هندسه تحلیلی بردارها در فضای R

هندسه تحلیلی بردارها در فضای R

فصل اول-بردارها دستگاه مختصات سه بعدی از سه محور ozوoyوox عمود بر هم تشکیل شده که در نقطه ای به نام o یکدیگر را قطع می کنند. قرارداد: دستگاه مختصات سه بعدی راستگرد می باشد بدین معنی که اگر به مانند شکل زیر دست راستمان را در جهت مثبت محور x ها قرار دهیم جهت انگشتان باز جهت مثبت محور x ها جهت انگشتان بسته شده جهت مثبت محور y ها و جهت انگشت شصت جهت مثبت محور z ها را تشکیل می دهد. این دستگاه عالوه بر این سه محور از سه صفحه نیز تشکیل شده است: صفحه xoy یا xy صفحه ای که شامل دو محور xو y می باشد. صفحه xoz یا xz صفحه ای که شامل دو محور xو z می باشد. صفحه yoz یا yz صفحه ای که شامل دو محور yو z می باشد. مختصات نقطه در فضا

نقطه ای مانند p را در فضا در نظر بگیرید اگر به مانند شکل زیر از این نقطه سه صفحه عمود بر سه محور رسم کنیم تا محور های zوyوx را در سه نقطه قطع کنند به اعدادی که در محل برخورد روی محورها قرار دارد به ترتیب مولفه های اول و دوم و سوم نقطه p می گویند و هر نقطه را با یک سه تایی مرتب مانند x y z نمایش می دهند. 0, 0, 0 قرارداد: به محور های ozوoyوox به ترتیب محور طول ها محور عرض ها و محور ارتفاع ها می گویند و در نتیجه به مولفه ها نیز با عنوان طول و عرض و ارتفاع نام می برند. توجه:هنگامی که نقطه ای روی محور x ها مانند Aقرار دارد بدین معنی است که دو مولفه دیگر آن برابر صفر می باشد زیرا هرگاه بخواهیم از مبدا مختصاتo به سمت A حرکت کنیم تنها طول این نقطه تغییر می کند. به همین ترتیب می توان برای نقاط رو محورهای مختصات گفت: روی محور xها داریم y=z=0 روی محور yها داریم x=z=0 روی محور zها داریمx=y=0 به همین ترتیب می توان روی صفحات مختصات گفت: روی صفحه xoy داریم 0=z روی صفحه xoz داریمy=0 روی صفحه xoy داریمx=0 توجه: از آنجایی که از نقطه p بر سه محور عمود کرده ایم به محل های برخورد با سه محور تصویر بر آن محور می گویند. مثال در شکل فوق به سه نقطه CوBوA به ترتیب تصویر بر سه محور zوyوx می

گویند و با عبارتست از: x و y و z زیرا مثال برای بدست آوردن نقطه است. نمایش می دهند. مختصات تصویر p نقطه بر سه محور مختصات y pz ثابت مانده x x 0,0,0 0 z 0 بر محور xها عمود کرده ایم و بدین دلیل مولفهx 0, y,0 0,0, x به همین ترتیب برای رسیدن به تصویر نقطه p بر صفحه xy که با xy نشان می دهیم از نقطه p بر صفحهxy عمود می کنیم چون این صفحه شامل دو محور yوx است پس بر دو محور yوx نیز عمود می باشد لذا دو مولفه yوx ثابت می ماند. در نتیجه مختصات تصویر نقطه p بر سه صفحه مختصات عبارتست از: توجه: به همین ترتیب طول تصویر بر محورها و صفحه های مختصات برابر است با: xy x 0, y 0,0 xz x 0,0, z 0 yz 0, y, z 0 0 x x 0 y y 0

