διακοπών. Εάν αγοράσεις πολλά λαχεία, είναι σίγουρο ότι θα κερδίσεις. Είναι πιο εύκολο να τύχεις κορώνα παρά γράμματα όταν ρίχνεις ένα κέρμα.

5 Σχεδιασμός μαθήματος-πιθανότητες ΣΤ Δημοτικού Σχόλια: Οι μαθητές, χωρισμένοι σε ομάδες των τεσσάρων ατόμων (περίπου), καλούνται να αποφασίσουν ως ομάδα αν διαφωνούν ή συμφωνούν με κάθε μία από τις προτάσεις των έξι καρτών που τους έχουν δοθεί (βλ. υλικό για μαθητές). Συζητούν μεταξύ τους παρουσιάζοντας τις απόψεις τους και επιχειρηματολογώντας μέχρι να καταλήξουν σε μια επίσημη θέση της ομάδας τους. Στη συνέχεια, οι ομάδες παρουσιάζουν στην τάξη τις θέσεις τους αιτιολογώντας κάθε φορά την επιλογή τους. Ακολουθεί συζήτηση μεταξύ μαθητών και δασκάλου σχετικά με την ορθότητα των θέσεων των ομάδων. Γιατί αυτή δραστηριότητα; Επειδή προσφέρει στο δάσκαλο την ευκαιρία να διερευνήσει το επίπεδο σκέψης, το βαθμό κατανόησης και τις γνώσεις των μαθητών του γύρω από τις πιθανότητες. Έτσι, η δραστηριότητα αποτελεί την αρχική-διαγνωστική αξιολόγηση, η οποία θα καθορίσει τους μετέπειτα διδακτικούς χειρισμούς και την προσαρμογή της διδασκαλίας στο επίπεδο γνώσεων και νοητικής ωριμότητας των μαθητών. αποτελεί αφορμή για επανάληψη γνώσεων από τις προηγούμενες τάξεις (βλ. προαπαιτούμενα και διευκρινιστικές παρατηρήσεις για τις προτάσεις των καρτών) συνδέονται οι πιθανότητες των μαθηματικών με την καθημερινή ζωή. η εργασία σε ομάδες συνεισφέρει, μεταξύ άλλων, στην ανάπτυξη των μεταγνωστικών δεξιοτήτων και της ικανότητας έκφρασης και επικοινωνίας των μαθητών μέσα από την επιχειρηματολογία και τις γνωστικές συγκρούσεις που μπορεί να προκύψουν σε ένα τέτοιο πλαίσιο. Διευκρινιστικές παρατηρήσεις για τις προτάσεις των καρτών: Οι προτάσεις των καρτών «Ο πιο δύσκολος αριθμός να ρίξεις σε ένα ζάρι είναι το 6» και «Είναι πιο εύκολο να τύχεις κορώνα παρά γράμματα όταν ρίχνεις ένα κέρμα» έχουν ως στόχο να δοθεί αφορμή στους μαθητές να ξαναθυμηθούν αφενός τον τρόπο με τον οποίο περιγράφεται ο δειγματικός χώρος πειράματος τύχης ενός σταδίου και αφετέρου τον τρόπο υπολογισμού των πιθανοτήτων με κλάσματα. Οι θέσεις που πρέπει να πάρουν οι μαθητές απέναντι σε αυτές τις προτάσεις είναι προφανείς. Αντιθέτως, οι υπόλοιπες τέσσερις προτάσεις των καρτών προσφέρονται για μια πιο ελεύθερη και δημιουργική προσέγγιση από τους μαθητές. Παρακάτω παρουσιάζονται μερικές προσεγγίσεις μαθητών σε αυτές τις προτάσεις (από http://nrich.maths.org/7245/solution, τελευταία πρόσβαση στις 9/1/2013) με μερικούς σχολιασμούς, όπου χρειάζεται:

6 Σχεδιασμός μαθήματος-πιθανότητες ΣΤ Δημοτικού «Ένα παιχνίδι είναι δίκαιο όταν το παίζεις σωστά χωρίς να παραβιάζεις τους κανόνες» Ένα παιχνίδι δεν είναι πάντα δίκαιο όταν παίζεται σωστά χωρίς να παραβιάζονται οι κανόνες. Π.χ. στο παιχνίδι Αγγλία-Γερμανία στο παγκόσμιο πρωτάθλημα του 2010, ο Frank Lampard έβαλε γκολ και όλοι οι παίκτες έπαιζαν σύμφωνα με τους κανόνες. Όμως ο διαιτητής δεν είδε ότι ήταν γκολ, κι έτσι δεν μέτρησε ως τέτοιο. Αυτό δεν ήταν δίκαιο, παρ όλο που όλοι έπαιζαν σωστά. Η πρόταση αυτή τίθεται στους μαθητές προς συζήτηση ώστε να δοθεί αφορμή για επανάληψη της έννοιας του δίκαιου και άδικου παιχνιδιού από τη σκοπιά των πιθανοτήτων. Η παραπάνω προσέγγιση των μαθητών δεν οδηγεί, βέβαια, άμεσα προς αυτήν την κατεύθυνση. Αυτό όμως δεν πειράζει σε πρώτη φάση. Κάθε θέση γίνεται αποδεκτή αν τεκμηριωθεί σωστά. Από εκεί και πέρα, ο δάσκαλος μπορεί να οδηγήσει τους μαθητές στην έννοια του δίκαιου-άδικου παιχνιδιού από τη σκοπιά των πιθανοτήτων, θέτοντας τον προβληματισμό ότι οι κανόνες ενός παιχνιδιού μπορεί να είναι έτσι φτιαγμένοι, ώστε οι πιθανότητες να κερδίσει μια μερίδα παικτών και όχι κάποια άλλη να είναι αυξημένες. Ένα τέτοιο παιχνίδι είναι άδικο, παρ όλο που παίζεται σύμφωνα με τους κανόνες. Βλ. ενδεικτικό πρόβλημα. «Καθώς θα επιστρέφω από το σχολείο στο σπίτι, είναι σίγουρο ότι θα συναντήσω στη διαδρομή κάποιον γνωστό μου» Μπορεί να συμβεί να συναντήσεις κάποιον γνωστό σου καθώς επιστρέφεις από το σχολείο στο σπίτι. Εάν μένεις δίπλα με κάποιους από το σχολείο σου, είναι πιο πιθανό να δεις γνωστό παρά αν μένεις πολύ πιο μακριά από άτομα του σχολείου σου. Εάν πάλι επιστρέφεις σπίτι με το σχολικό λεωφορείο, τότε είναι βέβαιο ότι θα συναντήσεις γνωστούς. Σε αυτήν την περίπτωση οι πιθανότητες είναι 100%! «Δεν βρέχει ποτέ κατά τη διάρκεια των καλοκαιρινών διακοπών» Εξαρτάται πού μένεις το καλοκαίρι. Αν μένεις στη Σαχάρα είναι βέβαιο ότι δεν θα βρέξει. Αν όμως μένεις πιο βόρια αυξάνονται οι πιθανότητες να βρέξει. Επίσης, όσο πιο μεγάλο είναι το χρονικό διάστημα των καλοκαιρινών διακοπών τόσο αυξάνονται οι πιθανότητες ότι κάποια στιγμή μέσα σε αυτό το διάστημα θα βρέξει. «Εάν αγοράσεις πολλά λαχεία, είναι σίγουρο ότι θα κερδίσεις» Εάν αγοράσεις πολλά λαχεία, δεν μπορείς να είσαι σίγουρος ότι θα κερδίσεις. Απλώς αυξάνονται οι πιθανότητες να κερδίσεις. Ένας τρόπος για να είσαι σίγουρος ότι θα κερδίσεις είναι να αγοράσεις όλα τα λαχεία! Οι παραπάνω τρεις προτάσεις προσφέρονται, μεταξύ άλλων, για επανάληψη του τρόπου με τον οποίο γίνεται η εκτίμηση της πιθανότητας ενός ενδεχομένου σε κλίμακα εύρους από αδύνατο ενδεχόμενο μέχρι βέβαιο ενδεχόμενο.

