ΣΕΝΑΡΙΟ ΤΠΕ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ - ΝΟΜΟΣ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ

ΣΕΝΑΡΙΟ ΤΠΕ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ - ΝΟΜΟΣ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ Γνωστική Περιοχή: Γεωμετρία Β Λυκείου Θέμα Το Πυθαγόρειο Θεώρημα είναι γνωστό στους μαθητές από το Γυμνάσιο. Το προτεινόμενα θέμα αφορά την αναζήτηση μιας σχέσης παρόμοιας με το πυθαγόρειο θεώρημα, η οποία να ισχύει σε ένα τυχαίο τρίγωνο (είτε αμβλυγώνιο είτε οξυγώνιο). Τεχνολογικά εργαλεία Το σενάριο προτείνεται να υλοποιηθεί με το λογισμικό Geogebra Σκεπτικό Βασική Ιδέα Οι μαθητές με τη βοήθεια της ψηφιακής τεχνολογίας θα διερευνήσουν τις σχέσεις μεταξύ των τετραγώνων των πλευρών ενός τυχαίου τριγώνου. Συγκεκριμένα, οι μαθητές θα κληθούν να κατασκευάσουν ένα τρίγωνο με δύο σταθερού μήκους πλευρές β και γ και μια δυναμικά μεταβαλλόμενη γωνία Α (η περιεχόμενη). Μεταβάλλοντας την γωνία Α θα ανακαλύψουν τη βασική ανισωτική σχέση που ισχύει μεταξύ των παραστάσεων a και ανάλογα με το αν η γωνία Α είναι οξεία ή αμβλεία. Στη συνέχεια, οι μαθητές θα κατασκευάσουν το σημείο Μ με συντεταγμένες Χ = Α και Υ =. Διερευνώντας την τροχιά του σημείου Μ καθώς μεταβάλλεται η γωνία Α, οι μαθητές θα ανακαλύψουν τη σχέση μεταξύ της παράστασης και της συνάρτησης συνημίτονο. Τέλος, θα κληθούν να μεταβάλλουν και τις τιμές των πλευρών β και γ για να ανακαλύψουν ότι η σχέση μεταξύ των και () είναι ανάλογη του μήκους των πλευρών β και γ. Έτσι οι μαθητές θα οδηγηθούν στην ανακάλυψη του νόμου συνημιτόνων και του γενικευμένου πυθαγορείου θεωρήματος. Προστιθέμενη Αξία Ο κατακερματισμός της ύλης των μαθηματικών του Λυκείου σε διαφορετικά βιβλία και κεφάλαια δημιουργεί συχνά την λανθασμένη εντύπωση στους μαθητές ότι τα μαθηματικά αποτελούνται από ένα σύνολο διακριτών και συχνά ασύνδετων εννοιών και προτάσεων οι οποίες εφαρμόζονται σε πολύ συγκεκριμένα και εστιασμένα προβλήματα και ασκήσεις. Έτσι πολύ συχνά οι μαθητές μαθαίνουν αποκλειστικά να επιλύουν συγκεκριμένους τύπους ασκήσεων, διαφορετικών σε κάθε κεφάλαιο, αγνοώντας την σύνδεση των εννοιών αυτών. Επιπλέον, η παραδοσιακή διδασκαλία με την παρουσίαση των νέων θεωρημάτων στον πίνακα, χωρίς διερεύνηση, δεν επιτρέπει την πλήρη κατανόηση των βασικών εννοιών. Στο συγκεκριμένο σενάριο συνδέονται δύο φαινομενικά ξένες περιοχές των μαθηματικών, η συνάρτηση συνημίτονου που βρίσκεται στο πρώτο κεφάλαιο της Άλγεβρας και οι πλευρές τριγώνου από την Γεωμετρία. Μέσω του σεναρίου θα δοθεί η δυνατότητα στους μαθητές, ξεκινώντας από το γνωστό πυθαγόρειο θεώρημα, να ανακαλύψουν τις βασικές