و 0 و 0 z z 0 xy x y 0 0 xz x z 0 0 yz y z 0 0 فاصله نقطه از مبدا مختصات: طول پاره خط OP فیثاغورث براحتی بدست می آید که برابراست با: یا فاصله نقطهP از مبدا مختصات به وسیله رابطه d x y z 0 0 0 B x B, y B, z B A x A, y A, z A فاصله دو نقطه : فاصله دو نقطه با استفاده از رابطه زیر بدست می آید: و یا طول پاره خط AB را d AB ( x x ) ( y y ) ( z z ) B A B A B A مثال : چند نقطه روی محور yها وجود دارد که به فاصله 31 از نقطه -,1,3)p می باشد تصاویر نقطه,,3-)P بر صفحه های xzوxy باشد طول پاره خط MN را 4 و 0 (و ( مثال : اگر NوM بدست آورید. مثال: اگر سه راس مثلثی نقاط ) 4 و 0 و 0 ( و ( مشخص کنید. A(,1,0 و B(3,-1,3 و 0 و 4 ( باشد طول اضالع مثلث و نوع مثلث را 1-, -, -)C سه راس یک مثلث هستند. طول اضالع این مثال : نقاط مثلث و نوع مثلث را بدست آورید. مثال:اگر طول تصویر نقطه P بر سه صفحه مختصات به ترتیب برابر 4 و 4 و باشدفاصله نقطه p تا مبدا مختصات را بدست آورید. A B M M x x y y z z,, A B A B A B M(1,,3 وسط پاره خط:هرگاه وسط پاره خط AB را با M نمایش دهیم داریم : ABC B(3,-1, A(1,,- به عبارتی اگر مثال: و دو راس مثلث مختصات راس C و طول پاره خط BC را بدست آورید. و پای میانه BM باشد

قرینه یک نقطه نسبت به محورها و صفحه های مختصات : حال اگر بخواهیم قرینه نقطه x,0 y را نسبت به محورهای مختصات مثال محور xها را بدست آوریم ابتدا می بایست آن را 0, z 0 بر روی محور xها تصویر کرده یعنی به نقطه x x 0,0, 0 برسیم سپس به اندازه خودش امتداد دهیم و نقطه حاصل قرینه نقطه P می باشد و آن را با نمایش می دهیم. از آنجایی که وسط Pو x " x " x می باشد داریم: " x x x 0,0,0 x 0, y 0, z 0 x 0, y 0, z 0 به عبارتی وقتی بر محور xها عمود می کنیم مولفه x ثابت مانده و دو مولفه دیگر قرینه می شود.در نتیجه قرینه نسبت به محورها و صفحه های مختصات به شکل زیر می باشد: " x x 0, y 0, z 0 " y x 0, y 0, z 0 " z x 0, y 0, z 0 " xy x 0, y 0, z 0 " xz x 0, y 0, z 0 " yz x 0, y 0, z 0 مثال : قرینه و تصویر نقطه,1,-)P را نسبت به محور yها بدست آورید. مثال: نقطه 3,6,1)P را بر محور xها تصویر و نسبت به صفحه yz قرینه کنید مختصات این دونقطه و فاصله این دو را بدست آورید. متوازی االضالع در فضا همانطوری که می دانید یک چهار ضلعی متوازی االضالع است اگر وتنها اگر قطر هایش یکدیگر را نصف کنند. بدین جهت وسط دوقطر بر هم منطبق است. پس اگر ABCD چهار راس یک متوازی االضالع با قطر های BDوAC باشد بین مختصات این چهار راس رابطه زیر برقرار است: A+C=B+D

مثال: اگر (3-,, A(1 و 1,3-,,3)B و,1, )C سه راس متوالی یک متوازی االضالع باشند مختصات نقطه Dرا بدست آورید. مرکز ثقل مثلث)محل برخورد میانه های مثلث( همانطوری که می دانید محل برخورد میانه های یک مثلث G تا وسط ضلع مثلث 3/1 میانه متناظر است در نتیجه ثابت می شود بین مختصات سه راس مثلث ABC و محل برخورد میانه ها رابطه زیر برقرار است: A B C G 3 مثال: اگر 3-,, A( و 1,3-,,3)B و,0, )C سه راس یک مثلث باشند فاصله محل برخورد میانه ها از قرینه نقطه A نسبت به صفحه xoy را بدست آورید.