7 Σχεδιασμός μαθήματος-πιθανότητες ΣΤ Δημοτικού Ενδεικτικοί τρόποι υποστήριξης των μαθητών από το δάσκαλο: Η δραστηριότητα απαιτεί την ομαδική εργασία των μαθητών. Ο δάσκαλος είναι καλό να τονίσει εξαρχής στους μαθητές ότι δεν θα παρουσιάσουν τις προσωπικές τους απόψεις, αλλά ότι πρέπει να συζητήσουν μεταξύ τους ώστε να καταλήξουν σε ομαδικές θέσεις που να ικανοποιούν όλα τα μέλη της ομάδας. Υποστηρικτικές ερωτήσεις: Ο δάσκαλος, όπου χρειάζεται, υποστηρίζει τους μαθητές στην προσπάθεια να αιτιολογήσουν τις θέσεις τους και να εκφράσουν τις σκέψεις τους θέτοντας κατάλληλες ερωτήσεις, όπως π.χ. «Μπορείς να μας εξηγήσεις γιατί σκέφτηκες έτσι;» ή «Πώς μπορείς να είσαι σίγουρος για αυτό που μας λες;». Για την περίπτωση του ζαριού («Ο πιο δύσκολος αριθμός να ρίξεις σε ένα ζάρι είναι το 6») και του κέρματος («Είναι πιο εύκολο να τύχεις κορώνα παρά γράμματα όταν ρίχνεις ένα κέρμα»), εφόσον δεν το έχουν κάνει ήδη οι μαθητές, ο δάσκαλος τους παρακινεί να αιτιολογήσουν με μαθηματικούς όρους τη θέση τους. Τους προτρέπει να καταγράψουν το δειγματικό χώρο καθενός από τα δύο πειράματα τύχης και να εκφράσουν με κλάσμα ( ή ώ έ ή ώ έ ) την πιθανότητα να τύχει 6 το ζάρι ( ) και αντίστοιχα την πιθανότητα να τύχει κορώνα το κέρμα ( ). Για την περίπτωση του δίκαιου ή άδικου παιχνιδιού («Ένα παιχνίδι είναι δίκαιο όταν το παίζεις σωστά χωρίς να παραβιάζεις τους κανόνες»), ο δάσκαλος μπορεί, εάν αντιληφθεί ότι οι μαθητές δυσκολεύονται στη σωστή σύλληψη της ιδέας, να τους δώσει το εξής απλό πρόβλημα: «Η Νίνα και ο Σπύρος παίζουν ένα παιχνίδι με ζάρια. Ρίχνουν τα ζάρια και όταν ο αριθμός είναι περιττός κερδίζει η Νίνα, ενώ όταν ο αριθμός είναι 6 κερδίζει ο Σπύρος (ανεξάρτητα από το ποιος ρίχνει το ζάρι). Ποιος είναι πιο πιθανό να νικήσει; Γιατί; Πώς μπορεί το παιχνίδι να γίνει πιο δίκαιο;» Ενδεικτική προέκταση της δραστηριότητας: Εφόσον το επιτρέπει ο χρόνος, θα μπορούσε η κάθε ομάδα να φτιάξει μια δική της πρόταση σχετική με πιθανότητες και να τη δώσει στις υπόλοιπες ομάδες προς συζήτηση.