ανισωτικές σχέσεις μεταξύ των τετραγώνων των πλευρών ενός τυχαίου τριγώνου, με τη βοήθεια εργαλείων δυναμικής αναπαράστασης. Επιπλέον, με τη βοήθεια πολλαπλών αναπαραστάσεων οι μαθητές θα ανακαλύψουν την ακριβή σχέση μεταξύ των πλευρών αυτών και του συνημίτονου της γωνίας Α. Έτσι δύο φαινομενικά ξένες περιοχές των μαθηματικών (που στην ουσία αποτελούν διαφορετικά μαθήματα) θα αλληλοεμπλακούν και θα συνδεθούν μέσα από τις δυνατότητες που προσφέρουν οι νέες τεχνολογίες. Οι μαθητές θα διερευνήσουν το θέμα συνεργαζόμενοι μεταξύ τους (σε μικρές ομάδες) και με τον διδάσκοντα και θα δοκιμάσουν δικές τους ιδέες και προτάσεις. Έτσι μαθητές αναμένεται να συνειδητοποιήσουν ότι τα Μαθηματικά μπορούν να αποτελέσουν αντικείμενο διερεύνησης και όχι μόνο ένα στείρο πεδίο παρουσίασης θεωρίας και τυποποιημένων ασκήσεων. Πλαίσιο Εφαρμογής Σε ποιους απευθύνεται: Το σενάριο προτίθεται να εφαρμοστεί στην Β Λυκείου (Γεωμετρία). Χρόνος Υλοποίησης: Για την εφαρμογή του σεναρίου εκτιμάται ότι απαιτούνται διδακτικές ώρες. Χώρος Υλοποίησης: Το σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί κατά το μεγαλύτερο μέρος στο εργαστήριο υπολογιστών, όπου οι μαθητές θα οργανώνονται σε μικρές ομάδες (τριών ατόμων) ανά υπολογιστή. Σε περίπτωση που αυτό δεν είναι δυνατόν, το σενάριο μπορεί να υλοποιηθεί και σε αίθουσα διδασκαλίας με τη χρήση βιντεο-προβολέα. Πρέπει να σημειωθεί όμως ότι κάτι τέτοιο θα ακύρωνε ένα σημαντικό μέρος της προστιθέμενης αξίας. Προαπαιτούμενες Γνώσεις: Ως προς τα μαθηματικά: Οι μαθητές θα πρέπει να γνωρίζουν την γραφική παράσταση της συνάρτησης συνημίτονο καθώς επίσης και τις βασικές ιδιότητές της. Επιπλέον θα πρέπει να έχουν κατανοήσει τον τρόπο με τον οποίο μεταβάλλεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης a (x) σε σχέση με αυτήν της (x). Χρήσιμη είναι και η ανάκληση των εννοιών των ανάλογων ποσών. Τέλος θα πρέπει να γνωρίζουν τις έννοιες των οξυγώνιων, αμβλυγώνιων τριγώνων και το πυθαγόρειο θεώρημα. Ως προς το λογισμικό: Οι μαθητές θα πρέπει να είναι εξοικειωμένοι με τις βασικές λειτουργίες του λογισμικού Geogebra. Απαιτούμενα βοηθητικά υλικά και εργαλεία: α) Τετράδιο, για να κρατούν σημειώσεις οι μαθητές. β) Φύλλα εργασίας τα οποία δίνονται από τον/την διδάσκοντα/διδάσκουσα και έχουν ως στόχο να καθοδηγήσουν τους μαθητές στη διερεύνηση του θέματος. γ) Φύλλο οδηγιών με τις βασικές εντολές του λογισμικού Geogebra, στο οποίο να ανατρέχουν οι μαθητές αν χρειαστεί. Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης: Οι μαθητές εργαζόμενοι σε μικρές ομάδες (κατά προτίμηση ανομοιογενείς) συνεργατικά και υποβοηθούμενοι από τα φύλλα εργασίας, καλούνται να εξερευνήσουν το συγκεκριμένο θέμα και να ανακαλύψουν τις σχέσεις μεταξύ των πλευρών ενός τυχαίου τριγώνου. Επειδή η κατασκευή πολλών από τα απαιτούμενα δυναμικά σχήματα απαιτεί προχωρημένες γνώσεις του λογισμικού και είναι αρκετά χρονοβόρα, εκτός από τα φύλλα εργασίας θα δοθούν στους μαθητές και κατάλληλα αρχεία με δυναμικά σχήματα στο λογισμικό Geogebra, τα οποία θα κληθούν να εξερευνήσουν και πιθανώς να

αλλάξουν. Στην περίπτωση που υπάρχει διαδραστικός πίνακας, ο καθηγητής θα ακολουθεί τα βήματα του φύλλου εργασίας (αφού έχουν ολοκληρώσει το αντίστοιχο στάδιο οι μαθητές) ώστε να σχολιαστεί το αποτέλεσμα από όλες τις ομάδες και να προκύψουν κοινά συμπεράσματα. Στη διάρκεια της υλοποίησης του σεναρίου ο εκπαιδευτικός θα πρέπει να ελέγχει τα συμπεράσματα των μαθητών, να συνεργάζεται μαζί τους, να τους καθοδηγεί ώστε να αντιλαμβάνονται καλύτερα τα αποτελέσματά τους και να τους ενθαρρύνει να συνεχίσουν την διερεύνηση. Στόχοι: Βασικός διδακτικός στόχος είναι η ανακάλυψη και η κατανόηση των βασικών σχέσεων που συνδέουν τα τετράγωνα των πλευρών ενός τυχαίου τριγώνου μέσω δυναμικών σχημάτων και πολλαπλών αναπαραστάσεων. Ειδικότερα, οι επιδιωκόμενοι στόχοι μέσα από τη συγκεκριμένη διερεύνηση είναι: Α) Ως προς το γνωστικό αντικείμενο: i) Να συσχετίσουν τις σχέσεις, με τις έννοιες του αμβλυγώνιου και του οξυγώνιου τριγώνου αντιστοίχως. Να μπορούν να προσδιορίσουν αν ένα τρίγωνο (δοσμένων πλευρών) είναι οξυγώνιο ή αμβλυγώνιο. ii) Να ανακαλύψουν ότι σε ένα τυχαίο τρίγωνο η παράσταση είναι ανάλογη του () και των μηκών των πλευρών β και γ. iii) Να ανακαλύψουν το νόμο συνημιτόνων και το γενικευμένο πυθαγόρειο θεώρημα. Β) Ως προς τη χρήση νέων τεχνολογιών: Να σχεδιάσουν και να χρησιμοποιήσουν απλά και σύνθετα δυναμικά σχήματα με τη χρήση του λογισμικού Geogebra. Γ) Ως προς τη μαθησιακή διαδικασία: Διατύπωση υποθέσεων και εξαγωγή συμπερασμάτων. Συνεργασία και διαπραγμάτευση των ιδεών μέσα στην ομάδα και την τάξη.