بردار در فضای سه بعدی به هر پاره خط جهت دار یک پیکان می گویند. مثال در شکل فوق چند پاره خط جهت دار را مشاهده می کنید که هم جهت می باشند یا بعضی می گویند موازی و هم جهت می باشند و تنها یکی از آنها از مبدا گذشته است. تنها پیکان قرمز رنگ است که از مبدا می گذرد به آن بردار می گویند. در این شکل پیکان ها همگی دارای طول و جهت مساوی هستند که در اینصورت هستند. به مانندی دو مثلث که بجای برابر از واژه هم ارز استفاده می کنند. پیکان ها پیکان های هم ارز)برابر(: دو پیکان را هم ارز گویند هرگاه طول آنها برابر و هم جهت باشند. هم ارز توجه: معموال با وجود اشتباه بودن اصطالح رایج این است تمام پاره خط های جهت دار را بردار می نامند. توجه: برداری که از مبدا می گذرد و انتهای آن بر نقطه می باشد. A( 1,, 3) قرار دارد بردار OA (,, ) 1 3 مختصات پیکان AB مختصات پیکان AB را از رابطه زیر بدست می آوریم:

AB x x, y y, z z B A B A B A V x y z AB OB OA B A به عبارتی : طول بردار طول بردار ) z V ( x, y, برابر است با : V ( x, y, z ) مجموع دو بردار ) z uو ( x, y, 1 1 1 اگر دو بردار باشند آنگاه مجموع دو بردار برابر است با : u v ( x x, y y, z z ) 1 1 1 مثال: اگر -,1,) و 3-, -,-) دو بردار باشند مطلوبست + تعبیر هندسی مجموع دو بردار C اگر A و B دو بردار و بردار مجموع این دوبردار باشد rv ( rx, ry, rz ) ضرب عدد در بردار اگر r عددی حقیقی و( V ( x, y, z یک بردار باشد آنگاه داریم

ویژگی های مجموع دوبردار و ضرب عدد در بردار مثال : اگر -,1,) و 3-, -,-) دو بردار باشند مطلوبست ج( + د( الف( - ب( - مثال: در مثال قبل را با مقایسه کنید. نتیجه مهم در مورد ضرب عدد در بردار rv هر گاه V یک بردار و r عددی حقیقی آنگاه بردار دارای ویژگیهای زیر است : موازی بردار V می باشد )3 V V و هرگاه 0<r باشد خالف جهت می باشد ( اگر 0>r باشد هم جهت با rv r V )1 - مثال برداری موازی هم جهت و و برابر بردار موازی خالف جهت و برابر بردار می باشد به عبارتی اگر 0>r به شکل زیر است.

مثال: اگر 0<r باشد شکل r را رسم کنید. توجه: به بردار قرینه می گویند. تعبیر هندسی تفاضل دو بردار مثال : شکل هریک از روابط زیر را رسم کرده و به آنها توجه کنید. الف( AB BA ب( ج( د( مثال: AB BC AC AB AC CB AA 0 طول قطرهای متوازی االضالعی را بدست آورید که با استفاده از دوبردار (1,,3 (3,1,-1 اگر مثال: ساخته می شود. B(-,,-3, A(-1,- و ) MA 1 MB 3 دو نقطه در فضا باشد نقطه M مثال: در متوازی االضالع ABCD اگر نقطه M محل تالقی قطرها و باشد آنگاه بردار v کدام است و را به گونه ای پیدا کنید که و AD u v AB uv BD )4 DM )1 MC ) MB)3 زاویه بین دوبردار هنگامی که دوبردار در ابتدای مشترک باشند زاویه بین دوبردار به شکل زیر می باشد

وu اگر هرگاه دارای ابتدای مشترک نباشد هم ارز یکی را بر روی ابتدای دیگری رسم می کنیم. توجه: زاویه بین دو بردار, را با نماد (,) نمایش می دهند. مثال: نشان دهید اگر دوبردار و بر هم عمود باشند طول دوبردار + و - برابر می باشد. مثال: نشان دهید هرگاه دوبردار و دارای طول برابر باشند +و - بر هم عمود هستند. مثال: حاالت مختلف روابط بین طول دوبردارvوu و طول بردارu+v را با توجه به زاویه بین دوبردار v بررسی کنید. u و V رابطه کسینوسها برای بدست آوردن طول )اندازه( مجموع و تفاضل دو بردار دوبردار و اگر α زاویه بین این دو بردار باشد 1 u v u v u v cos u v u v u v cos با توجه به رابطه کسینوسها در مثلث و باتوجه به مثلث مربوط به است. در مثلث مربوط به u v u v چون زاویه بین دوضلعπ-α داریم u v u v u v cos( اثبات می شود. مثال: بدست آورید. در شکل اثبات رابطه واضح می باشد با توجه به رابطه کسینوسها و چون cos( ) cos می باشد رابطه 3 نیز اگر زاویه بین دوبردار بطول های 6 و 1 برابر 60 درجه باشد اندازه)طول( بردار مجموع این دو را بردارهای یکه و جهت هر بردار با طول واحد را بردار یکه می نامند. e v را با v بردار جهت نمایش میدهند و برداریکه ای است در جهت بردار v. ev 1 v v 1 v توجه کنید که چون یک عدد مثبت در بردار v ضرب شده بردار e v هم جهت با بردار v می باشد.