8 Σχεδιασμός μαθήματος-πιθανότητες ΣΤ Δημοτικού Δραστηριότητα 2 - Κερδίζοντας το λόττο! Υλικό για τους μαθητές: «Σε μια μακρινή χώρα η λοταρία παίζεται με τέσσερις μπάλες αριθμημένες από το 1 μέχρι το 4. Αυτές οι μπάλες είναι τοποθετημένες σε έναν σάκο. Για να παίξεις, επιλέγεις έναν αριθμό από το 1 μέχρι το 4. Κερδίζεις εφόσον ο αριθμός που έχεις επιλέξει είναι ίδιος με τον αριθμό που αναγράφεται στην μπάλα η οποία κληρώνεται, δηλαδή που τραβιέται τυχαία από τον σάκο. Ποια είναι η πιθανότητα να κερδίσει κάποιος στη λοταρία; Οι υπεύθυνοι της λοταρίας σε αυτήν τη μακρινή χώρα συνειδητοποιούν ότι είναι πολύ εύκολο να κερδίσεις, κι έτσι αποφασίζουν να δυσκολέψουν το τυχερό παιχνίδι. Η καινούργια λοταρία παίζεται πάλι με τέσσερις μπάλες αριθμημένες από το 1 μέχρι το 4 και τοποθετημένες σε έναν σάκο. Όμως, για να παίξεις, επιλέγεις αυτή τη φορά δύο αριθμούς και κερδίζεις εφόσον αυτοί οι δύο αριθμοί ταιριάζουν σε οποιαδήποτε σειρά με τις δύο μπάλες που κληρώνονται. Ποια είναι η πιθανότητα να κερδίσει κάποιος στην καινούργια λοταρία; Κατάφεραν οι υπεύθυνοι της λοταρίας να δυσκολέψουν το παιχνίδι σε σχέση με πριν; Μπορείς να προτείνεις δικούς σου τρόπους για να γίνει πιο δύσκολο το παιχνίδι; Πώς μπορείς να ξέρεις ότι είναι πράγματι πιο δύσκολες οι εκδοχές του παιχνιδιού που προτείνεις;»

9 Σχεδιασμός μαθήματος-πιθανότητες ΣΤ Δημοτικού Σχόλια: Ο κάθε μαθητής προσπαθεί μόνος του να λύσει το πρόβλημα και να βρει δυσκολότερες εκδοχές της λοταρίας. Έπειτα, οι μαθητές συζητούν μεταξύ τους και με το δάσκαλο τις λύσεις που ενδεχομένως βρήκαν στο πρόβλημα. Γιατί αυτή δραστηριότητα; Επειδή καλύπτει τους στόχους 1 και 2 (χωρίς τα ποσοστά). Βλ. στόχοι. είναι μια δραστηριότητα διαβαθμισμένης δυσκολίας. Ξεκινά από γνωστές έννοιες των μαθητών (πείραμα τύχης ενός σταδίου), προχωρά στην καινούργια για τους μαθητές έννοια του πειράματος τύχης δύο σταδίων και καταλήγει σε ένα δημιουργικό κομμάτι, όπου οι μαθητές αξιοποιώντας παλιά και νέα θεωρία προτείνουν εναλλακτικές εκδοχές του προβλήματος. το δημιουργικό κομμάτι της δραστηριότητας, όπου οι μαθητές προτείνουν δικές τους εκδοχές ώστε να γίνει πιο δύσκολο το τυχερό παιχνίδι, δίνει την ευκαιρία να εμβαθύνουν στην έννοια της πιθανότητας και να φτάσουν σε ένα ανώτερο επίπεδο κατανόησης, ακολουθώντας υψηλού επιπέδου νοητικές διαδικασίες. Ενδεικτικοί τρόποι υποστήριξης των μαθητών από το δάσκαλο: Κατά την προσπάθεια λύσης του προβλήματος, ο δάσκαλος μπορεί να βοηθήσει, εάν το κρίνει απαραίτητο, καθοδηγώντας τους μαθητές με κατάλληλες ερωτήσεις, όπως π.