ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ 1. Να κατασκευάσετε έναν κύκλο και να πάρετε μια χορδή του ΑΒ. Από το κέντρο Κ του κύκλου να φέρετε κάθετη στη χορδή ΑΒ η οποία τέμνει τη χορδή στο σημείο Μ. Να διαπιστώσετε με μέτρηση ότι το Μ είναι μέσο της χορδής ΑΒ. Σχεδιάζω κύκλο με κέντρο Κ και ακτίνα 3 cm. Φέρνω από το Μ την κάθετη στη χορδή ΑΒ και μετράω το μήκος των ΑΜ και ΜΒ. Διαπιστώνω ότι ΑΜ = 2,14 cm και Μβ = 2,14 cm. Άρα ΑΜ = ΜΒ, οπότε το Μ είναι μέσο της χορδής ΑΒ. 2. Να κατασκευάσετε έναν κύκλο και να πάρετε δυο χορδές του ΑΒ και ΓΔ με ΑΒ>ΓΔ. Να συγκρίνετε την απόσταση του κέντρου του κύκλου από τις δυο χορδές. Τι συμβαίνει όταν οι χορδές είναι ίσες; Φέρνω από το Κ την κάθετη ΚΜ στην ΑΒ και την κάθετη ΚΝ στην ΓΔ. Τότε το ΚΜ είναι η απόσταση του κέντρου Κ από τη χορδή ΑΒ και το ΚΝ είναι η απόσταση του κέντρου Κ από τη χορδή ΓΔ. Μετρώντας βρίσκω ότι ΚΜ = 2,1 cm και ΚΝ = 2,8 cm. Άρα το κέντρο απέχει από τη μεγαλύτερη χορδή τη μικρότερη απόσταση. Αν οι χορδές είναι ίσες τότε παρατηρώ μετρώντας ότι οι αποστάσεις ίναι ίσες. (βλέπε σχήμα).
3. Να σχεδιάσετε δυο άνισους κύκλους οι οποίοι δεν έχουν κοινά σημεία. Να βρείτε δυο σημεία, ένα σε κάθε κύκλο τα οποία απέχουν την μικρότερη δυνατή απόσταση. Επίσης να βρείτε δυο σημεία, ένα σε κάθε κύκλο τα οποία απέχουν την μεγαλύτερη δυνατή απόσταση. Για να αναδιατυπώσουμε το πρόβλημα ώστε να έχει μεγαλύτερη σχέση με την καθημερινή πράξη, φανταστείτε δυο ποδηλάτες. Ο ένας κινείται σε μια κυκλική πίστα (τον μεγάλο κύκλο) και ο άλλος σε μιαν άλλη (τον μικρό κύκλο). Καθώς κινούνται, σε ποια θέση έχουν τη μικρότερη απόσταση μεταξύ τους; Τα σημεία Δ και Η του σχήματος μας δείχνου τη θέση που πρέπει να βρίσκονται οι ποδηλάτες να έχουν τη μικρότερη απόσταση. Σε ποια θέση έχουν τη μεγαλύτερη απόσταση μεταξύ τους; Τα σημεία Γ και Θ απέχουν τη μεγαλύτερη απόσταση. Τα σημεία αυτά είναι τα σημεία τομής της ευθείας που ενώνει τα κέντρα των δυο κύκλων με τους κύκλους. 4. Να σχεδιάσετε έναν κύκλο και μια ευθεία ε που τέμνει τον κύκλο στα σημεία Α και Β. Να φέρετε την εφαπτομένη του κύκλου που είναι παράλληλη στην ευθεία ε. Πόσες λύσεις έχει το πρόβλημα; Φέρνουμε από το κέντρο Ο κάθετη στην ΑΒ η οποία τέμνει τον κύκλο στα σημεία Γ και Δ. Οι κάθετες στην ΓΔ στα σημεία Γ και Δ είναι εφαπτομένες του κύκλου και είναι επίσης παράλληλες με την ε. Το πρόβλημα έχει δυο λύσεις.