و- و- x,y,z مثال: ثابت کنید طول e v مثال: اگر 3-,6-,6) v باشد برابریک می باشد. e v بردارهای یکه محورهای مختصات را بدست آورید. متداول ترین بردارهای یکه بردارهای یکه محورهای مختصات می بشند که به ترتیب به نام i,j,k نامگذاری می شوندو مختصاتشان عبارت است از r j0,1,0 و k 0, 0,1 مثال:اگر بردار مثال:بردار و i 1,0,0 =i+3j+ k باشد نشان دهید,,3) -,3-,0) را بوسیلهi,j,k نمایش دهید. شرط موازی بودن دوبردار v و u دوبردار وجود داشته باشد به گونه ای که v =ru موازیند اگر و تنها اگر مضرب حقیقی یکدیگر باشند. به عبارتی عددی حقیقی مانند x y z x y z 1 1 1 (3,1-3m,n-3 با هم دو بردار v( x, y, z uو ( x ) 1, y 1, z 1) موازی هستند اگر و تنها اگر مثال:با توجه به تعریف دوبردار موازی رابطه باال را ثابت کنید. مثال:نشان دهید دوبردار) 4 و )-6 و ( مثال:مقادیر nوm موازی باشند. 3 و 1 ( موازیند. را بگونه ای بدست آورید که دو بردار,, (-6 و ضرب داخلی ضرب داخلی دوبردار v و u )3 را با نماد اگر α زاویه بین این دو بردار باشد. uv نمایش می دهندو آن را به دو صورت تعریف می کنند: u. v u v cos اگر ( v( x, y, z uو ( x ) 1, y 1, z 1) آنگاه u. v x x y y z z 1 1 1

اعداد بدست آمده از رابطه 3 و برابر می باشند برای اثبات برابری سمت راست رابطه 3 و چند راه وجود دارد که می توانیم از رابطه کسینوسها نیز استفاده کنیم. مثال:ضرب داخلی دو بردار مثال: اگر 6,3-,)u و,-,1-)v را بدیت آورید. v و u 6 وزاویه بین دوبردار 60 درجه باشد حاصلu.v را بدست آورید. نتیجه: حاصل بدست آمده از ضرب داخلی دو بردار همواره یک عدد حقیقی می باشد. قرارداد:ضرب داخلی نامهای دیگری مانند نقطه ای اسکالر و عددی نیز دارد. مثال: u اگر u. v 0, u 10, v 1 آنگاه v روش بدست آوردن زاویه بین دوبردار هرگاه آوریم: را داشته باشیم v و u.vو u α مثال: مطلوب است زاویه بین دوبردار به مختصات را بدست آورید. زاویه بین دوبردار با استفاده از رابطه زیر می توانیم بدست uv. cos uv و v(1,-3, u(-,,-3 مثال: در مثال قبل زاویه بین دو بردارu+vو u-v را بدست آورید. شرط عمود بودن دوبردار: غیر صفر دوبردار u ( x, y, z ) 1 1 1 و ) z v( x, y, بر هم عمود هستند اگر وتنها اگر uv. 0 x 1x y 1y z 1z 0 مثال: نشان دهید دوبردار -,,1) و 1,1-,3) بر هم عمود هستند. مثال:اگر u v 3, u 10, v مثال:مقدار m را بگونه ای بدست آورید که دوبردار ویژگی های ضرب داخلی: برای هر سه بردار u,v,w و اعداد حقیقی r,s داریم: مثال: اگر مثال:اگر نشان دهید دوبردار u,v بر هم عمود هستند. v(3,m,-1 بر هم عمود باشند. u(1,,m و یا 1 u. u u u. v v. u 3 u.( v w u. v u. w r ( u. v ( ru. v u.( rv ( rs ( u. v ( ru.( sv, -,3)v باشد حاصل 3u.(-v را بدست آورید. و3 uv. مطلوبست حاصل v.(v+u) 1,,3)u و v توجه: ضرب داخلی دارای خاصیت شرکت پذیری نمی باشد. به عبارتی توجه:ضرب داخلی برای بیش از دو بردار تعریف نمی شود. u.( v. w ) ( u. v ). w