χ. «Ποιος/-οι αριθμός/-οί μπορούν να κληρωθούν;», «Ποιες είναι όλες οι πιθανές κληρώσεις;», «Πώς μπορείς να ξέρεις ότι έχεις σκεφτεί όλες τις πιθανές περιπτώσεις;» ή «Πώς μπορείς να εξηγήσεις ποια εκδοχή της λοταρίας είναι πιο δύσκολη;» Πώς καλύπτονται οι στόχοι 1 και 2; Με αφορμή την ερώτηση του προβλήματος «Ποια είναι η πιθανότητα να κερδίσει κάποιος στην καινούργια λοταρία;» ο δάσκαλος εισάγει τους μαθητές στην έννοια του πειράματος τύχης δύο σταδίων και καταγράφει μαζί τους το δειγματικό χώρο της κλήρωσης στην καινούργια λοταρία, όπου κληρώνονται δύο αριθμοί (στόχος 1). Με τη βοήθεια του δειγματικού χώρου οι μαθητές εκφράζουν με κλάσμα την πιθανότητα να κερδίσει κάποιος στην καινούργια λοταρία και τη συγκρίνουν με την πιθανότητα να κερδίσει κάποιος στην αρχική λοταρία (στόχος 2). Στο δημιουργικό κομμάτι, όπου οι μαθητές προτείνουν δυσκολότερες εκδοχές της λοταρίας, ο δάσκαλος επιδιώκει να συζητηθούν και να αναλυθούν στην τάξη όλες οι πιθανές εκδοχές που προτείνουν οι μαθητές, ώστε να προκύψει το μεγαλύτερο δυνατό όφελος για αυτούς. Εάν δεν το έχουν ήδη προτείνει οι ίδιοι οι

10 Σχεδιασμός μαθήματος-πιθανότητες ΣΤ Δημοτικού μαθητές, ο δάσκαλος παρουσιάζει στο τέλος την εκδοχή σύμφωνα με την οποία, για να κερδίσει κάποιος στη λοταρία, πρέπει οι αριθμοί να κληρωθούν με την ίδια σειρά που τους έχει επιλέξει. Οι μαθητές καταγράφουν πάλι με τη βοήθεια του δασκάλου το δειγματικό χώρο του συγκεκριμένου πειράματος τύχης δύο σταδίων (στόχος 1) και υπολογίζουν την πιθανότητα (σε μορφή κλάσματος) να κερδίσει κάποιος σε αυτήν την εκδοχή της λοταρίας (στόχος 2).

11 Σχεδιασμός μαθήματος-πιθανότητες ΣΤ Δημοτικού Δραστηριότητα 3 - Παίζουμε με το αστέρι των πιθανοτήτων Υλικό για τους μαθητές: Τι θα χρειαστείτε: ένα χαρτί με εκτυπωμένο το παραπάνω σχήμα ως ταμπλό δύο ζάρια αρκετά πιόνια δύο χρωμάτων Πώς θα παίξετε το επιτραπέζιο παιχνίδι: Χωριστείτε σε ομάδες των δύο ατόμων. Κάθε παίκτης επιλέγει έναν, δύο ή τρεις αριθμούς. Στη συνέχεια, ρίξτε τα ζάρια και προσθέστε κάθε φορά τα αποτελέσματα. Όταν το άθροισμα των ζαριών είναι ένας από τους αριθμούς που έχει επιλέξει ένας από εσάς, τοποθετείστε ένα πιόνι στον κύκλο του αριθμού αυτού. Για παράδειγμα, παίζουν ο Μάριος και ο Λουκάς. Ο Μάριος επιλέγει τους αριθμούς 2, 4 και 6, ενώ ο Λουκάς επιλέγει τους αριθμούς 7, 8 και 9. Ο Λουκάς ρίχνει τα ζάρια και το αποτέλεσμα είναι 4 και 2. Το άθροισμα είναι 6, έτσι ο Μάριος (που έχει επιλέξει τον αριθμό 6) μπορεί να τοποθετήσει ένα πιόνι στο 6. Νικητής του παιχνιδιού είναι εκείνος που θα συμπληρώσει πρώτος και τους τρεις κύκλους ενός από τους αριθμούς που έχει επιλέξει! Παίξτε αρκετές παρτίδες του παιχνιδιού. Καταγράψτε κάθε φορά ποιος από τους δύο νίκησε και με ποιον αριθμό. Καλή Διασκέδαση!