Ανάλυση του Σεναρίου Ροή εφαρμογής των δραστηριοτήτων Η ροή των δραστηριοτήτων μπορεί να διαχωριστεί σε τρεις φάσεις-δραστηριότητες. Δραστηριότητα 1: Ανακάλυψη Βασικών Ανισοτήτων Ο διδάσκων προτρέπει τους μαθητές να ανοίξουν το πρώτο αρχείο ("pythagorean_general1.ggb"), το οποίο περιέχει ένα δυναμικό τρίγωνο ΑΒΓ, στο οποίο οι πλευρές β, γ είναι σταθερού μήκους (4 και 3 αντίστοιχα) και η γωνία Α είναι μεταβλητή, δηλαδή μπορεί να αλλάξει μετακινώντας είτε το σημείο Β είτε το σημείο Γ. Δίπλα από το τρίγωνο υπάρχουν οι παραστάσεις και οι οποίες υπολογίζονται δυναμικά από το πρόγραμμα. Προφανώς η παράσταση παραμένει σταθερή, ενώ η παράσταση αλλάζει καθώς ο μαθητής θα μετακινεί είτε το σημείο Β είτε το Γ. Η τιμή της γωνίας Α φαίνεται επίσης μέσα στο τρίγωνο, όπως και τα μήκη των πλευρών. Υπάρχει επίσης μια δυναμική αναπαράσταση που δείχνει αν ισχύει η σχέση ή η σχέση, είτε η, ανάλογα με την τιμή της πλευράς α. Αρχικά το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, οπότε οι μαθητές παρατηρούν ότι ισχύει το γνωστό τους πυθαγόρειο θεώρημα. Οι μαθητές καθοδηγούνται από το φύλλο εργασίας να μετακινήσουν τα σημεία Β, Γ και να διερευνήσουν πια σχέση ισχύει στα ορθογώνια τρίγωνα, πια σχέση ισχύει στα οξυγώνια τρίγωνα και ποια στα αμβλυγώνια τρίγωνα. Επιπλέον, ο καθηγητής πρέπει να καθοδηγήσει τα παιδιά να κατανοήσουν ότι η σχέση μεταξύ των και εξαρτάται από τη γωνία Α. Γράφουν τα συμπεράσματά τους στο φύλλο εργασίας, αφού γίνει συζήτηση μέσα στην κάθε ομάδα και την τάξη. Δραστηριότητα : Διερεύνηση των τιμών της παράστασης Γνωρίζοντας ότι στα ορθογώνια τρίγωνα η παράσταση αυτή ισούται με 0, είναι λογικό να καλέσουμε τους μαθητές να διερευνήσουν τις τιμές που παίρνει, όταν το τρίγωνο είναι οξυγώνιο και αμβλυγώνιο. Το φύλλο εργασίας καθοδηγεί τα παιδιά να ανοίξουν το δεύτερο αρχείο ("pythagorean_general.ggb"). Το αρχείο αυτό περιέχει ένα παρόμοιο δυναμικό τρίγωνο ΑΒΓ, στο οποίο οι πλευρές β, γ είναι σταθερού μοναδιαίου μήκους. Αφού συζητάμε με την τάξη για ποιο λόγο επιλέχθηκε οι πλευρές να έχουν μήκος 1 (για να μην επηρεάσει το αποτέλεσμα το μήκος κάθε πλευράς) τους καλούμε να ερευνήσουν την κατασκευή του αρχείου Geogebra. Οι μαθητές θα δούνε τα ίδια στοιχεία με την κατασκευή του πρώτου αρχείου με δύο σημαντικές προσθήκες. Η πρώτη αφορά δύο δρομείς r β και r γ με τους οποίους μπορούμε να αλλάξουμε τα μήκη των πλευρών β και γ. Οι δυνατές τιμές έχουν οριστεί από 0 έως 3. Η δεύτερη προσθήκη είναι το σημείο Μ (χρώμα κόκκινο), το