مثال: نشان دهید اگرu برداری غیرصفرو u.v=u.w باشد آنگاه یا بردارu برv-w عمود است و یا v=w u.v=u.w نتیجه: ضرب داخلی دارای خاصیت حذفی نمی باشد یعنی از گرفت که دو بردار v,w مساوی هستند. مثال: اگر و وزاویه بین دوبردار 60 درجه باشد مطلوبست حاصل نمی توان قطعا نتیجه (v-u.(v+u 1 (. u 6 v یادآوری چند اتحاد مهم: ( ( 3 (... c c c c w مثال: اگر u و 1 v و و زاویه بین بردارها دوبه دو برابر 60 درجه باشد مطلوبست u.v+u.w+v.w مطلوبست حاصل و u+v+w=0 w v u u v w مثال: اگر و و مثال: با استفاده از بردارهای یکه محورهای مختصات حاصل هریک عبارتهای زیر را بدست آورید. 1 i. i, j. j, k. k i. j, i. k, j. k حاصل عبارت زیر را بدست آورید. ( i. i ) j ( i. k ) k ( k. k ) j مثال: مثال: مطلوبست زاویه بین دوبردار =i-3k,=-j+3k تعبیر هندسی. اگر زاویه بین, را برابرθ در نظر بگیریم 0 باشد. برابر است با اندازه بردار در اندازه تصویر بردار بر بردار )3 باشد. برابر است با منهای اندازه بردار در اندازه تصویر بردار بر بردار )

تصویر قائم یک بردار بر بردار دیگر اگر تصویر قائم بردار گویند و را بر بردار cos. cos اثبات: را بدست می آوریم. می دانیم پس cos. cos cos cos ابتدا طول بردار تصویر رب یعنی 0 هر گاه باشد می دانیم پس حال طول بردار آوردن را بدست آورده ایم می دانیم طول آن در جهت بردار را در بردار جهت می باشد پس برای بدست یعنی که می دانیم بطول.... یک می باشد ضرب می کنیم. برای و نیز به همین ترتیب اثبات می شود.

مثال: تصویر بردار -,1,) را بر بردار 1,,) بدست آورید. نتیجه: اندازه)طول(تصویر بردار یعنی هرگاه یعنی بر بردار برابر است با. بعدا اندازه آن را بدست آوریم. مثال: اندازه بردار تصویر را خواستند مستقیم از فرمول باال استفاده می کنیم و بردار قرینه یک بردار نسبت به برداری دیگر اگر قرینه بردار 3-,1,) را بر (1, -, ) بدست آورید. را نسبت به بردار با " نشان می دهند و برابر است با را بدست نمی آوریم تا. " اثبات: مثال: مطلوب است قرینه بردار -,1,) نسبت به بردار 1,,) مثال: مطلوب است طول قرینه بردار 3-,,6)u نسبت به بردار,,3)v کسینوسهای هادی اگر γوβوα زوایای بردار u(x,y,z) با محورهای ozوoyوox باشند آنگاه :

cos x,cos y,cos z u u u u x y z e u مثال: اگر u,1),1 باشد مطلوبست بردار یکه نتیجه: همواره و زوایایی که با محورهای مختصات می سازد. cos cos cos 1 اثبات: مثال:اگر برداری با هردو محورهای yوx زوایای 44 درجه بسازد با محور z چه زاویه حاده ای می سازد u v ضرب خارجی اگر vوu دو بردار باشند همین دلیل به آن را ضرب خارجی u درv می گویند که حاصل آن یک بردار می باشد به ضرب برداری نیز می گویند. u v v( x, y, z uو ( x ) 1, y 1, z اگر مختصات (1 باشد به مختصات زیر می باشد u ( x 1, y 1, z 1) y z x z x y u v,, y z x z x y 1 1 1 1 1 1 v( x, y, z )