12 Σχεδιασμός μαθήματος-πιθανότητες ΣΤ Δημοτικού Σχόλια: Ο δάσκαλος παρακινεί τους μαθητές να παίξουν το παιχνίδι αρκετές φορές και να καταγράφουν κάθε φορά ποιος από τους δύο παίκτες νικά και με ποιον αριθμό. Στο τέλος αυτής της διαδικασίας ο δάσκαλος θέτει στους μαθητές τις εξής ερωτήσεις, οι οποίες καταλήγουν στο πραγματικό πρόβλημα: «Ποιοι αριθμοί είναι καλοί για να τους επιλέξεις; Γιατί;» «Ποιοι αριθμοί δεν είναι καλοί για να τους επιλέξεις; Γιατί;» «Ποιος είναι ο χειρότερος αριθμός απ όλους για να τον επιλέξεις; Γιατί;» Αφού ανακοινωθούν στην τάξη τα αποτελέσματα που προέκυψαν από τις παρτίδες των παιχνιδιών, οι μαθητές καλούνται να συζητήσουν τις τρεις ερωτήσεις που τους θέτει ο δάσκαλος και να βρουν τρόπους να καταλήξουν στις σωστές απαντήσεις. Γιατί αυτή δραστηριότητα; Επειδή καλύπτει τους στόχους 1, 2 και 3. Βλ. στόχοι. δίνεται αφορμή για περαιτέρω εξοικείωση με πειράματα τύχης δύο σταδίων σε ένα πιο σύνθετο και στρατηγικό πλαίσιο, όπου οι μαθητές πρέπει να σκεφτούν συστηματικά ποιοι είναι οι πιθανοί συνδυασμοί των ζαριών και ποιο το άθροισμα του κάθε συνδυασμού, ώστε υπολογίζοντας την πιθανότητα εμφάνισης του κάθε αθροίσματος να καταλάβουν ποιος είναι ο καλύτερος αριθμός πάνω στο αστέρι για να κερδίσεις το παιχνίδι. δίνει κίνητρο στους μαθητές να αξιοποιήσουν όσα έχουν μάθει για τις πιθανότητες και να ακολουθήσουν υψηλού επιπέδου νοητικές διαδικασίες ώστε να κερδίσουν το παιχνίδι. Ενδεικτικοί τρόποι υποστήριξης των μαθητών από το δάσκαλο: Η σωστή επιλογή τακτικής στο παιχνίδι και κατ επέκταση η απάντηση στις τρεις ερωτήσεις που θέτει ο δάσκαλος προϋποθέτει οι μαθητές να σκεφτούν συστηματικά ποιοι είναι οι πιθανοί συνδυασμοί των ζαριών και ποιο το άθροισμα του κάθε συνδυασμού. Προς αυτήν την κατεύθυνση σκέψης μπορεί να καθοδηγήσει ο δάσκαλος, σε όποιους μαθητές χρειάζεται, με διάφορους τρόπους, όπως οι ακόλουθοι: Υποστηρικτικές ερωτήσεις: «Ποια αθροίσματα είναι πιθανά όταν ρίχνεις δύο ζάρια;» ή «Ποια αθροίσματα είναι πιο πιθανά; Γιατί;» Είναι χρήσιμο ο δάσκαλος να παροτρύνει τους μαθητές να φτιάξουν μια λίστα με όλους τους πιθανούς συνδυασμούς και τα αθροίσματά τους, ώστε να

13 Σχεδιασμός μαθήματος-πιθανότητες ΣΤ Δημοτικού βοηθηθούν στην εύρεση των σωστών απαντήσεων στις ερωτήσεις του προβλήματος. Μια τέτοια λίστα θα μπορούσε ενδεικτικά να έχει την παρακάτω μορφή: 1~~~~ αδύνατο 2~~~~1,1 3~~~~1,2~~2,1 4~~~~1,3~~2,2~~3,1 5~~~~1,4~~2,3~~3,2~~4,1 6~~~~1,5~~2,4~~3,3~~4,2~~5,1 7~~~~1,6~~2,5~~3,4~~4,3~~5,2~~6,1 8~~~~2,6~~3,5~~4,4~~5,3~~6,2 9~~~~3,6~~4,5~~5,4~~6,3 10~~~ 