οποίο έχει συντεταγμένες X και. Καθοδηγούμε τους μαθητές να κατανοήσουν ότι με αυτό τον τρόπο θα μελετήσουμε την παράσταση ως συνάρτηση του Α. Σε αυτό το σημείο είναι καλό να συζητήσουμε με την τάξη ότι μια τέτοια κίνηση είναι λογική αφού φαίνεται πως η παράσταση αυτή εξαρτάται από τη γωνία Α (αυτό πρέπει να έγινε κατανοητό από την 1η Φάση). Στη συνέχεια το φύλλο εργασίας καθοδηγεί τα παιδιά να μετακινήσουν το σημείο Β (έτσι ώστε να κατασκευαστούν και οξείες και αμβλείες γωνίες) και να παρατηρήσουν την τροχιά του σημείου Μ (το οποίο αφήνει το ίχνος του) στους δύο άξονες. Το φύλλο εργασίας καλεί τα παιδιά να απαντήσουν στο βασικό ερώτημα: "Ποιά συνάρτηση έχει παρόμοια γραφική παράσταση;" Μετά από συζήτηση και πιθανόν βοήθεια του καθηγητή τα παιδιά θα οδηγηθούν στο συμπέρασμα ότι η συνάρτηση αυτή είναι η f (όπου x η γωνία Α σε ακτίνια). Ακολούθως, το φύλλο εργασίας καλεί τα παιδιά να μεταβάλλουν το μήκος της πλευράς β, δίνοντας τις τιμές 1.5, και 3. Στη συνέχεια και για κάθε τιμή της πλευράς β, οι μαθητές καλούνται να επαναλάβουν την ίδια διαδικασία μεταβάλλοντας τη γωνία Α (μετακινώντας το σημείο Β). Μετά από συζήτηση μέσα στις ομάδες και την τάξη, τα παιδιά αναμένεται να καταλήξουν στο συμπέρασμα ότι οι αντίστοιχες συναρτήσεις είναι οι f1( x) 3, f 4 και f 3( x) 6. Επιστρέφοντας το β σε μήκος ίσο με 1, καλούμε τα παιδιά να μεταβάλλουν το μήκος της πλευράς γ δίνοντας τις τιμές 1.5, και 3 και να επαναλάβουν την διαδικασία και εδώ. Επιπλέον τους ζητάμε να συμπληρώσουν τον παρακάτω πίνακα στο φύλο εργασίας τους: Πλευρά β Πλευρά γ Συνάρτηση β=1 γ=1 f β=1 γ=1.5 β=1 γ= β=1 γ=3

β=1.5 γ=1 β=1.5 γ=1.5 β=1.5 γ= β=1.5 γ=3 β= γ=1 β= γ=1.5 β= γ= β= γ=3 Σε αυτό το σημείο ρωτάμε τα παιδιά αν μπορούν να μαντέψουν τον γενικότερο κανόνα-τύπο που κρύβεται πίσω από αυτές τις σχέσεις. Με κατάλληλη καθοδήγηση από εμάς αναμένεται να καταλήξουν όλες οι ομάδες στο κοινό συμπέρασμα: ( ) Δραστηριότητα 3: Επιβεβαίωση Για να επιβεβαιώσουμε το συμπέρασμά μας, το φύλλο εργασίας καλεί τους μαθητές σε ένα ακόμη πείραμα. Από τα κουμπιά εμφανίσεων, επιλέγουμε να κρυφτεί το σημείο Μ και να εμφανιστεί το σημείο Ν (πράσινο) με συντεταγμένες X και. Κρατάμε σταθερή τη γωνία Α και μετακινώντας το δρομέα r β δίνουμε διάφορες τιμές στο μήκος της πλευράς β. Οι μαθητές παρατηρούν ότι το Ν σχηματίζει ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Καταλήγουν, επομένως, στο συμπέρασμα ότι η ποσότητα είναι ανάλογη της β, αν η γωνία Α και η πλευρά γ είναι σταθερές. Εδώ μάλιστα το φύλλο εργασίας τους καλεί να δώσουν διάφορες τιμές στη γωνία Α και την πλευρά β και να ξαναεκτελέσουν το πείραμα, για να βεβαιωθούν. Αφού αποκρύψουμε το σημείο Ν, εμφανίζουμε το σημείο Κ, το οποίο έχει συντεταγμένες X και. Με παρόμοιο τρόπο καταλήγουμε και εδώ στο συμπέρασμα ότι η ποσότητα είναι ανάλογη της γ, αν η γωνία Α και η πλευρά β είναι σταθερές. Καταλήγουμε λοιπόν στο συμπέρασμα