5. Να κατασκευάσετε δύο κύκλους οι οποίοι έχουν (α) δυο κοινά σημεία (β) ένα κοινό σημείο (γ) κανένα κοινό σημείο. Σε κάθε περίπτωση να συγκρίνεται την απόσταση των κέντρων τους (διάκεντρος) με το άθροισμα των ακτίνων τους. Τι συμπεραίνετε; Στην πρώτη περίπτωση που οι κύκλοι έχουν δυο κοινά σημεία, το άθροισμα των ακτίνων τους είναι 3 cm + 2 cm = 5cm και η διάκεντρος είναι 4 cm. Στην δεύτερη περίπτωση που οι κύκλοι έχουν ένα κοινό σημείο, το άθροισμα των ακτίνων τους είναι 3 cm + 1 cm = 4 cm και η διάκεντρος είναι 4 cm. Στην τρίτη περίπτωση που οι κύκλοι έχουν δυο κοινά σημεία, το άθροισμα των ακτίνων τους είναι 3 cm + 1 cm = 4 cm και η διάκεντρος είναι 5 cm. Συμπεραίνουμε ότι 6. Με πόσους διαφορικούς τρόπους μπορούν δυο κύκλοι να έχουν μόνο ένα κοινό σημείο; Σημειώνουμε ότι δυο κύκλοι που έχουν μόνο ένα κοινό σημείο λέμε ότι εφάπτονται ή ότι είναι εφαπτόμενοι κύκλοι. Οι κύκλοι μπορεί να εφάπτονται εξωτερικά (σχήμα α) ή εσωτερικά (σχήμα β).
7. Να σχεδιάσετε δυο κύκλους με κέντρα Κ και Λ ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ λέγεται διάκεντρος των παρατηρείτε για τη διάκεντρο και την κοινή χορδή; που τέμνονται σε δυο σημεία Α και Β. Το δύο κύκλων και το ΑΒ κοινή χορδή. Τι Η διάκεντρος και η κοινή χορδή είναι κάθετες. Επί πλέον, Η ΚΛ είναι μεσοκάθετος της ΑΒ. περίπτωση που η δυο κύκλοι είναι ίσοι και η ΑΒ είναι μεσοκάθετος της ΚΛ. Στην 8. Να σχεδιάσετε γωνία. Μπορείτε να σχεδιάστε κύκλο ο οποίος εφάπτεται και στις δυο πλευρές της γωνίας; Πόσοι τέτοιοι κύκλοι υπάρχουν; (δύσκολη άσκηση) Είναι διαισθητικά φανερό ότι το κέντρο του ζητούμενου κύκλου θα βρίσκεται στη διχοτόμο της γωνίας. Επειδή γνωρίζουμε ότι κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας, οι αποστάσεις ΖΕ και ΖΗ ενός σημείου Ζ της διχοτόμου από τις πλευρές της γωνίας θα είναι ίσες. Αν με κέντρο το Ζ και ακτίνα ΖΕ γράψουμε κύκλο αυτός διέρχεται από τα Ε και Ζ. Οι πλευρές ΟΧ και ΟΥ είναι κάθετες στις ακτίνες ΖΗ και ΖΕ αντιστοίχως, άρα οι πλευρές ΟΧ και ΟΥ είναι εφαπτομένες του κύκλου.
9. Να σχεδιάστε έναν κύκλο και να πάρετε τρία σημεία Α, Β και Γ πάνω σε αυτόν. Να φέρετε τις εφαπτομένες στον κύκλο οι οποίες διέρχονται από τα σημεία αυτά. Σχηματίζουν πάντοτε αυτές οι εφαπτομένες τρίγωνο; Σε ποια περίπτωση το τρίγωνο που σχηματίζουν οι εφαπτομένες αυτές είναι ισόπλευρο; σχήμα α σχήμα β Όταν τα δυο από τα τρία σημεία αποτελούν άκρα μιας διαμέτρου του κύκλου, τότε οι εφαπτομένες του κύκλου σε αυτά τα σημεία θα είναι παράλληλες ως κάθετες στην ίδια ευθεία. Επομένως, σε αυτή την περίπτωση δεν σχηματίζεται τρίγωνο από τις τρεις εφαπτομένες (βλέπε σχήμα β). Για να σχηματίζουν οι εφαπτομένες αυτές ισόπλευρο τρίγωνο θα πρέπει το αρχικό τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ισόπλευρο (βλέπε παρακάτω σχήμα).