4,6~~5,5~~6,4 11~~~5,6~~6,5 12~~~6,6 Πώς καλύπτονται οι στόχοι 1, 2 και 3; Αφού παρουσιαστούν στην τάξη τα αποτελέσματα των παρτίδων και συζητηθούν οι προτάσεις των μαθητών σχετικά με το πώς μπορεί κάποιος να επιλέξει κατάλληλους αριθμούς πάνω στο αστέρι, οι μαθητές με τη βοήθεια του δασκάλου καταγράφουν το δειγματικό χώρο, δηλαδή και τους 36 συνδυασμούς που μπορεί να προκύψουν κατά τη ρίψη δύο ζαριών (πείραμα τύχης δύο σταδίων με 36 δείγματα) (στόχος 1) και εκφράζουν την πιθανότητα κάθε αθροίσματος με μορφή κλάσματος και ποσοστού (στόχος 2). Έτσι, π.χ., καταλήγουν στη διαπίστωση ότι ο καλύτερος αριθμός είναι το 7 με πιθανότητα αθροίσματος ή 16,67%. Στη συνέχεια, συγκρίνουν τις πιθανότητες αυτές με τη σχετική συχνότητα των αποτελεσμάτων από τις παρτίδες του παιχνιδιού (στόχος 3). Η σύγκριση των υπολογισμένων πιθανοτήτων με τη σχετική συχνότητα των αποτελεσμάτων που προκύπτουν από τις παρτίδες παιχνιδιού των μαθητών μπορεί να δώσει έναυσμα για συζήτηση γύρω από τη διαφορά μεταξύ σχετικής συχνότητας και πιθανότητας, θέμα που αναπτύσσεται εκτενέστερα στην Α Γυμνασίου.

14 Σχεδιασμός μαθήματος-πιθανότητες ΣΤ Δημοτικού Δραστηριότητα 4 - Έξυπνες ερωτήσεις! Υλικό για τους μαθητές: Ρίχνοντας ένα κέρμα, αν τύχω 9 συνεχόμενες φορές κορώνα, τι είναι πιο πιθανό να τύχω τη δέκατη φορά; Γιατί; Ποιος συνδυασμός αριθμών είναι πιο πιθανό να κερδίσει σε ένα τυχερό παιχνίδι; Ο συνδυασμός 1234567 ή ο συνδυασμός 4795382; Γιατί; Ας υποθέσουμε ότι η πιθανότητα να συναντήσω έναν γνωστό ηθοποιό της τηλεόρασης στο δρόμο μου για το σπίτι είναι 1/1000. Σήμερα συναντώ τυχαία έναν τέτοιο ηθοποιό πηγαίνοντας σπίτι. Μπορεί να συναντήσω πάλι έναν ηθοποιό αύριο στο δρόμο μου για το σπίτι; Δικαιολογήστε. Σχόλια: Ο δάσκαλος δίνει αυτές τις ερωτήσεις στους μαθητές και τους αφήνει λίγο χρόνο να σκεφτούν την απάντηση. Έπειτα γίνεται συζήτηση σχετικά με τις απαντήσεις των μαθητών. Γιατί αυτή δραστηριότητα; Επειδή δίνει ευκαιρία να προληφθούν τυχόν παρανοήσεις που μπορεί να έχουν οι μαθητές σχετικά με τις πιθανότητες, και μάλιστα σε ένα καθημερινό πλαίσιο. Ειδικότερα, η πρώτη και η τρίτη ερώτηση εστιάζουν στη διαφορά μεταξύ πιθανότητας και σχετικής συχνότητας (στόχος 3). αποτελεί για το δάσκαλο μια μορφή αξιολόγησης του επιπέδου σκέψης και κατανόησης μετά το πέρας της διδασκαλίας. Είναι σημαντικό να αντιπαραβάλει τις απαντήσεις που έδωσαν οι μαθητές στην πρώτη δραστηριότητα (Πιθανώς ) με αυτές που δίνουν τώρα, ώστε να διαπιστώσει αν υπήρξε μεταβολή στις νοητικές δομές που έχουν οικοδομήσει για τις πιθανότητες.