( ) Σε αυτό το σημείο το φύλλο εργασίας καθοδηγεί τους μαθητές να αντικαταστήσουν το γινόμενο () με την προβολή της πλευράς γ πάνω στην πλευρά β, για να καταλήξουν τελικά στο γενικευμένο πυθαγόρειο θεώρημα: Επέκταση του Σεναρίου Οι μαθητές μπορούν να χρησιμοποιήσουν το λογισμικό Geogebra και τις γνώσεις που αποκόμισαν για να πειραματιστούν σε διάφορα τρίγωνα (οξυγώνια και αμβλυγώνια) και να εξετάσουν τις σχέσεις ( ) και ( ). Εφαρμογές Ασκήσεις εμπέδωσης 1,,3 στη σελίδα 194 του Σχολικού βιβλίου. Αξιολόγηση μετά την εφαρμογή. Ως προς τις επιδιώξεις του σεναρίου: Μετά την υλοποίηση του σεναρίου ο διδάσκων ελέγχει κατά πόσο επιτεύχθηκαν οι στόχοι του σεναρίου. Ένας τρόπος είναι η κατασκευή ερωτήσεων και ασκήσεων τις οποίες θα απευθύνει στους μαθητές για να ελέγξει τον βαθμό κατανόησης των βασικών εννοιών που παρουσιάστηκαν. Επιπλέον, μπορεί να ζητηθεί η γνώμη των μαθητών για την εφαρμογή του σεναρίου και να εντοπιστούν σημεία τα οποία θα μπορούσαν να βελτιώσουν την μελλοντική εφαρμογή του. Ως προς τα εργαλεία: Το σενάριο προτείνεται να υλοποιηθεί με τη χρήση του λογισμικού Geogebra και τη χρήση Η/Υ αλλά και όπου αυτό είναι δυνατό με τη χρήση διαδραστικού πίνακα. Η εφαρμογή του σεναρίου σε πραγματικές συνθήκες μπορεί να παρουσιάσει μη αναμενόμενες δυσκολίες οι οποίες μπορεί να οφείλονται και σε προβλήματα είτε του ψηφιακού εργαλείου είτε του υλικού που θα χρησιμοποιηθεί. Κάθε διδάσκων οφείλει να λάβει υπ' όψη του τις τυχόν δυσκολίες που θα παρουσιασθούν και να επανασχεδιάσει κάποια κομμάτια των δραστηριοτήτων του σεναρίου εκ νέου. Ως προς την διαδικασία υλοποίησης. Η δομή του σεναρίου, η σειρά των δραστηριοτήτων και τα ερωτήματα που τίθενται από και προς τους μαθητές αποτελούν αντικείμενο αξιολόγησης από τον διδάσκοντα. Ο διδάσκων είναι πιθανόν ότι θα εντοπίσει σημεία των δραστηριοτήτων που δυσκόλεψαν τους μαθητές. Μπορεί λοιπόν να κρατάει σημειώσεις ώστε να προβεί στις κατάλληλες αλλαγές της ροής και των δραστηριοτήτων του σεναρίου για μελλοντική χρήση. Ως προς την προσαρμογή και επεκτασιμότητα. Ο εκπαιδευτικός μετά από κάθε εφαρμογή του σεναρίου μπορεί να επανεκτιμά τη δομή του και να σχεδιάζει νέες δυνατότητες και επεκτάσεις. Αν για παράδειγμα παρατηρήσει ότι κάποιο τμήμα παρουσιάζει κάποιο πρόβλημα στην αντιμετώπιση μιας δραστηριότητας λόγω μη κατανόησης κάποιων εννοιών, μπορεί να σχεδιάσει κάποιες νέες δραστηριότητες ή να αλλάξει κάποιες ήδη υπάρχουσες κατάλληλα.