u u v u u مثال: اگر 1,1-,)v مطلوبست v نتیجه: سه بردار u(1,,3 و و و,u,vu تشکیل یک دستگاه راستگرد می دهند که در شکل باال می بینید. 1-,,3) برداری به طول پیدا کنید که بر هر دوبردار, عمود باشد. 1 uu 0 u v v u 3 u ( v w u v u w r ( u v ( ru v ( rs ( u v ( ru ( sv u v v u 0 v مثال: اگر -,1,) و ویژگی های ضرب خارجی اگر u,v,w سه بردار باشند نتیجه: اگر دو بردارu,v موازی باشندآنگاه توجه: ضرب خارجی دارای خاصیت شرکت پذیری نمی باشد یعنی اگر u,v,w سه بردار باشند u ( v w ) u v w u v مثال: اگر -,1,) و 1-,,3) مطلوبست حاصل (u+v)(u-v) نتیجه: روابط اتحاد های در جه دوم در ضرب خارجی کاربرد ندارد. نکته: اگر u,v دو بردار وθ زاویه بی آنها باشد و می توانیم اندازه)طول(بردار زیر بدست آوریم. را مستقیم از رابطه u v u v sin u v u v u. v u v uv tn uv. v 6 مثال: اگر u چند رابطه مهم و و زاویه بین دو بردار برابر 10 باشد مطلوبست 3( رابطه بین ضرب داخلی و خارجی و طول دوبردار ( رابطه بین ضرب داخلی و خارجی وαزاویه بین دوبردار اثبات:

u v v 3 مثال: اگر u مثال: اگر 3 3 و و باشدu.v را بدست آورید. u,v مطلوبست زاویه بین دو بردار و u.v=-3 uv ضرب خارجی بین بردارهای یکه محورهای مختصات i,j,k رابطه زیر برقرار است: i i j j k k 0 i j k, j k i, k i j 1 i i j j k k i j j 3k c c )1 مثال: حاصل عبارت زیر را بدست آورید. مثال: اگر ++c=0 باشد نشان دهید محاسبه مساحت متوازی االضالع مساحت متوازی الضالعی که با استفاده از دو بردار و ایجاد می شود برابر است با s اثبات: مساحت متوازی االضالع برابر است با ارتفاع ضربدر قاعده. قاعده برابر می باشد برای بدست آوردن ارتفاع فرض می کنیم زاویه بین دوبردار, برابرθ باشد با توجه به رابطه sinθ در مثلث قائم الزاویه داریم: =ارتفاع sin S= sin = درنتیجه

1 s D(1,,-3 نتیجه: مساحت مثلثی که بوسیله دو بردار و ایجاد می شود برابر است با مثال: مساحت متوازی االضالع ABCD را بدست آورید که سه راس آن باشد. A(,3,1 و 1,, ) Bو مثال : اگر A,B,C سه راس یک مثلث و O مرکز مختصات باشد نشان دهید مساحت مثلث از رابطه زیر بدست می آید: 1 s OA OB OB OC OC OA حجم متوازی السطوح حجم متوازی السطوحی که با استفاده از سه بردار,,c ایجاد می شود برابر است با : 1-,1,) و( (,3,1 و v.( c ) مثال: مطلوبست حجم متوازی السطوحی که با استفاده از سه بردار,,1-)c ایجاد می شود. نتیجه: سه بردار,,c در یک صفحه قرار دارند هرگاه0 ). c باشد. مثال: k را بگونه ای محاسبه کنید که سه بردار (k,3,-1 و -,,1) و 1,,)c در یک صفحه واقع شوند. نتیجه : حجم متوازی السطوحی که با استفاده از سه بردار,,c ایجاد می شود برابر است با : 1 v.( c ) 6

مثال: حجم هرمی را بدست آورید که نقاط,-,3)A و,1,0)B و 1,,6)C و 1,-,3)D چهار راس آن باشند. نکته:.( c).( c) c.( ).( c ) ( c ) c.( )