15 Σχεδιασμός μαθήματος-πιθανότητες ΣΤ Δημοτικού Δραστηριότητα αξιολόγησης (για επαναληπτικό μάθημα, τεστ ή εργασία στο σπίτι) Υλικό για τους μαθητές: Κοίταξε αυτά τα δύο ζάρια. Εάν προσθέσεις τους αριθμούς που δείχνουν στην πάνω πλευρά, θα έχεις άθροισμα 2. Όταν ρίχνεις δύο κανονικά ζάρια σαν αυτά της φωτογραφίας και προσθέτεις τους δύο αριθμούς, ποια είναι τα δυνατά αποτελέσματα (αθροίσματα) που μπορείς να πάρεις; Πώς μπορείς να είσαι σίγουρος ότι έχεις βρει όλα τα δυνατά αποτελέσματα; Μήπως μπορεί να πάρεις ένα συγκεκριμένο αποτέλεσμα (άθροισμα) περισσότερες φορές από άλλα αθροίσματα; Αν ναι, ποιο είναι αυτό το άθροισμα και γιατί; Αν θεωρείς ότι υπάρχει, εξέφρασε με κλάσμα και ποσοστό την πιθανότητα να τύχεις αυτό το άθροισμα. Τι θα γινόταν αν χρησιμοποιούσες ζάρια σαν τα παρακάτω, με δέκα αντί για έξι πλευρές; Ποια είναι τώρα τα δυνατά αποτελέσματα (αθροίσματα) που μπορείς να πάρεις; Πώς μπορείς να είσαι σίγουρος ότι έχεις βρει όλα τα δυνατά αποτελέσματα; Μήπως μπορεί να πάρεις ένα συγκεκριμένο αποτέλεσμα (άθροισμα) περισσότερες φορές από άλλα αθροίσματα; Αν ναι, ποιο είναι αυτό το άθροισμα και γιατί; Αν θεωρείς ότι υπάρχει, εξέφρασε με κλάσμα και ποσοστό την πιθανότητα να τύχεις αυτό το άθροισμα. Τι παρατηρείς και στις δύο περιπτώσεις ζαριών (με έξι και με δέκα πλευρές); Θα μπορούσες να προβλέψεις και για άλλες περιπτώσεις ζαριών με διαφορετικό αριθμό πλευρών (π.χ. 7 πλευρές) αν υπάρχει άθροισμα που μπορεί να εμφανίζεται περισσότερες φορές από άλλα; Αν ναι, πώς; Άμα θες, πειραματίσου με διάφορες περιπτώσεις!

16 Σχεδιασμός μαθήματος-πιθανότητες ΣΤ Δημοτικού Σχόλια: Αυτή η δραστηριότητα αποτελεί παραλλαγή-προέκταση της δραστηριότητας 3 (Παίζουμε με το αστέρι των πιθανοτήτων) σε ένα πιο αφαιρετικό επίπεδο. Πολύ ενδιαφέρον είναι το τελευταίο κομμάτι της δραστηριότητας, όπου οι μαθητές καλούνται να κάνουν γενίκευση και να εξάγουν έναν κανόνα. Σύμφωνα με αυτόν τον κανόνα, όταν ρίχνουμε δύο ζάρια με ίδιο αριθμό πλευρών, το πιο πιθανό από τα δυνατά αθροίσματα είναι εκείνο που υπολογίζεται με βάση τον τύπο ν + 1, όπου ν ο αριθμός των πλευρών του ζαριού. Στην περίπτωση που η δραστηριότητα αυτή αποτελεί τεστ, ίσως να μην συμπεριληφθεί το κομμάτι της γενίκευσης, ώστε η δραστηριότητα να ανταποκρίνεται πλήρως σε αυτά που έχουν κάνει ήδη οι μαθητές μέσα στην τάξη. Πηγές http://digitalschool.minedu.gov.gr/info/newps.php (Νέο Πιλοτικό Πρόγραμμα Σπουδών Μαθηματικών, 2011) http://nrich.maths.org/primary-upper