10. Να σχεδιάστε έναν κύκλο και να πάρετε δυο κάθετες διαμέτρους του ΑΓ και ΒΔ. Να διαπιστώσετε με μέτρηση ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ να είναι τετράγωνο. Φέρνουμε δυο κάθετες διαμέτρους ΑΓ και ΒΔ και ενώνουμε τα άκρα τους Α, Β, Γ και Δ. Μετράμε τις πλευρές του και βρίσκουμε ΑΒ = 4,3 cm, ΑΒ = 4,3 cm, ΑΒ = 4,3 cm, ΑΒ = 4,3 cm. Επομένως, όλες οι πλευρές του είναι ίσες. Επίσης μετράμε τις γωνίες του και βρίσκουμε ότι είναι όλες ορθές. Άρα το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο. 11. Να κατασκευάσετε δυο ομόκεντρους κύκλους με κέντρο Κ και ακτίνες 3 cm και 2 cm αντιστοίχως. Να πάρετε ένα σημείο Μ του μικρού κύκλου και να φέρετε την εφαπτομένη του κύκλου στο Μ. Αν αυτή η εφαπτομένη τέμνει το μεγάλο κύκλο στα σημεία Γ και Δ, να συγκρίνετε (μετρώντας) τα τμήματα ΜΓ και ΜΔ. Να διαπιστώσετε μετρώντας ότι το Μ είναι μέσο της χορδής ΓΔ; Φέρνω την ακτίνα ΑΜ και χαράζω την κάθετη στην ΑΜ στο σημείο Μ. Η κάθετη αυτή είναι η ζητούμενη εφαπτομένη. Έστω Γ και Δ τα σημεία τομής αυτής της εφαπτομένης με τον μεγάλο κύκλο. Μετρώντας τα ΓΜ και ΜΔ βρίσκω ότι ΓΜ = 2,5 cm και ΜΔ = 2,5 cm. Άρα ΓΜ = ΜΔ, οπότε το Μ είναι μέσο της χορδής ΓΔ.
12. Το παρακάτω σχήμα δείχνει τη σχετική θέση του ήλιου, της γης και της σελήνης κατά τη διάρκεια μιας έκλειψης ηλίου. Μπορείτε να δείτε σε ποια σημεία της γης έχει ολική έκλειψη (δηλαδή δεν φαίνεται καθόλου ο ήλιος), σε ποια έχει μερική έκλειψη (φαίνεται ένα κομμάτι του ήλιου) και ποια σημεία της γης βλέπουν όλο τον ήλιο; Ολική έκλειψη (δεν φαίνεται καθόλου ο ήλιος) έχει στα σημεία του τόξου ΓΔ. Μερική έκλειψη (φαίνεται ένα κομμάτι του ήλιου) έχει στα σημεία των τόξων ΓΒ και ΔΕ. Όλα τα σημεία των τόξων ΑΒ και ΕΖ βλέπουν ολόκληρο τον ήλιο. Τα σημεία του δεξιού τόξου ΑΖ έχουν νύχτα. Σημείωση 1: Παρατηρείστε πόσο σημαντικές είναι οι εφαπτομένες που φέραμε στο σχήμα για τον καθορισμό του εν λόγω φαινομένου. Η ακριβής χάραξη αυτών των εφαπτομένων και με τα γεωμετρικά όργανα αλλά και με το geogebra απαιτεί θεωρία που υπερβαίνει το επίπεδο της τάξης μας. Δοκιμάστε να χαράξετε τις εφαπτομένες στο τετράδιο σας με το μάτι. Μπορείτε να πετύχετε ικανοποιητικό αποτέλεσμα. Σημείωση 2: Το φαινόμενο λαμβάνει χώρα στον τρισδιάστατο χώρο ενώ εδώ απεικονίζουμε τα τρία ουράνια σώματα με κύκλους (αντί για σφαίρες). Στην ουσία, η απεικόνισή μας μια είναι μια τομή ενός επιπέδου που διέρχεται από τα κέντρα των τριών σφαιρών με τις τρεις σφαίρες (σας καταλαβαίνω αν δεν καταλαβαίνεται τι εννοώ εδώ!) Και η σκιά στην πραγματικότητα δεν είναι ένα τόξο αλλά κυκλικός δίσκος.